备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题36 数列求和问题

专题36 数列求和问题【热点聚焦与扩展】数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和.考查学生的观察能力与辨析能力.本专题举例说明常见几种类型的求和方法. 1、根据通项公式的特点求和： （1）等差数列求和公式：()1122p q nn a a a a S n n p q n ++=⋅=⋅+=+ ()112n n n S a n d -=+（2）等比数列求和公式：()111,11,1n n a q q S q a n q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩（3）错位相减法：通项公式特点：n a =等差⨯等比，比如2nn a n =⋅，其中n 代表一个等差数列的通项公式（关于n 的一次函数），2n 代表一个等比数列的通项公式（关于n 的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 方法详解：以()212nn a n =-⋅为例，设其前n 项和为n S① 先将n S 写成n 项和的形式()121232212n n S n =⋅+⋅++-⋅② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列 ()121232212n n S n =⋅+⋅++-⋅()()23121232232212n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位.③ 然后两式相减：()()1231122222212n n n S n +-=⋅++++--⋅ 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出n S 即可()()1231122222212n n n S n +-=⋅++++--⋅()()114212221221n n n -+-=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-所以()12326n n S n +=-⋅+对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果.而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和.体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 （4）裂项相消：通项公式特点：n a 的表达式能够拆成形如()()n a f n f n k =--的形式（=1,2,k ），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消.从而结果只存在有限几项，达到求和目的.其中通项公式为分式和根式的居多. 常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，一般来说，裂开的2n 项中有n 个正项，n 个负项，且由于消项的过程中是成对消掉.所以保留项中正负的个数应该相同.(5）分类（组）求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加. 例：()61118231n S n =++++++可知通项公式为231n n a n =++，那么在求和的过程中可拆成3部分：2,3,1nn 分别求和后再相加()()()()1222112223123212n nn n n S n n n -+=++++++++=+⋅+-12352222n n n +=++- 2、根据项的特点求和：如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n 项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有()1n- ，多为奇偶分段.若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列{}n a 中的第k 项与倒数第k 项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：12n n S a a a =+++11n n n S a a a -=+++ 两式相加可得：()()()()121112n n n n n S a a a a a a n a a -=++++++=+()12n n n a a S +∴=【经典例题】例1.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。

【答案】21nn + 【解析】【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。

数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.例2.【2019届辽宁省沈阳市监测一】在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得222sin 1sin 2sin 89︒︒︒+++=__________．【答案】44.5【解析】令222sin 1sin 2sin 89S =+++， 则： 222sin 89sin 88sin 1S =+++，两式相加可得： ()()()2222222sin 1sin 89sin 2sin 88sin 89sin 189S =++++++=,故： 44.5S =，即222128944.5sin sin sin ︒︒︒+++=.例3. 【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知等差数列是单调增数列，且是方程的两个根．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．例4.【2019届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知数列首项为1，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由，两式相减可得，又∵∴为等比数列.；（2）结合（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求和即可.详解：（1）∵.∴，又∵∴为等比数列.（2）..点睛：本题主要考查等比数列的定义、通项公式、求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.例5.【2019届河北省武邑中学下期中】已知等差数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为.【答案】（1）（2）（2），所以，从而得到当为奇数时，，当为偶数时，，所以.点睛：该题属于等差数列求通项问题以及数列求和问题，在求通项公式的时候，只要咬住首项和公差即可求得结果，第二问当把所求的通项公式代入以后，注意裂项这个关键步骤，中间的运算符号是和而不是差，还有就是在运算的过程中，需要对为奇数还是偶数进行讨论.例6.【2019届百校联盟TOP20四月联考】已知数列满足，，设.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】分析：（1）由，可知，从而得到数列的通项公式；（2），利用错位相加法求出数列的前项和.(Ⅱ) 由得，所以，，两式相减得所以.例7. 【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N .【答案】 （1）32n a n =-.2nn b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 例8.【2019届湖南省长郡中学一模】 已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】(1)见解析;(2).详解：（1）∵，∴，由，∴，化简得，∵，∴，即（），而，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．∴，即，∴（）．（2）由（1）知，，∴，∴，两式相减得，，故．例9.【2019届黑龙江省大庆市第二次检测】已知为等差数列的前项和，且.记,其中表示不超过的最大整数，如.(I)求(II)求数列的前200项和.【答案】（Ⅰ) ；；.(Ⅱ)524.由已知，根据等差数列性质可知：∴. ∵，所以∴∴，，.(Ⅱ)当时，，共2项；当时，，共10项；当时，，共50项； 当时，，共138项.∴数列的前200项和为.例10. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2232,1,2,3n n S a n n n =+--=（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列（2）设cos n n b a n π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T 【答案】（1）见解析；（2）()()()2121111342n n nn ⎡⎤⎡⎤--+--+-⎣⎦⎣⎦（2）思路：若要求和，需要先求出n b 的通项公式.所以先利用（1）构造等比数列求出n a ，从而得到n b ，对于()cos 1nn π=-，处理方式既可以将n b 进行奇偶分类，进而分组求和，也可放入到通项公式中进行求和解：由（1）可得：()11222n n a n a --=-⋅令1n =代入2232n n S a n n =+--1124S a =- 14a ∴= 22n n a n ∴-= 22n n a n ∴=+()22cos n n b n n π∴=+方法一：直接求和()()()()()()21(1)112111111(1)n n n n n P n n +⎡⎤---⎣⎦∴=-+-++---=+---()()111142n nn n P ⎡⎤∴=--+-⎣⎦()()()2121111342n n nn n T ⎡⎤⎡⎤∴=--+--+-⎣⎦⎣⎦方法二：分组求和()()()22,2122cos 22122,2nnnnn nn n k b n n n n n kπ⎧--=-⎪∴=+=+⋅-=⎨+=⎪⎩ 当n 为偶数时()1112212222n n n n n b b n n ---+=---++=+ ()()()12341n n n T b b b b b b -∴=++++++()2141122222n n---=+++⋅()2241221413n n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=⋅-+-当n 为奇数时()112211223n n n n n T T b n n --=+=-+--- 25233n n =-⋅--()221,23252,2133nn n n n k T n n k ⎧⋅-+=⎪⎪∴=⎨⎪-⋅--=-⎪⎩点睛：本题在分组求和时要注意以下几点（1）相邻两项一组，如果项数为奇数，那么会留出一项，项数为偶数，那么刚好分组.所以要对项数进行奇偶的分类讨论（2）在项数为偶数的求和过程中要注意n 的取值变化不再是1,2,3,，而是2,4,6,所以求和时的公比和求和的项数会对应发生改变.（3）在项数为奇数的求和中可利用前面的结论，简化求和过程. （4）本题虽然可以直接求和，但是过程和结果相对形式比较复杂. 方法三：分奇数项偶数项分别求和()()()22,2122cos 22122,2nnnnn n n n k b n n n n n k π⎧--=-⎪∴=+=+⋅-=⎨+=⎪⎩~当n 为偶数时：()()1351246n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()()1311312222131n n b b b n --+++=-+++-+++-212241112224122332n n n n n +⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=--⋅⋅=-+--()()2424222224n n b b b n +++=+++++++()22441222424122332n n n n n n +⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+⋅⋅=-+- 12233n n T n +∴=-+同理：当n 为奇数时()112211223n n n n n T T b n n --=+=-+--- 25233n n =-⋅--()221,23252,2133nn n n n k T n n k ⎧⋅-+=⎪⎪∴=⎨⎪-⋅--=-⎪⎩【精选精练】1．【2019届江西省莲塘一中、临川二中第一次联考】已知()11221x x f x ee--=-+，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2017a =__________．【答案】20182．【2019届河南省六市第二次联考（4月）】已知数列{b,}满足b1=1,b2=4,b n+2=(1+sin2)b n+cos2,则该数列的前11项的和为___________.【答案】93【解析】分析：首先应用题中所给的递推公式确定好数列的项之间的关系，根据式子得到该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，之后应用等比数列与等差数列的求和公式求得该数列的前11项和即可.详解：根据题中所给的递推公式，可以求得，，，从而可以得到该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，所以其前11项和为6项奇数项，5项偶数项，所以，故答案是93.点睛：该题考查的是借助于数列的递推公式找出数列的项与项之间的关系，需要对奇数项与偶数项分开来讨论，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，这个结论是最关键的一步，之后应用求和公式求得结果.3.【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为，数列的前n项和为，=1，，.若对于任意正整数，都有成立，则的最大值为_____________.【答案】【解析】∵=1，=,∴当时，=,=,…,=,=,∴当时，=++…++=++…+=，当时，；当时，,∴对于任意正整数，.∴，∴的最大值为.4．【2019届福建省漳州市5月测试】已知数列的前项和为，满足，，是等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前项和．【答案】（1），或；（2）【解析】分析：（1）根据，，列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可得的通项公式，从而可得结果；（2）结合（1）可得，，利用裂项相消法求和即可.即，或．（2）因为，所以，所以，，~ 所以数列的前项和为．5．【2019届安徽省芜湖市高三5月模拟】已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由，分类讨论得到数列的通项公式；(2) 由题意，，利用裂项相消法求出数列的前项和.详解：(1)，①；当时，②；6．【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知等差数列满足，，公比为正数的等比数列满足，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ），；（Ⅰ）.所以.又公比为正数，解得.所以.（Ⅰ）由（Ⅰ）知，，则①.②.①②，得.所以.7．【2019年5月2019届高三第三次全国大联考】已知等比数列的各项均为正数,若是与的等差中项,且．（1）求数列的通项公式；（2）设,求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）设等比数列的公比为,则．由题意,得,且,化简得,解得或．又因为,即,所以，所以,所以．8. 【2019年5月2019届高三第三次全国大联考】已知等差数列满足，，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）依题意，，即，所以，则，故.因为，所以①，当时，②，①②得，即.当时，满足上式.∴数列的通项公式为.（2）由（1）知，，，9.【2019年5月2019届高三第三次全国大联考】已知数列的前项和为，点（）是曲线上的点．数列是等比数列，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前n项和．【答案】(1) ,;(2)见解析.【解析】（Ⅰ）由已知.当时，；当时，.显然，当时，上式也成立，所以.故，.所以等比数列的公比.故.（Ⅱ）数列的前项和.所以数列的前项和.10．【2019届陕西省咸阳市三模】在中，角，，的对边分别为，，，，三边，，成等比数列，且面积为，在等差数列中，，公差为．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，设为数列的前项和，求．【答案】(1);(2).所以是以4为首项，以4为公差的等差数列，解得．（2）由（1）可得，．11．【2019届福建省泉州市5模拟】已知等差数列中，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求的前项和.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：第一问首先根据题中条件将等差数列公差求出，然后应用等比数列的定义求得（常数），从而证得是首项为4，公比的等比数列.第二问，根据条件可以判断数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项和所构成的新数列，所以求和时采用分组求和法求得结果.详解：（1）设的公差为，由，可得，即又，可得故依题意，，因为（常数）12．【2019届华大新高考联盟4月检测】已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）10【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得的最小值.试题解析：（1）由知：，两式相减得: ，即，又数列为单调递增数列，，∴，∴，又当时，，即，解得或 (舍），符合，∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，。