导数应用
导数在生活中的意义
导数在生活中的意义导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数在这一点处的切线斜率。
导数的意义非常广泛，不仅仅存在于数学中，在生活中也有着重要的应用。
1.速度和加速度。
导数的最典型的应用就是描述物体在某一时刻的速度和加速度。
速度是物体在单位时间内所经过的路程，而导数描述了这个路程在某一瞬间的变化率，即速度。
而加速度则是速度的变化率，也就是速度随时间的导数。
在交通工具中，比如汽车，我们可以通过计算速度的导数来得到车辆的加速度，这对于提高车辆的性能和安全性非常重要。
2.经济分析。
在经济学中，导数被广泛应用于市场模型、成本和收益的估算以及货币政策的决策。
比如，股票市场中的价格变动无时不刻，导数可以帮助分析股票价格的涨跌规律，进而决定投资策略。
此外，导数还可以用来计算成本和收益的变化率，帮助企业制定最优的价格策略，提高利润率。
3.医学应用。
医学中也用到了导数，比如在病人的心电图中，导数可以用来计算心率以及诊断心跳问题，同时在医疗器械的设计中也需要使用导数。
更进一步的，导数可以用于血压和脉搏波等多种体征的分析，以此帮助医生诊断和治疗病患。
4.物理领域。
物理学也是一个广泛运用导数的领域，比如刚体运动描述，光学中的曲率计算和电磁学中的电场力的计算等等。
在运动描述中，导数被用来描述运动轨迹、加速度、速度和位移等量，为我们对物体的运动提供了深入理解。
所以导数在研究物理学的规律性和发展物理学理论方面，有着不可代替的作用。
综上所述，虽然导数是一门抽象而复杂的数学学科，但是它在生活中有着非常重要的应用。
从速度、加速度到经济和医学应用，再到物理学的探索，导数都有广泛的用途。
因此，我们应该学习微积分中的导数概念，更好地发掘和利用其在生活中的意义。
导数在生活中的应用例子
导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。
这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。
2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。
二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。
2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。
三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。
2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
(七)导数概念及应用
(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题． 考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（ ） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧ x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是 ．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。
导数在物理学中的应用举例
导数在物理学中的应用举例
导数是微积分的一个重要概念，它在物理学中具有广泛的应用。
下面是一些导数在物理学中的应用举例：
1.速度和加速度计算：导数在描述物体的速度和加速度方面发
挥着关键作用。
在物理学中，我们可以通过对位移函数进行求导来
计算速度和加速度。
例如，一个物体在时间t的位移函数s(t)可以
通过对s(t)关于t的导数来得到物体的速度v(t)，进一步对v(t)关于t 求导，可以得到物体的加速度a(t)。
2.斜率和曲线的切线：导数可以用来计算曲线在特定点的斜率。
在物理学中，我们经常需要计算曲线在某一点的斜率，以便确定物
体在该点的运动特性。
导数也可以用来计算曲线在特定点的切线方程，帮助我们更好地理解曲线的形状和特征。
3.极值和拐点：导数是寻找函数的极值点和拐点的有力工具。
在物理学中，我们经常需要确定物体在某一时刻的极值点，例如物
体的最大高度或最大速度等。
通过对物体的位移、速度或加速度函
数进行求导，我们可以找到这些极值点的位置和数值。
4.动力学方程：导数在描述物体的运动和力学方程中起着重要
作用。
通过对运动方程进行求导，我们可以得到物体的速度和加速
度之间的关系。
物理学中的很多重要方程都是基于导数的运算得到的，例如牛顿第二定律F=ma，其中a是加速度，m是质量，F是力。
综上所述，导数在物理学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于
计算速度、加速度和斜率等物理量，还可以用于寻找极值点和描述
物体的运动特性。
了解导数的概念和应用对于理解和研究物理学中
的各种现象和问题非常重要。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数在实际生活中有许多应用，例如：1. 物理学：导数被广泛应用于物理学中的运动学和动力学。
导数可以描述物体在某一时刻的加速度和速度，以及其位置和速度之间的关系。
例如，在抛物线运动中，导数可以用来描述物体在不同时间点的速度和加速度，从而可以预测物体的轨迹。
2. 经济学：导数在经济学中的应用非常广泛。
例如，在微观经济学中，导数可以用来描述供求关系、生产函数和成本函数。
在宏观经济学中，导数可以用来描述经济增长率、通货膨胀率和失业率等关键绩效指标。
3. 工程学：导数在工程学中的应用也非常广泛。
例如，在电力工程中，导数可以用来描述电流的变化率和电压的变化率，从而可以预测电路的性能。
在机械工程中，导数可以用来描述速度和加速度等关键参数，从而可以预测机械元件的性能。
4. 生物学：导数在生物学中的应用也很重要。
例如，在生物医学中，导数可以用来描述药物的代谢率和药物的效果，从而可以设计更有效的药物。
在生态学中，导数可以用来描述物种群的增长率和灭绝率，从而可以预测生态系统的稳定性和可持续性。
5. 计算机科学：导数在计算机科学中的应用也非常广泛。
例如，在计算机图形学中，导数可以用来定义曲线和曲面，从而可以绘制出复杂的图形。
在人工智能中，导数可以用来设计更高效的算法，例如反向传播算法用于神经网络的训练。
总之，导数在实际生活中有多种应用，涵盖了许多不同的领域，包括物理学、经济学、工程学、生物学和计算机科学。
了解导数的应用有助于我们更好地理解和应用微积分的原理。
导数及其应用生活中的优化问题举例
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准 确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化 问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以 降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析 ，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函 数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物 流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运 输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举 例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料 等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的 应力、应变分布，进一步优化结构设计。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的应用广泛而深远。
在物体运动的描述中，导数可以帮助我们准确地预测物体的速度和加速度。
在经济学中，导数被用来分析市场趋势和制定最优的经济政策。
医学领域中，导数可以帮助医生更好地理解生命体征数据，提高诊断和治疗的准确性。
工程领域中，导数在设计和优化各种系统、结构和器件中扮演着重要角色。
环境保护方面，导数可以帮助我们预测污染物在环境中的传播和影响。
导数在各个领域中的普遍性表明了其对现代社会的重要性。
通过对导数的深入研究和应用，我们能够更好地理解世界的运行规律，促进科技进步和社会发展。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、经济学、医学领域、工程领域、环境保护、普遍性、重要性1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用广泛而深远。
在日常生活中，我们可能并不经常意识到导数的存在，但实际上，导数在我们生活的方方面面都有着重要的应用。
导数可以帮助我们描述物体的运动，预测经济的发展趋势，提高医学诊断的准确性，优化工程设计的效率，以及保护环境资源的可持续性。
物体运动的描述是导数在实际生活中的最常见应用之一。
通过导数，我们可以精确地描述物体在空间中的位置、速度和加速度变化，从而帮助我们进行准确的运动分析和预测。
在交通规划中，导数可以帮助我们优化车辆的行驶路线，缓解交通拥堵问题；在体育比赛中，导数可以帮助我们分析选手的表现，并优化训练计划。
除了物体运动，导数在经济学、医学、工程和环保领域中也有着重要的应用。
在经济学中，导数可以帮助我们分析市场的供需关系，预测商品价格的波动趋势，优化投资组合的收益率。
在医学领域，导数可以帮助医生精确地分析患者的病情，提高诊断和治疗的效率。
在工程领域，导数可以帮助工程师优化产品设计，提高生产效率和质量。
在环境保护领域，导数可以帮助我们优化资源利用，减少能源消耗和环境污染，实现可持续发展。
导数在各个领域中都有着重要的应用，对现代社会的发展起着至关重要的作用。
导数在生活中应用例子
导数在生活中应用例子
导数是微积分中的一个重要概念，它在生活中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解和解决许多实际问题，比如物体的运动、变化率的计算等。
下面我们就来看一些导数在生活中的应用例子。
首先，导数可以帮助我们理解物体的运动。
比如一辆汽车在高速公路上行驶，我们可以通过对汽车的位置随时间的变化进行求导，来得到汽车的速度。
这样我们就可以通过导数来计算汽车的加速度、减速度等运动状态，从而更好地理解汽车的行驶情况。
其次，导数还可以用来计算变化率。
比如在经济学中，我们可以通过对某一商品的需求量随价格的变化进行求导，来得到需求量对价格的弹性。
这样我们就可以通过导数来计算商品的价格弹性，从而更好地了解市场需求的变化情况。
另外，导数还可以帮助我们优化问题。
比如在工程中，我们可以通过对某一工艺的成本函数进行求导，来得到成本函数的最小值点。
这样我们就可以通过导数来优化工艺成本，从而更好地提高工程效率。
总之，导数在生活中有着广泛的应用。
它可以帮助我们理解物体的运动、计算变化率、优化问题等，对于我们的生活和工作都有着重要的意义。
因此，学好导数对于我们更好地理解和解决实际问题是非常重要的。
希望大家能够在学习导数的过程中，能够更加深入地理解它在生活中的应用。
导数初步导数的定义计算与应用
导数初步导数的定义计算与应用导数初步导数是微积分学中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
导数的定义、计算以及应用都是我们学习微积分的基础知识。
本文将初步介绍导数的定义、计算方法以及一些实际应用。
1. 导数的定义在数学中，导数的定义是函数在某一点上的变化率。
对于一个函数f(x)，它在点x处的导数表示为f'(x)，也可以写作dy/dx或者df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来表示。
当x自变量趋于某一点a时，函数f(x)在点a处的导数可以用以下极限式来定义：f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)其中lim表示极限，x→a表示x趋向于a，[f(x) - f(a)] / (x - a)表示函数在x处两点间的差值，即斜率。
2. 导数的计算方法导数的计算在微积分中有一套具体的方法，可以帮助我们计算各种类型的函数的导数。
2.1. 常数函数的导数对于常数函数f(x) = C，其中C是一个常数，其导数为零，即f'(x) = 0。
因为常数函数在任何一点上的斜率都为零，表示该函数的变化率为零。
2.2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n（其中n是一个实数）的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于f(x) = x^2，其导数是f'(x) = 2 * x^(2-1) = 2 * x。
2.3. 指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是导数计算中常见的函数类型。
以下是一些常见的导数计算公式：指数函数f(x) = a^x（其中a是常数）的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
对数函数f(x) = log_a(x)（其中a是常数）的导数为f'(x) = 1 / [x * ln(a)]。
2.4. 三角函数的导数三角函数在导数计算中也常见，以下是一些常见的三角函数导数计算公式：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。
导数的应用
2
3
3
因此,f(x)的递增区间是: (2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递减区间是:
(2k
2
3
,2k
4
3
)(k
Z
).
(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1
1
x1 .
由xf
(x) 0 1 0
域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
定义域求两者的交集.
(3) f (x) x ax x2 (a 0);
解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:
f ( x) ax x2 x(a 2x) x(3a 4x) . 2 ax x2 2 ax x2
为增函数. 依题意应有 当 x (1,4)时, f (x) 0,当x (6,)时, f (x) 0.
所以 4 a 1 6. 解得 5 a 7.
所以 a 的取值范围是[5，7].
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沿途分布着季节性洲滩湖泊 散居在洪泽湖沿岸 南北长约10000m 河流转向西流横贯库尔勒市区 4%； 松门山海拔90.流域特征 经莎车、泽普、麦盖提、巴楚县 均处于振荡式的负向运动中 喀什地区首府喀什市 濉河 湖面周围形成了223平方千米的湿地 旱情减轻 被称为“白鹤王国” 白虾剥虾仁出肉率高 绕城与石梁河汇合入天井湖 十一圩港南起江阴北 迫使下荆江洪水从“华容隆起”的垭口（原小溪向北的流路）向南漫流 成朱联圩位于南昌市新建区境内 6% 另有淮沭新河和苏北灌溉总渠 向东偏南流 ?环庐山山南公路在鄱阳湖西北岸庐山市和濂溪区
导数的应用(单调性、极值、最值)
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
高中数学中的导数应用案例全面解析与计算
高中数学中的导数应用案例全面解析与计算导数是高中数学中的一个重要概念，在不同的数学问题中都有广泛的应用。
本文将通过一些具体案例，全面解析和计算导数的应用，以帮助读者更好地理解和应用导数。
案例一：汽车行驶问题假设一辆汽车以恒定的速度行驶，车速为v(t)（单位：m/s）。
我们需要求出汽车行驶过程中的加速度a(t)。
根据导数的定义，加速度a(t)可以表示为车速v(t)对时间t的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
由此，我们可以通过求车速对时间的导数得到加速度。
在具体计算中，我们可以用一个具体的函数来描述车速v(t)的变化规律。
例如，假设车速v(t) = 2t + 3，其中t为时间（单位：s）。
根据导数的计算规则，这个函数的导数即为加速度。
对v(t)进行求导，有：dv(t)/dt = d(2t + 3)/dt = 2因此，这辆汽车的加速度恒定为2 m/s²。
案例二：曲线的切线问题假设有一条曲线y = f(x)，我们需要求出该曲线在某一点P(x0, y0)处的切线斜率k。
根据导数的定义，斜率k可以表示为曲线y = f(x)在点P处的斜率，即k = dy/dx |x=x0。
其中，dy/dx表示y对x的导数，"|"表示在x=x0的意思。
在实际计算中，我们首先需要确定曲线函数f(x)的具体形式，以及点P(x0, y0)的坐标。
然后，对曲线函数进行求导，并将x的值代入导函数，即可得到切线斜率k的值。
以一个具体的例子来说明。
假设曲线为y = x²，要求在点P(2, 4)处的切线斜率k。
首先，对曲线函数y = x²进行求导，得到导函数dy/dx = 2x。
然后，将点P(2, 4)中的x坐标代入导函数2x，即可得到切线斜率：k = dy/dx |x=2 = 2(2) = 4所以，在曲线y = x²的点P(2, 4)处，切线的斜率为4。
通过以上两个案例，我们可以看到导数在不同数学问题中的应用。
导数的几何意义及应用
目
CONTENCT
录
• 导数的定义与几何意义 • 导数在几何中的应用 • 导数在物理中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步性质与定理
01
导数的定义与几何意义
导数的定义
瞬时速度
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率，也可以 理解为物体在某一瞬间的速度。
切线斜率
对于可微函数，其在某一点的导数即为该点处的切 线斜率。
垂直位移是物体在垂直方向上的位移，也可以通过积分计算 。
电路中的电流与电压
电流
电流是电荷在导体中流动的速率，表 示单位时间内通过导体的电荷量。导 数可以用来计算电流。
电压
电压是电场中两点之间的电势差，表 示电场力做功的能力。导数可以用来 计算电压。
04
导数在实际问题中的应用
经济中的最优化问题
利润最大化
详细描述
在导数大于0的区间内，曲线是凹的； 在导数小于0的区间内，曲线是凸的。
曲线的极值
01
02
03
04
总结词
导数的符号变化可以确定曲线 的极值点。
详细描述
当一阶导数由正变负或由负变 正时，对应的点就是曲线的极
值点。
总结词
导数的符号变化可以确定曲线 的极值点。
详细描述
当一阶导数由正变负或由负变 正时，对应的点就是曲线的极
导数与积分的关系
微积分基本定理
设函数$f(x)$在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则对于任意实数$a < c < d < b$，有$int_{c}^{d}f'(x)dx = f(d) - f(c)$。
导数的积分
若函数$f(x)$在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则对于任意实数$a < c < d < b$，有$int_{c}^{d}f'(x)dx = int_{a}^{b}f'(t)mathbf{1}_{[c, d]}(t)dt$。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用
导数是微积分中的重要概念，它代表了一个函数在某一点的局部变化率。
在实际生活中，导数有很多运用，下面我将介绍其中几个常见的应用：
1. 最优化问题：最优化是导数应用的一个重要领域，通过求函数的导数可以找到函
数的最大值或最小值。
在经济学中，市场需求曲线和供给曲线的交点处的价格和数量是市
场的均衡点，通过求导可以找到这个均衡点。
2. 积分求面积和体积：导数与积分是微积分的两大基本运算，导数可以用来求解函
数的变化率，而积分则可以反过来求解函数的变化量。
通过对速度函数求积分可以求得物
体的位移，对密度函数求积分可以求得物体的质量。
3. 实际问题的建模：导数有助于将复杂的实际问题转化为更简单的数学问题。
在物
理学中，当我们知道一个物体的加速度和初始速度时，可以通过对加速度函数积分求得速
度函数，再对速度函数积分求得位移函数，从而得到物体的运动轨迹。
4. 统计分析：导数在统计学中的应用很广泛，在回归分析中，通过求导可以得到最
小二乘法的估计结果，帮助我们找到最佳拟合的直线。
导数还可以用来求解概率密度函数、累积分布函数和概率分布函数等统计量。
5. 金融工程：导数在金融工程中也有重要的应用。
在期权定价模型中，通过对期权
收益率函数求导可以得到期权的风险中性概率，从而推导出期权的定价公式。
导数还可以
用来计算利率衍生品的风险敞口和风险管理。
导数在实际生活中的应用非常广泛，无论是在经济学、物理学、统计学还是金融工程
等领域，都有重要的作用。
掌握导数的概念和运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决
实际问题。
导数的应用概述
导数的应用概述导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的应用广泛，涉及到许多领域，如物理学、经济学、工程学等。
本文将对导数的应用进行概述，介绍几个常见的应用场景。
1. 最值问题导数可以用来求函数的最值。
我们知道，在一个可导函数的极值点处，导数为零或不存在。
因此，通过求函数的导数，并解方程找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。
然后通过二阶导数的符号来判断极值点的类型，是极大值还是极小值。
例如，我们有一个函数f(x)表示某商品的需求曲线，通过求导并解方程f'(x)=0，可以找到最大需求和最小需求的价格。
2. 切线与法线导数还可以用来求函数图像上的切线和法线。
切线是函数图像在某点的斜率，而斜率恰好就是该点处的导数值。
因此，我们可以通过求导得到函数在某点处的导数，从而得到该点的切线。
例如，我们有一个位置函数s(t)，表示某物体在时间t时的位置。
通过求导得到速度函数v(t)，我们可以知道在任意时间t时物体的速度，进而得到该时刻物体运动轨迹上的切线。
3. 函数图像的变化趋势函数的导数还可以用来描述函数图像的变化趋势。
根据导数的正负性，可以判断函数在某一区间上是递增还是递减。
例如，对于函数f(x)，如果在某区间上导数大于零，则说明函数在该区间上递增；如果导数小于零，则说明函数在该区间上递减。
这样，我们就可以通过函数的导数来判断其图像的升降性，并画出函数的大致图像。
4. 曲线的凹凸性导数的二阶导数可以判定函数图像上的曲线是凹还是凸。
具体地说，如果函数的二阶导数大于零，则函数图像是凹的；如果二阶导数小于零，则函数图像是凸的。
例如，对于函数f(x)，我们可以通过计算它的二阶导数f''(x)来判断函数图像在某一区间上的凹凸性。
这个判断对于模型的建立和问题的分析具有重要作用。
综上所述，导数作为微积分的重要工具，具有广泛的应用。
通过求导，我们可以解决最值问题、求切线和法线、描述函数图像的变化趋势以及判断曲线的凹凸性等。
导数的应用
导数的应用
导数是微积分中的重要概念，它有许多应用。
以下是一些常见的导数应用：
1. 切线和法线：导数可以用来确定函数曲线在某一点的切线和法线。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线的负倒数。
2. 最值问题：导数可以用来解决最值问题。
例如，对于一个函数，它的局部最大值或最小值出现在它的导数为零的点，或者在导数发生跃变的点。
3. 函数的增减性和凹凸性：导数可以用来研究函数的增减性和凹凸性。
如果函数在某一区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，函数是递减的。
函数的凹凸性则与导数的二阶导数有关。
4. 曲线的弧长：导数可以用来计算曲线的弧长。
通过对曲
线的参数方程或者极坐标方程进行导数运算，可以得到弧
长公式。
5. 高阶导数：导数可以进行高阶运算，即对导数再进行导数。
高阶导数可用于描述函数的曲率、加速度等更高阶的
变化特性。
以上只是导数的一些简单应用，实际上导数在数学、物理、经济学等领域有着广泛的应用，包括优化问题、速度与加
速度的计算、函数逼近等等。
《导数的应用举例》课件
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
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汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
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极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最 小值，解决实际问题
导数在物理中的 应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导 数是描述函数在 某一点处变化率 的概念，可以用 于描述物体在某 一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近 似
添加标题
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导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼 近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的 变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题 导数在经济学中的应用：求解边际效益 导数在经济学中的应用：求解边际成本 导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域 的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率 导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等 导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等 导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用
导数是微积分中一个非常重要的概念，它在实际生活中有很多应用，例如：
1. 物理学中的运动学问题。
例如，速度和加速度是运动学中的基本概念，它们可以通过对位移和时间的导数来计算。
2. 经济学中的边际效应。
经济学家使用导数来衡量某种经济活动的边际效应，即当增加一单位产量或消费时所产生的额外效果。
3. 工程学中的优化问题。
设计师和工程师使用导数来帮助他们优化设计和工艺，以减少生产成本并提高产品质量。
4. 医学中的生理学问题。
医学家使用导数来研究血压变化、血糖水平变化等生理学问题，以更好地进行治疗。
5. 数据分析中的趋势分析。
数据分析师使用导数来计算数据的变化率和趋势，以帮助企业作出更明智的经营决策。
因此，导数在各个领域都有广泛的应用，它可以帮助我们了解事物的变化规律，优化设计和生产过程，并帮助我们做出更好的决策。
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反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：①求函数f (x )的导数()f x '.②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？ ※ 典型例题例1 已知导函数的下列信息： 当14x <<时，()0f x '>； 当4x >，或1x <时，()0f x '<； 当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.※ 动手试试练1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）2()24f x x x =-+； （2）()xf x e x =-；（3）3()3f x x x =-； （4）32()f x x x x =--.练 2. 求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.三、总结提升※ 学习小结用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的定义域； ②求函数f (x )的导数()f x '.③令()0f x '=，求出全部驻点；④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间 注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.※ 知识拓展一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数()y f x =在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”，在(,)b +∞或(,)a -∞内的图象“平缓”.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ）A ．240b ac -<B ．230b ac -<C ．240b ac ->D ．230b ac ->2. （2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππD ．(2,3)ππ3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()0f x =D ．不能确定 4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）32()f x x x x =+-；（2）3()3f x x x =+； （3）()cos ,(0,)2f x x x x π=+∈.1. 已知汽车在笔直的公路上行驶：（1）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点.（2）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？§3.3.2函数的极值与导数学习目标1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.学习过程一、课前准备9396复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .二、新课导学※ 学习探究 探究任务一： 问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ， 刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.※ 典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0xo 1 2 y小结：求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)求方程f ′(x )=0的根（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+. （1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.※ 动手试试练1. 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升※ 学习小结1. 求可导函数f (x )的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.※ 知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也极小值2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A ．3269y x x x =++ B ．3269y x x x =-+ C ．3269y x x x =-- D ．3269y x x x =+-3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ） A ．3,3a b ==-或4,11a b =-= B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为1. 如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？ （2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？2. 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.§3.3.3函数的最大（小）值与导数⒈理解函数的最大值和最小值的概念； ⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤. 一、课前准备（预习教材P 96~ P 98，找出疑惑之处）复习1：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数的最大（小）值问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 试试：上图的极大值点 ，为极小值点为 ； 最大值为 ，最小值为 . 反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.※ 典型例题例 1 求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.小结：求最值的步骤 （1）求()f x 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值. 例2 已知23()log x ax b f x x ++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函图1 图2数；（2）)(x f 的最小值是1；若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.变式：设213a <<，函数323()f x x ax b =-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．※ 动手试试练1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．练2. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．三、总结提升※ 学习小结设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.※ 知识拓展利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0f x '=得到方程的根1x ，2x ， ，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．18 D ．202. 函数32()3(1)f x x x x =-< （ ） A ．有最大值但无最小值 B ．有最大值也有最小值 C ．无最大值也无最小值 D ．无最大值但有最小值3. 已知函数223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a 等于（ ）A ．32- B．12 C ．12- D ．12或32-4. 函数y x =-[0,4]上的最大值为5. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值，那么此函数在[2,2]-上的最小值是1. a 为常数，求函数3()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.2. 已知函数32()39f x x x x a =-+++，（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.§3.4生活中的优化问题举例（1）学习目标1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.学习过程一、课前准备101102，找出疑惑之处）复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2π上的最大值为_____；最小值为_______.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：优化问题问题：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息，这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，因此他打算申请这种贷款在购房时付清房款. （1）若贷款的利率为,(0,0.048)x x ∈，写出贷款量()g x 及他应支付的利息()h x ；（2）贷款利息为多少时，张明获利最大？新知：生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为优化问题.试试：在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为x 的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？反思：利用导数解决优化问题的实质是 .※ 典型例题例1班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为2128dm ，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周 空白面积最小？变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a 2m ，为使所用材料最省，底宽应为多少？x x x x 6060例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm .问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？小结：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单※ 动手试试练1. 一条长为100cm 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？练2. 周长为20的矩形，绕一条边边旋转成一个圆柱，求圆柱体积的最大值.三、总结提升※ 学习小结1．解决最优化的问题关键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围.2．实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.※ 知识拓展.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 某公司生产某种新产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是，则总利润最大时，每年生产的产品是（ ）A ．100B ．150C ．200D ．3002. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为（ ）A BC 3. 若一球的半径为r ，则内接球的圆柱的侧面积最大为（ ）A ．22r πB ．2r πC ．24r πD ．212r π4. 球的直径为d ，当其内接正四棱柱体积最大时的高为 .5. 面积为S 的矩形中，其周长最小的是. 1. 一边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒. (1)试把方盒的容积V 表示为x 的函数.(2)x 多大时，方盒的容积V最大？2. 在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，求梯形面积最大时，梯形的上底长为多少？§3.4生活中的优化问题举例（2）掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函.一、课前准备（预习教材P102~ P104，找出疑惑之处）复习1：已知物体的运动方程是23s tt=+（t的单位：s，s的单位：m），则物体在时刻4t=时的速度v= ，加速度a=复习2：函数32()23125f x x x x=--+在[0,3]上的最大值是最小值是二、新课导学※学习探究探究任务一：磁盘的最大存储问题问题：（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？（2）你知道磁盘的结构吗？（3）如何使一个圆盘的磁盘存储尽可能多的信息？新知：计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0和1，这个基本单元通常称为比特，磁盘的构造如图：为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时所要求所有磁道具有相同的比特数.试试：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域.（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解析：存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道数最多可达到.又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到.所以，磁盘总存储量为：()f r=※典型例题例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？例2已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为1004C q =+，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系为1004C q =+，价格P 与产量q 的函数关系式为1258p q =-，求产量q 为何值时，利润L 最大？※ 动手试试练1. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c x x x=<<-.求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率； （1）90%；（2）98练2. 一个距地心距离为R ，质量为M 的人造卫星，与地球之间的万有引力F 由公式2GMmF r=给出，其中M 为地球质量，G 为常量.求F 对于r 的瞬时变化率.三、总结提升※ 学习小结1. 解决优化问题与应用传统知识解应用题的唯一区别是：解题过程中需运用导数求出函数的最值.2. 在解决导数与数学建模问题时，首先要注意自变量的取值范围，即考虑问题的实际意义. 解决优化问题的过程实际上是一个典型的数学建模过程.※ 知识拓展微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支.微积分中的基本概念是极限、导数、※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 以长为10的线段AB 为直径为圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ）A ．10B ．15C ．25D ．50 2. 设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）ABC D ．3. 某商品在最近30天的价格()f t 与时间t （天）的函数关系是()10(030,)f t t t t N +=+<≤∈，销售量()g t 与时间t 的函数关系是()35(030,)g t t t t N +=-+<≤∈，则这种商品的销售多额的最大值为（ ）A ．406B ．506C ．200D ．500 4. 要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为723cm ，其底面两邻边长之比为1:2，则它的长为 ，宽为 ，高为 时，可使表面积最小.5. 做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为小结：例2 如图：过点(1,1)P 作直线AB ，分别与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴交于,A B 两点，当直线AB 在什么位置时，ABC ∆的面积最小，最小面积是多少？变式：用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？※ 动手试试练1. 如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 点按逆时针方向匀速转动（转动 角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是（ ）.练2. 某旅行社在暑假期间推出如下组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元.如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人.如何组团，可使旅行社的收费最多？三、总结提升※ 学习小结运用导数的知识解决有关函数问题的方法步骤.※ 知识拓展导数是研究函数的有力工具，也是解决函数最（极）值问题，从而是解决优化问题的一种通法.虽然用配方法求二次函数极值的方法很漂亮，但它只是特殊情况下的特殊解法，并不能解决三次函数等一般函数的极值问题，利用导数，我们可以求出满足方程()0f x '=的点，然后根据此点附近两侧导数的符号.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．0()f x 'B ．02()f x 'C ．02()f x '-D ．02. 32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值为（ ）A ．19/3 B.16/3 C.13/3 D. 10/33. 设28ln y x x =-，则此函数在区间1(0,)4和1(,1)2内分别为（ ）A.单调递增，单调递减B.单调递增，单调递增C.单调递减，单调递增D.单调递减，单调递减 4. 曲线32y x x =+- 在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则点0P 的坐标是5. 函数y=x+2cosx 在区间[0，21]上的最大值是1. 已知某养猪场每年的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量是400头.每养1头猪，成本增加100元.如果收入函数是21()4002R q q q =-+（q 是猪的数量），每年多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？（可使用计算器）2. 一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，如果此船速度是10/km h ，那么每小时的燃料费是80元. 已知船航行时其他费用为480元/时，在20km 航程中，航速多少时船行驶总费用最少（精确到1/km h ）？此时每小时费用等于多少（精确到1元）（可用计算器）定积分的概念 1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件； 3．明确定积分的几何意义和物理意义；4．无限细分和无穷累积的思维方法.一、课前准备 （预习教材P 42~ P 55，找出疑惑之处） 复习1：函数23(sin )y x =的导数是复习2：若函数2log (23)a y x x =--的增区间是(,1)-∞-，则a 的取值范围是二、新课导学※ 学习探究探究任务一：曲边梯形的面积问题：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把直线x a =，x b =()a b ≠，0y =和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢？研究特例：对于 1x =，0y =，2y x =围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程 分割⇒近似代替⇒求和⇒取极限2.定积分的定义：1()lim ()n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 3.定积分的几何意义：4.定积分的性质：（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数） （2）1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（3）()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a cb <<）试试：求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积.反思：在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点）※ 典型例题例1 利用定积分的定义，计算130x dx ⎰的值变式：计算230x dx ⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么？例2 计算定积分120(2)x x dx -⎰变式：计算定积分21(1)x dx +⎰※ 动手试试练 1. 计算130x dx ⎰，并从几何上解释这些值分别表示什么.练2. 计算031x dx -⎰，并从几何上解释这些值分别表示什么.三、总结提升※ 学习小结1. 求曲边梯形的面积；2. 会计算定积分.※ 知识拓展定积分把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题的结果，表示成了同样的形成.这显示这定积分的强大威力，也再.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且(())()F x C f x '+=，（C 为常数），则0()()lim x F x x F x x∆→+∆-=∆（ ）A ．()F xB ．()f xC ．0D ．()f x ' 2. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上的平均值为（ ）A ．()()2f a f b + B ．()b af x dx ⎰C ．1()2b a f x dx ⎰D ．1()baf x dx b a -⎰3. 设()f x 是连续函数，且为偶函数，在对称区间[,]a a -上的定积分()aa f x dx -⎰，由定积分的几何意义和性质()aaf x dx -⎰=（ ）A ．0B ．02()af x dx -⎰C ．0()af x dx -⎰ D ．0()af x dx ⎰4.1x e dx ⎰与21x e dx ⎰的大小关系为5. 3531(sin 2x dx -+⎰=1. 试用定积分的几何意义说明⎰的大小.2. 简化下列格式，并画出所表示的图形的面积.212232x dx x dx ---+⎰⎰微积分基本定理1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分; 3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()F x f x '=的函数()F x .5761复习1：函数33cos y x x =的导数为复习2：若函数2()cos (3)3f x x π=+，则2()9f π'=二、新课导学※ 学习探究探究任务一：导数与定积分的联系问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度()()v t s t '=.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为S ，你能分别用(),()s t v t 表示S 吗？新知：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿—莱布尼兹公式为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()bb aaf x d x F x F b F a ==-⎰试试：计算120x dx ⎰反思：计算定积分()baf x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出()F x .※ 典型例题例1 计算下列定积分：（1）211dx x ⎰；（2）3211(2)x dx x -⎰变式：计算0⎰小结：计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x .例2. 计算下列定积分：sin xdx π⎰，2sin xdx ππ⎰，20sin xdx π⎰.变式：计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释.22cos dx ππ-⎰；0cos dx π⎰；322cos dx ππ-⎰小结：定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0： （1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积； （2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积； （3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.※ 动手试试练1. 计算：211()x dx x-⎰练2.计算0sin xdx π-⎰三、总结提升※ 学习小结1.理解掌握牛顿—莱布尼兹公式()()()baf x dx F b F a =-⎰.2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键.※ 知识拓展微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 设连续函数()0f x >，则当a b <时，定积分()baf x dx ⎰的符号（ ）A ．正 B.当0a b <<时为正，当0a b <<时为负 C ．负 D ．以上结论都不对2. 函数0cos xy xdx =⎰的一阶导数是（ ）A ．cos xB ．sin x -C ．cos 1x -D ．sin x 3. 与定积分320|sin |x dx π⎰相等的是（ ） A ．320|sin |xdx π⎰ B ．320sin xdx π⎰ C ．320sin sin xdx xdx πππ-⎰⎰ D.32202sin sin xdx xdx πππ+⎰⎰4. 211)dx ⎰=5.2211dx x⎰=。