人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式习题(3)

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高中数学人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(一)

的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（一）
1．设 α 为任意角，则 π＋α，－α，π－α 的终边与 α 的终边之间
本课时栏目开关
的对称关系.
相关角 π＋ α 与 α －α 与 α π－ α 与 α 终边之间的对称关系关于原点对称关于 x轴对称关于 y轴对称
研一研·问题探究、课堂更高效
由三角函数的定义得
§1.3（一）
y sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ x ，
－y y 本又 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－x ＝ x ，
课时栏 ∴sin(π＋α)＝－sin α ， cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝ tan α . 目开关 (3)公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三
§1.3（一）
(1)公式内容：
sinπ＋α＝－sin α，
本课时栏目开关
cosπ＋α＝－cos α， tanπ＋α＝tan α.
(2)公式推导：如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x， y)，则角 π＋α 的终边与单位圆的交点为 P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推导公式的过程，请你补充完整：
§1.3（一）
本课时栏目开关
§1.3（一）
【学习要求】 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
本课化简和证明问题．时 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、栏目【学法指导】开关 1．本节将要学习的诱导公式既是
1 3 2π －， 2 2 (4)角的终边与单位圆的交点坐标为_______________ ，所以

高中数学第一章三角函数练习(无答案)新人教A版必修4(2021年整理)

。
【课堂练习】
1．比较4o与4rad角的大小
2．若两个角的差为1弧度，它们的和为1°,则这两个角的大小分别为___________.
003§1。2.1 任意角的三角函数(一)
【典型例题】
例1．已知角α的终边过点（2a,－3a）（a≠0)，求sina、cosa、tana的值.
变式：已知角终边上一点，且，求cosa的值．
第一章三角函数
§1。1.1任意角
【典型例题】
例1．写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式—3600≤β＜7200的元素β写出来：
（1)60°；（2)—21°；(3）－843o10′
变式：在0°到360°范围内, 找出与-2046°24′角终边相同的角，并判断它是第几象限的角？
例2．若是第二象限角，则，分别是第几象限的角？
【课堂练习】
1．证明:函数的一个周期为．
2．已知函数f(x+2)=f(x)，且xÎ［0，1］时，f（x）=2x，求f(log26）的值.
§1.4.2 正、余弦函数的性质（二）(总第10课时)
【典型例题】
例1．判断下列函数的奇偶性。
（1）y=sin（）；（2）．
例2．求下列函数的单调增区间
（1） ;（2）y= sin( ）．
变式：求的单调减区间.
例3．求下列函数的最值
（1)y=2sin(2x+ )(xÎ[0, ]；（2）y=cos2x-4sinx+5．
【课堂练习】
1．已知函数y=sin(x+j）(0<j〈p)的图象关于y轴对称，求j的值。
2．比较sin1与sin2的大小．【提示：放在同一个单调区间上】

高中数学1.3.1三角函数的诱导公式一至四习题1新人教A版必修4

∴ sin( α －75°）
2
＝－ 1－ cos α －
＝－
1－
1 －
2＝－ 2
2 .
3
3
∴sin(105 °＋ α ) ＝sin[180 °＋ ( α －75°)]
22
＝－ sin( α －75°) ＝
. 3
8．计算 sin 2 150°＋ sin 2 135°＋ 2sin 210 °＋ cos 2 225°的值是 (
2
答案： C
2．在△ ABC中， cos( A＋B) 的值等于 ( )
A． cos C
B．－ cos C
C． sin C
D．－ sin C
解析：由于 A＋B＋ C＝ π，所以 A＋B＝ π － C.
∴ cos( A＋ B) ＝ cos( π － C) ＝－ cos C. 答案： B
3
3．已知 cos( π＋ x) ＝ 5，x∈ ( π ，2π ) ，则 sin x＝(
＋ α － 3π
π－α
－2sin α －3tan α
＝
－ 4cos α
8
5＋ 4
7
＝
3＝－
. 3
－4× 5
13．设 f ( x) ＝ asin( π x＋ α) ＋ bcos( π x＋ β ) ＋ 7，α ，β 均为实数，若 f (2 001) ＝ 6，求 f (2 015) 的值．
解：∵ f (2 001) ＝ asin(2 001 π＋ α ) ＋ bcos(2 001 π ＋ β) ＋ 7 ＝－ asin α － bcos β ＋7， ∴－ asin α － bcos β ＋7＝ 6. ∴ asin α ＋ bcos β ＝ 1. 又∵ f (2 015) ＝ asin(2 015 π＋ α ) ＋ bcos(2 015 π ＋ β) ＋ 7 ＝ asin( π ＋ α ) ＋ bcos( π ＋ β ) ＋7 ＝－ ( asin α ＋bcos β ) ＋ 7＝－ 1＋7＝ 6.

1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)

π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求已知且求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值已知的值. 求

三角函数的诱导公式(三)(人教A版)(含答案)

三角函数的诱导公式（三）（人教A版）一、单选题(共15道，每道5分)1.若，，则角的终边位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式2.已知，则的值等于( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式3.若，则等于( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式4.已知，则的值等于( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式5.已知，则等于( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式6.的值是( )A.1B.-1C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式7.的值( )A.0B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式8.的值是( )A.2B.-2C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式9.的值是( )A. B.45C.44D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式10.若，则的值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式11.诱导公式( )（其中）A. B.C. D.与的值为奇偶数有关答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式12.若，，则( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式13.在△中，已知，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式14.已知在△ABC中，，则等于( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式15.已知，为锐角，则=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式第11页共11页。

高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(一)

3
3
42 8
2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
4
【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
3
2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
3
【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
3

人教版高中数学必修四教材用书第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式第一课时三角函数的诱导公式(一

．三角函数的诱导公式第一课时三角函数的诱导公式(一)[提出问题]问题：锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．问题：任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系．提示：α与－α的终边关于轴对称，它们与单位圆的交点与关于轴对称，设的坐标为(，)，则的坐标为(，－)．(－α)＝－＝－α，(－α)＝＝α，(－α)＝－＝－α.问题：任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系．提示：α与π－α的终边关于轴对称，如图所示，设(，)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为′(－，)，，′关于轴对称，由三角函数定义知，(π－α)＝＝α，(π－α)＝－＝－α，(π－α)＝＝－α.[导入新知]．诱导公式二＋π角()α与角原点的终边关于α对称．如图所示．＋(π公式：()α)α－＝.＋(π.)αα－＝＋π(αα).＝．诱导公式三()角－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．－(公式：.α())－α＝－(α＝).α)(－α.＝α－．诱导公式四()角π－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(π公式：()－αα＝.)α(π－)＝α.－α－)(π.＝α－[化解疑难]对诱导公式一～四的理解()公式两边的三角函数名称应一致．()符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数值的符号决定．但应注意，将α看成锐角只是为了公式记忆的方便，事实上α可以是任意角.[例]()(－°)；() °；().[解]()(－°)＝－°＝－(×°＋°)＝－°＝－(°－°)＝－°＝－；。

高中数学第一章三角函数 1.3.1 诱导公式(二)～(四)练习(含解析)新人教A版必修4-新人教

第7课时诱导公式(二)～(四)A ．－32 B ．32C ．－12＋32D ．12＋32答案 C解析 sin600°＋tan240°＋cos120°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＋co s(180°－60°)＝sin240°＋tan60°－cos60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°－cos60°＝－sin60°＋tan60°－cos60°＝－32＋3－12＝－12＋32． 2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．2 答案 D解析原式＝(－sin α)2－(－cos α)·c os α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2．A ．1－a 2B ．－1－a2aC ．1－a2aD ．1＋a2a答案 B解析 cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝a ，故cos15°＝－a (a <0)，得sin15°＝1－a 2，tan195°＝tan(180°＋15°)＝t an15°＝1－a2－a．4．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π－α)＝________．答案－75解析由tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，且α为第一象限角，解得sin α＝45，cos α＝35．所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75．5．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin α－π＋3tan 3π－α4cos α－3π的值．解因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又因为sin αcos α<0，所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43．所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×－45＋3×－434×35＝－73．知识点三化简问题(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解 (1)原式＝cos π5＋cos 4π5＋cos 2π5＋cos 3π5＝cos π5＋cos π－π5＋cos 2π5＋cos π－2π5＝cos π5－cos π5＋cos 2π5－cos 2π5＝0．(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin60°cos30°＋si n30°cos60°＝32×32＋12×12＝1． 7．化简下列各式： (1)1＋2sin280°·cos440°sin260°＋cos800°；(2)sin540°＋αcos －αtan α－180°．解(1)原式＝1＋2sin 360°－80°·cos 360°＋80°sin 180°＋80°＋cos 720°＋80°＝1－2sin80°·cos80°－sin80°＋cos80°＝sin 280°＋cos 280°－2sin80°·cos80°－sin80°＋cos80°＝sin80°－cos80°2－sin80°＋cos80°＝|sin80°－cos80°|cos80°－sin80°＝sin80°－cos80°cos80°－sin80°＝－1．(2)原式＝sin180°＋α·cos αtan α＝－sin αcos αcos αsin α＝－cos 2α．对应学生用书P16一、选择题1．sin 25π6的值为( )A ．12B ．22C ．－12D ．－32 答案 A解析 sin 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝sin π6＝12，故选A ．2．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( ) A ．－255 B ．－55C ．55 D ．255答案 C解析由三角函数的定义知cos θ＝－55，则cos(π－θ)＝55，故选C ． 3．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β) 答案 B解析 cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 4．设tan(5π＋α)＝m ，则sin α＋3π＋cos π＋αsin －α－cos π＋α的值等于( )A ．m ＋1m －1 B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1 答案 A解析因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ．所以原式＝sin π＋α－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1．5．若cos(2π－α)＝53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin(π－α)＝( ) A ．－53 B ．－23 C ．－13 D ．±23答案 B解析由已知，得cos α＝53．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin(π－α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫532＝－23，故选B ．二、填空题6．计算sin(－1560°)cos(－930°)－cos(－1380°)·sin1410°＝________．答案 1解析 sin(－1560°)cos(－930°)－cos(－1380°)·sin1410°＝sin(－4×360°－120°)cos(－1080°＋150°)－cos(－1440°＋60°)sin(1440°－30°)＝sin(－120°)·cos150°－cos60°sin(－30°)＝－32×－32＋12×12＝34＋14＝1． 7．已知cos(75°＋α)＝13，且α为第三象限角，则sin(α－105°)＝________．答案223解析 sin(α－105°)＝sin(α＋75°－180°)＝－sin(α＋75°)． ∵cos(75°＋α)＝13，且α为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角， ∴sin(α＋75°)＝－1－cos 2α＋75°＝－223． ∴sin(α－105°)＝223．8．满足sin(3π－x )＝32，x ∈[－2π，2π]的x 的取值集合是________．答案－5π3，－4π3，π3，2π3解析 sin(3π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝32．当x ∈[0，2π]时，x ＝π3或2π3；当x ∈[－2π，0]时，x ＝－5π3或－4π3．所以x 的取值集合为－5π3，－4π3，π3，2π3．三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z )； (2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°．解 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α·cos －π－αsin π＋α·cos α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos [2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]·cos [2n ＋1π＋α]＝sin π－α·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1．综上，原式＝－1． (2)原式＝1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70°sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1．10．已知α是第二象限角，且tan α＝－2． (1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z )的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标．解 (1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－－221＋－22＝－35． (2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，因为α是第二象限，所以cos α<0，所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255．当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosk π＋α＝cos α＝－55，y ＝sink π＋α＝sin α＝255，即P －55，255．当k 为奇数时，P 的坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosk π＋α＝cos π＋α＝－cos α＝55，y ＝sink π＋α＝sin π＋α＝－sin α＝－255，即P55，－255．综上，点P 的坐标为－55，255或55，－255．。

高中数学1.31.4诱导公式、三角函数的图象与性质习题课课件新人教A必修4

第一章
三角函数
习题课(二) 诱导公式、三角函数的图象与性质
1．通过对公式的运用，提高对三角恒等变形的能力和渗透
化归的数学思想，提高分析问题和解决问题的能力． 2．通过图象直观理解奇偶性、单调性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心． 3．通过函数图象的应用，体会数形结合的思想方法在解题
中的应用．
tan x 1．函数 y＝ ( 1＋cos x A．是奇函数 B．是偶函数
答案：B
4 ．已知 sin(α － 180° ) － sin(270° － α) ＝ m ，则 sin(180° ＋ α)· sin(270° ＋α)用 m 表示为( m2－1 A. 2 1－m2 C. 2 ) m2＋1 B. 2 m2＋1 D．－ 2
解析：由 sin(α－180° )－sin(270° －α)＝m，得 sin α－cos α 1－m2 ＝－m，∴sin αcos α＝ 2 .∴sin(180° ＋α)· sin(270° ＋α)＝sin 1－m2 αcos α＝ 2 .
x 函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin 2在(0，π) 上是单调递减的．
答案：C
3．函数
A. － C.
π π y＝cosx＋6，x∈0，2的值域是( 1 B. －2， 1 D.2，1
)
3 1 ， 2 2
3 故满足－1≤tan x＜ 3 的 x 取值集合为
π π kπ－，kπ＋ (k∈Z)． 4 6
诱导公式与其他知识的综合
f(α)＝
3π sinπ－αcos2π－αtan－α＋ 2 tan－α－π
sin－π－α
.
(1)化简 f(α)的表达式； (2)若 α 是第三象限角，且

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式1.3.1诱导公式(1)课件新人教A版必修4

＝tan1t5a0n°1c2o0s°3s0i°nc3o0s°120°＝
33× －
32×3×12 12＝－
3 6.
第十一页，共25页。
方法归纳利用诱导公式解决给角求值问题的方法 (1)“负化正”； (2)“大化小”，用公式一将角化为 0°到 360°间的角； (3)“小化锐”，用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
第二十二页，共25页。
|巩固提升| 1．tan(－1560°)＝( )
A．－
3 3
B.
3 3
C．－ 3 D. 3
解析：tan(－1560°)＝－tan1560°＝－tan(4×360°＋120°)＝－ tan120°＝－tan(180°－60°)＝tan60°＝ 3.
答案：D
第二十三页，共25页。
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin30°＝
232－
232＋
12＝12.
答案：(1)C (2)12
第十三页，共25页。
类型二已知三角函数值求相关角的三角函数值
[例 2] 若 sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则 tan(π－α)等于(
)
A．－12
B．－
3 2
C．－ 3
第十九页，共25页。
方法归纳利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
第二十页，共25页。
方法归纳解决条件求值问题的方法 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

高中数学1.3三角函数的诱导公式(一)诱导公式二三四教案新人教A版必修4

３三角函数的诱导公式（一）诱导公式二三四一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。

教学目的：引导学生如何利用三角函数线探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。

二、教学过程１．理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系①,,πααπα+--与α终边的对称性；②观察三角函数线的关系：相等、相反；③得出关系式。

απ+ α- απ- α 关于原点对称关于x 轴对称关于y 轴对称三角函数线正弦线、余弦线互为相反正切线相同正弦线、正切线互为相反余弦线相同正切线、余弦线互为相反正弦线相同诱导公式 ααπααπααπtan )tan(;cos )cos(;sin )sin(=+-=+-=+ 公式二 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan αααααα-=--=-=- 公式三 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan πααπααπαα-=-=--=-公式四④总结：,,πααπα+--的三有函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

２．利用诱导公式一二三四求值、化简例 ①=︒225cos ；②π311sin ＝；③)316sin(π-＝；④=︒-)2040cos( 。

①22-；②23-；③23；④21-。

例 )180cos()180sin()360sin()180cos(︒--︒--︒++︒αααα＝；１三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．在ABC ∆中，31cos =B ，则)cos(C A +等于（Ｂ）Ａ．31 Ｂ．31- Ｃ．322 Ｄ．322-２．求)417sin()417cos(ππ---的值。

2 ３．在ABC ∆中，2cos sin =+A A ，)cos(2cos 3B A --=π，求ABC ∆的三个内角。

人教A版新课标高中数学必修4第一章《三角函数》综合练习题(含答案)

第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（）A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（） A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是（） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则（）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α；（2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值：（1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]216、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。

高中数学第一章三角函数课时作业101.3.2三角函数诱导公式(第3课时)新人教A版必修4

课时作业(十) 1.3.2 三角函数诱导公式（第3课时）1．tan600°的值是( ) A ．－33B.33C ．－ 3D. 3答案 D解析 tan600°＝tan (2×360°－120°)＝－tan120°＝tan60°＝ 3.故选D. 2．sin(－17π6)的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 B解析 sin(－17π6)＝－sin 17π6＝－sin(5π6＋2π)＝－sin 5π6＝－sin(π－π6)＝－sinπ6＝－12.3．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是( )A ．－35B.35 C ．±35D.45答案 B解析由sin(π＋α)＝45，得sin α＝－45，而cos (α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，所以cos α＝35.4．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．sinA ＋sinC ＝sinB B ．sin(A ＋B)＝cosC C ．cos(B ＋C)＝－cosAD ．tan(A ＋C)＝tanB 答案 C解析 ∵A＋B ＋C ＝π，∴B ＋C ＝π－A ， ∴cos(B ＋C)＝cos(π－A)＝－cosA.5．已知sin (α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( )A.223B.－233C.13D ．－13答案 D解析 cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin (α－π4)＝－13.6．若co s(α＋π)＝35，π≤α<2π，则sin(－α－2π)的值是( )A.35 B ．－35C.45D ．－45答案 C解析 ∵cos (α＋π)＝35，∴cos α＝－35.∴π<α<32π.∴sin α＝－45，而sin(－α－2π)＝－sin α.7．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．sin (α＋2π)＝sin β C ．cos α＝cos βD ．cos(2π－α)＝－cos β 答案 C解析若α和β的终边关于x 轴对称，则β＝－α＋2k π，k ∈Z 根据诱导公式，所以选C.8．函数f(x)＝cos πx3(x∈Z )的值域为( )A ．{－1，－12，0，12，1}B ．{－1，－12，12，1}C ．{－1，－32，0，32，1}D ．{－1，－32，32，1} 答案 B解析 x ＝1，2，3，4，5，6时可以取到x∈Z 时的所有终边，由诱导公式一，终边相同的角同一三角函数值相同，所以答案选B.9．已知cos(π2＋φ)＝32且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3答案 C解析 ∵cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，tan φ＝－ 3.10．已知f(sinx)＝cos3x ，则f(cos10°)的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 A解析用π2－x 换f(sinx)＝cos3x 中的x ，则f(cosx)＝f(sin(π2－x))＝cos3(π2－x)＝－sin3x ，所以f(cos10°)＝－sin30°＝－12.11．化简sin(π＋α)cos(3π2＋α)＋sin(π2＋α)·cos(π＋α)＝________．答案－1解析原式＝sin αcos(π2＋α)－cos αcos α＝－sin 2α－cos 2α＝－1.12．已知α为第二象限角，化简1＋2sin （5π－α）cos （α－π）sin （α－3π2）－1－sin 2（3π2＋α）＝________．答案－1 解析原式＝1－2sin αcos αcos α－sin α＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.13．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos (α＋π2)＝________．答案265解析 cos (α＋π2)＝－sin α＝265.14．求sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°的值．答案 892 15．已知tan(3π＋α)＝2，求sin （α－3π）＋cos （π－α）＋sin （π2－α）－2cos （π2＋α）－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．答案 2解析 tan(3π＋α)＝tan α＝2，sin （α－3π）＋cos （π－α）＋sin （π2－α）－2cos （π2＋α）－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝2.。

1.3 三角函数的诱导公式-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)

知识点一诱导公式一设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式一sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.知识点二诱导公式二思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.απ+与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平11.熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点。

2.使用诱导公式的目的在于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

【考查内容】诱导公式的应用，三角函数的基本关系式。

【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.α-与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平 13.απ-与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平14.απ±2与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平1第三讲三角函数的诱导公式知识通关答案角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，P 2与P 也关于x 轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二知识点三诱导公式三思考角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P 3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P (cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三梳理公式一～三都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这三组公式的共同特点是：2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．知识点四诱导公式四完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系．(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得诱导公式四知识点五诱导公式五思考能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案以－α代替公式四中的α得到 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin(－α)．由此可得诱导公式五知识点六诱导公式的推广与规律1．sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α.2．诱导公式记忆规律：公式一～三归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式四～五归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．五组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．题型一利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题变式训练1-1 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(3)tan(－945°)．解析： (1) sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2) cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.命题角度2 给值求值或给值求角问题例1-2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3答案 D－α)题型三利用诱导公式求值例3、已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值．解析： ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.变式训练3已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值．解析： ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 题型四利用诱导公式证明三角恒等式规律方法例4、求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明： ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．变式训练4求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).证明：右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边，所以原等式成立．题型五诱导公式的综合应用规律方法例5 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．解析： (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.变式训练5已知f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. 解析：(1)f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.一、选择题1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A ．π－4 B ．4 C ．－4 D ．4－π 解析： tan(π－α)＝－tan α＝－4. 答案 C2．cos(π＋x )等于( ) A ．cos x B ．－cos x C ．sin xD ．－sin x解析：由诱导公式得cos(π＋x )＝－cos x . 答案 B3．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.35解析：因为sin(π＋α)＝35，且sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝－35，又因为α是第四象限角，所以cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. 答案 B4．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2解析： ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2，则tan 80°＝1－k 2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.A 组基础演练答案 B5．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对解析： ∵sin(π－α)＝sin α＝32log 2－2＝－23，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 答案 B6．若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α等于( ) A ．－53B ．－23C.53D ．±53解析： ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α＝－53. 答案 A7．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)等于( )A ．2B ．－2C ．0 D.23解析： sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案 B8．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析： sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝cos α，故cos α＝15，故选C. 答案 C9．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±k D ．不确定解析： cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k 答案 B.10．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析： ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 项正确．答案 D二、填空题11．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为______．解析： tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝－3a＝3，即a ＝－ 3.答案－3 12.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2.答案 2－213．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析： ∵a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22，∴b ＞a ＞c . 答案 b ＞a ＞c14．化简sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝ .解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1.答案－1三、解答题16.化简下列各式：(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)；(2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).解析： (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin 30°－tan 45°＝12.17．已知角α的终边经过单位圆上的点P ⎝⎛⎭⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求cos (2π－α)sin (π＋α)·tan (π＋α)cos (3π－α)的值．解析： (1)∵点P 在单位圆上，∴由正弦的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦的定义得cos α＝45，故原式＝54.一、选择题1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析： sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32.答案 C2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.答案 D3．已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α解析：当n ＝2k ，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α.故选C.答案 C4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13解析： cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13.答案 C5．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( )A ．1B ．sin 2αC ．－cos 2αD ．－1解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α，tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α，所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，故选C.答案 C6．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析： f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.答案 A7．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m2解析： ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.答案 C解析：∵f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＋4＝3，∴a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝－1，∴f (2018)＝a sin(2017π＋α＋π)＋b cos(2017π＋β＋π)＋4＝－a sin(2017π＋α)－b cos(2017π＋β)＋4＝1＋4＝5.答案 C10．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( )A ．89B ．90 C.892D ．45解析：原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 答案 C二、填空题11．化简cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________. 解析： cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α ＝cos αtan αsin α＝cos αsin αcos αsin α＝1. 答案 112．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数，若f (2 017)＝－1，则f (2 018)＝________. 解析： ∵f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin(π＋2 017π＋α)＋b cos(π＋2 017π＋β)＝－a sin(2 017π＋α)－b cos(2 017π＋β)＝－f (2 017)，又f (2 017)＝－1，∴f (2 018)＝1.答案 113．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________．解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52，所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案－214．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是．①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角；②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13； ③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α. 解析：由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos [(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确．答案 ③三、解答题15. 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解析： (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.16．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值．解析： ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38，∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.17．已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．解析： f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60° ＝－233.高中数学，同步讲义必修四第一章三角函数第三讲三角函数的诱导公式。

高中数学人教A版必修四课时训练：第一章三角函数1-2任意角的三角函数

11．解 (1)
图1
作直线 y＝ 23交单位圆于 A、B，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图 1 阴影部分)，即为角 α 的终边的范围．故满足条件的角 α 的集合为 {α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}． (2)
∴sin 2cos 3tan 4<0.
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点 P(m，n)位于 y＝3x 在第三象限的图象上，且 m<0，n<0，
n＝3m.
∴|OP|＝ m2＋n2＝ 10|m|＝－ 10m＝ 10.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
11．解 (1)原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.
3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求 0～2π(或 0°～360°)角的三角函数值．
答案
知识梳理
y 1.r
x r
y x
3.相等
sinα
cosα
tanα
作业设计
1．A 2.B
3．C [∵sinα<0，∴α 是第三、四象限角．又 tanα>0，
∴α 是第一、三象限角，故 α 是第三象限角．]
4．C [∵1,1.2,1.5 均在0，π2内，正弦线在0，π2内随 α 的增大而逐渐增大，
∴sin1.5>sin1.2>sin1.] 5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得 D 正确．] 6．A [
如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT，很容易地观察出
OM<MP<AT，即 cosα<sinα<tanα.]

高中数学第一章三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图像习题课件新人教A版必修4

(2)y＝|tanx|＝t－antxa，nx，x∈x[∈kπ（，kπkπ－＋π2π，2 ）kπ（]k（∈kZ∈）Z.）.
可作出其图像(如图)，由图像知函数 y＝|tanx|的单调递减区 π
间为 (k π － 2 ， k π ](k∈Z) ，单调递增区间为 [k π ， k π ＋ π 2 )(k∈Z)．
π 是[0，＋∞)；单调递增区间是[kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z)；周期 T＝
π.
课后巩固
1．函数
y＝ta1nx(－π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
答案 B
2．函数 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(π2 ，3π2 )内的图像大致是( )
π
⇒kπ－
x≠kπ＋ 2 （k∈Z）
2
<x<kπ＋
3
，
π
π
∴定义域为(kπ－ 2 ，kπ＋ 3 )(k∈Z)，值域为 R.
题型二正切函数的奇偶性例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4 ≤x<π4 )； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
【思路分析】先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
【解析】 y＝tanx＋|tanx|＝ 2tanx，tanx≥0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z. 0，tanx<0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z.
其图像如图所示，
π

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三角函数的诱导公式练习题
1．已知,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3tan 4α=-，则sin()απ+=
A ．35-
B ．35
C ．4
5
- D ．45
2．已知51
sin 25
πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos α=（） A ．25-
B ．15-
C ．15
D ．25
3．若3
5
)2cos(=
-απ且)0,2
(π
α-∈，则=-)sin(απ
A ．35-
B ．32-
C ．31-
D ．3
2± 4．=3
4cos
π
（） A.
23 B.21 C.23- D.2
1- 5．2014cos(
)3
π
的值为（） A ．
12 B
．2 C ．12- D
．2
- 6．化简sin600°的值是( ). A ．
0.5 B.-
2
C.2
D.-0.5 7．
sin(210)-o
的值为 A ．1
2
-
B ．12 C
． D
8．sin(600)°
-= （ )
A ．12 B
．-1
2
D ．
9．如果1
sin()22
x π+=，则cos()x -= .
10．如果cosα=，且α是第四象限的角，那么= ．
11．
5
cos
6
π
的值等于．
12．已知
25
sin
5
α=，求
5
sin()
2
tan()
5
cos()
2
π
α
απ
π
α
+
++
-
的值.
13．已知α为第三象限角，()
3
sin()cos()tan() 22
tan()sin()
f
ππ
ααπα
α
απαπ
-+-=
----
．
（1）化简()
fα；
（2）若
31
cos()
25
π
α-=，求()
fα的值．
14．化简．
15．已知sin()cos(4)1
cos2
πααπ
α
+-+
=，求cos()
2
π
α
+的值.
16．已知角α的终边经过点P （4
5
,
3
5
-），
（1）、求cosα的值；
（2）、求sin()tan()
2
sin()cos(3)
π
ααπ
αππα
--
⋅
+-
的值．
参考答案
1．A 【解析】
试题分析：由已知α为第二象限角，sin 0α>，由sin 3
tan cos 4
ααα=
=-，又22sin cos 1αα+=，解得3sin 5α=，则由诱导公式()3
sin sin 5
απα+=-=-.故本题答
案选A.
考点：1.同角间基本关系式；2.诱导公式． 2．C 【解析】试题分析：由51
sin 25
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，得1cos 5α=-.故选C ．
考点：诱导公式．
3．B 【解析】
试题分析：由αααπcos )cos()2cos(=-=-，得3
5cos =
α，又)0,2(π
α-∈，得
3
2-sin =α又ααπsin )sin(=-，所以=-)sin(απ32
-.
考点:三角函数的诱导公式.
4．D 【解析】试题分析：41cos
cos cos 3332ππππ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝
⎭，故答案为D. 考点：三角函数的诱导公式
点评：解本题的关键是掌握三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，利用这些公式进行求值. 5．C 【解析】试题分析：2014cos(
)3π2
1
3cos )3cos()32335cos(-=-=+=++⨯=ππππππ，选C. 考点：三角函数的诱导公式.
6．B 【解析】
试题分析：2
360sin )60180sin(240sin )240360sin(600sin 0
-=-=+==+=. 考点：诱导公式.
7．Ｂ【解析】试
题
分
析
：
由
诱
导
公
式
得
sin(210)
-o 2
1
30sin )30180sin(210sin )210sin(00000=
=+-=-=-，故选B ．考点：诱导公式． 8．B 【解析】
试题分析：由)2sin(sin παα+=得2
3120sin )720600sin()600sin(==+-=-ο
οοο．考点：诱导公式． 9．
2
1 【解析】
试题分析：()111
sin()cos cos cos 2222
x x x x π+=∴=∴-==
考点：三角函数诱导公式
10．
【解析】
试题分析：利用诱导公式化简，根据α是第四象限的角，求出sinα的值即
可．
解：已知cosα=，且α是第四象限的角，
；
故答案为：．
11．3. 【解析】
试题分析：原式3cos()cos
6
6
π
π
π=-
=-=. 考点：诱导公式，特殊角的三角函数值. 12．当α为第一象限角时，
52；当α为第二象限角时，52
-. 【解析】
试题分析：分两种情况当α为第一象限角时、当α为第二象限角时分别求出α的余弦值，
然后化简5sin(
)
2tan()5cos()2
π
ααππ
α+++-1sin cos αα
=
，将正弦、余弦值分别代入即可. 试题解析：∵25
sin 0α=
>， ∴α为第一或第二象限角. 当
α
为第一象限角时，
25cos 1sin 5
αα=-=
，
5sin(
)
cos sin cos 152tan()tan 5sin cos sin sin cos 2cos()2
π
αααααπαπαααααα+++=+=+==-.
当α为第二象限角时，2
5cos 1sin αα=--=-，原式15
sin cos 2
αα=
=-.
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、诱导公式的应用. 13．（1）αcos -；（2）
5
6
2．【解析】试题分析：（1）借助题设直接运用诱导公式化简求解；（2）借助题设条件和诱导公式及同角关系求解．试题解析: （1）(cos )(sin )(tan )
()cos (tan )sin f ααααααα
--=
=--；
（2）∵31cos()25πα-
=, ∴1sin 5α-=即1
sin 5
α=-，又α为第三象限角 ∴2
26
cos 1sin 5
αα=--=-
, ∴()f α=562．
考点：诱导公式同角三角函数的关系．
14．cosα．【解析】
试题分析：利用诱导公式化简求解即可．解：
=
=cosα． 15．
12
【解析】
试题分析：由题根据诱导公式化简得到1
sin 2
α=-然后根据诱导公式化简计算即可. 试题解析：由sin()cos(4)1cos 2πααπα+-+=，得sin cos 1cos 2ααα-=，即1
sin 2
α=-，
∴1cos()sin 22
παα+=-=.
考点：诱导公式 16．（1）45 ；（2） 5
4
【解析】
试题分析：（1）由题角α的终边经过点P （
45,3
5
- ），可回到三角函数的定义求出cos α （2）由题需先对式子用诱导公式进行化简，tan()απ-可运用商数关系统一为弦，结合（1）代入得值.
试题解析：（1）、22
43155r ⎛⎫⎛⎫
=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 4cos 5x r α==
sin()
tan()cos tan()2sin()cos(3)sin cos()
π
ααπαπααππααπα----⋅=⋅+---cos sin sin()
cos()cos αα
παπαα--=⋅- 2cos sin 15
sin cos cos 4
ααααα=
⋅==
考点：1.三角函数的定义；2.三角函数的诱导公式及化切为弦的方法和求简思想.。