数学—北京市东城区(南片)2014-2015学年下学期高一年级期末考试数学试卷

北京市东城区（南片）2014-2015学年下学期高一年级期末考试数学试卷
2015.7
一、选择题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项
.
1. 已知向量 a = (2, 4) ， b = (-1,1) ，则 2a - b = A. （5,7）
B. （5,9）
C. （3,7）
D. （3,9）
4. 执行如图所示的程序框图，若输入的
x 的值为 3，则输出的 n 的值为
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5. 若 a > b > 0, c < d < 0 ，则一定有
A.
a >
b B.
d c
a <
b C. d c
a > b
D. c d a < b c d 6. 已知 a 、 b 均为单位向量， (2a + b ) ⋅ (a - 2b ) = - 3
，则向量 a ， b 的夹角为
2
5π 3π A.
B.
6
4
π
π
C.
D.
4
6
7. 在等差数列{a n }中， a n > 0 ，且前 10 项和 S 10 = 30 ，则 a 5a 6 的最大值是
A. 3
B. 6
C. 9
D. 36
8. 下列选项中，使不等式 x < 1
< x 2
成立的 x 的取值范围是
x
A. （1，+∞）
B. （0,1）
C. （-1,0）
D. （-∞，-1）
9. 设 D ，E ，F 分别为△ABC 的三边 B C ，CA ，AB 的中点，则 E B + FC = 1
A. AD
B. AD 2 1
C. BC 2
D. BC
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.
11. 不等式 -x 2
+ 2x + 3 < 0 的解集是
.
12. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.若 A = π， c os B =
， b = 2 ，则
3
7
a =
.
13. 设
x , y ∈ R ， 向 量 a = (x ,1) ， b = (1, y ) ， c = (2, -4) 且 a
⊥ b
， b ∥ c ， 则
a +
b =
.
14. 已知{a n }为等差数列， S n 为其前 n 项和。

若 a 3 = -6 ， S 1 = S 5 ，则公差 d =
；
S n 的最小值为
.
15. 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F （单位时间内经过测量点的车辆数， 单位：辆/小时）与车流速度 v （假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒）、平均车长 l （单位： 76000v 米）的值有关，其公式为 F =
v 2 +18v + 20l
. 如果 l = 6.05 ，则最大车流量为
辆/小时.
16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数
n (n +1) 1 1 为 = n 2 + n . 记第 n 个 k 边形数为 N （n ，k ）（ k ≥ 3) ，以下列出了部分 k 边形数中第
2 2 2
n 个数的表达式：
三角形数
N (n , 3) = 1 n 2 + 1
n
2
2
四边形数五边形数六边形数
N (n, 4) = n2
N (n, 5) =
3
n2 -
1
n
2 2 N (n, 6) = 2n2 - n
……
可以推测N(n, k )的表达式，由此计算N(20,15) 的值为.
三、解答题：本大题共5个小题，共46 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10 分）
如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在直线A C 上，且A D=4DC.
（I）求B D 的长；
（II）求s in∠CBD 的值.
18. （本题满分10 分）
某超市从2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100 个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：
（I）写出频率分布直方图中的 a 的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
（II）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S2 , S 2 ，试比较S2 与S2 的
1 2 1 2
大小；（只需写出结论）
（III）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按
30 天计算）的销售总量.
19. （本题满分9分）
某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异.现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求），甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作 4 件奖品，乙厂原
料充足，但收费交贵，其具体收费情况如下表：
20. （本题满分8分）
在平行四边形 A BCD 中， ∠A = π
，边 A B 、AD 的长分别为 2、1. 若 M 、N 分别是边 B C 、CD
3
A M ⋅ AN 的取值范围.
21. （本题满分 9 分）
已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， a n +1 = 2a n (n ∈ N ) ，且 a 2 是 S 2 与 1 的等差中项.
（I ）求{a n }的通项公式；
⎧ 1 ⎫ *
（II ）若数列 ⎨ ⎬ 的前
n 项和为 T n ，且对任意 n ∈ N ⎩ a n ⎭
， T n < λ恒成立，求实数λ的最小值.
10
5 【参考答案】
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 46 分. 17.（本小题满分 10 分）
（I ）解：因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
3 4
所以 c os C = , s in C = ，AC=5，
5 5
又因为 A D=4DC ，所以 A D=4，DC=1. 在△BCD 中，由余弦定理， 得 B D
2
= BC 2 + CD 2 - 2BC ⋅ C D cos C
= 32 +12 - 2 ⨯ 3⨯1⨯ 3 = 32
，
5 5
10 所以 B D = (6)
分
5
（II ）在△BCD 中，由正弦定理，得
CD
=
BD
，
sin ∠CBD sin C
1 所以 = ，
sin ∠CBD 4
5
所以 s in ∠CDB =
.……………………10 分
10
18. （本小题满分 10 分） 解：（I ）a=0.015；
…………………………2 分
版权所有：中华资源库
1 2 ⎨
⎩
（II ） S 2
< S 2
.…………………………6 分 （III ）乙种酸奶平均日销售量为：
x = 5⨯ 0.20 +15⨯ 0.10 + 25⨯ 0.30 + 35⨯ 0.15 + 45⨯ 0.25 = 26.5 （箱）.
乙种酸奶未来一个月的销售总量为： 26.5⨯ 30 = 795 （箱）.………………10 分 19. （本题满分 9 分）
解：设甲工厂制造一等奖奖品 x 件，二等奖奖品 y 件，总费用为 z 元. 那么
⎧x + y ≤ 4, ⎪
0 ≤ x ≤ 3, ⎪0 ≤ y ≤ 6; 目标函数为
z = 500x + 400 y + 800(3 - x ) + 600(6 - y ) = -300x - 200 y + 6000 .
作出可行域（图略）
⎧x = 3,
解方程组 ⎨
⎩x + y = 4.
解得 x = 3, y = 1.
所以 z min = -300x - 200 y + 6000 = 4900 . 答：组委会定做该工艺品至少需要花费 4900 元钱. 20. （本小题满分 8 分）
解：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
5 则 B （2,0），C （ ，
2
1 ），D ( , .
2
2 2
令
)
………………4 分 BM CN λ
= = λ，则 M ( + 2, λ), N ( 5 - 2λ, BC CD
2 2 2 2
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∴ A M ⋅ AN = (
+ 2) ⋅ ( - 2λ) + λ= -λ2
- 2λ+ 5 = -(λ+1)2 + 6 2
2 4
∵ 0 ≤ λ≤ 1，∴ A M ⋅ AN ∈[2, 5] . 21.（本小题满分 9 分） 解：（I ）因为 a
= 2a (n ∈ N * ) ，所以 S = a + a = a + 2a = 3a .
n +1
n
2
1
2
1
1
1
因为 a 2 是 S 2 与 1 的等差中项，所以 2a 2 = S 2 +1 ，即 2 ⨯ 2a 1 = 3a 1 +1. 所以 a 1 = 1.
所以{a n }是以 1 位首项，2 位公比的等比数列.
所以 a n = 1⨯ 2n -1 = 2n -1 .………………………………5 分
1
（II ）由（I ）可得：
a n = ( 1 )n -1 . 2
所以 1
= 1 ， 1 = 1 ⋅ 1 (n ∈ N * ) .
a 1 a n +1 1
2 a n
1
所以
是以 1 位首项， a n
2
为公比的等比数列.
⎧ 1 ⎫
所以数列 ⎨ ⎬ 的前 n 项和 T n =
⎩ a n ⎭
1- 1 2n 1- 1
2 = 2(1- 1
) . 2n 1 因为 > 0 ，所以 T n = 2(1-
2n
2
1
< 2 .
2n
若 b < 2 ，当 n > log 2 (
) 时， T n = b .
2 - b
所以若对任意 n ∈ N *
， T < λ恒成立，则λ≥ 2 .
λ
所以实数 的最小值为2.………………………………9分。