九年级数学上册 23.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质课件 沪科版
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二次函数y=ax2bxc的图像和性质(第4课时)课件沪科版数学九年级上册
（3） 4a+b=0；
x
（4）当y=–2时，x的值只能取0； –1 O
3
其中正确的是 （2） .
–2
直线x=1
情境引入 新知探索 例题辨析 练练习巩固固 总结归纳 作业布置
当练习堂
4.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=
-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；
4
课堂学习总结感悟与知识提升
导导入入新课课 新知探索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置
复习 引 入
y=a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标 对称轴
增 减 性
a>0
向上
(h ,k)
x=h
当x<h时，y随着x的增 大而减小； 当x>h时，y随着x的增 大而增大.
a<0
向下
(h ,k)
x=h
当x<h时,y随着x的增 大而增大； 当x>h时，y随着x的增 大而减小.
a3_＜__ 0 b3_＝__ 0
c3_＞__ 0
a4_＜__ 0 b4_＞__ 0 c4_＜__ 0
x=0时，
y=c.
O
x
x b1 =0 x b2 ＞0
对称轴是y轴， 2a1
2a2
开口向下，a＜0
x=0
对称轴在y轴
右侧，x＞0
导入新课 新新知探索索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置 探究归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
《二次函数的图象和性质》课件-沪科版
思考： 观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象， 当x＜0时，y随x的增大怎样变化？ 当x＞0呢 ？ 由此你能得到二次函数y=ax2+k有怎样的代数 性质？
知2－导
感悟新知
归纳
知2－讲
代数性质: (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值 k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y 随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而 增大，当x>0时，y随x的增大而减小.
感悟新知
知2－讲
方法 2: 以对应点作中介平移: 观察图中的 两条抛 物线，抛物线y= -x2+1 的顶点是（0，1）， 抛物线 y=-x2-1 的顶点是 （0，-1），因为顶点向下 平移 了2 个单位，所以将 抛物线y=-x2+1 向下平移 2 个 单位可得到抛物线y= -x2-1.
感悟新知
1. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( A. 最小值为2 B. 图象与x轴没有公共点 C. 当x<0时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是y轴
函数y=-x2-2的 图象可由y=-x2 的图象沿y轴向 下平移2个单位 长度得到.
图象向上移还是向下移,移多 少个单位长度,有什么规律吗?
知3－导
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状
相同 , 只是位置不同；当k>0时, 函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到,
感悟新知
例1
知2－讲
画出函数y=-x2+1与y=-x2-1 的图象，并根据图象回
知2－导
感悟新知
归纳
知2－讲
代数性质: (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值 k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y 随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而 增大，当x>0时，y随x的增大而减小.
感悟新知
知2－讲
方法 2: 以对应点作中介平移: 观察图中的 两条抛 物线，抛物线y= -x2+1 的顶点是（0，1）， 抛物线 y=-x2-1 的顶点是 （0，-1），因为顶点向下 平移 了2 个单位，所以将 抛物线y=-x2+1 向下平移 2 个 单位可得到抛物线y= -x2-1.
感悟新知
1. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( A. 最小值为2 B. 图象与x轴没有公共点 C. 当x<0时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是y轴
函数y=-x2-2的 图象可由y=-x2 的图象沿y轴向 下平移2个单位 长度得到.
图象向上移还是向下移,移多 少个单位长度,有什么规律吗?
知3－导
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状
相同 , 只是位置不同；当k>0时, 函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到,
感悟新知
例1
知2－讲
画出函数y=-x2+1与y=-x2-1 的图象，并根据图象回
数学：23.3《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》课件(沪科版九年级上)
生活中的抛物线
生活中的抛物线
画出函数:
y= x2
y=x2+1
y=x2-1的图象
y=x2+1开口向上，对称轴 为y轴，顶点是（0、1）。
y=x2-1开口向上，对称轴 为y轴，顶点是（0、-1）。
画出函数y=的图象。
1 2
x2
y=-
1 2
(x+1)2与y=-
1 2
(x-1)2
抛物线y=- 1 (x+1)2的开口方向是__向__下_，对称 轴是_x_=_-_1_，2 顶点坐标是（__-_1_,_0_）_ 抛物线y=- 1(x-1)2的开口方向是_向__下_，对称轴 是___x_=_1__，2 顶点坐标是_（__1_,_0_）__。
全本小说/全本小说
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办法挣点钱就没法养家糊口了。现在呀只要有钱，让我背死人也干！”老实人说话就是这么实在。王希维一边说话，一边拿竹竿使劲搅 动起来，污泥让他这么一搅动，恶臭味更浓烈了,几乎令人作呕。就在这时，五六个职工抬来一根粗重的铁杠走过来了。刁一德叫嚷道： “怎么这么臭!像茅厕，他妈的我都要吐了。”刁一德是花开啤酒单位的正式工，他高高的个子，人长得肥肥胖胖的，高兴时头总是昂着， 像个长颈鹿一样；不高兴时，又像丧家犬一样，灰溜溜的，他长着一副扇风耳，嘴唇发白，一双乌溜溜的眼睛总好像在寻找着什么一样， 眼睛提溜提溜转个不停。他的形象确实是有做汉奸的潜质。刁一德一只手抬着铁杠，另外一只手来回使劲地煽：“真臭！真臭！”然后， 往地上狠狠地吐了口痰，说：“熏死人，他妈的真臭！”“家里的热被窝躺着舒服得很，可惜没钱，抢银行犯法，不干没有人送钱给你！ 快点干！”王希维家里都靠他一个人来挣钱，今年的工资少得可怜，沉重的家庭负担使他的脾气变得越来越大。刁一德蹙了蹙眉头，瞪 了一眼王希维，狂躁地喊道：“这简直就是在茅坑上面干活，就挣那么几个鸟钱，单位把我们工人不当人，老子不干了！走了！走了！ 我们不干了！”刁一德走了几步，回过头来发现没有人跟着他走，愤怒地骂：“你们不走？我看你们是想钱想疯了，我就是饿死，也不 挣这几个鸟钱，真丢人！妈来个屄。”嘴里面骂着、气愤地走了。王希维大着嗓门喊：“你走，你走，走了一分钱也没有。我们靠自己 力气吃饭，没有偷、没有抢，没什么丢人的。”他回过头来向其他职工说：“好了，我们接着干。”大家七手八脚地把三脚架架好，固 定在污水收集池的三个边沿上。在三脚架上事先固定了一个滑轮，通过绳子把斗车放下去。接着王希维把一个铁板凳放下去，然后他下 去站到铁板凳上，用铁锹往斗车里面装污泥，装满后，上面的人用固定在斗车上面的钢丝绳往上拉，当斗车上来时另外的人通过拴在斗 车一旁的绳子往外拉到池边，把污泥倒掉。相当于斗车走一竖一横的路线。刚一开始干问题就来了。因为表面的污泥比较稀，在往上送 时，斗车上的污泥滴滴答答地往下滴个不停，溅得王希维从头到脚都是脏泥水。他用乌黑的毛巾擦了擦，没说一句话又接着干。张钢铁 到了，他跟王希维一起进啤酒厂，关系不错。他看到王希维身上溅满了臭烘烘的污泥，喊道：“老王，这活儿又脏又累，怎么想起来干 这个活了？”“不生产，没事干，有学生，老人病，需要钱，没办法。”王希维就像背三字经一样回答。现在正值冬季，气温在零度以 下，有些地方都结了冰。由于海涛州这一带空气湿度大，是湿冷，马启明感到刺骨的寒冷，跟他以前生活的西北相比完全不同。张钢铁 看见王希维只穿着一件老黄军
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
和一次项同时提取公因数a，再进行配方会更简便.
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
沪科版九年级数学上册全套精美课件
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第22章 二次函数与反比例函数
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22.1 二次函数
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22.2 二次函数y=ax2的图像和性 质
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22.6 反比例函数
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阅读与思考
沪科版九年沪科版九年级数学上册全套精美 课件目录
0002页 0069页 0158页 0211页 0258页 0360页 0528页 0555页 0623页 0669页 0705页 0764页 0882页 0912页 0991页 0993页
第22章 二次函数与反比例函数 22.2 二次函数y=ax2的图像和性质 信息技术应用 阅读与思考 22.6 反比例函数 小结·评价 第23章 相似形 阅读与欣赏 23.3 相似三角形的性质 23.5 位似图形 数学史话 复习题 24.1 锐角的三角函数 24.3 解直角三角形及其应用 课题学习 复习题
22.3 二次函数y=ax2+bx+c的图 像和性质
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信息技术应用
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复习题
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第23章 相似形
22.4 二次函数与一元二次方程
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阅读与思考
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22.5 二次函数的应用
第22章 二次函数与反比例函数
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22.1 二次函数
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22.2 二次函数y=ax2的图像和性 质
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22.6 反比例函数
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阅读与思考
沪科版九年沪科版九年级数学上册全套精美 课件目录
0002页 0069页 0158页 0211页 0258页 0360页 0528页 0555页 0623页 0669页 0705页 0764页 0882页 0912页 0991页 0993页
第22章 二次函数与反比例函数 22.2 二次函数y=ax2的图像和性质 信息技术应用 阅读与思考 22.6 反比例函数 小结·评价 第23章 相似形 阅读与欣赏 23.3 相似三角形的性质 23.5 位似图形 数学史话 复习题 24.1 锐角的三角函数 24.3 解直角三角形及其应用 课题学习 复习题
22.3 二次函数y=ax2+bx+c的图 像和性质
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信息技术应用
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复习题
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第23章 相似形
22.4 二次函数与一元二次方程
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22.5 二次函数的应用
九年级数学上册-二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案2新版沪科版 (1)
2 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质第4课时 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质教学目标:1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。
重点难点:重点:用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点:理解二次函数y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ,4ac －b24a)是教学的难点。
教学过程: 一、提出问题1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?(函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?(当x ＜2时,函数值y 随x 的增大而增大,当x ＞2时,函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时,函数取得最大值,最大值y ＝1)4．不画出图象,你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象,进而观察得到这个函数的性质。
解:(1)列表:在x 的取值范围内列出函数对应值表；x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －612－4 －212－2 －212－4 －612…(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。
初三数学上册二次函数y=ax2的图象和性质课件(新版)沪科版
初三数学上册二次函数y＝ ax2的图象和性质课件（新
版）沪科版
• 1．函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条关于__•_y_轴对称的抛物线，它具有如下性 质：当a＞0时，抛物线的开口向___•_上，顶点是抛物线的最____•低点，当x＞0 时，y随x的增大而____•增__大__；当x＜0时，y随x的增大而___•_减；小当x＝____时•0 ，y最小值＝____•．0 • 2．对于函数y＝ax2(a≠0)当a＜0时，抛物线的开口向____•下，顶点是抛物线 的最___•_高点．当x＞0时，y随x的增大而____•_减__小_；当x＜0时，y随x的增大而 _____•_增__大__；当x＝____•0时，y最大值＝___•_0．
•A •C
•8．(4分)在函数y＝－x2中，当－3<x<1时，则y的取值范围是____•－__9_<__y_≤_0．
• 9．(8分)函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数． • (1)若其图象开口向上，求函数的关系式； • (2)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式． • 解：∵函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数，∴m2－3m－2＝2，解 得m＝－1或m＝4 (1)∵函数图象开口向上，∴m－3＞0，∴m＝4，此时 函数关系式为y＝x2 (2)∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴m－3＜0， ∴m＝－1，此时函数关系式为y＝－4x2
•④ •③ •①
•②
• 17．(12分)已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)． • (1)求抛物线的解析式； • (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？ • (3)当x为何值时，它有最大(小)值，是多少？ • 解：(1)y＝－2x2 • (2)x>0 (3)x＝0，y最大值＝0
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• 1．函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条关于__•_y_轴对称的抛物线，它具有如下性 质：当a＞0时，抛物线的开口向___•_上，顶点是抛物线的最____•低点，当x＞0 时，y随x的增大而____•增__大__；当x＜0时，y随x的增大而___•_减；小当x＝____时•0 ，y最小值＝____•．0 • 2．对于函数y＝ax2(a≠0)当a＜0时，抛物线的开口向____•下，顶点是抛物线 的最___•_高点．当x＞0时，y随x的增大而____•_减__小_；当x＜0时，y随x的增大而 _____•_增__大__；当x＝____•0时，y最大值＝___•_0．
•A •C
•8．(4分)在函数y＝－x2中，当－3<x<1时，则y的取值范围是____•－__9_<__y_≤_0．
• 9．(8分)函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数． • (1)若其图象开口向上，求函数的关系式； • (2)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式． • 解：∵函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数，∴m2－3m－2＝2，解 得m＝－1或m＝4 (1)∵函数图象开口向上，∴m－3＞0，∴m＝4，此时 函数关系式为y＝x2 (2)∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴m－3＜0， ∴m＝－1，此时函数关系式为y＝－4x2
•④ •③ •①
•②
• 17．(12分)已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)． • (1)求抛物线的解析式； • (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？ • (3)当x为何值时，它有最大(小)值，是多少？ • 解：(1)y＝－2x2 • (2)x>0 (3)x＝0，y最大值＝0
初中数学沪科版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件PPT
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过 上下和左右平移得到.
y=ax2+bx+c的图象与性质
函数y=ax²+bx+c的图象与性质
怎样把函数y=3x2-6x+5化成顶点式
。
y
1 2
x2
-
2x
3
1(x2 2
-
4x
6)
1
2
x2 4x (2)2 (2)2 6
1 2
(x 2)2
2
1( 2
x
2 )2
1
∴开口方向：向上; 对称轴：x=2;
顶点坐标:(2,1).
你能把 y ax2 bx c 改写成 y a(x h)2 k 吗？
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
减去一次项系 数绝对值一半 的平方
a x b
a x
2a b 2
2a
2
4ac 4a2
4ac b 4a
b2
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
1 2
(x 2)2
2
1( 2
x
2 )2
1
y
1 2
x2
-
沪科版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》课件
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
在同一坐标系中，画出函数：
y=- 1x2 y=- x12-1 y=- (x1+1)2-1的图象。
2
2
2
函数y=a(x-h)2+k的特点：
1、a>0时，开口向上；a<0时，开口向 下；
2、对称轴是直线x=h;
3、顶点坐标是（h，k方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
生活中的抛物线
生活中的抛物线
画出函数: y= x2 y=x2+1
y=x2-1的图象
❖ y=x2+1开口向上，对称 轴为y轴，顶点是（0、1）。
❖ y=x2-1开口向上，对称 轴为y轴，顶点是（0、-1）。
画 的图出象函数。y=-12 x2 y=- 12(x+1)2与y=- 12(x-1)2
抛物线y=- 1(x+1)2的开口方向是__向__下_，对称 轴是_x__=_-_1，2顶点坐标是_（__-_1_,_0_） 抛物线y=- 1(x-1)2的开口方向是_向___下，对称轴 是___x_=__1_，2顶点坐标是__（__1_,_0_）_。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质PPT课件(沪科版)
当x＝－1时，y的值为a－b＋c．
⑤当对称轴x＝1时，x＝ b ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0；
当对称轴x＝-1时，
b 2a
2a
＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0．
因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝ b 与1的大小，
2a
若对称轴在直线x＝1的左边，则
-
b 2a
<
1，再根据a的符号即可得
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
直线x= 0.5
1 2
,
9 4
随堂小测
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，直线x=-1是对称
轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1 -1
1
则该二次函数图象的对称轴为( D )
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
随堂小测
2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y 2x2 12x 13; 直线x=3 3, 5
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与-1的大小.
课堂小结
配方法
y=ax2+bx+c(a ≠0) (一般式)
y a(x b )2 4ac b2
数学：23.3《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》课件(-沪科版九年级上)
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送来了亲自为爹娘买的各种祭品。看了耿正兄妹三人如此安排随行细软，不禁大加赞赏：“真正好主意！”随后又连连惋惜：“只可惜我 们不能再一起经营商铺了！唉，回去吧，既然你们一意返乡，就回老家做你们的事业去吧！我相信，以你们超凡的心机，无论做什么，都 一定会大获成功的！”耿正笑着说：“那我们兄妹们就借李叔您的吉言啦！”耿英说：“李叔叔您也一样，诚信大义加上灵活而又有远见 的头脑，您一家人今后的生意一定会越做越大，越做越好的！”耿直也说：“我们回去以后，肯定会很想念叔叔、婶子和弟弟妹妹呢！” 李老乡动情地说：“我和你们婶子，还有你们的弟弟妹妹也一样啊！”又叙了一会儿话，时间有些不早了。耿正说：“咱们不能让时间停 止不走啊！李叔叔，就此告辞吧。希望咱们后会有期！得空了，请您和婶子带弟弟妹妹们来我们的老家‘三六九镇’看看，住些日子！” 李老乡唏嘘不已，说：“唉，但愿吧，只怕是在睡梦中的事儿了呢！”随后，耿正将住房、厨房和院门儿的钥匙全部交给李老乡，说： “半个月的租金我会放在厅房这个大抽屉里边。过几天您来拿了，与房东结算清楚就行了！厨房里的米面油盐和南房里的柴火煤炭什么的， 您看着收拾吧。”李老乡说：“你们不要留租金了，那些东西也不用收拾的。我已经和房东说好了，等你们走后，我们一家人就搬过来住 了。这边离咱们的铺子近，来来去去的方便！”耿英说：“这样很好，这个院子什么都有，住着非常方便呢！”李老乡说：“是个不错的 小院儿，我正在考虑干脆买下来得了！”耿直说：“这是个好主意！”耿正笑着说：“李叔，我们三个刚才还说了，走之前要把那个大水 缸里的水全部清理干净了，再把它悠回厨房里呢！这不你们全家人要搬过来住了嘛，那这个缸怎么办呢？要不还就放在院儿里晒水吧！厨 房里不需要它，还占地方！”李老乡也笑着说：“当然不用悠回去了，放在院儿里晒水是一个多好的主意啊！”略迟疑一下，李老乡还是 问：“我明儿还是过来送送你们吧！”耿正赶快说：“不用送。我们一早起来就悄悄地走了！”说罢，兄妹三人将李老乡送出门来，双方 恋恋不舍挥泪告别。返身关上院门儿，给骡子饮好水添上草料以后，兄妹三人简单洗漱一番就抓紧时间赶快歇息了。49第九十三回 做好准 备返故乡|（归家在即不能延，提早准备带细软；老乡难舍也无奈，全面接手丝绸行。）光阴荏苒，岁月如梭，耿家兄妹三人和李老乡联手 经营“昌盛丝绸行”已经奔第四个年头了。考虑到这老乡兄妹仨归家在即，李老乡决定让刚刚从小学堂毕业的儿子李根来铺子里学徒做丝 绸生意。这个聪明而又略带点儿羞涩的男娃儿已经十三岁了。他不但个头窜起了不少，而且也掌握了比较扎实的文化知
九年级上册二次函数的图象和性质2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时课件新版沪科版ppt
2
图象向右平移3个单位得到.
4
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，
2
当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3 时，y有最小值，为0.
-4 -2 O -2
y 12（x-3）2
2 4x
课堂小结
复习y=ax2+k
探索y=a(x+h)2 的图象及性质
图象的画法
描点法 平移法
y=ax2
图象的特征
平移关系
y -12（x+1）2 向右 平移 2 个单位得到.
y - 12（x+1）
y
-
1 2
x2
抛物线y = a(x+h)2 与抛物线y=ax2 有什么关系？
y = a(x+h)2 (h＞0) y y = ax2
结论：
抛 物 线 y=a(x+h)2 的 图 象 相 当 于 把 抛 物 线 y=ax2的图象 向左 （h＞0）或 向右 （h＜0）
3
2
B.y= 3 (x-3)2
C.y= 2 (x+3)2
D.y= 2 (x-3)2
3
3
6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=- 1 (x+2)2； （2）y=3(x-1)2.
4
解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为（-2，0）. （2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为（1，0）.
x=0时，y最小值=k
向下 y轴（直线x=0）
（0,k） 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
知识点1
推进新课
二次函数y = a(x+h)2 的图象的画法
沪科版数学九上21.2《二次函数的图象和性质》ppt课件1
(C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. y (D) 对任意实数x,都有y＞0.
o
x
例2.已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数且其图象开口 向上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ① 解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
(2) 描点
y=
1 2
x2
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
(3) 连线
y 10
函数y=21 x2,y=2x2的
9 8
图像与函数y=x2(图中虚线
左侧 右侧 y=ax2 顶点 对称轴 开口 图象
xyxy
(0,0)
a＞0 最低点 y轴 向上
增 减增增 大 小大大
a＜0
(0,0) 最高点
y轴
向下
增 增增减 大 大大小
二次函数y=ax2的图象和性质
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对
于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应, 那么就说x是自变量,y是x的函数.
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图 像是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样 画一个函数的图像?
o
x
例2.已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数且其图象开口 向上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ① 解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
(2) 描点
y=
1 2
x2
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
(3) 连线
y 10
函数y=21 x2,y=2x2的
9 8
图像与函数y=x2(图中虚线
左侧 右侧 y=ax2 顶点 对称轴 开口 图象
xyxy
(0,0)
a＞0 最低点 y轴 向上
增 减增增 大 小大大
a＜0
(0,0) 最高点
y轴
向下
增 增增减 大 大大小
二次函数y=ax2的图象和性质
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对
于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应, 那么就说x是自变量,y是x的函数.
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图 像是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样 画一个函数的图像?
九年级数学上册 23.2二次函数y=ax2的图象和性质课件 沪科版
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
第十二页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
做一做P40 7
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
第六页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做
抛物线的顶点.
第十一页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
y
y x2
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而着x的增大而 y x2 减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0 时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时 ,函数y的值最大.
y x2
第十九页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
看图说话
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
y=x2
初中数学沪科版九年级上册二次函数图像及性质 课件PPT
a，b同号 对称轴在y轴左侧；
a，b异y号 ax2 对c 称轴在y轴右侧；
b=0
对称轴是y轴.
与y轴 交点位置：
c确定
c>0 与y轴交点在y轴正半轴； c<0 y 与 axy2轴 b交x 点在y轴负半轴；
c=0
抛物线过原点.
① a决定开口方向和开口大小： 当a > 0时,开口向上； 当a < 0时,开口向下.
开口大小：| a|越大，开口越小.
归纳
②最值：
当a > 0时，函数有最小值，且 当x＝0时，ymin＝0；
当a < 0时，函数有最大值，且 当x＝0时，ymax＝0；
归纳
③增减性： 当a>0，若x≤0时，y随x增大而减小
到一般的方法。
二、学生情况 • 前面学生已经学习过了一次函数和二次 函数 的概念，对研究函数的基本方法都
有一定的认识，会用几何画板画一次函 数y =kx+b(k≠0)的图象。大部分学生对二 次函数的概念能熟练掌握，但如何自主 研究二次函数 是难点，授课进度不能过 快，探索问题时需要给学生足够的时间。
三、教学目标
• 会用几何画板研究二次函数性质 •经历探索二次函数 图象性质的过程，培 养学生观察、思考、归纳的良好思维习 惯
四、教学重点与难点: •重点：二次函数 的图象和性质 • 难点：利用几何画板，数形结合，探讨 二次函数 的图象和性质
五、教学过程 1、回顾研究一次函数的基本方法
概念→图象→性质→应用性质
位得到.
归纳
实施方案二，总结a、b、c对图象的形状和 位置有什么影响？
（1）a的取值对图象的影响： •a>0开口向上，图象有最低点，函数有最小 值；a<0开口向下，图象有最高点，函数有最
沪科版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》课件
1
y
…
－612
－ 4
－212
－ 2
－212
…
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝___－_．4
16．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 y 轴上半轴相交，其顶点
的坐标为(21，1)，下列结论：①ac<0；②a＋b＝0；③4ac－b2＝4a；④a＋b ＋c<0，其中结论正确的是__①__②__③___．(填序号)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝ax2的__形__状__、____开__口__方__向___和 _____开__口__大__小____相同，只是图象___位__置____不同．
1．(4分)将抛物线y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到 的抛物线是____y_＝__x_2_－__1_0_x_＋__2_7_．
8．(4分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示， 则下列结论中正确的是( ) D A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c＞0
9．(8 分)已知二次函数 y＝－12x2＋x＋32，解答下列问题： (1)将这个二次函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式； (2)写出这个二次函数的顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ (4)当 x 为何值时，函数有最大或最小值，其值是多少？ 解：(1)y＝－12(x2－2x＋1)＋2＝－21(x－1)2＋2 (2)顶点坐标(1，2)，对称 轴 x＝1 (3)当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减 小 (4)当 x＝1 时函数有最大值是 2
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