)第三部分考前一个月第一篇微专题训练——回归教材第13练等差数列、等比数列 Word版含答案

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2024届新高考数学热点突破复习等差数列及其前n项和

2A.
题型三等差数列的性质
角度一等差数列项的性质
例3 (1)[2023·江西鹰潭模拟]已知数列 an 满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
a1＋a3＋a5＝6，a2＋a4＋a6＝18，则a3＋a4＝( )
A．6
B．7
C．8
D．9
答案：C
(2)[2023·河南焦作模拟]已知数列 an 是等差数列，a5，a16是方程x2 －3x－21＝0的两根，则数列 an 的前20项和为( )
(3)[2023·河南开封模拟]已知公差为1的等差数列 an 中，a25＝a3a6，若an＝0，则n＝____7____．
解析：由 a25 ＝a3a6，有(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)⇒a1＝－6，从而an ＝－6＋(n － 1)×1＝n－7，
所以若an＝0时，得n＝7.
[针对训练]
＝_a_1_＋__(_n_－__1_)_d__.通项公式的推广：an＝am＋_(n__－__m_)_d_(n，
(2)
m∈N*)．前 n 项和
公
式
：
Sn
＝
__n_a_1_＋__n_n_－_2_1__d__
＝
na1＋an _____2_____
＝
___d2_n_2_＋___a_1_－__d2_.n
[澄清盲点误点]
【课标标准】 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元一次函数的关系．
[理清主干知识]
1．等差数列的概念
(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于

2024版高考数学总复习：等差数列教师用书

第二节等差数列考试要求：1．理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．一、教材概念·结论·性质重现1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．递推公式为：a n＋1－a n＝d(n∈N*)．注意定义中“从第2．等差数列的通项公式(1)首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．(2)若已知a k，公差是d，则这个等差数列的通项公式是a n＝a k＋(n－k)d．当d≠0时，等差数列通项公式可以看成关于3．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广公式：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝��−��−�(n≠m)．(2)若{a n}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2w，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a w(m，n，p，q，w∈N*)．(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．5．等差数列的前n项和公式及其性质(1)设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n2na1.(2)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(4)n为奇数时，S n＝na中(a中＝��+12)，S奇＝�+12a中，S偶＝�−12a中，所以S奇－S偶＝a中．n为偶数时，S偶－S奇＝� 2.数列{a n }是等差数列⇔数列的前n 项和公式S n ＝2n 2＋�1−2n ⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，所以当d ≠0时，等差数列前n 项和公式可以看成关于n 的二次函数，且常数项为0.1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×)(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则数列{a 3n }也是等差数列．(√)2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝()A．36B．72C．144D．288B 解析：因为a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2，所以d ＝32，所以S 9＝9×2＋9×82×32＝72.3．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为()A．1B．2C．3D．4B 解析：公差d ＝�13−�313−3＝2.4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是()A．d ＞875B．d ＜325C．875＜d ＜325D．875＜d ≤325D解析：由题意可得�10＞1，�9≤1，即125+9 ＞1，125+8 ≤1，解得875＜d ≤325.5．已知等差数列5，427，347，…，则前n 项和Sn ＝________．514(15n －n 2)解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋��−1d ＝114(75n －5n 2)＝514(15n －n 2)．考点1等差数列的基本量运算——基础性1．(多选题)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则下列选项正确的是()A．a 2＋a 3＝0B．a n ＝2n －5C．S n ＝n (n －4)D．d ＝－2ABC解析：由题意可知，�4=4�1+4×32=0，�5=�1+4 =5，解得�1=−3， =2.故a n ＝2n －5，S n ＝n 2－4n .故选ABC．2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝()A．－12B．－10C．10D．12B 解析：设等差数列{an }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得33�1＝2a 1＋4a 1，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.3．(2022·全国乙卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若2S 3＝3S 2＋6，则公差d ＝________．2解析：因为2S 3＝3S 2＋6，所以2(a 1＋a 2＋a 3)＝3(a 1＋a 2)＋6，因为{a n }为等差数列，所以6a 2＝3a 1＋3a 2＋6，所以3(a 2－a 1)＝3d ＝6，解得d ＝2.将条件用a 1使结果不对．考点2等差数列的判断与证明——综合性(2022·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14��，b n ＝22��−1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝22��+1−1−22��−1＝2211−1−22��−1＝4��2��−1−22��−1＝2，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．又b 1＝22�1−1＝2，所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，所以2n ＝22��−1，解得a n ＝�+12�.(1)定义法：证明对任意正整数(2)等差中项法：证明对任意正整数已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：因为a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，所以a n ＝－2S n ·S n －1.又a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1(n ≥2)．又S n ≠0，因此1��−1��−1＝2(n ≥2)．是以1�1＝1�1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)解：由(1)知1��＝1�1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12�.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1又因为a 1＝12不适合上式，所以a n ＝12，�=1，−�≥2.考点3等差数列性质的应用——应用性考向1等差数列的项的性质(1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝6，则3a 2＋a 16的值为()A．24B．18C．16D．12D解析：由题意知a 3＋a 8＝2a 1＋9d ，3a 2＋a 16＝4a 1＋18d ＝2(a 3＋a 8)＝12.故选D．(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若�5�3＝59，则�9�5＝()A．1B．－1C．2D．12A解析：方法一：�9�5＝9�1+�95�1+�5＝9�55�3，因为�5�3＝59，所以�9�5＝1.故选A．方法二：因为�5�3＝59⇒�1+4 �1+2＝59⇒2a 1＝－13d ，所以�9�5＝9�1+�95�1+�5＝92�1+8 52�1+4＝9−5 5−9＝1.等差数列中最常用的性质(1)d ＝��−��−�.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .一个正项等差数列{a n }的前n 项和为3，前3n 项和为21，则前2n 项和为()A．18B．12C．10D．6C 解析：因为{a n }是等差数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，即2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )．因为S n ＝3，S 3n ＝21，所以2(S 2n －3)＝3＋21－S 2n ，解得S 2n ＝10.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m …成等差数列．(2)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)．(3)S 2n －1＝(2n －1)a n .1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25＝()A．1452B．145C．1752D．175D解析：因为2a 11＝a 9＋a 13＝a 9＋7，所以a 13＝7，所以S 25a 13＝175.故选D．2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝()A．7B．8C．9D．10B 解析：方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则10�1+10×92=1，30�1+30×292=5，解得 =1150，�1=7100，所以S 40＝7100×40＋40×392×1150＝8.故选B．方法二：设等差数列前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，由题意知100�+10�=1，900�+30�=5，解得�=1300，�=115.所以S n ＝�2300+�15，所以S 40＝8.故选B．方法三：由等差数列的性质知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，所以S 20＝S 10＋�303＝1＋53＝83.所以d ＝(S 20－S10)－S 10＝23，所以S 40－5＝1＋3×23＝3，所以S 40＝8.故选B．所以�1010，�2020，�3030，�4040，即110，�2020，16，�4040成等差数列，所以�4040＝16+16−1102＝15，所以S 40＝8.故选B．考点4等差数列前n 项和的最值——综合性记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝�1+��2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.1．等差数列{如果a 1＞0，如果a 1＜0，在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．−1，−解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得＜0，�8＞0，�9＜0，即＜0，7+7 ＞0，7+8 ＜0，解得－1＜d ＜－78.在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15.求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．[四字程序]读想算思n 取何值时，S n 取得最大值1．S n 的表达式．2．求最值的方法1．求通项公式a n .2．求前n 项和S n转化与化归等差数列，a 1＝20，S 10＝S 151．利用等差数列的项的符号．2．利用二次函数的性质1．a n ＝－53n ＋653.2．S n ＝－56n 2＋1256n 1．数列的单调性．2．二次函数的性质思路参考：先求出公差d ，再由a n 确定S n 取得最大值时n 的值．解：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.由a n ＝20＋(n －1)×−53＝－53n ＋653.因为a 1＝20>0，d ＝－53<0，所以数列{a n }是递减数列．由a n ＝－53n ＋653≤0，得n ≥13，即a 13＝0.当n ≤12时，a n ＞0；当n ≥14时，a n ＜0.所以当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×−53思路参考：先求出公差d ，再由S n 的表达式确定其最大值．解：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.S n ＝20n ＋��−1·53＝－56n 2＋1256n ＝－56�−252＋312524.因为n ∈N *，所以当n ＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.思路参考：利用等差数列的性质求解．解：由S 10＝S 15得S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，所以5a 13＝0，即a 13＝0.又d ＝�13−�113−1＝－53，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值．所以S 12＝12×20＋12×112×−53思路参考：结合二次函数知识解答．解：因为等差数列{a n }的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，且S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.又10+152＝12.5，所以n ＝12或13时，S n 取得最大值．所以S 12＝12×20＋12×112×−531．基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．2．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解：(方法一)由S 3＝S 11，得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝2n 2＋�1−2＝－�113(n －7)2＋4913a 1.又a 1＞0，所以－�113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．(方法二)由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3+112＝7对称．由方法一可知二次项系数a ＝－�113＜0，故当n ＝7时，S n 最大．(方法三)由方法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有��≥0，��+1≤0，即�1+�−1−213�1≥0，�1+�−213�1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．(方法四)由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0.又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大．课时质量评价(四十)A组全考点巩固练1．在等差数列{a n}中，a1＋a8＋a6＝15，则此等差数列的前9项之和为()A．5B．27C．45D．90C解析：依题意a1＋a8＋a6＝15，即3a1＋12d＝15，即3a5＝15，所以a5＝5.(a1＋a9)＝9a5＝45.故选C．所以S9＝922．(2022·威海三模)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝4，S9＝18，则公差d＝() A．1B．－1C．2D．－2B解析：因为S9a5＝18，所以a5＝2，所以2d＝a5－a3＝2－4＝－2，解得d＝－1.3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108.则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为()一百零八塔全景A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状C解析：因为1＋3＋3＋5＋5＋7＝24，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．故选C．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，2S8＝S7＋S10，则S21＝()A．21B．11C．－21D．0D解析：由2S 8＝S 7＋S 10，得S 8－S 7＝S 10－S 8，所以a 8＝a 9＋a 10，则a 10＋a 9－a 8＝a 11＝0，所以S 21＝2·�11·212＝21a 11＝0.故选D．5．(2022·长春模拟)在等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为()A．6B．7C．8D．9C 解析：因为|a 6|＝|a 11|且公差d >0，所以a 6＝－a 11，所以a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0，所以a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…，所以使S n 取最小值的n 的值为8.故选C．6．(多选题)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ＝1.若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A．a 5＝1B．S n 的最小值为S 3C．S 1＝S 6D．S n 存在最大值AC 解析：因为a 1＋3a 5＝S 7，所以a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋7×62d ，又因为d ＝1，解得a 1＝－3.对选项A，a 5＝a 1＋4d ＝1，故A 正确；对选项B，a n ＝－3＋n －1＝n －4，因为a 1＝－3<0，a 3＝－1<0，a 4＝0，a 5＝1>0，所以S n 的最小值为S 3或S 4，故B 错误；对选项C，S 6－S 1＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝5a 4，又因为a 4＝0，所以S 6－S 1＝0，即S 1＝S 6，故C 正确；对选项D，因为a 1＝－3<0，d ＝1>0，所以S n 无最大值，故D 错误．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则�11�5＝______．225解析：�11�5＝2�1+�115�1+�5＝11�65�3＝225.8．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有��＝2�−34�−3，则�9�5+�7+�3�8+�4的值为________．1941解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以�9�5+�7+�3�8+�4＝�92�6+�32�6＝�9+�32�6＝�6�6.因为�11�11＝�1+�11�1+�11＝2�62�6＝2×11−34×11−3＝1941，所以�9�5+�7+�3�8+�4＝1941.9．已知等差数列{a n }的前三项的和为－9，前三项的积为－15.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ，所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2，所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝7−2�，�≤3，2�−7，�≥4，①n ≤3时，Sn ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝−2(�1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝−�2+6�，�≤3，�2−6�+18，�≥4.B 组新高考培优练10．(2022·广西模拟)将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则a 12＝()A．130B．132C．142D．144C 解析：被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以a n ＝10＋12(n －1)＝12n －2，故a 12＝10＋12(12－1)＝142.故选C．11．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知某数列通项a n ＝2�−1002�−101，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝()A．98B．99C．100D．101C 解析：由题意，a n ＋a 101－n ＝2�−1002�−101101−�＝2�−1002�−101+2�−1022�−101＝2，所以a 1＋a 100＝a 2＋a 99＝…＝a 50＋a 51，所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(a 1＋a 100)＋(a 2＋a 99)＋…＋(a 50＋a 51)＝50×2＝100.12．(多选题)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有()A．a 10＝0B．S 10最小C．S 7＝S 12D．S 20＝0AC 解析：根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d .又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1nd ＝2×(n 2－19n )，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d .因为d ≠0，所以S 20≠0，则D 不正确．故选AC．13．已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，且a n ＋2－a n ＝1+−1�，�∈�∗，则该数列的前9项之和为________．34解析：因为a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，所以，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，则数列{a 2n＋1}是常数列，a 2n ＋1＝a 1＝2，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，则数列{a 2n }是以a 2＝3为首项，2为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8)＝2×5＋3×4+4×32×2＝34.14．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x ＝0，过点P (1，2)的该圆的三条弦的长a 1，a 2，a3构成等差数列，则数列a 1，a 2，a 3的公差的最大值是________．2解析：如图，由x 2＋y 2－6x ＝0，得(x －3)2＋y 2＝9，所以圆心坐标C (3，0)，半径R ＝3.由圆的性质可知，过点P (1，2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，最小值为过点P 且垂直于CP 的弦的弦长．因为|CP |＝3−12+0−22＝22，所以|AB |＝232−222＝2，即a 1＝2，a 3＝6.所以公差d 的最大值为�3−�12＝6−22＝2.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n .(1)求数列{a n }的通项公式；b n }的通项公式．(1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n -1－1)＝2n -1.当n ＝1时显然满足上式，所以a n ＝2n -1.(2)证明：因为b n ＋1－2b n ＝8a n ，所以b n ＋1－2b n ＝2n +2，即��+12�+1−��2�＝2.又�121＝1，1，公差为2的等差数列．所以��2�＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以b n ＝(2n －1)×2n .16．在数列{a n }，{b n }中，设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，3b 1＋5b 2＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n ·a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n 和S n ；(2)当n ≥k 时，b n ≥8S n 恒成立，求整数k 的最小值．解：(1)因为a n ＋1＝a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是等差数列．又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而S n n 2.(2)因为a n ＝2n －1，所以3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n ·(2n －1)＋1，①当n ≥2时，3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋(2n －1)b n －1＝2n -1·(2n －3)＋1.②①－②可得(2n ＋1)b n ＝2n -1·(2n ＋1)(n ≥2)，即b n ＝2n -1.而b 1＝1也满足上式，故b n ＝2n -1.令b n ≥8S n ，则2n -1≥8n 2，即2n -4≥n 2.又210-4＜102，211-4＞112，结合指数函数增长的性质，可知整数k 的最小值是11.。

高考数学等差数列专题复习(专题训练)百度文库

① ；② ；③ .
则正确的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
17．设等差数列的前项和为，若，则（）
A．60B．120C．160D．240
18．已知数列中，，，对都有，则等于（）
A． B． C． D．
19．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列则该数列共有（）
3．D
【分析】
由等差数列前项和性质得，，，构成等差数列，结合已知条件得和计算得结果.
【详解】
已知等差数列的前项和为，，，，构成等差数列，
所以，且，化简解得 .
又，，从而 .
故选：D
【点睛】
思路点睛：
（1）利用等差数列前项和性质得，，，构成等差数列，
（2），且，化简解得，
A． B．
C．数列的最大项为 D．
7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺
A． B． C． D．
A． B． C．中最大D．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题
1．A
【分析】
在等差数列{an}中，利用等差中项由求解.
【详解】
在等差数列{an}中，a5=3，a9=6，
所以，

2021届高考复习回归基础系列等差数列基础习题选(附答案)

2021届高考复习回归基础系列等差数列基础习题选（附答案） 2021届高考复习回归基础系列-等差数列基础习题选（附答案）2022高考复习回归基础系列——算术级数基本练习的选择（带答案）一．选择题（共26小题）1.如果已知算术序列{an}中的A3=9和A9=3，则公差D的值为（）a.b.1c。

D.12．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）a．以7为首项，公差为2的等差数列b．以7为首项，公差为5的等差数列c．以5为首项，公差为2的等差数列d．不是等差数列3.在算术序列{an}中，A1=13，A3=12。

如果an=2，那么n等于（）a.23b。

24c。

25d。

264．等差数列{an}的前n项和为sn，已知s3=6，a4=8，则公差d=（）a．一1b．2c．3d．一25.两个数字1和5之间的相等差的中间项是（）a.1b。

3c。

二维6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）a．2b．3c．4d．57.（2022？福建）在等差序列{an}中，a1+A5=10，A4=7，则序列{an}的公差为（）a.1b。

2c。

3d。

48.序列的第一项是3，为等差数列且，若然后=（a．0b．8c．3d．119.已知两个等差序列5，8，11，。

和3，7，11，。

如果有100个项目，那么它们的常用项目数是（）a.25b。

24c。

20天。

1910．设sn为等差数列{an}的前n项和，若满足an=an1+2（n≥2），且s3=9，则a1=（）a．5b．3c．1d．111.（2022？黑龙江）如果序列{an}是一个等差序列，那么（）a.a1+A8>A4+a5b。

A1+A8=A4+a5c。

A1+A8<A4+a5d。

A1a8=a4a512．（2021?福建）设sn是等差数列{an}的前n项和，若=（））a、 1b.1c.2d。

13．（2021?安徽）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）a．1b．1c．3d．714.在算术序列{an}，A2=4，A6=12中，那么序列{}的前n项之和等于（）a.b.c.d15．已知sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5=4，s7=21，则a7的值为（）a．6b．7c．8d．916.如果已知序列{an}是等差序列，a1+a3+A5=15，A4=7，则S6的值为（）a.30b。

等差数列复习课件ppt

(1)求证：{S1n}是等差数列； (2)求an的表达式．
【解析】 (1)由已知得Sn－Sn－1＝2Sn－1Sn(n≥2)，
若Sn－1Sn＝0，由上式可知Sn－Sn－1＝0，从而an＝0.
但S1＝a1＝1≠0，矛盾，故Sn－1Sn≠0.
∴S1n－Sn1－1＝－2.
由等差数列的定义知{
1 Sn
}是以1为首项，－2为公差的等
A．63
B．45
C．36
D．27
【解析】 S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，a7＋ a8＋a9成等差数列，∴a7＋a8＋a9＝54－9＝45.故选B.
【答案】 B
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3 ＝21，则a5＋b5＝________.
【解析】 ∵a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3， ∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35. 【答案】 35
【答案】 C
探究2 (1)本例用到等差数列中最常用的性质：①d＝ app－－qaq，②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
(2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解即简捷，又漂亮．
思考题2 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3
＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
思考题3 (1)(2014·北京理)若等差数列{an}满足a7 ＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
【解析】由等差数列的性质可得a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0；而a7＋a10＝a8＋a9<0，故a9<0.所以数列{an}的前8项和最大．

新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题三数列第一讲等差数列与等比数列__小题备考微专题1等差数

第一讲等差数列与等比数列——小题备考常考常用结论1．等差数列(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：S n＝＝na1＋d；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q；②a n＝a m＋(n－m)d；③S m，S2m－S m，S3m－S2m，…成等差数列．2．等比数列(1)通项公式：a n＝a1q n－1(q≠0)；(2)求和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q；②a n＝a m·q n－m；③S m，S2m－S m，S3m－S2m，…(S m≠0)成等比数列．微专题1 等差数列与等比数列的基本量计算1.[2023·江西赣州二模]已知等差数列{a n}中，S n是其前n项和，若a3＋S3＝22，a4－S4＝－15，则a5＝( )A．7 B．10 C．11 D．132．[2023·安徽合肥二模]已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝－1，a1＋a5＝2，则S8的值为( )A．－27B．－16C．－11D．－93．[2023·吉林长春三模]已知等比数列{a n}的公比为q(q>0且q≠1)，若a6＋8a1＝a4＋8a3，则q的值为( )A．B．C．2D．44．[2023·全国甲卷]已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝( )A．7B．9C．15D．305．[2023·辽宁鞍山二模]天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为( )A．壬午年B．癸未年C．己亥年D．戊戌年1.(1)[2023·山东济南模拟](多选)已知等差数列{a n}，前n项和为S n，a1>0，<－1，则下列结论正确的是( )A．a2022>0B．S n的最大值为S2023C．|a n|的最小值为a2022D．S4044<0(2)[2023·湖南长沙明德中学三模]中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则此人在第六天行走的路程是________里(用数字作答)．技法领悟1．在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，a n，S n这五个量知道其中任意三个，就可以求出其他两个．求解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．2．对于等比数列的前n项和公式，应按照公比q与1的关系分类讨论．一般地，若涉及n 较小的等比数列的前n项和问题，为防止遗忘分类讨论，可直接利用通项公式写出，而不必使用前n项和公式．[巩固训练1] (1)[2022·全国乙卷]记S n为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.(2)[2023·河北正定中学模拟]已知等比数列{a n}的前三项和为39，a6－6a5＋9a4＝0，则a5＝( )A．81B．243C．27D．729微专题1 等差数列与等比数列的基本量计算保分题1．解析：设公差为d，则a1＋2d＋3a1＋3d＝22，a1＋3d－4a1－6d＝－15，解得a1＝3，d ＝2，故a5＝a1＋4d＝3＋8＝11.故选C.答案：C2．解析：因为{a n}是等差数列，设公差为d，因为a4＝－1，a1＋a5＝2，所以，则，因为{a n}的前n项和为S n，所以S8＝8×5＋＝－16，故选B.答案：B3．解析：已知等比数列{a n}的公比为q(q>0且q≠1)，若a6＋8a1＝a4＋8a3，则a6－a4＝8a3－8a1，所以＝＝q3＝8，解得q＝2.故选C.答案：C4．解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q －4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.答案：C5．解析：由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于100÷10＝10，余数为0，故100年后天干为癸；由于100÷12＝8…4，余数为4，故100年后地支为未；综上：100年后的2123年为癸未年．故选B.答案：B提分题[例1] (1)解析：∵数列{a n}为等差数列，a1>0，<－1，∴数列{a n}为递减的等差数列，∴a2023<0，a2022>0，故A正确；∵数列{a n}为递减的等差数列，a2023<0，a2022>0，∴S n的最大值为S2022，故B错；∵a2023<0，a2022>0，∴由<－1得a2023<－a2022，∴a2023＋a2022<0，∴|a2023|>|a2022|，∴|a n|的最小值为|a2022|，即a2022，故C正确；S4044＝＝2022(a2022＋a2023)<0，故D正确．故选ACD.(2)解析：将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列{a n}，n∈N*，n≤6，其公比q＝，令数列{a n}的前n项和为S n，则S6＝378，而S6＝＝，因此＝378，解得a1＝192，所以此人在第六天行走的路程a6＝a1×＝6(里)．答案：ACD (2)6[巩固训练1] (1)解析：方法一设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.方法二设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.(2)解析：由a6－6a5＋9a4＝0⇒a4·(q2－6q＋9)＝0.而a n≠0，∴q＝3，又a1＋a2＋a3＝a1＋3a1＋9a1＝13a1＝39⇒a1＝3，∴a n＝3n，a5＝35＝243.故选B.答案：(1)2答案：B。

高考数学统考二轮复习增分强化练十三等差数列与等比数列理含解析

2，所以 q3＝a5＝2 a2
2，因此 a8＝a5q3
＝16.
答案：16
4．已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S4＝3S2，a3＝2，则 a7＝________. 解析：设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，显然 q≠1 且 q＞0，因为 S4＝3S2，所以a11－q4
1－q
＝3a11－q2，解得 q2＝2，因为 a3＝2，所以 a7＝a3q4＝2×22＝8. 1－q
答案：8
考点二等差、等比数列的判定与证明
1．(2019·蚌埠模拟)已知在数列{an}2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
1 (2)求证：数列 an 为等差数列．解析：(1)由 an－an－1＝nn1－1＝n－1 1－1n，
an
a1
an＋1
所以 1 － 1 ＝－(n＋1)＋n＝－1(常数)， an＋1 an
1 所以数列 an 是首项为－1，公差为－1 的等差数列．
2．(2019·桂林、崇左模拟)已知在数列{an}中，满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．
(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
增分强化练(十三)
考点一等差、等比数列的基本运算
1．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S2＝4a1，则公比 q＝( )
A.1
B.1
2
3
C．2
D．3
解析：由题意，根据等比数列的性质，可得 S2＝a1＋a2＝4a1，∴a2＝3a1，∴q＝aa21＝3，故选 D. 答案：D
2．(2019·甘肃质检)在等差数列{an}中，已知 a1 与 a11 的等差中项是 15，a1＋a2＋a3＝9，则 a9 ＝( )

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《等差数列》课件ppt

A.10
B.11
C.12
√D.13
由题意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋nn－2 1＝0，解得a1＝－6，n＝13.
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三
层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板
构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因为a5≠0，a6＝0，所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为__4__0_5_1__.
令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列. 设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2. 故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以 Sn＝na1＋nn－2 1d＝－n2＋11n. 当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.
第
二部分
探究核心题型
题型一等差数列基本量的运算
例1 (1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，a25 ＝a3a6，若该

第02讲等差数列及其前n项和(讲)-2023年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(含答案解析)

第02讲等差数列及其前n项和(讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（2022·全国·模拟预测）11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，2a (1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)若m a ，m S ，114m a +成等比数列，求正整数m ．题型二：等差数列的判断与证明例题1．（2022·全国·高二课时练习）对于数列{a 列”的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.【答案】C解：若数列{}n a 的通项公式为n a kn b =+，则n a 数)，由等差数列的定义可得数列{}n a 为等差数列；若数列{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ()11(1)n a a n d nd a d =+-=+-，令1,d k a d b =-=，则数列{}n a 的通项公式可写为A ．90B ．110C ．150D ．180【答案】C由等差数列性质知：3S ，63S S -，96S S -成等差数列，()()633962S S S S S ∴-=+-，即()92501060S ⨯=+-，解得：9150S =.故选：C.例题3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{}n a 中，若12530a a a ++⋅⋅⋅+=，671080a a a ++⋅⋅⋅+=，则111215a a a ++⋅⋅⋅+=（）.A ．110B ．120C ．130D ．140【答案】C解：设公差为d ，则()()6710125a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()()617210555555a a a a a a d d d d d =-+-+⋅⋅⋅+-=++++25803050d ==-=，所以2d =，所以()11121565a a a a d ++⋅⋅⋅+=++()()()71067110552580252130a d a d a a a d ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=+⨯=.故选：C例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若57S =，1021S =，则15S =_____．【答案】42解：在等差数列{}n a 中，5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，即7，14，1521S -成等差数列，所以157(21)214S +-=⨯，解得1542S =．故答案为：42．例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知315S =，999S =，则6S =___________.【答案】48因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以36396,,S S S S S --成等差数列，题型归类练（2022·山西运城·高二期末）12．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，20202021a a +满足0n S >成立的最大正整数n 是（）A ．4039B ．4040C ．4041（2022·全国·高三专题练习（理））13．已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数481n n S n T n -=+，则3153111572a a a b b b b ++=++（）A ．3B ．6C ．327（2022·全国·高三专题练习（理））14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，89S S =<是（）A ．90a =B ．1514S S >C ．0d <的最小值（2022·全国·高三专题练习）15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则项为（）6S 7S 9S（1）求数列{}n a的通项公式n a；S a>成立的n的最小值．（2）求使n n参考答案：1．D【分析】由等差中项的性质进行计算【详解】由题意得：1595315a a a a ++==，所以55a =，故285210a a a +==故选：D 2．D【分析】根据等差数列的定义判断．【详解】选项A 中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；选项B 中，后项减前项所得差都是1，是等差数列；选项C 中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；选项D 中，1031-≠-，不是等差数列，故选：D ．3．D【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，结合等差数列的前n 项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =．故选：D.4．4【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组，求出公差，求出答案.【详解】设公差为d ，则()11112235a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩，解得：132a d =-⎧⎨=⎩，所以2022202024a a d -==故答案为：4尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为项和为，则，，对于，，取数列各项为(。

2024年新高考版数学专题1_7.2 等差数列(分层集训)

高考数学
专题七数列
7.2 等差数列
基础篇
考点一等差数列及其前n项和
1.(2023届辽宁六校期初考试,3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6+a7+a8 +a9+a10=20,则S15= ( ) A.150 B.120 C.75 D.60 答案 D
2.(2015重庆,2,5分)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B
∵a1,a4,a6成等比数列,∴a42=a1a6,即(a1 6)2 =a1(a1+10),解得a1=-18,
∴Sn=-18n+ n(n 1) ×2=n2-19n,
2
∴ Sn 9 = n2 19n 9 =n+ 9 -19≥2 n 9 -19=-13,
n
n
n
n
当且仅当n= 9 ,即n=3时取等号,∴ Sn 9 的最小值为-13.
∴当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)2+n-1(n≥2)②,
由①-②,得an=nan-(n-1)an-1-2(n-1),
即(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1),∴an-an-1=2,n≥2,
∴{an}是以2为公差的等差数列.
(2)由(1)可得a4=a1+6,a6=a1+10.
-Sn-1)[2Sn-(Sn-Sn-1)]=1,整理得
Sn2
-
S2 n1
=1,又
S12
=
a12
=1,因此,数列{
Sn2
}是以1为首
项,1为公差的等差数列,则Sn2 =n,因为{an}是正项数列,即Sn>0,所以Sn= n .

高中数学考前回归知识必备全案(下)

“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法13=-+-如果数列通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项12n ++=++++22n a +()a f n 型S h''S S S ++'0S =↓ S h''S S S ++h∥c ⇒a ∥共面和异面。

共面为相交和平行。

不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。

,B αα∉。

.α⊂。

分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。

α∥β，αβ=判定定理:如果一条直线和直线平行，那么这条直线和这个平面平行．,,//a b a b αα⊄⊂⇒线平行于另一平面，那么这两个平面平行a b P =⎫⇒⎬⎭,//a b a αγβ==⇒ m n P =⎫⇒⎬⎭bβ α γβ αaαb面面平面和平面垂直:两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 ,那么两个平面互相垂直.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内直线垂直于另一个平面.,l lβααβ⊥⊂⇒⊥,,,l a a l aαβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥* 18.直线与圆的方程直线与圆的方程概念倾斜角定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.；与x轴平行或重合时倾斜角为0︒在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

斜率倾斜角为α，倾斜角不是90°的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tanα(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；直线方程法：ax+by+c=0的斜率akb=-。

直线的方向向量法：(1,)a k=若a=（m，n）为直线方向向量，则斜率k=nm.过两点1122(,)(,)x y x y的直线的斜率2121y ykx x-=-；点差法：如22221x ya b+=中,以00(,)P x y为中点弦斜率22b xka y=-求导数；直线的倾斜角α的范围是[0,π）直线方程点斜式已知直线过点00(,)x y斜率为k，则直线方程为00()y y k x x-=-,它不包括垂直于x轴的直线.斜截式已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y kx b=+,它不包括垂直于x轴直线.两点式已知直线经过111(,)P x y、222(,)P x y两点,则直线方程为112121y y x xy y x x=----,它不包括垂直于坐标轴直线截距式已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b,则直线方程为1x ya b+=,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成0Ax By C++= (,A B不同时为0)的形式.提醒⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为或直线过；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为或直线过；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为或直线过。

等差数列复习巩固

§3.3等差数列复习巩固班级学号姓名一、目标要点等差数列知识的综合应用二、达标训练1．等差数列的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项是………………（）（A ）8a （B ）9a （C ）10a （D ）11a2．一个无穷等差数列{}n a ，公差d ，则{}n a 中有有限个负数的充要条件是……（）（A ）001>>d a 且（B ）001<>d a 且（C ）001><d a 且（D ）001><d a 且3．等差数列{}n a 的首项为51-=a ，它的前11项的平均值5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的项是………………………………………………………（）（A ）8a （B ）6a （C ）10a （D ）11a4．等差数列{}n a 中，571074=++a a a ，2751454=+⋯++a a a ，61=k a ，则k=……………………………………………………………………………（）（A ）18 （B ）19 （C ）20 （D ）215．在2和7之间插入n 个数，使这n+2个数顺次成等差数列，且使前16项的和为56，则n=………………………………………………………………………………………（）（A ）26 （B ）25 （C ）24 （D ）236．若等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1a ，2a 是关于x 的方程0432=+-a x a x 的两根，则{}n a的通项公式n a = 。

7．在等差数列{}n a 中，若211272=++a a a ，则=13S 。

8．已知x lg ，)32lg(-x ，)23lg(-x 成等差数列，则首项和公差都是x 的前10的和为。

9．数列21，3231+，434241++，……，1009910021001⋯++,……的通项公式n a =，若11-⨯=n n n a a b ，则{}n b 的前n 项和为。

福建高考数学等差数列及其前n项和专项练习

福建2019 高考数学等差数列及其前n 项和专项练习如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，下面是等差数列及其前n 项和专项练习，希望考生可以认真练习。

1. 若数列{an} 的首项a1=1, 且an=an-1+2(n2), 则a7 等于()A.13B.14C.15D.172. (2019福建泉州模拟)将含有n项的等差数列插入4和67 之间仍构成一个等差数列, 且新等差数列的所有项之和等于781, 则n 的值为()A.22B.20C.23D.213. 在等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为()A.14B.18C.21D.274. 在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4++a9等于()A.21B.30C.35D.405. (2019 天津河西口模拟)设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若a11-a8=3,S11-S8=3, 则使an0 的最小正整数n 的值是() A.8 B.9C.10D.116. (2019 浙江名校联考) 已知每项均大于零的数列{an} 中, 首项a1=1, 且前n 项和Sn 满足Sn-Sn-1=2(nN*, 且n2), 则a81 等于()A.638B.639C.640D.6417. 若等差数列{an} 满足a7+a8+a90,a7+a100, 则当n= 时,{an} 的前n 项和最大.8. 若等差数列{an} 前9 项的和等于前4 项的和, 且ak+a4=0, 则k= .9. 已知公差大于零的等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 且满足a3a4=117,a2+a5=22.(1) 求数列{an} 的通项公式;(2) 若数列{bn} 满足bn=, 是否存在非零实数c 使得{bn} 为等差数列?若存在, 求出 c 的值; 若不存在, 请说明理由.10. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1, 其中为常数.(1) 证明:an+2-an=(2) 是否存在, 使得{an} 为等差数列?并说明理由. 能力提升组11. (2019 辽宁, 文9) 设等差数列{an} 的公差为d. 若数列{} 为递减数列, 则()A.d0B.d0C.a1d0D.a1d012. 已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130, 则n 等于()A.12B.14C.16D.1813. 若数列{an} 满足:a1=19,an+1=an-3(nN*), 则数列{an} 的前n 项和数值最大时,n 的值为()A.6B.7C.8D.914. 已知正项数列{an} 满足:a1=1,a2=2,2(nN*,n2), 则a7= .15. 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn,且满足2Sn=+n-4(nN*).(1)求证：数列{an}为等差数列；⑵求数列{an}的通项公式.16.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1)(nN*).(1) 求证：数列{an} 为等差数列, 并求an 与Sn；⑵是否存在自然数n,使得S1+++-(n-1)2=2 015? 若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.1.A 解析:an=an-1+2(n2), an-an-1=2.又a1=1, 数列{an} 是以 1 为首项, 以 2 为公差的等差数列,故a7=1+2(7-1)=13.2. B解析：根据题意知新数列前n+2项和为781,且a1=4,an+2=67,据前n项和公式知Sn+2=,即781=,解得n=20. 3. A 解析: 设等差数列{an} 的公差为d, 则依题意得由此解得所以a6=a1+5d=7,a1a6=14.4. C 解析: 由题意得3a6=15,a6=5.所以a3+a4++a9=7a6=75=35.5. C 解析: 设等差数列{an} 的公差为d,a11-a8=3d=3,d=1.••• S11 -S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,a1=-8, 令an=-8+(n-1)0, 解得n9. 因此使an0 的最小正整数n 的值是10.6. C解析: 由已知Sn-Sn-1=2, 可得=2,{} 是以1 为首项,2 为公差的等差数列,故=2n- 1,Sn=(2n-1)2, a81=S81-S80=1612-1592=640, 故选C. 7.8 解析: 由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a80, 即a8 而a7+a10=a8+a90, 故a90. 所以数列{an} 的前8 项和最大.8.10 解析: 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 则S9-S4=0,即a5+a6+a7+a8+a9=0,5a7=0, 故a7=0.而ak+a4=0=2a7, 故k=10.9. 解:(1) 设等差数列{an} 的公差为d, 且d0,由等差数列的性质, 得a2+a5=a3+a4=22,所以a3,a4 是关于x 的方程x2-22x+117=0 的解,所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4, 故所求通项为an=1+(n-1)4=4n-3.(2) 由(1) 知Sn==2n2-n,所以bn=.( 方法一) 所以b1=,b2=,b3=(c0).令2b2=b1+b3, 解得c=-.当c=-时,bn==2n,当n2 时,bn-bn-1=2.故当c=-时,数列{bn}为等差数列.( 方法二)bn=.c0, 可令c=-, 得到bn=2n.bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(nN*),数列{bn} 是公差为2 的等差数列. 故存在一个非零常数c=-, 使数列{bn} 也为等差数列10. 解:(1) 由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1, 两式相减, 得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10, 所以an+2-an=.(2) 由题设,a1=1,a1a2=S1-1, 可得a2=-1.由⑴知,a3=+1.令2a2=a1+a3, 解得=4.故an+2-an=4.由此可得{a2n-1} 是首项为1, 公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n} 是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4, 使得数列{an} 为等差数列.11. D 解析:{} 为递减数列,=1.a1d0. 故选D.12. B 解析: 易得Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80. 又S4=a1+a2+a3+a4=40, 所以4(a1+an)=120,a1+an=30.由Sn==210, 得n=14.13. B 解析:a1=19,an+1-an=-3,数列{an} 是以19 为首项,-3 为公差的等差数列. an=19+(n-1)(-3)=22-3n.设{an} 的前k 项和数值最大, 则有kN*.k.••• kN*,k=7.满足条件的n 的值为7.14. 解析: 因为2(nN*,n2),所以数列{} 是以=1为首项, 以d==4-1=3 为公差的等差数列所以=1+3(n-1)=3n-2.所以an=,n1.所以a7=.15. (1)证明：当n=1 时，有2a仁+1 -4,即-2a1 -3=0, 解得a1=3(a1=-1 舍去).当n2 时, 有2Sn-1=+n-5.又2Sn=+n-4, 两式相减得2an=+1,即-2an+1=,也即(an-1)2=, 因此an-1=an-1 或an-1=-an-1.若an-1=-an-1, 则an+an-1=1.而a1=3, 所以a2=-2, 这与数列{an} 的各项均为正数相矛盾所以an-1=an-1, 即an-an-1=1.因此, 数列{an} 为首项为3, 公差为 1 的等差数列.(2) 解: 由(1) 知a1=3,d=1, 所以数列{an} 的通项公式an=3+(n-1)1=n+2, 即an=n+2.16. (1) 证明: 由an=+2(n-1), 得Sn=nan-2n(n-1)(nN*).当n2 时,an=Sn-Sn-仁nan-(n-1)an-1-4(n-1),即an-an-1=4,故数列{an} 是以 1 为首项,4 为公差的等差数列.于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(nN*).⑵解：由(1),得=2n-1(nN*).又S1+++-(n-1)2=1+3+5+7++(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1. 令2n-1=2 015, 得n=1 008,即存在满足条件的自然数n=1 008. 等差数列及其前n 项和专项练习的全部内容就是这些，查字典数学网预祝广大考生时时有进步。

人教版高一上第三章等差数列复习课课件

（Ａ）
Ｓ余＝４０ａｍ＝１５
A. a11 B. a10 C. a9 D. a8 ｄ＝－４ < ０
8.等差数列｛ an ｝, Sn=3n-2n2,则( Ｂ)
A. na1 <Sn < nan
B. nan <Sn < na1
C. nan < na1 <Sn
D. Sn < nan< na1
能力提高：
1.等差数列｛ an ｝中，S10=100 ， S100=10，求 S110
数列 3). 若an=1- 3n,则｛ an ｝为等差数列. 4).若｛ an ｝的前n和Sn=n2+2n+1, 则｛ an ｝为等
差数列. 其中正确的有 2), 3)
2.等差数列｛ an ｝前三项分别为a-1、a+2、
2a+ a1+a4+a7= 39 a2+a5+a8=33, 则a3+a6+a9= ２７
4.等差数列图象有什么特点？
单调性如何确定？
an
an
n n
d<0
d>0
5.用什么方法推导等差数列前n项和公式
的?公式内容？使用时需注意的问题？
前n项和公式结构有什么特点？
Sn (a 1a n)n an (n 1 )d
n
2
1
2
Ｓn = An２+Bｎ (A∈R)
注意: d=2A !
6. 你知道等差数列的哪些性质?
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
4.等差数列｛ a15 = ０
an
｝中,
a5=10,

适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：等差数列课件北师大版

S16=16a1+ 2 d=16(a1+ 2 d)=16×(-2d)=-8d=a1,故
C正
确;S10-S8=a9+a10=a10=a1+9d=-8d+9d=d,d 正负不一定,故 D 错误.故选 BC.
规律方法解决等差数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通
6. 数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=5,b1=15,a100+b100=100.求数列{an+bn}
的前100项的和.
解依题意{an+bn}为等差数列,其首项a1+b1=5+15=20.
又a100+b100=100,所以{an+bn}前100项的和为100×(20+100)=6 000.
2
研考点精准突破
考点一
等差数列基本量的运算
题组(1)(2023·山东烟台高三月考)已知在等差数列{an}中,Sn为其前n项
和,S4=24,S9=99,则a7等于(
A.13
)
B.14 C.15 D.16
(2)(多选)(2023·湖南岳阳高三模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n
项和为Sn,若a9=S17,下列说法正确的是(
第六章
第二节等差数列
内
容
索
引
01
强基础固本增分
02
研考点精准突破
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
课标解读 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数
列的有关知识解决相应的问题.4.理解等差数列与源自次函数的关系.强基础固本增分