【数学】湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一5月联考试题
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1． 经过两点(4,0)(0,3)A B 、-的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B ．34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=【答案】A【解析】直线AB 斜率为0(3)3,404AB k --==-所以直线AB 方程为30(4),4y x -=-即34120.x y --=故选A2．已知0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <【答案】B【解析】由不等式的性质，即可得出结果. 【详解】0a b >>，a b ∴>，11a b<，a b -<-，22a b >. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了理解辨析能力，属于一般题目. 3．已知直线31ax y +=与直线320x y -+=互相垂直，则a =（ ） A ．-3 B ．-1C ．3D ．1【答案】D【解析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为1-即可得到答案. 【详解】直线31ax y +=的斜率为3a-，直线320x y -+=的斜率为3，由题意， ()313a-⨯=-，解得1a =. 故选：D 【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 4．在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =（ ） A．B．C．D．【答案】B【解析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=sin sin 43b π=，解得b =故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．2D ．5-【答案】A【解析】将函数变形为1333y x x =+-+-，利用基本不等式求解. 【详解】11333533y x x x x =+=+-+≥=--， 当且仅当133x x =--，即4x =时，取等号. 所以函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为5 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且280a a +=，1133S =，则公差d 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由280a a +=及等差数列下标和的性质可得50a =，再由1133S =可得63a =，进而可得公差的值． 【详解】∵等差数列{}n a 中，28520a a a +==， ∴50a =． 又()111611611211113322a a a S a+⨯⨯====，∴63a =，∴公差653d a a =-=． 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列项的下标和的性质和前n 项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前n 项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】B【解析】根据圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为2， 所以122S rl πππ==⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和侧面积的求法，属于基础题.8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个红球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球 【答案】C【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9．我国2015年以来，第x 年（2015年为第一年）的国内生产总值y （万亿元），数据如下：由散点图分析可知y 与x 线性相关，若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是7.7y x a =+，则实数a 的值为（ ）A ．61.3B ．60.5C ．59.9D ．59.6【答案】B【解析】先求解,x y ，结合线性回归直线一定经过点(),x y 可求实数a 的值. 【详解】 由表可知()11234535x =++++=，()1697583929983.65y =++++=， 因为7.7y x a =+经过点()3,83.6，所以83.67.73a =⨯+，解得60.5a =. 故选：B.【点睛】本题主要考查回归直线的性质，利用线性回归直线必过中心点(),x y 可求解此题，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知两条不同直线l ，m ，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是( ) A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若//αβ，//m α，l β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则//l m D ．若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥ 【答案】B【解析】对A ，//l m 或,l m 异面，所以该选项错误；对B ，l m ⊥，所以该选项正确；对C ，l m ⊥，所以该选项错误；对D ，l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 【详解】对A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或,l m 异面，所以该选项错误； 对B ，若//αβ，l β⊥，所以l α⊥，因为//m α，则l m ⊥，所以该选项正确； 对C ，若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥，所以该选项错误；对D ，若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.11．如图，在ABC 中，458B AC D =︒=，，是BC 边上一点，57DC DA ==，，则AB 的长为（ ）A． B．C ．8 D．【答案】D【解析】先由余弦定理求出1cos 7ADC ∠=，得出sin 7∠=ADB ，再由正弦定理得到sin sin =∠DA ABB ADB，即可求出结果. 【详解】因为57DC DA ==，，8AC =，所以2227581cos 2757+-∠==⋅⋅ADC ，因此1cos 7∠=-ADB，所以sin 7∠=ADB ， 又45B =︒，7=DA ，由正弦定理可得：sin sin =∠DA ABB ADB，所以7sin sin 2⋅∠===DA ADBAB B故选D 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪.其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺.问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布.现请问该女子第3天织了多少布？（ ） A ．1尺 B ．43尺 C ．531尺 D ．2031尺 【答案】D【解析】分别设5天织布为：a ，2a ，4a ，8a ，16a 为等比数列，进而可求出结果. 【详解】设第一天织布为a 尺，以后几天分别为2a ，4a ，8a ，16a ，共31a =5 所以531=a 尺 第三天为：20431=a 尺故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和，考查了计算能力，属于一般题目.13．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．25C ．5 D ．10 【答案】A【解析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==， 在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552a a a +-=5=， 所以异面直线AM 与BC 1故选：A 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（ ） A ．19B ．29C ．39D ．49【答案】D【解析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【详解】解：三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即11B 、22B 、33B ⋯B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯共有91090⨯=个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即22B ，44B ，66B ，88B ，B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯其有41040⨯=个，∴三位数的回文数中，偶数的概率404909P ==； 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题． 15．由直线x+2y-7=0 上一点P 引圆222420x y x y +-++=的一条切线，切点为A,则PA 的最小值为 A．BC．D．【答案】B【解析】由222420x y x y +-++=得圆的标准方程为()()22123x y -++=，设圆心为C ，故()1,2C -，由切线性质可得223PA PC =-，PC的最小值为=故PA，故选B.点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.二、填空题16．不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,2)-【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果. 【详解】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， ∴240k =-＜ ∴2-＜k ＜2 故答案为()2,2- 【点睛】（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【答案】8【解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.18．如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．【答案】3【解析】设AB hm =，则3BC =，BD 3h =，则3320h h -=，∴103h m =，故答案为10319．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________. 22【解析】根据BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，则1132A BCD AB ADV BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，然后由BC CD =且AB AD =时体积最大求解.【详解】 如图所示：因为BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒， 所以1132A BCD AB AD V BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，当BC CD =且AB AD =时体积最大， 因为22BD =，所以2BC CD ==，2AB AD ==， 所以最大体积为：11222232322⋅⋅⋅=； 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且（()()()222123222x x x -+-+-()2102170x ++-=，则数据1x ，2x ，…，10x 的平均数是________. 【答案】2-或6.【解析】由数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．【详解】数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，()()()()22221231010x x x x x x x x∴-+-+-++-=，()()22221210121010210x x x x x x x x ∴++++-+++=，()222212101010x x x x ∴+++-=，①()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，()()22212101210440170x x x x x x ∴+++-++++=，()22212104040170x x x x ∴+++-+=，②将②-①得24120x x --=，解得2x =-，或6x =， 故答案为：2-或6. 【点睛】本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题.三、解答题21．已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c Bb =+． （1）求角C 的大小；（2）若7a b +=，ABC 的面积等于c 边长．【答案】（1）3π（2【解析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c . 【详解】（1）由正弦定理可知，1sin sin cos sin 2A CB B =⋅+，1sin()sin cos sin 2B C C B B ∴+=⋅+，即1sin cos sin 2B C B =sin 0B ≠1cos 2C ∴=， 0C π<<，3C π∴=（2）1sin 24ABCSab C ab ===， 12ab ∴=7a b +=2222cos c a b ab C ∴=+- 2()3493613a b ab =+-=-=c ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 22．已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=. （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =m 的值. 【答案】（1）5m <；（2）4m =【解析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，可得22(2)(1)5x y m -+-=-，然后根据20r >，可得结果.（2）根据圆的弦长公式. 【详解】（1）22420x y x y m +--+=化简得22(2)(1)5x y m -+-=-， 则当5m <时，方程C 表示以(2,1). （2）圆心(2,1)C 到直线l 的距离为5d ==225m ∴-=+⎝⎭⎝⎭，解得4m =. 【点睛】本题考查表示圆的方程满足条件以及圆的弦长公式，属基础题.23．哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a ，b 的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.【答案】（1）0.020a =，0.026b =；中位数为411213；（2）815. 【解析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人列式求解a ，b 的值，再根据中位数左右两边的面积均为0.5计算即可.（2）在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示， 在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示，再利用枚举法求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则(0.0020.0080.0140.0150.010.005)101a b +++++++⨯=，得0.046a b +=，又由100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人 则10010()6b a ⨯-=，解得0.020a =，0.026b =中位数中位数为()0.5100.0020.0080.0140.021100.026-++++411213= （2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A ，由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示， 从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，共8种所以8()15P A =抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF //平面PCD ； （2）平面PAB ⏊平面PCD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EG DC ，从而平面//EFG 平面PCD ，由此能得出结论；（2）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面P AD ，即得CD PA ⊥，结合PA PD ⊥得出PA ⊥平面PCD ，由此能证明结论成立.【详解】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，∵E ，F 分别是AD ，PB 的中点， ∴//FG PC ，//EG DC ，∴//FG 面PCD ，//EG 面PCD ， ∵FGEG G =，∴平面//EFG 平面PCD ，∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面PCD .（2）因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为PA ⊂平面P AD ，所以CD PA ⊥.又因为PA PD ⊥， PD CD D ⋂=，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*11122n n n a a n N +=+∈. （1）设()1*2n n n b a n N -=∈，求证数列{}n b 为等差数列；（2）求n S ；（3）若对任意*n N ∈，不等式15422n n S λ-≥--恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1242n n n S -+=-；（3）116λ≥. 【解析】（1）由11211n n n n b a b -+=+=+可得答案；（2）求得n b n =，12n n a n -=得到n a ，运用数列的错位相减法求和得到n S ； （3）结合（2）化简不等式，再由参数分离得到32n n λ-≥，再对32n n -讨论，利用单调性可得到λ的最小值. 【详解】（1）111112221122nnn n n n n n n b a a a b -++⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，即()*11n n b b n N+-=∈，所以数列{}n a 是首项为01121b a ==，公差为1的等差数列；（2）由（1）得n b n =，即12n n a n -=，12n n na -∴=， 01211232222n n n S -∴=++++，① 121112122222n n n n nS --∴=++++，② ①-②，得0121111111122212222222212n n n n n n n n n S --+=++++-=-=--， 所以1242n n n S -+=-； （3）不等式即为112544222n n n λ--+-≥--，化简得32n n λ-≥，对任意*n N ∈恒成立，令()*32n n n c n N -=∈，则111234222n n n n n n n n c c +++----=-=，所以3n ≤时，10n n c c +->，即1n n c c +>；4n =时，10n n c c +-=，即1n n c c +=；5n ≥时，10n n c c +-<，即1n n C C +<；所以1234567c c c c c c c <<<=>>>，所以{}n c 的最大项为45116c c ==， 所以116λ≥. 【点睛】本题考查了数列的通项公式和前n 项和公式的求法，注意错位相减的合理运用,以及常数分离法解决恒成立的问题.。
长郡中学2019年高一第一次月考数学试卷
16.关于函数 f x
x2 x4
的性质描述，正确的是__________.
x 1 1
① f x 的定义域为1, 0 0,1 ；② f x 的值域为 1,1 ；③ f x 在定义域上是增函
数；④ f x 的图象关于原点对称.
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 48 分)
(1)已知二次函数 f x ax2 2x 4a a R ，试判断 f x 是否为定义域 R 上的 “局部奇函数”？若是，求出所有满足 f x f x 的 x 的值；若不是，请说明理由；
(2)若 f x 2x m 是定义在区间 1,1 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围.
(2)若对任意的 t 1, 4 ，不等式 f 2t 3 f t k 0 恒成立，求实数 k 的取值范
围.
22.(本小题满分 8 分)
定义：对于函数 f x ，若在定义域内存在实数 x ，满足 f x f x ，则称 f x 为
“局部奇函数”.
f
1 4
f
1 10
n ，则
m
n
(
)
A. 10
B.10
C. 9
D. 9
9. 已 知 函 数 f x x a x b ( 其 中 a b ) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数
g x ax b 的图象是( )
14. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f x 满 足 ： 当 x 0 ， f x x2 2x a ， 则
f 3 __________.
2019学年湖南长郡中学高一上模块检测一数学试卷【含答案及解析】
2019学年湖南长郡中学高一上模块检测一数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．2. 下列图形中不能作为函数的图象的是（）3. 下列各组函数中表示同一函数的是（）A．，B．，C．，D．，4. 设，，集合，，若，则（）A． B． C． D．5. 设集合，，则（） A． B． C． D．6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．7. 函数的定义域为（）A．B．C．D．8. 函数（）的图象的大致形状是（）9. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则等于（）A．3 B．1 C． D．10. 定义在上的满足：① ；②对任意的，（），有，则（）A． B．C． D．11. 设函数，则使得成立的的取值范围是（）A． _________ B．C． D．12. 在如图所示的锐角三角形空地（底边长为40 ，高为40 ）中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（）A． B． C． D．13. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、解答题14. 设表示不超过的最大整数（如，）．对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（）A．B．C．____________________D．三、选择题15. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A．或B．_________C．_________D．四、填空题16. 若，则______________ ．17. 已知集合，则用列举法表示集合______________ ．18. 已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是 ______________ ．19. 已知若是的最小值，则的取值范围为______________ ．20. 在一次研究性学习中，老师给出函数（），四个小组的同学在研究此函数时，讨论交流后分别得到以下四个结果：①函数的值域为；②若，则一定有；③若规定，…，，则对任意恒成立；④若实数，满足，则．你认为上述四个结果中正确的序号有____________________ ．（写出所有正确结果的序号）五、解答题21. （1）求值：；（2）已知，求的值．22. 已知全集，集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．23. 已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）写出的单调递增区间，并用定义证明．24. 已知是定义在上的奇函数．（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．25. 已知函数，．（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）若 0，求函数在区间上的最大值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年下学期期末考试高一数学试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11-的等比中项是（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴=+=∴=±，等比中项为-1或1考点：等比中项2.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A. 22a b > B. 0a b -> C. 0a b +< D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.【点睛】本题考查判断不等式的正误，常利用不等式的性质或比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5， 因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.若经过两点4,21A y 、2,3B 的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1- B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。
2024学年湖南省长沙市长郡湘府中学高三5月份综合模拟检测试题数学试题
2024学年湖南省长沙市长郡湘府中学高三5月份综合模拟检测试题数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2CD2．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．314．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．45．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月6．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．7．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．68．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 9．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -11．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．1812．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学2019届高三五月份联考书卷数学(理科)试题
湖南省 五月份联考试卷 数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知以为正实数，i 为虚数单位，|a+i i |=2,则a =A.2B.√3C.√2D.12.已知集合A ={x ∈Z|123+x ∈N),B ={x|x 2−4x −5≤0},则A ⋂B =A.{−1,0,1,3}B.{−1,0,1,2}C.{−1,0,1}D.{0,1,2,3}3.下图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是A. 2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省B.与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量五省都实现了增长C.去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D.2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个长沙一中 师大附中雅礼中学 长郡中学4.设0≤x ≤2π，且√1−sin 2x =sin x −cos x ，则 A.0≤x ≤π B.π4≤x ≤7π4 C.π4≤x ≤5π4 D.π2≤x ≤3π25.设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；② x 、y 是直线， z 是平面；③ z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x//y ”为真命题的是A.③④B.①③C.②③D.①②6.已知函数f （x ）是R 上的偶函数， g(x)是R 上的奇函数，且g(x)=f(x −1)，若f(2)=2,则f(2019)的值为A.2B.0C.−2D.±27.若(3x +1x √x )n (n ∈N*)的展开式中含有常数项，且n 的最小值为以，则∫√a 2−x 2a−a dx = A.36π B.81π2 C.25π2 D.25π8.已知向量a 与b 的夹角为θ,定义a ×b 为a 与b 的“向量积”，且a ×b 是一个向量，它的长度|a ×b|=|a||b|sin θ,若u =(2,0),u −υ=(1,−√3)，则|u ×(u +υ)|=A.4√3B.√3C.6D.2√39.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0),F 2(c,0)，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线PF 2与圆E:(x −c 2)2+y 2=b 216相切，则双曲线的渐近线方程是 A ⋅y =±x B ⋅y =±√2x C ⋅y =±√3x D ⋅y =±2x10.已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,0<φ<π)的一个零点是π3,函数y =f(x)图象的一条对称轴是直线x =−π6，则当ω取得最小值时，函数f(x)的单调递增区间是A.[3kπ−π3,3kπ−π6](k ∈Z )B.[3kπ−5π3,3kπ−π6](k ∈Z) C.[2kπ−2π3,2kπ−π6](k ∈Z ) D.[2kπ−π3,2kπ−π6](k ∈Z) 11.在边长为2√3的菱形ABCD 中，∠BAD= 60o ，沿对角线BD 折成二面角A-BD-C 为120的四面体ABCD(如右图)，则此四面体的外接球表面积为A.28πB.7πC.14πD.21π12.已知函数f(x)=(2a +2)ln x +2ax 2+5.设a <−1，若对任意不相等的正数x 1,x 2,恒有|f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2|≥8.则实数a 的取值范围是A.(−3,−1)B.(−2,−1)C.(−∞,−3]D.(−∞,−2]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.设变量x,y 满足约束条件{x +y ≥3,x −y ≥−1,2x −y ≤3.则目标函数z =2x +3y 的最小值为______________.14.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为______________.15.过抛物线C:y 2=2Px(P >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段 AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN|=√33|AB|，则l 的斜率为______.16.如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心,OC =65,残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC 上，则裁出三角形面积的最大值为______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a n 2=8a 1+1,公差d >0,S 1.、S 4.、S 16成等比数列，数列{b n }满足log 2b n =(a n −1)log 2√x.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式；(2)已知c n =1an a n +1,求数列{c n +b n }的前n 项和T n ⋅18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形， AB ⊥AD,AB//CD,PC ⊥底面ABCD ，AB=2AD=2CD=4，PC= 2a ，E 是PB 的中点.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若二面角P-AC-E 的余弦值为√63,求直线PA 与平EAC 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知圆M:(x +2√3)2+y 2=64及定点N(2√3,0),点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA 上，且满足NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,点G 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；(2)设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线y =12x 和y =−12x 分别交于P 、Q 两点，当k|>12时，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的取值范围.20.（本小题满分12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n ∈N *）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n 次；(2)混合检验，将其中k(k ∈N *且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k+l 次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （0<p<l ）.(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k （k ∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2(i)试运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2,试求p 关于k 的函数关系式P =f(k);( ii)若p =1−√e 3，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据： ln 2≈0.6931,ln 3≈1.0986,ln 4≈1.3863,ln 5≈1.6094,ln 6≈1.7918.21.（本小题满分12分）记max{m,n}表示m,n 中的最大值，如max{3,√10}=√10.已知函数f(x)=max{x 2−1,2ln x},g(x)=max{x +ln x,−x 2+(α2−12)x +2α2+4α}⋅(1)设ℎ(x)=f(x)−3(x −12)(x −1)2，求函数ℎ(x)在(0,1]上的零点个数；(2)试探讨是否存在实数a ∈(−2,+∞)，使得g(x)<32x +4a 对x ∈(a +2,+∞)恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在第22～23题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2√3+αt,y=4+√3t（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为(2,π6)，直线l经过点A.曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)过点P(√3,0)作直线l的垂线交曲线C于D，E两点(D在x轴上方)，求1|PD|−1|PE|的值.23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x−a|+|x−2a+3|.(1)当a=2时，解关于x的不等式f(x)≤9;(2)当a≠2时，若对任意实数x,f(x)≥4都成立，求实数a的取值范围.。
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年度高一第一学期入学考试数学试卷（word）
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年度高一第一学期入学考试数学试卷（word）2019-2020长郡中学高一上开学考试数学卷2019.08一. 选择题1. 9的算术平方根是（）A. 3B. 3-C. 3±D. 812. 2019年4月23日是中国海军70华诞的日子，我国宣布中国海军现役海军人数约为24万人，舰船300余艘，现役舰艇总吨位仅次于美国，将24万用科学计数法表示为（）A. 42410?B. 52.410?C. 42.410?D. 72.410?3. 过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示,它的俯视图为（）ABCD4. 下列运算中正确的是（）A. 666422n n n --=- B. ()326327nn -=C. 22(4)416n n n -=-+D. 2(2)(2)4n n n +-=-5. 下列事件中，是必然事件是（） A. 买一张电影票，座位号一定是偶数B. 随时打开电视机，正在播新闻C. 将△ACB 绕点C 旋转50°得到△A ′C ′B ′，这两个三角形全等D. 阴天就一定会下雨6. 不等式组2233(51)72x x x x-?-?--<-?…，的整数解得个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 27. 如图,正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后,若顶点A ,B ,C ,D 的坐标分别是()()()()0,,3,2,,,,,a b m c m -则点E 的坐标是（）A. (3,2)B. (2,3)C. (2,3)-D. (3,2)-8. 如图,在物理课上,老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中,然后缓慢匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是（）ABCD9. 《九章算术》记载了一个方程的问题,译为:今有上禾6束,减损其中之“实”十八升,与下禾10束之“实”相当;下禾15束,减损其中之"实"五升,与上禾5束之“实”相当.问上,下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为x 升和y 升，则可列方程组为（）A. 618101555x y y x +=??+=?B. 618101555x yy x -=??-=?C. 6181515510x yy x -=??-=?D. 6181515510x yy x+=??+=?10. 如图,△ABC 中, 90,3,4,BAC AB AC ∠===点D 是BC 的中点,将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ,连CE ,则线段CE 的长等于（）A. 2B. 54C.53D. 7511. 如图,边长为4cm 的正方形ABCD ,点F 为正方形的中点,点E 在F A 的延长线上,EA =4cm ,⊙O 的半径为1cm ,圆心O 从点E 出发向点F 运动,小明发现：当EO 满足35EO <<①;35;44EO EO EO =+=+②③④剟,⊙O 与正方形ABCD 的边只有两个公共点,你认为小明探究的结论中正确的有（）A. ①③B. ②③C. ②④D. ①③④12. 已知二次函数22y x mx =- (m 为常数),当12x -剟时,函数值y 的最小值为?2,则m 的值是（）A. 32B.C.32D. -32二. 填空题13. 因式分解2288a a -+=14. 已知a ，b 是一元二次方程25+0x x k +=的两个实数根，且2a ab b -+=，则实数k 的值是15. 已知220,3a b a b ab >>+=，则22a b ab-的值为16. 如图，在Rt ACB ?，90ACB ?∠=，AC BC =，点O 是Rt ACB ?内部一点，ABO BCO CAO ∠=∠=∠.设,,OA a OB b OC c ===，则a bc+= 17. 在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为.18. 已知矩形OABC 中,O 为坐标原点,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,B 的坐标为(10,5)，点P 在边BC 上，点A 关于OP 的对称点为A'，若点A ′到直线BC 的距离为4，则点A ′的坐标可能为 .三. 解答题19.计算2201912cos 45|(1)2--+---．20. 先化简22242mm m m m m ??-÷ ?--+??，再从-2，0，1，2中选取一个符合要求的数代入求值。
湖南省长沙市长郡集团2019-2020学年度第二学期5月高一联考化学试卷(word含答案)
长郡中学2019—2020学年度高一第二学期5月联考化学试卷时量：90分钟满分：100分可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N~14 O~16 Na~23 S~32第I卷（选择题，共48分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.古籍《天工开物》中记载的“凡石灰，经火焚炼为用”涉及的反应类型是（）A化合反应 B.分解反应 C.置换反应 D.复分解反应2.下列各组微粒中，互称为同位素的是（）A.63Li和73Li B.146C和147N C.Cl和Cl D.O2和O33.下列物质溶于水，有离子键破坏的是（）A.NH3B.H2SO4C.HNO3D.NH4Cl4.一小块钠在空气中长期放置，最后变成的物质是（）A.Na2O2B.NaOHC.Na2CO3D.Na2O5.下列关于化学键的叙述正确的是（）A.所有物质里都含有化学键B.离子化合物中可能含有共价键C.共价化合物中可能含有离子键D.水分子中的化学键是非极性键6.下列气体中，不能．．用浓硫酸干燥的是（）A.NOB.SO2C.Cl2D.H2S7.对同一周期主族元素从左到右递变的一般规律，叙述正确的是（）A.最外层电子数逐渐增多B.原子半径逐渐增大C.最高正化合价逐渐减小D.元索的金属性逐渐增强8.用下面的方案检验试液中的24SO -，其中方案设计严密的是（ ）A 2BaCl −−−→−−−−→溶液稀硝酸试液无沉淀白色沉淀B.2BaCl −−−→−−−−→溶液稀盐酸试液无沉淀白色沉淀C.2BaCl −−−−→−−−→溶液稀硝酸试液白色沉淀白色沉淀D.2BaCl −−−−→−−−→溶液稀盐酸试液白色沉淀白色沉淀9.实验室需要200mL 0.100mol ·L -1 NaOH 溶液，配制时的部分实验操作如图所示，下列说法正确的是（ ）A.实验中需用到的玻璃仪器有：100mL 容量瓶、烧杯、玻璃棒、胶头滴管等B.实验操作步骤的正确顺序为dabcC.容量瓶需要用自来水洗涤，干燥后才可用D.定容时，若俯视容量瓶的刻度线，则使配得的NaOH 溶液浓度偏高 10.下列方程式能用离子方程式+2H +OH H O -==表示的是（ ）A.32222HCl +CaCO ==CaCl +H O +CO ↑B.24324323H SO +2Al(OH)==Al (SO )+6H OC.2HI +NaOH ==NaI +H OD.24242H SO +Ba(OH)=BaSO +2H O ↓二、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11.下列物质分类的正确组合是（ ）12.根据元素周期律和元素周期表，下列推断不合理．．．的是（ ） A.第35号元素的单质在常温常压下是液体 B.第四周期第ⅤA 族的元素为非金属元素 C.第二周期第ⅥA 族的元素的最高化合价是+6 D.第七周期0族元素的原子序数为11813.常温下，下列各组离子在溶液中一定能大量共存的是（ ）A.K +、Mg 2+、3CHO -、24SO -B.H +、4NH +、Cl -、23SO -C.K +、Na +、2AlO -、3NO -D.H +、Fe 2+、I -、3NO -14.用如图中的实验装置进行相应的实验，不能．．达到实验目的的是（）A.用图甲装置，可快速制取氨气B用图乙装置，分离饱和食盐水溶液中的食盐和水C.用图丙装置操作方法，可检验Fe2+D.用图丁装置，可说明浓H2SO4具有脱水性和强氧化性.，SO2具有漂白性和还原性13.设N A代表阿伏加德罗常数的值，下列有关叙述．．中正确的是（）A.在N A个P4分子中含有4N A个共价键B.在含N A个硅原子的二氧化硅晶体中含有4N A个Si—O键C.1mol Na2O2中，含有的阴离子数为2N AD.向FeI2溶液中通入适量Cl2，当有1mol Fe2+被氧化时，转移的电子总数为3N Al6.X、Y、Z、M、W为五种短周期元素，X原子的质子数与电子层数相同，W原子核外电子数是M原子最外层电子数的2倍，Y、Z、M、W在周期表中的相对位置如下表所示。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期线上教学效果检测考试数学试题(解析版)
则 BEF （或其补角）为异面直线 AC 与 BE 所成的角，
AC 2 3, SA SB AB BC SC 2
BE EF BF 3
BEF 60 ．
故选 C．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所成的角是关
键．
12．各项均为实数的等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn ,若 S10 10 , S30 70 , 则 S40 等
的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运
算过程.
11．如图，在三棱锥 S ABC 中， E 为棱 SC 的中点.若 AC 2 3 ，
SA SB SC AB BC 2 .则异面直线 AC 与 BE 所成的角为（ ）
A． 30
【答案】C
B． 45
C． 60
a(1 q10 ) 1 q
10
，
S30
a(1 q30 ) 1 q
70
1 q30 二式相除得， 1 q10
7 ，整理得1 q10 q20
7
解得 q10 2 或 q10 3 （舍）
a(1 q40 )
S40 1 q S10 a(1 q10 ) 1 q40
所以有
1 q = 1 q10
1 24 15 = 12
7．在 ABC 中， a2 b2 c2 2bc cos A 2ac cos B ，则 ABC 一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【解析】由余弦定理结合题意得 a2 b2 c2 ，由勾股定理逆定理即可得解.
【详解】
a2 b2 c2 2bc cos A 2ac cos B ，
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞4．（3分）函数332x x xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)106．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍A ．10B ．100C ．1010D ．100009．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或412．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．214．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．215．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+-=g ．17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = ．18．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= ．19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= ． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 ．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b+r r 与a b -rr 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值．23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u ur u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u rr，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ； （2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<…个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围．25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）． （1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}【解答】解：集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}， 所以{3U A =ð，7，9}， 故选：D ．2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：由题意可知，1030x x -⎧⎨->⎩…，解可得，13x <„，即函数的定义域为[1，3)． 故选：B ．3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞【解答】解：2()4f x x mx m =+-的对称轴12x m =-，2()4f x x mx m =+-Q 在区间[1-，4]上单调， ∴12m --„，或142m -…， 2m ∴…或8m -„，故选：A ．4．（3分）函数332xx xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【解答】解：Q 2()03x >，∴21()13x +>，∴31(0,1)2321()3x xx xy ==∈++， 故选：D ．5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)10【解答】解：Q 对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，且f （3）1=， ∴令3x y ==得：f （9）f =（3）f +（3）2=，∴原不等式()(1)2f m f m <-+可化为()(1)f m f m f <-+（9），()(99)f m f m ∴<-，又Q 函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数， ∴01099m m m m>⎧⎪->⎨⎪<-⎩，解得：9010m <<，故选：D ．6．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：1331log log 414a ==>Q ，01b <<，01c <<， a ∴最大，又1141211()()464b ==Q ，1131211()()381c ==，且幂函数112y x =在(0,)+∞上单调递增，c b ∴<， c b a ∴<< 故选：B ．7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<【解答】解：设幂函数解析式为：y x α= (α为常数），Q 幂函数的图象经过点1(,2)2，∴1()22α=，解得1α=-，∴幂函数解析式为：11y x x-==， ∴幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， 01a b <<<Q ，1101a b b a∴<<<<<， 又Q 幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， f ∴（a ）f >（b ）11()()f f b a >>，故选：B ．8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍 A ．10B ．100C ．1010D ．10000【解答】解：由题意可得：12010701060I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即10276I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减得121I lgI =，∴1210II =， 1I ∴是2I 的10倍，故选：A ．9．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 【解答】解：A 错，最小正周期为π，当6x π=时，()1f x ≠，B 错，2()3sin()063f ππ-=-≠，C 错，当5(,)1212x ππ∈-时，2(32x ππ-∈-，)2π，()f x 单调递增，D 成立，故选：D ．10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 【解答】解：将3sin y x =的图象上的所有点的横标缩短原来的12倍， 得到3sin 2y x =的图象，再将函数的图象向上平移1个单位， 即可得到函数3sin 21y x =+的图象． 故选：B ．11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或4【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则由题意可得26122r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得41l r =⎧⎨=⎩，或22l r =⎧⎨=⎩，当41l r =⎧⎨=⎩，时，其中心角的弧度数4l r α==；当22l r =⎧⎨=⎩时，其中心角的弧度数1l r α==故选：D ．12．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：ABC ∆Q 为锐角三角形，2A B π∴+>．2A B π∴>-，2B A π>-．sin cos A B ∴>，sin cos B A > cos sin 0B A ∴-<，sin cos 0B A ->P ∴在第二象限．故选：B ．13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．2【解答】解：函数()3sin(2)2f x x π=+，所以函数的周期242T ππ==． 对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，3()3f x -剟． 则12||x x -的最小值为22T=． 故选：D ．14．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r 垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：Q (1a b λλ-=r r ，3)(4--，2)(4λ-=-，32)λ-+，a b λ-r r 与a r垂直， ∴()43(32)0a b a λλλ-=---+=r r rg ，解得1λ=．故选：B ．15．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-【解答】解以O 为坐标原点建立如图坐标系，则P ，Q 在以O 为圆心的单位圆上，设(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，又(1,1)A --，(1,1)C ， ∴(cos 1,sin 1)AP αα=++u u u r ，(cos 1,sin 1)CQ ββ==-u u u r ， ∴(cos 1)(cos 1)(sin 1)(sin 1)AP CQ αβαβ=+-++-u u u r u u u rgg g cos cos cos cos 1sin sin sin sin 1αββααββα=+--++-- (cos cos sin sin )(sin cos )(sin cos )2αβαβββαα=+++-+- cos()2)2)244ππαββα=-++-，当cos()1αβ-=-，且sin()14πβ+=-，且sin()14πα+=时，则AP CQ u u u r u u u rg 有最小值，此时(21)k αβπ-=+，且524k βππ=+，且2()4k k Z παπ=+∈，∴AP CQ u u u r u u u rg 能取到最小值322--， 故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+=g 4 ．【解答】解：原式23()351232()2423lg lg lg lg -⨯-=--g2512444=--=． 故答案为：4． 17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = 3 ． 【解答】解：根据题意，()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+， 令2x =可得：2f （2）1()22152f -=⨯+=，① 令12x =可得：12()2f f -（2）12122=⨯+=，②， 联立①②解可得：1()32f =； 故答案为：318．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= 25 ． 【解答】解：Qsin 2cos 5sin 2cos αααα+=-， ∴tan 25tan 2αα+=-，解得tan 3α=， ∴2222221sin cos 1tan 132cos sin 221315cos sin cos tan ααααααααα++++====+++． 故答案为：25． 19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= 2425 ． 【解答】解：Q 2sin()24απ-=， 22224sin cos()cos2()12sin ()12()2242425παπαπαα∴=-=-=--=-⨯=． 故答案为：2425． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 2 ．【解答】解：由21cos(22)()sin ()2x f x x ωϕωϕ-+=+=及图象知：函数的半周期在1(2，1)之间，即112122πω<<g ， ∴2πωπ<<，2ω∴= 或3ω=．由图象经过点(1,0)，所以f （1）1cos(22)02ωϕ-+==，知222()k k Z ωϕπ+=∈， 222k ωϕπ∴=-+， 由图象知1cos21(0)22f ϕ-=>，得cos20ω<， 又当ω为正整数2时，可得：cos2cos40ω=<，cos60>，所以可得：2ω=．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<． （1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．【解答】解：（1）根据题意，函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=， 则(1)2f -=-，又由f （2）3<，则有12124132a b c a b ca b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩且a 、b 、c N ∈，解可得1a =，1b =，0c =； （2）由（1）可得：211()x f x x x x+==+，函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数， 设121x x <-„，121212121212(1)()11()()()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+-+=， 又由121x x <-„，则12()0x x -<且12(1)0x x ->，则有12()()0f x f x -<，故函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b +r r与a b -r r 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值． 【解答】解：（1）由a b +r r 与a b -r r 互相垂直，可得22()()0a b a b a b +-=-=r r r r r r g ，所以222cos sin 10αλα+-=，又因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)sin 0λα-=， 因为02πα<<，所以2sin 0α≠，所以210λ-=，又因为0λ>，所以1λ=．（2）由（1）知(cos ,sin )a αα=r ，由45a b =r r g ，得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，即4cos()5αβ-=， 因为02παβ<<<，所以02παβ-<-<，所以3sin()5αβ-==-， 所以sin()3tan()cos()4αβαβαβ--==--， 因此tan()tan 1tan tan()1tan()tan 2αββααββαββ-+=-+==--． 23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u u r u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u r r ，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r 和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ；（2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值． 【解答】解：（1）(1)(1)BM AM AB AC AB a b λλ=-=--=--u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r r r ；CN AN AC AB AC b a λλ=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ； （2）32BM CN =-u u u u r u u u r g ，即[(1)]()a b b a λλ=---r r r r g 22213[(1)1](1)(1)2244(1)22a b b a λλλλλλλλ=-+---=-+---=-r r r r g g g g ， 化为24140λλ+-=，解得12λ=．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围． 【解答】解：（1）Q 31()4sin (sin )3sin 2(1cos2)2sin(2)126g x x x x x x x π=-=--=+-， ∴函数()2sin(2)16g x x π=+-的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()2sin(22)16f x x πϕ=++-的图象，又()f x 为偶函数，则2()62k k Z ππϕπ+=+∈， Q 02πϕ<„，∴6πϕ=，()2sin(2)12cos212f x x x π∴=+-=-，()()2cos 1063f f ππϕ==-=． （2）Q 7(,)6x ππ∈，∴22(22,22)662x πππϕπϕπϕ++∈++++， Q 02πϕ<„，∴72(,]666πππϕ+∈，32(,]222πππϕ+∈， ()f x Q 在7(,)6ππ上是单调函数． ∴262ππϕ+…，且02πϕ<„，∴[,]62ππϕ∈． 25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）．（1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）1,()1,x a x a f x x a x a --⎧=⎨-+-<⎩…， 当1a …时，()(0)3max f x f ==，4a ∴=；当1a <时，()max f x f =（2）3=，2a ∴=-；综上：4a =或2-．（2）()||0g x x x a x a m =--+-=有三个零点， 等价于()||h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点，22,(),x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+=⎨-+-+<⎩…， 当12a 剟时，()h x 在1(,)2a --∞上递增， 在1(2a -，1)2a +递减，在1(2a +，)+∞递增； 10()2a m h -∴<<，即2(1)0(14a m +<<∈，9]4， 904m ∴<<． 当11a -<<时，()h x 在1(2a -，1)2a +上递减，在(-∞，11)(22a a -+，)+∞上递增； 11(()()22a a h m h +-∴<<即22(1)(1)44a a m -+-<<， 914m ∴-<<．。
湖南省长沙市长郡中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-<<，{}220B x x x =-<，则AB =（ ）A. ()10-， B. ()02， C. ()20-， D. ()22-，【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】由()2220x x x x -=-<，解得02x <<，所以()0,2A B =.故选：B.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.函数()f x =的定义域为（ ） A. (]30-， B. ()31-， C. ()3-∞-，D.()(]331-∞--，，【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得30x -<≤.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零，属于基础题.3.若函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（）A. （﹣∞，2)B. （0，2）C. （0，12] D. [12，2） 【答案】C 【解析】 【分析】 函数f （x ）＝()()()2111a x x ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，等价于当1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，当1x <时，()1f x ax =+是增函数；另外还要满足()f x 在分界点1x =处，左边的函数值小于等于右边的函数值，即12+≤-a a ，通过解不等式组，可确定a 的取值范围. 【详解】由1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，得20a ->，即2a <；由1x <时，()1f x ax =+是增函数，得0a >；又()f x 的定义域为R ，所以在1x =应有12+≤-a a ，即12a ≤，综上，实数a 的取值范围是1(0,]2，故选C. 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,容易忽略对分界点左右两边的函数值大小关系进行讨论.4.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y x = B. y ＝2x -C. y ＝|x|D. 1y x=【答案】C 【解析】 【分析】逐一判断每个函数的奇偶性和单调性，可得正确答案.【详解】对于A ， y x =，为奇函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于C ， y x =，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于D ，1y x=，为奇函数，不符合题意；故选C.【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性的判断，较基础.5.函数[]211,1y x x x =-+∈-，的最大值与最小值之和 （ ） A. 1.75 B. 3.75 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的对称轴，判断其在[]1,1-上的单调性，根据单调性求出最值，即可得出结果。
【精准解析】湖南省长沙市长郡集团2019-2020学年高一5月联考化学试题
长郡中学2019—2020学年度高一第二学期5月联考化学试卷时量：90分钟满分：100分可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N~14 O~16 Na~23 S~32第I卷（选择题，共48分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 古籍《天工开物》中记载的“凡石灰，经火焚炼为用”涉及的反应类型是（）A. 化合反应B. 分解反应C. 置换反应D. 复分解反应【答案】B【解析】【详解】“凡石灰，经火焚炼为用”此处的石灰是碳酸钙，涉及的反应是，是一种物质生成两种物质，属于分解反应，故选B。
2. 下列各组微粒中，互称为同位素的是（）A. 63Li和73Li B. 146C和147N C. Cl和Cl- D. O2和O3【答案】A【解析】【分析】质子数相同中子数不同的核素互称为同位素。
【详解】A．63Li和73Li质子数都是3，中子数分别为3和4，属于同位素，A正确；B．146C和147N质子数不同，不是同位素，B错误；C．Cl和Cl-分别是氯原子和氯离子，不是同位素，C错误；D．O2和O3是同种元素形成的不同单质，是同素异形体，不是同位素，D错误；故选A。
3. 下列物质溶于水，有离子键破坏的是（）A. NH3B. H2SO4C. HNO3D. NH4Cl 【答案】D【解析】【分析】离子键是带相反电荷的离子之间存在静电作用，一般存在于金属和非金属之间，或铵根与非金属之间。
【详解】A．NH3是共价化合物，没有离子键，A错误；B．H2SO4是共价化合物，没有离子键，B错误；C．HNO3是共价化合物，没有离子键，C错误；D．NH4Cl的NH4+和Cl-间是离子键键，溶于水后离子键破坏，D正确；故选D。
4. 一小块钠在空气中长期放置,最后变成的物质是A. Na2O2B. NaOHC. Na2 CO3D. Na2O【答案】C【解析】首先Na与空气中的O2反应生成Na2O（反应的化学方程式为4Na+O2=2Na2O），接着Na2O与空气中水分反应生成NaOH（反应的化学方程式为Na2O+H2O=2NaOH），最后NaOH与空气中的CO2反应生成Na2CO3（反应的化学方程式为CO2+2NaOH=Na2CO3+H2O），最后变成Na2CO3，答案选C。
2019届湖南省长郡中学、衡阳八中等十四校高三5月大联考理科数学试题
2019届湖南省长郡中学、衡阳八中等十四校高三5月大联考试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2}A x x =≥，{|12}B x =<，则A B =（ ）A ．(4,)-+∞B ．[4,)-+∞C ．[2,1]--D ．[4,2]--2.复数3iz i =+（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．131010i + B ．131010i - C ．931010i + D ．931010i -3.下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的充要条件B ．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题C ．命题：“若()y f x =是幂函数，则()y f x =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D ．命题“*n N ∀∈，*()f n N ∈且()f n n ≤”的否定形式是“*0n N ∃∈，*0()f n N ∉且00()f n n >”4.已知不等式201x ax +<+的解集为(2,1)--，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项是（ ） A ．15- B ．15 C ．5- D ．55.若函数())f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B ．52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A．40+．40+C．36+．36+7.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A 、B 、C 、D 四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．72 8.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12BD9.一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（ ）A1 B．12+ C．2D ．0 10.已知点(4,0)A ，(0,4)B ，点(,)P x y 的坐标x ，y 满足0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则A P B P ⋅的最小值为（ ）A ．19625-B ．0C ．254D ．8- 11.过圆P ：221(1)4x y ++=的圆心P 的直线与抛物线C ：22y x =相交于A ，B 两点，且2PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ）A ．136 C ．73 D ．7212.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为（ ）A ．(2020,0)-B ．(,2020)-∞-C ．(2016,0)-D ．(,2016)-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上.13.已知向量a ，b 满足5a =，6a b -=，4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影为 ．14.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且3log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为 ．15.三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，120C ∠=，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为 ．16.已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当(0,)x e ∈，()ln f x x =，若在区间[,3]e e -，关于x 的方程()f x kx =恰好有4个不同的解，则k 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =sin sin sin B A b cC a b--=+.（1）求角A 的大小； （2）求b c +的取值范围.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，已知2PA AC ==，60PAD DAC ∠=∠=，CE AD ⊥于E .（1）求证：AD PC ⊥；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且3AD =，求二面角C PD A --的余弦值.19.随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取1000人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？ （2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望.参与公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>.（1）若椭圆的离心率为12，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C 的标准方程； （2）点(,0)P m 为椭圆长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试判断22PA PB +是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.21.已知函数()ln f x x x ax =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()xg x x k e k =-+，k Z ∈， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.当1a =时，若1(0,)x ∃∈+∞，2(0,)x ∀∈+∞，不等式21()5()0g x f x ->成立，求k 的最大值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（其中t 为常数）.（1）若曲线N 与曲线M 有两个不同的公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()221f x x x =+--，x R ∈. （1）求()1f x ≤的解集；（2）若()f x x a =+有两个不同的解，求a 的取值范围.2019届湖南省长郡中学、衡阳八中等十四校高三5月大联考理科数学试题数学（理科）参考答案一、选择题1-5: DBDBA 6-10: CCDBA 11、12：AB二、填空题13. 1- 14. 8,123,2n n n a n =⎧=⎨⨯≥⎩ 15. 20π 16. 111,,3e e e ⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 三、解答题17.【解析】（1）由sin sin sin B A b cC a b--=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-， 所以222a b c bc =+-1cos 2A ⇒=，3A π=.（2）a =3A π=，所以sin sin sin a b cA B C ==2sin 3π==，2(sin sin )b c B C +=+22sin sin 3B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴cos 3B π⎛⎫-⎪⎝⎭的取值范围是⎤⎥⎝⎦，∴(b c +∈. 18.【解析】（1）连接PE ，∵PA AC =，PAD CAD ∠=∠，AE 是公共边， ∴PAE CAE ∆≅∆， ∴PEA CEA ∠=∠，∵CE AD ⊥，∴PE AD ⊥，又PE ⊂平面PCE ，CE ⊂平面PCE ，PE CE E =，∴AD ⊥平面PCE ， 又PC ⊂平面PCE ， ∴AD PC ⊥.（2）法一：过E 作EF PD ⊥于F ，连接CF ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CE AD ⊥，∴CE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面APD ， ∴CE PD ⊥，又PD EF ⊥， ∴PD ⊥平面CEF ，∴CFE ∠为二面角C PD A --的平面角，∵2PA AC ==，60PAD CAD ∠=∠=，PE AD ⊥，CE AD ⊥， ∴1AE =，PE CE ==3AD =，所以2DE =，∴PD =7EF =tan 2EFC ∠=， ∴二面角C PD A --的余弦值为11.法二：由AD ⊥平面PEC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以EP ，EA ，EC 两两垂直，以E 为原点，EA ，EC ，EP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为2PA AC ==，60PAD CAD ∠=∠=，3AD =， 所以1AE =，PE CE ==2DE =，则(0,0,0)E ，(2,0,0)D -，C，P，DP =，DC =. 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令x =(3,2,2)n =-，又平面PAD 的一个法向量为EC =， 设二面角C PD A --所成的平面角为θ，则cos EC n EC nθ⋅=11==，显然二面角C PD A --是锐角，故二面角C PD A --.19.【解析】（1）依题意，在本次的实验中，2K 的观测值21000(400200300100)700300500500k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯47.61910.828=>，故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系. （2）Y 的可能取值为0，10，20，30，40，(0)P Y =111224=⨯=，(10)P Y =1222255=⨯⨯=，(20)P Y =22111325521050=⨯+⨯⨯=， (30)P Y =212251025=⨯⨯=， (40)P Y =111=⨯=，()12E Y =.20.【解析】（1）12e =，即12c a =，2a c =， 不妨令椭圆方程为2222143x y c c+=，当x c =时，32y =，得出1c =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）令直线方程为()by x m a=-与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点， 联立方程2222()1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222222222b x b mx b m a b -+=， 即222220x mx m a -+-=，∴12x x m +=，22122m a x x -=，∴22PA PB +22221122()()x m y x m y =-++-+2212()1b x m a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2222()1b x m a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭2221221[()()]b x m x m a ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭2222122()a b x x a +=+ 22212122[()2]a b x x x x a+=+-22a b =+为定值. 21.【解析】（1）对函数求导得'()ln 1(0)f x x a x =+->， 令'()0f x =，得1a x e -=，当10a x e -<<时，'()0f x <，此时函数()f x 单调递减；当1a x e->时，'()0f x >，此时函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)a e-，单调递增区间是1(,)a e -+∞.（2）当1a =时，由（1）可知1()()(1)1a f x f e f -===-，1(0,)x ∃∈+∞，2(0,)x ∀∈+∞，不等式125()()0f x g x -+>成立等价于当(0,)x ∈+∞时，5()0x x k e k +-+>恒成立，即5(1)xxxe k e +>-对(0,)x ∈+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞时10xe ->，所以51xx xe k e +<-对(0,)x ∈+∞恒成立，即51x x k x e +<+-对(0,)x ∈+∞恒成立， 设5()1x x h x x e +=+-，则2(6)'()(1)x x x e e x h x e --=-，令()6x F x e x =--，则'()1xF x e =-， 当(0,)x ∈+∞时，'()0F x >，所以函数()6xF x e x =--在(0,)+∞上单调递增， 而2(2)80F e =-<，3(3)90F e =->， 所以(2)(3)0F F <，所以存在唯一的0(2,3)x ∈，使得0()0F x =，即006x ex =+，当0(0,)x x ∈时，()0F x <，'()0h x <，所以函数()h x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0F x >，'()0h x >，所以函数()h x 单调递增， 所以当0x x =时，函数()h x 有极小值0()h x ，同时也为最小值， 因为00005()1x x h x x e +=+-01(3,4)x =+∈，又0()k h x <，且k Z ∈， 所以k 的最大整数值是3.22.【解析】（1）由已知M ：21y x =-，x ⎡∈⎣；N ：x y t +=.联立方程有两个解，可得5,14t ⎛⎤∈-⎥⎝⎦.（2）当2t =-时，直线N ：2x y +=-，设M 上的点为200(,1)x x -，0x ≤d=2013x ⎛⎫++ ⎪=8≥，当012x =-时取等号，满足0x ≤. 23.【解析】（1）3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，若()1f x ≤，可得{|40}x x -≤≤.（2）结合图象易得13a -<<.第21 页共21 页。
2019-2020学年人教A版湖南省长沙市长郡中学高三第二学期月考(文科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期第五次月考数学试卷（文科）一、选择题1．设全集U＝{x|﹣2≤x＜5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，2}B．{3，4}C．{0，3，4}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D．甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．85．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．48．如图所示的四个正方体中，A，B正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．①②③9．函数f（x）＝x3e x的图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于g（x）的结论错误的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）关于点对称C．g（x）关于直线对称D．g（x）在区间上单调递增11．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝e x的切线，则b＝（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣112．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝（）A．B．C．D．二、填空题13．在复平面内，复数z＝所对应的点位于第象限．14．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为则它的一条渐近线被圆（x+4）2+y2＝8所截得的弦长等于．15．已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为．16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再铵下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N，N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED ＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）若平面ADE⊥平面ABCD，求F到平面BDE的距离．19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M，当M≥85时，产品为一级品；当75≤M＜85时，产品为二级品；当70≤M＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）频数10304020 B配方的频数分布表指标值分组[70，75）[75，80）[80，85）[85，00）[90，95）频数510153040（1）从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y与质量指标M满足如下条件：y＝其中t∈，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？20．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝（ax﹣1）e x．（Ⅰ）记h（x）＝x﹣，试判断函数h（x）的极值点的情况；（Ⅱ）若af（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．21．已知直线l：x＝my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为点D，K，E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，证明：；（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数正数x，y满足x+y＝1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分.共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{x|﹣2≤x＜5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，2}B．{3，4}C．{0，3，4}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】∁U B＝{﹣2，3，4}，图中阴影部分所表示的集合为A∩（∁U B），由此能求出结果．解：∵全集U＝{x|﹣2≤x＜5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴∁U B＝{﹣2，3，4}，∴图中阴影部分所表示的集合为：A∩（∁U B）＝{3，4}．故选：B．2．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．3．2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D．甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差【分析】先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解解：由茎叶图可知：①＝＝84，＝＝84，即＝，故选项A错误，②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B错误，③由选项B可知，选项C错误，④因为S甲2＝[（75﹣84）2+（82﹣84）2+（83﹣84）2+（87﹣84）2+（93﹣84）2]＝，S乙2＝[（77﹣84）2+（83﹣84）2+（84﹣84）2+（85﹣84）2+（91﹣84）2]＝，即S甲2＞S乙2，即选项D正确，故选：D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x ﹣2≤1，解得答案．解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选：A．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．解：若输入N＝20，则i＝2，T＝0，＝＝10是整数，满足条件．T＝0+1＝1，i＝2+1＝3，i≥5不成立，循环，＝不是整数，不满足条件．，i＝3+1＝4，i≥5不成立，循环，＝＝5是整数，满足条件，T＝1+1＝2，i＝4+1＝5，i≥5成立，输出T＝2，故选：B．8．如图所示的四个正方体中，A，B正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．①②③【分析】首先由线面平行的判定可知①正确，由此排除选项BC，再根据面面平行的性质，由此排除A，即可得到正确答案．解：对①，连接BD交NP于点O，则OM∥AB，易知AB∥平面MNP，即①正确，故排除BC；对③，由正方体的性质可知，平面MNP∥平面ABC，又AB在平面ABC内，故AB∥平面MNP，即③正确，故排除A．故选：D．9．函数f（x）＝x3e x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由x＜0时x3e x＜0排除B；由f（1）＝e＞1排除D；求出函数在x＝0处的切线方程排除A．解：当x＜0时，x3e x＜0，故排除B；f（1）＝e＞1，故排除D；f′（x）＝（x3+2x2）e x，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2．当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，0），（0，+∞）上单调递增，又f′（0）＝0，故f（x）在x＝0的切线为x轴，故排除A．故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于g（x）的结论错误的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）关于点对称C．g（x）关于直线对称D．g（x）在区间上单调递增【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：将函数＝sin2x﹣sin（﹣2x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+﹣）＝sin（2x﹣）的图象，对于g（x），它的周期为＝π．故A正确；令x＝，求得g（x）＝0，故函数g（x）的图象关于点对称，故B正确；当x＝，求得g（x）＝﹣，故g（x）图象不关于直线对称，故C错误；在区间上上，2x﹣∈[﹣，]，故g（x）在区间上上单调递增，故D正确，故选：C．11．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝e x的切线，则b＝（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣1【分析】设直线y＝kx+b与y＝lnx+2的切点为（x1，y1），与y＝e x的切点为（x2，y2），可得切线的斜率，注意运用两点的斜率公式，解方程即可得到切点和斜率，进而得到切线方程，可得b的值．解：直线y＝kx+b与y＝lnx+2的切点为（x1，y1），与y＝e x的切点为（x2，y2），由y＝lnx+2的导数为y′＝，y＝e x的导数为y′＝e x，可得k＝e x2＝＝，消去x2，可得（1+lnx1）（1﹣）＝0，则x1＝或1，则切点为（，1）或（1，2），得k＝e或1，则切线为y＝ex或y＝x+1，可得b＝0或1．故选：C．12．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝（）A．B．C．D．【分析】求出圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心与半径，设出抛物线x2＝2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．解：圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心C（4，1），半径r为1，设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，|PC|＝＝＝，令g（m）＝﹣8m+17，可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，m＜2，g′（m）＝m3﹣8＜0，g（m）递减；m＞2，g′（m）＝m3﹣8＞0，g（m）递增．所以g（m）的最小值为：4﹣16+17＝5．|PC|≥，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，且为，所以切线长为|PA|＝2，如图：由直角三角形的射影定理可得|PC|•|AB|＝|PA|•|AC|，|AB|＝2，即|AB|＝．故选：C．二、填空题：共4小题.每小题5分，共20分.13．在复平面内，复数z＝所对应的点位于第三象限．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z在复平面内对应点的坐标为（，﹣），位于第三象限．故答案为：三．14．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为则它的一条渐近线被圆（x+4）2+y2＝8所截得的弦长等于4．【分析】根据双曲线的离心率先求出双曲线的渐近线方程，先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可．解：因为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，即＝，所以＝，所以＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±3y＝0，又圆（x+4）2+y2＝8的圆心为（﹣4，0），半径r为2，所以圆心到任一条渐近线的距离为d＝＝2，因此，弦长为2＝2＝4．故答案为：4．15．已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为8π．【分析】由题意画出图形，设AD＝a，BC＝2b，则ab＝4，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A﹣BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，结合等腰三角形△ABC的面积为4，利用基本不等式求最值．解：如图，设AD＝a，BC＝2b，则ab＝4，由已知，BD⊥平面ADC，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A﹣BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，则球的直径2R＝．∴球的表面积S＝4πR2＝（a2+2b2）π，∵，∴．故答案为：．16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再铵下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N，N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是440．【分析】直接利用数列的前n项和的关系式建立等量关系，进一步求出结果．解：根据题意知：该数列得前：1+2+3+…+k＝，则：＝2k+1﹣k﹣2，要使，则有k≥14，所以：k+2是之后的等比数列1，2，…2k+1的部分的和．即：k+2＝1+2+…+2t﹣1＝2t﹣1，所以：k＝2t﹣3≥14，则：t≥5，此时k＝25﹣3＝29，对应满足的最小条件N＝．故答案为：440三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得2cos C•sin C＝sin C，由0＜C＜π，sin C≠0，可求cos C＝，进而可求C的值．（2）根据ABC的面积公式可求ab＝6，根据余弦定理可求a+b的值，即可求得周长．解：（1）由已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c，正弦定理得：2cos C（sin A cos B+cos A sin B）＝sin C，即2cos C•sin C＝sin C，∵0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝．（2）由c＝，C＝，△ABC的面积为＝ab sin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c2＝b2+a2﹣2ab cos C，可得：7＝b2+a2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，可得：（a+b）2＝25，解得：a+b＝5，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．18．在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED ＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）若平面ADE⊥平面ABCD，求F到平面BDE的距离．【分析】（1）取BD中点O，连接OM，通过证明四边形OMEF为平行四边形得出FM ∥OE，故而FM∥平面BDE；（2）取AD的中点H，证明EH⊥平面ABCD，根据V E﹣BDM＝V M﹣BDE得出M到平面BDE 的距离，也是F到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取BD中点O，连接OM，OE，因为O、M分别为BD，BC的中点，所以OM∥CD且OM＝CD，由EF∥AB且EF＝AB，在菱形ABCD菱形中，AB∥CD，且AB＝CD，∴OM∥EF，且OM＝EF，∴四边形OMEF为平行四边形，所以MF∥OE．又OE⊂平面BDE且MF⊄平面BDE，所以MF∥平面BDE．（2）解：由（1）得FM∥平面BDE，所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离．取AD的中点H，因为EA＝ED，所以EH⊥AD，因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH⊂平面ADE，所以EH⊥平面ABCD．由已知可得EH＝＝，BE＝＝＝，所以等腰三角形BDE的面积为S△BDE＝××＝；又因为S△BDM＝S△BCD＝××2×2×sin60°＝，设F到平面BDE的距离为h，由V E﹣BDM＝V M﹣BDE得S△BDM•EH＝S△BDE•h，即××＝××h，解得h＝，即F到平面BDE的距离为．19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M，当M≥85时，产品为一级品；当75≤M＜85时，产品为二级品；当70≤M＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）频数10304020B配方的频数分布表指标值分组[70，75）[75，80）[80，85）[85，00）[90，95）频数510153040（1）从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y与质量指标M满足如下条件：y＝其中t∈，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？【分析】（1）先求出5件产品中有二级品2件，有一级品3件，再利用古典概率公式即可求出从这5件产品中任取3件恰好取到1件二级品的频率；（2）分别求出A配方、B配方生产的产品平均利润率，再比较即可求出结果．解：（1）由题意，5件产品中二级品的件数为：0.4×5＝2（件），记为a，b，5件产品中一级品的件数为：0.6×5＝3（件），记为x，y，z，从这5件产品中任取3件共有10种方式：（a，b，x），（a，b，y），（a，b，z），（a，x，y），（a，x，z），（a，y，z），（b，x，y），（b，x，z），（b，y，z），（x，y，z），其中恰好取到1件二级品共有6种，所以恰好取到1件二级品的频率为；（2）A配方生产的产品平均利润率E（A）＝＝2t2+0.6t，B配方生产的产品平均利润率E（B）＝＝1.3t2+0.7t，∴E（A）﹣E（B）＝0.7t2﹣0.1t＝0.1t（7t﹣1），∵0＜t＜，∴0＜7t＜1，∴E（A）＜E（B），所以投资B配方的产品平均利润率较大．20．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝（ax﹣1）e x．（Ⅰ）记h（x）＝x﹣，试判断函数h（x）的极值点的情况；（Ⅱ）若af（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．【分析】（I）h（x）＝x﹣＝x﹣，h′（x）＝．令u（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，又u（0）＝﹣1，u（1）＝e﹣1＞0．可得存在唯一x0∈（0，1），使得u（x0）＝0，即h′（x0）＝0．利用单调性即可得出函数h（x）的极值点与极值．（Ⅱ）af（x）＞g（x）化为：a（x﹣）＜1，即ah（x）＜1．对a分类讨论，即可得出a的取值范围．解：（I）h（x）＝x﹣＝x﹣，h′（x）＝．令u（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，又u（0）＝﹣1，u（1）＝e﹣1＞0．∴存在唯一x0∈（0，1），使得u（x0）＝0，即h′（x0）＝0．x∈（﹣∞，x0），h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减．x∈（x0，+∞），h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴x＝x0为极小值点，无极大值点．（Ⅱ）af（x）＞g（x）化为：a（x﹣）＜1，即ah（x）＜1．①当a≤0时，由不等式有整数解，∴h（x）在x∈Z时，h（x）≥1，∴ah（x）＜1有无穷多整数解．②当0＜a＜1时，h（x）＜，又＞1，h（0）＝h（1）＝1．∴不等式有两个整数解为0，1．即，解得：≤a＜1．③当a≥1时，h（x）≤，又≤1，∴h（x）在x∈Z时小于或等于1，∴不等式ah（x）＜1无整数解．综上可得：≤a＜1．21．已知直线l：x＝my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为点D，K，E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，证明：；（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．【分析】（1）由题设条件能够求出c、b＝，从而求出椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆联立方程组，由根与系数的关系，结合，即可证得结论；（3）由题设条件证明点N（，0）在既直线AE上，又在直线BD上，即可得到结论．【解答】（1）解：椭圆右焦点F（1，0），∴c＝1，抛物线的焦点坐标（0，），∴b＝∴b2＝3∴a2＝b2+c2＝4∴椭圆C：…（2）证明：由题意，m≠0，，设A（x1，y1），B（x2，y2）由，∴△＝（6m）2+36（3m2+4）＝144（m2+1）＞0∴…又由得：，∴…（3）解：m＝0时，得N（，0），猜想：m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0），由（2）知A（x1，y1），B（x2，y2）于是D（4，y1），E（4，y2），先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：当x＝时所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上．即m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0）…22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴﹣，∴，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数正数x，y满足x+y＝1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．【分析】（1）利用x的取值，去掉绝对值符号，求解绝对值不等式即可．（2）利用已知条件，通过“1”的代换以及基本不等式求解表达式的最小值，证明不等式即可．解：∵正数x，y满足x+y＝1，∴由不等式|x+2y|+|x﹣y|≤，得∴，∴≤x＜1，∴不等式的解集为{x|≤x＜1}．（2）∵正数x，y满足x+y＝1，∴＝＝＝+5≥2+5＝9，当且仅当x＝y＝时取等号．。
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为A.2B.4C.D.参考答案：【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案解析】D抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线=1的一条渐近线方程为x-y=0，∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的一条渐近线的距离为=2，故选：D．【思路点拨】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．2. 在等差数列{a n}中，S n为前n项和，，则A.33B.11C. 50D.60参考答案：A由. 故选A.3. 若关于x的不等式的解集为，且函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.参考答案：A略4. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围（）A． B． C． D．参考答案：A5. 已知圆经过两点,圆心在轴上,则圆的方程是（）A．B．C．D．参考答案：D6. 已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.参考答案：D化简复数可得所以虚部为所以选D7. 袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为A．B．C．D．参考答案：D8. 对于下列四个命题p1：?x∈（0，+∞），（）x＜（）xp2：?x∈（0，1），log x＞log xp3：?x∈（0，+∞），（）x＞log xp4：?x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据幂函数的单调性，我们可以判断p1的真假，根据对数函数的单调性，及指数函数的单调性，我们可以判断p2，p3，p4的真假，进而得到答案【解答】解：p1：?x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0，是假命题，原因是当x0∈（0，+∞），幂函数在第一象限为增函数；p2：?x0∈（0，1），log x0＞log x0，是真命题，如；p3：?x∈（0，+∞），（）x＞log x，是假命题，如x=时，；p4：?x∈（0，），＜＜1，，是真命题．故选：D．9. 双曲线C的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），抛物线y2=4x与双曲线C的一个交点为P，若（+）?（﹣）=0，则C的离心率为（）A．B．1+C．1+D．2+参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和准线，运用向量的平方即为模的平方，可得|PF2|=2，由抛物线的定义，可得P的横坐标，可得P的坐标，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=﹣1，设P（m，n），若（+）?（﹣）=0，则2﹣2=0，由F1（﹣1，0），F2（1，0），可得|F1F2|=2，即有|PF2|=2，由抛物线的定义可得x P+1=2，即有x P=1，可得P（1，±2），由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=﹣=2﹣2，可得双曲线的a=﹣1，c=1，可得e==1+．故选：B．10. 若x，y满足约束条件，设x2+y2+4x的最大值点为A，则经过点A和B（﹣2，﹣3）的直线方程为（）A．3x﹣5y﹣9=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．5x﹣3y+9=0参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据目标函数z求出最优解，写出直线AB的方程即可．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；则z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4，表示平面区域（阴影部分）内的点P（x，y）到点C（﹣2，0）的距离的平方减去4，所以它的最大值点为A，由解得A（3，0），所以经过点A和B（﹣2，﹣3）的直线方程为=，化为一般形式为3x﹣5y﹣9=0．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 命题“若x>y，则x2>y2-1”的否命题是。