超详细MIT线性代数公开课笔记_完整版
线性代数03.矩阵的乘法和逆
线性代数03.矩阵的乘法和逆本篇为MIT 公开课——线性代数 笔记。
矩阵乘法的运算规则1.⾏乘列乘法⼀般性法则：⾏乘列得到⼀个数。
假设有两个矩阵 A 、B ，并且我们让 A ∗B =C , 可以求得矩阵 C 中 i ⾏ j 列元素：C ij =(row_i at A )(column_j at B )即矩阵 A 中 i ⾏点乘以矩阵 B 中的 j 列，就是矩阵 C 中 i ⾏ j 列的元素。
注意是 “⾏*列”。
例如A =◻◻◻◻◻◻◻◻a 31a 32a 33⋯◻◻◻◻◻◻◻◻B =◻◻◻b 14◻◻◻◻b 24◻◻◻◻b 34◻◻◻◻⋯◻则 矩阵 C 中 第3⾏4列元素为：C 34=a 31b 14+a 32b 24+a 33b 34+⋯+a 3n b n4=n∑k =1a 3k b k4前提条件是矩阵 A 的总列数 必须和矩阵 B 中的总⾏数相等。
假设矩阵 A 是 m ∗n 矩阵，矩阵 B 是 n ∗p 矩阵， 那么 矩阵 C =A ∗B ， 矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
其实很好理解，原来 矩阵A 的⼀⾏与矩阵 B 的⼀列的点乘，可以得到矩阵C 中的⼀个元素，那么 m ⾏乘以 p 列就可以得到 m ∗p 个元素，所以矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
2.矩阵列的线性组合举例：◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C矩阵 A 的所有列乘以 B 的列1得到矩阵 C 的列1，矩阵 A 乘以 B 的列2得到矩阵 C 的列2....将矩阵乘法考虑为矩阵乘以向量，矩阵 B 可以看成 p 个单独的列向量，只是这⾥排在⼀起。
⽤矩阵 A 乘以每个列向量，相应得到 矩阵 C 的各列。
矩阵 C 中的各列，是矩阵 A 中各列的线性组合，矩阵 B 表⽰是怎么样的线性组合。
()()()()()Processing math: 100%3.矩阵⾏的线性组合◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C同样的例⼦，我们从矩阵⾏的⾓度看，可以看成矩阵 A 的每⼀⾏乘以矩阵 B 所有⾏,可以得到相应矩阵C 的每⼀⾏。
mit公开课《线性代数》
mit公开课《线性代数》线性代数是数学领域里一个基础且非常重要的课程，它主要探讨这样一种问题：有多少种不同的变量和它们之间的关系，以及如何找到最优的模型来描述它们的关系。
美国麻省理工学院（MIT）已经推出了一门免费的《线性代数》课程，这门课旨在让学生掌握线性代数的基本概念和方法，以便他们能够在解决实际问题的解决方案中使用线性代数的工具。
该课程主要涵盖了一系列理论方面的话题，包括矩阵代数、向量空间、线性变换、矩阵特征分解、行列式、谱分解和特征值分解。
在学习这些概念和理论之后，学生还会学习如何将这些概念应用到实际的应用中去，以帮助他们在实际的问题中运用线性代数的技能。
此外，该课程还涵盖了有关概率论和统计方面的话题，其中包括概率分布、分布函数、偏差、协方差和相关系数，以及概率分析中的各种方法，如极大似然估计和贝叶斯统计。
学生通过学习这些内容，可以从定量和定性数据中发现规律和模式，从而帮助他们解决各种问题。
本课程还包括有关凸优化的内容，其中包括对有关线性系统的数学模型的理解以及如何使用这些模型来解决实际问题的技术。
此外，学生还会学习如何使用数值方法来解决复杂的线性系统，如最小二乘法、拟牛顿法、拉格朗日方法等。
学习这些数学模型和数值方法，可以帮助学生了解如何实现更加优化的解决方案。
本课程还涉及优化技术在计算机科学中的应用，例如机器学习、信号处理、图像处理、大数据处理等。
学生们需要学习如何利用优化技术解决这些问题，从而向他们提供更有效的解决方案。
此外，本课程还将涉及有关可视化的概念，包括可视化技术如统计图表、折线图、散点图等，这些技术可以帮助学生们更好地理解数据和模型，也可以让他们更好地解决实际问题。
MIT的《线性代数》课程是一门非常实用和有价值的免费课程，可以帮助学生们更好地理解线性代数的概念、方法和技能，从而为他们在实际问题中运用线性代数提供有力的帮助。
通过学习线性代数的知识，学生们可以更好地解决复杂的实际问题，从而更好地应用数学在实践中。
(完整版)线性代数笔记
等行变换，则得到的是 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由
两边转置得
按上例的方法求出 进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与
为增广矩阵的方程组同解。 定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法 设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换 律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但 有可能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
MIT线性代数中文笔记
1.31
31. 线性变换及对应矩阵
1.32
32. 基变换和图像压缩
1.33
33. 复习三
1.34
34. 左右逆和伪逆
1.35
35. 期末复习
1.36
2
MIT 线性代数中文笔记
中文 Linear Algebra （线性代数） 笔记
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Contents （目录）
01. 方程组的几何解释 01.01 方程组的几何解释
02. 矩阵消元 02.01 矩阵消元
03. 乘法和逆矩阵 03.01 矩阵乘法和逆矩阵
04. A的LU分解 04.01 A的LU分解
05. 转置-置换-向量空间R
3
MIT 线性代数中文笔记
05.01 矩阵转置 05.02 置换 05.03 向量空间 R 06. 列空间和零空间 06.01 列空间 06.02 零空间 07. 求解Ax=0:主变量,特解 07.01 主变量 07.02 特解 08. 求解Ax=b:可解性和解的结构 08.01 可解性 08.02 解的结构 09. 线性相关性、基、维数 09.01 线性相关性 09.02 基 09.03 维数 10. 四个基本子空间 10.01 基本子空间 10.02 四个基本子空间 11. 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 11.01 矩阵空间 11.02 秩1矩阵 11.03 小世界图 12. 图和网络 12.01 图 12.02 网络 13. 复习一 13.01 复习一 14. 正交向量与子空间 14.01 正交向量 14.02 子空间 15. 子空间投影 15.01 子空间投影 16. 投影矩阵和最小二乘 16.01 投影矩阵 16.02 最小二乘 17. 正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 17.01 正交矩阵 17.02 Gram-Schmidt正交化 18. 行列式及其性质
线性代数07.Ax=0：主变量，特解
线性代数07.Ax=0：主变量，特解本篇为MIT公开课——线性代数笔记。
这节课开始我们将把重点转向如何在空间中计算出向量，由定义转向算法。
Ax=0的求解求解Ax=0 的算法就是消元。
举例A=1222 2468 36810消元E21、E31消元：主元是第⼀⾏第⼀列的"1",结果为122200240024发现主元2出现0，⽽且⾏交换⽆效，说明：第⼆列相关于第⼀列，所以我们不去管第⼆列，继续找主元2：第⼆⾏第三列 "2".继续消元E33消元，结果为阶梯形式矩阵U122200240000=U消元完后，就变成求解Ux=0 。
秩这个例⼦中，矩阵的主元的数量只有 2 ,该数字称为矩阵的 “秩”（rank）。
它的意义就是表⽰主元的个数。
主列和⾃由列主列：主元所在的列。
其他列称为⾃由列。
该例⼦中，主列是列 1 和列 3.⾃由列是列 2 和列 4 .⾃由列的意思是，可以⾃由或任意分配数值给对应列的未知数。
我们可以对列⼆和列四的乘数项x2、x4任意取值。
然后只需要求解x1和x3.取值：x=◻1◻0()()()() Processing math: 100%回代和特解x 1+2x 2+2x 3+2x 4=02x 3+4x 4=0可以求得x =−2100这是零空间的⼀个向量，也是Ax =0 的⼀个解。
将她乘以任意倍数，就能得到四维空间中⼀条⽆限延申的直线。
x =c−2100但它不是整个零空间，因为 x 2、x 4 还可以取其他的值。
取值：x =◻0◻1可以求得另⼀个零空间中的向量：x =d20−21这样我们就得到零空间中的两个向量，下⾯我们就能求出整个零空间。
Ax =0 的所有解。
这两个解称为特解，即特定的解。
特定在于给⾃由变量分配特定值。
给⾃由变量分配的是0和1. 每对⾃由变量都对应着⼀个特解。
两个特解的所有的线性组合就是整个零空间。
即x =c−2100+d20−21总结对于m ∗n 矩阵，n 变量，若 秩 r =2，主变量就有 r 个，⾃由变量 就有 n −r 。
线性代数（笔记四）MIT公开课（来源网易云课堂）
线性代数（笔记四）MIT公开课（来源⽹易云课堂）线性代数（笔记四）课程来源：（课程链接）作者简述：作者为⼀名正在读研的学⽣，⾃⼰的数学状态较差。
本科期间所学均能算跟得上，⽽且通过⾃⼰的努⼒经过了研究⽣考试。
但是对数学的理解并不透彻，只是根据课上所学去做题⽽已。
如今科研中，许多过程均需要⽤到所学的数学知识，然⽽⼀个好的理解和⼀个扎实的基础才是科研之本。
数学虽然是作为⼀种⼯具，如果不了解含义，⽆论是是使⽤上还是在其基础之上进⾏修改均显得⽀⽀吾吾。
于是决定重新学习线性代数相关知识，并做此笔记以供复习或和他⼈分享。
⽤途：此系列⽂章均是作者在课上所学及其⾃⼰相关的数学思想所做的笔记，如有理解错误之处还望⼤家指出。
本系列⽂章均可不咨询情况下任意转载和学习（不可商⽤）。
作者研究⽅向为机器学习，如果有相同⽅向的⼩伙伴想⼀起学习，请加QQ123854340（备注来源博客），如果⼈数较多还可能建群。
同时发现⽂章中有错误之处也请发邮件到。
在上节课中，我们介绍了矩阵乘法的五种⽅法。
同时引出了矩阵的逆，并利⽤前⼏节课的知识对逆进⾏理解及求解。
在这节课中，我们⾸先介绍求解逆矩阵的⼏个基本的公式，然后在消元的基础上来叙述A的LU分解。
⼀、逆的基本公式在这⾸先介绍两个逆的基本公式，并且给出其推导⽅法。
这样我们就可以从定义的⾓度进⾏理解，⽽⾮死记硬背。
1、由定义⽽来的最基本的公式AA~ = I = A~A（~为逆），这⾥两个矩阵的乘法可以交换顺序。
2、求矩阵A和矩阵B的乘积AB的逆矩阵。
具体推导过程如下：AB（？） = I ，我们想求解？所表⽰的矩阵是什么。
不难看出ABB~A~ = I，由结合律可以很明显的表现出A（BB~）A~ = I，再由结合律可以看出（AB）（B~A~）= I。
则由此可以得出？所表⽰的矩阵为B~A~。
AB的逆为B~A~，这⾥的乘积顺序发⽣了变化。
在视频中教授开了⼀个玩笑说。
这就好⽐穿了袜⼦再穿鞋的相反动作那就是得要先脱鞋再拖袜⼦。
MIT线性代数公开课学习笔记
MIT线性代数公开课学习笔记在MIT公开课《线性代数》中，我学习到了许多有关线性代数的基本知识和应用。
线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，不仅在数学领域有广泛的应用，还在计算机科学、物理学、经济学等领域中有着重要的作用。
本文将着重讨论我在这门课程中学到的内容和理解。
几何矢量和向量空间线性代数的基础是对几何矢量和向量空间的研究。
在课程中，我了解到几何矢量是具有大小和方向的物理量，可以通过箭头表示。
向量空间是指由一组向量所张成的空间，具有加法和数乘运算，并且满足一定的公理。
通过学习几何矢量和向量空间的性质，我可以更好地理解线性代数的基本概念和操作。
矩阵和线性变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它是一个由元素排列成矩形的数表。
在课程中，我学习到了矩阵的代数运算和性质，并了解了矩阵和线性方程组之间的关系。
线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的操作。
通过矩阵的乘法运算，我可以更方便地描述和计算线性变换。
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和线性变换的理解中起到了关键作用。
在课程中，我学习到了如何通过计算特征值和特征向量来分析矩阵的性质和行为。
特征值表示线性变换在某个方向上的缩放比例，而特征向量则表示在该方向上的不变性。
通过对特征值和特征向量的计算和分析，我可以更好地理解线性代数的应用。
内积和正交性内积是指将两个向量进行运算得到一个标量的操作，它在线性代数中有着重要的应用。
在课程中，我学习到了内积的性质和计算方法，并了解了内积和向量的夹角之间的关系。
正交性是指两个向量之间的夹角为90度，它在很多实际问题中具有重要的性质。
通过学习内积和正交性的概念，我可以更好地理解向量的投影和正交基的概念。
奇异值分解和最小二乘法奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
《线性代数》学习笔记十二
主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记十二 ——二次型1、二次型的矩阵表示 定义1 n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n na x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型(quadratic form).当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型. 取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n n n nn n n n nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n nij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x 这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵. 例如：二次型用矩阵可表示为()22223120213,,1223012f x y z xy yz x x y z y z =-+-+⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭二次型f 还可表示成向量内积形式()[][]f A A A '==x x x =x,x x,x .二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.由此可见，如果,A B 都是n 阶对称矩阵，且f A B ''=x x =x x ，则A B =.因此，若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1 写出二次型221231233(,,)(22)f x x x x x x x =++-的矩阵A ，并求f 的秩. 2、二次型的标准形对于二次型11n nij i ji j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n nf y y y λλλ=+++，称为二次型f 的标准形.即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x =y y =y y λλλλλλ其中Λ=diag 12(,,,)n λλλ.因此，我们的问题就转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.一般地，有以下定义：定义2 设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同. 因为若C 可逆，则C '也可逆，所以，由定义，若A 与B 合同，则A 与B 等价.从而，我们有（1）矩阵的合同关系具有反身性：A E AE '=；对称性：由B C AC '=即得11()A C BC --'=；和传递性：由111A C AC '=和2212A C AC '=即得21212()()A C C A C C '=； （2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵. 3。
MIT公开课线性代数笔记
矩阵的逆
定义：矩阵A的 逆矩阵是矩阵B， 使得AB=BA=I
性质：矩阵A的逆 矩阵是唯一的，且 A的逆矩阵也是方 阵
计算方法：使用高 斯-约旦消元法、 克莱姆法则等方法 计算矩阵的逆
应用：求解线性方 程组、求矩阵的秩、 求矩阵的逆等
矩阵的行列式
定义：矩阵的行列 式是一个数值，表 示矩阵的体积或面 积
子空间
定义：向量空间中的子集，满足加法和数乘运算 性质：子空间中的向量线性组合仍然是子空间中的向量 例子：二维平面上的直线、三维空间中的平面 应用：线性方程组的解空间、矩阵的秩和零空间
正交向量组
定义：一组线性无关的向量，且向量之间的内积为零 性质：正交向量组是线性无关的，且向量之间的内积为零 应用：正交向量组可以用来求解线性方程组，以及进行矩阵分解 例子：二维平面上的单位向量组（1,0）和（0,1）是正交向量组
计算方法：通过行 列式的计算公式进 行计算
性质：矩阵的行列 式与矩阵的转置行 列式相等
应用：矩阵的行列式 在求解线性方程组、 特征值和特征向量等 方面有广泛应用
线性变换与矩阵
线性变换的定义
线性变换是一种特 殊的函数，它满足 线性性质
线性变换可以将一 个向量映射到另一 个向量
线性变换可以用矩 阵来表示，矩阵的 每一行代表一个基 向量的变换
性、相似性等
矩阵的相似性
定义：两个矩 阵A和B相似， 如果存在一个 可逆矩阵P，使
得B=P^(1)AP
性质：相似矩 阵具有相同的 特征值和特征
向量
应用：相似矩 阵可以用来简 化矩阵的运算
和求解
例子：对角矩阵 和单位矩阵是相 似的，因为它们 的特征值和特征 向量都是相同的。
矩阵的相似对角化
线性代数笔记
1、1二阶行列式和三阶行列式1、定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表22211211a a a a)5(42221121121122211a a a a a a a a 行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式-即.2112221122211211a a a a a a a a D -==2、定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.2、2全排列及其逆序数1、定义：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）. n 个不同的元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.2、我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3、定义：在一个排列中()n s t i i i i i 21，若数s t i i >则称这两个数组成一个逆序.4、定义：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.5、排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。
6、计算排列逆序数的方法方法1）分别计算出排在n ,n ,,,121- 前面比它大的数码之和即分别算出n ,n ,,,121- 这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.方法2）分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例：分别用两种方法求排列16352487的逆序数.333231232221131211)5(339a a a a a a a a a 列的数表行个数排成设有,312213332112322311322113312312332211)6(a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a1、3 n 阶行列式1、定义：nnn n nn np p p ta a a a a a a a a D a a an n n n212222111211212.)1(21=-∑记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由2为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中t n p p p n 21213、说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n 阶行列式是n ！项的代数和；3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;4、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆；5、nnp p p a a a 2121的符号为().1t-4、1、4 对换1、定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．2、定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.3、定理 n 阶行列式也可定义为()np p p tn a aaD 21211∑-=其中t 为行标排列np p p 21的逆序数.4、定理 n 阶行列式也可定义为()nn q p qp q p t a a a D 22111∑-=其中nn q q q ,p p p 2121是两个n 级排列，t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.).det(ij a 简记作的元素．称为行列式数)det(ij ij a a ()()nnn np p p p p p p p p t nnn n n na a a a a a a a a a a a D 212121212122221112111∑-==1、5 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等.[说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.]性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例计算n阶行列式abbbbabbbbabbbbaD=1、6 行列式按行和列展开1、余子式与代数余子式：在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ija的余子式，记作.ijM()，记ijjiijMA+-=1叫做元素ija的代数余子式．2、引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ija 外都为零，那末这行列式等于ija 与它的代数余子式的乘积，即ijijA a D =．3、定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211()n i ,,2,1 =4、范德蒙德(Vandermonde)行列式∏≥>≥----==1112112222121).(111j i n j i n nn n nn n x x x x x x x x x x x D()n i ,,2,1 =5、推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++6、⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ1、7克拉默法则1、非齐次与齐次线性方程组的概念：设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,,,,21不全为零若常数项n b b b 则称此方程组为非齐次线性方程组此时称方程组为齐次线性方程组.2、克拉默法则：如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111的系数行列式不等,,,,21全为零若常数项n b b b ⎩⎨⎧≠==.,0,1j i j i ij当，当其中δ于零，即nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=0≠那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以表为.,,,,232211D D x D Dx D D x D D x n n ====其中D j 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即nn j n nj n n nj j j a a b a a a a b a a D1,1,111,111,111+-+-=3、定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式D ≠0则（1）一定有解,且解是唯一的 .4、定理2 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.5、齐次线性方程组的相关定理()2000221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a1）定理：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式D ≠0则齐次线性方程组（2）没有非零解.2）定理：如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它系数行列式D=0。
线性代数学习笔记——第一章
线性代数学习笔记——第⼀章线性代数学习笔记——第⼀章⽼规矩，不放图，没找到合适的图床平台⼆阶三阶⾏列式⾏列式⼀定是⽅的。
排列：由1,2,...,n组成的⼀个有序数组叫n级排列，中间不能缺数。
逆序：⼤数排在⼩数前⾯。
逆序数：逆序的总数。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
标准排列：逆序数为0的排列，也称为⾃然排列。
（由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列）对换：交换排列中的两个数。
定理：1、⼀个排列每做⼀次对换，排列奇偶性改变。
2、在所有的N级排列中，奇排列和偶排列的数量相等，各占：n!2。
⼆阶三阶⾏列式按⾏展开：⾏标取标准排列。
列标取排列的所有可能，从不同⾏不同列取出n个元素相乘。
⼀共有N!项。
每⼀项的符号由列标排列的奇偶性决定。
按列展开：列标取标准排列。
⾏标取n级排列的所有可能。
⼀共有N!项。
每⼀项的符号由⾏标排列的奇偶性决定。
既不按⾏展开，也不按列展开：⾏标和列标都取n级排列的所有可能。
⼀共有n!项。
符号由⾏标和列标的奇偶性共同决定。
如下图：特殊结构⾏列式：上三⾓⾏列式下三⾓⾏列式对⾓型⾏列式以上三种的值都为主对⾓线元素相乘。
⼭寨版上三⾓⾏列式⼭寨版下三⾓⾏列式⼭寨版对⾓型⾏列式以上三种的值都等于次对⾓线元素相乘，符号由(−1)n(n−1)2决定。
⾏列式的性质转置：将⾏列式的⾏做成列，转置记作：D T或D'（T表⽰Transformers）。
⾏列式转置后值不变。
⾏列式转置的转置等于本⾝。
性质：⾏列式两⾏互换，值变号。
⾏列式两⾏（列）对应相等，⾏列式等于零。
⾏列式D某⼀⾏（列）元素都乘以数k，等于k乘以⾏列式D。
⾏列式两⾏（列）对应成⽐例，⾏列式等于零。
推论：⾏列式某⾏（列）都为零时，⾏列式为零。
提取公因⼦0，则0提到外⾯后乘以⾏列式肯定等于0。
根据⾏列式展开的定义来理解，展开项不同⾏不同列取到的元素肯定会包含0，所以⾏列式必然等于零。
引申：⾏列式两⾏（列）对应成⽐例；⾏列式两⾏（列）相等；⾏列式某⾏均为零；可以推出⾏列式为零，但是反过来，⾏列式为零，上述三个条件可能都不成⽴。
线性代数总结-笔记
线性代数总结-笔记●注●结合两位李老师线代辅导讲义整理而成●●一、行列式●1、概念及性质●行列式●定义：不同行不同列元素乘积的代数和（完全展开式）（共n！项）●逆序数：一个排列中逆序的总数●性质●行列式性质：●①提公因式；●②两行互换，行列式变号（两行相等、两行成比例，丨A丨=0）；●③拆分；●④倍加●方阵行列式性质（运算公式）：●※注意：①行列式性质≠矩阵初等变换；②行列式性质≠矩阵运算●余子式●定义：Mij●代数余子式●定义：●展开公式●丨A丨=按第i行展开=按第j列展开●某行（列）元素×其他行（列）元素的代数余子式=0●Aij的值与aij的取值无关●2、主要公式●上（下）三角行列式●关于副对角线的行列式●拉普拉斯展开式●范德蒙行列式●△特征多项式→求特征值●克拉默法则计算方程组的解●系数行列式D≠0（即丨A丨≠0）●推论1：齐次线性方程组D≠0，则方程组只有零解●推论2：齐次线性方程组有非零解，则丨A丨=0●3、题型总结●行列式的计算●数字型行列式●步骤：①观察行列式特征；②利用展开公式或行列式性质●方法：行（列）加法、加边法、分块法、拆项法、递推法●特殊行列式归纳●爪形行列式：●一般思路：利用对角线元素把行或者列消去，变为上/下三角形；●考题中一般不会给明显爪形，需要先进行恒等变换●三对角线行列式●一般思路：把对角线两边的某一对角线化为0●低阶：①每一行加到第一行；②逐行相加●高阶：数学归纳法递推——①把A展开，看A与几个低阶有关②与一个低阶有关，选择第一数学归纳法；与两个或两个以上低阶有关，选择第二数学归纳法●抽象性行列式●丨A+B丨型的计算●给出A=α，β，γ；B=δ，ε，η→把A+B表示出来，用行列式性质●完全抽象：利用E把A+B恒等变形，根据矩阵行列式性质化为已知条件●丨A丨型计算●遇到A的伴随、转置或逆矩阵等，先利用矩阵性质化为A后，再计算●遇到α1，α2，α3是线性无关向量且给有Aα1，Aα2，Aα3：①行列式性质②利用相似“A~B，则丨A丨=丨B丨”●利用特征值●例题●三对角线行列式 @例题●@●加边法求行列式 @例题●@●抽象行列式 @例题●@ 行列式性质拆分、加加减减；相似；由已知条件观察A的伴随、A的转置、A的逆、A之间的关系。
人工智能+Python：MIT线性代数课程笔记
知识概要本节始，们来学习线性代数的有关知识，首节们从解方程谈起，学习线性代数的应用之一就求解复杂方程问题，本节核心之一即为从行图像与列图像的角度解方程。
方程组的几何解释基础：2.1二维的行图像们首先通过一个例子来从行图像角度求解方程：们首先按行将方程写为矩阵形式：系数矩阵(A)：将方程系数按行提取出来，构成一个矩阵。
未知向量(x)：将方程未知数提取出来，按列构成一个向量。
向量(b)：将等号右侧结果按列提取，构成一个向量。
接下来们通过行图像来求解这个方程：所谓行图像，就在系数矩阵上，一次取一行构成方程，在坐标系上作图。
和们在初等数学中学习的作图求解方程的过程无异。
2.2二维的列图像接下来们使用列图像求解此方程：即寻找合适的x，y使得x倍的(2,-1)+y倍的(-1,2)得到最终的向量(0,3)。
很明显能看出来，1倍(2,-1)+2倍(-1,2)即满足条件。
反映在图像上，明显结果正确。
3方程组的几何解释推广3.1高维行图像如果绘制行图像，很明显这一个三个平面相交得到一，们想直接看出这个的性质可谓难上加难。
比较靠谱的思路先联立其中两个平面，使其相交于一条直线，在研究这条直线与平面相交于哪个，最后得到坐标即为方程的解。
这个求解过程对于三维来说或许还算合理，那四维呢?五维甚至更高维数呢?直观上很难直接绘制更高维数的图像，这种行图像受到的限制也越来越多。
3.2高维列图像左侧线性组合，右侧合适的线性组合组成的结果，这样一来思路就清晰多了，“寻找线性组合”成为了解题关键。
很明显这道题一个特例，们只需要取x=0，y=0，z=1。
就得到了结果，这在行图像之中并不明显。
当然，之所以们更。
干货MIT线性代数课程精细笔记
干货MIT线性代数课程精细笔记[第二课]1知识概要这一节中我们介绍一下消元法，即是上一节中我们提到的“系统化”求解方程所用的方法，通过矩阵消元运算可以很轻松地求解复杂方程。
另外还介绍了消元矩阵，即我们的消元运算在矩阵乘法中所表现的形式。
并从消元矩阵引入，介绍逆矩阵的基础知识。
2消元法求解方程2.1 消元法介绍对于一些“好”的系数矩阵（可逆矩阵）A 来说，我们可以使用消元法来求解方程Ax = b，我们还是从一个例子谈起。
所谓矩阵的消元法，与我们初等数学中学习的解二元一次方程组的消元法其实师出同门，都是通过将不同行的方程进行消元运算来简化方程，最后能得到简化的方程组，只不过这里我们把系数单独抽出来进行运算，寻找一种矩阵情况下的普遍规律而已。
注：并不是所有的A 矩阵都可消元处理，需要注意在我们消元过程中，如果主元位置（左上角）为0，那么意味着这个主元不可取，需要进行“换行”处理：首先看它的下一行对应位置是不是0，如果不是，就将这两行位置互换，将非零数视为主元。
如果是，就再看下下行，以此类推。
若其下面每一行都看到了，仍然没有非零数的话，那就意味着这个矩阵不可逆，消元法求出的解不唯一。
下面是三个例子：2.2 回带求解其实回带求解应该和消元法同时进行，只不过本课中以及一些软件工作原理中它们是先后进行的，所以我们这里分开讨论，先介绍增广矩阵：一下子就看出来了，就是把系数矩阵A 和向量b 拼接成一个矩阵就行了。
3消元矩阵3.1 行向量与矩阵的乘法上面的消元法是从简单的变换角度介绍了消元的具体操作，接下来我们需要用矩阵来表示变换的步骤，这也十分有必要，因为这是一种“系统地”变换矩阵的方法。
导致错误。
其实学过矩阵之间的乘法之后这些东西都极为简单，但这里还是建议大家尽量从向量的角度去考虑问题。
好的，接下来是重点。
学会了行向量与矩阵之间的乘法，我们就可以使用行向量对矩阵的行做操作了。
所谓消元矩阵，就是将消元过程中的行变换转化为矩阵之间的乘法形式。
线性代数_笔记
自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
.线性代数02.矩阵消元
.线性代数02.矩阵消元本篇为MIT 公开课——线性代数 笔记。
下⾯我们要⽤矩阵语⾔描述消元法。
核⼼的概念是“矩阵变换”.举例三未知数三⽅程x +2y +z =23x +8y +z =124y +z =2⽅程组矩阵形式为 AX =b 它们的系数矩阵 A 为3x3矩阵A =121381041消元⾸先明确⼀个概念：主元(pivot element)，⼀种变元。
指在消去过程中起主导作⽤的元素。
主元就是在矩阵消去过程中,每列的要保留的⾮零元素,⽤它可以把该列其他元素消去。
主元⾏就是主元所在的⾏。
主元的确定是⼀种递归思想。
对于 3X3 矩阵：主元1是第⼀⾏第⼀个元素，依次乘以对应数值对第⼆⾏和第三⾏进⾏消元；主元2是第⼆⾏第⼆个元素，对第三⾏进⾏消元；主元3是第三⾏第三个元素，到达边界。
第⼀步：(2,1)消元第⼀⾏中第⼀个元素是我们主元1。
利⽤它我们可以消去第⼆⾏中的第⼀个元素，也就是我们可以消去⽅程2中的 x 分量。
我们将第⼀⾏乘以3，然后⽤第⼆⾏减去它，主元⾏1不变，减法的结果在第⼆⾏显⽰，⽤矩阵形式：121381041→12102−241这⾥消元的位置是 (2,1) 位置，⾏⼆列⼀。
(2,1) 位置得到 0,因此⽤ (2,1) 作为这⼀步的代号。
第⼆步：(3,1)消元把这⼀列最下⾯元素也变成0，所以这⼀步代号是 (3,1) ，⾏三列1，不过这个位置已经是0了，所以第⼀⾏乘以0，再⽤第三⾏减去，还是得到原来数值.第三步：(3,2)消元现在我们⽅程消去了 x 分量，只剩下 y 、z 分量接下来是主元2，它是第⼆⾏的第⼆个元素。
利⽤它我们可以消去第三⾏中的 y 分量。
我们将主元⾏2乘以2，⽤第三⾏减去，可以得到()()()Processing math: 100%12102−241→12102−25消元结果此时，我们通过对矩阵 A ,就得到了我们三个主元：1,2,5，它们构成的矩阵，记为 U .即U =12102−25U 表⽰上三⾓矩阵:主对⾓线以下都是零的⽅阵称为上三⾓矩阵。
《线性代数》学习笔记三
主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记三——矩阵的概念、运算、分块矩阵1． 矩阵概念定义：由mxn 个数a ij (i-1.2,……，m;j=1.2,……,n)排成m 行n 列的数表 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为一个mxn 矩阵，a ij 称为第i 行第j 列上的元素，可简记作A=(a ij )mxn 或Amxn ，当m=n 时也称Amxn 为n 阶方阵，可记为An 。
当m=1时，Amxn=(a 11,a 12,……a 1n )称为行矩阵，当n=1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m mxna a a A 称为列矩阵，有元素皆为0的矩阵称为零矩阵，记作0。
对于n 阶方阵An ，称a n ，a 22 ，…，nn a 为A 的全对角线上元素称∑=ni ii a 1为分阵A 的迹，记作tr A ，即tr A =1nii i a 。
当n 阶方阵A 的主对角线以下（上）的所有元素皆为零称A 为上（下）三角形矩阵，除主对角线上元素外其元素皆为零的方阵为对角形矩阵，主对角线上有元素皆为1的对角形矩阵称为单位方阵，记作F 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001F 2.矩阵运算1加法A=（ij a ）mxn ，B=（ig b ）mxn 则A+B=（a ij +b ij ）mxn即只有两个矩阵都是mxn 矩阵，也称为同型矩阵，才能做加法运算。
称（－a ij ）mxn 为A 的负矩阵，记作－A ，即－A=（－a ij ）mxn 。
由此可定义A －B=A+（－B ）=（a ij －bij ）mxn 。
证与数的加、减运算类似，矩阵的加法运算满足 （1）A+B=B+A （交换律）（2）（A+B ）+C=A+（B+C ）（结合律） （3）A+O=O+A=A ，（4）A+（－A ）=（－A ）+A=O 2．数乘：设K 是一个数， mxnijmxnA a 则R 与矩阵A 相乘定义为111212122212n n ijmxnm m mnka ka ka ka ka ka kAka ka kaka也就是ka 是指用k 去乘A 的每一个元素，另证，其满足以下规律： （1）K （A+B ）=KA+KB ，（K+L ）A=KA+LA ，（分配律） （2）（KL ）A=K （LA ）=L （KA ），（结合律）， （3）若KA=0，则K=0或A=0。
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列图像 Column Picture 在列图像中，我们将系数矩阵写成列向量的形式，则求解原方程变为寻找列向
量的线性组合（linear combination）来构成向量 b。
4
x
2 1
y
1 2
0 3
向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量 c 和 d 以及标量 x 和 y，我们将 xc+yd 称之为 c 和 d 的一个线性组合。
第 01 讲 行图像和列图像
Row picture & Column picture
线性方程的几何图像 The geometry of linear equations 线性代数的基本问题就是解 n 元一次方程组。例如：二元一次方程组 2x y 0 x 2y 3
写成矩阵形式就是
2 - 1
- 1x 2y
从几何上讲，我们是寻找满足如下要求的 x 和 y，使得两者分别数乘对应的列向
量之后相加得到向量
0 3
。其几何图像如下图。
2 蓝色为向量 - 1 ；
- 1
红色为向量
2 ；
可以看到当蓝色的向量乘以 1 与红色的
向量乘以 2（红色虚线）后做加法（首尾 0
相接）就可以得到绿色的向量 b= 3 ，
由此可得到方程的解 x=1,y=2。
0 3
其中
A=
-
2 1
-
1 2
被称为系数矩阵（coefficient
matrix）。
未知数向量通常记为
x=
x y
而等号右侧的向量记为 b。线性方程组简记为 Ax=b。
行图像 Row Picture
行图像遵从解析几何的描述，每个 方程在平面上的图像为一条直线。找到 符合方程的两个数组，就可以确定出 x-y 平面上的两个点，连接两点可以画 出该方程所代表的直线。两直线交点即 为方程组的解 x=1,y=2。
矩阵与向量的乘法
列图像：Ax 是矩阵 A 列向量的线性组合 ：
2 1
51 32
112
235
12
7
也可以通过将矩阵 A 的行向量和 x 向量进行点积来计算：
2 1
51 32
1 2 1 1
2 5 2 3
12
7
7
第 02 讲 矩阵消元
Elimination with matrices
消元法 Method of Elimination 消元法是计算机软件求解线形方程组所用的最常见的方法。任何情况下，只要
列式的值。
需要说明的是，主元不能为 0，如果恰好消元至某行，0 出现在了主元的位置上，
应当通过与下方一行进行“行交换”使得非零数字出现在主元位置上。如果 0 出现
5
概念，英文版出到第 5 版了，华章出过中译本。（是不是觉得上面那个图片有点斜， 是斜线造成的错觉呦！）
将以上讨论扩展到三元。图不好弄，所以用了 GS 书里的另一个方程，没有用
视频中的那个！！！这样方程和配图是吻合的。
x 2y 3z 6 2x 5y 2z 4 6x 3y z 2
1 2 3x 6
是矩阵 A 可逆，均可以通过消元法求得 Ax=b 的解。
此处给出的线性方程组为 1 2 1
A= 3 8 1 0 4 1
2 b= 12
2
高斯消元法（Gauss elimination）就是通过对方程组中的某两个方程进行适当
Hale Waihona Puke 的数乘和加（jian）和（fa），以达到将某一未知数系数变为零，从而削减未知数个
1 2 3 6
方程组列图像为 x 2
y
5 z 2 4
6 3 1 2
如果改变等号右侧的 b 的数值，那么对于行图像而言三个平面都改变了，而对
于列图像而言，三个向量并没有发生变化，只是需要寻找一个新的组合。
6
那么问题来了，是否对于所有的 b，方程 Ax=b 都有解？ 从列图像上看，问题转化为“列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间？” 反例：若三个向量在同一平面内——比如“列 3”恰好等于“列 1”加“列 2”， 而若 b 不在该平面内，则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量 b。此时 矩阵 A 为奇异阵或称不可逆矩阵。在矩阵 A 不可逆条件下，不是所有的 b 都能令 方程 Ax=b 有解。 对 n 维情形则是，n 个列向量如果相互独立——“线性无关”，则方程组有解。 否则这 n 个列向量起不到 n 个的作用，其线性组合无法充满 n 维空间，方程组未必 有解。 从行图像的角度来看，三元方程组是否有解意味着什么？当方程所代表的三个 平面相交于一点时方程有唯一解；三个平面中至少两个平行则方程无解；平面的两 两交线互相平行方程也无解；三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。 都是示意图，来看看 GS 和 Lay 的作图差异有多大吧……
数的目的。
我们将矩阵左上角的 1 称之为“主元一”（the first pivot），第一步要通过消元
将第一列中除了主元之外的数字均变化为 0。操作方法就是用之后的每一行减去第
一行的适当倍数，此例中第二行应减去第一行的 3 倍。之后应对第三行做类似操作，
本例中三行第一列数字已经为 0，故不用进行操作。
矩阵形式 2
5
2
y
4
6 - 3 1z 2
方程的行图像比较复杂，每一个方程都是三维空间内的一个平面，方程组的解 为三个平面的交点。
画图真不是 GS 的长项，在视频里画的就比较 shi，他自己也承认了。在课本里
他用两个面相交于一条直线画了一个图，然后让这条直线和第三个平面相交画了第
二个图。同样的事，y 一张图分分钟搞定。
1 2 1
1 2 1
1 2 1
A= 3 8 1 (2,1) 0 2 -2 (3,2) U= 0 2 - 2
0 4 1
0 4 1
0 0 5
处在第二行第二列的主元二为 2，因此用第三行减去第二行的两倍进行消元， 得到第三个主元为 5。
矩阵 A 为可逆矩阵，消元结束后得到上三角阵 U（Uppertriangular matrix）， 其左侧下半部分的元素均为 0，而主元 1,2,5 分列在 U 的对角线上。主元之积即行
想象一下如果任意取 x,y，则得到的线性组合又是什么？其结果就是以上两个列 向量的所有线性组合将会布满整个坐标平面。
y
的《线性代数及其应用》中，绘制向量v1
1 1
和v
2
1 2
的线性
组合充满整个平面的图像，节点处为向量的整数倍线性组合。
这本书也是难得的好书，作者喜欢利用几何图像来帮助读者理解线性代数中的