广东省惠州市届高三第一次调研考试数学理试题扫描版
广东惠州市2022届高三第一次调研考试数学试题(含答案)
数列，它的递推公式是 an = an−1 + an−2 (n 3, n Ν ) ，其中 a1 = 1 ， a2 = 1 ．若从该数
列的前 300 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（
A．
1
3
B．
33
100
C．
1
2
）．
D．
67
100
8．已知等比数列 {an } 的各项均为正数，公比为 q ，且 a1 1 ，a6 + a7 a6 a7 + 1 2 ，记 {an }
题号
9
10
11
12
全部正确选项
AD
ABD
CD
BCD
9．【解析】 f x 2sin 2 x
， T 4 ，A 正确；，将 f x 2sin 2 x 的
3
3
3 12
第 1 页，共 11 页
图象右移
所以(80 < ≤ 120) ≈ 0.9545．因此本次考试 120 分以上的学生约有20000 ×
1−0.9545
2
= 455人.
7．【解析】依题意数列第 1、2 项为奇数，第 3 项为偶数，第 4、5 项为奇数，第 6 项又为偶数，依次循
环，因此共有偶数
8．【解析】
又
300
100 1
100 ，因此 P
如图，在平面四边形 ABCD 中， ABC =
2
， BAC = DAC ，______，
3
CD = 2 3 ， AB = 2 ，求 AC．
【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．】
2023年广东省惠州市高三一模数学试卷(含答案与解析)
惠州市2023届高三第一次模拟考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知复数z 满足 1243z i i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（）A.2B.2iC.1D.i 2.设集合Z10021000xM x ∣，则M 的元素个数为（）A.3B.4C.9D.无穷多个3.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第15百分位数为（）A.69B.70C.75D.964.如图1，在高为h 的直三棱柱容器111ABC A B C -中，2,AB AC AB AC ==^．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为11A B C （如图2），则容器的高h 为（）A. B.3C.45.若cos tan 3sin ，则sin 22π（）A.23B.13 C.89D.796.“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A.yB.yC.yD.y 7.已知二项式*2N nx n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（）A.27B.37 C.14D.388.若函数 f x 的定义域为D ，如果对D 中的任意一个x ，都有 0,f x x D ，且 1f x f x ，则称函数 f x 为“类奇函数”．若某函数 g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）A.若0在 g x 定义域中，则 01gB.若 max 44g x g ，则 min 144g x gC.若 g x 在 0, 上单调递增，则 g x 在 ,0 上单调递减D.若 g x 定义域为R ，且函数 h x 也是定义域为R 的“类奇函数”，则函数 G x g x h x 也是“类奇函数”二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.下列四个命题中为真命题的是（）A.若随机变量 服从二项分布14,4B，则 1E B.若随机变量X 服从正态分布23,N，且 40.64P X ，则 230.07P X C.已知一组数据12310,,,,x x x x 的方差是3，则123102,2,2,,2x x x x 的方差也是3D.对具有线性相关关系的变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m ，若样本点的中心为 ,2.8m ，则实数m 的值是410.若62,63a b ，则（）A.1b aB.14abC.2212a b D.15b a11.已知抛物线 2:20C y px p 的焦点为F ，过F且斜率为的直线交抛物线C 于A 、B 两点，其中A 在第一象限，若3AF ，则（）A.1p B.32BFC.以AF 为直径的圆与y 轴相切D.3OA OB12.在如图所示的几何体中，底面ABCD 是边长为4的正方形，111,,,AA BG CC DD 均与底面ABCD 垂直，且1112AA CC DD BG ，点,E F 分别为线段1,BC CC 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线1A G 与AEF △所在平面相交B.三棱锥1C BCD -的外接球的表面积为80πC.直线1GC 与直线AE所成角的余弦值为35D.二面角1C AD C 中，N 平面1C AD ，M 平面,,BAD P Q 为棱AD 上不同两点，,MP AD NQ AD ，若2MP PQ ，1NQ，则MN 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c ﹣a=___________．14.过点 1,1P 的弦AB 将圆224x y 的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则AB __________．15.函数 πsin 03f x x的非负零点按照从小到大的顺序分别记为12,,x x ，,n x ．，若32π2x x，则n x 的值可以是__________．（写出符合条件的一个值即可）16.已知点D 在线段AB 上，CD 是ABC 的角平分线，E 为CD 上一点，且满足0,6,14AD AC BE BA CA CB BA AD AC，设,BA a 则BE 在a 上的投影向量为__________．（结果用a表示）．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知数列 n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n ．（1）求数列 n a 的通项公式；（2）记 21log 2n n b a ，求数列11n n b b的前n 项和n T ．18.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ．（1）当BDcos A C 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．（2）记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S 的最大值．19.如图，在四棱台1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 是菱形，1111,2AA A B AB ，160,ABC AA 平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：1C M 平面11AA B B ；（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D 的余弦值为1?3若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．20.已知函数 2e xx ax af x．（1）当2a 时，求 f x 在1,1f 处的切线方程；（2）当0x 时，不等式 2f x 恒成立，求a的取值范围．21.已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b的焦距为C 右支上一动点 00,P x y 到两条渐近线12,l l 的距离之积为245b ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线l 是曲线C 在点00,P x y 处的切线，且l 分别交两条渐近线12,l l 于M N ､两点，O 为坐标原点，求MON △的面积．22.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n 天选择米饭套餐的概率为n P ．（i ）证明：25n P为等比数列；（ii ）证明：当2n 时，512n P．【参考答案与解析】1.【答案】A【解析】因为435i ，所以 12435z i i ，则 5125510121212125i i z i i i i，故复数z 的虚部为2 .故选：A.2.【答案】A【解析】由函数2x y 在R 上单调递增，及67910264,2128,2512,21024 ，可得 7,8,9M ，则其元素个数为3，故选：A ．3.【答案】B【解析】因为815% 1.2 ，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的15%分位数为第2个数据70.故选：B ．4.【答案】B【解析】由图2知:11111113C A B C A B C V S h -= ,其中h 表示三棱柱的高，故111111111111111111233ABC A B C ABC A B C C A B C A B C A B C A B C V V V S h S h S h ---=-=-= ,因此可知无水部分体积与有水部分体积比为1:2，所以图1中高度比为1:2，得3h ．故选：B ．5.【答案】D【解析】因为cos tan 3sin ，所以sin cos cos 3sin，即223sin sin cos ，所以223sin sin cos 1 ，即1sin 3，所以27sin 2cos212sin 2π9，故选：D ．6.【答案】C【解析】由图可知，“心形”关于y 轴对称，所以上部分的函数为偶函数，则函数y 和yB 、D ；而y 0,0， 2,0 ， 2,0，且02x时，22422x x y，当且仅当x 时，等号成立，即函数y 的最大值为2，又“心形”函数的最大值为1，故排除A ；由y0,0， 2,0 ， 2,0，且02x时，1y ，当且仅当1x 时，等号成立，即函数y 的最大值为1，满足题意，故C 满足.故选：C ．7.【答案】A【解析】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7项，故6n ，展开式的通项36662166C 2C 2rr rrr r r T x x ，当r 是偶数时该项为有理项，0,2,4,6r 有4项，所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为2427C 2C 7P ．故选：A ．8.【答案】C【解析】对于A ，由函数 g x 是“类奇函数”，所以 1g x g x ，且 0g x ，所以当0x 时， 100g g ，即 01g ，故A 正确；对于B ，由 1g x g x ，即1,g x g x g x 随 g x 的增大而减小，若 max ()44g x g ，则 min 1()44g x g成立，故B 正确；对于C ，由 g x 在 0, 上单调递增，所以1g x g x，在 0,x 上单调递减，设 ,0t x ，g t 在 ,0t 上单调递增，即 g x 在 ,0x 上单调递增，故C 错误；对于D ，由 1,1g x g x h x h x ，所以 1G x G x g x g x h x h x ，所以函数G x g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C 9.【答案】AC【解析】对于A ，由于14,4B ，则 1414E ，故A 正确；对于B ，23,,(34)0.640.50.14X N P X ∵，故 23(34)0.14P X P X ，故B 错误；对于C ，12310,,,,x x x x ∵的方差是3，则123102,2,2,,2x x x x 的方差不变，故C 正确；对于D ，∵回归方程必过样本中心点，则2.80.3m m ，解得4m ，故D 错误.故选：AC.10.【答案】ABD【解析】因为63,62b a ，所以66log 3,log 2b a ，则1a b ，选项A ，6226log 3log 3log 21log 2b a ，故A 正确；选项B ，因为666log 3log 2log 61a b ，且0,0,a b a b ，所以21()24a b ab ，故B 正确；选项C ，因为22211()2121242a b a b ab ab ，故C 错误；选项D ，因为 666324355log log log 61232b a ，故D 正确，故选：ABD ．11.【答案】BCD 【解析】设(2pF ，0)，则过F的直线斜率为)2p y x ，代入抛物线方程消去y 可得：22450x px p ，解得124p x p x ，，因为点A 在第一象限，所以A x p ，4B px ，则3||322A p pAF x，所以2p ，A 错误，33||4242B p p p BF x，B 正确，由2p 可得抛物线的方程为：24y x ，且(2A，，1(,2B ，所以1(,1432OA OB ，D 正确，AF的中点横坐标为32，以AF 为直径的圆的半径为32，所以圆心到y 轴的距离等于半径，则以AF为直径的圆与y 轴相切，C 正确，故选：BCD ．12.【答案】BCD【解析】由已知可得该几何体为长方体截去一个角，对于A ，连接11,D F D A ，可证得11,,,,D A EF A E F D ∥四点共面，又可证得11∥AG D F ，所以1A G ∥平面AEF ，故A 错误；对于B ，三棱锥1C BCD -的外接球半径112R AC三棱锥1C BCD -的外接球的表面积为24π80πR ，故B 正确；对于C 项，易证AB ⊥BF ，AB ⊥C 1F ，FC 1⊥BE ，则118AE GC AB BE GF FC，111cos ,35AE GC AE GC AE GC∣∣，故C 正确；对于D 项，设二面角1C AD B 的平面角为 ，则1C DC ，所以1tan C CCD，于是60 ，MN MP PQ QN ∵，且,,,120MP PQ PQ QN MP QN22222()27,MN MP PQ QN MP MP QN MP QN MN故D正确．故选：BCD ．13.【答案】72【解析】由等差数列的性质可得2b=2+9，解得112b ，又可得111522222a b，解之可得154a ，同理可得11292922c，解得294c ，故29157442c a .14.【答案】【解析】因为弦AB 将圆分成两段弧长之差最大，此时AB 垂直OP ，由圆的半径为2,OP，由勾股定理得AB ．故答案为：15.【答案】π3（答案不唯一）【解析】由题意得32π22T x x ，πT ，∵0 ，∴2π2π， πsin 23f x x，令π2π,Z 3x k k，即ππ,Z 26k x k ， ππ1,2,3,26n n x n ，对n 取特殊值即可，取1n ，得1π3x ；取2n ，得2π5,6x （答案不唯一）．故答案为：π316.【答案】27a （或填27a）【解析】由14BA ，可设 7,07,0A B ､，由6CA CB，得点C 的轨迹是以A B ､为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）.因为CD 是ABC 的角平分线，且(0),AD ACBE BA AE AD AC故AE 也为ABC 的角平分线，E 为ABC 的内心.如图，设 00,E x y ，,,EM AC EQ AB EN BC ，则由双曲线与内切圆的性质可得，6AC BC AM BN AQ BQ ，又14AQ BQ ，所以，734BQ ，BE在a上的投影长为4，则BE 在a上的投影向量为42147a a ．故答案为：27a17.【答案】（1）当1n 时，111225S a a ，解得13a ，当2n 时， 112215n n S a n ．可得 112252215n n n n S S a n a n ，整理得：122n n a a ，从而 12222n n a a n ，又121a ，所以数列 2n a 是首项为1，公比为2的等比数列；所以 1112222n n n a a ，所以122n n a ，经检验，13a 满足122n n a ，综上，数列 n a 的通项公式为122n n a ；（2）由（1）得122n n a ，所以122n n a ，所以 21log 2n n b a n ，1111111n n b b n n n n，所以12233411111n n n T b b b b b b b b11111111.1223341n n1111n n n【解析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n 求出首项及122n n a a ，构造法求出通项公式；（2）求出 21log 2n n b a n ，从而利用裂项相消法求和.18.【答案】（1）法一：在ABD △中，由余弦定理222cos 2 AD AB BD A AD AB，得222cos A2168BD A ①，同理，在BCD △中，22222cos 222BD C ，即28cos 8BD C ②，①cos 1A C ，所以当BDcos A C 为定值，定值为1；法二：在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AD AB A得222222cos BD A，即216BD A ，同理，在BCD △中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C ，所以1688cos A C ，1cos A Ccos 1A C ，所以当BDcos A C 为定值，定值为1；（2）222222221211sin sin 44S S AB AD A BC CD C222212sin 4sin 12sin 44cos A C A C2212sin 41)A A224cos 12A A ，令 cos ,1,1A t t ，所以22241224146y t t，所以6t，即cos 6A时，2212S S 有最大值为14．【解析】（1）法一：在ABD △2168BD A ，在BCD △中由余弦定理得28cos 8BD C ，两式相减可得答案；法二：在ABD △中由余弦定理得216BD A ，在BCD △中由余弦定理得288cos BD C ，两式相减可得答案；（2）由面积公式可得2212S S 224cos 12 A A ，令 cos ,1,1A t t 转化为二次函数配方求最值即可．19.【答案】（1）方法一：连接1B A ，由已知得，11B C BC AD ∥∥，且1112B C AM BC ，所以四边形11AB C M 是平行四边形，即11C M B A ∥，又1C M 平面11AA B B ，1B A 平面11AA B B ，所以1C M 平面11AA B B ．方法二：连接11,B A MD ，由已知得11AA MD ∥，且11AA MD ，11111111MC MD D C AA A B AB，即11C M B A ∥，又1C M 平面11AA B B ，1B A 平面11AA B B 所以1C M 平面11.AA B B （2）取BC 中点Q ，连接AQ ，由题易得ABC 是正三角形，所以AQ BC ，即AQ AD ，由于1AA 平面ABCD ，分别以1,,AQ AD AA 为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，110,0,0,0,0,1,0,1,1,3,0,0A A D Q，假设点E 存在，设点E 的坐标为3,,0,11 ，13,,0,0,1,1AE AD，设平面1AD E 的法向量 ,,n x y z r ，则10n AE n AD，即30y y z ，可取 ,3,3n ，又平面1ADD 的法向量为3,0,0AQ，所以231cos ,336AQ n AQ n AQ n，解得：32 ，由于二面角1E AD D 为锐角，则点E 在线段QC 上，所以32，即312CE．故BC 上存在点E ，当312CE 时，二面角1E AD D 的余弦值为13．【解析】（1）连接1B A ，可得四边形11AB C M 是平行四边形，或11MC AB，从而11C M B A ∥，可证得1C M 平面11AA B B ；（2）取BC 中点Q ，连接AQ ，分别以1,,AQ AD AA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，假设点E 存在，设点E 的坐标为3,,0,11 ，可得平面1AD E 的一个法向量 ,3,3n，平面1ADD 的一个法向量为3,0,0AQ，由二面角1E AD D 的余弦值为13，可得 的值，可得CE 的长．20.【答案】（1）当2a 时， 2222,e exx x x x f x f x ．故切线的斜率 1e k f ，又 1e,f 切点为1,e 切线方程为 e e 1y x ，化简得e 0x y ．（2）法1：当0x 时， 2f x 恒成立，故22e xx ax a，也就是22e x x ax a ，即 212e xa x x ，由10x 得22e 1x x a x ，令 22e 01x x h x x x ，则2222e212e 2e2(1)(1)xx xx x x x x h x x x，令 2e 2xt x x ，则 2e 1xt x ，可知 t x在 0, 单调递增，则 01t x t ，即 0t x 在 0, 恒成立，．故 t x 在 0, 单调递增，所以 00t x t ，故 0h x 在 0, 恒成立．所以 h x 在 0, 单调递增，而 02h ，所以 2h x ，故2a ．法2：因为当0x 时， 2f x 恒成立，故max ()2f x ，由2220e e x xx x a x a x f x x ，令 0f x ，得0x 或2x a ，①当20a ，即2a 时， 0f x 在 0,x 上恒成立，()f x \在 0, 上单调递减， max 0()02af x f a e， 2a 不合题意，2a 合题意．②当20a ，即2a 时，当 0,2x a 时()0f x ¢>，当 2,x a 时 0f x ，故 f x 在0,2a 上单调递增，在 2,a 上单调递减，max 24()2e aaf x f a，设220,e t t a t y，则10etty 恒成立，2e t t y 在 0, 上单调递减，故2022e 1t t 即max ()2f x ，合题意．综上，2a ．法3：因为当0x 时， 2f x 恒成立，也就是22e x x ax a ，即22e 0x x ax a 恒成立，令22e ,0,xh x x ax a x ，令 2e 2,2e 2xxS x h x x a S x ，0,e 1,0x x S x ∵恒成立， h x 在 0, 上单调递增．min ()02h x h a ．①当20a ，即2a 时， 0,h x h x 在0, 上单调递增，min ()020h x h a ，合题意；②当20a ，即2a 时，ln02a，因为 020h a ，2ln 0ln22a a h，存在 00,x ，使得 00h x ，即002e2x x a ．h x 在 00,x 上单调递减，在 0,x 上单调递增．0222min 00000000()2e 220x h x h x x ax a x a x ax a x a x ，不合题意．综上，2a ．【解析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程.（2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围，我们也可以利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围.21.【答案】（1）双曲线C 的渐近线方程为0bx ay 和0bx ay ，222222002222b x a y a b a b，由题意可得2222245b a b a b，又2c 2225c a b ，解得2,1,a b 则双曲线的方程为221;4x y （2）当直线斜率不存在时，易知此时 2,0P ，直线:2l x ，不妨设 2,1,2,1M N ，得2MON S △；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m ，与双曲线的方程2244x y 联立，可得222418440k x kmx m ，由直线与双曲线的右支相切，可得222Δ(8)441440km k m ，故2241k m 设直线l 与x 轴交于D ，则,0m D k．又双曲线的渐近线方程为12y x，联立12y x y kx m ，可得2,1212m m M k k ，同理可得2,1212mm N k k ，1||||22MON MOD NOD M N M N m S S S OD y y k x x k2222242||||221212214m m m m m m k k k k k k k m综上，MON △面积为2．【解析】（1）由点到直线的距离公式及双曲线定义计算即可；（2）分类讨论斜率的存在情况，联立直线与双曲线、渐近线方程结合韦达定理计算面积即可.22.【答案】解：（1）设1A “第1天选择米饭套餐”，2A “第2天选择米饭套餐”，则1A “第1天不选择米饭套餐”．根据题意 123P A， 113P A ， 2114P A A ，2111122P A A ．由全概率公式，得21211212111134323P A P A P A A P A P A A ．（2）（i ）设n A “第n 天选择米饭套餐”，则 n n P P A ，1n n P A P ，根据题意114n n P A A ，111122n n P A A ．由全概率公式，得1111111114242n n n n n n n n n n n P P A P A P A A P A P A A P P P．因此1212545n n P P．因为1240515P，所以25n P是以415为首项，14为公比的等比数列．（ii ）由（i ）可得12415154n n P．当 n 为大于1的奇数时，1224124155154515412n n P．当 n 为正偶数时，1241255154512n n P．因此 2n 当时，512n P ．【解析】（1）设1A “第1天选择米饭套餐”，2A “第2天选择米饭套餐”，1A “第1天不选择米饭套餐”．由全概率公式有2121121P A P A P A A P A P A A ，计算可得；（2）（i ）设n A “第n 天选择米饭套餐”，则 n n P P A ，依照（1）可得1n P 与n P 的关系，然后根据等比数列定义证明；（ii ）求出通项公式n P ，然后分类讨论证明结论．。
惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题含解析
图1图2惠州市2024届高三第一次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1.已知集合{}*|,6U x x x =∈≤N ，{}1,2,3A =，{}3,5B =，求()U A B = ð（）团用数学软件制作“蚊香”模型，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D ，由此得到第1段圆弧 AD ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到如图2所示的“蚊香”恰好有11段圆弧时，则该“蚊香”的长度为（）A ．14πB ．18πC ．30πD ．44π多项符合题目要求。
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且12d a =，59a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=-，求{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，AD ⊥平面ABC ，//AD BE ，2AD BE =，AB BC =.（1）问：在线段CD 上是否存在点P ，使得PE ⊥平面ACD ？若存在，请指出点P 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．（2）若AB =，2AC =，2AD =，求平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为()0,1F ，O 为坐标原点，线段OA 的中点为D ，且BD DF =．（1）求C 的方程；（2）已知点M N 、均在直线2=x 上，以MN 为直径的圆经过O 点，圆心为点T ，直线AM AN 、分别交椭圆C 于另一点P Q 、，证明直线PQ 与直线OT 垂直．22．（本小题满分12分）惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分题号12345678答案BCACDBDA1.【解析】由已知可得{}1,2,3,5A B ⋃=，{}1,2,3,4,5,6U =，所以(){}6,4=B A C U ，故选：B ．5.【解析】由弧长公式r l ⋅=α得：r l ⋅=31，r l 232⋅=，r l 333⋅=，...，r l 11311⋅=，其中1==AB r ，()ππ44113213211321=+⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++=∴l l l l L 蚊香的长度故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。
(整理)广东省惠州市届高三第一次调研考试数学理试题扫描版
起来，心想：父亲，你为什么不也是干部，你怎么偏偏当一辈子农民??“我送你去吧，⑤第二天天未亮，窗外刮起了呼呼的北风，窗户的塑料纸被吹得啪啪作响，外面是一片片的雪白。我摸索着穿上衣服收拾书包。父亲说：）我往书B（“你就别去了，不就开个会吗？再说，别人的家长是干部，你又不会发言??”打开屋门，一股风雪涌进屋来，好大的雪，下雪了??”我说：包里塞进两个窝头和一块老咸菜，咬咬牙，冲进风雪之中。凉凉的天，凉凉的心：父亲，对不起您了，我是真心想让您分享我的光荣的，可是，班上就我一个乡下孩子，那么多家长，就你一个人种地的??不知过了多长时间，当学校响起预备铃时，我迈进学校的大门。雪仍纷纷扬扬地下着，几辆吉普车和轿车很显眼地停在操场上。⑥铃声响过后，校长登台讲话，校长的讲话不时激起同学们和家长们的一阵阵掌声和笑声，而此时的我身上冷得厉害，肚子饿得厉害，心里孤单得厉害。我无心听校长的讲话，随意把目光投向窗外的风雪，就这么一刹那，我惊呆了??⑦父亲，父亲来了！他正透过一扇玻璃向里望，仔细聆听着校长的讲话。我扬扬手臂，父亲看着我，向我使劲摆摆手。风正吹，雪正舞，父亲的肩头一片雪白??⑧一阵掌声响起来，有同学使劲扯扯我的衣服，校长正叫我的名字，同时手里展开一张鲜红的奖状：我下意识地走向讲台，校长很慈祥地凝视着我。一刹那，我的泪水涌出眼帘，我手指窗外??礼堂里所有的目光都齐刷刷地投向窗外，投向我的父亲。校长一个箭步下了讲台，打开门。风雪呼啸着涌入礼堂，父亲跨进来，抖落身上的一层雪花。⑨我说：这是我的——父亲！热烈的掌声响起?? ⑩放学时，我和父亲步出礼堂，父亲说：你其实没必要自卑，别人的歧视都是暂时的。男子汉，只要勤奋，别人有的，咱们自己也会有?? :]来源[分）2（．通读全文，在横线上填上适当的短语，概括出“我”的心理变化过程。13 :]来源[ __ ——自卑于盾—— _孤独恐惧——分）4（．分析文中画线句子的表达效果。14）父亲的笑容一下子凝固了。A（答：）我往书包里塞进两个窝头和一块老咸菜，咬咬牙，冲进风雪之中。B（答：分）3．小说多次描写风雪，其作用是什么？（15答：分）3（．聪系全文，简要分析小说中父亲这一人物形象。16答：分）4（．这篇小说意蕴丰富，引人深思，请结合作品，谈谈你获得了哪些启示。17答：独对夕阳美好邓皓①从什么时候起，我便钟爱了夕阳呢？②一幕高挂的天空里，一轮夕阳托举在云层里，恬静而美好，那光泽绚烂而不炽热，如淬了烈焰的钢。而周遭的云霞蔚为壮观，编组成一块五彩的画屏。你专注于看那画屏时，那夕阳就分明跃坐于画屏之上，像极了安详静坐的禅者。③浩然的天宇许多的时候是单调而苍白的，无数的日子太阳就一整天不肯露出脸来，所以，你去看天，没有一个时光比夕阳叠挂于蓝天更美好。哪怕日出时的那种辉煌，也远远比不过夕阳隐退时的那份沉静的壮观。何况，欣赏美丽要有一份清静、怡然的心态。在观望日出和日落之间，谁会拥有更多的怡然，还用说么？④小的时候，家乡有一条河，是河却唤作沱江。我是因为沱江爱极了夕阳的。那时，我们喜欢去沱江边戏耍，打水漂，捉螃蟹，几个人一块的时候，还能划船呢！尤其是秋天，汛期之后河水退去，整个的沱江静若处子。站在沱江岸边，极目远眺，弯弯曲曲的便是一条白白的练带。你的思绪就要随着这素洁的练带翔舞开来。而黄昏的时候，我们便看到一只只白色的水鸟在亮翅斜飞，时而掠过水面画出一圈圈涟漪，无穷的自在。而这时夕阳总是倒映在清澈而静寂的沱江里。远远望去，便函是一团火球在五彩的光波里沐浴。我们心里感受着这无穷的美好，却不知早在一千多年前王勃就吟诵过“落霞与孤鹜齐飞，秋。那时，小小的我只知夕阳的美丽，却无论如何不知道在夕阳里寻觅一份美好的心境。犹如那时候生活在乡下的我，看着父母从田水共长天一色”的佳句了间归来，脸上总挂着幸福而满足的神情。我以为是他们自己心里有什么快乐了，却不知他们的快乐来自于他们踏着夕阳归来的那份心情。⑤待我慢慢长大，我才知道人类生命中一半的美丽来自于对自然景观的留意和欣赏。我不敢想像天空没有日月星辰的轮回会是什么模样？季节没有春夏秋冬的变迁会是怎样的萧索？树木没有春华秋实的更替会是怎样的荒凉？我于是开始留意生活中美好的一切！而这份留意让我发现了人生原本充满着好丰富的情趣！也许是作家大都喜欢孤独和宁静，我是极其喜欢在夕阳里沉思遐想的。面对一轮夕阳，端坐在阳台上，或者散步在郊野，让桔红色的光波在周身沐浴，摊开手来，握一把暖暖的夕阳，你便能找到“悠然见南山的心境了。而正是在这种恬然的心境下，你的思绪便纷纷扬扬地散开来，那份情境沉浸而美好。，或许其中最奇谲的灵感和哲思就来自于夕阳下的思考呢！你呆以想像卢梭的名著《一个孤独的散步者的遐想》却以她博大和壮观的内蕴扩展着我的那夕阳虽然静默不语，⑥有时候，我会被人生的一些不如意弄得情绪低落，而这时候最是我独对夕阳沉思的时候。心胸。人生难免有失意和挫折，就像这夕阳如此美好，也有消融在天际的时候。而自信的人儿不是乐观地道出了一句“夕阳今朝落下去，明朝依旧爬上来”么？我于是更加喜欢在夕阳里审读人生，去用心感触生命中的点点滴滴。久而久之，我把独对夕阳的静思看成是对人生的一种参禅。⑦是的，人生的美好是无穷尽的，只要你有心投靠美丽。所以有人说贫穷而能听到风声也是好的。何况，我真是一无所有的时候，我还可以在自己的居室里独对夕阳的美好。甚至，我可以对那轮夕阳说：你整个儿就是我的呢！让人快慰的是，夕阳并不责备我的贪婪。:Z&xx&]来源[⑧于是，一些简简单单的日子里，我不惧怕贫穷的劳碌，我庆幸，我能以一颗丰盈的心小心地爱着我拥有的生活。分）3（．通读全文，概括“我”所钟爱的夕阳有哪些特点。18答：分）3（．阅读第④段，简要概括“我是因为沱江爱极了夕阳”的原因。19答：分）4（．请从修辞和词语运用的角度，简要赏析下面的句子，20像极了安详静坐的禅者。①那夕阳就分明跃坐于画屏之上，．．．．．．．．．．答：贪婪。②而让人快慰的是：夕阳并不责备我的．．答：分）4（．写出文章结尾画线句的含义及作用：21答：分）4（”联系实际，谈谈你的感悟。“人生的美好是无穷尽的，只要你有心投靠美丽。．22答：．答案：兴奋不已，惊喜激动13分。意思对即可。2分，共1评分：每空）运用了神态描写，逼真地写出了父亲笑容一下子停滞的神情，表现了父亲的心情由兴奋到难过失落无奈的急遽变化的过程。A（．答案：14家长会的痛苦愧疚矛盾的心理。，形象地写出我急于离家的情形，从而表现出“我”决定不让父亲参加）运用了细节描写（动作描写）B（评分：描写方法分。意思对即可。4分，共2分，每小题1分，作用分析1．答案：①推动故事情节的发展。②衬托“我”自卑而苦涩的心情。③烘托人物形象。④渲染苍凉凝重的氛围。15分。3分，共3分，答出三点得1评分：每点．答案：通过写父亲不顾儿子阻拦，冒雪参加家长会的故事，塑造了一个憨厚朴实，疼爱理解孩子、贫穷却不自卑的父亲形象。16分，分析形象1评分：概括内容分。3分，共2．答案：①其实我们没必要自卑，别人的歧视都是暂时。只要勤奋，别人有的，我们自己17也会有。②无论是乡下人还是城市人，奋斗的权利都是相同的，任何的成功都需要付出汗水。③富贵者不必瞧不起人，贫穷者也不必妄自菲薄，人格面前，没有富贵贫穷之分。分。意思对即可。4分，共4分，答出两点得2评分：写出一点得．答案：恬静而美好；沉静而壮观；博大而有内蕴。18分。3分，共1评分：每个要点．我在夕阳映照下的沱江边戏耍பைடு நூலகம்感受到了无穷的快乐；我看到夕阳映照下的沱江和19亮翅斜飞的水鸟，感到了无穷的美好；我从夕阳中劳作归来的父母脸上那种幸福和满足的表情中，感受到了快乐。页13第
广东省惠州市2022届高三第一次调研考试数学(理)试题 Word版含解析
惠州市2022届高三第一次调研考试 数 学(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合{|12}M x x =-≤≤，{|2}xN y y ==，则M N =（ ）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．[0,2]D ．[2,)+∞（2）已知a 是实数，i1i-+a 是纯虚数，则a =( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2（3）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．12（4）已知定义域为R 的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，且(1)2f =，则不等式2(log )2f x >的解集为（ ）A. (2,)+∞ B . 1(0,)(2,)2+∞ C . 2(0,)(2,)2+∞ D . (2,)+∞ （5）点()y x P ,为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥--012083022y x y x y x 所表示的平面区域上的动点，则x y 最小值为（ ）A ．21- B ． 2- C ． 3- D ． 31-（6）设命题p ：若定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则x R ∀∈，()()f x f x -≠. 命题q ：()||f x x x =在(,0)-∞上是减函数,在(0,)+∞上是增函数.则下列推断错误．．的是( ) A ．p 为假 B ．q 为真 C ．p ∨q 为真 D. p ∧q 为假（7） 已知函数()3cos()(0)3f x x πωω=+>和()2sin(2)1g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同，若[0,]3∈x π，则()f x 的取值范围是（ ） A.[3,3]-B.3[,3]2- C.33[3,]2-D.3[3,]2-（8）一个四周体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是1(0,0,0),(1,0,1,(0,1,1),(,1,0)2），绘制该四周体三视图时, 依据如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）（9）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用⨯2勾⨯股+()2勾—股⨯=4朱实+黄实=弦实，化简得：勾+股=弦．设勾股形中勾股比为3:1，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽视不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）()732.13≈A ．866B ．500C ．300D ．134（10）已知函数()x f y =的定义域为R ，且满足下列三个条件：① 对任意的[]84,21，∈x x ，当21x x <时，都有()()02121>--x x x f x f 恒成立；② ()()x f x f -=+4； ③ ()4+=x f y 是偶函数；若()()()2017116f c f b f a ===，，，则c b a ,,的大小关系正确的是( ) A. c b a << B. c a b << C. b c a << D. a b c <<（11）已知三棱锥S ABC -，ABC ∆是直角三角形，其斜边8,AB SC =⊥平面,6ABC SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ． 64πB ．68π C. 72π D ．100π（12）已知12,F F 分别是双曲线22221(,0)y x a b a b-=>的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1, 2)B ．(2, +∞)C ．(1,2)D ．(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省惠州市高三第一次调研数学试卷理科16页word
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、（2008•湖南）复数（﹣）等于（）A、8B、﹣8C、8iD、﹣8i2、（2008•江西）定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）A、0B、2C、3D、63、（2008•陕西）已知{a n}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A、64B、100C、110D、1204、（2009•浙江）在二项式（﹣）的展开式中，含x4的项的系数是（）A、﹣10B、10C、﹣5D、55、为得到函数（）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A、向左平移个长度单位B、向右平移个长度单位C、向左平移个长度单位D、向右平移个长度单位6、（2009•安徽）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（）A、B、C、D、7、（2008•辽宁）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A、B、C、D、8、已知﹣，则=（）A、﹣2008B、2008C、2010D、﹣2010二、填空题（共7小题，满分30分）9、设向量a=（1，2），b=（2，3），若向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，则λ=_________．10、设曲线y=e ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=_________．11、（2009•北京）若实数x，y满足﹣则s=y﹣x的最小值为_________．12、（2008•山东）执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=_________．13、某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为_________．14、已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是_________．15、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB=，则线段AC的长是_________．三、解答题（共6小题，满分80分）16、（2006•辽宁）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，求：（1）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（2）函数f（x）的单调增区间．17、（2008•辽宁）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数20 50 30（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．18、（2010•重庆）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．19、设函数f（x）=2ln（x﹣1）﹣（x﹣1）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+x2﹣3x﹣a=0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．20、已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆：（＞＞）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AB，BS与直线：分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值．21、（2007•四川）已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（x n，f（x n））处的切线与x 轴的交点为（x n+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．（Ⅰ）用x n表示x n+1；（Ⅱ）若x1=4，记﹣，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{x n}的通项公式；（Ⅲ）若x1=4，b n=x n﹣2，T n是数列{b n}的前n项和，证明T n＜3．答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、（2008•湖南）复数（﹣）等于（）A、8B、﹣8C、8iD、﹣8i考点：复数代数形式的混合运算。
惠州市2022届高三第一次调研考试数学试题参考答案第一稿
sin
sin
3
3
3
在
ACD 中，由正弦定理
AC
即
sin
AC
CD
=
，
sin∠ADC sin∠CAD
2 3
sin ， AC
6
3
sin
…………………………………………6 分
3
，sin sin ， ……………………………7 分
【注】1、若解答过程无写出 0
3
，需扣 1 分。
2、能正确写出对解题有用的正弦定理表达式（非文字），可给 1 分，但不重复给分。
3、无过程直接得出 CAB
6
或 ACB
6
，最多可得 4 分（公式 1 分及 8-10 分点）。
18．（本小题满分 12 分）
【解析】
（1）【解法 1】由已知得 an an1 n ，
所以log 0.2 3 < log 3 4 < log 4 18，正确；对于 D：0. 30.3 < 0. 30 = 1，1 = 30 < 30.2 < 30.3 < 50.3 ，所
以0. 30.3 < 30.2 < 50.3 ，正确．
【另解】当判断出 A、B 选项不正确后，根据多选题的规则可选 CD．
(1 −2 )(1 +2 )
2
3
− 2
，相减得：
=1
1
− (1 − 2 )(1 + 2 ) = 0，
1
= 0，则 − 1 2 = 0，则1 2 = ，故 D 正确．故选 BCD．
惠州市2011届高三第一次调研考试数学(理科)试题及答案
’
口 需将函数y ⌒
〓
艿
=2+sh2艿 +oos⒉
・ 。刍 2豸 +眚 〓2七 π+号 ∶
〓 s“ 2+顶
+
2艿
¨¨ ・ +知 ……¨ 4芬
丶
I 冫
°
π 艮 〓乃 +膏 (后 ∈z)时 , F(石 )I汉 得最大值 2+刊 历 。 π 一虍∈z
8
5
夕 ,b是 函数 的两个零点
(艿 当 石<夕 时,则 厂 ))0;当 曰(x(3时 ,则 r(丌 )(o,当 石>b时 ,则 歹(艿 )<0,故 选 B。
日歹平移 括 向右平移 晋
↑长度单位 个长度单位
C。
D。
s=s+IL
2″
P9=刀 (第
数学试题 (理 科 ) 第
+1
13题 图 )
1页
共
4页
数学试题 (理 科
)
(第
第 2页
共
4页
12题 图 )
(二 )选 做迈
(H0~15迈 ,考 生只能从中选仗-Ⅱ :两 追扭都钍的,只 记第-庄 饣分 )
19.
(本
14.(坐 标系与参扭方程选做题 )已 知圆的极坐标方程为 ρ=2∞ sθ 9则 该圆的圆心到直线
ρshθ +2ρ
oosθ
小 满 l-|↑ 冫∴∴ 题分 ∷∷ ∷ ∷ 设 数 )=2h(夂 -1)-(男 -1)2. 函 r←
(1)求 函数r(△ )的 单调递增区间
:
∶∷
・ ∷ ∶ ∷
=1的 距 离是
,
A
B
C
广东惠州市2020届高三第一次调研考试数学(理科)试卷
惠州市2020届高三第一次调研考试 理科数学 2019.07全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{}220M x x x =−<，{}2,1,0,1,2N =−−，则M N =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1−2．设()()()2i 3i 35i x y +−=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ）A ．5B ．13C ．22D ．23．某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17530．，，样本数据分组为[]17520．，，(]20225，．，(]22525．，，(]25275，．，(]27530．，．根据频率分布直方图，这320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是（ ） A ．68 B ．72C ．76D ．804．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A ．3600种 B ．1440种 C ．4820种 D ．4800种 5．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（ ）A ．11+22AB AD B ．1122AB AD −−C ．1122AB AD − D ．1122AB AD −+6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） AB ．2CD ．37．设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线为2y x =，且一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y −= B ．225514y x −= C ．225514x y −= D ．225514y x −= 8．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f (x )是奇函数；B ．y ＝f (x )的周期为π；C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称．9．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 则α∥β的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β.B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β.C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.10．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（ ）A ．B ．C ．38D ．111．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个,x y 都小于1的正实数对(,)x y ，再统计其中,x y 能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计F 2:2C y x =N x FN C M 2FM MN =FN =5812结果是=34m ，那么可以估计π的值为（ ） A ．237B ．4715C ．1715D ．531712．已知函数()|)|f x x =，设()3log 0.2a f =，()023b f −=．，()113c f =−．，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知54x >，则函数1445y x x =+−的最小值为________． 14．在ABC ∆中，4B π=，AB =3BC =，则sin A ＝________.15．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．已知124,,S S S 成等比数列，且35a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．16．在三棱锥A BCD −中，底面BCD 是直角三角形且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD −的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．三．解答题：共70分。
2021届广州省惠州市高三第一次调研理科数学试卷
【最新】广州省惠州市高三第一次调研理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知A ={1,2,4,8,16}，B ={y|y =log 2x,x ∈A}，则A ∩B =（ ） A ．{1,2} B ．{2,4,8} C ．{1,2,4} D ．{1,2,4,8} 2．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）AB1C ．1 D3．函数()()()()22332{log 12x x f x x x -<=-≥，若()1f a =，则a 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．1或-24．将函数cos )2y x x =+图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π个单位，所得函数图象的解析式是（ ） A ．cos2xy = B ．3sin()24x y π=+C ．sin(2)4y x π=-+D ．3sin(2)4y x π=+5．已知圆22(2)(2)x y a ++-=截直线20x y ++=所得弦长为6，则实数a 的值为（ ）A ．8B ．11C ．14D ．176．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．2B ．−3C ．−12D ．137．设0a >，0b >是4a 和2b的等比中项，则21a b+的最小值为（ ）A ．B ．8C ．9D ．108．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）．A ．()219πcm +B ．()2224πcm +C ．()2104πcm +D ．()2134πcm +9．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元B ．55万元C ．56万元D ．57万元10．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =，2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）AB ．1C D11．双曲线M: x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)实轴的两个顶点为A,B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若QA ⊥PA 且QB ⊥PB ，则动点Q 的运动轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线12．已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =．如果函数()()()g x f x x m =-+有两个零点，则实数m 的值为（ ） A ．2()k k Z ∈B ．122()4k k k Z +∈或 C ．0 D ．122()4k k k Z -∈或二、填空题13．已知4a =，2b=，且a 与b 夹角为120°，则(2)()a b a b +⋅+=________. 14．已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =________.15．设1m >，变量,x y 在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =________.16．已知数列{}{},n n a b 满足*1121,1,()21n n n n nb a a b b n N a +=+==∈-，则2017b =______.三、解答题17．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC的面积为求b c 、18．4月23日是世界读书日，惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？（Ⅱ）将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“读书迷”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X ．附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是3，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.20．已知点A (−1,0),B (0,1),直线AM 与直线BM 相交于点M ,直线AM 与直线BM 的斜率分别记为k AM 与k BM ,且k AM ⋅k BM =−2． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过定点F (0,1)作直线PQ 与曲线C 交于P,Q 两点, △OPQ 的面积是否存在最大值？若存在,求出△OPQ 面积的最大值；若不存在,请说明理由． 21．已知函数(1)()ln ()a x f x x a R x-=-∈． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求证：(1,2)x ∀∈，不等式111ln 12x x -<-恒成立． 22．【选修4-1：几何证明选讲】如图，AB 是的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连接BF 、AF 并延长交于点,M N ．（Ⅰ）求证：,,,B E F N 四点共圆； （Ⅱ）求证：22AC BF BM AB +⋅=． 23．【选修4-4：极坐标和参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线的倾斜角为α且经过点P(−1,0)．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ+5=0．（Ⅰ）若直线与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设M(x,y)为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围． 24．选修4-5：不等式选讲 设f(x)=|ax −1|．（1）若f(x)≤2的解集为[−6,2]，求实数a 的值．（2）当a =2时，若存在x ∈R ，使得不等式f(2x +1)−f(x −1)≤7−3m 成立，求实数m 的取值范围．A B CDMNE F O参考答案1．C【解析】试题分析：由已知可得B ={log 21,log 22,log 24,log 28,log 216}={0,1,2,3,4}，所以A ∩B ={1,2,4}，所以选C. 考点：集合的运算． 2．A 【解析】 【详解】∵()11z i i i i -=-+=，∴)()()()11111122i i i z i ii i +===+--+，则z 的实部为12，故选A. 3．A 【详解】试题分析：根据分段函数可知，若()1f a =，则22{31a a -<=或()23a 2{log 11a ≥-=，解得a 不存在或2a =，故选A.考点：1、分段函数；2、指数、对数方程. 4．A 【解析】试题分析：将函数cos )sin()4y x x x π=+=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数1sin()24y x π=+的图象；再向左平移2π个单位，所得函数图象的解析式为11sin()cos 222y x xπ=+=，故选：A ．考点：三角函数的图象变换． 5．B 【详解】试题分析：圆22(2)(2)x y a ++-=，圆心()2,2-d ==222226()9112r d a =+∴=+∴=；故选B ．考点：直线与圆的位置关系． 6．A 【解析】试题分析：k =1,s =−3;k =2,s =−12;k =3,s =13;k =4,s =2,以4作为一个周期，所以k =2016,s =2，故选A 考点：程序框图． 7．C 【解析】 试题分析：因为422a b +=，所以21a b +=，()21212529b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当b aa b =即12a b ==时“=”成立，故选C 考点：基本不等式；等比数列的性质． 8．C 【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，高是3，其底面积为：122242⨯⨯⨯=，侧面积为：3326⨯⨯=；圆柱的底面半径是1，高是3，其底面积为：121ππ2⨯⨯⨯=，侧面积为：3π3π⨯=；∴组合体的表面积是)2π463π4π10cm +++=++，本题选择C 选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．9．D 【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y . 10．A 【解析】试题分析：因为三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，S ∴在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH ∴上任意一点到,,A B C 的距离相等．3SH =1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，则O 为S ABC -的外接球球心．2SC =，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，SO OH ∴==，即为O 到平面ABC 的距离，故选A ．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上． 11．C 【解析】试题分析：设P(m,n),Q(x,y),双曲线M:x 2a 2−y 2b 2=1,实轴的两个顶点A(−a,0),B(a,0) QA =(−x −a,−y),PA =(−m −a,−n)∵QA ⊥PA ，∴(−x −a)(−m −a)+ny =0，可得m +a =−ny x+a,同理根据QB ⊥PB ，可得m −a =−nyx−a 两式相乘可得m 2−a 2=n 2y 2x 2−a 2 ∵点P(m,n)为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，∴m 2a 2−n 2b 2=1，整理得n 2=b 2a 2(m 2−a 2) x 2a 2−b 2y 2a 2=1故选C ．考点：曲线的方程与方程的曲线．【名师点睛】确定平面上点的轨迹有两种基本方法，一种是根据曲线的定义（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）直接确定的形状，一种是先求得曲线的方程，通过方程确定其表示的曲线． 12．D 【解析】试题分析：设10x -≤≤，则 01x ≤-≤，()22()()f x x x f x -=-==，综上，2()f x x =，[]1,1x ∈-，()2()2f x x k =-，[]21,21x k k ∈-+，由于直线y x a =+的斜率为1，在y 轴上的截距等于a ，在一个周期[]1,1-上，0a =时 满足条件，14a =-时，在此周期上直线和曲线相切，并和曲线在下一个区间上图象有一个交点，也满足条件．由于()f x 的周期为2，故在定义域内，满足条件的a 应是 12024k k +-或，k ∈Z ．故选 D ．考点：函数的奇偶性与函数的零点．【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．12 【解析】 试题分析：4,2a b ==，且a 与b 夹角为120︒，2216,4a b ∴==，cos120a b a b ⋅=⋅⋅︒14242⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，()()222212a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，故答案为12．考点：1、平面向量模与夹角；2、平面向量的数量积． 14．－6 【解析】试题分析：515()(rrr r T C x x -+=，53,122r r -=∴=，15()30,6C a a -==-． 考点：二项式定理的应用． 15．12【解析】试题分析：作出可行域如图所示，当直线z x my =+经过点B 时，z 有最大值，此时点B 的坐标为1(,)11m m m ++，1211mz m m m =+⋅=++，解之得12m =12m =（舍去），所以1m =y ＝－a b x＋z b 的截距z b 的最值间接求出z 的最值．要注意：当b ＞0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值．当b ＜0时，结论与b ＞0的情形恰好相反．16．20172018【解析】试题分析：∵1n n a b +=，112a =，∴112b =，∵121n n n b b a +=-，∴112n nb b +=-，∴111111n n b b +-=---，又∵112b =，∴1121b =--．∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列， ∴111n n b =---，∴1n n b n =+．则201720172018b =．故答案为20172018． 考点：数列递推式．【名师点睛】递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f(n)，求a n ；采用叠乘法． (2)形如a n ＋1＝a n ＋f(n)，求a n ；采用叠加法．(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B(A≠0且A≠1)，求a n . 转化为等比数列解决 有些递推关系也可通过变形后转化为等差数列或者等比数列解决．17．：（1）1cos 3A =（2）3{2b c == 或23b c =⎧⎨=⎩【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=-即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+= （2）由于0,A π<<1cos 3A =，所以sin 3A =又ABC S =，即1sin 2bc A =，解得6bc = 由余弦定理2222cos a b c bc A =+- ，得2213b c += 解方程组2213{6b c bc +== ，得3{2b c == 或23b c =⎧⎨=⎩18．（Ⅰ）有99%的把握认为“读书迷”与性别有关． （Ⅱ）X 的分布列为26()355E X =⨯=，2218()3(1)5525D X =⨯⨯-=.【解析】试题分析：（1）由直方图中数据计算直接填入表格可得列联表，由表中数据及所给公式计算2K 的观察值，再由临界值作出判断得出结论即可；（2）视频率为概率，由题意可知2(3,)5X B ~，由二项分布公式直接计算即可.试题解析：（1）完成下面的2×2列联表如下22100(40251520)8.24960405545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.8.249 6.635>,∴有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.（2）视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为25．由题意可知2(3,)5X B ~,3322()()(1)(0,1,2,3)55ii i P X i C i -==⨯⨯-=.从而分布列为…10分615(),()(1)528E X np D X np p ===-=. 考点：1.独立性检验；2.离散型随机变量的分布列与期望、方差. 19．（1）证明见解析（2）3【分析】（1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ；（2）建立坐标系，根据二面角P AC E --可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥.又1AD CD ==，在Rt ADC ∆中，得AC =，设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -. 又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-.由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有2cos ,3m n m n m na ⋅===⋅，得2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PA nPA n PAθ⋅==⋅3==. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3. 【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解. 20．（Ⅰ）x 2+y 22=1(x ≠±1)；（Ⅱ）ΔOPQ 面积的最大值为√22．【解析】试题分析：（Ⅰ）本题求轨迹方程，采用直接法，只要设动点坐标为M(x,y)，求出斜率k MA ,k MB ，由k MA ⋅k MB =−2化简可得，注意斜率存在时x ≠±1，最后方程中要剔除此点；（Ⅱ）假设存在，首先直线斜率存在，可设其方程为y =kx +1，与椭圆方程联立整理为关于x 的一元二次方程，同时设交点为P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，由可得x 1+x 2,x 1x 2，而S ΔOPQ =12|OF||x 1−x 2|，这样可把S ΔOPQ 表示为k 的函数，可由基本不等式知识求得最大值． 试题解析：（Ⅰ）设M(x,y)，则k MA =yx+1,k MB =yx−1(x ≠±1)，所以y x+1×yx−1=−2所以x 2+y 22=1(x ≠±1)（未写出范围扣一分）（Ⅱ）由已知当直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是y =kx +1， 联立{x 2+y 22=1y =kx +1，消去y 得(k 2+2)x 2+2kx −1=0，因为Δ=(4k 2)+4(k 2+2)=8(k 2+1)>0，所以k ∈R ， 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，x 1+x 2=−2k k 2+2,x 1x 2=−1k 2+2S ΔOPQ=12×|OF|×|x 1−x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√2×√k 2+1k 2+2当且仅当k =0时取等号，ΔOPQ 面积的最大值为√22．考点：1、求曲线的方程；2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法1．直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F(x ，y)＝0. 2.待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程． 3.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． 4.代入(相关点)法：动点P(x ，y)依赖于另一动点Q(x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x ，y)的轨迹方程．21．（Ⅰ）0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，0a >时，当(0,)x a ∈时，()f x 在(0,)a 单调递减．()f x 在(,)a +∞单调递增；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）要讨论单调性，首先求得导数2'()x af x x-=(0)x >，接着研究'()f x 的正负，为此按a 的正负分类；（Ⅱ）要证的不等式，可等价转化为(1)ln 2(1)0x x x +-->，这样我们可设()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，进而去求()F x 的最小值，由于1'()ln 1F x x x=+-，由（Ⅰ）的证明知，（在（Ⅰ）中当1a =时的情形），从而得()F x 单调性，完成证明．试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，/2()x af x x -=①若/0,()0a f x ≤>，()f x 在(0,)+∞上单调递增②若0a >，当(0,)x a ∈时，/()0f x <，()f x 在(0,)a 单调递减． 当(,)x a ∈+∞时，/()0f x >，()f x 在(,)a +∞单调递增． （Ⅱ）等价于(1)ln 2(1)0x x x +-->令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，则/(1)1()ln 2ln 1x F x x x x x+=+-=+- 由（Ⅰ）知，当1a =时min ()(1)0f x f ==，()(1)f x f ∴>，即.所以/()0F x ≥，则()F x 在(1,2)上单调递增，所以()(1)0F x F >=即11112?ln 12x x x <<-<-有时 考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归的数学思想． 【名师点睛】用导数研究函数的单调性有两种方法：1．确定定义域，求出导数'()f x ，解不等式'()0f x >确定增区间，解不等式'()0f x <确定减区间；2．确定定义域，求出导数'()f x ，解方程'()0f x =，此方程的解把定义域分段，然后列表表示'()f x 的符号与()f x 的单调性． 22．证明见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证,,,B E F N 四点共圆，可证四边形的对角互补，这由此四边形中有两个直角可得；（Ⅱ）要证线段之间的关系，可分别计算2AC 和BF BM ⋅（与AB 靠拢），由直角三角形中射影定理得2AC AE AB =⋅，通过证BFEBAM ∆∆可得BF BM BA BE ⋅=⋅，两式相加可得．试题解析：证明 （Ⅰ）连接BN ，则AN BN ⊥ 又,CD AB ⊥则90BEF BNF ∠=∠=，即180BEF BNF ∠+∠=，则,,,B E F N 四点共圆．（Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知2,AC AE AB =⋅ 由BFEBAM ∆∆知：BF BEBA BM =， ()BF BM BA BE BA BA EA ⋅=⋅=⋅-,2BF BM AB AB AE ⋅=-⋅.2222BF BM AB AC AC BF BM AB ∴⋅=-+⋅=,即.考点：四点共圆，相似三角形的性质． 23．（Ⅰ）[0,π6]∪[5π6,π)；（Ⅱ）[3−2√2,3+2√2]．【解析】试题分析：（Ⅰ）由公式ρcosθ=x,ρsinθ=y 把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线的参数方程（过P 点的标准参数方程），代入曲线C 的直角坐标方程，利用Δ≥0可得范围；（Ⅱ）可化曲线C （圆）的直角坐标方程为参数方程{x =3+2cosθy =2sinθ (θ为参数），这样有x +y =3+2cosθ+2sinθ，由三角函数知识可得最大值和最小值．试题解析：（Ⅰ）将C 的极坐标方程ρ2−6ρcosθ+5=0化为直角坐标为x 2+y 2−6x +5=0,直线的参数方程为{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数）将直线的参数方程代入曲线C 的方程整理得t 2−8tcosα+12=0. 直线与曲线有公共点，∴Δ=64cos 2α−48≥0 得cosα≥√32或cosα≤−√32∵α∈[0,π),∴α的取值范围为[0,π6]∪[5π6,π).（Ⅱ）曲线C 的方程x 2+y 2−6x +5=0化为(x −3)2+y 2=4， 其参数方程为{x =3+2cosθy =2sinθ(θ为参数）.M(x,y)为曲线C 上任意一点，∴x +y =3+2cosθ+2sinθ=3+2√2sin(θ+π4)x +y 的取值范围是[3−2√2,3+2√2].考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，圆的参数方程． 24．（Ⅰ）a =−12；（Ⅱ）(−∞,72]．【解析】试题分析：（1）分a >0,a <0两种情况，分别求出不等式f(x)≤2的解，根据其解集构造a 的方程，即得其值；（2）ℎ(x)=f(2x +1)−f(x −1)=|4x +1|−|2x −3|，研究ℎ(x)的单调性，求出其最小值，得到参数m 的不等式，求得其范围.试题解析：（1）显然a ≠0，当a >0时，解集为[−1a ,3a ]，−1a =−6，3a =2，无解； 当a <0时，解集[3a,−1a]，令−1a=2，3a=−6，a =−12，综上所述，a =−12．（2）当a =2时，令ℎ(x)=f(2x +1)−f(x −1)=|4x +1|−|2x −3|，由此可知，ℎ(x)在(−∞,−14)上单调递减，在(−14,34)上单调递增，在(32,+∞)上单调递增，则当x =−14时，ℎ(x)取到最小值−72，由题意知，−72≤7−3m ，则实数m 的取值范围是(−∞,72]． 考点：绝对值不等式的解法及有关不等式的有解问题.。
广东省惠州市高三数学第一次调研试卷 理(含解析)
2016年广东省惠州市高三第一次调研数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•惠州模拟）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A． {1，2，4} B． {2，3，4} C． {0，2，4} D． {0，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，确定出所求的集合．解答：解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，∴C U A={0，4}，又B={2，4}，则（C U A）∪B={0，2，4}．故选C点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016•惠州模拟）复数（i是虚数单位）的模等于（） A． B． 10 C． D． 5考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模．解答：解：=1+=3+i，故模为；故选：A．点评：本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法；属于基础题．3．（5分）（2016•惠州模拟）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=0 C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，x2＞0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：举例说明是A、B真命题，根据指数函数的定义与性质，判断C是真命题；举例说明D是假命题．解答：解：对于A，x=1时，lg1=0，∴A是真命题；对于B，x=0时，tan0=0，∴B是真命题；对于C，∀x∈R，2x＞0，∴C是真命题；对于D，当x=0时，x2=0，∴D是假命题．故选：D．点评：本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目．4．（5分）（2016•惠州模拟）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1 B． 2或﹣1 C． 2 D．﹣2考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．解答：解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化简得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故选：B．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．5．（5分）（2016•惠州模拟）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=3，c=2，则∠A=（）A．30° B．45° C．60° D．90°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围求出角A的值．解答：解：∵a=，b=3，c=2，∴由余弦定理得，cosA===，又由A∈（0°，180°），得A=60°，故选：C．点评：本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．6．（5分）（2016•惠州模拟）已知函数，则=（） A． B． C． D．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值．解答：解：因为＞0，所以f（）==﹣2，又﹣2＜0，所以f（﹣2）=2﹣2=；故选：B．点评：本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式计算即可．7．（5分）（2016•惠州模拟）已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A． 2 B． 1 C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1；所以，该三棱柱的体积为V=Sh=×1×1×1=．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．8．（5分）（2016•惠州模拟）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．﹣2 B． 2 C． 1 D．﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（0，1），此时z的最大值为z=0+2×1=2，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．9．（5分）（2016•惠州模拟）的图象中相邻的两条对称轴间距离为（）A．3π B． C． D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：先对函数式化简整理得f（x）=，再根据正弦函数的性质求得函数图象的对称轴，进而相邻的两条对称轴间距离可得．解答：解：∵=∴图象的对称轴为，即故相邻的两条对称轴间距离为故选C点评：本题主要考查了正弦函数的对称性．属基础题．10．（5分）（2005•天津）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想．分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．11．（5分）（2016•惠州模拟）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种． A． 150 B． 180 C． 240 D． 540考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33，根据分类计数原理得到结果．解答：解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33=60种结果，∴根据分类计数原理知共有90+60=150故不同保送的方法数为150种，故选：A．点评：本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．12．（5分）（2016•惠州模拟）已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为（） A． B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值．解答：解：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，则a2=3，即双曲线方程为，设P（m，n）（n≥），则n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1，则=（m，n）•（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣，因为n≥，故当n=时取得最小值，最小值为3﹣2，故选：A．点评：本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若，则c os2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．14．（5分）（2016•惠州模拟）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2，即可求出（x﹣）4的展开式中常数项．解答：解：设（x﹣）4展开式的通项为T r+1，则T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2．∴展开式中常数项为：（﹣）2•=．故答案为：．点评：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．15．（5分）（2016•惠州模拟）（理）π+2．考点：定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．解答：解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，故答案为π+2．点评：此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．16．（5分）（2016•惠州模拟）如数表，为一组等式：某学生猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则3a+b= 4 ．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：利用所给等式，对猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论．解答：解：由题意，∴，∴3a+b=4故答案为：4点评：本题考查了归纳推理，根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•惠州模拟）已知{a n}为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a3，a k+1，S k成等比数列，求正整数k的值．考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n，进而可得a3，a k+1，S k，由等比数列可得k的方程，解方程即可．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意可得，解方程组可得a1=2，d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），，∵a3，a k+1，S k成等比数列，∴，∴（2k+2）2=6（k2+k），化简可得k2﹣k﹣2=0，解得k=2或k=﹣1，∵k∈N*，∴k=2点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的通项公式，属中档题．18．（12分）（2016•惠州模拟）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可．（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可．解答：解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P即E（X）=0×=．点评：本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力19．（12分）（2016•惠州模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）由平行四边形AA1C1C中AC=A1C1，结合题意证出△AA1C1为等边三角形，同理得△ABC1是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC1，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．解答：解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，∵∠AA1C1=60°，∴△A A1C1为等边三角形，同理△ABC1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，由题意可得，，则，所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），∴cosθ=．即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．点评：本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．20．（12分）（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），依题意，可求得点P 的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．解答：解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得x p=，从而y p=，∴点P的坐标为（，）．同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴•=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．经检验，k=﹣符合题意，故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．点评：本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（12分）（2016•惠州模拟）已知函数f（x）=x（x﹣a）2，g（x）=﹣x2+（a﹣1）x+a（其中a∈R）．（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并直接写出函数f（x）的单调区间；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x），讨论函数y=F（x）在区间[﹣1，3]上零点的个数．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数y=f（x）的导数，求出极值点，通过与y=g（x）有相同的极值点相同，求a的值，利用导数值的符号直接写出函数y=f（x）的单调区间；（2）化简方程f（x）﹣g（x）=0，构造函数，通过a的讨论，利用判别式是否为0，即可求解在区间[﹣1，3]上实数解的个数，即函数零点的个数．解答：解：（1）f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2x，则f'（x）=3x2﹣4ax+a2=（3x﹣a）（x﹣a），令f'（x）=0，得x=a或x=，而二次函数g（x）在x=处有极大值，∴=a或=；综上：a=3或a=﹣1．当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，1]，[3，+∞），减区间是（1，3），当a=﹣1时，y=f（x）的单调增区间是，减区间是；（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=x（x﹣a）2+x2﹣（a﹣1）x﹣a，=x（x﹣a）2+（x﹣a）（x+1），=（x﹣a）[x2+（1﹣a）x+1]，令h（x）=x2+（1﹣a）x+1，则△=（a+1）（a﹣3）1°当﹣1＜a＜3时，△＜0，h（x）=0无解，故原方程的解为x=a∈[﹣1，3]，满足题意，即原方程有一解，函数y=F（x）在区间[﹣1，3]有唯一零点；2°当a=3时，△=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3，故函数y=F（x）在区间[﹣1，3]有2个零点；3°当a=﹣1时，△=0，h（x）=0的解为x=﹣1，故原方程有一解，x=﹣1，故函数y=F（x）在区间[﹣1，3]有1个零点4°当a＞3时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13﹣3a若13﹣3a＜0，即a＞时，h（x）=0在[﹣1，3]上有一解，故函数y=F（x）在区间[﹣1，3]有1个零点；若13﹣3a=0，即a=时，h（x）=0在[﹣1，3]上有两解，故函数y=F（x）在区间[﹣1，3]有2个零点；若13﹣3a＞0，即3＜a＜时时，h（x）=0在[﹣1，3]上两解，故函数y=F（x）在区间[﹣1，3]有2个零点；5°当a＜﹣1时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13﹣3a＞0，h（x）=0在[﹣1，3]上有一解，故函数y=F（x）在区间[﹣1，3]有1个零点；综上可得：当3≤a≤时时，函数y=F（x）在[﹣1，3]上有2个零点；当a＜3或x＞时，函数y=F（x）在[﹣1，3]上有有1个零点．点评：本题考查函数与导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间，函数的零点的判断，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2013•辽宁）（选修4﹣1几何证明选讲）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：（1）∠FEB=∠CEB；（2）EF2=AD•BC．考点：与圆有关的比例线段．专题：综合题．分析：（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF•FB．等量代换即可．解答：证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．∴∠FEB=∠EAB．∴∠CEB=∠EAB．（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，又∠CEB=∠FEB，EB公用．∴△CEB≌△FEB．∴CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．∴EF2=AD•CB．点评：熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2016•惠州模拟）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．考点：参数方程化成普通方程．分析：（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为 x﹣y+1=0，圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，所以圆心的直角坐标为（﹣1，），所以圆心的一个极坐标为（2，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离 d==，所以AB=2=．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2016•惠州模拟）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：选作题；不等式．分析：（Ⅰ）去掉绝对值，求出解集，利用解集为[0，4]，求m的值；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求a2+b2的最小值．解答：解：（Ⅰ）不等式m﹣|x﹣2|≥1可化为|x﹣2|≤m﹣1，…（1分）∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1，即3﹣m≤x≤m+1，…（2分）∵其解集为[0，4]，∴，∴m=3．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=3，∵（a2+b2）（12+12）≥（a×1+b×1）2=（a+b）2=9，∴a2+b2≥，∴a2+b2的最小值为．…（10分）点评：本题考查不等式的解法，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键．。
广东省惠州市高三数学第一次调研考试 理
广东省惠州市高三数学第一次调研考试 理（本试卷共5页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合AB =（ ）A ．)0,0(B ．{}0C ．{})0,0(D ．∅ 2．复数ii+-11的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3．已知向量a =(1,2)-，b =(,2)x ，若a ⊥b ，则|b |=（ ） A ．5B ．25C ．5D ．204．已知11()122xf x =--,()f x 则是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇且偶函数 5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中： ①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα⊥，α⊥l ,则β//l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l //④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m ，其中真命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．给出计算201614121++++ 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）．A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i 7．“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件（第6题图）C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．规定记号“⊗”表示一种运算，即2a b ab a b ⊗=++ (,)a b 为正实数，若31=⊗k ，则k =（ ）A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2第Ⅱ卷 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．6)1(xx -的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）10．右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为 ．11．设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的 三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为 ．12．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中*,x y N ∈)则样本在区间 [10，50 ) 上的频率．13．已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则该数列的通项公式n a = ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
广东省惠州市高三第一次调研考试数学理试题
惠州市2015届高三第一次调研考试数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数i iz +=1（其中为虚数单位）的虚部是 （ ） .A 21- .B i 21 .C 21 .D i 21-2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3.B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) .A 15 .B 20 .C 25 .D 30 4．已知等差数列}{n a 的前项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18.B 36 .C 54 .D 725．在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）.A 10 .B 10- .C 5- .D 206．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） .A 30 .B 12 .C 24 .D 7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（ ）.A 24π.B π2.C 21.D22π8．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 与b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的θ，若(2,0)u =r，(1,u v -=r r+(u （ ）.A 34 .B 3 .C 6 .D 32二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 . 11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .13．函数)(x f 的定义域为，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
届惠州一调数学理科试题及答案
惠州市2019届高三第一次调研考试理科数学218.7一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. （1）复数52i -的共轭复数是（ ） (A)2i + (B)2i -+ (C)2i -- (D)2i -（2）已知集合{}21M x x ==，{}1N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）(A) {}1(B) {}1,1- (C) {}1,0 (D) {}1,1,0-（3）函数22()2cos sin +2f x x x ωω=-的最小正周期为π，则=ω（ ）(A)32(B) 2(C) 1(D)12（4）下列有关命题的说法错误的是（ ）(A)若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题；(B)“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件；(C)若命题200R 0p x x ∃∈≥：，，则命题2R 0p x x ⌝∀∈<：，；(D)“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=”. （5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，32a ，5a ，43a 成等差数列，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） (A)21n- (B)121n -- (C)12n - (D)2n（6）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的 一个和谐优美的几何体。
它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。
其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。
当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）(A) (B) (C) (D)（7）若函数2()x f x a-=，()log ||a g x x =（0a >，且1a ≠），且(2)(2)0f g ⋅<，则函数()f x ，()g x 在同一坐标系中的大致图象是（ ）(A)(B)(C) (D)（8）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据. 观测次数i 12345678观测数据i a40 41 43 43 44 46 47 48在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程 图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是（ ）(A) 6 (B) 7 ( C) 8 (D) 9 （9）已知1F 和2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB V 是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ( )3+13131 (D) 2 （10）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥外接球的表面积为（ ）(A) 108π (B) 72π (C) 36π (D) 12π（11）已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6（12）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点()2,0的直线交抛物线于,A B 两点，与抛物线准线交于点C ，若25ACF BCF S S =V V ，则AF =（ ） (A) 23(B) 4 (C) 3 (D) 2 二．填空题：本题共4小题，每小题5分。