2014届高考高三数学一轮复习数学(人教版·理)第二章 函数2.7

第7讲函数的图象

基础巩固

1.若方程f(x)-2=0在(-∞,0)内有解,则函数y=f(x)的图象是( )

【答案】D

【解析】由图可知,只有D项中函数y=f(x)的图象与y=2的图象在x<0时有交点.

2.函数f(x)=的图象是( )

【答案】C

【解析】由函数f(x)定义域为R,可排除A,B,又函数f(x)显然为偶函数,故可排除D,所以选C.

3.已知f(x)=则函数y=f(-x)的图象是( )

【答案】B

【解析】当x=0时,y=f(-0)=f(0)=1,可排除A;当x=1时,y=f(-1)=-1+1=0,可排除C,D.

4.(2013届·安徽淮南月考)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是( )

【答案】A

【解析】由题意知函数f(x)的零点为a,b,由图可知0

g(0)=1+b<0,可排除B,故正确选项为A.

5.在函数y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点P(t,|t|),此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则S与t的函数关系图象可表示为( )

【答案】B

【解析】当t∈[-1,0]时,S增速越来越平缓,当t∈[0,1]时,S增速越来越快.故选B.

6.已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数可能为( )

A.y=f(|x|)

B.y=|f(x)|

C.y=f(-|x|)

D.y=-f(|x|)

【答案】C

【解析】∵图②中的图象是在图①中图象的基础上,去掉函数y=f(x)图象y轴右侧的部分,保留y轴上及y轴左侧的部分,然后作关于y轴对称的图象得来的,∴图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).

7.函数y=的图象关于点对称.

【答案】(1,-1)

【解析】由于y==-1+,因此函数y=的图象是由函数y=的图象先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度而得到.故对称中心为(1,-1).

8.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式

为.

【答案】 f(x)=

【解析】当-1≤x≤0时,设函数解析式为y=kx+b,

由图象有故y=x+1.

当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,

∵图象过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,得a=.

综上,函数f(x)在[-1,+∞)上的解析式为

f(x)=

9.设f(x)表示-x+6和-2x2+4x+6中的较小者,则函数f(x)的最大值是.

【答案】 6

【解析】由题意,作出函数f(x)的图象,如图中实线所示,可观察出当x=0时函数f(x)取得最大值6.

10.已知定义在[0,+∞)上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,则不等式f(x)·g(x)>0的解集

是.

【答案】

【解析】由题图可知,当00,g(x)>0;

当0,g(x)<0;

当1

当x>2时,f(x)>0,g(x)>0.

因此f(x)·g(x)>0的解集是

.

11.作出下列函数的图象:

(1)y=sin|x|;(2)y=|log2(x+1)|.

【解】(1)当x≥0时,函数y=sin|x|与y=sin x的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,其图象关于y轴对称,故其图象如下图.

(2)作函数y=log2x的图象c1,然后将c1向左平移1个单位长度,得到函数y=log2(x+1)的图象c2,再把c2位于x轴下方的图象作关于x轴对称的图象,则图中实线即为所求函数y=|log2(x+1)|的图象c3.

12.已知函数f(x)=log2(x+1),将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位长度,再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.求函数y=g(x)的解析式.

【解】由已知,将函数f(x)=log2(x+1)的图象向左平移一个单位长度,得到函数y=log2(x+1+1)的图象,再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)=2log2(x+2)的图象.

故g(x)=2log2(x+2).

13.已知函数f(x)=|x2-4x+3|.

(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;

(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.

【解】由题意得f(x)=

作出其图象如图所示.

(1)由图可知函数f(x)的递增区间为[1,2]和[3,+∞),递减区间为(-∞,1]和[2,3].

(2)由题意可知,函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同的交点,则0

故集合M={m|0

拓展延伸

14.若关于x的方程|x2-4x+3|-a=x至少有三个不相等的实数根,试求实数a的取值范围.

【解】原方程可化为|x2-4x+3|=x+a,于是,设y=|x2-4x+3|,y=x+a,在同一坐标系下分别作出它们的图象如图,则当直线y=x+a过点(1,0)时a=-1;

当直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切时,

则有⇒x2-3x+a+3=0,

由Δ=9-4(3+a)=0,得a=-.

由图象知a∈时方程至少有三个根.

故所求实数a的取值范围为.