高三数学二轮复习之选填专项训练-圆锥曲线--离心率

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专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

【答案】1 【详解】抛物线 y2 8x ，
抛物线的准线为 x 2 ，焦点 F 2，0 ，
过点 P 作直线 l 的垂线交于点 C ，如图所示：
由抛物线的定义可知，| PF || PB || PA | p ， 2
则| PA || PF | p | PF | 2 ， 2
d | x0 || PC | | PF | 2, 当 F ， P ， C 三点共线时， | PC | | PF |取得最小值，即 d | x0 | 取得最小值， F (2, 0),
专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录专题 9-1 圆锥曲线（选填） ................................................................................................................... 1
B． x2 y2 1
32 36
C． x2 y2 1 95
【答案】C 【详解】根据题意，作图如下：
D． x2 y2 1 59
易知 NM NQ ，则 NP NM 6 ，即 NP NQ 6 PQ 4 ，
故点 N 的轨迹是以 P,Q 为焦点且长轴长为 6 的椭圆，
设其方程为 x2 a2
③抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （其中定点 F 不在定直线 l 上）的距离相等的点({M || MF | d} )的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线
x2 9
y2 16
整理得 x2 2ax 2b2 0 ，
由于点 M 在第一象限， x a a2 2b2 ，

(完整word版)圆锥曲线的离心率问题专题训练

圆锥曲线的离心率问题专题训练1．若椭圆1222=+m y x 的离心率等于21，则m = . 2．已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，则双曲线的离心率为。

3. 过双曲线焦点且垂直于对称轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若|AB|为双曲线实轴长的2倍，则双曲线的离心率为。

4．已知 F 1 、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得 S ⊿F 1PF 2=23b ，则该椭圆的离心率的取值范围是。

5．若点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则椭圆离心率的取值范围为。

6．若点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为。

7．分别过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点F 1、F 2所作的两条直线21l l 、的交点总在椭圆内部，，则该椭圆的离心率的取值范围为。

8．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左右两个焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为一边向上作正三角形PF 1F 2，两边与双曲线的交点恰为所在边的中点，则双曲线的离心率为。

9．若点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，A 、B 为长轴的左右顶点，PA 、PB 的斜率之积为32-，则椭圆的离心率是。

10．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，l 与双曲线)0(1222>=-a y ax 交于A 、B 两点。

若三角形FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为。

11．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，过原点的直线与椭圆交于A 、B 两点，连接AF 、BF ，若|AF|=6，|AB|=10，co s ∠ABF=54,则椭圆的离心率是。

高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系（1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距（2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。

从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。

圆锥曲线离心率求法专题训练-含答案

圆锥曲线离心率求法专题训练（一）1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 在椭圆上，且1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则椭圆的离心率等于( )A 1B 1CD -2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为( )A ．35B ．12C D3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是( ) A ．1[,1)4B ．1(,1)4C ．1(,1)2D ．1[,1)24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得12||||2PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1(0,]2B ．1[.1)2C ．D ．5．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,)54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．C ．1(4D ．11(,)546．在椭圆222211x y m m +=-，(1)m >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且83ABO S ∆=，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．2D ．167．已知椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交椭圆于点P ，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为( )A ．1-B ．2-CD 18．椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11[,]32圆锥曲线离心率求法专题训练（二）1．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上一点M 满足1260F MF ∠=︒，则该椭圆离心率取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．2．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12||||PF QF b +，则C 的离心率的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，一个顶点为(2,0)A ，设(,0)B t ，点P 是椭圆C上的动点，若||||PB AB 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．1[0,]2B ．1[,)2+∞C ．[2-，2]D ．(2,)+∞4．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上下焦点分别为1F ，2F ，过1F 作双曲线渐近线的垂线1F P ，垂足为点P ，若1POF ∆2，则双曲线的离心率为( )A ．2BC D5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为( )A B ．2CD ．36．设双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，M 为双曲线上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则双曲线的离心率为( )A ．2BCD ．37．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．[2，)+∞D ．(1，2]8．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足||2||AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．12e <>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[6πα∈，]4π，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．[2B ．[2，1) C ．[21] D ．2．椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是( )A B C D ．6433．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ． B ．(2 C ．2 D ．4．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB =，||||2||FB FA FB ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．B ．1)C ．1]D ．1，1)5．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆上一点，且12||3||PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，1]3 B ．1[3，1) C ．(0，1]2 D ．1[2，1)6．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得||||9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．1[,1)2B ．11[,]32C ．11[,]54D ．12[,]237．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP =-，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1[,1)2B ．C ．D ．8．椭圆2221x y a +=上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0B ．，1)C ．(0，1]2D ．1[2，1)圆锥曲线离心率求法专题训练（四）1．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，如果椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，则离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．4)5C ．D ．2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在一点Q ，使12120FQF ∠=︒，椭圆离心率e 的取值范围为( )A 1e >的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．4．已知点1F ，2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P 使得12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1(0,)3 B ．(0，1]2 C ．1(3，1]2D ．1[3，1)5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A ． B ． C ．1(0,)2D ．1(,1)26．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F c =，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1)B ．1)C ．D ．1，1)7．已知椭圆的左、右焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在点P 使1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为()A ．，1)B ．(0C ．1[2，1)D ．(0，1]28．设1F ，2F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ． B ． C ． D ．圆锥曲线离心率求法专题训练（五）1．已知椭圆：22221(,0)x y a b a b+=>和圆222:O x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．若椭圆上存在点P ，使得0PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1[2，1)B ．(0C．，1) D ．1[22．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ，2F ，若双曲线上存在一点P ，满足12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．12e <>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P 使21||||PF aPF c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．5．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是．圆锥曲线离心率求法专题训练（一）1．（2021秋•昌邑区校级期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 在椭圆上，且1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则椭圆的离心率等于( )A1B1CD-解：1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，12||2F F c =，∴△12PF F 是直角三角形，2||PF c =，1||PF =，由椭圆的定义可得，12||||2PF PF a +=，∴2c a +=，∴1c e a ==．故选：B ． 2．（2021秋•平城区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为( ) A ．35B ．12C．2D解：设直线方程为x y c +，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立得222241()02a b y cy b +-=，12222y y a b+=+4122212b y y a b =-+①223AF F B =，1(c x ∴-，12)3(y x c -=-，2)y ，得123y y =-②，由①②联立可得，22213242a b c +=，即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率c e a ==D ． 3．（2021秋•青羊区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是( )A ．1[,1)4B ．1(,1)4C ．1(,1)2D ．1[,1)2解：12||3||PF PF =，又点P 在椭圆上，∴由椭圆的定义可得，12||||2PF PF a +=， 2||2a PF ∴=，点P 在椭圆上，2||PF a c ∴-，∴2a a c -，即12ce a=，又1e <，∴112e <，故椭圆的离心率取值范围是1[,1)2．故选：D ． 4．（2021秋•五华区校级月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得12||||2PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1(0,]2B ．1[.1)2C． D．解：由题意可得122||||2c PF PF c --，由题意可得22b c ，而222b a c =-，c e a=，所以可得：22e，而(0,1)e ∈，故选：D ． 5．（2021春•河南期中）已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,)54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为( )A．1)2B． C．1(4D ．11(,)54解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由平行四边形对角线互相平分可得A 与C ，B 与D 关于原点对称，所以可得2(D x -，2)y -，所以2221121222211212AB ADy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，将A ，B 的坐标代入可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22221212220x x y y a b --+=，可得2221222212y y b x x a -=--，由题意可得：224354b a -<-<-，即223445b a <<，可得：2234145c a <-<，解得：c e a =∈，1)2，故选：A ．6．（2021秋•洛南县校级月考）在椭圆222211x y m m +=-，(1)m >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且83ABO S ∆=，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．12CD ．16解：由椭圆的方程可得22a m =，221b m =-，所以2221c a b =-=，可得1c =，设A 的坐标为0(,)c y ，则220221y c a b +=，所以20||b y a =，所以20182||23AOB b S c y c a ∆=⋅⋅=⋅=，可得3a =，所以离心率13c e a ==，故选：A ．7．（2021•迎江区校级三模）已知椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交椭圆于点P ，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为( )A．1-B．2-CD1解：在△12F PF 中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒设2||PF m =，则1212||2,||c F F m PF ===，又由椭圆定义可知122||||1)a PF PF m =+=则离心率212c c e a a ===，故选：D ． 8．（2021•新华区校级开学）椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是( )A ．2B ．[2C ．D ．11[,]32解：由题意的定义可得：12||||2PF PF a +=，再由均值不等式可得：2221212||||2||||()()22PF PF aPF PF a +⋅==，12||||PF PF ⋅的最大值为2a ，由题意可得22223c a c 可得21132e，解得22e ，故选：A ．圆锥曲线离心率求法专题训练（二）1．（2021•安徽开学）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上一点M 满足1260F MF ∠=︒，则该椭圆离心率取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．解：设11||MF r =，22||MF r =，由余弦定理得：222121212||||||2||||cos60F F MF MF MF MF =+-︒，∴22212124r r r r c +-=，又122r r a +=，即222121224r r r r a ++=，解得222212483a c r r ++=，2212443a c r r -=，2212122r r r r +，∴2222488833a c a c +-，得224c a ，01e <<，∴1[,1)2e ∈．故选：B ．2．（2021秋•河北月考）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12||||PF QF b +，则C 的离心率的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．解：如图，延长1PF ，交椭圆C 于M ，根据椭圆的对称性可知，21||||QF F M =，则1211||||||||||PF QF PF MF PM +=+=，因为焦点弦||PM 的最小值为22b a ，由题意可知，22b b a ，所以12b a ，则2302e <=．所以C 的离心率的取值范围．故选：C ．3．（2021春•泗县校级期末）已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，一个顶点为(2,0)A ，设(,0)B t ，点P 是椭圆C 上的动点，若||||PB AB 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．1[0,]2B ．1[,)2+∞C ．[2-，2]D ．(2,)+∞解：由已知可得1c =，2a =，则2223b a c =-=，所以22143x y +=，设0(P x ，0)y ，则2200143x y +=，所以220003(22)4x y x =--，若||||PB AB 恒成立，则||2||2PB AB 恒成立，所以200()2(2)2x t y t -+-，整理可得000(2)(2)(2)8x x t x -+-，当02x =时，不等式恒成立，当022x -<，不等式可化为028x t+恒成立，因为021()82max x +=，所以12t ，综上，t 的取值范围是1[2，)+∞．故选：B ．4．（2021秋•南充月考）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上下焦点分别为1F ，2F ，过1F 作双曲线渐近线的垂线1F P ，垂足为点P ，若1POF ∆23，则双曲线的离心率为( ) A ．2B 3C 39D 23解：焦点1(0,)F c ，设曲线的渐近线的方程为ay x b=，因为1F P OP ⊥，所以直线1F P 的方程为b y c x a -=-，即a y x c b =+，联立b y x c aa y xb ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得ab x c =，所以121322OPF ab ab Sc c =⋅⋅=，所以3b a =2222232311()3c c b e a a a ===+=+，故选：D ．5．（2021秋•许昌月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．5D ．3解：设双曲线的左、右焦点，1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程()by x c a =-，联立双曲线22221(0)x y b a a b -=>>，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac -，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得，2211()(2)22322b b c a m n c c ac-⋅++=⋅⋅，化简可得2332c m n a c a+=--①，由双曲线的定义可得2m n a -=②，在三角形12AF F 中，22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得22sin b b c a bθ==+，可得222c a n a -=③，由①②③化简可得2220c ac a --=，()(2)0c a c a +-=，所以c a =-（舍)，2c a =，所以离心率2ce a==，故选：B ．6．（2021秋•南宁月考）设双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，M 为双曲线上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则双曲线的离心率为( ) A ．2BCD ．3解：因为22MF A MAF ∠=∠，所以2||||AM MF =+，故M 在2AF 中垂线上，则M 在曲线右支上，所以21112MAF MF A AMF MF A ∠=∠+∠=∠，所以11MF A AMF ∠=∠，所以1||||AF AM =，所以12||||AF MF =，(,0)A a ，2(,0)F c ，故2M a cx +=，22||M MF c a a x c=-，所以22||()2c a c a MF a c +=⋅-，1||AF c a =+，所以2()2c a c a c a a c+⋅-=+，即22ac c a c a a +-=+，即2242ac c a ac +=+，所以2()42c c c a a a+=+⋅，即240e e --=，所以e =1e >，所以e =B ． 7．（2021•浙江开学）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是( ) A．)+∞B．C ．[2，)+∞D ．(1，2]解：由题意可得直线1l ，2l 的方程分别为：0bx ay +=，0bx ay -=，设0(P x ，0)y ，则2200221x y a b-=，所以22222200b x a y a b -=，即220000()()bx ay bx ay a b +-=，所以220000a b bx ay bx ay +=-，设P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d，则001||bx ay d c +==，同理可得：002||bx ay d c-=，由题意两点22002200000012||||||||22a b bx ay bx ay bx ay bx ay a b abd d c cc c +-++--+===，当且仅当22200()bx ay a b -=，即00bx ay ab -=±，时取等号，由题意可得2ab b c ，所以可得2ca ，故选：C ．8．（2021秋•恩施州月考）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足||2||AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．12e <，即2222()a ac c a +>-，可得2230e e --<，解得：312e -<<．又1e >，∴双曲线离心率e 的取值范围是312e <<．故选：B ．圆锥曲线离心率求法专题训练（三）1．（2021•江西模拟）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[6πα∈，]4π，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．2[3B ．2[，1) C ．2[31] D ．3[6 解：由已知，点B 和点A 关于原点对称，则点B 也在椭圆上，设椭圆的左焦点为1F ，则根据椭圆定义：1||||2AF AF a +=，根据椭圆对称性可知：1||||AF BF =，因此||||2AF BF a +=①；因为AF BF ⊥，则在Rt ABF ∆中，O 为斜边AB 中点，则||2||2AB OF c ==，那么||2sin AF c α=②，||2cos BF c α=③；将②、③代入①得，2sin 2cos 2c c a αα+=，则离心率11sin cos 2)4c e a πααα===++，由[6πα∈，]4π，5[412ππα+∈，]2π，由562sin 12π+62sin()[4πα++∈1]，则2[e ∈31]，故选：C ．2．（2020秋•潞州区校级期末）椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是( )A 643B 913C 163D ．643 解：椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，∴由椭圆定义得：12||||20PF PF +=，221212||||2||||400PF PF PF PF ∴++=，① 由余弦定理得：22121212||||2||||cos 436PF PF PF PF F PF +-∠=⨯，② 联立①②，得：12256||||3PF PF =，∴△12F PF 的面积是12112563643||||sin 60223S PF PF =︒=⨯=故选：A ．3．（2020秋•尖山区校级月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A ．3(B ．2(C ．2D ．3 解：设(,)P x y ，90OPA ∠=︒，∴点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：22()(2a x y -+=2)2a，化为220x ax y -+=．联立椭圆方程可化为222322()0b a x a x a b -+-=，解得22P ab x c=，0x a <<，220ab a c ∴<<，化为2222c b a c >=-，212e ∴>，又10e >>21e <<．故选：B ．4．（2020•镇海区校级模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB =，||||2||FB FA FB ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．2[5B ．5[1) C ．2[31] D ．[31，1)解：作出椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，又0FA FB =，即FA FB ⊥，故平行四边形AFBF '为矩形，||||2AB FF c '∴==，设AF n '=，AF m =，则在直角三角形ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，① 得22mn b =，②①÷②得222m n c n m b +=，令mt n=，得2212c t t b +=，又由||||2||FB FA FB ，得[1m t n =∈，2]，2212[2c t t b ∴+=∈，5]2，即22[1c b ∈，5]4即22514c b ，得22415b c ，即222415a c c -，即224115a c -，则22925a c ，即221529c a ，得1529e 得2523e 则椭圆的离心率的取值范围是2[2，5]3，故选：A ．5．（2020•永康市模拟）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆上一点，且12||3||PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，1]3B ．1[3，1)C ．(0，1]2D ．1[2，1)解：P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为椭圆焦点，且12||3||PF PF =，可得12||||2PF PF a +=，13||2PF a a c =+，12e ∴．∴椭圆离心率的范围是1[2，1)故选：D ．6．（2018•恩施州一模）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得||||9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．1[,1)2B ．11[,]32C ．11[,]54D ．12[,]23解：记椭圆的左焦点为1(1,0)F -，则1||1AF =，11||||||PF PA AF +，112||||||||||1910a PF PF PA AF PF ∴=++++=，即5a ；11||||||PF PA AF -，112||||||||||918a PF PF PA AF PF ∴=+-+-=，即4a ，45a ∴，∴11[,]54c a ∈故选：C ．7．（2020秋•安顺期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP =-，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1[,1)2B ．2[C ．51[-D ．2] 解：设2(a P c ，)y ，由FP AP FA AP =-，可得()0FP FA AP +=，则2(a FP FA c c+=-，)(y c +-，2)(2a b c c =-，)y b +，2(a AP c =，)y b -，所以由()0FP FA AP +=，可得：22(2)()()0a a c y b y b c c -++-=，可得：4222220a a b y c--=-，整理可得：4222222()0a a c a c c ---，即42310e e -+，235352e -+，即51512e-+，由于椭圆的离心率小于1511e -<，故选：C ．8．（2012•西安一模）椭圆2221x y a +=上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．(02B ．2[，1) C ．(0，1]2D ．1[2，1)解：椭圆方程为：2220x y a +=，21b ∴=，可得221c a =-，21c a =-椭圆的离心率为21a e -=又椭圆上一点P ，使得角122F PF π∠=，∴设点P 的坐标为0(x ，0)y ，结合1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得10(PF c x =--，0)y -，20(PF c x =-，0)y -，∴22212000PF PF x c y =-+=⋯① 0(P x ，0)y 在椭圆2221x y a+=上，∴220021x y a =-，代入①可得22200210x x c a -+-=将221c a =-代入，得22200220x x a a --+=，所以4220221a a x a -=-，0a x a -∴220x a ，即4222201a a a a --，解之得22a ∴椭圆的离心率221121[a e a -=-，1)．圆锥曲线离心率求法专题训练（四）1．（2015秋•南关区校级期末）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，如果椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，则离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．4)5C ．D ．解：椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，∴设(cos ,sin )P a b αα，则(cos 2,sin )AP a c b αα=+，(cos 2,sin )BP a c b αα=-，AP BP ⊥，∴22222cos 4sin 0AP BP a c b αα=-+=，22222222444c a cos b sin e a a θθ+∴==222222sin 4a cos a sin c a θθθ+-=22224a c sin a θ-=，02θπ<<，∴当0θ→时，12e =；当2πθ=时，e =，∴离心率的取值范围为1)2．2．（2013秋•安吉县校级月考）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在一点Q ，使12120FQF ∠=︒，椭圆离心率e 的取值范围为( )A 1e <B 1e <<C ．603e< D ．112e << 解：椭圆的焦点在x 轴，设椭圆的上顶点为A ，椭圆上存在一点Q ，12120FQF ∠=︒，160F AO ∴∠︒， 1tan 3c F AO b∴∠=，∴33b c∴2222222113b a c a c c c -==-，故2234c a ，32ce a ∴=，又1e <．∴1e <．故选：A ． 3．（2020•池州模拟）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．解：由12PF PF ⊥，知△12F PF 是直角三角形，||OP c b ∴=，即222c a c -，2ac ∴，ce a=，01e <<，∴1e <，故选：C ．4．（2015秋•晋安区校级期末）已知点1F ，2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P使得12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．1(0,)3B ．(0，1]2C ．1(3，1]2D ．1[3，1)解：由题意设12||2||2PF PF x ==，则22x x a +=，解得23a x =，故14||3a PF =，22||3a PF =，当P 与两焦点1F ，2F 能构成三角形时，由余弦定理可得222121644242cos 9933a a a ac F PF =+-⨯⨯⨯∠，由12cos (1,1)F PF ∠∈-可得222212201644cos (999a a a c F PF =-∠∈，236)9a ，即222436499a a c <<，∴22119c a <<，即2119e <<，∴113e <<；当P 与两焦点1F ，2F 共线时，可得2()a c a c +=-，解得13c e a ==；综上可得此椭圆的离心率的取值范围为1[3，1)故选：D ．5．（2015秋•西城区期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．2(0,)2 B ．2(,1)2 C ．1(0,)2D ．1(,1)2解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，∴△012P F F 中，10290F P F ∠>︒，Rt ∴△02P OF 中，0245OP F ∠>︒，所以02P O OF <，即b c <，222a c c ∴-<，可得222a c <，22e ∴>，01e <<，∴212e <<．故选：B ．6．（2018秋•城厢区校级期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F c =，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A ．(0,21)- B ．2(2，1) C ．2(0,)2D ．(21-，1)解：在△12MF F 中，由正弦定理可得，122112||||sin sin MF MF MF F MF F =∠∠，又1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，即有1222||2||||||MF a MF c a MF MF -==，解得222||a MF a c=+，由于2||a c MF a c -<<+，即有22()()2()a c a c a a c -+<<+，即为2222a c a -<，显然成立；又2a a c <+，即有(21)c a >-，则离心率(21ce a=∈-，1)．故选：D ．7．已知椭圆的左、右焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在点P 使1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为()A ．3[2，1) B ．(0，3]2 C ．1[2，1) D ．(0，1]2解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，∴△012P F F 中，10260F P F ∠︒， Rt ∴△02P OF 中，0230OP F ∠︒，所以023P OOF ，即3b c ，2223a c c ∴-，可得224a c ，∴12ca ，01e <<，∴112e <．故选：C ． 8．（2015•怀化二模）设1F ，2F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．3[,1)2B ．3(,1)2C ．3(0,)2D ．3(0,]2解：1(,0)F c -，2(,0)F c ，0c >，设1(P x ，1)y ，则11||PF a ex =+，21||PF a ex =-．在△12PF F 中，由余弦定理得2221111()()41cos12022()()a ex a ex c a ex a ex ++--︒=-=+-，解得2221243c a x e -=．21(0x ∈，2]a ，2222430c a a e -∴<，即22430c a -．且21e <32c e a ∴=．故椭圆离心率的取范围是3[,1)2e ∈．故选：A ．圆锥曲线离心率求法专题训练（五）1．（2013•天心区校级二模）已知椭圆：22221(,0)x y a b a b+=>和圆222:O x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．若椭圆上存在点P ，使得0PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1[2，1) B ．(0，]2 C．[2，1) D ．1[2，2解：由0PA PB =，可得90APB ∠=︒，利用圆的性质，可得||OP =，222||2OP b a ∴=，222a c ∴ 212e ∴，01e <<∴1e <故选：C ．2．（2017秋•海淀区校级期末）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为1F ，2F ，若双曲线上存在一点P ，满足12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．12e <，12e ∴<故选：C ． 3．（2016秋•双台子区校级期中）设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，如果在椭圆上存在一点p ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是．解：设0(P x ，0)y ，则0||x a <，又12F PF ∠为钝角，当且仅当120PF PF <有解，即22200c x y >+有解，即22200()minc x y >+．又2222002b y b x a =-，2222220002[c x y b x b a∴+=+∈，2)a ，即2220()minx y b +=．故22c b >，222c a c >-，∴2212c a >，即e >，又01e <<，∴1e <<．故答案为：． 4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P 使21||||PF aPF c=，则该双曲线的离心率的取值范围是1] ．解：21||||PF aPF c=，P ∴在双曲线右支，设P 点的横坐标为o x ，注意到o x a ．由双曲线第二定义得：1||o PF a ex =+，2||o PF ex a =-，则有00ex a a a ex c -=+，得()o a a c x a ec ea+=-，分子分母同时除以a ，得：2a ca e e+-，∴211ee e+-，解得121e<+．故答案为：(11]．5．（2012•江苏模拟）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)xy a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是 (1，3] ．解：P 为双曲线左支上一点，12||||2PF PF a ∴-=-，21||||2PF PF a ∴=+，①又221||8||PF a PF =，②∴由①②可得，1||2PF a =，2||4PF a =．1212||||||PF PF F F ∴+，即242a a c +，∴3c a ，③ 又1122||||||PF F F PF +>，224a c a ∴+>，∴1ca>．④ 由③④可得13c a <．故答案为：(1，3]．。

高考复习圆锥曲线中的离心率问题（含详细答案）

圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。

来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。

，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。

二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

，可用整体代入套用公式。

解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。

这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。

三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。

圆锥曲线离心率训练题(含答案)

圆锥曲线离心率训练题一、单选题（共25题；共50分）1.已知抛物线上的点到准线的最短距离为1，则p的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 42.已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.3.设椭圆的左右焦点为，焦距为2c，过点的直线与椭圆C交于点，若，且，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.4.已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.5.已知双曲线：的左右焦点分别为、，且抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为45°则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于两点，交y轴于C 点，若，则该椭圆的离心率是（）A. B. C. D.7.连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D. 39.已知，是双曲线，的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.10.已知双曲线的左、右焦点分别，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 211.已知椭圆C：的左右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一个动点P，P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点，O为坐标原点，满足，线段AF交双曲线于点M.若M为AF的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.13.椭圆的离心率是（）A. B. C. D.14.双曲线的焦点到渐近线的距离是( )A. 1B.C.D. 215.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（）A. B. C. D.16.已知分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.17.设，为双曲线的左、右焦点，P，Q分别为双曲线左、右支上的点，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.18.已知点是双曲线上一点，若点p到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D. 219.已知双曲线的两条渐近线的倾斜角之差为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.20.已知正六边形的两个顶点为双曲线：的两个焦点，其他顶点都在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D. 421.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为（）A. 2B. 3C.D.22.已知斜率为的直线l经过双曲线的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.23.设双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上的点，且与轴垂直，的内切圆的方程为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.24.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】因为抛物线上的点到准线的最短距离为,所以,故答案为：C.【分析】抛物线上的点到准线的最短距离为,据此列式求解即可.2.【答案】A【解析】【解答】解：由题意知，圆心为在轴上，则圆与双曲线的两条渐近线都相切，则圆心到渐近线的距离为半径，即，即，又，则，解得.故答案为：A.【分析】求出圆心坐标、半径以及双曲线的渐近线，由渐近线和圆相切，可求出圆心到渐近线的距离为半径，即，结合双曲线中，进而可求出离心率的大小.3.【答案】C【解析】【解答】根据题意，作图如下：由得，，由即，整理得，则，得故答案为：C.【分析】根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果.4.【答案】B【解析】【解答】双曲线的渐近线为由渐近线与圆相切所以可得两边平方：，又所以，则所以，由，所以故答案为：B【分析】根据双曲线的方程，可得渐近线方程，然后根据直线与圆的位置关系，利用几何法表示，根据平方关系以及的关系，结合离心率公式，可得结果.5.【答案】B【解析】【解答】设双曲线焦点，则抛物线的准线方程为，过做，垂足为，则，，，又点在双曲线上，，.故答案为：B.【分析】设双曲线焦点，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点P做，垂足为M，根据题意有，可得轴，进而将用C表示，结合双曲线定义，即可求解.6.【答案】A【解析】【解答】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且①直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故答案为：A.【分析】由直线过椭圆的左焦点F，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.7.【答案】D【解析】【解答】双曲线与互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，四个顶点形成的四边形的面积，四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最大值时有，，离心率，故答案为：D.【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.8.【答案】A【解析】【解答】由已知，，渐近线方程为，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M到渐近线的距离为，故，所以离心率为.故答案为：A.【分析】由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.9.【答案】D【解析】【解答】由题意，双曲线的焦点坐标为，所以，即等边三角形的边长为，所以的高为，即，所以中点，代入双曲线的方程，可得，整理可得，又由，可得，两边同除，可得，解得，又因为，所以，即.故答案为：D.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标，进而可求得三角形的高，得到点M的坐标，再求得点N的坐标，代入双曲线的方程求得的关系，即可求得双曲线的离心率.10.【答案】A【解析】【解答】由题意知，，，三角形为等边三角形，则，，则，解得，故离心率为，故答案为：A.【分析】由题意知，，三角形为等边三角形，从而可以得到，即可求出离心率。

2020届高考数学二轮复习专题《圆锥曲线的离心率问题》

专题33 圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，在解决圆锥曲线问题中有着重要作用．纵观近几年高考试题，离心率在填空题中考查居多，一是求椭圆(或双曲线)的离心率的大小，二是求椭圆(或双曲线)的离心率的范围，难度一般为中等或中等偏下．解答题中考查大都是把离心率作为求椭圆方程的一个条件，只需代入即可，是基本要求．本专题主要通过对近年来各地的一些模考题及高考题的分析，来探索有关求离心率的策略与方法.(2020·苏州模拟)在平面直角坐标系中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为________．图33-1点M 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若△PQM 是钝角三角形，则椭圆E 离心率的取值范围是________．本题考查求椭圆离心率的大小和范围，(1)题中，设B 为椭圆的左顶点后，由椭圆的对称性可得，四边形APBQ 是平行四边形，从而有△AFM与△BQF相似，从而可得AFBF＝AMBQ＝12BQBQ＝12，于是可得a与c的等量关系，进而求得离心率的值，本解的解决包含着等价转化思想的应用；(2)题中，要求离心率的范围，先要找出含有a，b，c的不等关系的条件，将题中的圆心角钝角∠PMQ转化为它的一半的范围，从而由45°<12∠PMQ<90°，由此可得a，b，c的不等关系，进而可求离心率的范围.(2019·全国卷)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则双曲线C的离心率为________．图33-2(2020·济南模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1→·AF2→＝0，AF2→＝2F2B→，则椭圆E的离心率为________．设F 1，F 2是椭圆E：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是________．(2019·天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为________．(2019·全国卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B两点．若F 1A →＝AB →，BF 1→·BF 2→＝0，则C 的离心率为________．(2020·徐州模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点，若PF 1与x 轴垂直，cos ∠PF 2F 1＝1213，则该双曲线的离心率为________．32由通径长公式得|PF 1|＝b 2a ，∵cos ∠PF 2F 1＝1213，∴|PF 2|＝13b 25a，∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴13b 25a －b 2a ＝2a,8b 2＝10a 2，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋54＝32. 在Rt △PF 1F 2中， ∵cos ∠PF 2F 1＝1213， ∴tan ∠PF 2F 1＝512，∴b 2a 2c ＝512， ∴5ac ＝6b 2＝6(c 2－a 2)，即6c 2－5ac －6a 2＝0. ∴ 6e 2－5e －6＝0解得e ＝32，e ＝－23(舍去)作业评价(2020·江苏模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 中点，则椭圆C 的离心率为________．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率的取值范围为________．如图33-5所示，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．图33-5如图33-6所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.若|PF 1|＝|PQ |，则椭圆C 的离心率e 为________．图33-6如图33-8所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图33-8(2018·全国卷)设F 1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为________．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P，使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，该椭圆的离心率取值范围是__________．(2020·潍坊模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，以F为圆心，F A为半径的圆交C的左支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为________．。

2020届高三理科数学二轮复习专题02求圆锥曲线的离心率

专题 02求圆锥曲线的离心率一、基础梳理：除了利用定义求离心率以外，通常情况下，求离心率的基本方法是：在特殊图形中寻找等量关系，建立关于 a 与 c 的齐次等式。

（1）正三角形：高等于边长的3倍；2（2）直角三角形：勾股定理；（3）等腰三角形（含等腰直角三角形）：两腰相等；（4）正方形：两对角线长相等（实质上是等腰直角三角形的两腰相等）或对角线长等于边长的 2 倍。

（5）若出现两条焦半径的比，则采用“赋值法”。

（6）若出现直角三角形斜边上的高，则利用等积法。

（7）若出现比例关系或相似三角形，则利用“坐标比”或“相似比”。

注意：如果找不到特殊图形，一般都是把曲线上的动点坐标用a.b.c 表示出来，然后代入曲线方程建立等式。

二、题型分解：（ 1）正三角形：高等于边长的3倍。

2例 1. 设F1和F2为双曲线x2y 21( a 0, b 0 )的两个焦点，若F1， F2，P(0,2 b)是正a2b2三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为解析： OP3F1F2，即 2b32c，4b 23c2，224a2 c 2，所以e 2 .（ 2）直角三角形：勾股定理。

例 2.已知点 F , A 分别是椭圆x2y 21(a0, b 0)的左焦点、右顶点，B(0,b) 满足a 2 b 2FB AB 0 ，则椭圆的离心率等于（）A.31B.5122C.31D.5122解析： FB a ， AB22， FA a c 。

a b因为 FB AB 0，即FB AB ，所以FB2AB 2FA2，a2(a2 b 2 ) 2( a c) 2，e2e10 ，解得 e 5 1.2说明：本题还可以用“等积法”，即 FB AB FA OB 求解，也可以用“射影定理” 求解。

（3）等腰三角形（含等腰直角三角形）：两腰相等。

例 3. 已知点 F 1 ,F 2 分别是椭圆x 2y 2 1(a0,b0) 的两个焦点，过 F 1且与椭圆长轴垂a 2b 2直的直线交椭圆于 A, B 两点，若ABF 2 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）32A.B.22C. 2 1D. 2解析：因为 AF 1F 2 是等腰直角三角形，所以F 1 A F 1F 2 ，b 2 2c ， e 2 2e 10 ，解得 e2 1。

圆锥曲线的离心率专项练习(含解析)

圆锥曲线的离心率专项练习一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（）A ．2BCD ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（）A ．12B ．2C ．14D 3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．2C ．13D ．34．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF =，则C 的离心率为（）A B ．2C D 5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（）A ．3B ．23C ．2D ．126．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．37．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（）A ．152-+ B ．132-+ C ．12D ．32- 8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（）A ．43B ．2C ．3D ．29．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（）A ．3 B ．3 C ．23D ．3310．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（） A ．23 B ．263C ．3D ．211．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（）A ．13B ．33C ．32D ．2212．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（） A 5B 10C ．52D ．5二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____. 17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______.20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.例21设双曲线22221x y a b-= (0<a >的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（）A ．2 B．2CD ．1【答案】D 【解析】【分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求a . 【详解】由双曲线方程可知223c a =+，因为2c e a ==，所以22234a e a+==，解得：21a = ，又0a >，所以1a =. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法： 1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（） A ．12B．2C ．14D【答案】D 【解析】【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可. 【详解】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，，依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得：22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅， 123cos 4F AF ∠=， 22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得e =故选：D . 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在12F AF 中，利用余弦定理求得22142a c =是关键，属于中档题.3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（） A ．12BC ．13D【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案. 【详解】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于,a c 的等量关系.4．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1213PF =，则C 的离心率为（） A ．5B ．2C 3D 23【答案】D 【解析】【分析】双曲线的渐近线方程为by x a=,则2PF b =，1OF c =，可得OP a =，在2OPF 和1OPF ∆中，分别求出2cos aPOF c∠=和1cos POF ∠，利用12cos cos 0POF POF ∠+∠=，可得22213PF a c =+结合222b c a =-，ce a=即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，()2,0F c2PF b ==，1OF c =，OP a =，因为12PF =，所以222121313PF PF b ==，在2OPF 中，2cos aPOF c∠=， 1OPF ∆中，22211cos a c PF POF c+-∠=，因为12POF POF π∠+∠=，所以12cos cos 0POF POF ∠+∠=，所以22210a c PF acc+-+= 可得22213PF a c =+，所以222213133c a a c -=+，所以c a =，所以e = 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（） A．B ．23CD ．12【答案】A 【解析】【分析】由题意首先利用几何关系找到a 、b 的比例关系，然后计算椭圆的离心率即可. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为F 1,连接PF 1，设圆心为C ，则圆心坐标为,03c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为3b r =， ∴|F 1F |=3|FC |，∵PQ =2QF ,∴PF 1∥QC ,|PF 1|=b ， ∴|PF |=2a −b ，∵线段PF 与圆相切于点Q ， ∴CQ ⊥PF ， ∴PF 1⊥PF ， ∴b 2+(2a −b )2=4c 2，()2222(2)4b a b a b ∴+-=-，32a b ∴=,则23b a =，22513c b e a a ∴==-=. 故选：A . 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（）A 2B 3C ．2D ．3【答案】A 【解析】【分析】由题意可得出1b a =，再由e =可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】由于双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则1b a =，因此，该双曲线的离心率为c e a =====故选：A. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（）A．BC ．12D【答案】A 【解析】【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率．【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a=，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得512e -=．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（）A ．43B ．2C ．3D ．2【答案】B 【解析】【分析】将直线l 的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出,A B 的纵坐标，再利用已知条件求解．【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图，不妨设,A B 在第一象限，直线l 的方程为()b y x c a =--，与22221x y a b-=联立，得32A b y ac =；直线l 与by x a =联立，得2B bc y a=．由||2||FB FA =，得2B A y y =，即3222bc b a ac=⨯，得222c b =，即222c a =，则2e =故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质等，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，解题关键是利用题目条件建立a 、b 、c 的等量关系，从而求解离心率，属于中等题.9．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（）A．BCD【答案】C 【解析】【分析】由双曲线焦距求得c ，根据222c a b =+求得a 的值，由此得到离心率. 【详解】由已知得2,1c b ==，由222c a b =+，解得222413a c b =-=-=，所以e =故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由已知双曲线方程和焦距找到关于a b c 、、的等量关系.10．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（） A．3B．3CD ．2【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的渐进线方程，可得到a 值，再由,,a b c 的关系和离心率公式，即可得到答案. 【详解】由渐近线方程为y ==，解得a =所以c ==，所以双曲线的离心率为3cea===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的求法，解题关键是利用渐近线方程的斜率与a b、的关系，找到关于a b c、、的等量关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题. 11．过椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若3BF FA=，则C的离心率为（）A．13B3CD【答案】D【解析】【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得()()0,,,0B b F c-，由3BF FA=，得4,33bA c⎛⎫--⎪⎝⎭，点A在椭圆上，则：22224331bca b⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：222221681,,9922c ce ea a⋅=∴===.故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（） A．5B ．102C ．52D ．5【答案】B 【解析】【分析】设2AF m =，根据1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点可知，13AF m =，4AB m =，23BF m =，再利用双曲线的定义可得1222AF AF m a -==，即a m =，且15BF a =，然后解出21210F F c a ==，则可解得离心率的值. 【详解】如图所示，连接1BF ，设2AF m =，则4AB m =，因为1:3:4AF AB =，则13AF m =，所以1222AF AF m a -==，得a m =，又122BF BF a -=，且233BF m a ==，所以1325BF m a a =+=，所以22211AF AB BF +=，即12AF AF ⊥，故2110F F a =，即210c a = 所以10c e a ==. 故选：B.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义运用，焦点弦长的计算、离心率计算问题，难度一般，根据几何条件得出a ，c 的关系即可.二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________. 【答案】22【解析】【分析】设13AF x =，15BF x =，23AF y =，2BF y =，根据椭圆的定义可得x y =，进而得出12AF F △为等腰直角三角形，从而求得离心率. 【详解】11||3||5AF BF =，不妨设13AF x =，15BF x =，由点B 作BP x ⊥轴，同时也过点A 向x 轴引垂线，1212:3:1AF F BF F SS=，且22AOF BPF22:3:1AF BF ∴=，设23AF y =，2BF y =，由12122AF AF BF BF a +=+=，335x y x y ∴+=+，x y ∴=，所以12556AF AF x y x x x +=+=+=，所以23AF x =，12AF F ∴为等腰三角形，34AB x x x ∴=+=，15BF x =，22211AF AB BF ∴+=，1AF B ∴为直角三角形，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △为等腰直角三角形，112OF OA AF ∴==， 11,OF c AF a ==,即2c e a ==.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出12AF F △为等腰直角三角形，考查了计算求解能力，属于中档题.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.【答案】6+ 【解析】【分析】由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有122F F PF =，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c 的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为11,,a b c ，双曲线对应的参数为22,,a b c ，由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有1222F F PF c ==.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PF c a PF c a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式相减得到()1242c a a =-，即121222a a c a c a -=⇒+=.所以2121223364344e a a c c e c a c a +=+=++66≥+=+当且仅当2c =取等号，则2134e e +的最小值为6.故答案为：6. 【点睛】思路点睛：考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同c .对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可得最小值.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.【解析】【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m a QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩，此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯；所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以c e a ==．. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____.【解析】【分析】解出点P 的坐标，用两点间距离公式求出212,PA A A ，化简整理出,,a b c 的关系式，从而求得离心率．【详解】若渐近线的方程为by x a =，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为212PA A =，所以22225a a a a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则214a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3a b =，从而e ==若渐近线的方程为by x a =-，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得e =【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.. 【解析】【分析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解. 【详解】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =，由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，2c e a ∴==，故答案为：2. 【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________1 【解析】【分析】连接1PF ，由余弦定理结合平面几何的知识得11PF OF =，再由椭圆的定义及离心率公式即可得解. 【详解】设(),0F c -，椭圆的右焦点()1,0F c ，连接1PF ，如图，因为6FPO π∠=，3PF =，所以2222223cos 2223PF OP OFOP OFFPO PF OPOP OF+-+∠===⋅⋅，所以OP OF =，所以1OP OF =，13POF π∠=，所以1POF 为等边三角形，11PF OF =，所以)113312PF PF OF c a +=+==，所以离心率3131ce a===+. 31. 【点睛】解决本题的关键是利用余弦定理及平面几何的知识转化条件为11PF OF =，再由椭圆的定义、离心率公式即可得解.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______. 6 【解析】【分析】首先联立直线与椭圆的方程求出B ，C 两点坐标，由此求出BF 、CF ，由90BFC ∠=得0BF CF ⋅=，从而可得a c 、的关系式，进而求得椭圆的离心率.【详解】222142233c e a ==⨯= 由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得32x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由题意可知(),0F c ，所以3,22b BF c a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，因为90BFC ∠=，所以BF CF ⊥，所以0BF CF ⋅=，即3302222b b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22231044c a b -+=，因为222b a c =-，所以22223110444c a a c -+-=，即223142c a =，所以22223c e a ==，所以6e =，故答案为：63【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常用方法：（1）直接求出a 、c 的值，利用离心率公式直接求解；（2）列出含有a 、b 、c 的其次方程或不等式，借助于222b a c =-消去b ，转化为含有e 的方程和不等式求解；（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值和特殊位置求出离心率；20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】由题中条件，得到BC BA =，由此得到2234a b =，再由双曲线中222c a b =+，即可求出离心率.【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，则2AB a =，(),0A a -，(),0B a ，又2(0)C b ,，线段AC 的垂直平分线过点B ，所以BC BA =2a =，则2234b a =，所以2222223744c a b a a a =+=+=，因此2c e a ===.故答案为：2. 例21设双曲线22221x y a b-= (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l，求双曲线的离心率．【答案】e ＝2.【解析】【分析】先求出直线l 的方程，利用原点到直线l 的距离为3 c ，222c a b =+，求出22a c 的值，进而根据0a b <<求出离心率．【详解】由l 过两点(a,0)，(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为c ，得＝c . 将b ＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解关于的一元二次方程得＝或.∵e ＝，∴e ＝或e ＝2.又0<a . ∴应舍去e ＝.故所求离心率e ＝2.【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于,,a b c 的等式，属于中档题．22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.2.【解析】【分析】设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由射影定理知2||||||PF FM FO =，可得,,a b c 的关系，可求得双曲线的离心率.【详解】如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知2||||||PF FM FO =，又(c,0)F ，渐近线OP 的方程为0bx ay -=，所以22bc PF b b a ==+，于是22c bc =⋅，即22222b c a b ==+，因此22a b =，故2212c b e a a==+=.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.【答案】53e =【解析】【分析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，根据212PF F F =和直线1PF 与圆222x y a +=相切得到2b a c =+，再求离心率即可.【详解】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，如图所示：因为212PF F F =，所以12FF P 为等腰三角形，又因为1OM PF ⊥，所以1114MF PF =.在1RT MF O △中，1MF b ===，所以14PF b =. 因为122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+.所以22242b a c ac =++，2222442c a a c ac -=++223520c a ac --=，23250e e --=，解得53e =或1e =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.。

高中数学专题——圆锥曲线--离心率

x1x2 0
V 0 （4）两个交点在双曲线的右支: x1 x2 0
x1x2 0
三．焦点弦与离心率关系
AF
BF ，则有 e cos
1 1
(
为直线与焦点所在轴的夹角)。
例题举证
技巧 1 焦点三角形中的离心率
【例
1】(1)．已知 F1 ， F2 是双曲线 E ：
x2 a2
y2 b2
1 的左、右焦点，点 M
点坐标为 1,1 ，则双曲线 C 的离心率为（）
A．2
B． 3
C． 2
D．3
【答案】B
【解析】设 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 ) ，
则
x12 a2
y12 b2
1
，
x22 a2
y22 b2
1，
所以
x12 x22 a2
y12 y22 b2
，所以
y1 y2 x1 x2
b2 x1 x2 a 2 y1 x2
根据余弦定理： cosF1PF2
PF12 PF22 F1F22 2PF1 PF2
PF1 PF2 2 2PF1 PF F1F22 2PF1 PF2
4a2 4c2 2PF1 PF2
1
4a2 4c2 2a 2
1
1 3
.故选：
A.
技巧 2 点差法中的离心率
【例 2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点 M 1, 2 作直线 y 1 x m 与椭圆
【答案】A
【解析】已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
的右焦点为 F
，
若过点 F 且倾斜角为 3 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，

选择、填空热点小专题3：圆锥曲线的离心率课时作业有答案

二、多选题
9．椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是（）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为 .
B．椭圆上存在点，使得 .
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆一点，为圆上一点，则点，的最大距离为 .
10．0已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（）
7．B
【解析】
【分析】
设为抛物线的焦点，则到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，根据得求出，再根据离心率为求出、即可.
【详解】
设为抛物线的焦点，则，拋物线：准线方程为，因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，因为，所以，即，∴ ，又，∴ ，，
考点：椭圆的几何性质．
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
2．A
【解析】
【分析】
根据题意表示出点坐标，然后代入椭圆方程，得到关于关系，求出离心率.
5．A
【解析】
由题意得，当且仅当，即时等号成立。此时双曲线的方程为，所以渐近线方程为
。选A。
6．A
【解析】
【分析】
设圆的直径为6c，则半焦距长为，从而计算实轴长，即可得到双曲线的离心率.
【详解】
设圆的直径为6c，则半焦距长为，
，
，
，
所以A选项是正确的.
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定半焦距与实轴长，属于基础题.
A．C的焦距为

圆锥曲线离心率专题

，
解得 x12=
．
∵x12∈（0，a2]，∴0≤
＜a2，即 4c2﹣3a2≥0．且 e2＜1
∴e= ≥ ．
故椭圆离心率的取范围是 e∈
．
故选 A．
6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率 e 的取值范围
（）
A．
B．
C．
D．
解：不防设椭圆方程：
（a＞b＞0），
A （0，）．
B（，）．
C（，）．
D （，1）．
9．椭圆是（）
的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率 e 的取值范围
A
B
C
D
．
．
．
．
10．如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以 A，B 为焦点，且过点 D 的双曲线的离心率为 e1；以 C，D 为焦点，且过点 A 的椭圆的离心率为 e2，则 e1+e2 的取值范围为（）
．
26．设 A1、A2 为椭圆
的左右顶点，若在椭圆上存在异于 A1、A2 的点 P，使得
，
其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是（）
A
B
C
D
．
．
．
．
27．已知点 F1、F2 分别是双曲线
=1 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，
若 A、B 和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是（）
心率的取值范围是（ A ．
） B ．

高考数学二轮复习专题突破练24 热点小专题三、圆锥曲线的离心率

专题突破练24 热点小专题三、圆锥曲线的离心率一、选择题1.(2020山东威海一模,8)已知点A ,B 分别在双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左右两支上,且关于原点O对称,C 的左焦点为F 1,直线AF 1与C 的左支相交于另一点M ,若|MF 1|=|BF 1|,且|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,则C 的离心率为( )A.√10B.52C.√5D.√1022.(2020山东新高考质量测评联盟高三5月联考,8)已知直线y=√3x 与双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)相交于不同的两点A 和B ,F 为双曲线C 的左焦点,且满足AF ⊥BF ,则双曲线C 的离心率为( )A.√3B.2C.√3+1D.√3+123.(2020山东聊城二模,5)已知双曲线C :x 2m −y 2n =1,则n>m>0是双曲线C 的离心率大于√2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2019重庆巴蜀中学高三适应性月考(七))已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且倾斜角为45°的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ,Q ,若OP ∥QF 2(O 是坐标原点),则此双曲线的离心率等于( ) A.2B.√5C.3D.√105.(多选题)已知△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,若圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,该圆锥曲线E 的离心率可以是( )A.√2-1B.√22C.√2D.√2+16.(2019山西长治学院附属太行中学高二下学期第二次月考)椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点,分别为F1,F2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,且两曲线在第一象限的公共点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则e2+e1e2-e1的值为()A.2B.3C.4D.67.(2019安徽芜湖高三模拟考试)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),直线y=x与椭圆相交于A,B两点,若椭圆上存在异于A,B两点的点P,使得k PA k PB∈-13,0,则离心率e的取值范围为()A.0,√63B.√63,1C.0,23D.23,18.(2019重庆第八中学高二下学期第二次月考)设F1,F2是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PA|=2|PF2|,则C的离心率为()A.1+√32B.1+√22C.1+√3D.1+√29.(2019湖南长沙湖南师范大学附属中学高三模拟)已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l,圆C:x2+(y-b)2=4与l交于第一象限内的A,B两点,若∠ACB=π3,且|OB|=3|OA|(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率为()A.2√133B.√133C.2√135D.√213二、填空题10.(2020全国Ⅰ,理15)已知F为双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.11.(2020全国Ⅲ,文14)设双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√2x,则C的离心率为.12.(2019江苏南通高三下学期4月阶段测试)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一个点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF,当∠ABF=π12时,椭圆的离心率为.13.(2019浙江湖州三校模拟)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点A(a,0),B(0,b),过A,B两点分别作AB的垂线交该椭圆于不同于顶点的C,D两点,若2|BD|=3|AC|,则椭圆的离心率是.专题突破练24热点小专题三、圆锥曲线的离心率1.D解析连接MF2,BF2,AF2,设|MF1|=m,|AF1|=n,可得|BF1|=m,AF1⊥BF1,可得四边形BF2AF1为矩形,由双曲线的定义可得|BF2|=m-2a,|MF2|=m+2a,即n=m-2a,可得m2+(m-2a)2=4c2,(m+m-2a)2+m2=(m+2a)2,解得m=3a,则有9a2+a2=4c2=4(a2+b2),化简可得ba =√62,∴e=ca =√1+b2a2=√102.故选D. 2.C 解析由题意设A (x 0,y 0),B (-x 0,-y 0),F (-c ,0),则x 02a 2−y 02b2=1,①因为AF ⊥BF ,所以FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, (x 0+c )(-x 0+c )+y 0(-y 0)=0,整理,得c 2-x 02=y 02,②因为AB 在直线y=√3x 上, 所以y0x 0=√3,③由①②③可得e 4-8e 2+4=0,解得e 2=4+2√3,所以e=√3+1. 故选C .3.A 解析因为双曲线C :x 2m−y 2n =1,若n>m>0,则a 2=m ,b 2=n ,c 2=a 2+b 2=m+n ,所以e=ca =√m+n m>√2mm =√2,故充分性成立;若m<n<0,则a 2=-n ,b 2=-m ,c 2=a 2+b 2=-(m+n ),所以e=ca =√-(m+n )-n >√2nn =√2,故必要性不成立;故n>m>0是双曲线C 的离心率大于√2的充分不必要条件.故选A . 4.D 解析过F 1且倾斜角为45°的直线方程设为y=x+c ,双曲线的渐近线方程为y=±b ax ,由OP ∥QF 2,可得Q 在第一象限,由y=x+c 和y=b ax ,解得Qac b -a ,bc b -a,QF 2的斜率为bc ac -bc+ac=b 2a -b ,可得-b a=b2a -b,可得b=3a ,则e=c a=√1+b 2a2=√10.故选D .5.ABD 解析因为△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=π2时,离心率e=2c2a =ABCA+CB =√22,当C=π4时,离心率e=ABCA+CB =√2+1=√2-1.(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,只有C=π4, 此时,离心率e=2c2a =AB|CA -CB |=√2-1=√2+1.故选ABD .6.A 解析因为F 1,F 2为椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点,且两曲线在第一象限的公共点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,所以椭圆C 1的离心率为e 1=|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=34+2=12,双曲线C 2的离心率为e 2=|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=34-2=32,因此,e 2+e 1e 2-e 1=32+1232-12=2.故选A .7.B 解析设P (x 0,y 0),直线y=x 过原点,由椭圆的对称性设A (x 1,y 1),B (-x 1,-y 1),k PA k PB =y 0-y1x 0-x 1×y 0+y 1x 0+x 1=y 02-y 12x 02-x 12.又x 02a 2+y 02b 2=1,x 12a 2+y 12b2=1,两式作差,代入上式得k PA k PB =-b 2a 2∈-13,0,故0<b 2a 2<13.所以e=√1-b2a 2∈√63,1.故选B .8.A 解析由题设知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线方程为l :y=ba x.右焦点F (c ,0),|PF 2|=|bc -0|√a 2+b2=|bc -0|c=b.∴|OP|=a ,∴P a 2c ,abc .∴|PA|=√(a 2c +a) 2+(abc ) 2=2|PF 2|=2b , 平方化简得(a 2+ac )2+a 2b 2=4b 2c 2,又c 2=a 2+b 2,∴a 2(a+c )=(c-a )(4c 2-a 2), ∴a+c c -a=4c 2-a 2a 2,即e+1e -1=4e 2-1, 又0<e<1,解得e=1±√32, 又e>1,故得e=1+√32.故选A .9.D解析双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=ba x ,圆C :x 2+(y-b )2=4的圆心坐标为(0,b ),半径为2,∵∠ACB=π3,∴△ABC 是边长为2的等边三角形.∴AB=2,圆心到直线y=ba x 的距离为√3.又|AB|=|OB|-|OA|=2|OA|,∴|OA|=1,|OB|=3.在△OBC ,△OAC 中,由余弦定理得cos ∠BOC=cos ∠AOC=32+b 2-46b =b 2+1-42b,解得b=√7.由圆心到直线y=ba x 的距离为√3,有√a 2+b=ab c=√3,∴e=c a =√7√3=√213.故选D .10.2 解析由题意可得A (a ,0),F (c ,0),其中c=√a 2+b 2.由BF 垂直于x 轴可得点B 的横坐标为c ,代入双曲线方程可得点B 的坐标为B (c ,±b2a ).∵AB 的斜率为3,∴B (c ,b2a ).∵k AB=b 2ac -a=b 2a (c -a )=c 2-a 2a (c -a )=c+aa =e+1=3,∴e=2.11.√3 解析由题意得ba =√2,即b=√2a.∵c 2=a 2+b 2=3a 2,即c=√3a ,∴e=ca =√3. 12.√63解析设F 1为椭圆的左焦点,连接AF 1,BF 1.由椭圆对称性及AF ⊥BF 可知,四边形AFBF 1为矩形,∴AB=FF 1=2c.又∠ABF=π12,∴AF=AB sin π12=2c sin π12,AF 1=BF=AB cos π12=2c cos π12,由椭圆定义可知:AF+AF 1=2c sin π12+cosπ12=2√2c sin π3=2a ,∴e=ca =2√2sin π3=√63.13.√33 解析过点A 作出的AB 的垂线的方程为y=a b (x-a ),与x 2a 2+y 2b 2=1联立方程组解得x C =a (a 4-b 4)a 4+b 4,过点B 作出的AB 的垂线的方程为y=ab x+b ,与x 2a 2+y 2b2=1联立方程组解得x D =-2a 3b 2a 4+b4,∵2|BD|=3|AC|,∴2|x D -0|=3|x C -a|.∴4a 3b2a 4+b4=3×2ab 4a 4+b4.∴2a 2=3b 2=3a 2-3c 2,a 2=3c 2.∴e 2=13,解得e=√33.。

高三数学二轮复习之选填专项训练圆锥曲线离心率

圆锥曲线--离心率离心率的计算，包括离心率的取值及取值范围的计算两种类型，在求解过程中的主要思路是：应用圆锥曲线的性质，得到一些线段之间的等量关系或者最值问题，进而确定出一个关于a 、b 、c 的齐次等式或不等式，确定出离心率。

1.若双曲线1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过点2F 的直线与双曲线的右支相交于A 、B 两点，若AB F 1Δ是以点A 为直角顶点的等腰三角形，则2e = （） A.22-5 B.225+ C.23-5 D.235+2.已知椭圆12222=+by a x )0,0(>>b a 的右焦点为1F ，左焦点为2F ，若椭圆上存在一点P ，满足线段1PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段1PF 的中点，则该椭圆的离心率为________.3.若双曲线1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，以线段21F F 为一边的等边三角形21F PF 与双曲线的两交点M,N 恰为等边三角形21F PF 两边的中点，则该双曲线的离心率e=_________4.若双曲线1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 且平行于双曲线渐近线的直线与抛物线cx y 42=交于P ，若P 在以21F F 为直径的圆上，则该双曲线的离心率为A.253+ B.5 C.21-5 D.215+5.若双曲线C:1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，且2F 恰为抛物线x y 42=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若21F AF Δ是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为_______.6.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（） A.2 B.15 C.4 D.177. 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .8.若双曲线C:1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线左支上的一点，若122PF PF 的最小值为a 8，则该双曲线的离心率的范围是（）A.[)+∞，3B.[]33，C.(]31，D.(]31， 9.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为1F 、2F ，这两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF Δ是以1PF 为底边的等腰三角形，若10PF 1=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则21e e 的取值范围是（）A.()+∞，0 B.()∞ 1/3+， C.()+∞， 1/5 D.()+∞， 1/9。

高三数学二轮专题复习21 圆锥曲线的离心率

解析几何-圆锥曲线的离心率专题综述圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容之一，离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a、b、c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a、c表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关离心率问题难点的根本方法。

专题探究探究1：求离心率(或取值范围)解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)自身的性质构造不等关系，从而求解．(2021浙江省丹州市期末)在等腰梯形ABCD中,AB//CD,且|AB|=2,|AD|=1，|CD|=2x其中x∈(0,1),以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1),不等式t<e1+e2恒成立,则t的最大值为()A. √3B. √5C. 2D. √2【审题视点】如何利用题设条件表示e1+e2？【思维引导】根据双曲线和椭圆的性质用x表示e1和e2，然后利用对勾函数的单调性求解。

【规范解析】如图所示，连接BD，过D作DE⊥AB于点E，则|AE|=1−x，所以|ED|2=2x−x2，又|BE|=1+x，故|BD|2=|DE|2+|BE|2=4x+1，则|AC|2=|BD|2=4x+1，根据双曲线的定义有|BD|−|AD|=2a1，即2a1=√4x+1−1,2c1=|AB|=2，∴e1=2c12a1=√4x+1−1，而根据椭圆的定义有2a2=|AD|+|AC|=√4x+1+1,2c2=|CD|=2x，∴e2=2c22a2=√4x+1+1，令e1=m，则由0<x<1，可知m>√5+12，又e2=1m，则e1+e2=m+1m(m>√5+12)，由对勾函数的性质可知e1+e2>√5+12+1√5+12=√5，又t<e1+e2恒成立，即t的最大值为√5，故选：B．【探究总结】关于离心率取值范围问题，往往要建立不等式模型来解决，体现了较强的综合性，同时还重点考查了方程的思想、不等式思想、转化思想等重要的数学思想，因此是高考命题者历年关注的热点问题。

【E课堂】专题20 圆锥曲线离心率-高考数学二轮复习微专题(解析版)

专题20圆锥曲线离心率圆锥曲线离心率是高考数学命题中“永不消失的电波”,每年高考数学题中总是离不开圆锥曲线的离心率问题.为什么会如此呢?其一,离心率是圆锥曲线的重要几何特征;其二,圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切,容易产生知识交汇;其三,离心率与非解析几何知识相融合可以检测学生的综合分析能力.圆锥曲线离心率就是椭圆、双曲线的离心率,但由于椭圆、双曲线可以与平面几何中的三角形、四边形、圆等结合,许多几何性质叠加在一起,使应试者一时找不到突破口,形成思维卡壳点,必须寻找排除痛点的有效途径.一、充分挖掘几何图形中几何性质问题1:如图1,已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=√10,P是y轴正半轴上一点,PF1交椭圆于点A,若AF2⊥PF1,且△APF2的内切圆半径为√22,则椭圆的离心率为( )A.√54B.√53C.√104D.√154【解析】卡壳点:对图形中几何性质的挖掘成为障碍.应对策略:把直角三角形的内切圆性质与椭圆几何量之间建立联系. 问题解答:设AF1=r1,AF2=r2.先挖掘信息“△APF2的内切圆半径为√22..因为PF2=PA+r1,又PF2=PA+r2−√2,所以r2−r1=√2①.再挖掘信息“AF2⊥PF1”得r22+r12=10②.由①②可得r2r1=4.故(r 2+r 1)2=(r 2−r 1)2+4r 2r 1=18,r 2+r 1=3√2=2a,2c =√10,所以e =√53.故选B.【反思】(1)通过挖掘问题中的平面几何图形来构造或列举a,b,c 的关系式,这是离心率问题中最常见的类型之一.掌握平面几何图形的特征与相关性质是高考的基本要求.(2)本题关键是挖掘出平面几何知识“直角三角形的内切圆的半径长等于两直角边之和减去斜边长的一半”,再加上“直角三角形中的勾股定理”,从而突破障碍.二、等价转化探求离心率不等式问题2:如图2,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),A 1,A 2是双曲线的顶点,F 是右焦点,点B(0,b),若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2),使得△P i A 1A 2构成以线段A 1A 2为斜边的直角三角形,则双曲线离心率e 的取值范围是（） A.(√2,√5+12) B.(√5+12,+∞) C.(1,√5+12) D.(√2,+∞)【解析】卡壳点:不理解题设条件中隐藏的几何性质. 应对策略:多角度理解题意,将目标层层转化.问题解答:条件“若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2),使得△P i A 1A 2构成以线段A 1A 2为斜边的直角三角形”可转化为“以A 1A 2为直径的圆与线段BF 有两个交点”,即转化为“{x 2+y 2=a 2,x c+y b=1有两解”,进而转化为“圆心(0,0)到线段x c +yb =1(0⩽x ⩽c)的距离小于半径a ",最后转化为“1a 2<1b 2+1c 2且b >a (否则只会有一个交点)”,即“e 4−3e 2+1<0且e >√2”,即e >√2且e 2<3+√52.故选择A .【反思】(1)本题题设的几何条件代数化的转化过程是漫长的,先“由形到数”,再“由数到形”,多次转化才破解问题.(2)必须了解直线与圆有两个交点的代数意义,且了解方程组有两解所呈现的几何意义. (3)离心率问题就是要找到圆锥曲线基本量a,b,c 之间的代数关系式(等式或不等式).三、定义况性质建立离心率方程离心率是椭圆与双曲线的重要的几何性质之一,它离不开椭圆与双曲线的定义(基本定义与第二定义等),只有把问题中涉及定义的内容做精做细,才能找到基本量a,b,c之间的数量关系.问题3:如图3,已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1的左、右焦点分别是F1,F2,过点F2且倾斜角为60∘的直线与双曲线的右支交于点A,B,若△ABF1为等腰三角形,则双曲线C的离心率是（）A.−1+√132B.1+√132C.−1+√132或1+√132D.1+√32【解析】卡壳点:对题设中的等腰三角形不会分类思考.应对策略:对等腰三角形的两腰分类分析.问题解答:解法1 r2−r1=2a,r3−r4=2a,由对称性知F1A≠F1B.若F1B=AB,即r3=r1+r4,则r1=2a,r2=4a.由余弦定理知r22=r12+(2c)2−2×r1×2ccos120∘,即3a2−c2−ac=0,所以e=−1±√132. 若F1A=AB,即r2=r1+r4,则r3=4a,r4=2a.由余弦定理知r32=r42+(2c)2−2×r4×2ccos 60∘,即3a2−c2+ac=0,所以e=1±√132.又ba<√3,所以选择A.解法2目标优先思维,由对称性知F1A≠F1B,所以只有另两种情形,但必须满足ba<√3,所以选择A.【反思】对于特殊三角形,要抓其本质特征进行分类讨论,解法2能秒杀关键在于从“形”上分析.四、几何代数法共寻离心率问题4:如图4,已知点F为椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点M为圆O:x2+y2=b2上一动点(y轴右侧),过点M作圆O的切线,交椭圆于A,B两点,若△ABF的周长为3b,则椭圆E的离心率为_________.【解析】卡壳点:小题大做,跳入思维火坑不能出来.应对策略:由繁杂运算至简单运算的过程中,守找不同的思维切入点.抓住焦半径思考是一个智慧点.问题解答:解法1(考虑切点、切线的特殊性,结果跳入火坑)当点M为(b,0)时,AB=2bca ,AF=BF=√(bca)2+(c−b)2,则2√(bca )2+(c−b)2+2bca=3b,即4[(bc)2+(c−b)2a2]=(2bc−3ab)2.整理得−12b2c+5b2a+8abc−4ac2=0,两边同除以a3,得−12(ba )2e+5(ba)2+8(ba)e−4e2=0,即12e3−12e−9e2+5+8e√1−e2=0.将e=√53代人验算知满足题意.【反思】此处虽然考虑一种特殊位置关系,但运算太复杂,且最后的方程无法求解. 解法2(小题大做,结果发现一条性质)设直线AB:y=kx+m,由其与圆O相切可得b=√1+k2,所以m2=b2+b2k2.不妨设点M在第一象限,则k<0,m>0,故m=b√1+k2.将y=kx+m代人椭圆方程得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2−b2)=0. 整理得(a2k2+b2)x2+2a2kb√1+k2x+a2b2k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=−2a2bk√1+k2a2k2+b2,Δ=4a2b2c2k2.故|x1−x2|=−2abcka2k2+b2,|AB|=−2abck√1+k2a2k2+b2.由焦半径公式可得|AF|+|BF|=a−ex1+a−ex2=2a+2abck√1+k2a2k2+b2.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a,由题设知2a=3b,故e=√53.解法3(几何代数一起挖掘,结果寻找到一个简捷途径)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,则|AM|=√|OA|2−b2=√x12+y12−b2=√x12+b2(1−x12a2)−b2=ex1, |AM|+|AF|=ex1+a−ex1=a.同理可得|BM|+|BF|=ex2+a−ex2=a.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a.由题设知2a=3b,故e=√53.解法4(参数化表达,三角运算化解)设F(c,0),A(acos θ1,bsin θ1),B(acos θ2,bsin θ2),则|AM|=√|OA|2−b2=√a2cos2θ1+b2sin2θ1−b2=ccosθ1,|AF| =√(acosθ1−c)2+b2sin2θ1=√a2cos2θ1−2accosθ1+c2+(a2−c2)sin2θ1=√a2−2accosθ1+c2cos2θ1=a−ccosθ1,|AM| +|AF|=a.同理可得|BM|+|BF|=a.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a.由题设知2a=3b,故e=√53.【反思】(1)面对小题时,特殊化思维虽然是一条解题途径,但并非是一条能够迅速达到目标的最佳路径,因此,遇到障碍时,要及时修正,开辟新的思路.(2)积累圆锥曲线的一些性质和一些相关的智慧点是数学高考应试的技巧之一.（3）清圆锥曲线的本质特征,善于从几何与代数两个角度思考,从圆锥曲线的定义去思考并链接,可以找到快速求解的途径,解法3是最好的说明.五、先建切线方程减少运算量问题5:简化的奥运会主体育场的“鸟巢”钢结构俯视图如图5所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,外层椭圆方程为x 2(ma)2+y 2(mb)2=1(a >b >0,m >1),顶点A(ma,0),B(0,mb),向内层椭圆x 2a 2+y 2b 2=1引切线AC,BD ,若切线AC 与BD 的斜率之积为−916,则椭圆的离心率是_______.【解析】卡壳点:代数式运算力不足.应对策略:利用椭圆上点的切线方程,减少运算量. 问题解答:设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则CA:x 1x a 2+y 1y b 2=1 ①，BD:x 2x a 2+y 2y b 2=1 ②把A 点坐标代人①式,B 点坐标代人②式得x 1=am ,y 2=bm .将x 1,y 2的值分别代人椭圆方程可得y 1=b√1−1m 2,x 2=a√1−1m 2.由题意知k AC k BD =−916=b√1−1m 2ma−am bm −mb a√1−1m2=−b 2a 2,即b 2a 2=916.故e 2=1−916=716,解得e =√74.【反思】(1)此题的另一种解法,运算量就大得多.设内层椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1,外层椭圆方程为x 2(ma)2+y 2(mb)2=1(a >b >0,m >1),则A(ma,0),B(0,mb).设切线AC 的方程为y =k 1(x −ma),切线BD 的方程为y −mb =k 2x .由{(bx)2+(ay)2=(ab)2,y =k 1(x −ma)消去y 得(b 2+a 2k 12)x 2−2ma 3k 12x +m 2a 4k 12−(ab)2=0. Δ=(−2ma 3k 12)2−4(b 2+a 2k 12)[m 2a 4k 12−(ab)2]=0,得k 12=b 2a 2⋅1m 2−1.同理由{(bx)2+(ay)2=(ab)2,y =k 2x +mb消去y 得(b 2+a 2k 22)x 2+2mba 2k 2x +m 2a 2b 2−(ab)2=0.Δ=(2mba 2k 2)2−4(b 2+a 2k 22)[m 2a 2b 2−(ab)2]=0,得k 22=b 2a 2(m 2−1).所以−916=−b 2a 2,即b 2a 2=916,故e 2=1−916=716,解得e =√74. (2)本题是用数学眼光观察世界理念的产物,从北京奥运会的著名建筑“鸟巢”的设计信息中提炼抽象出这样一个数学问题.六、把垂直关系用活求离心率用代数方法解决几何图形中的问题,这是解析几何的基本研究方法,所以离心率问题也离不开代数变形、方程求解、不等式求解,挖掘几何性质或利用定义只是为了减少运算而不是完全去掉运算,所以在繁杂的数量关系中,一定水平的运算能力是解决问题的基本功.问题6:已知直线l:y =x +1与曲线C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)交于不同的两点A,B,O 为坐标原点.(I)若|OA|=|OB|,求证:曲线C 是一个圆; (II)若OA ⊥OB ,当a >b 且a ∈[√62,√102]时,求曲线C 的离心率e 的取值范围.【解析】卡壳点:题设中几何条件的转化成为一个障碍.应对策略:充分利用两点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当OA ⊥OB 时,得到x 1x 2+y 1y 2=0. 问题解答:(I)证明:设直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).因为|OA|=|OB|,所以√x 12+y 12=√x 22+y 22,即x 12+y 12=x 22+y 22,所以x 12−x 22=y 22−y 12.因为点A,B 在曲线C 上,所以x 12a2+y 12b2=1,x 22a2+y 22b 2=1.两式相减得x 12−x 22=a 2b 2(y 22−y 12).所以a 2b 2=1,即a 2=b 2.故曲线C 是一个圆.(II)设直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 因为a >b >0,所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆. 因为OA ⊥OB ,所以y 1x 1⋅y2x 2=−1,即y 1y 2=−x 1x 2.将y =x +1代人b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0,整理得(b 2+a 2)x 2+2a 2x +a 2−a 2b 2=0. 所以x 1+x 2=−2a 2a 2+b 2,x 1x 2=a 2(1−b 2)a 2+b 2.因为点A,B 在直线l 上,所以y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1. 又因为y 1y 2=−x 1x 2,所以2x 1x 2+x 1+x 2+1=0. 所以2⋅a 2(1−b 2)a 2+b 2−2a 2a 2+b 2+1=0,所以a 2+b 2−2a 2b 2=0,即a 2+a 2−c 2−2a 2(a 2−c 2)=0，整理得2a 4−2a 2+c 2−2a 2c 2=0,所以c 2=2a 2(a 2−1)2a 2−1.故e 2=c 2a2=2(a 2−1)2a 2−1=1−12a 2−1.因为a ∈[√62,√102],所以2a 2−1∈[2,4],所以1−12a 2−1∈[12,34],故e ∈[√22,√32]. 【反思】为了寻找离心率的范围,题中给出某一个几何量的变化范围,本身就是一个提示,建立离心率与此几何量的关系是目标,也是智慧点.强化练习1.若离心率为e 1的椭圆与离心率为e 2的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则e 12−1e 22−1等于（）A.−e 1B.−e 2C.−1e 1D.−1e 2【解析】由题意知c 1=c 2,d 1=12√a 2+b 2=a 1b 2c 2,d 2=21√a 2+b 2=a 2b 1c 2,d 3=12√a 2+b 2=b 2.从而(a 2b 1c 2)2=a 1b 2c 2⋅b 2,即a 22(a 12−c 12)=a 1c 2(c 22−a 22),两边同除以a 12得e 12−1e 22−1=−e 1.故选A.【反思】三个点到一直线的距离间有等量关系,因此为寻找两曲线离心率间的关系指出了方向.2.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且|AB|=4|OF|(O 为原点),则双曲线的离心率为（） A.√2 B.√3 C.2 D.√5【解析】抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),准线为l :x =−1,|AB|=4|OF|=4. 因为A (−1,ba ),所以ba =2, e 2=1+(b a)2=5,选择D.【反思】对条件“|AB|=4|OF|”的挖掘是关键. 3.如图,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是（） A.√2 B.√3 C.32 D.√62【解析】解法1思维进人一般方法时:由题意OB 2=3,则有，解得所以8a 2−13−a 2=3,整理得a 4−6a 2+8=0,解得a 2=2或a 2=4(舍去),选择D .解法2思维进人定义时:由题意c =3,AF 2+AF 1=4,AF 2−AF 1=2a ,解得AF 2=2+a,AF 1=2−a .又AF 12+AF 22=F 1F 22,得a =2,e =√62.选择D . 【反思】把题设条件中图形的几何性质挖掘出来.4.(1)如图1,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,虚轴的上端点为B ,线段AB 与渐近线交于点M ,若FM 平分∠BFA ,则该双曲线的离心率e 等于（） A.1+√3 B.1+√2 C.√3 D.√2（2）如图2,A,F 分别是双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)的左顶点、右焦点,过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直,与另一条渐近线和y 轴分别交于点P 和点Q .若AP ⊥AQ ,则C 的离心率是（）A.√2B.√3C.1+√134D.1+√1742222222213143x y a a x y x y ⎧-=⎪-⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩228313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】(1)AB:x a +y b =1,OM:y =b a x ,解得M (a 2,b2),故M 为AB 的中点,从而判断△ABF 为等腰三角形,BF =FA,√c 2+b 2=a +c , 所以e 2−2e −2=0,解得e =2+√122=1+√3,选择A .(2)F(c,0),c 2=b ×FQ,FQ =c 2b,OQ =√c 4b 2−c 2=ac b,PQ:x c +byac =1,联立方程{bx +ay =0,ax +by =ac,解得P (a 2c a 2−b 2,−abc a 2−b 2),于是acb−00+a ⋅−abca 2−b 2−0a 2c a 2−b2+a=−1,整理得2a 2+ac −2c 2=0,解得e =1+√174,选择D .【反思】抽象字母的代数式运算是基本功,在圆雉曲线运算中涉及方程组求解、繁分式运算都是常事,首先内心要接受,其次努力去化简,运算智慧是关键.5.如图,已知双曲线C:x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上一点,Q为双曲线渐近线上一点，点P ，Q 均位于第一象限，且2QP → =PF 2→ ,QF 1→ ∙QF 2=0→ ,则双曲线C 的离心率为（）A.√3−1B.√3+1C.√13−2D.√13+2【解析】设F 2(c,0),Q (x,ba x),由““QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0”得(bx a)2=(c −x)(x +c)=c 2−x 2, 解得x =a ,所以Q(a,b),从而得P (c+2a 3,2b 3).又点P 在双曲线上,所以(c+2a 3a)2−(2b 3b )2=1,化简得(e +2)2=13,选择C .【反思】(1)一是挖掘几何条件,即将几何条件代数化;二是运算中不能出错,细心细心再细心,代入时要细心,计算时要细心,一步一步做,不要跳步,要在草稿纸上留下痕迹,以便核对. (2)解析几何问题以运算繁杂为主要特征,因为运算要涉及运算方向、运算规则、运算次序,稍有一点出错,就可能导致解题失败.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且∠F1PF2=π3,若点F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上,则椭圆C的离心率为_________. 【解析】本题容易设点运算进人复杂思路,难以自拔.事实上,△F1PF2为正三角形,由于点P的任意性,考虑特殊化情形,即PQ为通径时,如答图.第6题答图可得b2a2c=tan π6=√33,所以a2−c2ac=2√33,即1e −e=2√33,整理得e2+2√33e−1=0,解得e=√33.【反思】(1)对圆雉曲线小题题设的每一个信息都要把握,缺一不可,否则思维就要受阻,一定要从几何图形上去挖掘,从特殊化上去挖掘,从定义上去挖掘,一旦进入实际计算，就会有新会有繁杂的运算等着你.(2)将一般问题特殊化处理是解决小题的常用思维方式,小题不能大做.7.设F 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,A 是该椭圆上位于第一象限的一点,过点A 作圆x 2+y 2=b 2的切线,切点为P ,则|AF|−|AP|=________. 【解析】设F(−c,0),A(acos θ,bsin θ),其中θ∈(0,π2)|AF|=√(acos θ+c)2+b 2sin 2 θ=√a 2cos 2 θ+2accos θ+c 2+(a 2−c 2)sin 2 θ=√a 2+2accos θ+c 2cos 2 θ=a +ccos θ,|AP|=√|OA|2−b 2=√a 2cos 2 θ+b 2sin 2 θ−b 2=ccos θ,|AF|−|AP|=a.【反思】椭圆上点的三角表示是运算简化的基础.8.已知椭圆C 的焦点为F 1(−1,0),F 2(1,0),过点F 2的直线与椭圆C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B |,|AB|=|BF 1|,则椭圆的离心率是__________. 【解析】如答图所示,第8题答图设|AF 2|=2|F 2B |=2r 1,|AF 1|=r 2.由椭圆定义可列{r 1+3r 1=2a,r 2+2r 1=2a,所以|AF 1|=r 2=a ,|AF 2|=a,|BF 2|=a2.在△ABF 1与△BF 2F 1中运用余弦定理,cos B=(32a)2+(32a)2−a 22×32a ×32a=(32a)2+(12a)2−42×32a ×12a解得a 2=3,所以椭圆的离心率为√33.【反思】运用圆锥曲线的定义去建立几何量之间的关系是解题的关键点.9.如图,F 1和F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F 2AB 是等边三角形,求双曲线的离心率.【解析】解法1设AB 交x 轴于点M ,并设双曲线的半焦距为c , 因为△F 2AB 是等边三角形,所以|OM|=c2,|MA|=√32c 将点A (−c 2,√32c)代人双曲线方程: b 2⋅c 24−a 2⋅34c 2=a 2b 2,即c 2(c 2−a 2)−3a 2c 2=4a 2(c 2−a 2),他简珙c 1−8a 2c 2+4a 4=0,即e 4−8e 2+4=0，解得e 2=4+2√3,e =√3+1.(因为e >1,所以e 2=4−2√3及e =√3−1舍去)解法2连接AF 1,则△AF 1F 2为直角三角形,且斜边F 1F 2之长为2c . 令|AF 1|=r 1,|AF 2|=r 2,由直角三角形的性质知:{r2−r1=2a,12r2⋅2c=r1r2,解得{r1=c,r2=2a+c.因为r12+r22=4c2,所以(2a+c)2+c2=4c2,即2a2+2ac−c2=0,整理得e2−2e−2=0. 因为e>1,所以取e=√3+1.【反思】两种解法都是运用圆雉曲线的定义与相关几何条件建立方程,即使是用解析法解题,也应不失时机地引入几何手段.。