一元二次方程回顾与思考小结课件
一元二次方程复习课件
32 x X 2
X 32-2X
一元二次方程解法的复习
例6、有一堆砖能砌12米长的围墙,现要围一个20
平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长7米),其余三
边用砖砌成,墙对面开一个1米宽的门,求鸡场的长
和宽各是多少米?
解：设鸡场的宽为x米，则长为（12+1-2x） =（13-2x）米，列方程得： X（13-2x）=20 解得：x1=4，x2=2.5 经检验：两根都符合题意 ∴13-2x=5或8 （舍去）
(4):主要用到的数学思想方法
分类讨论
知识聚焦
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0a 0根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
一:回顾与总结
在解答下列各小题过程中，回顾用到了哪些知识点？
① 只含有一个未知数
1:下列方程中,属于一元二次方程的是( c ) 3 (1):一元二次方程的三要素 ② 未知数的最高次数是2次 2 A : 2 x y 1 0 B : x 2x 1 0 ③ 两边是整式
1 C : x 2 x 3 0 D : 2 3x 2 0 3x
当方程中有括号时,思考方法是:
1:应先用整体思想考虑有没有简单方法; 2:若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理 为一般形式再选取合理的方法。
变式1: 2(x-2)2+5(2-x)-3=0 2-x 变式2:
一元二次方程回顾与思考小结课件
∴我 把 数 b2 −4ac叫 方 ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0)的 们 代 式 做 程 根 判 式用 ∆"来 示即 = b2 −4ac. 的 别 . " 表 . ∆
1.不解方程,判别方程
5 x −1 − x = 0
2
(
)
的根的情况______________ 方程要先化 别式 b − 4ac = (− 1) − 4 ⋅ 5 ⋅ (− 5) = 101 > 0 ∴
解: 设 正 形 皮 边 为 ,根 题 ,得 原 方 铁 的 长 xcm 据 意
4(x −8) =100.
2
快乐学习 4
几何与方程
4. 如图 在一块长 如图,在一块长 在一块长92m,宽60m的矩形耕 宽 的矩形耕 地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等 水渠的宽度都相等.水 地上挖三条水渠 水渠的宽度都相等 水 渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩 渠把耕地分成面积均为 个矩 形小块,水渠应挖多宽 形小块 水渠应挖多宽. 水渠应挖多宽
回顾与复习 4 • 列方程解应用题的一般步骤是: 列方程解应用题的一般步骤是:
解应用题
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? 1.审 审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? 关系 • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 2.设 设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; 3.列 列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; 4.解 解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 5.验 是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 6.答 答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是:找出相等关系. 列方程解应用题的关键是 找出相等关系. 关键 相等关系
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习与小结)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册)
常量(如1)替换，变量替换(消元)
返回
6.二次函数与一元二次方程、不等式的关系：
(1)形式上
二次函数 y=ax2+bx+c
(2)数值上 二次函数函数 y=ax2+bx+c的零点
一元二次方程 ax2+bx+c=0
右边化为0， 左边设为y
一元二次不等式 ax2+bx+c<0(或>0)
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
a b a b 0; 2.两个实数大小关系的基本事实： a b a b 0;
a b a b 0.
利用这个事实可以采取作差法可以对一些代数式的大小进 行了比较也可以证明不等式：
(1)作差； (2)变形；
目的：便于判定差的符号 常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等 (3)定号； 当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 (4)作结论。 根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论 返回
1
1
ab
返回
4.基本不等式及其推导
对任意的a 0，b 0，有 ab a b 2
当且仅当a b时，等号成立
(1)基本不等式的常见变形：
① a+b≥2 ab ;
② ab≤( a+b )2 2
代数特征： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅 当这两个正数相等时，二者相等. 几何解释： 圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O 重合时，二者相等。 (2)基本不等式的推导和证明： ①利用两个实数大小关系的基本事实用作差法得出；
求a b的最小值以及此时a的值。
解: 方法1
a0 , b0
由a b ab - 3得 a b ab - 3 ( a b )2 3
第二章 一元二次方程回顾与思考
第二章 一元二次方程回顾与思考时间：2011.11.28 主备人：九二数学老师 审核：九年级数学组学习目标：1。
会用适当的方法解一元二次方程。
2.能用一元二次方程解决实际问题。
一、导课知识回顾二、基础知识重现1、当m 时，关于x 的方程(m －1)12 m x +5+mx=0是一元二次方程.2、方程(m 2－1)x 2+(m －1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.3、将一元二次方程x 2-2x-2=0化成(x+a)2=b 的形式是 ；此方程的根是 .4、用配方法解方程x 2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－75、解下列一元二次方程(1) 4x 2－16x+15=0 (用配方法解) (2) 9－x 2=2x 2－6x(用分解因式法解)(3) (x ＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解) (4)(2x －1)2＋(1－2x)－6＝0;6.某公司一月份营业额100万元，第一季度总营业额为331万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？7、某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，床位可全部租出，在每床的收费提高幅度不超过5元的情况下，若每床的收费提高2元，则减少10张床位租出，若收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方式变化下去，为了获得1120元的收入，每床的收费每晚应提高多少元？三、小组交流四、课堂展示五、课堂检测1.关于x 的方程(k+1)x 2+3(k －2)x+k 2－42=0的一次项系数是－3，则k=_________.2．一个正方体的表面积是384 cm 2，则这个正方体的棱长为_________.3. 关于x 的方程(a+1)x 122--a a +x －5=0是一元二次方程，则a=_________.4.已知(x 2＋y 2－2)(x 2＋y 2)＝3,则x 2＋y 2＝ .5.请写出一个一元二次方程,使其一根为－1,你写的方程是 .6.已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2＋2m －3＝0的一个根为0,则m 的值为( )A.1B.－3C.1和－3D.不等于1的任何数7.已知2y 2＋y －2的值为3，则4y 2＋2y ＋1值为（ ）A ．10 B.11 C.10或11 D.3或18. 已知32+是方程x 2－4x ＋C ＝0的一个根，求方程的另一个根及C 的值.9、当m 为何值时，一元二次方程()()033222=-+-+m x m x 有两个不相等的实数根?10如图，在scm B AB A p ，B ，ABC 190以向点开始沿边从点点中︒=∠∆的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以scm 2的速度移动。
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件9
例2把 x2 2x 15分解因式;
解: 原式 (x+3)(x-5)
x
3
x
-5
-5x+3x=-2x
例3把a2 7a 10分解因式;
解:原式= (a+5) (a+2)
a
5
a
2
5a+2a=7a
练习一选择题:
1. 分解a 2 a 12的结果为( B )
即x1 0，x2 1.
1.解下列方程： .
(2)x2 2 3x 0, 提公因式x(x 2 3) 0， 所以有x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3x2 6x 3, 移项，得：3x2 6x 3 0， 提公因式得：3(x2 2x 1) 0， 所以3(x 1)2 0， 有(x 1)2 0， 所以x1 x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
x2=a (a≥0)或 （mx+n)2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
我思 我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C)
数学九年级北师大版第二章回顾与思考演示文稿 (共18张PPT)
B
C
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(4) 你能根据所学过的知识求出花圃的最大面积吗？此
时，篱笆该怎样围？
(5) 如果想在花圃中栽种两种不同的蝴蝶花，需要在花
圃中再加一道篱笆，若不想改变篱笆的总长度，那么，
此时花圃的最大面积会是多少，篱笆该怎样围？
第四环节：巩固提高
1、新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 8:22:57 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班
共送了1640张照片，如果设全班有x名学生，则根据题
意，可列方程( ) A.x(x+1)=1640 B
B. x(x－1)=1640
C.2x(x+1)=1640
D.x(x－1)=2×1640
第四环节：巩固提高
5、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批 商品，若每件商品售价为x元，则每天可卖出 (350－10x)件，但物价局限定每件商品加价不 能超过进价的20%，商店要想每天赚400元，需 要卖出多少件商品？每件商品的售价应定为多 少元？ 6、用一块面积为888cm2的矩形材料做一个无 盖的长方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽为 高的2倍，盒子的宽和高应为多少？
一元二次方程回顾与思考(二)演示文稿(1)
例题分析 例3、已知2+ 3 是方程x2-4x+c=0的一个根， 求方程的另一个根及c的值。
解法一：把x=2+ 3 代入得： (2+ 3 )2-4(2+ 3 )+c=0 解得：c=1 把c=1代入方程得x2-4x+1=0
解得：x1=2+ 3
x2=2- 3
3
所以另一个根是2-
，c的值是1
例题分析 例3、已知2+ 3 是方程x2-4x+c=0的一个根， 求方程的另一个根及c的值。
解法二：设另一个根为x2,则 (2+
3 )+x2=4
∴x=2- 3
又（2+ 3 ∴c=1 ）（2-
3 ）=c
巩固练习 2、已知方程3x2+2x-1=0的两根为x1,x2 求下列各式的值：
（1）x12+x22
(3)x1/x2+x2/x1
(2)x1x2-x1-x2-1
专题三 二次三项式ax2+bx+c的分解因式 (公式法）
第二章 一元二次方程 回顾与思考(二)
德安二中 黄敬春
专题一 一元二次方程根的判别式
知识点
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式:
△=b2-4ac
(1) △＞0 (2) △=0 (3) △＜0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
例题分析 例1、如果关于x的一元二次方程kx2-4x+4=0 有两个不相等的实数根，那么k的取 值范围是（ C ) (A) k＜ 1 (B) k≠ 0 (C)k＜ 1且k≠ 0 (D)k＞1
巩固练习
1、如果关于x的一元二次方程 （x-2)(x-3)=m有两个不相等的实数根， m＞-1/4 那么k的取值范围是____________.
《一元二次方程的应用》PPT(第2课时)
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6000 (1 x)2 3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产 品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量， 成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变 化状况．
(60－x－40)
100＋x×20 2
＝2
240，
化简，得 x2－10x＋24＝0，
解得 x1＝4，x2＝6； 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽 可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，此时，售
价为 60－6＝54(元)，5640×100%＝90%.
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生 产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元），
2．某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是
ห้องสมุดไป่ตู้___a_(_1_-x_)__．2016年的产量将是___a_(1___x_)_2_．
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后：
变化后的量 = 变化前的量 1 x2
乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）．
一元二次方程 小结与思考 (2)
课题：一元二次方程 小结与思考【学习目标】1．理解一元二次方程的概念，能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根．理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题．进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型并能够利用一元二次方程解决有关的实际问题。
2．经历解一元二次方程以及在具体的问题情境中建立方程模型的过程进一步发展学生应用数学的能力,在熟练掌握基础知识中体验建立一元二次方程数学模型的重要性，并运用这样的数学模型去解决生活中的实际问题。
3．通过本章内容的回顾与思考让学生在学习的过程中获得成功的体验，发展学生应用数学的意识并培养归纳、总结以及语言表达能力增强学生学习数学的自信心。
【重点难点】教学重点： 1.一元二次方程的概念及四种解法；2.列一元二次方程解决实际问题。
.教学难点：建立相关知识体系明确知识间的联系【课前预习】1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是（4）因式分解法：3. 一元二次方程根的判别式：其规律是：4． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .【课堂追踪】一、出示教学目标二、复习过程（一）一元二次方程定义由一名学生解读课前预习1后口答下面两题。
(以下两题由各有一名学生口答，其他学生纠错)例题1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A 、2x ＋1＝0 B 、y 2＋x ＝1 C 、x 2＋1＝0 D 、 例题2. 关于x 的方程(m -2)x m2-2+3x-7=0 是一元二次方程，求m 的值。
一元二次方程小结
第二十一章小结与复习一、内容和内容解析1.内容对本章内容进行梳理总结,建立知识体系，综合应用本章知识解决问题.2.内容解析在学习全章有关知识的基础上，分两课时对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，并综合应用本章知识解决问题。
第一课时着重对本章内容进行梳理总结，建立知识体系；第二课时综合应用本章知识解决问题。
本节课设计的是第一节内容.从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。
选择适当的方法将“二次”降为“一次”是本章学习的另一条主线。
一元二次方程是本套初中数学教科书所学习的最后一种方程，对本章学习的小结也有对方程的学习进行总结的作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：从两条主线上对本章内容进行梳理总结，建立知识体系.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握一元二次方程的解法，体会一般到特殊的思想方法。
提高数学的应用意识，培养以一元二次方程为模型解决实际问题的能力。
（2）复习本章的重点内容，整理本章知识，形成有关方程的知识体系，体会化归思想。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：明确一元二次方程的降次思想，能根据一元二次方程的特点选择恰当方法解方程。
能说出方程化归过程中各步骤的依据。
能够在具体的问题情境中建立一元二次方程数学模型，运用一元二次方程解决问题。
达成目标（2）的标志是：知道方程的主要学习内容是方程的概念、解法和应用，形成有关方程的知识体系。
以一元二次方程为重点，回顾比较前面已经学习过的其他整式方程、分式方程的解题思想和化归过程，进一步体会解方程的过程是将高次化低次、分式化整式、多元化归为一元，最终使方程变形为x=a的形式，这是解方程的基本指导思想。
结合具体问题，能够通过列方程将实际问题转化为数学问题，通过解方程得到数学问题的解，通过检验得到实际问题的解，从而加深对本章知识结构图的理解。
三、教学问题诊断分析学生在本章之前学习过一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程，解一元二次方程提出了新的解题思想——降次。
第22章 一元二次方程回顾与思考(含答案)-
①②第二十二章 一元二次方程回顾与思考◆热点透析【例1】一个小球以5cm/s 的速度向前滚动，满足s=v 0t+12at 2，v 1－v 0=at ，因受阻力影响速度减慢，滚动10m 后，小球停下来，此时v t =0m/s ．（1）小球滚动了多长时间？（2）平均每秒小球减慢的速度是多少？（3）小球滚动7.5m 时，用了多长时间？ 解：（1）由s=v 0t+12at 2，v 1－v 0=at ，得：s=v 0t+12（v 1－v 0）t ， ∵v 0=5m/s ，v 1=0m/s ，∴10=5t+12（0－5）t ，∴t=4（s ）； （2）t=4时，s=v 0t+12at 2得10=5×4+12a ×42， ∴a=－1.25（m/s 2）；（3）将s=7.5，s=v 0t+12at 2得7.5=5t+12（－1.25）t 2， 方程化为t 2－8t+12=0，t 1=2，t 2=6（不合题意，舍去）．答：（1）小球滚动了4s ；（2）平均每秒减慢的速度为1.25m/s ；（3）小球滚动到7.5m 时用了2s ．【例2】当m>2，n>2时判断关于x 的方程x 2－（m+n ）x+mn=0与x 2－mn+（m+n ）=0有没有公共根？请说明理由。
分析：设有公共根，把它代入方程解出是否符合题意．解：设有公共根，则有200200()0()0x m n x mn x mnx m n ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩ ①－② （x 0+1）（m+n －mn ）=0．∵m>2，n>2，∴m+n ≠mn ，∴x 0=－1．把x 0=－1代入方程①得1+m+n+mn=0，不合题意，∴关于x 的方程没有公共根．点拨：代入后把方程的根求出来，还要检查是否符合题意．【例3】把长为36cm 的铁丝剪成相等的两段，用一段弯成一个矩形，•另一段弯成一个有一条边长为5cm 的等腰三角形，如果矩形的面积号等腰三角形的面积相等，求矩形相邻两边的长．解：（1）如图所示，当5cm 为等腰三角形的一条腰长时，等腰三角形底边上的高为．设矩形的长为xcm ，则宽为1822x -cm ，x （1822x -）=12×8×3，整理得x 2－9x+12=0，解得x=92．经检验x=92±都符合题意．当x=92+时，宽为1822x -=9－x=92-，当时，宽为1822x -=9－ （2）如图所示，当5cm 为等腰三角形的底边长时，等腰三角形底边上的高为．设矩形的长xcm ，则宽为1822x -cm ，x （1822x -）=12×5×6，整理得x 2－9x+15=0，解得经检验x=92±都符合题意．当x=92+时，宽为92cm ，当x=92时，宽为cm 92+．答：矩形的边长分别为92+cm 和92cm 或92+cm 和92cm ． ◆基础闯关1．填上适当的数使等式成立：x 2+4x+______=（x______）．2．（2006，内蒙古）一元二次方程3x 2=2x 的根是________．3．若关于x 的一元二次方程x 2－3x+m=0有实数根，则m 的取值范围是______．4．已知方程3x 2－9x+m=0的一个根是1，则m 的值是_______．5．已知关于x 的方程x 2－（a+2）x+a －2b=0的判别式等于0，且x=12是方程的根，则a+b 的值为________．6．方程x 2+2x －3=0的解是（ ）．A ．x=1，x=3B ．x=1，x=－3C ．x=－1，x=3D ．x=－1，x=－37．已知关于x 的方程x 2－（2k －1）x+k 2=0有两个不相等的实数根，那么k 的最大整数值是（ ）．A ．－2B ．－1C ．0D ．18．某地2004年外贸收入为2.5亿元，2006年外贸收入达到了4亿元．若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为（ ）．A ．2.5（1+x ）2=4B ．（2.5+x%）2=4C ．2.5（1+x ）（1+2x ）=4D ．2.5（1+x%）2=49．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k •的取值范围是（ ）．A ．k>－1B ．k>1C ．k ≠0D ．k>－1且k ≠010．若t 是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根，则判别式△=b 2－4ac 和完全平方式M=（2at+b ）2的关系（ ）．A．△=M B．△>M C．△<M D．大小关系不能确定◆能力确定11．（1）解方程：x2+2x=2；（2）用换元法解方程：x2－x+1=26x x．12．A、B两地的路程是12km，甲从A地出发步行前往B地，20min后，乙从B地出发骑自车前往A地，乙到达A地后停留了40min，然后按原路以原来速度骑车返回，结果甲、乙两人同时到达B地．如果乙骑车比甲步行每小时多走8km，求甲、乙两人的速度．13．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价，标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件，问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？◆探究实践14．一次函数y=x+b与反比例函数y=3kx图象的交点为A（m，n），且m、n（m<n）•是关于x的一元二次方程kx2+（2k－7）x+k+3=0的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m、•n为常数．（1）求k的值；（2）求交点坐标与一次函数的解析式．答案:1．4，2 2．x1=0，x2=233．m≤944．6 5．－1386．B 7．C 8．A 9．D 10．A11．（1）x1=－x2=－1（2）x1=2，x2=－1 12．甲的速度是4km/h，乙的速度是12km/h13．（1）155，200 （2）10，490014．（1）k=1 （2）A（1，4）一次函数的解析式y=x+3．。
第二章回顾与思考课件2024--2025学年北师大版九年级数学上册
4
4
解得 x1= 28 + 4 51 > 5（6 舍去），x2=
28 - 4 51 < （0 舍去）．
∴这两个正方形的面积之和不可能等于200cm2．
12. 解方程 (x -1)2-5(x-1) + 4 = 0 时，我们可以将 x-1 看成一个整体，
设x-1 = y，则原方程可化为 y2- 5y + 4 = 0，解得 y1 = 1，y2 = 4. 当 y = 1时，即 x-1=1，解得 x = 2; 当 y = 4 时，即 x-1= 4，解得 x =
解: 设应多种 x 棵桃树．
则有 (100+x)(1000－2x) 1000×100(1+15.2％),
解得 x1 = 380(舍去)，x2 = 20． 所以，要使产量增加 15.2％，应多种 20 棵桃树．
17. 一个直角三角形的斜边长 7 cm，一条直角边比另 一条直角边长 1 cm，求两条直角边的长度. 设一条直角边为 x cm，另一条直角边是 x − 1 cm. x2 + (x − 1)2 = 72
m 需要多长时间？
解:当 S = 10t + 3t2 = 200时，t1= −10(舍去)，t2=
20 ． 3
所以，行驶 200m 需 20 s． 3
15. 如图，在一块长 92 m、宽 60 m 的矩形耕地上挖三条水 渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个矩形小块，水渠应挖多宽？
2a
2
x1= 5 3 x2 = 5 3
[(x+1)− 2][(x+1)− 1]=0
(x+1)− 2=0(x+1)− 1=0
北师大版九年级上册数学一元二次方程回顾与思考课件
【必知点】利用配方法解一元二次方程的步骤 （1）把方程中含有未知数的项移到方程的左 边，常数项移到方程的右边； （2）把二次项系数化为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平 方，使左边配成一个完全平方式，右边是常数 ； （4）如果方程的右边是一个非负数，就用直 接开平方法求出它的解；如果方程右边是一个 负数，那么这个方程无解． 也可以利用完全平方公式把一元二次(x 方a)2程 b化 0成
中考总复习
活动一：问题导引
1、你会解下面的方程吗？你有几种方法解？ x2 = 10x - 9
2、“一元二次方程”给你留下什么？
活动一：问题导引
考点
课标要求
难度
一元二次 1．理解一元二次方程的概念；
方程的概 2．知道一元二次方程的一般情势；
容易
念 3．会把一元二次方程化为一般情势.
一元二次 会用直接开平方法、因式分解法、配方法求解 中等
4．（202X山东东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环情势（每两队
之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ C ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
5．（202X湖南衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128
元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意
活动四：拓展延伸
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻， 使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.
若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
活动五：总结反馈
你今天有什么收获？
1.一元二次方程的概念： 2.一元二次方程的解法 （1）列举解法： （2）解法比较： 3.用一元二次方程解决问题 (1)解决问题的思路： （2）列一元二次方程解决问题的步骤：
24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
解一元二次方程PPT课件
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x 3 2 3x
2
2
解： 原方程化为：x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
x1 x2 0
结论：当 相等的实数根.
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 2 4ac 0
2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
练习:
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
一元二次方程(配方法)PPT课件
小结
拓展
回味无穷
本节课复习了哪些旧知识呢？ 会见了两个“老朋友”: 如果x2=a,那么x= a . 平方根的意义: 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 学习了用配方法解一元二次方程: 1.移项:把常数项移到方程的左边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 3.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 4.开方:方程左分解因式,右边合并同类; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解. 想一想,有没有便捷的方法去求方程中的未知数呢?
解方程 (2) x2=4.
解方程 (3) (x+2)2=5. 解方程 (4) x2+12x+36=5. 解方程 (5) x2+12x= -31.
做一做
☞
配方法
解方程 (7) x2+8x-9=0.
解 : 7 .x 2 8 x 9 0. 1.移项:把常数项移到方程的左边; x 2 8 x 9. 2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一 x 2 8 x 4 2 9 4 2. 半的平方; 2 x 4 25. 3.变形:方程左分解因式,右边合并同类; x 4 5. 4.开方:方程左分解因式,右边合并同类; x 4 5. 5.求解:解一元一次方程; x1 1, 6.定解:写出原方程的解. x2 9. 我们通过配成完全平方式的方法,得到
解下列方程:
1.x2 –
2 = 0; 2.16x2 – 25 = 0; 3.(x + 1)2 – 4 = 0; 4.12(2 - x)2 - 9 = 0; 5.x2-144=0 ; 6. y2-7=0; 7.x2+5=0 ; 8.(x + 3)2 = 2; 9.(x+3)² =6 ;
第22章 一元二次方程 复习和小结 华师大版数学九年级上册课件
为响应“美丽广西清洁乡村”的号召，某校开展“美丽广西清 洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积 为 498 m2，绿化 150 m2 后，为了更快地完成该项绿化工作， 将每天的工作量提高为原来的1.2 倍。结果一共用 20 天完成了 该项绿化工作。 (1)该项绿化工作原计划每天完成多少 m2？ (2)在绿化工作中有一块面积为 170 m2 的矩形场地，矩形的长 比宽的 2 倍少 3 m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？
1
3
解：(1)当 t = 4 时，l = 2×42 + 2×4 = 14 (cm).
答：甲运动 4s 后的路程是 14 cm.
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
(2)解：设它们运动了 m s 后第一次相遇，根据题意，得：
第22章 一元二次方程
复习和小结
知识构架
设未知数
数学问题
一
实际问题
ax2 bx c 0a 0
元
列方程
二
解 配方法
次
方
方 程
程 公式法
的
分解因式法
根
实际问题的答案 检 验 数学问题的解
回顾与思考
1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知 数的个数与次数。你能写出各种方程的一般形式吗？ 所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程 和二元一次方程．
两点分别从直径的两端点 A，B 以顺时针、逆时针的方
向同时沿圆周运动。甲运动的路程 l (cm) 与时间 t (s) 满 足关系：l = 1 t2 + 3 t (t≥0)，乙以 4 cm/s的速度匀速运动，
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回顾与思考：一元二次方程小结
回顾与复习 1
一元二次方程的概念
方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程，并且都可
以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称
为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ，
3、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为
( D)
A.(x+4)2=7
B.(x+4)2=－9
C.(x+4)2=25
D.(x+4)2=－7
回顾与复习 2
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
x1 a,x2 a
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
回顾与复习 3 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b2 4ac 0时, 方程有两个不相等的实数根
__-6_y__,常数项是__4___
2.下面是某同学在一次数学测验中解答
的填空题，其中答对的是（ C ）
A、若x2=4，则x=2
B、若3x2=6x，则x=2
C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
x2 3x 2
D、若 x 2 的值为零，则x 2
按要求解下列方程：
1.因式分解法： 3 x 22 x x 2
解5x 2 x 5 0
方程要先化 为一般形式
b 2 4ac 12 4 5 5 再 求10判1 别0式
原方程有两个不相等的 实数根
2.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根 b2 4ac
C.没有实数根
b2 4ac 0
D.根的情况无法
3. 关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。
解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别
称为二次项系数和一次项系数．
第二环节 基础知识重现
1、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，
当m ≠±1 时，是一元二次方程；
x m2 1
当m =-1 时，是一元一次方程.
2、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式
是 (x－1)2=3；此方程的根是 x 1 3 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数字与方程
2. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位 数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 :设这两位数的个位数字为x,根据题意,得
x2 10x 3 x.
整理得x2 11x 30 0.
解得x1 5, x2 6. x 3 5 3 2,或x 3 6 3 3. 答 : 这个两位数为25,或36.
当b2 4ac 0时, 方程有两个相等的实数根 :
当b2 4ac 0时, 方程没有实数根
我们把代数式b2 4ac叫做方程ax2 bx c 0a 0的
根的判别式.用""来表示.即 b2 4ac.
1.不解方程,判别方程 5 x2 1 x 0
的根的情况______________
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (2x－5)2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
1.关于y的一元二次方程2y(y-3)=
-4的一般形式是_2_y_2_-6_y_+__4_=_0_,它
的二次项系数是__2___,一次项是
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
回顾与复习 4
解应用题
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是:找出相等关系.
2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
2.配方法： 2x2 5x 3 0
3.公式法：1 x2 x 1
2 y 1 y 1 2 2 y
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有 没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它 去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成( x + m ) 2 = a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
快乐学习 1
数字与方程
• 1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
解 : 设较小的数为x,根据题意,得
xx 4 45.
整理得x2 4x 45 0.
解得x1 5, x2 9. x 4 5 4 9,或x 4 9 4 5.
答 : 这两个数为5,9或 9,5.
快乐学习 2