大一微积分课件1-3

思考题
1. 设x 0，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
2.下列函数能否复合为函数 y f [g( x)]，若
能，写出其解析式、定义域、值域．
(1) y f (u) u, (2) y f (u) ln u,
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
6）反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
4.周期函数 设函数f ( x)的定义域为A, 如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一x A, x l A, 且 f ( x l) f ( x) 恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
y arcsinu, u 2 x2; y arcsin( 2 x 2 ) 不是函数
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
2
2
多个函数生成复合函数，把复合函数分解成 简单函数。
2.反函数
y
函数 y f ( x)
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
2.初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、
三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
由基本初等函数经过有限次四则运算及有 限复合生成的函数,称为初等函数.
1. f : D R y f (x)
2. 关于定义域，两个有意义： 表达式有意义，实际问题有意义。
3.函数值的唯一性 单值函数。
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的
y
反函数 x ( y)
y0
W
o
y0
W
x0
xo
D
x0
x
D
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
四、初等函数
1.基本初等函数
1）常数函数 y c
2）幂函数
y
y x2
1
y x (是 常数)
o
y 1 x
y x y x
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
y
y f (x)
f (x1)
y
f (x)
Hale Waihona Puke g( x)ox
(5) 分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同
的式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
二、几类具有特殊性质的函数
1.有界函数
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2.单调函数
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
3l
l
2
2
l 2
3l 2
三、复合函数与反函数
1.复合函数
z ln y, y x 1 z ln( x 1)
函数z f ( y), y B，函数y (x), x A
G {x x A,(x) B}
f
x G y B z
z f [(x)]
注意
1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数 的,例如：
1.3 函数
函数概念 几类具有特殊性质的函数 复合函数与反函数 初等函数
一、函数概念
例 圆内接正多边形的周长
S3
S4
Sn 2nr sin n
n 3,4,5,
S5
S6
圆内接正n 边形
O
r
n
定义 设D是非空数集.若存在对应关系f ,对D 中任意数x( x D), 按照对应关系f , 对应唯一 一个y R,则称f 是定义在D上的函数，表示为
最大整数
y 4 3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
f (x2 )
o
x
I
3.奇函数与偶函数 函数y f ( x), x A.设A关于原点对称, 即对于x A, 有 x A,且
f ( x) f ( x)( f ( x) f ( x)) 则称 f ( x)为奇函数（偶函数）。
-x f (x)
y o
奇函数
y f (x)
f (x)
xx
y y f (x)
(1,1)
1
x
3）指数函数
y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
y ax
• (0,1)
(a 1)
4）对数函数
y loga x (a 0,a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
5）三角函数
正弦函数 y sin x
f : D R.
当x D时, 称y f ( x)为函数在点x处的函数值.
D称为函数的定义域，函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
点集G {(x, y) y f ( x), x D} 称为函数 y f ( x)的图形.
关于函数概念的几点说明：