09级线性代数试卷A答案

中南大学考试试卷答案

2009——2010学年第二学期（2010.5） 时间：100分钟

《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷

专业年级：2009级 总分：100分

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、91

； 2、432122ααααβ-++-=； 3、2； 4、1； 5、⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=2000200022E 。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、D ；

2、C ；

3、B ；

4、A ；

5、A. 三、计算行列式（本题10分）

n

n a a a a 0

00

1

0000

000

1000121

-，其中.,,2,1,0n i a i =≠。 解：按第一行展开，原式=)1(112--n n a a a a 。

四、（本题15分）讨论b a ,取何值时，线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧-=+-=-+-=+-.

106,132,

2321

321321bx x x x x x a x x x

无解，有惟一解或有无穷多个解？并在有无穷多个解时，写出通解。

解：⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=9370012550211102501255021

110611132211a b a a a b a a b a A

(1) 当7≠b 时，方程组有惟一解； （2）当37≠=a b ，时，方程组无解；

（3）当37==a b ，时，方程组有无穷多个解，其通解为：⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11107851

k 。

五、证明题（本题10分） 设r ααα,,,21 )2(≥r 是数域P 上的线性空间V 中线性无关的向量组，任取P k k k r ∈-121,, ，求证：

,111r k ααβ+=,222r k ααβ+=, r r r r r r k αβααβ=+=---,111线性无关。

证明：设有P l l l l r r ∈-，121,, ，使οββββ=++++--r r r r l l l l 112211 ，

而 r r r r l l l l ββββ++++--112211

=r r r r r r r r l k l k l k l ααααααα+++++++---)()()(111222111 =r r r r r r l k l k l k l l l l αααα)(112211112211++++++++---- ， 又因 r r αααα,,,,121- 是线性无关的向量组，

所以有 ，

0,0,0121===-r l l l 0112211=++++--r r r l k l k l k l ， 即有 00,0,0121====-r r l l l l ， ，

故 r r ββββ，，，

，121- 线性无关。 六、（本题10分）设⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=100010001A ， 三阶方阵B 满足E BA BA A 92-=*， 其中*

A 为A

的伴随矩阵, E 为单位矩阵. 求矩阵B 。 解：1-=A

，1-*-=A A , 将矩阵方程化为：E BA BA A 921=+-，E BA E A 9)2(1=+⇒-，

上式左乘A ，右乘1

-A 得：E B E A 9)2(=+， 又092≠-=+E

A ，

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=+=∴--900030003100031

000

31

91000300039)2(91

1

E A B 。 七、（本题15分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为 ，，，211- 矩阵A 对应的特征向量依次为

T T T )1,0,1(,)1,0,1(,)0,1,0(321-===ααα。

（1）求矩阵A ； （2）求2009A ； （3）判断A 所对应的二次型是否为正定二次型。

解：（1）由题设知⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=200010001),,(),,(321321ααααααA ，即

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001110001110110001110A ， 由于021********≠=-，所以

1

110001110200010001110001110-⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10110102020001000111000111021⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=10302030121； （2）1

20092009

110001110)2(00010001110001110-⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A ⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-++-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=20092009200920092009210210202102121101101020)2(0001000

111000111021 ；

（3）因为实对称矩阵A 的特征值不全为正，所以A 所对应的二次型不是正定二次型。 八、（本题10分）设A 为三阶实对称矩阵，二次型AX X f T =经正交变换PY =X 得标准形

2

3

22214y y y f -+=，其中),,(321ααα=P ,且T )1,1,1(3

13=α，试求所作的正交变换。

解： 设11=λ对应的特征向量为T x x x ),,(3211=α，321,,ααα 是正交向量组，031=∴ααT

由0321=++x x x 得：,)1,0,1(,)0,1,1(21T T -=-=ββ 正交，单位化得：,)2,1,1(6

1,)0,1,1(2

121T T --=

-=

αα

所作的正交变换为：⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧+=+-=+--=.3162,316121,31

612132332123211

y y x y y y x y y y x 。