cxs第21章《二次根式》复习
21章 二次根式复习要点
第21章 二次根式1.二次根式概念理解：一个数可以进行平方运算，3的平方=9；反过来可以进行开平方运算,9开平方得±3，我们用式子表示为39±=±，它表示9的平方根是±3，这里我们引用了一个符号根号。
a 这个式子我们称为二次根式，a 叫被开方数。
因为只有非负数才有平方根，即非负数才能开方，所以0≥a 。
注意：被开方数既可以是单项式，也可以是多项式．．．。
a 表示非负数的算术平方根，则有0≥a若3)3(2-=-a a ，则a 的取值范围是3-a ≥0，解得a ≥3 2.二次根式的性质（用来对式子进行化简）：①一个非负数．．．先开方，再平方得本身()a a =2 ②一个数．先平方，再开方取绝对值a a =2 3.二次根式的乘法：①根号不变，被开方数相乘，再化简．．．。
不能被平方数整除，则不能化简。
如：22能分成2×11 但2和11都不是平方数。
6。
32分成16×2，不能分成4×8平方数的开方： 981416,39,24==== 非平方数的开方：5220,2318,3212===，被开方数能分成4的多少倍，结果2倍根号多少。
以此类推，如45，45分成9的5倍，得534.二次根式的除法:如5315315==，也可以5335315=⨯=（1）分母是平方数，分子分母分别开方，再化简。
3294=，5112511=，22422168== （2）分母不是平方数，先约分，再把分母变成最小平方数．．．．．。
分子分母分别开方。
642666767=⨯⨯=，410282585=⨯⨯=，2747814== ③分母中有根号的化简：先约分．．．，把分母根号里的数变成最小平方数．．．．．，再开方。
335333535=⨯⨯=，10625023503=⨯⨯=, 363332322416=⨯⨯== ()()()()()2532532525253253+=+=+-+=-6.二次根式的加减。
第21章 二次根式单元复习
4．设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c)
2
2 2
2
5．若 a ( a ) ，则a的取值范围是（） a Ａ． 0 Ｂ．a 0 Ｃ． 0 Ｄ．a 为任意数 a
6．若
x 1
求
y 1 0
2
x y
2
2
的值
2
7． 求下列各式的值 （１）( 3)
2 2 2 2 , 3 3
3 3 3 3 8 8
4 4 4 4 , 15 15
5 5 5 5 24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
必做题：随堂优化
P6-7 第二课时
7． 求下列各式的值 （１）( 3)
D )
D.-1
6．若 a ( a ) ，则a的取值范围是（） a Ａ． 0 Ｂ．a 0 Ｃ． 0 Ｄ．a 为任意数 a
2 2
7. 若 ( x 7) 2 x 7, 则x的
取值范围是：_________
8．在实数范围内分解因式 4
（１）
x 9
2
（２）
x 2 3x 3
二 次 根 式
三个性质
两个公式
四种运算
例5:二次根式的性质的应用.
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得 5.已知x,y为实数,且
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( x 1 A.3 B.-3 C.1
第21章 二次根式 复习课件
1．二次根式的概念 一般地，形如
a
(a≥0)的式子叫做二次根式；
(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数． (2) a是非负数，即 a≥0. [易错点] (1)二次根式中， 被开方数一定是非负数， 否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
a a>0， 0 a＝0， -a a<0.
(a≥0，b>0)．
4.二次根式的非负性
二次根式 a的两个非负特性： ① a 0 ；② a 0
方法技巧
初中阶
若干个非负数的和为 0， 那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一．
2．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含 分母 (2)被开方数中不含能 3．二次根式的性质 ；
开得尽方
的因数或因式．
( a)2＝
a
a· b＝
ab
2 (a≥0) ； a ＝a＝ a a (a≥0，b≥0)； = b b
5．二次根式的运算 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ， 再将
被开方数相同
的二次根式进行合并．
课堂小结
【针对训练 】
1．若 a、b 为实数，且满足│a－2│＋ －b2＝0，则 b－a 的值 为( C ) A．2 C．－2 B．0 D．± 2
0 2．化简： x－2－ 2－x＝________.
6．化简： 1－ 2 .
2
7．计算：
第二十一章二次根式课件复习
三、二次根式的加减
二次根式的加减法的一般步骤： 最简二次 首先将每个二次根式化为_______根式, 其次找出其中_________ 同类二次根式 同类二次根式 最后合并_________
课后反思及感悟
1.你知道使二次根式有意义的条件吗? 被开方数是非负数,而分母不为0 ________________________
被开方数的取值范围 2.利用二次根式的性质解题需要注意什么? ____________________
3.二次根式的加减运算过程中应注意什么? 不是同类二次根式不能合并 ____________________
第二十一章 二次根式
复习目标： 1.理解二次根式的概念,了解被开方数必 须是非负数 的理由； 2.理解二次根式加减乘除运算法则，会用它们进行 有关实数的简单四则运算； 3.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字 母的取值问题； 4.能灵活应用二次根式的性质,通过二次根式的计算 提高逻辑思维能力与运算能力。
一、二次根式的概念及性质 • ①形如说 a a ≥0 ）的式子叫做二次根式。 （ • ②当a ≥0时， • ③
二、二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则 a × ②二次根式的除法法则
பைடு நூலகம்a b
b =____ (a≥0,b≥0) ab
ab =____ (a≥0, b＞0)
③我们规定在二次根式运算中，最后结果要符合如下两个特点： 分母 （1）被开方数不含_____； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
第21章 二次根式复习
第21章 二次根式复习【学习目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【学习过程】 一、梳理知识1. 二次根式的有关概念（1）式子a （a ≥0）叫做， ，（a 与a 必是非负数）. （2）最简二次根式的条件是 和 . （3） _______________ 叫做同类二次根式. （4） _________________叫做分母有理化. 2. 二次根式的性质：（1）若a ≥0，则=2)(a . （2）==a a 20).(a )0(a <≥．（3）a ab =·b 成立的条件是 . （4）bab a =，则a ，b . 3. 二次根式的运算：（1）二次根式加减法的步骤是 ，后合并 . （2）二次根式乘法的运算公式是 .（3）二次根式的除法通常把算式写成公式的形式，通过分母有理化进行运算，有时也可约分或利用公式 运算.二、例题例1． x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(1)32x x -+-；2(2)1x x-；(3)22x x +-；2(4)3x x +.例2．已知,m n 为实数，且满足229943n n m n -+-+=-，求63m n -的值.三、课堂练习 1．选择题： （1）()22,a a a =--2的取值范围是（ ）A ．a≤2B ．a≥2C ．a≠2D ．a ＜2 （2）当2x <-时，()22x +等于（ ）A ．x+2B ．－x －2C ．－x+2D ．x －2 （3）化简()()22(0)x a x a x a -++<<等于（ ）A ．2xB ．2aC ．－2xD ．－2a （4）把根号外面的因式移入根号内，1m m-=（ ） A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - （5）若021x <<+，则()2221x x ++--等于（ ）A ．221--B ．21x -C ．221+D ．221- 2．填空题： (1) 若45x x --有意义，则x 的取值范围是 . （2）若21a a =-，则a 的取值范围是 .（3）化简31a a-= . （4）若2132n m n -+与6是同类最简二次根式，则n = ，m = . （5）化简()2230,0a b a b ><= .（6）若0,0a b ><，则2a b -= .（7）若5260,x x y -+++=则31x y +-= . （8）若12x <<，则()()2221x x ---= .（9）化简()()2244(0)xy x y x y -->>= .3.求112011a a a ---+的值.5.已知1212,22x y -+==，求2222x y xy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值.6．x 是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？7．把下列各式化成最简二次根式：（字母都取正数）课外知识1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A ．2x 与2yB ．3489a b 与5892a b C ．mn 与n D ．m n +与m n +* 2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1－22x x +与x+1+22x x +就是互为有理化因式；x 与1x也是互为有理化因式． 练习：2+3的有理化因式是________； x －y 的有理化因式是_________． －1x +－1x -的有理化因式是_______．* 3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的． 练习：把下列各式的分母有理化 （1）151-； （2）1123+； （3）262-； （4）33423342+-．4．其它材料：如果n 是任意正整数，那么21nn n +-=n 21n n -理由：21n n n +-=332211n n n n n n -+=--=n 21n n - 练习：填空223=_______；338=________；4415=_______．5.化简：（1）x y x y-+ （2）321a a a ---⑶ 2211a a a a ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑷2a b a b ab a b a b -+----6*. 已知：()()2232,32x y =+=-，求32432232x xy x y x y x y-++的值.7．当x=121-时，求2211x x x x x x ++++-++2211x x xx x x+-++++的值．（结果用最简二次根式表示）*8．计算：（1）5223335631+-++-；（2）2111111xx x⎛⎫⎛⎫+-÷+⎪⎪+⎝⎭-⎝⎭。
第二十一章二次根式 辅导讲义
求：（1） ；（2） ；（3）你会算 吗？
6．当x= 时，求 + 的值．（结果用最简二次根式表示）
教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差○没做作业
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：
家长签字：___________
4．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ ）2，5=（ ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
（ -1）2=（ ）2-2·1· +12=2-2 +1=3-2
反之，3-2 =2-2 +1=（ -1）2
例2．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2） × =4× × =4 × =4 =8
例3．已知 ，且x为偶数，求（1+x） 的值．
例4．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
= = -1，
= = - ，
同理可得： = - ，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
A．13 B． C．10 D．5
4．（ -3 +2 ）× 的值是（）．
A． -3 B．3 - C．2 - D． -
5．计算（ + ）（ - ）的值是（）．
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
1．在 、 、 、 、 、3 、-2 中，与 是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5 -3 -7 +9 的最后结果是________．
第二十一章 二次根式(章节复习)
第二十一章 二次根式（章节复习）教学目标1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 3．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解a （a ≥0）是一个非负数，（a ）2=a （a ≥0），2a =a （a ≥0）．（3）掌握a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b ；a b=a b（a ≥0，b>0），a b=a b（a ≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．二次根式的计算与化简。
要求1、熟记8，12，18，20，24，28，32，40，48，50，54，60，72，98，108，128等二次根式的化简结果。
2、熟记形如1212－和＋，2323－与＋之间的倒数关系，看到形如231＋，要能够第一时间反应出来其结果是23－；3、遇到()()22b a b a +-或形式的二次根式，要十分清楚如何判断被开方出来的是a －b 还是b －a ，a ＋b 还是－a －b ；4、要十分熟悉二次根式加减乘除的运算规则及分母有理化的方法，如21＝22，()2232323＋＝－＋等。
一、 典型习题1、在下列各式12+a ，3-x ，4，()21-x ，231⎪⎭⎫⎝⎛-中，是二次根式的有（ ）2、已知－1≤a ≤1，下列各式21-a ，a11-，21a-，aa +-11中是二次根式的是（ ）3、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 。
4、式子()21--a 有意义，则a 的取值范围是 。
5、若032=-+-b a ，则=-b a 2。
6、若()211y x x x +=---，则x －y 的值为 。
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习【知识点】1.二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
2.平方根的性质：a) 对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a · √b。
b)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
c)对于任意非负实数a和b，有√a+√b≠√(a+b)。
d)对于任意非负实数a和b，有√a-√b≠√(a-b)。
e)在二次根式的分母中，不能包含含有根号的项。
3.二次根式的运算：a)二次根式的加减运算：将同类项相加减，并化简。
b)二次根式的乘除运算：将二次根式的底数进行乘除运算，并化简。
c)二次根式的化简：将二次根式的底数分解质因数，并化简。
4.二次根式的画线运算：对于二次根式的运算式，可以使用欧拉公式或有理化等方法，将二次根式的运算式写成一般的数学运算表达式。
【练习题】1.计算下列二次根式的值：a)√9b)√(5+3)c)√(12+2√3-7√5)d)√(15-7√2+8√3-14√6)2.化简下列二次根式：a)√(3+2√2)b)√32-√18c)√(6-4√3+2√6)d)√(√(8-3√5))3.将下列二次根式化简，并且写成最简形式：a)√(6√2-3√18)b)√(5+2√3-√(8-2√5))c)√(10-4√6+√(24-10√6))d)√(6+√(8-4√3+3√(4-2√3)))4.计算下列二次根式的值：a)(√3+√2)²b)(√5-√3)·(√5+√3)c)(√2+√3)²-2√6d)(√5+√6)²+2√305.给出二次根式的运算结果：a)(√2+2)²b)(√(3-2√2)+√(3+2√2))²c)(√(8-4√3)-√(6-2√3))²d)(√(12-4√5)+√(3-2√5))²。
第二十一章 二次根式 复习资料2
21437⎪⎭⎫ ⎝⎛-x-181第二十一章 二次根式 复习资料2知识点1．二次根式的定义：形如a (0≥a )的式子为二次根式 1、下列式子中二次根式的个数有（ ） ⑴13；⑵3-；⑶21x -+；⑷38 ；⑸21()3-；⑹1(1)x x ->A ：2个B ：3个C ：4个D ：5个 判断的条件：1、含“”，2、被开方数0≥a2、 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D.a b3、当__________x 时，()21x -是二次根式。
当__________x 时， 是二次根式。
知识点2．二次根式的性质（1）a ≥0（0≥a ）具有双重非负性； 题型1：利用 0≥a 考查有无意义4、（1）当x 时，31x -在实数范围内有意义。
（2）当x 时， 在实数范围内有意义。
（3）当x 时， 在实数范围内有意义。
5、函数y=xx -+21中，自变量x 的取值范围是（ ）A 、x ≥－1B 、－1≤x ≤2C 、－1≤x ＜2D 、x ＜26．已知y=2x -+2x -+5，求x y的值．题型2：利用 a ≥0 考查非负性7．若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004= ． 8.若2440x y y y -+-+=，求x y = 9. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=。
10.当x= 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 .（2） ()()02≥=a a a ； 题型1：计算2(3)=__________ 2)32(=_________ =_________ 1xx-38x x ++-oba题型2：反向)0()(2≥=a a a分解因数11、 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=。
题型3：比较大小 12、比较大小：57______65--（填“＞”“＜”或“=” ）（3）2a =│a │=(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩； 或 2a =│a │=⎩⎨⎧≤-≥)0()0(a a a a题型1：化简13、 化简：()2211x x x -+ 的结果是 。
第二十一章二次根式知识点及典型例题8k
形如()0≥a a 的式子叫做二次根式。
剖析：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以0≥a 是a 为二次根式的前提条件。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当0≥a 时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当0<a 时，a 没有意义。
知识点三：二次根式()0≥a a 的非负性()0≥a a 表示a 的算术平方根，也就是说，()0≥a a 是一个非负数，即。
剖析：因为二次根式()0≥a a 表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（0≥a ）的算术平方根是非负数，即，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若0=+b a ，则0,0==b a ；若0=+b a ，则0,0==b a ；若02=+b a ，则0,0==b a 。
知识点四：二次根式()2a 的性质()()02≥=a a a 自然语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
剖析：二次根式的性质公式()()02≥=a a a 是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若0≥a ，则()2a a =，如：()222=，22121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=. 知识点五：二次根式的性质()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a 自然语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
剖析：1、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即()02≥==a a a a ；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即()02<-==a a a a ；3、化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简。
第二十一章 二次根式复习(人教版)
第二十一章二次根式复习一、知识结构二、知识点归纳(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a(a≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数；②被开方数中．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的，叫做分母有理化。
(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫。
（二）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a aa aa aa aa b a b≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）⑴当0a≥2=；⑵当0a<2≠；（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
（20,0,0)a b a b=≥≥=≥>三、典型习题（一）二次根式的概念1．（06泸州）要使二次根式1-x有意义，字母x的取值必须满足的条件是2．（05福州）如果代数式1-xx有意义，那么x的取值范围是3．如果代数式mnm1+-有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在第象限4．（06北京）若0)1(32=++-nm，则m n+的值为。
5．（05荆门）已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋652+-yy＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.6．（丹阳）若x、y都是实数，且y=4x233x2+-+-，求xy的值为（二）最简二次根式的概念1．（02福州）下列二次根式中，2x、8、2x、1x2+、21、4、6、5、12、91、、、52yx、5.0、22x、a4、x1、a属于最简二次根式的是2．（03广西）把二次根式xyx（y＞0）化成最简二次根式为。
21章二次根式全章复习教案
21章二次根式全章复习复习目标1.能够熟练的进行二次根式的有关运算；2.能够熟练的应用二次根式的性质进行化简；3.能够熟练的应用二次根式的性质及有关运算，解决简单的实际问题。
知识梳理三个概念两个性质两个公式四种运算二次根式最简二次根式同类二次根式2、1、()()2≥=aaa==aa2()≤aa()≥aa自学指导自学内容：阅读课本第1页—第14页。
自学方法：独立看书，合作交流。
自学时间：10分钟。
自学要求：自学后完成复习检测。
复习检测练习1.要使3-x+12x-1有意义，则x应满足（）A 12≤x≤3Bx≤3或x≠12C (1/2)＜x＜3D (1/2)＜x≤32.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）。
A 27B12 C 8D a2+13.下列二次根式中，与127是同类二次根式的是（）4.A 29B12C23D184.若a+3+b-2+m-2()2=0，求a+b()m的值。
5.计算：baba=),(≥≥ba()0,0≥≥⋅=babaab1、2、加、减、乘、除及混合运算5-3()2-32-53()32+53()6.化简，求值.2a+2a-1÷a+1()+a 2-1a 2-2a+1，其中a=3+1展示点评第1题：考查代数式有意义的条件；第2题：考查最简二次根式的定义；第3题：考查同类二次根式的定义；第4题：考查二次根式的非负性；第5题：考查二次根式的运算与化简；第6题：考查二次根式的求值。
要点归纳1.二次根式具有双重非负性，是一种常见的隐含条件，这两个非负性在解二次根式的有关题目时经常用到。
2.在二次根式的混合运算中，熟练运用二次根式的乘除法则运算是关 键。
3.在有理数范围内学习的法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，二次根式运算的最终结果要化成最简二次根式。
强化训练1. 若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 。
2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. 0.2bB. 1212a b -C. 22x y -D. 25ab3. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A. 24 B. 12 C. 32 D. 184.把m m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ） 5．若433+-+-=x x y ，则=+y x 。
第21章《二次根式》复习
例1、计算
1 1 (1)2 18 18 32 2 4
1 (2)2 12 4 3 48 27 (3) a b ab a
2 2 2
b ab a
3、二次根式的混合运算 例2、计算
(1)( 48 50) 6
(2)(2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
3、已知x、y是实数，且
y
x 4 4 x 1 x2
2 2
求3x+4y的值。
三、二次根式的性质
1.( a ) a (a 0) ( a 0 ) a 2 2. a ( a 0 ) a
2
例3、计算
2 2 (1)( ) 3
1 2 (2)( 6) 2
2
第21章《二次根式》复习
一、二次根式的意义 二、典型例题
3 例1、找出下列各根式： 27
(4)
4
2
a 2a 1
2
1 2 a 1( a ) 2
a 2
中的二次根式。
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有
意义。
(1) 2 x 3
(2) 1 3x
3 (5) 2x 1
0
(3)(2 3)
(4)(3 x )
2
变式应用 1、式子
( a 1) a 1
2
成立的条件
是（ D ）
A.a 1 C .a 1
B.a 1 D.a 1
2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且
ac
，那么
c a ( a c b)
2
等于（ D ）
九年级数学上册 21 二次根式复习 新人教版
一、二次根式的意义
二、典型例题
例1、找出下列各根式：3 27
(4)
4 a2 2a1 2a1(a 1) 2
a2 2 中的二次根式。
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有 意义。
(1) 2x3 (2) 13x (3) (x5)2
(4) x2 1
(5) 3 2x 1
(6) 2 1 x
(1) 3a2b (2) 1.5ab (3) x2 y2 (4) a b
练习：把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12 (2) 48
(3) 125 (4) 800
(5) 3 2
(6) 1 8
(7) 3 3 5
(8) 0.4
(9) 3 24
(10) 1 2 1
(11) 3 2 5
五、二次根式的加减 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同，这几个二次根就叫 做同类二次根式 2、二次根式的加减
a ba b(a0,b0)
2、二次根式的乘法法则
a ba(b a0,b0)
例1、化简 (1) 1681 (2) 2000
例2、计算
(1) 21 7
(2)3 52 15
(3)4 15(1 5) 2
(4) 10x 101xy
变式应用
1、 x216 x4 x4成立的条
件是 x4 。
3、商的算术平方根的性质
(1)(3 24 5)2
(2 )2 (35 )2 (35 )
(3 )2 ( 3 5 )2 (2 3 5 )2 (4)3 (1)020(0351)02005
变式应用
1、比较 7 5与5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , 3 2
第21章《二次根式》复习小结
2
3
11.如图，有一艘船在点 O 处测得一小岛上的电视塔 A 在北偏西 600 的方向上，前进 20 海 里到达 B 处， 测得 A 在船的西北 方向， 问再向西航行 多少海里，船离电视塔最近？ 归纳： 这组题是本章知识的深化运用，有一定 的难度， 与实数， 有 理式，勾股定理等知识综合运用. (三)构建知识体系
2 2
3 4 ○ 5 32 ； ○ 3 2 5 3 3 2 5 3 归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次 根式化简与运算. 解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现. 1.若 4 5x 有意义，则 x 的取值范围是 . 2.下列各式中不是最简二次根式的是（ ） A. 7 B. 0.5 C. 3 D . 15 3.下列二次根式中，和 32 不是同类二次根式的是（ ） A. 8 B. 18 C. 28 D. 98 4.下列计算正确的是（ ） A. 8 2 2 B. 3 2 5 2 C. 3 3 D. 3 2 1 1 5.计算：○ (2 24 3 12) 6 ； 2 ○
课题：第 21 章《二次根式》复习小结 教学内容：第 21 章小结 知识 技能 教学 目标 重点 难点 教学 准备 过程 方法 1. 学生构建知识体系 2. 通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因. 3. 联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用.
1. 从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力. 2. 经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题. 重点：深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算． 难点：进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性 教师准备 学生准备 是否需要 课件 留白：ຫໍສະໝຸດ x x 成立的 x 3 x3
第二十一章 二次根式知识点总结及经典例题
第二十一章二次根式复习（1）：1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如, , 就是同类二次根式，因为=2 ，=3 ，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如与，a+ 与a- ，- 与+ ，互为有理化因式。
二次根式的性质：1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a ≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。
21.2 二次根式的乘除1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。
也称“积的算术平方根”。
它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。
第21章《二次根式》复习
x 2 0 解：依题意可得： 2 x 0
解得x=2 ∴原式=0 −0+4 −1=3.
感悟：善于挖掘题目中的隐含条件求得x的值是解题的突破口. 知识回顾 典例精析
课堂演练
课后训练
小
结
【课堂演练】
1．下列根式中不是最简二次根式的是（ B ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 2
a a b b
(a 0, b 0)
运算
a b ab(a 0, b 0)
a a (a 0, b 0) b b
2
(2
典例精析
0(a 0) ； a(a 0)
课后训练 小 结
知识回顾
课堂演练
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
二 次 根 式
135n 是整数∴n最小为15.
/
16.若实数x,y满足
x2 y 3
2
0, 则xy的值是_____．
【解析】由题意知x+2=0，y∴ xy 2 3. 答案：2 3
3 =0.则x=-2，y= 3 .
(3 12 2 1 48) 2 3. 3
【思路点拨】将括号内的各代数式化为最简二次根式 → 合并 → 除法 (或 除法 → 将各代数式化为最简二次根式 → 合并 )
/
【解析】 原式 (6 3 2 3 4 3) 2 3
2 2 2
2 2
2） 1 1
2
1 4 2
7 2
14 2
∴三角形的面积为 1 2 14
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x y
2y
2
xy . xy
把x 3 2, y 3 2代入上式，得
原式
3 2 3
2
3 2 3
2 2 2
3 6 . 2 2
22.(11分)已知直角三角形斜边长为 (2 6＋ 3)cm， 一直角边 长为 ( 6＋2 3)cm， 求这个直角三角形的面积． 【解析】在直角三角形中，根据勾股定理： 另一条直角边长为：
2 1 2 2. 2 1 2 1 1
2 1
重点知识一：二次根式的定义及性质 1.(2010·无锡中考)使 3x 1 有意义的x的取值范围是( (A)x＞ 1
3 (C)x≥ 1 3
)
(B)x＞- 1
3 (D)x≥- 1 3
1 【解析】选C.根式有意义需3x-1≥0,所以x≥ . 3
a b＝ ab(a 0， ·
b 0)、
a b
a (a 0，b 0) 两个法则，逆运用二次根式的乘 b
除法法则，结合二次根式的性质可将二次根式化为最简二次
根式(不含分母、不含开得尽方的因数或因式)，注意结果的
分母中不能含有根号.
【例2】(2009·乌鲁木齐中考)计算：
(3 12 2 1 48) 2 3. 3
21. 二次根式 复习
知识结构图
二 形如
a（a≥0）
次 根 式 的 最简二次根式 二次根式的乘除 积和商的算术平方根 二次根式的加减
二 次
的式子叫二次根式
根
式 的 混
二
次 根 式
二次根 式概念
a
（a≥0）是
化 简 与 运
非负数 二次根 式性质 （a≥0） ( a )2 a
合
运 算
（a≥0） a2 a
【解析】由数值转换机提供的计算“程序”可得算式
［
2
2
4］ 3 2 3 3
2 3 . 3
答案： 2 3
16.计算 32 1 2 5 的结果估计在(
2
)
(A)6至7之间
(C)8至9之间
2
(B)7至8之间
(D)9至10之间
2
【解析】选B. 32 1 2 5 32 1 10 4 10. ∵3＜ 10 ＜4,∴4+3＜4+ 10 ＜4+4.即7＜4+ 10 ＜8.
1 x2
D
2x
【解析】选C.二次根式的被开方数一定非负，由1＋x2>0可知
1 x 2 一定是二次根式.
4.(2010·荆门中考)若a、b为实数，且满足│a－2│+ b2 =0，则b－a的值为( (A)2 (C)-2 ) (B)0 (D)以上都不对
【解析】选C.根据非负性知a=2,b=0,则b－a=-2.
完成书本复习巩固的习题
( 1 1 ab ) .其中a 2 1, b 2. ab ba ab
【解析】原式=
2 . a b b
b a a b a b · a b b a ab
a 2 1, b 2 原式
2 2 1 2
5.二次根式 (A)-3
2 3 的值是(
) (C)9 (D)3
(B)3或-3
【解析】选D.
3
2
32 3.
8 x 8 x 6. 成立，则 x 5 x 5 取值范围是 __________ .
X
的
/
7.若a＜1，化简
a 1
重点知识三
二次根式的加减及其混合运算
首先要会二次根式的化简，能将一个二次根式
化为最简二次根式；其次要分清运算顺序，先乘方、再乘除， 最后加减，有括号的先算括号里面的；最后注意将结果化为 最简.在运算的过程中要能合理地利用运算律和乘法公式简化 运算.
【例3】(2010·湘潭中考)先化简，再求值：
x y , 其中x 2 1, y 2 1. y x y x x y
a 2 的形式 →
(D)1－x
【思路点拨】 x 2 2x 1 → 判断a的符号化简 【解析】选D.∵ ∴x-1<0.∴
x 2 2x 1
x 1
2
2
, x＜1.
x 2 2x 1
x 1
1 x.
重点知识二
二次根式的乘除及最简二次根式 二次根式的乘除主要涉及
17.(2010·三明中考)观察分析下列数据，寻找规律：0， 3，
6， 2 3， ……那么第10个数据应是________. 3，
【解析】第10个数据为 3 9＝3 3. 答案：3 3
/
重点知识三：二次根式的加减及其混合运算 18.化简：1）
18 8
B
D
2
2
【解析】选A. 不能合并.
2、3 都是最简二次根式，但被开方数不同，
11.下列计算中正确的是(
)
A
2 3 5 5 5 5 m b n · a m b n a 2 b 2 mn 3 · 4 2 3 16 4 3 4 3 2 2 3
【思路点拨】 先化简
→
再代入求值
.
x2 y2 x 2 y2 【解析】原式 xy x y xy x y xy(x y)
x y x y x y . xy x y xy
当x 2 1, y 2 1时， xy xy
2
1＝ (
)
(A)a-2
(B)2-a
(C)a
(D)-a
【解析】选D.根据公式 a 2 =|a|可知： a 12 1
＝|a-1|-1，由于a＜1，所以a－1＜0，
因此|a-1|-1＝(1－a)－1＝－a．
重点知识二：二次根式的乘除及最简二次根式
8.下列根式中不是最简二次根式的是(
)
1.验证下列各式，猜想下一个式子是什么？ 你能找到反映上述各式的规律吗？
1 2 3
2 2 2 3 3 3 3 8 4 4 4 15 2 3 3 8 4 15
n
n n 1
2
n
n n 1
2
n 2
5 5 4 5 5 24 24
试用学过的知识说 明你的猜想是正确 的。
32
0
1 2
2
2
【解析】原式= 18 9 3 6
2 3 32
32
0
1 2 .
3 2 1 2 1 |1 2 | 2 3 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1. 2 2
20.(11分)(2010·黄石中考)先化简，再求值:
【解析】由题意知 答案：0＜a≤1
1 a 0 解得0＜a≤1. ， a＞0
14.若实数x,y满足
x2 y 3
2
0, 则xy的值是_____．
【解析】由题意知x+2=0，y∴ xy 2 3. 答案：2 3
3 =0.则x=-2，y= 3 .
15.如图，它是个数值转换机，若输入的a值为 2，则输出的 结果应为________.
2.观察下列计算找出规律：
1 2 1， 2 1
1 1 3 2， 4 3， ............ 3 2 4 3 1 1 1 1 计算： ...... 4 3 2002 2001 2 1 3 2
2002 1.
A
2
B
6
C
8
D
10
【解析】选C.∵ 8 2 2. 9.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A
4a
B
a 4
C
a 4
D
a4
【解析】选C.最简二次根式中不含分母，没有能继续开方的 因数或因式.
10.下列运算错误的是(
)
2 3 6 · 2
A C
2 3 5 6 2 3
2 2. 2 2
21.(2010·东营中考)先化简，再求值：
（ 1 1 2y ） 2 , 其中x 3 2, y 3 2. 2 xy xy x 2xy y 1 1 2y ） 2 xy xy x 2xy y 2
2
（ 【解析】
x y x y x y · 2y x y x y
【思路点拨】将括号内的各代数式化为最简二次根式 → 合并 → 除法 (或 除法 → 将各代数式化为最简二次根式 → 合并 )
/
【解析】 原式 (6 3 2 3 4 3) 2 3
3 28 14 3 2 3 . 3 3 2
1 3 12 3 48 (或原式 2 3 2 3 2 3 1 14 3 2 .) 3 3
2.(2010·南通中考)若 取值范围是( (A)x≥-2 ) (B)x≠-2
1 在实数范围内有意义，则x的 3 6x
(C)x ﹤ 2
(D)x≠2
【解析】选C.由被开方数大于等于0，且分母不能为0，
得3-6x﹤0,x ﹤1 .
2
3.下列各式中，一定是二次根式的是(
)
A
7
B 3 m
C
B a D
C 4 2
6
【解析】选C.
2 3 5 10 15；