2013高等数学下册分章习题1
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高等数学分章练习题
第九章 练习一：偏导数与全微分
一．选择与填空题
★★★★★1．),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在0P 各一阶偏导数存在的
［ ］．
A ．必要且非充分条件；
B ．充分且非必要条件；
C ．充分且必要条件；
D ．既非必要也非充分条件．
★★★★★2．),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在0P 可微的
［ ］．
A ．必要且非充分条件；
B ．充分且非必要条件；
C ．充分且必要条件；
D ．既非必要也非充分条件．
★★★★★3．),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在是它在0P 可微的
［ ］．
A ．必要且非充分条件；
B ．充分且非必要条件；
C ．充分且必要条件；
D ．既非必要也非充分条件．
★★★★★4．),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数连续是它在0P 可微的
［ ］．
A ．必要且非充分条件；
B ．充分且非必要条件；
C ．充分且必要条件；
D ．既非必要也非充分条件．
★★★★★5．设sin y z x
=，则=∂∂x
z
，
=∂∂y
z
． 二．计算题
★★★★★(类型会求偏导数和全微分)
1．设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
=y x x y x f ln ),(，试说明此函数在)1,1(0P 处可微并求其在)1,1(0P 处的全微分． 2．求函数2
sin()cos ()z xy xy =+的一阶偏导数z
x
∂∂． 3．已知y
x z 2=，且0>x ，求dz ．
4．求函数x
z xy y
=+
的全微分． 5．求函数z =
的全微分．
第九章 练习二：微分法及其应用
一．选择与填空题
★★★★★1．曲面3=+-xy z e z 在点P (2,1,0)处的法线方程是
［ ］．
A ．
2
1210x y z --==； B ．2
1210x y z
--==-； C ．2
11
20x y z --==； D ．2
1120
x y z
--==-． ★★★★★2．设),(y x z z =由方程1832222=++z y x 确定，则=∂∂x
z ，
=∂∂y
z
．
★★★★★(类型会求偏导数和全微分)
3．设),(y x f z =由方程10z x y z x y e ++-++-=所确定，dz = ． 二．计算题
★★★★★(类型会求高阶偏导数)1．设(,)()z f xy x y x y ϕ=
++-，式中ϕ、f 具
有连续的二阶导数，求x z ∂∂、y x z ∂∂∂2及x
y z
∂∂∂2．
2．设)(),(x y g y x xy f z +=，其中f 具有连续的二阶偏导数，g 二阶可导，求y x z ∂∂∂2. ★★★★★3．求曲线 ⎩⎨⎧-==1
22
x z x
y 在点)1,1,1(0P 处的切线方程和法线方程． 4．求曲线21,,1t t x y z t t t
+===+在对应于1t =的点处的切线及法平面方程．
5 求曲线⎩⎨⎧=+-=++4
6423222z y x x
z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.
6．求球面2
2
2
6x y z ++=与抛物面2
2
z x y =+的交线在点(1,1,2)处的切线方程和法平面方程.．
★★★★★掌握拉格朗日乘数法求极值
1．在平面1x y z ++=上求一点，使它与两定点(1,0,1)P 和(2,0,1)Q 的距离平方和为最小. 2．试分解正数a 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小．
3．求函数ln 2ln 3ln u x y z =++在2
2
2
6,0,0,0x y z x y z ++=>>>上的最大值. 4．从斜边之长为a 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.
第十章 练习一：二重积分及应用
一．选择与填空题
1. 已知:D 122≤+y x ，则3sin D
x yd σ⎰⎰
= .
2. 已知:D 1,2x y ≤≤，则(12)D
xy d σ+⎰⎰
= .
二．计算题
★★★★★(类型会计算直角坐标下的二重积分)
1．计算
⎰⎰D
xdxdy ，其中D 由曲线x y sin =)0(π≤≤x 及x 轴围成．
2 ．求由02=-x y 、02=-x y 、2=xy 所围第一象限部分图形的面积；
★(类型会交换积分次序及计算)
3．交换累次积分
dy e
dx x
y ⎰
⎰-
10
12
2的积分次序并计算积分值．
★★★★★(类型会计算极坐标下的二重积分)
4．化⎰
⎰
-+2222220
x a x
a dy y x dx 为极坐标下的累次积分并计算积分值．
5．计算抛物面2
2y x z +=与上半球面222y x z --=
所围立体的体积．
6．利用极坐标计算二重积分22ln(1)D
x y d σ++⎰⎰
，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在
第一象限内的闭区域.
7． 利用极坐标计算二重积分2
2
x
y D
e d σ+⎰⎰
，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.
8． 利用极坐标计算二重积分
arctan
D
y
d x
σ⎰⎰
，其中D 是由圆周22224,1x y x y +=+=及直线 0,y y x ==所围成的在第一象限内的闭区域.