微积分讲义

0 0 2 0 2 0 0 0 0 2 2 0
0 0 0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
点构成的集合称为 D 的边界，记作 ∂D ；点集与其边界一起构成它的闭包，记作 D = D ∪ ∂D ． Note：边界点既可以属于 D ，也可以不属于 D ；孤立边界点． 例 1：求点集 D = {( x, y) x ≥ 0, y > 0} 的边界及其闭包． 解： ∂D = {( x, y) x ≥ 0, y = 0} ∪ {( x, y) y ≥ 0, x = 0} ； D = {( x, y ) x ≥ 0, y ≥ 0} ． 例 2：证明点 P（1, 0）是 D = {( x, y) x + y < 1} 和 D = {( x, y) x + y ≤1} 的边界点．
n n
2
2
2
2
1
2
n
n
n
证明： a + b
2
= (a + b, a + b) = (a , a ) + 2(a , b) + (b, b)
≤a
2
+2 a b + b
2
=( a + b ) ．
2
第 1 周讲课提纲（4 学时）
Note1 Note2
n
Page 2 of 14
：两点间的距离 d( A, B) =
1 2 3
AB
；三角不等式 d( A, B) ≤ d( A, C ) + d(C, B) ．
： R , R , R 中的距离． 3. R 中点列的收敛性 （1）定义：设 {P } 是 R 中一个点列， P 是 R 中一个点，若 lim d(P 点列 {P } 收敛到点 P ，记作 lim P = P ．
m0
m0
0
0
0
0
0
存在 P ∈ D 使得 0<d(P , P ) < δ ． 1 特别地，取 δ = m （ m 是正整数） ，则存在 P
δ
δ
0
m
∈D
使得
． 故存在 D 中的点列 {P } (P ≠ P ) ，使得 lim P = P ． 9.开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界区域（对区域进行分类） （1）开集：若点集 D 中的所有点都是内点，则称其为开集． （2）闭集：设 D 是 R 中的一个点集．若 R \ D 是开集，则称 D 为闭集． 例：证明 D = {( x, y) y ≤ 0} 是闭集．
0<d( P m , P0 ) <
m
1 m
m
m
0
m →∞
0
n
n
第 1 周讲课提纲（4 学时）
2
Page 5 of 14
证：记 M = R \ D = {( x, y) y > 0} ． 任给点 A( x , y ) ∈ M ，取 δ = y2 > 0 ，则 U ( A,δ ) ⊂ M ，即 A 是 M 的内点． 由点 A 的任意性，可知 M 是开集．从而 D 是闭集． （3）连通集：设 D 是 R 中的一个点集．若 D 中的任意两点总可以用 D 中的有限条直线段 连接起来，则称 D 是连通集． Note：折线连通、曲线连通．
2 2 2 2
0
1
2
第 1 周讲课提纲（4 学时）
2 2
0
Page 4 of 14
证：只证 P（1, 0）是 D = {( x, y) x + y < 1} 的边界点． 任给 δ > 0 ，取点 P (1 + δ2 ,0) ，则 P ∈U (P ,δ ) ，但 P ∉ D ； δ δ 取正整数 N ，使得1 − N > −1 ，则点 P (1 − , 0) ∈ U ( P , δ ) ∩ D ． N 8.点集的聚点 定义： 设 D 是一个非空点集， P 是一个定点．若对于任意的 δ > 0 ，都有 N ( P , δ ) ∩ D ≠ ∅ ，则称 P 是 D 的一个聚点． Note1：内点是聚点；外点非聚点；边界点可能是聚点，也可能不是聚点． Note2：若 P 是 D 的一个聚点，则 N ( P , δ ) 中有 D 中的无穷多个点． 根据聚点的定义， N (P ,δ ) 中有 D 中的点 P ；记 δ = d(P , P ) ，则 N (P ,δ ) 中有 D 中的 点 P ；记 δ = d(P , P ) ，则 N (P ,δ ) 中有 D 中的点 P ；……依次得到 N (P ,δ ) 中的不同点 P , P , P ,⋯ ． 定理： P 是 D 的聚点 ⇔ 存在 D 中的点列 {P } (P ≠ P ) ，使得 lim P = P ． 证明：充分性证明．因为存在 D 中的点列 {P } (P ≠ P ) ，使得 lim P = P ，所以对任
§10.1 多元连续函数
一、 R 中的简单拓扑学知识（预备知识） 1.向量的内积
n
（1）定义：设 a = (a , a ,⋯, a ) ， b = (b , b ,⋯, b ) ，则称向量 a, b 的内积为 (a, b) = ∑ a b ．
n 1 2 n 1 2 n k k k =1
（2）性质 性质 1（非负性） ： (a, a) ≥ 0 ，且 (a, a) = 0 ⇔ a = 0 ． 性质 2（对称性） ： ( a , b ) = ( b, a ) ． 性质 3（线性运算） ：设 a, b, c ∈ R ， α , β ∈ R ，则 (a,α b + β c) = α (a, b) + β (a, c) ． 性质 4（Cauchy—Schwarz 不等式） ：设 a, b ∈ R ，则 (a, b) ≤ (a, a)(b, b) ． 证明：设 λ ∈ R ，因为 0 ≤ (a + λ b, a + λ b) = (a , a ) + 2λ (a , b) + λ (b, b) ， 所以 ∆ = 4(a, b) − 4(a, a)(b, b) ≤ 0 ．故 (a, b) ≤ (a, a)(b, b) ． Note：利用内积可以定义长度． 2.向量的长度（模、范数） （1）定义：设 a = (a , a ,⋯, a ) ，则向量 a 的长度定义为 a = (a, a) ． （2）性质 性质 1（非负性） ： a ≥ 0 ，且 a = 0 ⇔ a = 0 ． 性质 2（齐次性） ：设 a ∈ R ， λ ∈ R ，则 λa =| λ | a ． 性质 3（三角不等式） ：设 a, b ∈ R ，则 a + b ≤ a + b ．
m m →∞ 0 m →∞ m m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
： R , R , R 中邻域的几何意义． 5.点集的内点（利用邻域可以讨论点与集合的关系） 定义：设 D 是一个非空点集， P ∈ D ．若存在 δ > 0 ，使得 U ( P , δ ) = {P d( P, P ) < δ } ⊂ D ，
0 0 0
n
A
例如： 是连通集； 不是连通集． （4）区域：连通的开集称为区域． （5）闭区域：设 D 是区域，则称 D ∪ ∂D 是闭区域． Note：有界区域，无界区域． Note1：注意闭集与闭区域的区别． Note2：空集、整个空间都认为是开集． Note3：闭区域的聚点都属于其自身（列紧性） ．■
第 1 周讲课提纲（4 学时）
P47
Page 1 of 14
（） （4） ， （定义域、开集） 2（1） （4） （极限）
1 2
第 10 章 多元函数微分学
：在学习多元函数微积分的有关内容时，注意与一元函数微积分的“异同”，充分利 用“比较性学习”的方法，达到“推陈出新”和“事半功倍”的结果．
Note
m n n
0
m →∞ m m 0 m →∞ 0 m m 1 m 2 m n 0 1 0 2 0 n m m k 0 k
m
, P0 ) = 0
，则称
定理（点列收敛与其分量数列收敛的关系） ：设 P = ( p , p ,⋯, p ) ， P = ( p , p ,⋯ , p ) ，则 lim P = P ⇔ lim p = p (k = 1, 2,⋯ , n) ． 证明：因为
0 m →∞ 0 m →∞
m 0 | pk − pk |
≤ d(P
m k
m
, P0 ) =
0 k
∑ ( pkm − pk0 )2 ≤
n k =1
m 0 n max {| pk − pk |} 1 k
≤ ≤n
，
所以 lim P = P ⇔ lim p = p (k = 1, 2,⋯, n) ． （2）性质 性质 1：极限点的唯一性（ d(P , P ) ≤ d(P , P ) + d(P , P ) ） ． 性质 2：收敛点列的有界性． 性质 3：有界点列有收敛子列（Bolzano 定理） ． Problem1：点列收敛的 Cauchy 准则该如何叙述？又该如何证明？ Problem2：空间（多维空间）中的区间套定理该如何叙述？又该如何证明？ 4.邻域（利用距离可以定义邻域） 定义： U (P ,δ ) = {P d(P, P ) < δ } 称为 P 的 δ 邻域（与 P 的距离小于 δ 的点构成的集 合） ． N ( P , δ ) = {P 0 < d( P, P ) < δ } 称为 P 的 δ 去心邻域．
B
二、多元函数的概念（以二元函数为例） 引例： （1）长方形的面积公式 S = ab ； （2）圆柱体的体积公式 V = πr h ； 1 1 1 （3）并联电路的电阻 R = + ； R R （4）理想气体的状态方程 PV = RT ，其中 P,V ,T 分别为压力、体积、温度， R 是常数． （5）某地点在某时刻的温度 T = T ( x, y, z, t ) ． 1．二元函数的定义 定义：设 D 是一个平面上的非空集合， f 是定义在 D 上的一个对应关系．若对任意的 点 ( x, y) ∈ D 都有唯一的实数 z 通过 f 与之对应，则称 f 是定义在 D 上的一个二元函数，记 作 z = f ( x, y ) ， ( x, y ) ∈ D ． ( x, y ) 称作自变量，其取值范围 D 称作 f 的定义域；