《复变函数与积分变换》辅导资料六

复变函数与积分变换辅导资料六

主 题：第二章 解析函数2—3节

学习时间：2012年11月5日－11月11日 内 容：

本周首先介绍判定解析的条件—柯西-黎曼条件，其次，将在实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来，并讨论它们的解析性。解析函数有很多重要的性质，必须很好地掌握，其学习要求及需要掌握的重点内容如下：

1、熟练掌握复变函数解析的充要条件

2、会判断一个函数是否解析

3、了解指数函数、对数函数、幂级数、三角函数、双曲函数的定义及它们的解析性质、运算性质

基本概念：柯西－黎曼方程 知识点：初等函数的解析性

第二节、函数解析的充要条件 （要求达到“简单应用”层次）

定理1：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点

iy x z +=可导的充要条件是：),(y x u 与),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足

柯西-黎曼方程

x v y u y v x

u ∂∂-=∂∂∂∂=

∂∂,，且y

u

i

y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(。 定理2：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 与),(y x v 在D 内处处可微，并且满足柯西-黎曼方程

x

v

y u y v x

u ∂∂-

=∂∂∂∂=

∂∂,。 典型例题：

例、试证函数1)(23++=z z z f 在复平面解析 证：令iy x z iv u z f +=+=,)( 得132223+-+-=y x xy x u

xy

y y x v 233

2

+-=

因为

y xy x

v y xy y

u x y x y

v x y x x

u 26;

26;

233;

2332

22

2

+=∂∂--=∂∂+-=∂∂+-=∂∂

所以

x

v

y u y v x

u ∂∂-

=∂∂∂∂=

∂∂, 利用解析函数的充要条件，可证得)(z f 在复平面解析。

第三节、初等函数

（要求达到“识记”层次）

一、指数函数

对于任何复数iy x z +=，称)s i n (co s y i y e e e w x iy x z +===+为指数函数。特别地，当0=x 时，得欧拉公式y i y e iy sin cos +=。

指数函数z e 它有如下性质：

1、当0=y 时x z =与实指数函数是一致的

2、0;2;arg ,0||≠+==>=z

z

z x z e k y Arge

y e e e π

3、z e 在z 平面上解析，且z z e e =')(

4、2

1

2

1z z z z e e +=

5、z e 是以),2,1(2 ±±=k i k π为周期的周期函数

6、极限z z e ∞

→lim 不存在，即无意义

典型例题：

例、计算i

e 4

3π

+

-的值

解：i

e e

i e

i e

e

e

e

i

i

3

3

3

3

4

3

4

32

22

2)2

22

2(

)4

sin

4

(cos

-----+

-+

=

+

=+=⋅=π

π

π

π

二、对数函数

把满足方程)0(≠=z z e w 的函数)(z f w =称为对数函数，记作Lnz w =。 对数函数是指数函数的反函数，下面推导Lnz w =的具体表达式。 设θi re z iv u w =+=,，那么θi iv u re e =+， 所以有k k v z r u (2|,|ln ln πθ+===为整数）， 从而iArgz z Lnz +=||ln 。

由于Argz 是多值函数，所以对数函数Lnz 是一个多值函数，并且每两个值

相差i π2的整数倍。如果Argz 取主值z arg ，则Lnz 便是一个单值函数，记z ln ，称为L n z 的主值，即z i z z arg ||ln ln +=，于是对数函数又可以表示为

k

i k z Lnz (2ln π+=为整数）。

对数函数Lnz 它有如下性质：

1、当0>=x z 时，x z ln ln =即为实函数中的对数函数

2、212

12121,)(Lnz Lnz z z Ln

Lnz Lnz z z Ln -=+=

上述等式应理解为集合意义上的等式。另外，这个运算性质对对数主值不再成立。

3、z ln 在除去原点及负实轴的平面内解析，且z

z 1)(ln =

'。又因为

k

i k z L n z (2ln π+=为整数），所以Lnz 的各个分支在除去原点及负实轴的平面内

解析，且有相同的导数值。以后涉及对数函数Lnz 时，指的都是除去原点及负实轴的平面内的某一单值支。

典型例题：

例1、计算)1(i Ln +

解：k

k i i iArg i i Ln )(4

2(2ln )1(|1|ln )1(π

π+

+=+++=+为整数）

例2、计算)1(-Ln

解：k i k iArg Ln ()12()1(|1|ln )1(π+=-+-=-为整数） 三、幂函数

设α为任意一复常数，函数)0(≠==z e z w Lnz αα称为复变量z 的幂函数。 由于Lnz 为多值函数，所以幂函数αz w =一般也为多值函数。

1、当α为整数时，k e z e e z w z i k z i z Lnz (||arg )]2(arg ||[ln ααπααα====++为整数）是单值的。并且当α为正整数和零时，αz 为整个复平面上的解析函数；当α为负整数时，αz 在除去原点外的复平面上解析。

2、如果α为有理数

q

p 时，k

e

e

z

z i

k q

p z q

p

Lnz

q

p

q

p

(2ln πα+

===为整数）有q 个不

同的值，即当1,,2,1,0-=q k 时所对应的α

z 值。αz 的各个分支在除去原点及负