材料力学轴向拉伸和压缩第1节杆的内力和应力

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材料力学(机械类)第二章轴向拉伸与压缩

第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1

轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长（简称拉伸）轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短（简称压缩）

2
拉、压的特点：

1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3

§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。（刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4

材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变形和破坏等方面的特性。

现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、低碳钢拉伸时的力学性能（含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：

N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2

(材料力学)第一章轴向拉伸和压缩

24
根据Saint-Venant原理：
25
7. 应力集中（Stress Concentration）：
由于截面尺寸急剧变化而引起的局部应力增大的现象。
·应力集中因数
K max m
26
不同性质的材料对应力集中的敏感程度不同
1.脆性材料
σmax 达到强度极限，此位置开裂，所以脆性材料构件对应力集中很敏感。
轴力图如右图 N
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
11
[例2] 图示杆长为L，受轴线方向均布力 q 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。 q
解：x 坐标向右为正，坐标原点在自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
N – qL
N(x)maxqL
2.塑性材料
应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未达到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布趋于平均。
在静载荷情况下，不需考虑应力集中的影响；但在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性材料的影响。
况、安全重要性、计算模型等等
16
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
m ax
②设计截面尺寸：
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷：
N ma xA ;
Pf(Ni)
17
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用

第1章拉伸及压缩材料力学

F
微元面积上的平均应力点的应力
F sm A
A P
n
F dF s lim A 0 A dA
2018/10/24
应力s 的方向就是内力F 的方向
6
《材料力学》—— 李章政
2. 应力的分量
• 应力沿截面法线方向的分量，称为法向应力（normal stress）或正应力，用表示 • 应力平行于截面的分量，称为切向应力、切应力（shear stress）或剪应力，用表示
F4
F4
F5
F5
也可取右半段平衡
F
x
0:
N F3 F4 F5 0
相等？
相等
F1 F2 F3 F4 F5 0 F1 F2 F3 F5 F4
解得说明
N F3 F5 F4
轴力 = 截面以右外力之和（右指为正）轴力 = 截面以左外力之和（左指为正）
例1.4 图示结构，计算各杆应力。
已知：杆1直径20mm，杆2边长100 mm。
解：
先求内力（节点A平衡） Fx 0 : N1 N2 cos45 0yB1来自45A2
25 kN
N1 N2
A
45
F
0 : N2 sin 45 25 0 N1 25kN, N 2 35.36kN
13
《材料力学》—— 李章政
例1.3 作边长1.2 m的正方形受压柱的轴力图（容重 =25 kN/m3）解：（1）先写内力函数
N(x) = - 40 - 251.2 1.2 x = -40 - 36x （2）作图
40 kN
40kN

轴向拉、压杆的内力及应力计算

解：（1）计算各段的轴力
AB段：用1-1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象，以N1表示截面上的轴力，并假设为拉力。写出平
衡方程： ∑X=0，N1+P1=0
得 N1=-P1=-20KN 负号表示AB段轴力N1实际为压力。
BC段：同理写出平衡方程： ∑X=0，N2+P1-P2=0
得 N2=-P1+P2=-20+30=10KN 正号表示BC段轴力N2实际为拉力。
面垂直的应力为正应力，与截面相切的应力为剪应力。轴向拉伸、压缩时，杆件
截面上各点处产生正应力，且大小相等。若应力用σ表示，横截面积为A，轴力
为N，则
N
A
正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算
例：如图7-2a悬臂梁，已知P1=20KN，P2=30KN，P3=10KN，试画出杆的轴力图。
课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算
三、轴力图
表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比例尺把正轴力画在轴的上方，负轴力画在轴的下方，并连成直线，就得到轴力图。
四、轴向拉、压杆横截面上的应力
单位面积课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算
一、轴向拉伸和压缩
受力特点：直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反的力。变形特点：在外力作用下产生轴线方向的伸长或缩短。当作用力背离杆端时，作用力是拉力，杆件产生伸长变形，叫做轴向拉伸。见图7-1a 当作用力指向杆端时，作用力是压力，杆件产生压缩变形，叫做轴向压缩。见图7-1b
图 7-1
课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算

C 材料力学第二章轴向拉伸和压缩第一部分

基于下列实验现象有“平面假设”
现象：直线保持为直线。相互垂直的直线依旧相互垂直。->无切应变纵向线段伸长，横向线段缩短。长度相等的纵向线段伸长后依旧相等。长度相等的横向线段缩短后依旧相等。即变形分布均匀，依据胡克定律应力分布也均匀。
平面假设
根据表面变形情况，可以由表及里的做出假设，即横截面间只有相对移动，相邻横截面间纵线伸长相同，横截面保持平面，此假设称为平面假设（Plane CrossSection Assumption）。
问题
（1）图示的曲杆，问公式（2-2）是否适用？
2）图示杆由钢的和铝牢固粘接而成，问公式（2-2）是否适用？
（3）图示有凹槽的杆，问公式（2-2）对凹槽段是否适用？
σ
变截面杆横截面上的应力
F
F
应力集中 (Stress Concentration)
例：图示杆1为横截面为圆形的钢杆，直径d=16mm，杆2 为横截面为正方形的木杆，边长为100mm。在节点B处作用20kN的力，试求1、2杆中的应力。
r ∆r o
θ
∆s
s
应力与变形的一般关系
正应力在正应力方向引起线应变，不引起切应变切应力引起切应变，在切应力方向不引起线应变这里作为结论直接给出，感兴趣可在课后研究证明之。
轴拉伸实验
平面假设（基于实验观察）
a d e a a d e a b c b b c c d e b c d e
例题
解：1、2杆都为二力杆，是简单拉压问题，取节点B进行受力分析：由节点B的平衡可得：
F N1 3 = G = 15kN 4 F N2 5 = − G = −25kN 4
A 2m
1.5m 1 2 C FN1 FN2 B G

工程力学第四章轴向拉伸与压缩讲诉

拉压杆的强度条件：杆件的最大工作应力不能超过材料的许用应力。即
FN max [ ]
max
A
式中： max ——横截面上的最大工作应力；
FN max ——产生最大工作应力界面的轴力，这个截面称为危险截面；
A——危险截面的横截面积；
[σ]——材料的许用应力。
对于等直杆，轴力最大的截面为危险截面；对于变截面直杆，若轴力不变，横截面积最小的截面为危险截面；若杆件为变截面杆，且轴力也是变化的， [FN/A]max 所在的截面为危险截面。
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二、胡克定律
杆件受轴向力作用时，沿杆件轴线方向会伸长或缩短，同时杆件的横向尺寸将缩小或增大。我们把杆件沿轴线方向伸长或缩短称为纵向变形；横截面方向尺寸的改变量称为横向变形。
F
F
l l1
杆件在拉伸或压缩时长度发生改变，其改变量称为绝对变形，用 L 表示。设杆件变形前的长度为 L ，变形后的长度为 L1 ，则其绝对变形
结合书 P83-84 例 3-5、例 3-6 对强度计算进行详细讲解。
2、例题
例 1：一直径 d=14mm 的圆杆，许用应力[σ]=170MPa，受轴向拉力 P=2.5kN 作用，试校核此杆是否满足强度条件。
解：
max
N max A
2.5 103 142 106
162MPa <留段 A 的 m — m 截面
轴向拉伸的内力计算
上，各处作用着内力，设这些内力的合力为 N ，它是弃去部分 B 对保留部分 A
的作用力。
（3）由于整个杆件原来处于平衡状态，所以截开后的任意一部分仍应保
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持平衡，故可对保留部分 A 建立平衡方程。

3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图

§3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图课时计划：讲授3学时教学目标：1.本节课以拉压杆件为例，分析在外力作用下产生的内力。

2.使学生理解并掌握采用截面法计算轴力的方法。

教材分析:1.重点为分析拉压变形受力和变形的特点；2.难点是利用截面法计算拉压杆上的轴力并绘制出轴力图。

教学设计：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。

以拉压变形的杆件为例，分析该种变形的受力和变形的特点，在此基础上利用截面法分析杆件上的轴力，掌握轴力计算方法及正负号的规定，进而掌握轴力图的绘制方法。

教学过程：第1学时教学内容：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，以拉压变形的杆件为例分析其受力和变形的特点，全面理解轴向拉伸和压缩的概念。

1．外力和内力的概念如图3-1a所示的构件在力F、B F、P F的作用下处于平A衡。

无论这些力是主动力还是约束力，都是构件受到其他物体的作用力，称为外力。

为了维持构件各部分之间的联系，保持构件的形状和尺寸，构件内部各部分之间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。

在外部载荷作用下，构件内部各部分之间相互作用的内力也随之改变，这个因为外部载荷作用而引起构件内力的改变量，称为附加内力。

在材料力学中，该附加内力简称内力。

2．截面法计算内力为了确定构件的承载能力，需要分析内力。

为此假想用平面n-n将构件截成两段（图3-1b、c），垂直于构件轴线假想截开的剖面，称为横截面，简称截面。

利用截面将构件截开，分析截面内力的方法，称为截面法。

3．轴向拉伸和压缩的概念直杆受到与其轴线重合的外力，就会发生沿轴线方向的伸长或缩短变形。

如图3-2a所示的吊车吊起重物时，CD杆是受拉伸的二力杆。

图3-2b的螺旋夹具，旋紧螺杆加紧工件后，螺杆的上段受压。

第2学时教学内容：本次课讲解拉压变形杆件的轴力计算方法。

分析发生此变形所受外力的特点，利用截面法计算轴上产生的轴力，根据平衡条件建立轴力与外力的关系。

05第五章轴向拉伸及压缩

l0：标距原长 l1：拉断后标距长度
(二) 截面收缩率: y A0 A1 100% A0
A0：实验前试件横截面面积 A1：拉断后段口处的截面面积
衡量材料塑性的两个指标。
延伸率 d、截面收缩率 ψ
2、铸铁拉伸时的力学性能
脆性材料，例如灰口铸铁，其拉伸试验结果与塑性材料差异很大
变形特点：
1、没有明显的线弹性阶段、
Q235A的应力—应变曲线四个阶段，四个特性 (1) 线弹性阶段与比例极限
OA段为直线应力与应变成正比，满足胡克定律（即σ = E ε）
比例极限：σP表示。 Q235：σP =200MPa
E：材料的弹性模量等于直线段OA的斜率
F 45°
eσ σs
O
b
B
p
A′ A
C
O
a） D
△l E
b）
(2) 屈服阶段与屈服点
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③ 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。
例如：截面法求N。
P
A
P
截开：
P
Байду номын сангаас
A P
简图
代替：
P
N
x
A
平衡： X 0 N P 0 P N
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
完全丧失承载能力
O
a）
b
D
B
A′ p AC
σe σ
s
O
b）
△l
E
2．冷作硬化
b
冷作硬化：
材料在预拉到强化阶 S 段后卸载，使比例极限 p 提高而塑性降低的现象

材料力学——第一章轴向拉伸和压缩

形象表示轴力随截面的变化情况，发现危险面；
材料力学
例题1-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D A 解：1、计算各段的轴力。
F1 F1 F1
FN kN
1 F2
2
F3 3
F4
AB段 BC段
FN1 FN2
F
F
F
F
d变）拉伸ε＇<0、压缩ε’>0 ；

'
d
d
材料力学
2、泊松比实验证明：

称为泊松比；
注意
（１）由于ε、ε‘总是同时发生，永远反号，且均由
（２）
s 产生，
故有
＝－
‘
0 FN 1 F1 10kN
x x
F
0 FN 2 F2 F1
FN 2 F1 F2
F2
FN3
10

CD段
F4
25
10 20 10kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
2、绘制轴力图。
10
x
材料力学
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力； 4、做轴力图； 5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生拉伸变形
材料力学
例题1-3 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A2 4 cm2， A1 3 cm2，
l1 l 2 50 m， P 12 kN， 0.028 N/cm3，
试绘制轴力图，并求

建筑工程力学教程：3.2轴向拉压时的内力

a pa cosa cos2 a a
ta
pa
sin a
sin a cosa
sin 2a
2
FNa
a
a
pa
ta
斜截面上的正应力和切应力
a cos2 a
ta
2
sin
2a
a
正负号规定
a
a
pa
ta
a: 拉应力为正，压应力为负。
ta: 绕所保留的截面，顺时针为正，逆时针为负。
a cos2 a
1
F
1
1
2
2 2
1
2
F
N
N
横截面----是指垂直杆件
轴线方向的截面；
轴向拉伸时，杆件横截面上各点处只产生正应力，且大小相等。
1、横截面上的应力
F 假设：
① 平面假设
变形前为平面的 F 横截面，变形后
仍保持为平面,而且仍垂直于轴线。
② 横截面上各点处变形相同。
正应力在横截面上均匀分布
正应力公式 FN
4kN
5kN 1.作轴力图
A
N (kN)
B
5 +
C
2.求各段横截面
上的应力
AB段：
AB
F NAB A
4 103 50 50
—
4
BC段： 1.6MPa
BC
F NBC A
5 103 50 50
2MPa
一、轴拉压杆的应力
2、斜截面上的应力
有时拉(压)杆件沿斜截面发生破坏。
因此，需要确定斜截面上的应力。
F 3m
AF
Fy 0
B
FN1 40 0
FN1 4m

建筑力学第3章轴向拉伸与压缩

A

F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN

A

2、计算各杆件的应力。
45°
C

B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2

p sin 0 cossin
0
2
k
k

sin2

P
P

k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当 = 0时，当 = 90°时，当 = ±45°时，当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60

B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN

轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的内力与轴力图(工程力学课件)

例题2 设一直杆AB 沿轴向受力如图示。已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN，试做轴力图。
P1
1
P2 2
P3
N
1
2kN
+
2
-
x
1kN
➢ 2.内力：由外力引起杆件内部之间的相互作用力。
➢ 3.截面法：截面法是显示和确定内力的基本方法。
截面法求内力的步骤
截取
用一个假想的截面，将杆件沿需求内力的截面处截为两部分；取其中任一部分为研究对象。
代替
用内力来代替弃去部分对选取部分的作用。
平衡
用静力平衡条件，根据已知外力求出内力。
轴力N——轴向拉压时横截面上的内力。规定拉力为正，压力为负。
用截面法求1-1截面上的轴力：
P
N
X 0
NP0
x
N P(拉力)
例题1
设一直杆 AB 沿轴向受力如图示。
已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN, 试求杆各段的轴力。
P1
1
P2 2
P3
P1
1NБайду номын сангаас
1
2
x
x
N2
P3
1-1截面： X 0, N1 P1 0,
2-2截面： X 0, N2 P3 0,
第一节轴向拉（压）杆的内力与轴力图第二节轴向拉（压）杆横截面上的正应力第三节轴向拉（压）杆的强度计算第四节轴向拉（压）杆的变形计算第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.轴向拉（压）杆件
• 受力特点：作用在杆件上的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合。 • 变形特点：杆件沿轴向发生伸长或缩短。 • 外力：外力作用在杆件上的荷载和约束反力。

轴向拉伸与压缩1(内力与应力)

1 4、作内力图 P 1 FN P P
2
3 P
2
3
P
P
x
[例2] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O
A
PA PB
B
C
PC
D
PD D PD
FN1
A PA
B PB
C PC
解：求OA 段内力FN1，设置截面如图
F
x
0 F N 1 P A PB PC P D 0
解： 1、求1-1截面上内力 FN1，设置截面如图
F
x
0
1 P 1 FN1 P P P
2
3
P
FN 1 P 0 FN 1 P
P
2
3
2、2-2截面上的内力
F
x
0
P
FN2
P P
FN 2 0
3、3-3截面上的内力
FN 3 P
P
FN3
FN 1 P FN 2 0
FN 3 P
2
s
α
t
Pa
1 2
t p sin s cos sin
s sin 2
四、sα 、tα出现最大的截面
1、=0º 即横截面上，s达到最大
s s cos s
2
t 0
t max s cos sin
1 2
2、=45º 的斜截面上， t剪应力达最大
P -3P x
★轴力图的特点：
1）遇到集中力，轴力图发生突变；
2）突变值 = 集中载荷的大小
5kN FN 5KN

材料力学轴向拉伸与压缩

轴向拉压变形
第二章轴向拉伸与压缩 2.2 杆旳变形
F
1.纵向变形（1）纵向变形（2）纵向应变
b h
l l1
Δl l1 l
Δl
l
h1
F
b1
第二章轴向拉伸与压缩
b
F
h
l l1
2.横向变形
h1
F
b1
（1）横向变形（2）横向应变 3.泊松比
b b1 b
b1 b Δb
bb
A d 2 FN 4 [ ]
由此可得链环旳圆钢直径为
d
4F [ ]
4 12.5 103 3.14 45106
m=18.8mm
第二章轴向拉伸与压缩
[例6]如图a所示，构造涉及钢杆1和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。在节点A悬挂一种G=20kN旳重物。钢杆AB旳横截面面A1=75 mm2，铜杆旳横截面面积为A2=150 mm2 。材料旳许用应力分别为，
GB/T 228－2023 金属材料室温拉伸试验措施
原则拉伸试样：
标距：试样工作段旳原始长度
要求标距: l 10 d 或者
l 5d
第二章轴向拉伸与压缩
试验设备（1）微机控制电子万能
试验机（2）游标卡尺
第二章轴向拉伸与压缩
试验设备
液压式
电子式
第二章轴向拉伸与压缩
拉伸试验
第二章轴向拉伸与压缩
第二章轴向拉伸与压缩
应力非均布区应力均布区应力非均布区
圣维南原理
力作用于杆端旳分布方式，只影响杆端局部范围旳应力分布，影响区约距杆端 1～2 倍杆旳横向尺寸。
端镶入底座，横向变形受阻，杆应力非均匀分布。

工程力学材料力学第一章

直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 k
设有一等直杆受拉力P作用。 P 求：斜截面k-k上的应力。解：采用截面法由平衡方程：Pα=P P P k P
α α
k Pα k
Pα 则： pα = Aα
Aα：斜截面面积；Pα：斜截面上内力。
A 由几何关系： α = cos Aα
σ 0 ( 45°斜截面上剪应力达到最大 ) |τ 当α = ± 45°时， α |max =
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公式的应用条件：公式的应用条件：直杆、杆的截面无突变、的距离。直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。圣维南( 原理：圣维南 Saint-Venant)原理：原理离开载荷作用处一定距离，离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。用方式的影响。应力集中（应力集中（Stress Concentration）：）：在截面尺寸突变处，应力急剧变大。在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。 2. 应力的表示：应力的表示： ① 平均应力：平均应力： ∆P M ∆A
ΔP pM = ΔA
全应力（总应力）： ② 全应力（总应力）：
p = lim
∆A → 0
∆P dP = ∆ A dA
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例题
图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 AB 水平杆AC的横截面面积为250mm AC的横截面面积为 200mm2。水平杆AC的横截面面积为250mm2。材料的弹性摸量E=200GPa 载荷F=10kN 试求节点A E=200GPa。 F=10kN。弹性摸量E=200GPa。载荷F=10kN。试求节点A的位移。计算各杆件的轴力。（设斜杆为1 。（设斜杆为解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2 用截面法取节点A 平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象