高考专题讲座(第8讲)奇偶性与单调性(2)

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高中数学函数的奇偶性与单调性复习

高中数学：函数的奇偶性与单调性复习一、函数奇偶性的复习函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数在输入与输出之间的内在关系。

根据奇偶性的定义，我们可以将函数分为奇函数和偶函数。

奇函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)的函数。

在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握奇偶性的定义，理解奇函数和偶函数的特性。

2、掌握奇偶性的判断方法，能够根据函数的图像和性质判断其奇偶性。

3、了解奇偶性在函数性质中的应用，如对称性、单调性等。

二、函数单调性的复习函数的单调性是函数变化的另一种重要性质，它描述了函数在输入增加或减少时输出的变化情况。

如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上单调递增；如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上单调递减。

在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握单调性的定义，理解单调递增和单调递减的含义。

2、掌握判断函数单调性的方法，能够根据函数的图像和性质判断其单调性。

3、了解单调性在函数性质中的应用，如最值、不等式等。

4、能够利用导数工具判断函数的单调性，并了解导数与单调性的关系。

三、总结函数的奇偶性和单调性是高中数学中重要的概念和性质，它们在函数的性质和应用中扮演着重要的角色。

通过复习，我们要能够深入理解奇偶性和单调性的定义和性质，掌握判断方法，并了解它们在解决实际问题中的应用。

我们还要能够利用导数工具判断函数的单调性，为后续的学习打下基础。

高中数学《函数的单调性》公开课一、教学背景分析函数的单调性是高中数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解函数的概念有着关键性的作用，而且也是解决实际问题中常常需要用到的工具。

因此，通过对函数的单调性的学习，学生可以更好地理解函数的概念和性质，提高解决实际问题的能力。

第8讲函数单调性与奇偶性的应用

第8讲函数单调性与奇偶性的应用知识回顾】()()()()()()()12121212121 y=A I A ,y=I ;y=I .f x x x If x x x f x f x f x x x f x f x ⊆∀∈<⇔<<⇔>、函数的单调性：设函数的定义域为，区间，若在区间上是增函数，则若在区间上是减函数，则()()()()()()()2 y=A ,f x x A f x f x y f x f x f x y f x ∀∈-=⇔=-=-⇔=、函数的奇偶性设函数的定义域为，对于都有函数是偶函数；函数是奇函数。

偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称。

典型例题】例1单调性、奇偶性的图像特征1. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（）A ．增函数，最小值是-5B ．增函数，最大值是-5C ．减函数，最小值是-5D ．减函数，最大值是-52．若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数，在[)0,+∞上是减函数，（1）则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________.（2）则3()4f -和2(1)f a a -+的大小关系为。

（3）若()20f =，则使得()0f x <的x 的取值范围是。

3．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y <0的x 的取值集合为．【规律总结】 1.奇函数在对称的区间上的单调性相同，偶函数相反.2.利用函数单调性比较大小，要在同一单调区间上进行。

3.若()f x 为偶函数，则有()()f x fx =例2利用函数的单调性、奇偶性解不等式1.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 为减函数，且(1)(2)0f a f a -+<，求实数a 的取值范围。

高三数学第二轮专题讲座复习：处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法(2)

特别是两性质
的应用更加突出头头头头头头头头 /wxc/
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本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，
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高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲9页word文档

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。

并统称具有上述情况的函数具有单调性。

注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。

（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。

（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。

（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。

（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。

如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴ ),1(+∞是函数)(2x f 的增区间令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴ )0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。

新高考数学复习考点知识归类与题型专题讲义5 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性

新高考数学复习考点知识归类与题型专题讲义考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性考点知识归类梳理1．函数的单调性(1) 单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：（2）单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：①考察定义域是否关于原点对称．②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的概念：对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数，非零常数T叫做函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．(3)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期，即有f(x＋nT)＝f(x)．(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对x而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f(x)＝C（C为常数）就没有最小正周期．典例剖析题型一函数单调性的判断例1下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________. (填序号)①y＝x＋1 ②y＝(x－1)2③y＝2－x④y＝log0.5(x＋1)答案①解析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.变式训练下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是________. (填序号)① f (x )＝x 12 ② f (x )＝x 3 ③ f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ④ f (x )＝3x答案 ④解析 f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 12，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，①不满足题意．f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，②不满足题意．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 不是增函数，③不满足题意． f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，④满足题意．解题要点确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．题型二函数单调性的应用例2 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________.答案－14≤a ≤0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0. 综合上述得－14≤a ≤0. 变式训练函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 6解析易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6.解题要点 1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．题型三求函数的单调区间(x2－4x＋3)的单调区间．例3求函数y＝log13u与u＝x2－4x＋3的解析令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log13复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．∴函数y＝log13又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．u在(0，＋∞)上是减函数，而函数y＝log13(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为∴y＝log13(－∞，1)．解题要点 1.求单调区间的常用方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单调区间时需注意两点：①最终结果写成区间的形式；②不可忽视定义域．题型四判断函数的奇偶性例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－x ；(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x； (3) f (x )＝3－x 2＋x 2－3.解析 (1) 定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x )＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x 1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．解题要点判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；2.判断f(－x)与f(x)关系. 若f(－x)＝－f(x) 则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)则函数为偶函数．或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)＋f(－x)＝0则函数为奇函数；若f(x)－f(－x)＝0则函数为偶函数．题型五函数的周期性例5已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.答案 2.5解析由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f x＋2＝－1－1f x＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.解题要点关于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a.题型六函数性质的综合运用例6 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23解析偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，进而转化为不等式|2x －1|<13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.当堂练习1. 函数f (x )＝x 3－x 的图象关于________对称.答案原点解析由f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－f (x )，知f (x )是奇函数，则其图象关于原点对称．2．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．答案 0解析∵ f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，∴f(0)＝0，T＝4，∴f(8)＝f(0)＝0.3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．答案 1解析因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(x2－4)的单调递增区间是________．4．函数f(x)＝log12答案(－∞，－2)解析因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．5．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，1)解析由条件⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.课后作业一、填空题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为________．(填序号)①y ＝x ＋1 ②y ＝－x 2 ③ y ＝1x ④ y ＝x |x |答案 ④2．函数y ＝1－1x －1________．(填序号)①在(－1，＋∞)上单调递增 ②在(－1，＋∞)上单调递减③在(1，＋∞)上单调递增 ④在(1，＋∞)上单调递减答案 ③3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是________．(填序号)①y ＝1－x2②y ＝x 2＋x ③y ＝－－x ④y ＝xx －1答案 ④4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0”的是________．(填序号)①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)答案 ①解析满足f x 2－f x 1x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选①.5．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．答案 3解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，又g (x )为偶函数，∴g (－1)＝g (1)，∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，将两式相加得2g (1)＝6，∴g (1)＝3.6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．(填序号)①y ＝x 3 ②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2＋1 ④y ＝2－|x |答案 ②7．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32解析由题意得－2a －12≥2，得a ≤－32.8．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则f (－1)与f (3)的大小关系是________．答案 f (－1)＜f (3)解析依题意得f (3)＝f (1)，且－1＜1＜2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)＜f (1)＝f (3)．9．函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________．答案 [2,4]10．设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝________.答案－1解析由题知，f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1.11．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．二、解答题12．证明函数g (x )＝－2x x －1在(1，＋∞)上单调递增．证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．13．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]．∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.即实数m 的取值范围是[－1,1)．。

高中数学高考重点难点讲解奇偶性与单调性(二)

难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6,又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6},∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－413知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4.［例2］已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m ,使f (cos2θ－3)+f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有θ∈［0,2π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)>f (2m cos θ－4m ),即cos2θ－3>2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2>0.设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t )=t 2－mt +2m －2=(t －2m )2－42m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正.∴当2m <0,即m <0时，g (0)=2m －2>0⇒m >1与m <0不符；当0≤2m ≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0⇒4－22<m <4+22,4－22<m ≤2.当2m >1,即m >2时，g (1)=m －1>0⇒m >1.∴m >2综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－22.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,则a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f (x )=x x a 2112+-⋅ (a ∈R )是R 上的奇函数，(1)求a 的值；(2)求f (x )的反函数f －1(x );(3)对任意给定的k ∈R +,解不等式f －1(x )>lg kx +1.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f (x )满足f (m －sin x )≤f (m 21+－47+cos 2x )对任意x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围. 8.(★★★★★)已知函数y =f (x )=cbx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25. (1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f (2)=0,∴原不等式可化为f ［log 2(x 2+5x +4)］≥f (2).又∵f (x )为偶函数，且f (x )在(0，+∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞,0）上为减函数且f (－2)=f (2)=0∴不等式可化为log 2(x 2+5x +4)≥2 ① 或log 2(x 2+5x +4)≤－2 ② 由①得x 2+5x +4≥4∴x ≤－5或x ≥0 ③ 由②得0＜x 2+5x +4≤41得2105--≤x ＜－4或－1＜x ≤2105+- ④ 由③④得原不等式的解集为{x |x ≤－5或2105--≤x ≤－4或－1＜x ≤2105+-或x ≥0} 歼灭难点训练一、1.解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)= f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0. ∴f (a －3)＜f (a 2－9). ∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f (x )为R 上的奇函数∴f (31)=－f (－31),f (32)=－f (－32),f (1)=－f (－1),又f (x )在(－1，0)上是增函数且－31> －32>－1. ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (32)＜f (1). 答案：f (31)＜f (32)＜f (1) 三、5.解：函数f (x )在(－∞,0）上是增函数，设x 1＜x 2＜0,因为f (x )是偶函数，所以 f (－x 1)=f (x 1),f (－x 2)=f (x 2),由假设可知－x 1>－x 2>0,又已知f (x )(0，+∞)上是减函数，于是有f (－x 1)＜f (－x 2),即f (x 1)＜f (x 2),由此可知，函数f (x )在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a =1.(2)f (x )=1212+-x x (x ∈R )⇒f －-1(x )=log 2xx -+11 (－1＜x ＜1). (3)由log 2xx -+11>log 2k x +1⇒log 2(1－x )＜log 2k ,∴当0＜k ＜2时，不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1};当k ≥2时，不等式解集为{x |－1＜x ＜1}. 7.解：⎪⎩⎪⎨⎧++-≥++-≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+≥-≤+-+≤-1sin sin 4721sin 4 cos 4721sin 4cos 47214sin 222x x m m x m x m x m x m x m 即，对x ∈R 恒成立,⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤∴21233m m m 或 ∴m ∈［23,3］∪{21}. 8.解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )=－f (x ),即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ，当且仅当x =a 1时等号成立，于是22b a =2,∴a =b 2,由f (1)＜25得ba 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2，又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x +x1. (2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x 0,－y 0)也在y =f (x )图象上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =f (x )图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称.。

函数奇偶性及单调性的综合应用课件

定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和单调性，可以更好地理解函数的图像和性质，进而解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数的奇偶性和单调性，可以更高效地求解数学问题和优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶性和单调性，可以建立更精确的数学模型，解决实际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。

墨微教育高中数学专题讲座：函数的奇偶性、单调性及其应用(最新)2018.09.12

函数的奇偶性、单调性及其应用教研组： 2018.09.12函数的奇偶性：1、偶函数：对于函数)(x f y =的定义域 D 内的任意实数a ，都有 ()()f x f x -= ；2、奇函数：对于函数)(x f y =的定义域 D 内的任意实数a ，都有 ()()f x f x -=- ；3、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的__必要非充分___条件，；4、偶函数的图像关于__y 轴对称__对称，奇函数的图像关于坐标原点对称；5、分段函数的奇偶性一定要分段证明。

6、判断函数的奇偶性的方法：（1）定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；常考的复杂的奇、偶函数（2）图象法；（3）性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；（4）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 例题分析一、函数奇偶性的判定例1、条件甲：函数)(x f 满足0)()(=-+x f x f ，条件乙：函数)(x f 是奇函数，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条例2、若()121x f x a =++是奇函数，则实数a = ．例3已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，且其定义域为]2,1[a a -，则a = ，b = ．例4判断下列函数的奇偶性：(1) )1lg()(2x x x f ++= (2) ()x xx f xx -++-+=11log 21212 例5设函数12()sin()sin()f x a x b x αα=⋅++⋅+，其中12,,,a b αα为已知实常数，下列关于函数()f x 的性质判断正确的命题的序号是_______________．①若(0)()02f f π==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；②若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数； ③若()02f π=，则函数()f x 为偶函数；二、函数奇偶性的性质例6设bax f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）．（1）当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数；（2）设)(x f 是奇函数，求a 与b 的值；例7已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .例8若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，试解关于a 的不等式：2(2)(4)0f a f a -+-<．例9设奇函数()x f 的定义域为[]55,-，若当[]50,x ∈时，()x f 的图象如右图,则不等式()0<x f 的解是．例10若)(x ϕ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3三、函数奇偶性的综合应用例11已知(21)f x +为偶函数，则(2)f x 的对称轴是___________例12设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若1)2(>f ，132)2014(+-=a a f ，则a 的取值范围是___________例13函数()3sin(21)f x x x =+-图像的一个对称中心是．例14已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4,ππy x ，R a ∈，且02sin 3=-+a x x ，0cos sin 43=++a y y y ，则)2cos(y x +=例15已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =_____时,0)(=k a f .例16设函数322||2()2||x x x xf x x x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M函数的单调性1．函数的单调性的定义对于给定区间上的函数()y f x =，如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值1x 、2x ，只要有12x x <，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在这个区间上是增函数；对于给定区间上的函数()y f x =，如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值1x 、2x ，只要有12x x <，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在这个区间上是减函数．2．函数的单调区间如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么就说函数()y f x =在这个区间I 上是单调函数，区间I 叫做函数()y f x =的单调区间． 3．用定义证明（判断）函数在指定区间上的单调性证明（判断）函数()y f x =在指定区间A 上的单调性的一般步骤是：① 设元：设12,x x A ∈，且12x x <．目的是使12,x x 在区间A 内，并规定1x 与2x 的大小顺序． ② 作差：12()()f x f x -．目的是将12()()f x f x -与0比较大小．③ 变形：将12()()f x f x -变形至可以与0比较大小为止．常用因式分解或配方进行变形．④ 判号：定120()()00f x f x >⎧⎪-=⎨⎪<⎩三种情况之一．⑤ 定论：根据①和④作出结论． 4．单调性的常见等价命题形式（1）对于任意的0a >，都有()()f x a f x +>，表示()f x 单调递增；对于任意的0a >，都有()()f x a f x +<，表示()f x 单调递减；（2）【斜率】对于任意的12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，表示()f x 单调递增；对于任意的12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-，表示()f x 单调递减．5．复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律，同时特别注意：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此，要研究函数的单调性，必须先求函数的定义域．设(),()y f u u x ϕ==且当x A ∈时，u B ∈，则复合函数[()]()y f x x A ϕ=∈的单调性与内、外层函数的单调性关系为下表所示．6．在研究形如ay x x=+的函数的单调性时，需分两种情况讨论：（1）当0a ≤，在(,0)-∞和(0,)+∞上是增函数；（2）当0a >时，在和[上是减函数，在)+∞和(,-∞上是增函数． 7．关于分段函数的单调性：若函数[][]()(),,,()(),,,g x x a b f x a b c d h x x c d ⎧∈⎪=<≤<⎨∈⎪⎩，)(x g 在区间[]b a x ,∈上是增函数，)(x h 在区间[]d c x ,∈上是增函数，则)(x f 在区间[][]d c b a ,, 上不一定是增函数，若使得)(x f 在区间[][]d c b a ,, 上一定是增函数，需补充条件：)()(c h b g ≤． 8．奇偶性与单调性的联系：若()f x 是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的．例题分析一、函数单调性的证明（判断）例1讨论函数21()2f x x x=+在0x >上的单调性．例2写出函数20.5()log (23)f x x x =--的递减区间．例3（1）已知函数3()f x x ax =-在[4,)+∞上为增函数，求a 的取值范围．（2）已知函数2()log ()a f x ax x =-在区间[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围．例4已知函数()ax x x f -+=12，其中0>a ．（1）若)1()1(2-=f f ，求a 的值；（2）证明：当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上为单调函数；（3）若函数)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，求a 的取值范围．二、函数奇偶性与单调性的联系例5已知函数2()f x x x =-，若31log (2)1f f m ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，则实数m 的取值范围是．例6已知,a b 为正实数，函数3()2x f x ax bx =++在[]0,1上的最大值为4，则()f x 在[]1,0-上的最小值为．例7已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()11,-上的奇函数，其中a 、b ∈R 且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在区间()11,-上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；（3）解关于t 的不等式()()210f t f t -+<．三、分段函数的单调性问题例8已知函数(31)4,1,()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，求实数a 的取值范围．例10已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ．若恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．（1）已知函数ax x x f +-=2)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，求实数m 的取值范围．四、函数单调性的应用例11已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足()()()f xy f x f y =+，(2)1f =，解不等式()(2)3f x f x -->．例12设函数()()()101x x f x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式()()240f x tx f x ++-<恒成立的的取值范围；（3）若()312f =，且()()222x x g x a a mf x -=+-，在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．例13设x ∈R ，若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则(ln 2)f 的值等于．例14给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②x x x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为．（写出所有满足条件的函数的序号）例15已知实数x ，y 满足ππ44x -≤≤，ππ44y -≤≤．若23sin 20x x ⋅+-=，9sin cos 10y y y +-=，则cos(2)x y -的值为．例16已知函数a a x x x f --=||)(，x ∈R ．（1）当1=a 时，求满足x x f =)(的x 值；（2）当0>a 时，写出函数)(x f 的单调递增区间；（3）当0>a 时，解关于x 的不等式0)(<x f （结果用区间表示）．。

高考数学复习知识点讲解教案第8讲函数的奇偶性、对称性与周期性

最小的正数
常用结论1.奇（偶）函数定义的等价形式：（1）为偶函数；（2）为奇函数.2.设的周期为，对的定义域内任一自变量的值，有如下结论：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则 .
3.对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期；（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期 .
［思路点拨］（1）首先确定各函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称,若对称,再根据奇、偶函数的定义判断函数的奇偶性,若不对称,则函数为非奇非偶函数.
[解析] 对于A，由，得，则的定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，A不符合题意；对于B，的定义域为，且，故为偶函数，B符合题意；对于C，因为在上恒成立,所以的定义域为，且 ,所以为奇函数，C不符合题意；对于D，令解得或,故函数的定义域为,关于原点对称, ,又,所以为奇函数，D不符合题意.故选B.
第8讲函数的奇偶性、对称性与周期性
课前基础巩固
课堂考点探究
作业手册（A）
作业手册（B）
教师备用习题
高考数学复习知识点讲解教案
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.
◆ 知识聚焦 ◆
1.函数的奇偶性
偶函数
奇函数
定义
一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且________________，那么函数就叫作偶函数
[总结反思]（1）注意函数周期的常见表达式的应用.
（2）根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式（或函数值）得到整个定义域内的解析式（或相应的函数值）.（3）在解决具体问题时,要注意结论“若是函数的周期,则且也是函数的周期”的应用.

第8讲正切函数图像及其性质(讲义)解析版

第8讲正切函数图像及其性质知识梳理1、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈，且()2x k k Z ππ≠+∈的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}2x x k k Z ππ≠+∈，（2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞当x 从大于，时，tan x →-∞.（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ()z k k ∈+2ππ2π+π−→−k x ()z k k ∈+ππ2ππk x +−→−2x yyx（5）单调性：在开区间(,),22k k k Zππππ-++∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kk Zπ⎛⎫∈⎪⎝⎭2、余切函数的图象：⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-==2tan2tancotππxxxy即将xy tan=的图象，向左平移2π个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得xy cot=的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}x x k k Zπ≠∈，（2）值域：R（3）周期性：Tπ=（4）奇偶性：tan()tanx x-=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),k k k Zπππ+∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭例题解析一、正切函数的图像例1．（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求函数f (x )的最小正周期､对称中心；（2）作出函数f (x )在一个周期内的简图.【答案】（1）最小正周期3π，对称中心是3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()f x 的对称中心.（2）根据函数的解析式得到()f x 的图象与x 轴的交点坐标为(),0π，图象上的7,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可. 【详解】（1）()tan 33x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，313T ππ==，令332x k ππ-=，k Z ∈，解得32x k ππ=+，k Z ∈，故对称中心为3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. （2）令033x π-=，解得x π=，令334x ππ-=，解得74x π=，令334x ππ-=-，解得4x π=，令332x ππ-=，解得52x π=，令332x ππ-=-，解得2x π=-，所以函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象与x 轴的一个交点坐标为(),0π，图象上的点有7,14π⎛⎫⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，在这个5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为2x π=-和52x π=，从而得到函数()f x 在一个周期5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的简图(如图).【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数()sin cos xf x x=．（1）求函数()f x 的定义域；（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性；（3）在[],ππ-上作出函数()f x 的图象．【答案】（1）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（2）奇函数,见解析；(3)见解析【分析】（1）根据cos 0x ≠,求解即可；（2）由（1）可知()f x 的定义域关于原点对称,判定()f x -和()f x 的关系,从而判定奇偶性；（3）将()f x 写为分段函数,画出图象即可【详解】（1）由cos 0x ≠,得2x k ππ≠+（k Z ∈）,所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sin cos cos x xf x f x xx ---===--,所以()f x 是奇函数. （3）()tan ,22tan ,22x x f x x x x ππππππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--≤<-<≤⎪⎩或,所以()f x 在[],ππ-上的图象如图所示,【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象. 例3.作函数||y tan x =的图像. 【难度】★★ 【答案】如图【解析】||y tan x =等价于 0,2()0,2tanx x x k y k Z tanx x x k ππππ⎧≥≠+⎪⎪=∈⎨⎪-<≠+⎪⎩，图像如图所示．例4.求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图．【难度】★★★【答案】定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈ ，周期：T π=，单调增区间：[,)2k k πππ+（1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan x >【难度】★ 【答案】（1）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,2,πππ, （2）{}z k k x x ∈=,π （3）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-,,2πππ, （4）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++，ππππ2,3例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合：（1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥ 【难度】★★ 【答案】（1） [,),42k k k Z ππππ-+∈（2）[,),32k k k Z ππππ++∈例7.比较下列两数的大小（1）2tan7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13tan()5π- （3）81cot 与191cot 【难度】★ 【答案】（1）2tan7π<10tan 7π （2）6tan 5π>13tan()5π- （3）81cot <191cot 例8.函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有（）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个【难度】★★【答案】B【巩固训练】1．作出函数|tan |y x =的图象. 【难度】★★ 【答案】如图2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________. 【难度】★★ 【答案】(,],2628k k k Z ππππ-+∈3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小【难度】★【答案】tan413tan -=⎪⎭⎫⎝⎛-π 4π，52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-，⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y内单调递增. ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 4．若()tan()4f x x π=+，试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________. 【难度】★★【答案】(1)(1)(0)f f f <-<5.（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x . （1）求函数f (x )的最小正周期，对称中心；（2）作出函数()f x 在一个周期内的简图．【答案】（1）2T π=，2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈；（2）图象见解析【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的对称中心. （2）首先根据函数的解析式得到数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=，再画出函数的图象即可.【详解】（1）()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，212T ππ==.令232ππ-=x k ，k Z ∈，解得23ππ=+x k ，k Z ∈，故对称中心为2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈.（2）令023x π-=，解得23x π=，令234x ππ-=，解得76x π=，令234x ππ-=-，解得6x π=，令232x ππ-=，解得53x π=，令232x ππ-=-，解得3x π=-，所以函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=. 故函数在一个周期内的函数图象为：【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.二、正切函数的定义域及值域1、正切函数的定义域例1.求下列函数的定义域（1）tan 2y x = （2）y = （3）cos tan y x x =⋅ （4）11tan y x=+ 【难度】★ 【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,24ππ （2）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,3,3ππππ （3）,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且（4）,,42x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭且例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（）A ．22tan21tan 2xy x =- B ．1cot y x = C ．sin 21cos 2x y x =+ D ．1cos 2sin 2x y x -=【答案】C【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与()f x 相同的函数.【详解】()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， A. 22tan 21tan 2x y x =-，因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，所以,24,22x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，定义域为{|22x x k ππ≠±或2,}x k k Z ππ≠+∈，与()tan f x x =定义域不相同； B. 1cot y x =，因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩，所以,2,x k k Z x k k Zπππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩，所以定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，与()tan f x x =定义域不相同； C. sin 21cos 2x y x =+，因为1cos20x +≠，所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，又因为2sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x x y x x x ===+，所以与()tan f x x =相同； D. 1cos 2sin 2x y x-=，因为sin 20x ≠，所以2,x k k Z π≠∈，定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，与()tan f x x =定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 【分析】解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩所以x ∈[1,)(,)(,1]4444ππππ---. 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 故答案为[1,)(,)(,1]4444ππππ---【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.例4．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数()()lg tan 1f x x =-()f x 的定义域是____.【答案】3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由意义得出2tan 1090x x ->⎧⎨-≥⎩，解出该不等式组即可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】函数()()lg tan 1f x x =-+2tan 1090x x ->⎧∴⎨-≥⎩， ()4233k x k k Z x ππππ⎧+<<+∈⎪∴⎨⎪-≤≤⎩，3,,4242x ππππ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，函数()y f x =的定义域为3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.例5.求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域．【难度】★★【答案】(,),32k k k Z ππππ++∈【解析】tan 2cos 0,2x x x k k Z ππ⎧>⎪⎪≥⎨⎪⎪≠+∈⎩ 由此不等式组作图： ∴(,),32k k k Z ππππ++∈ 【巩固训练】1．函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为__________ 【难度】★【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是（）.A 2π=x .B 2π-=x .C 4π=x .D 8π=x【难度】★【答案】D3．求下列函数的定义域(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅- ．【难度】★★★【答案】见解析解：等价转化为求一个不等式组的解 (1)sin 0tan 0,()2x x x k k Z ππ⎧⎪≥⎪≠⎨⎪⎪≠+∈⎩(2,2),,()2x k k x k k Z πππππ⇒∈+≠+∈ (2) 2cos 10sin 0,()42x x x k k Z πππ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪+≠+∈⎩⇒(2,2)33(2,2)(2,2)224x k k x k k k k x k πππππππππππππ⎧∈-+⎪⎪⎪∈+++⎨⎪⎪≠=⎪⎩(2,2)(2,2),()443x k k k k k Z πππππππ⇒∈+++∈．注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．2、正切函数的值域与最值例1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.【答案】③④【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.【详解】()sin 2sin 1cos 2cos 01cos 2cos x x f x x x x x-=∴+-≠+- 22cos cos 0cos 0x x x ∴-≠∴≠且1cos 2x ≠，定义域是,,23x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠±∈⎨⎬⎩⎭； ()sin 2sin sin (2cos 1)tan 1cos 2cos cos (2cos 1)x x x x f x x x x x x --===+--所以()f x ≠()f x 最小正周期是π；()f x 是奇函数；()f x 在定义域上不具有单调性故答案为：③④【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.例2．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π；（2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ．【答案】（1）(1,1)-；（2）13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）由定义域可得()tan ,0x ∈-∞，令tan t x =则(),0t ∈-∞，所以1211t 1t y t +-==-+--，再根据幂函数的性质计算可得；（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π，所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞，所以()1,1t -∈-∞-，()11,01t ∈--，()2210,t -∈-， ()211,11t --+∈--，即()1,1y ∈- （2）因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦令tan m x =，m ⎡⎤∈⎣⎦所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减， 31324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()13f =，(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题. 例3．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）tan ,,626⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x πππ；（2）2tan 1,,1tan 46+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x ππ；（3）2sec 2tan 1,,33⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦y ππθθθ．【答案】（1）[；（2）12⎛- ⎝⎭；（3）[1,5+ 【分析】（1）首先令6t x π=+，得到tan y t =，再根据tan y t =的单调性即可得到函数的值域.（2）首先令tan t x =，得到213211t y t t+==-+--，再根据函数的单调性即可得到值域.（3）首先将函数化简为2tan 2tan 2y θθ=++，令tan t θ=，得到222y t t =++，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】（1）令6t x π=+，因为,26x ππ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又tan y t =在,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以所求函数值域为[．（2）令tan t x =，因为,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ，所以⎛∈- ⎝⎭t ．212(1)332,1,1113⎛+-+===-+∈- ---⎝⎭t t y t t t t ．因为1y t =-为减函数，所以31y t =-在⎛∈- ⎝⎭t 为增函数，即：321=-+-y t在⎛∈- ⎝⎭t 上为增函数，所以min 31222y =-+=-，max 522y +=-=.所以函数的值域为12⎛- ⎝⎭．（3）222221sin cos 2tan 1=2tan 1tan 2tan 2cos cos y θθθθθθθθ+=++++=++．令tan ,,33⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦t ππθθ，所以[∈t ．2222(1)1,[=++=++∈y t t t t ．当1t =-时，min 1y =，当t =时，max 5y =+所以函数的值域为[1,5+．【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.例4.函数2tan ,0,124y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为【难度】★ 【答案】[]32,324- 例5.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；. 【难度】★★ 【答案】4x π=-时，min 1y =； 4x π=时，max 5y =例6.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值. 【难度】★ 【答案】323-=a 例7.求函数252tan 4tan 3y x x =-+的值域. 【难度】★★【答案】(0,5] 【巩固训练】1．求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域【难度】★★【答案】[1]-+2．求函数2)1(tan 12-+=x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合. 【难度】★★【答案】2max =y ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x x ,4ππ3．已知2tan 2tan 3y x x =-+，求它的最小值【难度】★★【答案】当tan 1x =时，min 2y =4．函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________ 【难度】★ 【答案】[)5,-+∞【解析】令tan t x =则转化为t 的二次函数求最值。

高考数学一轮复习函数的单调性、奇偶性、周期性-教学课件

提示:不能.如 f(x)= 1 及 f(x)=tan x. x
质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间) 有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间 (减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1) 和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞).
义当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),
f(x)在区间 D 上是增函数
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,
解析:(1)f(-1)=-f(1)=-[g(1)-4]=-(2-4)=2. (2)函数 f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 因此 f(x)为奇函数,故选 A. 答案:(1)2 (2)A
考点四函数的周期性及应用
【例 4】已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=
y=
1 2
x
,定义域为 R,在(0,+∞)上递减,y=x+
1 x
,定义域为(-∞,0)∪
(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选 A.
3.若函数 f(x)=ax+1 在 R 上递减,则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,2) (C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:由 f(x)在 R 上递减知 a<0,所以 g(x)在 (-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减.故选 B.

第08讲函数的奇偶性及周期性(解析版)

第8讲函数的奇偶性及周期性【基础巩固】1．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且 (2)()f x f x += ，当()01x ∈，时，()31x f x =-，则3(log 4)f =（） A ．54-B ．54C ．59-D ．59【答案】A 【解析】(2)()f x f x +=，()f x ∴是周期为2的函数3334(log 4)(log 42)(log )9f f f ∴=-=又()f x 是定义在R 上的奇函数 333499(log )(log )(log )944f f f ∴=-=-当()01x ∈，时，()31x f x =- 39log 43995(log )(31)(1)444f ∴-=--=--=-故选：A2．（2022·重庆南开中学模拟预测）函数()2sin 1xf x x =+的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：()f x 的定义域为R ，()()2sin 1xf x f x x --==-+，所以()f x 为奇函数，排除CD 选项.当()0,x π∈时，sin 0x >，()0f x >，由此排除B 选项. 故选：A3．（2022·海南海口·二模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()()2g x x f x =-的图象关于直线2x =对称，若()11f -=-，则()3g =（） A ．5 B ．1C ．1-D ．5-【答案】B【解析】因为()g x 的图象关于2x =对称，则()()22g x x f x +=+是偶函数，()()()222g x x f x x f x -=--=-，且()()22g x x f x +=+，所以，()()22x f x x f x -=+对任意的x ∈R 恒成立，所以，()()22f x f x -=+，因为()11f -=-且()f x 为奇函数，所以，()()()()3212111f f f f =+=-=--=，因此，()()()332311g f f =-==. 故选：B.4．（2022·江苏江苏·二模）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，f (5.5)＝2，g (x )＝(x －1)()f x .若g (x ＋1)是偶函数，则5()0.g -＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3【答案】D【解析】()1g x +为偶函数，则()g x 关于1x =对称，即()()2g x g x =-，即()()()()112x f x x f x -=--，即()()20f x f x +-=，()f x ∴关于()1,0对称，又f (x )是定义域为R 的偶函数，∴()()()22f x f x f x =--=--，∴f (x －4)＝f [(x －2)－2]＝－f (x －2)＝－[－f (x )]＝f (x )，即f (x －4)＝f (x )，()f x ∴周期为4，∴()()()()5.5 1.5 2.5 2.52f f f f ==-==，()()()0.5 2.5 1.5 2.53g g f ∴-===.故选：D.5．（2022·湖南·雅礼中学二模）函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，则（） A ．()f x 是奇函数 B ．()3f x +是偶函数 C ．()30f = D ．()()3f x f x =+【答案】B【解析】因为()1f x +是奇函数，∴()()11f x f x +=--+， ∴()1f x -是偶函数，∴()()11f x f x -=--，即()()13f x f x +=--，()()()()1340f x f x f x f x ∴--+=--⇒++=，则()()()84f x f x f x +=-+=，即周期为8；另一方面()()()511f x f x f x +=-+=-+， ∴()()33f x f x +=-+，即()3f x +是偶函数. 故选：B.6．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）函数()21y f x =-是R 上的奇函数，函数()y f x =图像与函数()y g x =关于y x =-对称，则()()g x g x +-=（） A ．0 B ．-1C ．2D ．1【答案】C【解析】函数()21y f x =-是R 上的奇函数，则()()2121f x f x =---- 设21x t -=，则()()2f f t t =---，则函数()y f x =的图像关于点()1,0-对称函数()y f x =图像与函数()y g x =关于y x =-对称，所以函数()y g x =的图像关于()0,1对称，所以()()2g x g x +-= 故选：C7．（2022·重庆八中模拟预测）定义域为R 的偶函数()f x ，满足(0)1f =-．设()(1)()g x x f x =-，若(1)g x +是偶函数，则(2022)g =（）A ．2022-B ．2021-C ．2021D ．2022【答案】C【解析】∴()(1)()g x x f x =-，∴(()1)1x g f x x =++，又()1g x +为偶函数， ∴()1(1)x x xf xf --=++，即()(11)x x f f --=++， ∴(2)()f x f x +=--，又()f x 是定义域为R 偶函数， ∴()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=， ∴()f x 周期为4，又(0)1f =-， ∴(2022)(2)(0)1f f f ==-=， ∴2021(2022)202(20212)f g ==. 故选：C.8．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知定义在D 的上函数()f x 满足下列条件：∴函数()f x 为偶函数，∴存在00x >，()f x 在0[,)x +∞上为单调函数. 则函数()f x 可以是（） A ．2ln(1)()x x f x ++=B ．()sin(2π)(22)x x f x x -=-C ．()3log (01)a f x x ax a =-<<D ．2()ln(e )ln(e )f x x x x =+-+【答案】C【解析】对于A ，()f x 定义域为{}0x x ≠，222lnln(1)1()()x x x x f x f x -++++-===-，即()f x 为奇函数，A 不是；对于B ，()f x 定义域为R ，由()0f x =得(Z)2k x k =∈，即对任意的正整数k ，2k都是()f x 的零点，显然不能满足条件∴，B 不是；对于C ，()3log a f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x a ≠()f x 定义域为{|0x x ≠且}x a ≠±，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，满足条件∴，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得3a x =，令3()u g x x ax ==-，当x a ()0g x '>，即()g x 在(,)a +∞上为增函数，而01a <<，log a u 在()0,∞+上为减函数，因此()f x 在(,)a +∞上为减函数，即存在00x a ，()f x 在0[,)x +∞上为减函数，满足条件∴，C 是；对于D ，()f x 定义域为(e,e)-，不能满足条件∴，D 不是. 故选：C9．（多选）（2022·辽宁沈阳·三模）已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25xf xg x x x +=--，则下列说法正确的有（）A ．()01g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．()1101g x -关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1【答案】ACD【解析】由题，将x -代入()()2022sin 25+=--x f x g x x x 得()()()()2022sin 25x f x g x x x --+-=----，因为(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以可得()()2022sin 25x f x g x x x --+=++，将该式与题干中原式联立可得()202220222x xg x -+=. 对于A ：()0020222022012g -+==，故A 正确；对于B ：由()01g =，()1120222022112g -+=>，所以()g x 不可能在在[]0,1上单调递减，故B 错误；对于C ： ()g x 为偶函数，关于y 轴对称，(1101)-g x 表示()g x 向右平移1101个单位，故(1101)-g x 关于1101=x 对称，故C 正确；对于D ：根据基本不等式()112022122022xx g x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当0x =时取等，故D 正确. 故选：ACD10．（多选）（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()2f x x =-，设函数()()226x g x e x --=-<<，则正确的是（）A ．函数()f x 图像关于直线2x =对称B ．函数()f x 的周期为6C ．()71f =-D ．()f x 和()g x 的图像所有交点横坐标之和等于8 【答案】AD 【解析】()()22f x f x +=-，∴函数()f x 图像关于直线2x =对称，故A 正确；又()f x 为偶函数，()()22(2)f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 的周期为4，故B 错误；由周期性和对称性可知，()7(3)(1)1f f f ===，故C 错误；做出()f x 与()g x 的图像，如下：由图可知，当26x -<<时，()f x 与()g x 共有4个交点，()f x 与()g x 均关于直线2x =对称，所以交点也关于直线2x =对称，则有1234+248x x x x ++=⨯=，故D 正确. 故选：AD.11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数()3()22x xf x x a -=⋅+是奇函数，则=a __________. 【答案】1【解析】设()22x x g x a -=⋅+，因为()3()f x x g x =⋅是奇函数，所以()()33()()g x x f x x f x x g -=-=-=-⋅⋅-，即()()2222x x x x g x g x a a ---=⇒⋅+=⋅+，整理得到()(1)220x xa ---=，故1a =.故答案为：1.12．（2022·山东烟台·三模）若()()()2ln 1f x g x x =⋅-为奇函数，则()g x 的表达式可以为()g x =___________.【答案】x ，sin x ，1x，3x ，等（答案不唯一）【解析】由()()()2ln 1f x g x x =⋅-为奇函数，则有()()f x f x -=-即()()()()22ln 1ln 1g x x g x x -⋅-=-⋅-恒成立则()()g x g x -=-，则()g x 为奇函数则()g x 的表达式可以为()g x x =或()1g x x=或()sin g x x =等故答案为：x ，sin x ，1x，3x ，等 13．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有(8)()(4)f x f x f +=+，且函数(2)f x -的图像关于直线2x =对称，(2)3f =，则(2022)f =_______.【答案】3【解析】因为函数(2)f x -的图像关于直线2x =对称，所以函数()f x 的图像关于直线0x =对称，即函数()f x 是偶函数，则有()()f x f x =-；因为对任意x ∈R ，都有(8)()(4)f x f x f +=+，令4x =-，得()()()()()4844440f f f f f -+=-+⇒-==，所以对任意x ∈R ，都有()(8)()(4)f x f x f f x +=+=，即函数()f x 的周期为8，则()()()()()()202225286668223f f f f f f =⨯+==-=-==，故答案为：3.14．（2022·山东·胜利一中模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意R x ∈恒成立，又函数()9f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022f =，则(45)f =_________．【答案】2022-【解析】因为函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意R x ∈恒成立，所以令1x =-，即(2)(2)9(2)f f f =+，解得(2)0f =，所以(3)(1)f x f x +=-对任意R x ∈恒成立，又函数()9f x +的图象关于点(9,0)-对称，将函数()9f x +向右平移9个单位得到()f x ，所以()f x 关于点(0,0)，即()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x =--，又(3)(1)f x f x +=-对任意R x ∈恒成立，令3x x =--，得()(4)f x f x -=+，即()(4)f x f x -=+，再令4x x =+，得(+4)(8)f x f x -=+，分析得()(8)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为8，因为(1)2022f =，所以在(3)(1)f x f x +=-中，令0x =，得(3)(1)2022f f ==，所以()()()(45)683332022f f f f =⨯-=-=-=-. 故答案为：2022-.15．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式. 【解】依题意，函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()()()11()()1111()()11f x g x f x g x x x f x g x f x g x x x ⎧⎧+=+=⎪⎪⎪⎪--⇒⎨⎨⎪⎪-+-=-+=⎪⎪----⎩⎩ 解得()2()11x f x x x =≠±-，()()2111g x x x =-≠±. 16．（2022·北京·高三专题练习）设a 为实数，已知函数()()1R 21xaf x x =-∈+是奇函数． (1)求a 的值；(2)判断()f x 在R 上的单调性，并给出证明；(3)解关于x 的不等式()()21540f x x f x -++-<．【解】(1)解：因为函数()()1R 21x af x x =-∈+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()()222212121221xxx x x x a a a a f x f x --⎡⎤⋅⎢⎥-+=--=-+++++⎢⎥⎣⎦()1222021x xa a +=-=-=+，解得2a =.(2)证明：由（1）可得()2121xf x =-+，则函数()f x 为R 上的增函数，理由如下：任取1x 、2R x ∈且12x x <，则21220x x >>，则()()()()()121212122222211021212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x <，因此，函数()f x 为R 上的增函数.(3)解：因为函数()f x 为R 上的奇函数且为增函数，由()()21540f x x f x -++-<可得()()()215445f x x f x f x -+<--=-，则2145x x x -+<-，即2560x x -+<，解得23x <<，因此，不等式()()21540f x x f x -++-<的解集为()2,3.【素养提升】1．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知(),()y f x x R =∈是奇函数，当0x <时，312()8log ()f x x x =+-，则2(|log |)0f x <的解集为（）A ．2[(1,2] B ．2(2) C ．2((1,2) D ．2(2,)+∞ 【答案】C【解析】因为(),()y f x x R =∈是奇函数，当0x <时，312()8log ()f x x x =+-；所以当0x =时，()0f x =；当0x >时，则0x -<，所以()312()8log f x x x -=-+.因为()y f x =是奇函数，所以()()312()8log f x f x x x -=-=-+，所以()3128log f x x x =-.即当0x >时，()3128log f x x x =-.综上所述：()()3123128log ,00,08log ,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪⎪==⎨⎪->⎪⎩. 令2log t x =，则2log 0t x =≥，所以不等式2(|log |)0f x <可化为：()00f t t <⎧⎨≥⎩. 当0=t 时，()0f t =不合题意舍去.当0t >时，对于()3128log f x x x =-. 因为3y x =在()0,+∞上递增，12log y x =-在()0,+∞上递增，所以()3128log f x x x =-在()0,+∞上递增.又3121118log 0222f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由()00f t t <⎧⎨≥⎩可解得：102t <<，即210log 2x <<，解得：2((1,2)x ∈.故选：C2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（） A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D3．（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R 上的单调递增的函数()f x 满足：任意x ∈R ，有()()112f x f x -++=，()()224f x f x ++-=，则（）A ．当x ∈Z 时，()f x x =B ．任意x ∈R ，()()f x f x -=-C ．存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x Tf xD ．存在非零实数c ，使得任意x ∈R ，()1f x cx -≤ 【答案】ABD【解析】对于A ，令1x t =-，则()()22f t f t +-=，即()()22f x f x +-=，又()()224f x f x ++-=，()()()()()242422f x f x f x f x ∴+=--=--=+；令0x =得：()()112f f +=，()()224f f +=，()11f ∴=，()22f =，则由()()22f x f x +=+可知：当x ∈Z 时，()f x x =，A 正确；对于B ，令1x t =+，则()()22f t f t -++=，即()()22f x f x -++=，()()()()()2224222f x f x f x f x ∴-=-+=---=--，由A 的推导过程知：()()22f x f x -=-，()()()22f x f x f x ∴-=--=-，B 正确；对于C ，()f x 为R 上的增函数，∴当0T >时，x T x +>，则()()f x T f x +>；当0T <时，x T x +<，则()()f x T f x +<，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x Tf x ，C 错误；对于D ，当1c =时，()()f x cx f x x -=-；由()()112f x f x -++=，()()224f x f x ++-=知：()f x 关于()1,1，()2,2成中心对称，则当a Z ∈时，(),a a 为()f x 的对称中心；当[]0,1x ∈时，()f x 为R 上的增函数，()00f =，()11f =，()[]0,1f x ∴∈，()1f x x ∴-≤；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，()1f x cx -≤，D 正确. 故选：ABD.4．（多选）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）若()f x 图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[],A B 称为函数()f x 的“友情点对”（点对[],A B 与[],B A 视为同一个“友情点对”）.若()e ex x x f x x =+，且20212022a =，20222021b =，()()cos Z c k k π=∈，则（）A ．()f x 有无数个“友情点对”B ．()f x 恰有2个“友情点对”C ．()()()f a f b f c <<D ．()()()f b f c f a << 【答案】AD【解析】因为R x ∈， ()()e e e e x x x x x x f x x x f x ---⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 是奇函数，所以()f x 图像上存在无数对A ，B 关于原点对称，即()f x 有无数个“友情点对”；又因为()2e 111()e e ,e e x x x x xx x x f x x x R ++--'=+=+∈，令()2()e 11x g x x x =++-，则()2()e 321x g x x '=+-，令()2()e 321x h x x =+-，则()2()e 84x h x x '=+，当0x ≥时，()0h x '≥，所以()h x 是增函数，()()020h x h ≥=>，即()0g x '>，所以当0x ≥时()g x 是增函数，()(0)20g x g ≥=>，所以()0f x '>，()f x 在0x ≥上是增函数，因为()f x 是奇函数，所以()f x 在R x ∈上是增函数，因为202120222021a =>，指数函数2021x y =为增函数，所以1a >，因为020221202220212022b =<=<，指数函数2022x y =为增函数，所以01b <<，由()()cos Z c k k π=∈可得1c =，故b c a <<所以()()()f b f c f a <<.故选：AD.5．（2022·江苏·高三专题练习）已知奇函数()f x 在区间(),0∞-上是增函数，且()21f -=-，()10f =，当0x >，0y >时，都有()()()f xy f x f y =+，则不等式()3log 10f x +<的解集为______．【答案】()()1114,22,1,1,242⎛⎫⎛⎫--⋃--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】不等式3log |()1|0f x +<等价为0|()1|1f x <+<，即0()11f x <+<或1()10f x -<+<，即1()0f x -<<或2()1f x -<<-，()f x 是奇函数，且(2)1,(1)0f f -=-=，(2)1,(1)0f f ∴=-=，故11(1)(2)(2)()022f f f f =⨯=+= ，则1()12f =- ， 11111()()()()242222f f f f =⨯=+=-， (4)(4)(2)(2)2f f f f -=-=--=- ，又奇函数()f x 在区间(,0)-∞上是增函数，故()f x 在区间(0,)+∞上也是增函数，故1()0f x -<<即(2)()(1)f f x f -<<-或1()()(1)2f f x f <<，此时1(2,1)(,1)2x ∈-- ；而2()1f x -<<-即(4)()(2)f f x f -<<- 或11()()()42f f x f <<，此时11(4,2)(,)42x ∈-- ；故不等式()3log 10f x +<的解集为()()1114,22,1,1,242⎛⎫⎛⎫--⋃--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：()()1114,22,1,1,242⎛⎫⎛⎫--⋃--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．（2022·山东潍坊·一模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，且(1)f x +为偶函数，当01x ≤≤时，()f x x =x 的方程|()|(||)f x f x ax +=有4个不同实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】2222(,)(,)5995--⋃ 【解析】依题意，()()R,x f x f x ∀∈-=-，当01x ≤≤时，()f x x =10x ≤≤-时，()()f x f x x =--=--又(1)f x +为偶函数，即(1)(1)-+=+f x f x ，即()(2)f x f x =-，当12x ≤≤，即021x ≤-≤时，()2f x x =-，当23x ≤≤，即120x -≤-≤时，()(2)f x x =---因此，当[1,3]x ∈-时，,10,01()2,122,23x x x x f x x x x x ⎧---≤<⎪≤<⎪=⎨-≤<⎪--≤≤⎩，显然有(2)()()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=--=-，于是得()f x 是周期为4的周期函数，当02x ≤≤时，()01f x ≤≤，当24x ≤≤时，()10f x -≤≤，令()|()|(||)g x f x f x =+，则()|()|(||)|()|(||)|()|(||)()g x f x f x f x f x f x f x g x -=-+-=-+=+=，函数()g x 是R 上的偶函数，()y g x =的图象关于y 轴对称，讨论0x ≥的情况，再由对称性可得0x ≤的情况，当0x ≥时，()|()|(||)|()|()g x f x f x f x f x =+=+，则02x ≤≤时，()2()g x f x =，当24x ≤≤时，()0g x =，当[4,44],N x k k k ∈+∈时，函数()y g x =的图象、性质与[0,4]x ∈的的图象、性质一致，关于x 的方程|()|(||)f x f x ax +=有4个不同实根，即直线y ax =与()y g x =的图象有4个公共点，当0x ≥时，函数()y g x =的部分图象如图，观察图象知，当直线y ax =过原点(0,0)及点(9,2)，即29a =时，直线29y x =与()y g x =的图象有5个公共点，当直线y ax =过原点(0,0)及点(5,2)，即25a =时，直线25y x =与()y g x =的图象有3个公共点，当直线29y x =绕原点逆时针旋转到直线25y x =时，旋转过程中的每个位置的直线y ax =(不含边界)与()y g x =的图象总有4个公共点，于是得，当0x ≥时，关于x 的方程|()|(||)f x f x ax +=有4个不同实根，有2295a <<，由对称性知，当0x ≤时，关于x 的方程|()|(||)f x f x ax +=有4个不同实根，有2259a -<<-，所以实数a 的取值范围是：2222(,)(,)5995--⋃. 故答案为：2222(,)(,)5995--⋃。

高中数学复习专题讲座奇偶性与单调性

高中数学复习专题讲座奇偶性与单调性处理具有单调性、奇偶性函数咨询题的方法〔2〕高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样专门是两性质的应用更加突出本节要紧关心考生深刻明白得奇偶性、单调性的定义，把握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象关心考生学会如何样利用两性质解题，把握差不多方法，形成应用意识重难点归纳(1)判定函数的奇偶性与单调性假设为具体函数，严格按照定义判定，注意变换中的等价性假设为抽象函数，在依靠定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性同时，注意判定与证明、讨论三者的区不，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一复合函数的奇偶性、单调性咨询题的解决关键在于既把握复合过程，又把握差不多函数(2)加强逆向思维、数形统一正反结合解决差不多应用题目(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析咨询题和解决咨询题的能力(4)应用咨询题在利用函数的奇偶性和单调性解决实际咨询题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把咨询题中较复杂、抽象的式子转化为差不多的简单的式子去解决专门是往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值咨询题典型题例示范讲解例1函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减命题意图此题要紧考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依靠奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析此题对思维能力要求较高，假如〝赋值〞不够准确，运算技能只是关，结果专门难获得技巧与方法关于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；关于(2)，判定21121x x x x --的范畴是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyyx ++1), 令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x xx --)=f (0)=0 ∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,那么f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数例2设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1) 求a 的取值范畴，并在该范畴内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间命题意图此题要紧考查函数奇偶性、单调性的差不多应用以及对复合函数单调性的判定方法知识依靠逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域咨询题错解分析逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱技巧与方法此题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的摸索与认识，通过此题会解组合题类，把握审题的一样技巧与方法解设0<x 1<x 2,那么－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1), ∴f (x 2)<f (x 1) ∴f (x )在(0，+∞)内单调递减.032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得 2a 2+a +1>3a 2－2a +1 解之，得0<a <3又a 2－3a +1=(a －23)245∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a <3,得函数y =(12)132+-a a 的单调递减区间为［23，3)例3设a >0,f (x )=x x eaa e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明 f (x )在(0，+∞)上是增函数(1)解依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即x x x ae e a a e 1=++ae x 整理，得(a －a 1)(e x －x e1)=0 因此，有a －a1=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一〔定义法〕设0＜x 1＜x 2,那么f (x 1)－f (x 2)=)11)((1121122121--=-+-+x x x x x x x x e e e e e e e21211211)1(x x x x x x x e e ee ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数证法二〔导数法〕由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1) 当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0现在f ′(x )>0,因此f (x )在［0，+∞)上是增函数学生巩固练习1 以下函数中的奇函数是( )A f (x )=(x －1)xx -+11B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD f (x )=xx xx sin cos 1cos sin 1++-+2 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称3 函数f (x )在R 上为增函数，那么y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____4 假设函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2),且在［x 2,+∞)上单调递增，那么b 的取值范畴是_________5 函数f (x )=a x +12+-x x (a >1) (1)证明函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数 (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根6 求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数7 设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a8 函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0 (1)求证 f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证参考答案:1 解析 f (－x )=2222(0)() (0)(0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =－f (x )，故f (x )为奇函数答案 C2 解析 f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称答案 C3 解析令t =|x +1|,那么t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减答案 (－∞,－1]4 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0 答案 (－∞,0〕5 证明 (1〕设－1＜x 1＜x 2＜+∞,那么x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0,∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 因此f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞〕上为递增函数(2〕证法一设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,那么12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1, 即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根证法二设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,假设－1＜x 0＜0,那么1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，假设x 0＜－1,那么1200+-x x >0, 0x a >0， ∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根6 证明 ∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-,设1＜x 1＜x 2＜+∞,那么01111,11121222122>->-<<x x x x2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2),故函数f (x )在(1，+∞〕上是减函数(此题也可用求导方法解决〕 7 证明 (1〕不妨令x =x 1－x 2,那么f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+ =－f (x 1－x 2)=－f (x )∴f (x )是奇函数(2〕要证f (x +4a )=f (x ),可先运算f (x +a ),f (x +2a )∵f (x +a )=f ［x -(-a )］=1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数8 (1〕证明设x 1＜x 2,那么x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0,∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0,∴f (x )是单调递增函数(2)解 f (x )=2x +1 验证过程略。

第8讲：二次函数(专题讲座)

（聚焦2008）第8讲：二次函数专题讲座（一）二次函数的解析式的三种形式（1）标准式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；（2）顶点式：y=a （x+m ）2+n （a ≠0）；（3）两根式：y=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）【例1】已知二次函数y=f （x ）同时满足条件：（1）f （1+x ）= f （1－x ）；（2）y=f （x ）的最大值是１５；（3）f （x ）＝０的两根立方和等于１７。

求y ＝f （x ）的解析式。

（二）二次函数的基本性质（1）二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－a b 2，顶点坐标是（－a b 2，acb ac 442-）。

当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－a b 2]上递减，在[－ab 2，＋∞)上递增。

当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－a b 2]上递增，在[－a b 2，＋∞)上递减。

（2）直线与曲线的交点问题：①二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０），当Δ＝b 2－４ac ＞0时，图像与x 轴有两个交点Ｍ１（x １，０）Ｍ２（x ２，０），于是｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜x １－x ２｜＝||a ∆。

②若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与直线y=mx+n ，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2+bx+c =mx+n ，即px 2+qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二次方程的判别式Δ的符号决定。

特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2+bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2+bx+c = 0的判别式Δ的符号问题。

当Δ= b 2－4ac>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不同的实数根，即对应的抛物线与x 轴有两个交点，此时二次函数的图像被x 轴截得的弦长L=|x 2－x 1|=||4)()(21212212a x x x x x x ∆=-+=-。

高考数学二轮复习专题研讨课：函数的单调性与奇偶性 (公开课课件)

则 f x在区间 0, 内是增函数.
（√ ）
如何证明？
二、双基自测
2.下列函数中，在区间 0, 上是单调递增的是（
1
(A) y x 2 (B)y 2x (C) y log0.5 x
分析:
A ）.
(D) y 1 x
熟悉初等函数图象
二、双基自测
3.若函数 y x2 2ax 1 在 , 2 上是减函数，则实数a 的取值范围是_2_,____.
分析：函数奇偶性的判断方法:
(D) y
log2
3 3
x x
1.用定义，首先确定函数的定义域是否关于原点对称；
2.用性质：（在公共定义域内）奇±奇=奇，偶±偶=偶；
奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.
三、例题讲解
例3 下列函数为奇函数的是（ D ）.
(A)y x3 3x2 (B) y ex ex
x1
x2 (x1x2
a) .
3.变形，
x1x2
于是当 x1x2 a 0 时，即 x1, x2∈ a, ，4f .与x1“ 0f” x比2 ， 0, 即 f x1 f x2 . 同理当 x1x2 a 0 时，即 x1, x2∈ 0, a ，f x1 f x2 0, 即 f x1 f x2 .
分析： y x a2 1 a2 ,
分类讨论
此函数图象为开口向上，以 x a 为对称轴的抛物线.
a2
a2
a2
二、双基自测
f 0 0
4.已知 f x满足对任意 x∈R ，f x f x 0，且当 x≥ 0 时，
f x ex m（m为常数），则 f ln 5 的值为_____4_____.
分析：利用单调性进行转化.

文科高三数学第8讲：函数的单调性、奇偶性、周期性(教师版)----北大地郑晓慧

第8讲函数的单调性、奇偶性、周期性（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1、单调性：定义：如果函数()y f x =对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值12x x 、，当12x x <时，①都有12()()f x f x <，则称()f x 在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个单调增区间；②都有12()()f x f x >，则称()f x 在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个单调减区间.若函数()f x 在整个定义域I 内只有唯一的一个单调区间，则()f x 称为单调函数. 2、判断函数单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法，若函数()y f x =在定义域内的某个区间上可导，①若，则()f x 在这个区间上是增函数；②若，则()f x 在这个区间上是减函数. 3、单调性的有关结论：1．若()f x , ()g x 均为增(减)函数，则()()f x g x + 函数； 2．若()f x 为增(减)函数，则()f x -为； 3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦是定义在M 上的函数，若()f x 与()g x 的单调相同，则()f g x ⎡⎤⎣⎦为，若()f x , ()g x 的单调性相反，则()f g x ⎡⎤⎣⎦为 .（同增异减）5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性 4、值域：1．函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的函数值的集合.2．常见函数的值域求法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为一般换元法和三角换元法）例如：① 形如212y x =+，可采用法；②212()323x y x x +=≠-+，可采用法或法；③()()2y a f x bf x c ⎡⎤=++⎣⎦，可采用法；④y x =可采用法.5、奇偶函数的定义奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数． 6、图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．7、奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．8、判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；⑵图象法：利用函数图象的对称性；⑶性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =I 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；1. 函数单调性的判断及应用2. 函数奇偶性的判断及应用3. 函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用及数形结合（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）例一：讨论函数()()0af x x a x=+>的单调性答案：单增增区间(-∞-,和)+∞，单减减区间(0)和(0例二：设21()1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,,，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[0)+∞,，则()g x 的值域是（）A ． (1][1)-∞-+∞U ,,B ． (1][0)-∞-+∞U ,,C ． [0)+∞,D ． [1)+∞, 答案：C例三：判断下列函数的奇偶性： ⑴ 1()f x x x=+； ⑵ 422y x x =++； ⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．答案：1.奇函数 2.非奇非偶 3. 奇函数 4.非奇非偶例四：设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，那么当(,0)x ∈-∞时，()f x =_________．答案：)1(3x x -例五：已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足()()1122x f f x f x x =-（），且当1x >时，()0f x <（1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若()31f =-,解不等式()2f x <-.答案：（1）(1)0f =；（2）()f x 单调递减；（3）9x >，所以9-<x 或9>x例六：设函数()y f x =（x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+， ⑴求证：(1)(1)0f f =-=；⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0，)+∞上的增函数，求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围答案：（1）∵)1()1()1(f f f +=，∴0)1(=f 又)1()1()1(-+-=f f f ，∴0)1(=-f（2）∵)()1()()(x f f x f x f =-+=-，∴)(x f 是偶函数（3）41714171+≤≤-xA1、函数2()log (31)x f x =+的值域为（）A ． ()0,+∞B ． [)0,+∞C ． ()1,+∞D ． [)1,+∞ 答案：A2、函数y = （）A ． [)0,+∞B ． []0,4C ． [)0,4D ． ()0,4 答案：C3．已知函数)(x f 是[]2,2-上的单调函数，若2)1(=f ，2)1(-=-f ，则函数)(x f 在[]2,2- 上是单调函数．答案：递减 4．如图所示，该函数的单调增区间是：；单调减区间是：．答案：)21,1(-；)1,(--∞和),21(+∞5．下列函数在定义域上是单调增函数是（）（A ）2x y = （B ）xy 1-= （C ）32+=x y （D ）1+-=x y答案：DB6. 若1()21xf x a =+-是奇函数，则a = 答案：21 7. 若函数()21)()xf x x x a =+-（为奇函数，则a =__________答案：21 8. 设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( ) A.()f x +|g(x)|是偶函数 B.()f x -|g(x)|是奇函数 C.|()f x | +g(x)是偶函数 D.|()f x |- g(x)是奇函数答案：A9. 若函数f (x )=3+3x x -与g （x ）=3-3x x-的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B.f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D.f (x )为奇函数，g (x )为偶函数答案：B10. 对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,a b ∈R,c Z ∈),选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 答案：DC11．若函数x k y )1(+=在),(+∞-∞上是减函数，则（）（A ）1>k （B ）1<k （C ）1->k （D ）1-<k 答案：D12. 设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b b x x f x(22)(++=为常数），则=-)1(f （）（A ）3 （B ）1 （C ）-1 （D ）-3答案：D13. 已知函数，若，则= . 答案：1-14. 已知函数3()sin ,(1,1)f x x x x =+∈-，如果2(1)(1)0f m f m -+-<，则m 的取值范是答案：21<<m15. 已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数，递增区间是),0(+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间是)1,(-∞C ．()f x 是奇函数，递减区间是)1,1(-D ．()f x 是奇函数，递增区间是)0,(-∞ 答案：Cx x f tan 1)(+=3)(=a f )(a f -1. 求函数23y x =-（(12)x ∈-,）的值域；答案：值域为1{|2}2y y -<<-2．函数22+-=x x y 在下列哪个区间上是的单调减函数（）（A ）),0(+∞ （B ）)0,(-∞ （C ）),1(+∞ （D ）)1,(-∞ 答案：B3.判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠； ⑵()f x =⑶2()5||f x x x =+． ⑷ ()|1||1|f x x x =-++答案：1.奇函数 2.非奇非偶 3.偶函数 4.偶函数4.已知函数()f x 为R 上的偶函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．答案：⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>-=0),1(0,00),1()(x x x x x x x x f5.已知()f x ,.10)2(832=-+++=f bx ax x 且求(2)f 答案：14（不用添加内容，也不做修改）1．已知)(x f 是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，x x f =)(，那么在区间[]3,1-内，关于x 的方程1)(++=k kx x f R k ∈(且)1-≠k 的根的个数( )A ．不可能有三个B ．最少有一个，最多有四个C ．最少有一个，最多有三个D ．最少有二个，最多有四个答案：B1++=k kx y 过定点)1,1(-，结合)(x f y =的图象(连续)，当1-=k 时，在[]0,1-∈x 有无数个解，又1-≠k ，故选B.2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．3x y =B ．1||+=x yC ．12+-=x y D ．||2x y -=答案：B 是偶函数的是选项B 、C 、D 中的函数，但在(0，＋∞)上单调递增的函数只有选项B 中的函数．3．函数⎩⎨⎧≥<+-=0,0,3)(x a x a x x f x0(>a 且)1≠a 是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．)1,0( B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,31 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 D.⎥⎦⎤⎝⎛32,0答案：B 由题知10<<a ，且030a a ≥+-，解得31≥a ，所以a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,314．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意[)+∞∈,0,21x x ，且21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f ，则( )A ．)1()2()3(f f f <-<B ．)3()2()1(f f f <-<C ．)3()1()2(f f f <<-D ．)2()1()3(-<<f f f答案：B 已知条件等价于函数在[)+∞,0上单调递增，由于函数是偶函数，故)3()2()1(f f f <-<5．若函数||)(2a x x x f +-=为偶函数，则实数=a ________ 答案：0∵)(x f 为偶函数，∴)()(x f x f =-，即||)(||22a x x a x x +---=+-∴0=a6．奇函数)(x f 在()+∞,0上的解析式是)1()(x x x f -=，则)(x f 在()0,∞-上的函数解析式是( )A ．)1()(x x x f --=B ．)1()(x x x f +=C ．)1()(x x x f +-=D ．)1()(-=x x x f 答案：B当()0,∞-∈x 时，()+∞∈-,0x ，由于函数)(x f 是奇函数，故)1()()(x x x f x f +=--=7．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,23x 时，)1(log )(21x x f -=，则=+)2011()2010(f f ( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案：A f (2010)＋f (2011)＝f (0)＋f (1)＝－f (－1)＝1. 8．定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，)2()2(+=-x f x f ，且)0,1(-∈x 时，512)(+=x x f ，则=)20(log 2f ( )A ．1 B.45 C ．－1 D ．－45答案：C f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15＝－1.注：每节课内容需满足课堂2H 使用。