概率讲义02

用水量正常天数不少于 5 天的概率为
例 7 一批产品的废品率为 0.03，进行 20 次独立重复抽样，求出现废品的频率为 0.1 的概率。
解：令 X 表示 20 次独立重复抽样中出现的废品数. X~B（20，0.03） （注意：不能用 X 表示频率，若 X 表示频率，则它就不服从二项分布）所求的概率为
（1） 当χ<0 时，F（χ）=P{X≤χ}=0 （2） 当 0≤χ<1 时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}=0.5 （3） 当 1≤χ<2 时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}=0.5+0.3=0.8 （4） 当χ≥2 时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=1
p
……
……
性质： 1。pi≥0,一切 I； 2。
例 1 设袋中装着分别标有-1，2，2，2，3，3 数字的六个球，现从袋中任取一球，令 X 表示取得球上所 标的数字，求 X 的分布律。
解：
X 的 可 能 取 值 为 -1 ， 2 ， 3 ， 且 容 易 求 得
故 X 的分布律为
X -1 2
3
p 1/6 1/2 1/3 例：相同条件下，独立的向目标射击 4 次，设每次击中目标的概率为 0.8， 求击中目标次数 X 的分布律
解：（1）
，其分布律为
于是，在一分钟内
接到超过 7 次呼唤的概率为
（2）设所需设备的线路为 K 条，按题意应有
P{X≤K}≥90% 即 P{X≤K}=1-P{X＞K}=1-P{X≥K+1}≥0.9 即 P{X≥K+1}≤0.1
查表得 P{X≥6}=0.0839 而 P{X≥5}=0.1847 ,故应取 K+1=6，即 K=5 所以，至少要设置 5 条线路才能符合要求。
称此定义在样本空间 上的单值实函数Ｘ＝Ｘ（e）为一个随机变量。
引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随 或在某范围内取值来表示了。（见图）
机变量取某个值
通俗讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。
例 1 向靶子（见图）射击一次，观察其得分，规定 击中区域Ⅰ得２分
击中区域Ⅱ得１分
击中区域Ⅲ得０分
解：由于
，即 X 的分布律为
于是有
由条件 P{X=1}=P{X=2}
可得方程
即
即
解得 λ=2，0（弃去）
所以
于是
例 11：设电话交换台每分钟接到的呼唤次数 X 服从参数 λ=3 的泊松分布。（1）求在一分钟 内接到超 7 次呼唤的概率；（2）若一分钟内一次呼唤需要占用一条线路。求该交换台至少要 设置多少条线路才能以不低于 90%的概率使用户得到及时服务。
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性质 1。F（χ）是单调不减的，即对任意 χ1<χ2，有 F（χ1）≤F（χ2）； 2。0≤F（χ）≤1 且 F（-∞）=0，F（+∞）=1； 3。F（χ）为右连续的，即对任意 χ，有 F（χ+0）= F（χ）。
从而，X 的分布函数与分布律的关系便为
§2 几个重要分布
X
1.两点分布 如果随机变量 X 的分布律 p
0
1
为
q
p
其中 0<p<1,q=1-p 则称 X 服从参数为 p 的(0－1)两点分布,简称为两点分布,记为 X~B(1,p)
实际背景:在贝努里实验中,设事件 A 的概率为 p(0<p<1) 如果所定义的随机变量 X 表示 A 发生的次数，即
解：（1）X 的可能取值为 0，1，2，3，且有
的分布律为
于是 X
X
0
P 0.7865
（2）任取 3 件产品中至少含有一件次品的概率为
1 0.2022
2 0.0112
3 0.0001
P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.2022+0.0112+0.0001=0.2135 或 P{X≥1}=1－P{X ＜1＝1－P{X=0}=1－0.7865=0.2135
解：（1） 令 Ai={第 i 次购买的奖券中奖}，i=1,2,……
X 的分布律为
X1 pp
2 (1-p)p
3 (1-p)2p
…… ……
i （1-p）i-1p
（2）设 n 为所需购买的奖券数，按题意 P{X≤n}≥99% 即
即
…… ……
例 4 某产品 40 件，其中有次品 3 件，现从中任取 3 件，（1）求取出的 3 件产品中所含次品 数 X 的分布律；（2）求取出产品中至少有一件次品的概率；（3）求出 X 的分布函数 F （x），并作其图形。
总之，
例 2 向一半径为 2 米的圆形靶子射击，假设击中靶上任何一同心圆的概率为该同心圆的面积成正比，且 每次射击必中靶。令 X 表示弹着点到靶心距离，求 X 的分布函数 F（χ）。
解： 当 χ<0 时，F（χ）=P{X≤χ}=0 当 0≤χ≤2 时，F（χ）=P{X≤χ}=P{击中半径为 χ 的同心圆}=λπχ2 特别，当χ=2 时，1=F{2}=λπ4，解得 λ=1/4π，代入上式便得 当χ>2 时，F（χ）=P{X≤χ}=1
例 3 从一批灯泡中任取一个灯泡作寿命试验。观察所测灯泡的寿命（单位：小时） 样本空间Ω＝［０， ＋∞］。可定义随机变量Ｘ表示所测得灯泡的寿命于是，
Ａ＝｛测得灯泡寿命大于５００（小时）｝＝｛Ｘ>500｝
Ｂ＝｛测得灯泡寿命不超过５０００（小时）｝＝｛Ｘ≤５０００｝。
不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。
则有
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即 X~B(n,p)
例 6 某工厂每天用水量保持正常的概率为 ，求最近 6 天内用水量正常天数 X 的分布律， 并求用水量正常天数不少于 5 天的概率。解：由二项分布实际背景可知 X~B（6， ）， 于是
即 X 的分布律为
X0
1
2
3
4
5
6
P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780
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二 离散型随机变量及其分布律
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§1 离散型随机变量及其分布律的概念
定义：如果随机变量 X 的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量 X 为离散型随机变量。
X χ1 χ2 …… χn ……
设 X 的所有可能取值为χ1，χ2，……χn，……，则称下列一组概率 P{X=χi}=ρi，i=1,2,……，n,…… 为 X 的分布律。分布律也常常写成表 格形式
显然 X 的分布律为 X 0 1
例 5 .一批产品的 p q p 表示抽得废品的数目，即
q=1-p
即 X~B(1,p) 废品率为 5% X 的分布 X
0
1
p 95%
5%
2.二项分布 如果随机变量 X 的分布律为
其中 0＜p
＜1, q=1－p,则称 X 服从参数为（n,p）的二项分布，记为 X~B（n,p）
解： X 的可能取值为 0，1，2，3，4 利用二项概率公式便可求得
X 的分布律为
X0
1
2
3
4
p 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
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例 2 社会上定期发行某种奖券，每券一元，中奖率为 p，某人每次买 1 张奖券，如果没有中 奖便继续买一张，直到中奖为止。求该人购买奖券次数 X 的分布律。如果中奖率为 1%，问 他至少应买多少张奖券才能以不少于 99%的概率中奖。
实际背景：由第一章，独立重复实验一段中可知，在 n 重贝努里实验中，如果每次实验 事件 A 出现的概率为 p(0<p<1) ,则在 n 次独立重复实验中 A 恰好出现 k(≤n)次的概率为
于是，在此 n 重贝努里实验中，如果定义随机变量 X 表示事件 A 出现的次数，
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其中λ＞0，则
称 X 服从参数为λ的泊松分布，记为 X~π(λ) 或者 X~P(λ)
实际背景：满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。 （1）在时间 内流过质点数的概率仅与 有关，与 t 无关； (2)不相交的时间间隔内流过的
质点数彼此独立； (3)在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过，要流过 2 个或 2 个以上质点几乎是不可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。
例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数；单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数； 单位时间内走进商店的顾客数等等；均可认为它们服从泊松分布。
例 10：设
且已知 P{X=1}=P{X=2}，求 P{X=4}
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例 4 将一枚硬币上抛一次，观察正，反面出现的情况。 试验的样本空间Ω＝｛Ｈ，Ｔ｝，Ｈ－正面，Ｔ －反面。 可定义随机变量Ｘ表示上抛１次硬币正面出现的次数，即
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于是，Ａ＝｛出现正
面｝＝｛Ｘ＝１｝。 用随机变量表示事件常见形式有
样本空间Ω＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ｝。定义随机变量 X 表示射击一次的得分
即
于是，
例 2 观察某电话交换台，在时间Ｔ内接到的呼唤次数。 样本空间Ω＝｛０，１，２，……｝。可定义随 机变量Ｘ就表示在时间Ｔ内接到的呼唤次数。于是，
Ａ＝｛接到呼唤次数不超过１０次｝＝｛Ｘ≤１０｝