圆的方程-2
6.4.2圆的一般方程
+ − − + + − =
令 − = , − = , + − =
∴ + + + + =
结论：任何一个圆的方程可以写成 + + + + =
思考：是不是任何一个形如 + + + + =
的方程都表示曲线圆呢？
情境
引入
将 + − − + + − = 配方得
+ −
( + ) +( + ) =
∴当 + − > 时,方程 + + + + = 表示圆.
方法：
+ + + + = ,
利用配方法将圆的一般
+ + + + + = ,
方程化成圆的标准方程.
∴ ( + ) + ( + ) = ,
圆心坐标为 (−, −)
圆的半径为 =
例4 求过三点(, )、(, )、(, )的圆的方程，并求圆心坐标和
(2) x2+y2+4y-5=0;
(3) x2+y2-6x+2y-6=0;
(4) x2+2x+y2-6y=0.
2.求以点(4,-2)为圆心, 2为半径的圆的一般方程.
3.方程 + − + − = ,是否为圆的方程?如果是,
圆的标准、一般方程 2
又k AC y y ，且k BC ， 6分 x 1 x 3 y y 且k AC k BC 1 8分 ， x 1 x 3
则 x 0 x a ，y0 y (1)，
2 2
2 因为|AD|=m， 所以（x a） y2 m2 (2). …………………8分 0 0
将（1）式代入（2）式整理得 （x+3a）2+y2=4m2. …………………………………………10分 因为C不能在x轴上,所以y≠0②， …………………………11分 故所求轨迹方程为（x+3a）2+y2=4m2(y≠0). ……………12分
OC AC AO 52 42 3． 6分
2 2
所以圆心C的坐标为（3，0）或(－3，0)②,
所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=25，
或(x+3)2+y2=25. ……………………………………………12分
典例2已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －
对称的圆的标准方程.
【变式训练】若圆(x+1)2+(y-5)2=4与圆(x-3)2+(y+3)2=4关于
直线x+y-a=0对称,求实数a的值.
【解析】由题意知,两圆的圆心关于直线x+y-a=0对称，即两圆
心的中点在该直线上. 因为两圆的圆心分别为（-1，5），（3，-3）,其中点坐标为 （1，1）,所以有1+1-a=0,得a=2.
r | CM | (2 1) 2 (3 1) 2 5
所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
第3讲 圆的方程
30
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟 建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然 后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
31
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
训练2 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y
27
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最 值问题的基本思路
(1)动化定：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离． (2)曲化直：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要 通过对称性解决．
28
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
14
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
法三：设 A(3，0)，B(0，1)，⊙M 的半径为 r， 则 kAB＝10－－03＝－13，AB 的中点坐标为(32，12)， ∴AB 的垂直平分线方程为 y－12＝3(x－32)， 即 3x－y－4＝0. 联立23xx＋－yy－－14＝＝00，，解得xy＝ ＝－ 1，1，
17
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
训练1 在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(－2，－1)的圆C和直 线x－y＋1＝0相切，且圆心在直线y＝2x上，则圆C的标准方程为_______ _____________．
根据题意，圆心在直线y＝2x上， 则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r， 又圆C过点M(－2，－1)且与直线x－y＋1＝0相切，
答案：(－1，3) x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
9
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
圆的16个公式
圆的16个公式1.圆的面积：S=πr²=πd²/4。
2.扇形弧长：L=圆心角（弧度制）*r=n°πr/180°（n为圆心角）。
3.扇形面积：S=nπr²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）。
4.圆的直径：d=2r。
5.圆锥侧面积：S=πrl（l为母线长）。
6.圆锥底面半径：r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）。
7.圆的周长：C=2πr或C=πd。
8.圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
9.圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4。
故有：10.当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；11.当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；12.当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。
13.圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ,y=b+r*sinθ,（其中θ为参数）。
14.圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0。
15.圆的离心率e=0，在圆上任意一点的半径都是r。
16.经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2。
圆的标准方程 (2)
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
x + y + Dx + Ey + F = 0 26 - D + 5 E + F = 0 D = -4, E = -2, F = -20 2 2 50 + 5 D + 5 E + F = 0 x + y - 4 x - 2 y - 20 = 0 40 + 6 D - 2 E + F = 0 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。
对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。
2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。
3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。
4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。
5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。
对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。
例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。
又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。
极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。
2.2.2 圆的一般方程
2.2．2 圆的一般方程教学分析圆的一般方程是表示圆的方程的又一基本形式，本节内容研究圆的一般方程的方法与研究圆的标准方程不同，它是在学习了圆的标准方程的基础上将圆的方程展开，化成二元二次方程的形式：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，从而得出：任何一个圆的方程都可以写成这种形式，即任何一个圆的方程都可表示成关于x ，y 的二元二次方程的形式，但是，是不是任何一个关于x ，y 的形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程的曲线都表示圆呢？这就给学生留下了一个悬念．教材中讨论二元二次方程所表示的曲线运用了“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想，这种思想要求学生理解掌握．教材通过将二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋F 22＝D 2＋E 2－4F 4后，只需讨论D 2＋E 2－4F ＞0，D 2＋E 2－4F ＝0，D 2＋E 2－4F ＜0三种情况．与圆的标准方程比较可知D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．从而得出圆的一般方程的特点：(1)x 2和y 2的系数相同，不等于0；(2)没有xy 这样的二次项；(3)D 2＋E 2－4F ＞0.其中(1)和(2)是二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的必要条件，但不是充分条件，只有三条同时满足才是充要条件．同圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2含有三个待定系数a ，b ，r 一样，圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中也含有三个待定系数D ，E ，F ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．同样可以用待定系数法求得圆的一般方程．在实际问题中，究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定．圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径，因此，对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程．如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系，通常采用圆的一般方程；当两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式，这是因为它可避免解三元二次方程组．圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长．我们知道，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，它有利于研究圆的有关性质和作图．而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中，哪些是圆的方程，哪些不是圆的方程，它们各有自己的优点，在教学过程中，应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化，尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径．要画出圆，就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程，然后才能画出曲线的形状．这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性．三维目标1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径．2．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件，通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析、解决问题的能力．3．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法和轨迹法求圆的方程，同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力．重点难点教学重点：①圆的一般方程的代数特征．②一般方程与标准方程间的互化．③根据已知条件确定方程中的系数D ，E ，F .教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.写出圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将圆的标准方程展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0.如果D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得到方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式．能不能说方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课的内容．提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？③给出式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子.④把式子(x －a )2＋(y －b )2＝r 2与x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方后的式子比较，得出x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？讨论结果：①以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的．②我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般．③把式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. ④(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中，r ＞0时表示圆，r ＝0时表示点(a ，b )，r ＜0时不表示任何图形．因此式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4， (ⅰ)当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆； (ⅱ)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2； (ⅲ)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，由此得到圆的方程都能写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，它表示的曲线才是圆．因此x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ＞0.我们把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的方程称为圆的一般方程．⑤圆的一般方程形式上的特点：x 2和y 2的系数相同，不等于0.没有xy 这样的二次项．圆的一般方程中有三个待定的系数D ，E ，F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．应用示例例1 求过点M (－1,1)，并与已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y －3＝0同心的圆的方程．图1解：将已知圆的方程化为标准方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16，圆心C 的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r ＝|CM |＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5.所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25(如图1)．例2 求过三点O (0,0)，M 1(1,1)，M 2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径长和圆心坐标．解：方法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由O ，M 1，M 2在圆上，则有⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0.解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，即(x －4)2＋(y ＋3)2＝52.所以圆心坐标为(4，－3)，半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，M 1M 2的中点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32， 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，① AB 的垂直平分线PF 的直线方程y －32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，3x ＋y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3.则点P 的坐标为(4，－3)，即为圆心．OP＝5为半径．方法三：设所求圆的圆心坐标为P (a ，b )，根据圆的性质可得|OP |＝|AP |＝|BP |，即x 2＋y 2＝(x －1)2＋(y －1)2＝(x －4)2＋(y －2)2，解之，得P (4，－3)，OP ＝5为半径．方法四：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解．把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于a ，b ，r的方程组，即⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a 2＋b 2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3，r ＝5. 所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝52，圆心坐标为(4，－3)，半径为5.点评：请同学们比较，关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程．一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．例3 已知点P (10,0)，Q 为圆x 2＋y 2＝16上一动点．当Q 在圆上运动时，求PQ 的中点M的轨迹方程．活动：学生回想求曲线方程的方法与步骤，思考讨论，教师适时点拨提示，本题可利用平面几何的知识，过中点作中线，利用中线定长可得方程，再就是利用求曲线方程的办法来求．解法一：如图2，作MN ∥OQ 交x 轴于N ，图2则N 为OP 的中点，即N (5,0)．因为|MN |＝12|OQ |＝2(定长)． 所以所求点M 的轨迹方程为(x －5)2＋y 2＝4.点评：用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件，然后再将条件代数化．但在许多问题中，动点满足的几何条件较为隐蔽复杂，将它翻译成代数语言时也有困难，这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法．转移法就是一种很重要的方法．用转移法求轨迹方程时，首先分析轨迹上的动点M 的运动情况，探求它是由什么样的点控制的．解法二：设M (x ，y )为所求轨迹上任意一点Q (x 0，y 0)．因为M 是PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10＋x 02，y ＝0＋y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －10，y 0＝2y .(*) 又因为Q (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝16上，所以x 20＋y 20＝16.将(*)代入得(2x －10)2＋(2y )2＝16.故所求的轨迹方程为(x －5)2＋y 2＝4.点评：相关点法步骤：①设被动点M (x ，y )，主动点Q (x 0，y 0)．②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f 1(x 0，y 0)，y ＝f 2(x 0，y 0).(Ⅰ) ③从(Ⅰ)中解出⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝g 1(x ，y )，y 0＝g 2(x ，y ).(Ⅱ)④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程)，化简得被动点的轨迹方程． 这种求轨迹方程的方法也叫相关点法，以后要注意运用.变式训练已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)．由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32.于是有x 0＝2x －4，y 0＝2y －3.①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.②把①代入②，得(2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4，整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1. 所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，半径长为1的圆. 课堂练习：P80课堂小结1．任何一个圆的方程都可以写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标，则宜用一般方程．3．要画出圆的图像，必须要知道圆心坐标和半径，因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法．课后作业：P85习题2—2 A组第2,3题．。
圆的方程
5.弦长与切线方程，切线长的求法
(1)弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r， 2 弦长l，则 d 2 l r 2 2 (2)圆的切线方程： 若点 P( x0，y0 ) 在圆 x2 y 2 r 2 上，则过点P的切线 方程为 x0 x y0 y r 2 若点 P( x0，y0 ) 在圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 上，则过 点P的切线方程为 ( x a)(x0 a) ( y b) ( y0 b) r 2
二、学习方法指导
例1 当曲线 y 1 4 x 2 与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异
交点时，实数k的取值范围是(
5 A． 0， 12 1 3 B． 3， 4
)
5 3 C． ， 12 4
5 D． ， 12
2 故所求圆的方程为 ( x 19 ) ( y
例5 求圆心在直线x－y－４＝0上，并且经过两圆
2 2 2 2 C1 ：x y 4 x 3 0 和 C2 ： x y 4 y 3 0
的交点的圆的方程． 思路分析：求经过两圆交点的圆，可利用圆系方程求解． 解：设所求圆的方程为
解得a＝2或a＝4． 所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0 说明：本题巧用根与系数的关系，列出 x1x2 y1 y2 0 进而求得方程，另外，在设方程时，设过(3，0)的的直线方程
x＋ay－3＝0可避免讨论。
例4 求过P(5，－3)，Q(0，6)两点，且圆心在直线2x－3y－6＝0 上的圆的方程． 思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式，但是要注意 圆的有关几何性质的运用．
思路分析：可以先求出两圆交点坐标，利用两点间的距离 求之；亦可利用几何法求．
2[2].3.2圆的一般方程
![2[2].3.2圆的一般方程](https://img.taocdn.com/s3/m/b3e1baf3fab069dc5022019d.png)
（C）x－y－2=0 （D）x－y+2=0
3．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切
于原点，则（ C ） （A）D≠0，E≠0，F=0 （B）D≠0，E=0，F=0 （C）D=0，E≠0，F=0
（D）D=0，E=0，F≠0
4．圆C：x2+y2－2x－6y+9=0关于直线x
－y－1=0对称的曲线方程是（ C ） （A）x2+y2+2x+6y+9=0 （B）x2+y2－6x+2y+9=0 （C）x2+y2－8x+15=0
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时， 不能构成三角形，故去掉曲 线与x轴的两个交点， 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
2+y2－2x+y－ 15 （2）方程两边除以4，得x 2+(y+ 1 )2=5， =0，配方得(x－1) 2 1
4
所以圆心坐标为(1，－ )，半径为 5 2
例2．求过三点A(0，5)，B(1，－2)， C(－3Байду номын сангаас－4)的圆的方程。 解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 根据题设条件将A(0，5)，B(1，－2)， C(－3，－4)的坐标代入方程得到关于D， E，F的三元一次方程组，
圆的方程(含答案)
圆的方程【知识清单】： 1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.注意：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．【考点突破】：考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)1．(易错题)(2015·潍坊模拟)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析：选D 由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有(2－1)2＋(b －0)2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.2．(2016·石家庄一检)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．.53B ．213C ．253D ．43解析：选B 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233， 故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.[谨记通法]：1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒]：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有： 角度一：斜率型最值问题1．(2016·抚顺模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度四：建立目标函数求最值问题4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1 和两点A (－m,0), B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B 由(x －3)2＋(y －4)2＝1知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即 AP ·BP ＝0，∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝34， ∴0＜m ≤6，即m 的最大值为6.[方法归纳]：求解与圆有关的最值问题的2大规律(1)借助几何性质求最值：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值：根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的． 考点三 与圆有关的轨迹问题(重点保分型考点——师生共研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3， ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3；②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1， ∴r 2＝3，∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.已知 OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量 OQ 满足 OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，由 OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4[由题悟法]：与圆有关的轨迹问题的4种求法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【三维演练】：一抓基础，多练小题做到眼疾手快3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B ．22C ．1D ． 2解析：选D 已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝ 2.4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2；又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.5．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为________． 解析：(x ，y )关于原点P (0,0)的对称点为(－x ，－y )， 则(－x ＋2)2＋(－y )2＝5，即(x －2)2＋y 2＝5. 答案：(x －2)2＋y 2＝5二保高考，全练题型做到高考达标3．(2016·深圳五校联考)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.4．(2016·济南模拟)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 设圆C 1的圆心坐标C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(a ，b )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( ) A ．(4,6) B ．[4,6] C ．[4,6)D ．(4,6]解析：选A 易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令 r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．6．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝27．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9 的外部，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝－3k .∴(－4k )2＋(－3k )2＞9，即25k 2＞9， 解得k ＞35或k ＜－35.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 8．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________． 解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：49．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求 PQ ·MQ 的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )， 由已知得M (－2，－2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ·MQ ＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴ PQ ·MQ ＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 所以 PQ · MQ 的最小值为－4.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝52．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)， MP ＝(2－x,2－y )，由题设知 CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.【拓展延伸】：题型一：利用基本量的数学思想求圆的方程1、 已知方程22240x y x y m +--+=，（1）若此方程表示圆，求圆心坐标及m 的取值范围. （2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于11(,)M x y 、22N(,)x y 两点，且OM ON ⊥,求圆的方程 .2、 已知方程222610x y x y ++-+=，直线:m 3l x y += （1）若直线l 和圆C 相切，求实数m 的值；（2）是否存在m 的值，使直线l 和圆C 相交于A,B 两点，且0OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，若存在，试求出m 的值；否则，请说明理由 .题型二：与圆有关的最值问题1、 过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且面积最大的圆的方程为________．. 2、（1）已知点P(,)x y 在圆2211x y +-=（）上运动，则12y x --的最大值为________；最小值为________． （2）已知实数x 、y 满足010y 221x y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩________． 题型三：点与圆的位置关系1、已知圆22:640C x y x y +-+=，试判断点T(1-，-2）与圆C 的位置关系.2、已知21a (y c M ，）、22a (y cM ，），其中222a - c ,a b c 0b =>且，，， ，点F (c ，0）在以MN 为直径的圆P 上，试判断原点与圆P 的位置关系.题型四：直线与圆的位置关系：1、直线1+=ax y 与圆03222=--+x y x 的交点的个数是2、已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆C ：222x a y b r -+-=（）（）覆盖.(1) 试求圆C 的方程；若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.3、 已知：以点2C(t t，）(t R 0∈≠，t ）为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B .（1）求证：AOB ∆面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于M 、N 两点，若OM ON =,求圆C 的方程.题型五：与（动）圆有关的定点、定直线问题1、 已知圆C 方程：228m 6m+26+10m m x y x y m +--+=∈≠（）（R,0） （1）证明：圆C 恒过一个定点M ，并求出此定点M 坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论.2、已知圆C ：221316x y -+-=（）（） ，直线:(2m 3)(m 4)220l x y m ++++-=（1）求证：无论m 取任何实数，直线l 必经过一个定点，请求出这个定点坐标； （2）当m 取任意实数时，直线l 与圆C 的位置关系有无不变性？试说明理由；（3）请判断直线l 被圆C 截得的弦何时最短？试求出截得的弦最短时，m 的值以及弦的长度a.3、已知圆C ：221x y += ，直线1l 过点A(3，0）,且与圆C 相切 （1）求直线1l 的方程；（2）设圆C 与x 轴相交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线记为2l ，直线PM 交2l 于 'P ，直线QM 交2l 于 'Q ，试证明：以'P 'Q 为直径的圆'C 总经过定点，请求出定点坐标.。
高中数学课件-2 圆的一般方程
【例2】 圆经过P(－2, 4), Q(3, －1)两点，并且在x轴上截得的 弦长等于6，求圆的方程？
解 解::((11))设 设圆 圆的 的方 方程 程为 为 xx22＋ ＋yy22＋ ＋DDxx＋ ＋EEyy＋ ＋FF＝ ＝00， ，
解将 将:(1PP)设、 、圆QQ 的点 点方的 的程坐 坐为标 标分 分x2＋别 别y代 代2＋入 入D得 得x＋Ey＋F＝0，
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得：(x 1)2 (y 2)2 4
(2)2x2 2y2 2x 2y 1 0
配方得： x
1
2
2
Hale Waihona Puke y122
0
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
配方得：(x 2)2 (y 3)2 2
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
特别的：若圆心为O（0，0），则圆的方 程为：
x2 y2 r2
探究 1：将圆的标准方程展开是什么形式？
(x a)2 (y b)2 r2
将圆的标准方程展开得：
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2 =0
由于a,b,r均为常数
令 2a D,2b E,a2 b2 r 2 F
探索3 ：将下列方程通过配方成化成圆的 标准方程！并思考，是否一定表示圆？
x2 y2 Dx Ey F 0
方程配方为：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E 2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E 2 4F
r D2 E2 4F 2
2.1.2 圆的参数方程
义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 逆 时针旋转到 OM 的位 置时，OM0 转过的角度．
[小问题· 大思维]
x＝Rcos θ 1．方程 y＝Rsin θ
(θ 为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，
以 R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化 得出？
提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方程为 x2 x 2 y 2 ＋y ＝R ，即(R) ＋(R) ＝1，令
由直线l的极坐标方程可知直线l的方程为y＝1，则根据图象可 知直线l和圆C的交点为(－1,1)，(1,1)． [答案] (－1,1)，(1,1)
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x＝cos α 的参数方程为 y＝1＋sin
α
(α 为
参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1， 则直线 l 和圆 C 的交点的直角坐标为 ________．
[命题立意]
方程．
本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标
[解析]
由圆的参数方程知圆心的坐标为(0,1)，半径r＝1，
2φ
π π (φ 为参数且－ 2≤φ≤2)
[悟一法] (1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同 一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也 可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可 以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数 的取值范围． (2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会
θ
上，
π ∴ 3x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＋1＝2sin (θ＋3)＋1
∴－2＋1≤ 3x＋y≤2＋1. 即 3x＋y 的取值范围为[－1,3]． (2)∵x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0， ∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1. π 又－(cos θ＋sin θ)－1＝－ 2sin (θ＋4)－1≤ 2－1， ∴a≥ 2－1 即 a 的取值范围为[ 2－1，＋∞)．
高二数学必修二圆与圆的方程知识点总结
第四章圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x ay b -+-<2r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
圆的方程
例3： 例2.已知方程x2 +y 2 -2(t+3)x+2(1-4t 2 )y+16t 4 +9=0，求
（1）方程中的t为何值时，方程表示圆；（2）方程表示 圆时，t为何值时圆的面积最大？
l3 : x y 8 0
2、根据下列条件，求圆的方程： (1).经过点A（2，-3）和点B（-2，-5），圆心在直线x-2y-3=0上； (2).圆心在直线5x=3y上，且与直线x-6y-10=0相切于点P（4，1）； (3).圆心在直线2x-3y+4=0上，且与x轴y轴都相切。
问 题：
猜测：
过圆x 2 y 2 r 2上一点（x0 , y0）的切线方程：x0 x y0 y r 2
(1) 若切线斜率不存在，x0 r , y0 0 切线方程为x r或x r
(2) 若半径斜率不存在，y0 r , x0 0 切线方程为y r或y r
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
(1)
反过来，形如（1）的方程的曲线 是不是圆？
圆的一般方程
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
配方得： x D y E 1 D 2 E 2 4F 2 2 4
2 2
(1)
(3) 若斜率都存在，设切线斜率为k y0 x0 1 则半径斜率k1 k x0 k1 y0 x0 切线方程为：y y0 ( x x0 ) y0 即x0 x y0 y r 2 (*)
经检验：（）、（）均适合（*） 1 2 切线方程为：x0 x y0 y r
圆的方程及其求法
解析：圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心 C1 为(－1,1)，半径为 1.易知点 C1(－1,1)
关于直线 x－y－1＝0 对称的点为 C2，设 C2(a，b)，则baa－ ＋ －2 111＝ ， b＝－2，
所以 C2(2，－2)，所以圆 C2 的圆心为 C2(2，－2)，半径为 1，所以圆
引申探究 1.在本例的条件下，求yx的最大值和最小值． 解：yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点 的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为 y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2kk2＋＋31|＝1，解得 k＝－2＋233或 k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最
又∵圆 C 与直线 x－y＝0 相切， ∴－D2 ＋2 E2＝12 D2＋E2－4F， 即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)， ∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心－D2 ，－E2到直线 x－y－3＝0 的距离 d＝－D2 ＋2E2－3， 由已知得 d2＋ 262＝r2， ∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
解析：由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线 4x －3y＝0 相切， ∴|4a5－3|＝1，解得 a＝2 或 a＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 故选 A.
答案：A
题型一 圆的方程
例 1 (1)(2020·湖北名校摸底)过点 A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线 x＋y－2＝0
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－ y1)(y－y2)＝0.( √ )
圆的方程
圆的方程[最新考纲]1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题.知 识 梳 理1．圆的定义和圆的方程 2. 点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三种关系：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)． ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．辨 析 感 悟定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方 程标准(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)圆心C (a ，b )半径为r一般x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0充要条件：D 2＋E 2－4F ＞0 圆心坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2半径r ＝1．对圆的方程的理解(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)(2013·江西卷改编)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.( )2．对点与圆的位置关系的认识(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( )(6)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．( ) [感悟·提升]1．一个性质 圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b )．2．三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a |； 二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).考点一 求圆的方程【例1】 根据下列条件，求圆的方程．(1)求过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43的圆的方程． (2)已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为4 2.规律方法求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．【训练1】(1)(2014·济南模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()．A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．规律方法与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】(2014·金华十校联考)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是()．A. 2 B．2 2 C. 3 D．2 3考点三与圆有关的轨迹问题【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．.规律方法求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．【训练3】已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题方法优化7——利用几何性质巧设方程求半径【典例】在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．[反思感悟] 一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．优美解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．【自主体验】1．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|＝3，则该圆的标准方程是________．2．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()．A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝42．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2014·银川模拟)圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝04．两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－15∪[1，＋∞)5．(2014·东营模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1二、填空题6．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为______．8．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()．A．8 B．－4C．6 D．无法确定2．(2014·烟台二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点F的距离为5，则以M 为圆心且与y 轴相切的圆的方程为( )． A ．(x －1)2＋(y －4)2＝1 B ．(x －1)2＋(y ＋4)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －4)2＝16 D ．(x －1)2＋(y ＋4)2＝16二、填空题3．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．三、解答题4．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．。
圆的方程的求解技巧
圆的方程的求解技巧圆是平面几何中的一种基本图形，其特点是由平面上所有与一个点的距离相等的点组成。
圆的方程是表示圆的数学式子，在解题过程中，我们需要掌握一些技巧。
下面将介绍几种常见的圆的方程求解技巧。
1. 根据圆心和半径求解：圆心是圆心坐标为（a，b），半径为r的圆方程可表示为（x-a）² + (y-b)² = r²。
这种情况下，我们已知圆心和半径，直接代入方程即可求解圆的方程。
2. 根据圆上的点求解：如果已知圆上的一点A，其坐标为（x₁，y₁），且已知圆的半径为r，可以通过将点A的坐标带入圆的方程中得到另一个方程，然后与圆的方程联立求解。
例题：已知圆心为（2，3），过点（1，5）的圆的方程。
解答：假设圆的方程为（x-a）² + (y-b)² = r²，已知圆心为（2，3），则方程变为（x-2）² + (y-3)² = r²。
由于点（1，5）在圆上，可代入方程（1-2）² + (5-3)² = r²，即1 + 4 = r²，所以r²=5。
将r²带入方程中，得到（x-2）² + (y-3)² = 5，即为所求的方程。
3. 根据与x轴或y轴的交点求解：如果已知圆与x轴或y轴相交于两点，可以通过坐标轴上的交点来确定圆的方程。
例题：已知圆与x轴和y轴相交于点（4，0）和（0，3）的圆的方程。
解答：设圆心为（a，b），圆的方程为（x-a）²+ (y-b)² = r²。
过点（4，0）的圆的方程为（4-a）²+ (0-b)²= r²，即16 - 8a + a² + b² = r²。
----（1）过点（0，3）的圆的方程为（0-a）²+ (3-b)²= r²，即9 - 6b + b² + a² = r²。
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变： 圆心为 （2，-3）且与直线 3x-4y-5=0 相切的圆 方程
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例2 已知三角形ABC顶点坐标为A（4，3），B（5，2）， C（1，0），求三角形ABC的外接圆方程求三角形ABC的 外接圆方程
解，设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 因为点Ａ，Ｂ，Ｃ在所求的圆上，故有 ４Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ＋２５＝０ ５Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＋２９＝０ Ｄ＋Ｆ＋１＝０ 故所求的方程是 2+y2-6x-2y+5=0 x 需要更完整的资源请到 新世纪教
A
o
那么圆上任意一点P(x,y), 应满足
即 O1(0,b) 第三步
2 2
O1P= r
2
( x 0) ( x 0) ( y b) r 即：
( y b)2 r 2
(18.7 0) 2 (0 b) 2 r (0 0) (7.2 b) r
2 2 2
与圆的标准方程比较知：
D E （2）当D2+E2-4F=0时，上式表示一个点( 2 , 2 )
（3）当D2+E2-4F<0时，上式不表示任何图形。
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我们把 方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F＞０)
叫做圆的一般方程
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3.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 所表 示的曲线关于直线y=x对称，那么必有( A ) (Ａ) Ｄ＝Ｅ (Ｂ) Ｄ＝Ｆ (Ｃ) Ｅ＝Ｆ (Ｄ) Ｄ＝Ｅ＝Ｆ
4.方程x2+y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆 ( D ) (Ａ)关于x轴对称 (Ｂ)关于y轴对称 (Ｃ)关于直线x-y=0对称 (Ｄ)关于直线x+y=0 对称
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例1 求圆心是C（2，-3）且经过原点的圆的方程。 解： 设所求圆的方程的半径 为r r= (2 0) 2 (3 0) 2 13
又因为圆心过 （2，-3），根据圆的标准方程 可得所求圆方程为 (x-2)2+(y+3)2=13
通过上面的学习，我们已经知道圆的标准方程为：
(x a)2 ( y b)2 r 2
(r>0 )
展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0
它的一般形式为：
x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2）
思考：一般地： （D，E，F为 常数）它一定是圆的方程吗？
因此，只需确定b,r的值，就能写出圆方程 求相关量 将点B（18.7，0）C（0，7.2）分别 代入上式 2
解得b
2
-20.7,
r
27.9
第四步
写出圆的方程
需要更完整的资源请到 新世纪教 故赵州桥拱所在圆的方程为 x ( y 20.7) 育网 -
2
27.92
圆的方程
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河北省赵县的赵州桥是世界上历史最 悠久的石拱桥，赵州桥的跨度为37.4米 圆拱高约7.2米，如何写出这个圆拱所在 圆的方程？ 解： 第一步 建立坐标系
y
P(x,y)
C(0,7.2)
以圆拱所对应的弦为x轴，弦的中垂线 为y轴建立直角坐标系。 根据平面几何知识知道圆拱所在圆的圆 心o1必在y轴上， 故可设o1（0，b） 设点，写条件 x 第二步 设圆拱所在圆的半径为r， 根据圆的定义 B(18.7,0)
一般的， 以C(a , b) 为圆心 r为半径的圆方程是________________________。
( x a)2 ( y b)2 r 2
解：设P（x，y）是所求圆上任一点
即：
( x a)2 ( y b)2 r 2
由圆的定义得 PC=
r
即
( x a ) 2 ( y b) 2 r
2.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 若a=0且 b=r, 则此圆的位置特征是 ( D ) A. 圆心在x轴的负半轴上, 且与y轴相切
B. 圆心在x轴的正半轴上, 且与y轴相切
C. 圆心在y轴的负半轴上, 且与x轴相切
需要更完整的资源请到 新世纪教 D. 圆心在y轴的正半轴上 , 且与 x轴相切 育网 -
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Ｄ＝－６ Ｅ＝－２ Ｆ＝５
例2 已知一隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能 在道路中心线一侧行驶一辆宽为2.7米，高为3米的货 车能不能驶过这个隧道？
Y 4
A
B
2.7
0 解
X
以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为X轴，建立 坐标系 那么半圆的方程为 2 2
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配方得：
D 2 E 2 1 2 2 ( x ) ( y ) ( D E 4F ) 2 2 4
D E （1）当D2+E2-4F>0时，上式表示以 ( 2 , 2 ) 1 D 2 E 2 4 F 为半径的圆。 为圆心，以 2
反过来，若点P1 的坐标（x1,y1)是方程的解，则有 ( x1 a) 2 ( y1 b) 2 r 2 即 ( x1 a ) 2 ( y1 b) 2 r
即方程的解所对应的点都在以C（a，b）为圆心， y r为半径的圆上。
p(x,y)
方程
( x a)2 ( y b)2 r 2
r
c(a,b)
(r>0)
r 0
叫做以（a ，b）为圆心，以r为 半径圆的标准方程。
特别的，当圆心在原点，即 2 2 c(0,0), 圆方程为
x
x +y =r2
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且当 r=1 时，即 需要更完整的资源请到 x2+y2=1称之为单位圆 . 新世纪教
练习:
1.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3, 则此圆 （１，－５） 的圆心为__________ 半径为_________. 3