2021高中数学第1讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介练习新人教A版选修4_

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(新)高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介达标训练新人教A版选修4-41

一平面直角坐标系更上一层楼基础·巩固1已知点P 的柱坐标为(2,4π,5)，点B 的球坐标为(6,3π,6π)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5,1,1)，B 点(26,423,463) B.P 点(1,1,5)，B 点(26,423,463) C.P 点(26,423,463)，B 点(1,1,5) D.P 点(1,1,5)，B 点(423,463,26) 思路解析：设P 点的直角坐标为(x,y,z),x=2·cos4π=2·22=1,y=2·sin 4π=1,z=5.设B 点的直角坐标为(x,y,z),x=6·sin3π·cos 6π=6·4632323=•, y=6·sin3π·sin 6π=6·23·21=463,z=6·cos 3π=6·21=26.所以点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为(463,423,26). 答案：B2如图1-4-8，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,2π,5)，则此长方体外接球的体积为________________.图1-4-8思路解析：由长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,2π,5),可知OA=4,OC=6,OO 1=5, 则对角线长为77654222=++,那么球的体积为34·π·(277)3=67777π.答案：67777π3我国首都北京的球坐标为(6 370,50°,θ)，求北京所在的纬线的长度约为多少千米?（地球半径约6 370 km,cos40°=0.766 0）思路解析：如图,可根据点A 的球坐标找到纬度圈上的半径，从而可以求出纬线的长度来. 解：首都北京的球坐标为(6 370,50°,θ)，设为点A ，则|OA|=6 370，∠AOO ′=50°，∴|O ′A|=|OA|·sin50°=|OA|·cos40°=6 370×0.766 0，所以纬度圈长为2×3.142×6 370×0.766 0=3.066×104km.4在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA ＝CB ＝1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 是A 1B 1的中点.求出点M 的空间直角坐标,柱坐标,球坐标来. 思路解析：建立适当的坐标系，如图.求点M 的空间直角坐标，需要找到(x,y,z)；求点M 的柱坐标，需要找到(ρ,θ,z)；求点M 的球坐标，需要找到(r,φ,θ).解：过点M 作底面xCy 的垂线MN ，∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴N 点在直线AB 上.由点N 分别作x 轴,y 轴的垂线EN,NF ，根据已知可得△ABC 是等腰直角三角形， ∴EN=NF=21，这样，点M 的空间直角坐标为(21,21,2)；由于点M 在平面xCy 的射影为点N ，CN 的长度与∠ECN 的大小就是点M 的柱坐标的量，CN=22，∠ECN=4π，这样，点M 的柱坐标为(22,4π,2)； CM=r=2232)22(22=+，在△CC 1M 中，tan φ=42222=，这样点M 的球坐标为(223,arctan 42,4π). 5如图1-4-9，两平行面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan724,θA )、B(25,π-arctan 43,θB )，求出这两个截面间的距离.图1-4-9思路解析：根据已知可得球半径为25,这样就可以在Rt △AOO 1和Rt △BOO 1中求出OO 1及OO 2的长度来,可得两个截面间的距离为O 1O 2. 解：由已知,OA=OB=5,∠AOO 1=arctan724,∠BOO 1=π-arctan 43, 在△AOO 1中,tan ∠AOO 1=724=121211)()(OO OO OA OO A O -=.∵OA=25,∴OO 1=7.在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan 43,tan ∠BOO 2=43=222222)()(OO OO OB OO BO -=.∵OB=25,∴OO 2=20.故O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.6如图，在柱坐标系中，O(0,0,4),A(3,θa ,4),B 1(3,θb ,0)，其中，θa -θb =60°，求直线AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角和AB 1的长.图1-4-0思路分析：由点O,A,B 1的柱坐标，可知圆柱的高为4，底面半径为3，∠AOB=60°. 解：作OB ∥O 1B 1交上底圆周于点B ，连结AB ，∠AOB=60°，则△OAB 为等边三角形.∵OB ∥O 1B 1,∴BB 1与AB 1所成的角就是AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角. 又BB 1垂直AB 所在平面，∴BB 1⊥AB. 在Rt △ABB 1中，tan ∠AB 1B=431=B B AB , ∴∠AB 1B=arctan43.∴AB 1=212B B AB +=5. 综合·应用7在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A(R,4π,6π)、B(R,4π,32π).飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？思路分析：根据A 、B 两地的球坐标找到地球的半径,纬度,经度,当飞机走AB 两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是过A,B 两地的球面距离.解：如图所示,因为A(R,4π,6π),B(R,4π,32π), 可知∠AOO 1=∠O 1OB=4π, ∴∠O 1AO=∠O 1BO=4π. 又∠EOC=6π,∠EOD=32π,∴∠COD=32π-6π=2π.∴∠COD=∠AO 1B=2π.在Rt △OO 1B 中,∠O 1BO=4π,OB=R,∴O 1B=O 1A=22R.∵∠AO 1B=2π,∴AB=R. 在△AOB 中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=3π. ∴经过A 、B 两地的球面距离为3πR. 走经过A 、B 两地的大圆,飞机航线最短,其距离为3πR. 8结晶体的基本单位称为晶胞，图1-4-11(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图1-4-11(2)，建立空间直角坐标系O-xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标,柱坐标.图1-4-11思路分析：在空间直角坐标中,我们需要找点的(x,y,z)；在柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z)；在球坐标系中,需要找到(r,φ,θ).解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,2π,0),(2,2π,4π),(1,2π,2π),(22,2π,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(2,4π,0),(1,2π,0),(22,4π,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为21,所以这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(22,4π,0),(23,arccos 33,arctan 21),(26,arccos 66,arctan2),(22,4π,2π),它们的柱坐标分别为(21,0,21)、(25,arctan 21,21)、(25,arctan2,21)、(21,2π,21)；上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为1,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为 (1,0,0),(2,4π,0),(3,arctan 2,4π),(2,4π,2π),(25,arctan 22,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(2,4π,1),(1,2π,1),(22,4π,1).9距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离.你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？解：(1)在平面直角坐标系中,已知P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-. (2)在空间直角坐标系,如图,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,且点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)在xOy 平面上的射影分别为M 、N,那么M 、N 的坐标为M(x 1,y 1,0)、N(x 2,y 2,0),在xOy 平面上,|MN|=221221)()(y y x x -+-.过点P 1作P 2N 的垂线,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|. 在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=221221)()(y y x x -+-, 根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此,空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离 |P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.(3)我们来确定P 1、P 2两点在柱坐标系中的距离公式：根据空间点P 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式：⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos z z y x θρθρP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos 1111111z z y x θρθρ可得⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos 2222222z z y x θρθρ |P 1P 2|=2212221122211)()sin sin ()cos cos (z z -+-+-θρθρθρθρ. (4)我们来确定P 1、P 2两点在球坐标系中的距离公式：空间点P 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r xP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin 1111111111ϕθϕθϕr z r y r x 及⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin 22222222222ϕθϕθϕr z r y r x .可得|P 1P 2|=2221122221112222111)cos cos ()sin sin sin sin ()cos sin cos sin (ϕϕθϕθϕθϕθϕr r r r r r -+-+-。

2021年高中数学第一讲坐标系本讲小结新人教A版选修44

2021年高中数学第一讲坐标系本讲小结新人教A 版选修4-4一、基本内容简介1．极坐标的有关概念；平面上点的直角坐标(x ，y )和极坐标(ρ，θ)的意义以及二者间的相互关系．2．空间中点的直角坐标(x ，y ，z )和柱坐标(ρ，θ，z )、球面坐标(r ，φ，θ)的意义，以及它们之间的相互关系．3．平面上曲线的极坐标方程的概念及求法．4．过极点以及与极轴垂直的直线的极坐标方程的形式．5．过极点且圆心在极轴上的圆的极坐标方程的形式，它与该圆的直角坐标方程的互化．类似讨论过极点且圆心在射线θ＝±π2上的圆的极坐标方程．二、求曲线极坐标方程1．求极坐标方程的方法．求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的方法类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标ρ、θ的关系式f (ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．具体步骤如下：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．2．求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识，利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．三、柱坐标与球坐标1．柱坐标．设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，点M 在Oxy 坐标面上的投影点为M 0，点M 0在Oxy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图甲所示，则三个有序数ρ，θ，z 构成的数组(ρ，θ，z )称为空间中点M 的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0，0≤θ<2π，z 为任意实数．由此可见，柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．因此，由平面上极坐标和直角坐标的变换公式容易得到空间直角坐标与柱坐标的变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿x 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与Oxz 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于Oxy 坐标面的平面(如图乙所示)．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．2．球坐标．设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，点M 在Oxy 坐标面上的投影点为M 0，连接OM 和OM 0.如下图所示，设z 轴的正向与向量OM →的夹角为φ，x 轴的正向与OM 0→的夹角为θ，点M 到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，φ，θ)称为空间中点M 的球坐标．若设投影点M 0在Oxy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ，在球坐标中限定r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π.下面给出点M 的直角坐标与球坐标的变换公式．由图可知z ＝r cos φ，ρ＝r sin φ，而x ＝ρcos θ＝r sin φcos θ，y ＝ρsin θ＝r sin φsin θ，由此得坐标变换公式：⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.在空间的球坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为正常数)表示球心在原点，半径为r 0的球面；方程θ＝θ0(0≤θ0<2π)表示过z 轴的半平面，它与Oxz 坐标面的夹角为θ0；方程φ＝φ0(0≤φ≤π)表示顶点在原点，半顶角为φ0的圆锥面，它的中心轴是z 轴，φ0<π2时它在上半空间，φ0>π2时它在下半空间，φ0＝π2时它是Oxy 平面，如下图所示：四、极坐标系与直角坐标系的有关问题1．极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？名师剖析：根据极径定义，极径是距离，当然是正的．极径是负的，等于极角增加π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作：将射线OP “反向延长”．而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负”实质是管方向的．如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的．一般情况下，如果不做特殊说明，极径指的都是正的．2．为何我们不要把对直角坐标系内的点和曲线的认识套用到极坐标系内？用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？名师剖析：(1)在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x ，y )是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ，θ)只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对(ρ，θ)对应．例如(ρ，2n π＋θ)与(－ρ，(2n ＋1)π＋θ)(n 为整数)表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(ρ，θ)不是一一对应的．(2)在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程)．可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的．(3)在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P 的一极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4，那么点P 适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标⎝⎛⎭⎪⎫π4，9π4就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．五、几点需注意的问题1．平面直角坐标系中的伸缩变换．函数y ＝f (ωx )(x ∈R，ω>0，且ω≠1)的图象可以看作是f (x )图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)到原来的1ω或伸长(当0＜ω＜1时)为原来的ω倍而得到的(纵坐标不变)．函数y ＝Af (x )(x ∈R，A >0，且A ≠1)的图象可以看作是f (x )图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)到原来的A 倍或缩短(当0<A <1时)到原来的1A倍而得到的(横坐标不变)．图形变换中的伸缩变换我们可记作变换公式⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，在使用时，需分清新旧坐标．2．极坐标系及直线与圆的极坐标方程．注意转化公式⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)和⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ的灵活运用． 3．求轨迹方程．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ、θ的关系．。

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课

四柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】设点M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.解：由变换公式得ρ2=x 2+y 2=12+12=2,∴ρ=2.又tan θ=x y =1, ∴θ=4π(M 在第Ⅰ卦限). 故M 的柱坐标为(2,4π,3). 温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.类题演练 1设M 的直角坐标为(1,3-,4),求其柱坐标.解:由公式得ρ2=1+3=4,∴ρ=2.又tan θ=x y =3-, ∴θ=32π. ∴柱坐标为(2,32π,4). 变式提升 1设M 的柱坐标为(2,6π,7),求直角坐标. 解:由公式得ρ2=x 2+y 2=4,又tan 6π=33=xy , ∴y=31x.∴y 2=1.∴y=1,x=3. ∴直角坐标为(3,1,7).二、已知直角坐标求球坐标【例2】设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标.解：由公式得r=222z y x ++=2,由rcos φ=z=2,得cos φ=222=r ,φ=4π. 又tan θ=x y =1,θ=4π. ∴点M 的球坐标为(2,4π,4π). 类题演练 2设M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标.解:由公式得r=222z y x ++=2,由rcos φ=z 得cos φ=21,φ=3π. 又tan θ=22-, ∴θ=π-arctan 22. ∴球坐标为(2,3π,π-arctan 22). 三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB,AD,AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C 1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC 1，C 1点的（r,φ,θ)分别对应着AC 1,∠A 1AC 1,∠BAC.解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan73,10)，C 1点的球坐标为(332,arccos 33210,arctan 73). 温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定.类题演练 3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解:在赤道平面上，选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°).变式提升 2两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan 724,θa ),B(25,π-arctan 43,θb )，求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan 724,∠BOO 1=π-arctan 43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=11OO A O . ∵OA=25,∴OO 1=7.在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan43,tan∠BOO 2=43=22OO B O . ∵OB=25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.。

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介成长训练新人教A版选修44

四柱坐标系与球坐标系简介主动成长夯基达标1.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,分 π2式,5),则此长方体外接球的体积为________.解析:据顶点的柱坐标求出长方体的三度,其外接球的直径恰为长方体的对角线长. 由长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,π2,5), 可知OA =4,OC =6,OO 1=5,则对角线长为,77654222＝＋＋那么球的体积为34·π·(277)3=.6π7777. 答案:6π77772.已知点M 的直角坐标为(1,-3,4),则它的柱坐标为_______.解析:设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z),则⎪⎩⎪⎨⎧=z θ=ρ-θ=ρ4sin 3cos 1，，,解之,得ρ=2,θ=35π,z =4. ∴点M 的柱坐标为(2,35π,4).答案:(2,35π,4)3.设点M 的柱坐标为(2,6π,7),则它的直角坐标为_______.解析:设点M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===7.z ,6πsin 2,6πcos 2y x ∴点M 的直角坐标为(3,1,7).答案:(3,1,7) 4.已知点M 的球坐标为(2,43π,43π),则它的直角坐标为_______. 解析:设M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则∴点M 的直角坐标为(-1,1,-2). 答案:(-1,1,-2)5.两平行面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A (25,ar ct a n724,θa )、B (25,π-arc t a n 43,θB )，求出这两个截面间的距离.解析:根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在R t △AOO 1和R t △BOO 1中求出OO 1及OO 2的长度来,可得两个截面间的距离为O 1O 2. 解:由已知,OA =OB =5,∠AOO 1=arctan724,∠BOO 1=π-arctan43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=.11OO A O ∵OA =25,∴OO 1=7. 在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan43,tan∠B OO 2=43=.22OO BO .∵OB =25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27. ∴两个截面间的距离O 1O 2为27.6.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A (R ,4π,6π)、B (R ,4π,32π)，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？解析:我们根据A 、B 两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走AB 两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是要求我们求出过A 、B 两地的球面距离.解:如图所示,因为A (R ,4π,6π),B (R ,4π,32π), 可知∠O 1AO =∠O 1BO =4π,∴∠AO 1O =∠BO 1O =4π.又∠EOC =6π,∠EOD =32π,∴∠C OD =32π-6π=2π.∴∠COD =∠AO 1B =2π.在R t △OO 1B 中,∠O 1BO =4π,OB =R ,∴O 1B =O 1A =22R . ∵∠AO 1B =2π,∴AB =R . 在△AOB 中,AB =OB =OA =R , ∴∠AOB =3π. 则经过A 、B 两地的球面距离为3πR . 走经过A 、B 两地的大圆,飞机航线最短,其距离为3πR . 7.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)，建立空间直角坐标系O —xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.解析:在空间直角坐标系中,我们需要找点的(x ,y ,z )；在柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z )；在球坐标系中,需要找到(r ,φ,θ).解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,2π,0),(2,2π,4π),(1,2π,2π),(22,2π,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(2,4π,0),(1,2π,0),(22,4π,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为21,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(22,4π,0),(23,arccos 33,arctan 21),(26,arccos 66,arctan2),(22,4π,2π),它们的柱坐标分别为(21,0,21),(25,arctan 21,21),(25,arctan2,21),(21,2π,21)；上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(2,4π,0),(3,arctan 2,4π),(2，4π，2π),(25,arctan22,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(2,4π,1),(1,2π,1),(22,4π,1). 8.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离试用两点的坐标表示这两点间的距离.解:(1)在平面直角坐标系中,已知P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则|P 1P 2|=221221)()(-y y +-x x .(2)在空间直角坐标系中,如图,设P 1(x 1,y 1,z 1)、P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,且点P 1(x 1,y 1,z 1)、P 2(x 2,y 2,z 2)在xOy 平面上的射影分别为M 、N ,那么M 、N 的坐标为M (x 1,y 1,0)、N (x 2,y 2,0),在xOy 平面上,|MN |=221221))(-y +(y -x x .过点P 1作P 2N 的垂线,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|H P 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1H P 2中,|P 1H|=|MN |=221221))(-y +(y -x x ,根据勾股定理,得 |P 1P 2|=2221|+|HP H||P =221221221)(+)(+)(-z z -y y -x x .因此,空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离|P 1P 2|=221221221)(+)(+)(-z z -y y -x x .(3)我们来确定P 1、P 2两点在柱坐标系中的距离公式：根据空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式：⎪⎩⎪⎨⎧.,sin ,cos z=z θy=ρθx=ρP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧,sin cos 11111111=z z ,θ=ρy ,θ=ρx ⎪⎩⎪⎨⎧,sin cos 22222222=z z ,θ=ρy ,θ=ρx 可得|P 1P 2|=2212221122211)(+)sin sin (+)cos cos (-z z θ-ρθρθ-ρθρ(4)我们来确定P 1、P 2两点在球坐标系中的距离公式：空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,φ,θ)之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧.cos ,sin sin ,cos sin φz=r θφy=r θφx=rP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧11111111111cos sin sin cos sin φ=r z ,θφ=r y ,θφ=r x 及⎪⎩⎪⎨⎧,cos sin sin cos sin 22222222222φ=r z ,θφ=r y ,θφ=r x可得|P 1P 2|=2221122221112222111)cos cos (+)sin sin sin sin (+)cos sin cos sin (φ-r φr θφ-r θφr θφ-r θφr走近高考1.已知点P 的柱坐标为(2,4π,5)，点B 的球坐标为(6,3π,6π)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（） A.P 点(5,1,1)，B 点)26,423,463(B.P 点(1,1,5)，B 点)26,423,463(C.P 点)26,423,463(，B 点(1,1,5) D.P 点(1,1,5)，B 点)423,463,26(解析:此题考查空间直角坐标系与空间极坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧;cos sin,sin cos,sin φz=r φy=r φx=r柱坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧.,sin ,cos z=z θy=ρθx=ρ解:设P 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x =2·cos4π=2·22=1,y =2·sin 4π=1,z =5. 设B 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x =6·sin3π·cos 6π=6·23·23=463, y =6·sin3π·sin 6π=6·23·21=423,z =6·cos 3π=6·21=.26所以,点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为(26,423,463).选B. 答案:B2.设点M 的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标. 解:设M 的柱坐标为(ρ,θ,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧,z=θ=ρθ=ρ1,sin 1,cos 1解之,得ρ=2,θ=4π,z =1.∴点M 的柱坐标为(2,4π,1). 3.设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解:设M 的球坐标为(r ,φ,θ),则r =2222)2(11++=+z +y x =2.由r cos φ=z ,得2cos φ=2.∴φ=4π. 又tan θ=xy =1,∴θ=4π.∴点M 的球坐标为(2,4π,4π).。

2019_2020学年高中数学第1讲坐标系4柱坐标系与球坐标系简介学案新人教A版选修4_4

四柱坐标系与球坐标系简介学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)教材整理1 柱坐标系阅读教材P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞.已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( )A．(1,1,0) B．(1,0,1)C．(0,1,1) D．(1,1,1)[解析] ∵x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1，∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.[答案] B教材整理2 球坐标系阅读教材P17～P18，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.已知点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，π2，则点A 的直角坐标为( )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)[解析] ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝3×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. [答案] B【例1(2)设点N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．[思路探究] (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出x ，y ，z即可．[自主解答] (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4，因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1. (2)设N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝πcos π，y ＝πsin π，z ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－π，y ＝0，z ＝π，因此，点N 的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，2.[解] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ＝2cos5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos3π4＝－1，y ＝ρsin θ＝2sin 3π4＝1，z ＝2，因此所求点的直角坐标为(－1,1,2).【例2】已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π，4π，求它的直角坐标．[思路探究] 球坐标――――――――――――――→x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ直角坐标[自主解答] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 34πcos 34π＝2×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝2×22×22＝1，z ＝2cos 34π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.2．化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z＝r cos φ，转化为三角函数的求值与运算．2．若例2中“点M 的球坐标改为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56π，53π”，试求点M 的直角坐标．[解] 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332，∴因此M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－334，－332.【例3】已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标．[思路探究] 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．[自主解答] 点C 1的直角坐标为(1,1，2)．设C 1的球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(2)2＋12＝2. 由z ＝r cos φ，∴cos φ＝22，φ＝π4，又tan θ＝yx＝1， ∴θ＝π4，从而点C 1的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，θ，φ.2．利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝yx ，cos φ＝z r，特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．3．若本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标． [解] 易知C 的直角坐标为(1,1,0)．设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝x 2＋y 2＝12＋12＝ 2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，因此点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0.(2)由于r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋0＝ 2.又cos φ＝z r ＝0，∴φ＝π2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，故点C 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，π4.柱、球坐标系—⎪⎪⎪—柱坐标系—球坐标系—柱坐标、球坐标的互化1．在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q点的坐标为( )A ．(2,0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3D ．(2，π4，0) [解析] 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. [答案] B2．柱坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5转换为直角坐标为( ) A ．(5,8,83) B ．(8,83，5) C ．(83，8,5)D ．(4,83，5)[解析] 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16cos π3＝8，y ＝16sin π3＝83，z ＝5，即P 点的直角坐标为(8,83，5)．[答案] B3．已知一个点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4，则它的高低角为( )A ．－π4B.3π4C.π2D.π3[解析] ∵φ＝3π4，∴它的高低角为π2－φ＝－π4.[答案] A4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________．[解析] 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos φ＝z ＝2，得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. ∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π45．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，求这两个点的直角坐标．[解] 设点P 的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)，则x 1＝2cos π4＝1，y 1＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x 2，y 2，z 2)，则x 2＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y 2＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z 2＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62.。

高中数学第一章坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教A版选修4

高中数学第一章坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教A 版选修4教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。

空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos变式训练标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度.思考: 在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?三、巩固与练习四、小结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则；2．柱坐标系的作用与规则。

高中数学第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介练习新人教A版选修4_4

四柱坐标系与球坐标系简介课后篇巩固探究A组1.已知点A的球坐标为,则点A的直角坐标为()A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(3,3,0)A的直角坐标为(x,y,z),则x=3×sin×cos=0,y=3×sin×sin=3,z=2×cos=0,所以直角坐标为(0,3,0).2.若点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是()A. B.C. D.M的柱坐标为(ρ,θ,z),则ρ==2,θ=,z=3,所以点M的柱坐标为,故选C.3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的()A.以x轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面B.以y轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面C.以z轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面D.以原点为球心,半径为3的球面4.导学号73574021已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为()A.2B.C.2D.4M的直角坐标为(x,y,z),因为(r,φ,θ)=,所以即M(-2,2,2).故点M到Oz轴的距离为=2.5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.B.C.D.P的柱坐标(ρ,θ,z)知,当θ=时,点P在平面yOz内,故选A.6.若点P的直角坐标为(,3),则它的柱坐标是.7.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为,则|OM|=.M的直角坐标为(x,y,z),且x2+y2=ρ2=4,故|OM|==3.8.若点M的球坐标为,O为原点,则点M到原点的距离为,OM与平面xOy所成的角为.9.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.O为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.。

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高中数学第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介练习含解析新人教A版选修440822553四柱坐标系与球坐标系简介课时过关·能力提升基础巩固1已知点P的柱坐标为(16,π3,5),则其直角坐标为()A.(5,8,8√3)B.(8,8√3,5)C.(8√3,8,5)D.(4,8√3,5)解析设点P的直角坐标为(x,y,z).∵ρ=16,θ=π3,z=5,∴z=z cosθ=8,y=ρsinθ=8√3,z= 5,故点P的直角坐标是(8,8√3,5).答案B2已知点P的柱坐标为(2,π4,3),若在空间直角坐标系中,点z在zzz平面上的射影为z,则点z的柱坐标为()A.(2,0,3)B.(2,π4,0)C.(√2,π4,3)D.(√π4,0)答案B3在球坐标系中,方程r=2(0≤z≤π2,0≤z<2π)表示() A.圆 B.半圆C.球面D.半球面解析由空间点的球坐标的定义可知,方程r=2(0≤z≤π2,0≤z<2π)表示半球面.答案D4已知点M的柱坐标为(4,7π6,1),则它的直角坐标为.M的直角坐标为(x,y,z).∵ρ=4,θ=7π6,z=1,∴x=ρcosθ=4co s7π6=−2√3,y=ρsinθ=4si n7π6=−2.故点M的直角坐标为(-2√3,−2,1).-2√3,−2,1)5若点M的柱坐标为(7,π2,7),点z的球坐标为(z,z,z),则z=.(ρ,θ,z)=(7,π2,7),设点M的直角坐标为(x,y,z),则x2+y2=ρ2=49,∴r=√z2+z2+z2=√49+72=7√2.√26已知空间点P的柱坐标为(6,π3,4),则点z关于z轴的对称点的柱坐标为.7把下列用柱坐标表示的点用直角坐标表示出来.(1)(2,0,-2);(2)(π,π,π).(x,y,z).(1)∵(ρ,θ,z)=(2,0,-2),∴{z=2cos0=2, z=2sin0=0, z=-2,故(2,0,-2)为所求点的直角坐标.(2)∵(ρ,θ,z)=(π,π,π),∴{z=πcosπ=-π, z=πsinπ=0, z=π,故(-π,0,π)为所求点的直角坐标.8把下列用球坐标表示的点用直角坐标表示出来.(1)(2,π6,π3);(2)(2,π4,7π4).(x,y,z).(1)∵(r,φ,θ)=(2,π6,π3),∴{z =z sin z cos z =2sin π6cos π3=12,z =z sin z sin z =2sin π6sin π3=√32,z =z cos z =2cos π6=√3.故(12,√32,√3)为所求点的直角坐标. (2)∵(r ,φ,θ)=(2,π4,7π4),∴{z =z sin z cos z =2sin π4cos7π4=1,z =z sin z sin z =2sin π4sin 7π4=-1,z =z cos z =2cos π4=√2.故(1,-1,√2)为所求点的直角坐标.9已知点P 的柱坐标为(√2,π4,5),点z 的球坐标为(√6,π3,π6),求这两个点的直角坐标.P 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x =√2cos π4=√2×√22=1,z =√2sin π4=1,z =5.所以点P 的直角坐标为(1,1,5). 设点B 的直角坐标为(x 1,y 1,z 1), 则x 1=√6sinπ3cosπ6=√6×√32×√32=3√64,y 1=√6sin π3sin π6=√6×√32×12=3√24,z 1=√6cosπ3=√6×12=√62. 所以点B 的直角坐标为(3√64,3√24,√62).10结晶体的基本单位称为晶胞,食盐晶胞的示意图如图①所示(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体),图形中的点代表钠原子.如图②所示,建立空间直角坐标系z −zzz 后,试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.图①图②xOy 平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,π2,0),(√2,π2,π4),(1,π2,π2),(√22,π2,π4);它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(√2,π4,0),(1,π2,0),(√22,π4,0).能力提升1已知点M 的直角坐标为(√3,1,−2),则它的球坐标为( ) A .(2√2,3π4,π6)B .(2√2,π4,π6) C .(2√2,π4,π3)D .(2√2,3π4,π3)M 的球坐标为(r ,φ,θ),则{√3=z sin z cos z ,1=z sin z sin z ,-2=z cos z ,解得{ z =2√2,z =3π4,z =π6.2已知点M 的球坐标为(4,π4,π4),则点z 到zz 轴的距离为( )A.2√2B .√2C .2D .4M 的直角坐标为(x ,y ,z ), ∵(r ,φ,θ)=(4,π4,π4),∴{z =z sin z cos z =4sinπ4cos π4=2,z =z sin z sin z =4sin π4sin π4=2,z =z cos z =4cos π4=2√2,∴M (2,2,2√2).故点M 到Oz 轴的距离为√22+22=2√2.★以地球中心为坐标原点,赤道所在平面为xOy 平面,由原点指向北极的方向为z 轴的正方向,零子午线所在的平面为zOx 坐标平面,如图所示.某地在西经60°,南纬45°,地球的半径为R ,则该地的球坐标可以表示为( )A .(z ,π3,π4) B .(z ,π4,π3) C .(z ,3π4,5π3)D .(z ,5π3,3π4).4若点M 的柱坐标为(√2,5π4,√2),则它的球坐标为( )A .(2,π4,π4)B .(2,π4,5π4)C .(2,5π4,π4)D .(2,3π4,π4)M 的直角坐标为(x ,y ,z ). ∵点M 的柱坐标为(√2,5π4,√2),∴{z =√2cos5π4,z =√2sin 5π4,z =√2,即{z =-1,z =-1,z =√2. ∴点M 的直角坐标为(-1,-1,√2). 设点M 的球坐标为(r ,φ,θ), ∴r =√(-1)2+(-1)2+(√2)2=2, 容易知道θ=5π4.∵cos z =z z=√22,∴z =π4.故球坐标为(2,π4,5π4).5在柱坐标系中,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 在原点,另两个顶点坐标分别为A 1(8,0,10),C 1(6,π2,10),则此长方体的外接球的体积为 .|DA|=8,|DC|=6,|DD 1|=10,所以外接球的直径为10√2,半径为5√2.故所求的体积为4π3×(5√2)3=1000√2π3.6在柱坐标系中,方程ρ=1表示空间中的什么曲面?方程z=-1表示什么曲面?ρ=1表示以z 轴所在直线为轴,以1为底面半径的圆柱侧面;方程z=-1表示与xOy 坐标面平行的平面,且此平面与xOy 平面的距离为1,并且在xOy 平面的下方.7已知点P 1的球坐标是(4,π2,5π3),z 2的柱坐标是(2,π6,1),求|z 1z 2|.P 1的直角坐标为(x ,y ,z ). ∵点P 1的球坐标是(4,π2,5π3),∴{z =4sin π2cos 5π3=4×1×12=2,z =4sin π2sin 5π3=4×1×(-√32)=-2√3,z =4cos π2=0.故点P 1的直角坐标为(2,-2√3,0).设点P 2的直角坐标为(x 1,y 1,z 1).∵点P 2的柱坐标是(2,π6,1),∴{z 1=2cos π6=2×√32=√3,z 1=2sin π6=2×12=1,z 1=1.故点P 2的直角坐标为(√3,1,1).∴|P 1P 2|=√(2-√3)2+(-2√3-1)2+(0-1)2=√21. ★8在球坐标系中,求两点z (3,π6,π4),z (3,π6,3π4)间的距离.P 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x=3si n π6cos π4=3√24, y=3si n π6sinπ4=3√24,z=3co sπ6=3×√32=3√32.所以z(3√24,3√24,3√32).设点Q的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=3si nπ6cos3π4=−3√24,y1=3si nπ6sin3π4=3√24,z1=3co sπ6=3√32.所以点z(-3√24,3√24,3√32).所以|PQ|=√(3√24+3√24)2+(3√24-3√24)2+(3√32-3√32)2=3√22.故P,Q两点间的距离为3√22.。

【2019-2020】高中数学第1讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介练习新人教A版选修4_4

教学资料范本【2019-2020】高中数学第1讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介练习新人教A版选修4_4编辑：__________________时间：__________________四柱坐标系与球坐标系简介一、基础达标1.在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q 点的坐标为( ) A.(2，0，3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，0 解析由点的空间柱坐标的意义可知，选B. 答案 B2.空间直角坐标系Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫3，π4，π6D.⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π2 解析由P (ρ，θ，z )，当θ＝π2时，点P 在平面yOz 内.答案 A3.设点M 的直角坐标为(2，0，2)，则点M 的柱坐标为( ) A.(2，0，2) B.(2，π，2) C.(2，0，2)D.(2，π，2)解析设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，∴ρ＝x2＋y2＝2，tan θ＝y x＝0， ∴θ＝0，z ＝2.∴点M 的柱坐标为(2，0，2). 答案 A4.若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，π3，56π，则它的直角坐标为( ) A.(－6，23，4) B.(6，23，4) C.(－6，－23，4)D.(－6，23，－4)解析由x ＝8sinπ3cos5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6，23，4). 答案 A5.已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则点M 到Oz 轴的距离为________. 解析设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，34π，知x ＝4sin π4cos 34π＝－2，y ＝4sinπ4sin 34π＝2，z ＝r cos φ＝4cosπ4＝22.∴点M 的直角坐标为(－2，2，22). 故点M 到Oz 轴的距离（－2）2＋22＝22. 答案 226.已知点P 1的球坐标是P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，5π3，P 2的柱坐标是P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，则|P 1P 2|＝________. 解析点P 1的直角坐标为(2，－23，0)点P 2的直角坐标为(3，1，1)，由两点距离公式得|P 1P 2|＝21. 答案217.已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π6，－3，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，π4，求这两个点的直角坐标.解设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝4cos 5π6＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－23，y ＝4sin5π6＝4×12＝2，z ＝－3.设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝8sinπ3cosπ4＝8×32×22＝26，y ＝8sin π3sin π4＝8×32×22＝26，z ＝8cos π3＝8×12＝4.所以点P 的直角坐标为(－23，2，－3)，点B 的直角坐标为(26，26，4). 二、能力提升8.已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5，1，1)，B 点⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62B.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62C.P 点⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62，B 点(1，1，5) D.P 点(1，1，5)，B 点⎝⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝2·cos π4＝2·22＝1，y ＝2·sinπ4＝1，z ＝5.设B 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝6·sin π3·cos π6＝6·32·32＝364，y ＝6·sin π3·sin π6＝6·32·12＝324，z ＝6·cos π3＝6·12＝62.所以，点P 的直角坐标为(1，1，5)，点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62. 答案 B9.在球坐标系中，方程r ＝1表示____________，方程φ＝π4表示空间的____________. 答案球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，中心轴为z 轴，轴截面顶角为π2的上半个圆锥面10.已知柱坐标系Oxyz 中，若点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5，则|OM |＝________.解析∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，5，设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x 2＋y 2＝ρ2＝4，∴|OM |＝x2＋y2＋z2＝4＋（5）2＝3. 答案 311.在球坐标系中，求两点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离.解设P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标.设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )， x ＝3sin π6cos π4＝342，x ＝3sin π6sin π4＝342，z ＝3cos π6＝3×32＝323.∴P ⎝⎛⎭⎪⎫324，324，332.设点Q 的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)，x 1＝3sin π6cos 3π4＝－324，y 1＝3sin π6sin 3π4＝324，z 1＝3cos π6＝323. ∴点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－324，324，332. ∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫324＋3242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫324－3242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－3322 ＝322.即P ，Q 两点间的距离为322.12.在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧ρ＝10≤θ<2π0≤z≤2的动点M (ρ，θ，z )的围成的几何体的体积. 解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π. 三、探究与创新13.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A⎝⎛⎭⎪⎫R，π4，π6、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R，π4，2π3，飞机从A 到B 应该走怎样的航线最快？所走的路程有多远？解如图所示，∵A ⎝⎛⎭⎪⎫R，π4，π6、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R，π4，2π3， ∴∠AOO 1＝∠BOO 1＝π4.设赤道面上与A 、B 经度相同的点分别为C 、D ，x 轴与赤道大圆的交点为E ，则∠EOC ＝π6，∠EOD ＝2π3，∴∠COD ＝2π3－π6＝π2.∴∠AO 1B ＝∠COD ＝π2. 在Rt△OO 1B 中，∠O 1BO ＝π4，OB ＝R ，∴O 1B ＝22R ，同理O 1A ＝22R .∵∠AO 1B ＝π2，∴AB ＝R .在△AOB 中，AB ＝OB ＝OA ＝R ，∴∠AOB ＝π3.则经过A 、B 两地的球面距离为π3R .答：走经过A 、B 两地的大圆，飞机航线最短，其距离为π3R .。

2019-2020高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介优化练习新人教A版选修4_4

则|P1P2|＝＝ .
答案：A
6．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为，则|OM|＝________.
解析：∵(ρ，θ，z)＝，
设M的直角坐标为(x，y，z)，
则x2＋y2＝ρ2＝22，
∴|OM|＝＝＝3.
答案：3
7．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝______，tanθ＝______.
x′＝ sin cos ＝ × × ＝，
y′＝ sin sin ＝ × × ＝，
z′＝ cos ＝ × ＝ .
所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为 .
答案：B
3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C1 ，则此长方体外接球的体积为________．
解析：由A1、C1两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、5，设外接球的半径为R，则有
2019-2020高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介优化练习新人教A版选修4_4
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四柱坐标系与球坐标系简介
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．点A的柱坐标是，则它的直角坐标是( )
A．( ，1,7)B．( ，1，－7)
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
所以|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝ .
答案：3
9．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．
解析：由变换公式得：
x＝rsinφcosθ＝4sin cos ＝2.