六年级下册数学导学案《平方差公式导学案(1)》

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《平方差公式(1)》导学案

课题：1.7平方差公式（1）导学案科目：_数学_ 课题：1.7平方差公式（1）课型：新授___ 班级：_七六姓名：赵伟芳时间：执笔人：__赵伟芳__ 审核者__________审批者：_________ 学习目标：1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.4.培养学生观察、归纳、概括等能力.学习重点：平方差公式的推导和应用.学习难点：用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.学法指导：探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.学习过程：一.类比引入Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.7.1 A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) ［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即二.思考讨论上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为： (a+b)(a －b)=a 2－b 2①其中a,b 可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即 (a+b)(a －b)=a 2－ab+ab －b 2=a 2－b 2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快. 你能给我们发现的规律(a+b)(a －b)=a 2－b 2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a －b)=a 2－b 2叫做平方差公式. ［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.三.例题学习［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x)B.(21a+b)(b －21a)C.(－a+b)(a －b)D.(x 2－y)(x+y 2)E.(－a －b)(a －b)F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x －2y)(x+2y); (－m+n)(－m －n).［生］(1)中只有B 、E 、F 能用平方差公式.因为B.(21a+b)(b －21a)利用加法交换律可得(21a+b)(b －21a)=(b+21a)(b －21a),表示b 与21a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a －b)(a －b),同样可利用加法交换律得(－a －b)(a －b)=(－b －a)(－b+a),表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)利用加法和乘法交换律得(c 2－d 2)(d 2+c 2)=(c 2+d 2)(c 2－d 2)，表示c 2与d 2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A 、C 、D 不能用平方差公式呢？［生］A 、C 、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x 这两个数的和与差的形式；(x －2y)(x+2y)是x 与2y 这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m －n)是－m 与n 这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式. ［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x 2; (x －2y)(x+2y)=x 2－(2y)2=x 2－4y 2; (－m+n)(－m －n)=(－m)2－n 2=m 2－n 2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题. 出示投影片(记作§1.7.1 C) ［例2］利用平方差公式计算： (1)(－41x －y)(－41x+y);(2)(ab+8)(ab －8); (3)(m+n)(m －n)+3n 2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－41x －y)(－41x+y)——(－41x)与y 的和与差的积=(－41x)2－y 2——利用平方差公式得(－41x)与y 的平方差=161x 2－y 2——运算至最后结果(2)(ab+8)(ab －8)——ab 与8的和与差的积 =(ab)2－82——利用平方差公式得ab 与8的平方差 =a 2b 2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m －n)+3n 2——据运算顺序先计算m 与n 的和与差的积 =(m 2－n 2)+3n 2——利用平方差公式 =m 2－n 2+3n 2——去括号=m 2+2n 2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a 、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.1.计算［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题. ：(1)(a+2)(a －2); (2)(3a+2b)(3a －2b); (3)(－x+1)(－x －1); (4)(－4k+3)(－4k －3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2; (a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2四.应用拓展有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，……用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即x 12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,为什么？经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即xi +yi=9(其中i=1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.［结果］由题意知xi +yi=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)=9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］=0所以，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.五.小结作业.课时小结［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了..课后作业课本习题1.11，第1题.。

6《平方差公式》导学案

14.2乘法公式14.2.1平方差公式1.知道平方差公式,能用几何拼图的方式验证平方差公式,能灵活应用平方差公式进行计算.3.重点:平方差公式的探究及应用.问题探究平方差公式阅读教材“思考”前所有内容,解决下面的问题.1.计算: (1)(x+2)(x-2)=; (2)(y+3)(y-3)=;(3)(3y+1)(3y-1)=.2.观察上面三个等式,说说左边和右边的两个多项式各有什么特点?3.用字母表示上述几个式子反映的规律为. 【归纳总结】两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的平方差.【讨论】根据教材“思考”中的问题验证平方差公式.1.图中②和③的面积相等吗?为什么?2.你能用a、b表示图中①和②的面积之和吗?3.由1、2中的问题,你能直接说出图中①和③的面积之和吗?4.图中①和③的面积之和还可以等于哪两个图形的面积之差?你能写出这个差吗?5.由3、4你可以得到什么结论?【预习自测】(1)(x+5)(x-5)=; (2)(a+b)(b-a)=;(3)(-3+a)(-3-a)=()2-()2=;互动探究1:下列多项式相乘时,可以用平方差公式的是() A.(a+b)(-a-b)B.(-a-b)(a-b)C.(a-b)(-a+b)D.(a-2)(a+3)互动探究2:下列计算中,结果正确的是() A.(x-3)(3+x)=x2-3 B.(3x-2)(2+x)=3x2-4C.(7ab-c)(7ab+c)=49a2b2-c2D.(-x-y)(x+y)=x2-y2【方法归纳交流】平方差公式的特征:①公式的左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项,另项;②右边是因式中的两项的平方差(减去). 互动探究3:运用平方差公式计算：(1)(7c-2b)(7c+2b) (2)(-x-1)(1-x);(3)(x+3)(x-3)-(x-1)(x+2).互动探究4:计算:(x-3)(x2+9)(x+3).。

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1.5 平方差公式（ 1）一、学习目标与要求：1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理二、重点与难点：重点：运用平方差公式进行简单的计算和推理难点：理解理解平方差公式及其探索过程三、学习过程：复习巩固：计算：（多项式乘多项式）(1)3(2) ( x 2 y)(5x 3b) (2 a 3)( b 5)2(3) (-2x-y) 2(4) (x+y)(x 2-xy+y 2)探索发现：一、探索平方差公式计算下列各题，并用自己的语言叙述你的发现(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a)(3) x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z)你的发现：__________________________________________________________________ 再举例验证你的发现：例：归纳：平方差公式： (a+b)(a-b)=__________________语言叙述：___________________________________________________________________ 老师的提示：人们把某些特殊形式的多项式相乘写成公式，加以记忆、套用，以使计算快速、简洁 . 在运用公式的过程中，要准确的把握公式的特点，平方差公式的特点：左边是两个数的和乘这两个数的差，右边是这两个数的平方差，那么．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．在运用公式时，认准“这两个数”就成了问题的关键 . 分析下面式子，你能认出那．．．．一部分是两数和？那一部分是这两数的差？两个数分别是什么？结果应该是哪．．．．．个数的平方减去哪个数的平方吗？(1) (5+6x)(5-6x)(2) (x-2y)(x+2y)(3) (-m+n)(-m-n)现在你能计算了吗？例 1 利用平方差公式计算(1) (5+6x)(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y)(3) (ab 8)(ab 8) (4) (-m+n)(-m-n)巩固练习 1：利用平方差公式计算(1) (a+2)(a-2) (2) (3a+2b)(3a-2b)(3) (mn-3n)(mn+3n) (4) (–x-1)(-x+1)例 2 利用平方差公式计算(1) ( 1x y)(1x y) (2) ( m n)(m n) 3n2 4 4巩固练习 2：利用平方差公式计算(1) (-4k+3)(-4k-3) (2) (1x 2 y)(1x 2y) 4 4(3) (-2b- 5) (2b -5)(4) x2+(y-x)(y+x)(5) (a n+b)(a n-b) (6) (a+1)(a-1)(a2+1)少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，则国胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于地球。

平方差公式导学案

《平方差公式》导学案课型：探究交流课[学习目标]1、理解掌握平方差公式及其结构特征；2、会运用平方差公式进行化简、计算。

3、培养学生的观察、分析和总结能力和敏捷的思维能力。

4、让学生在公式的运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦。

[教学重难点]重点：1、理解掌握平方差公式及其结构特征；2、会运用此公式进行计算。

难点：辨析公式的特征和公式的灵活运用。

[学法指导]从“动态的数学观”出发，根据数形结合思想，积极主动参与探究学习，对同一个问题寻求不同的思路，依靠自己的活动去探索问题、解决问题，并注意独立探究与合作学习有机结合，在交流和讨论中培养实践能力和创新意识。

[教学过程设计]一、课前延伸。

1、根据多项式乘法法则化简：（a+b）（a-b）=______________=________2、你能借助图形的面积关系来验证这个关系吗？平方差公式：________________________；语言描述：___________________________________________。

二、课内探究。

[环节1：自主探究]自主探究例题1、2.【环节2：合作交流】1、小组交流：把自主探究例题时的收获与疑惑在组内交流解决，然后仿照例题计算课后练习。

(1)(a+6)(a-6) (2) (1+x)(1-x)(3) (x+2y)(x-2y) (4) (-x+4y 2)(-x-4y 2)2、组际交流（班内展示）。

每组选派代表板示计算结果，然后集体订正答案。

【环节3：精讲点拨】师生共同总结平方差公式的特点、规律，应用的注意事项，注意以下变式：1、（-a – b ) ( -a + b) = a 2- b 22、（b + a )( -b + a ) = a 2- b 2【环节4：巩固检测】（有效训练）A 组：判断下列多项式乘法中,哪些可以用平方差公式来计算.1、（x －2y ）（x ＋2y ） ( )2、（a －2b ）（－a －2b ） ( )3、（－2m －n ）(n + 2m) ( )4、(2c －b)( －b －2c) ( )B 组：计算：（2x ＋21）（2x －21）（－x ＋2）（－x －2）（－2x ＋y ）（2x ＋y ）（y －x ）（－x －y ）C 组：简便计算：（1）498×502 （2）999×1001（课堂小结）1、本节你学到了什么？2、本节课用到了哪些数学思想或方法？3、你还有什么疑惑?（当堂检测）A、判断正误，如果错误，应怎样改正？( 1 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( ) ( 2 ) (-a+b)(-a-b)=-a2- b2 ( )( 3 ) (2x+3)(2x-3)=2x2-9 ( ) ( 4 ) (3x-1)(-3x-1)=9x2-1 ( )( 5 ) (a+b)(-a-b)=a2-b2 ( ) ( 6 ) (2x+3)(3x-3)=6x-9 ( )B、计算：（1）、( ab + 8)( ab - 8) （2）、( 3a+2b)(-3a+ 2b)（3）、 103 × 97根据集体订正的答案，本节学习情况为：A、优秀 B、一般 C、较差三、课后延伸。

平方差公式导学案

课题：14.2.1 平方差公式学生姓名:学习目标：1．理解平方差公式，能运用公式进行计算；2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．学习重点：平方差公式及其运用.学习难点：平方差公式的结构特点及其灵活运用.学习过程：一、激情导入,明确目标灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!”慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?二、复习回顾1.多项式与多项式的乘法法则：，，, .2.多项式与多项式的乘法法则字母表达式为 .三、自主预习请大家阅读P107页，完成下列问题1.计算下列各式：(1)（x＋1)(x－1）= = ;(2) (m＋2)( m－2） = = ;(3)（2x＋1)(2x－1)= = ;(4)（a＋b)(a－b)= = .它们的结果有什么特点？2.根据上面的计算，你能发现什么规律?这个规律用字母表达式表示为，用文字表述为，等于 . 这个公式的名称叫 .3．这个公式的特征有哪些？4. 你能根据图14.2-3中的面积说明这个公式吗?四、展示交流阅读课本P108例1、例2，注意解题格式和思路.强调：只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式.1. 例1.运用平方差公式计算：(1) (3x ＋2 )( 3x －2 ) ； (2) (b+2a)(2a －b); (3) (-x+2y)(-x-2y).2. 例2. 计算:(1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .五、合作探究1.计算:(x+y) (x 2+y 2) (x 4+y 4) (x-y)2.计算时，小刚从包里拿出计算器，小玲立即制止，并很快得出了答案，你会算吗？六、达标检测1、下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（每题10分，共20分）2.利用平方差公式计算（每题16分，共80分）（1）(a+3b)(a - 3b) （2）(3+2a)(－3+2a) （3）51×49（4）(－2x 2－y)(－2x 2+y) （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)七、小结反思通过本节课的学习，你能告诉我村长慢羊羊为什么吃亏了吗?谈谈本节课你的收获？八、日清反馈运用平方差公式计算:（课本P112第1题）（1）( 23x-y)( 23x+y) （2）(xy+1)(xy-1) （3）(2a-3b)(3b+2a)（4）(-2b-5)(-2b+5) （5）2001×1999 （6） 998×1002 22006200620052007-⨯22(1)(2)(2)2(2)(32)(32)94x x x a a a +-=----=-。

平方差公式导学案

导学案
课题: 14.2.1平方差公式
主备人龙来文审核学生班级
学习目标
1、经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式；
2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单计算. 自主学习
1．计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x＋1）（x－1）
（2）（m＋2）（m－2）
（3）（2x+1）（2 x−1）
2．你能通过计算验证你发现的规律吗？
合作探究
1．你能根据图形的面积说明你发现的规律吗？
2．平方差公式的结构有什么特征？
3．运用平方差公式计算：
（1）(3x+2) (3x −2)
（2）(−x＋2y) (−x−2y)
（3）(-3x-5)(3x-5)
（4）102×98 导学提示
教师复备
先观察下列多项式有什么特点，再观察计算结果有什么特点
多项式乘以多项式
先做一个边长为a的大正方形，再减去一个边长为b 的小正方形，想一想剩下的几何图形的面积怎么计算？把这个图形拼成规则图形，想一想它的面积又该如何计算
能力提升
课堂练习
1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)(x+3)(x-3)=x2-3
(2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4
2、运用平方差公式计算：
（1）(a +3b)(a−3b)
（2）(3 +2a)(−3 + 2a)
（3）51×49
（4）(3x+4) (3x −4) −(2x +3) (3x−2)
课堂小结只有符合公式条件的乘法，才能运用公式化简运算，其余的的运算仍按乘法法则运算.
()()()() (1) 2215
y y y y
+---+。

平方差公式(1)

）
2 2 ③ x 2 y − 3 y 2 z 3 − 3 y 2 z 3 − x 2 y 3 3
B． ( m − n)( − m − n)
( C． − m − n)( n − m)
① x − 1 y x + 1 y
2 2
( D． m + n )( − m + n )
② (3a − bc )(− bc − 3a ) ④ (100 + 1)(100 − 1) C．3 个 D．4 个 2 2 ④ − a 2 m + 5b n − a 2 m − 5b n 3 3
2. 下列式中能用平方差公式计算的有
主备人：徐鸿飞
初一数学
5.填空
① ( 2 x − y）
(
)=
4x2 − y2 ；
② (− 3 a − 2 b )
(
(
)= 9 a
2
− 4b 2
2
3.(2009 年四川省内江市) 在边长为 a 的正方 2009 年四川省内江市) 形中挖去一个边长为 b 的小正方形（ a ＞ b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（） A． (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 B． (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
⑦( x − y )(− y + x )
⑥ ( x + y )(− x − y )
⑧(- x + y )(− x − y )
③ (2 x + 1)(2 x − 1)
④ ( x + 5 y )( x − 5 y )

【范文】平方差公式导学案

平方差公式导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址章节与课题§9.4.2平方差公式课时安排2课时使用人使用日期或周次本课时学习目标或学习任务、经历探索平方差公式的过程，能总结出平方差公式及语言叙述.2、能正确运用平方差公式进行简单的计算.3、培养语言表达能力、逻辑思维能力.本课时重点难点或学习建议教学重点：理解平方差公式，运用平方差公式进行计算.教学难点：平方差公式的推导.本课时教学资源的使用电脑、投影仪.学习过程学习要求或学法指导教师二次备课栏自学准备与知识导学：、看图回答：边长为的小正方形纸片放置在边长为的大正方形纸片上，你能求出阴影部分的面积吗？⑴阴影部分由2个相同的直角梯形组成，梯形的上底等于_____，下底等于_____，高等于_____，因此梯形的面积等于___________，阴影部分的面积等于____________________.⑵大正方形的面积等于_____，小正方形的面积等于_____，因此阴影部分的面积等于____________.⑶显然，⑴和⑵中求得的面积一样.由此可得出的结论是：__________________=____________，这个公式称为平方差公式.2、你还能用多项式乘多项式法则得到同样的结论吗？请写出你的过程.=3、你能说出平方差公式的特点，以及它与完全平方公式的不同点吗？4、平方差公式的语言叙述是：_____________________________________.5、总结：完全平方公式（2个）、平方差公式通常称为乘法公式，在计算时可以直接使用.分别从整体和局部两个方面去思考.梯形的面积=×高÷2.公式的语言叙述：两数和乘两数差等于这两个数的平方差.学习交流与问题研讨：、例题一用平方差公式计算：⑴⑵2、例题二计算：⑴⑵分析：把⑴中的看作平方差公式中的，把看作，把⑵中的看作平方差公式中的，把看作，再用平方差公式进行计算.与公式比较，哪个相当于公式中的，哪个相当于公式中的．练习检测与拓展延伸：、巩固练习一⑴口答下列各题①②③④⑵判断正误①（）②（）③（）④（）⑶填空①②③④2、巩固练习二⑴课本P67练一练1、2；⑵补充习题P38、2.3、提升训练⑴课本P67练一练3；⑵计算：4、当堂测试探究与训练P45-464-9.分析：与公式比较，哪个相当于公式中的，哪个相当于公式中的．要更好、更灵活的掌握平方差公式.课后反思或经验总结：、通过适量的练习使学生能够正确熟练的运用乘法公式进行混合运算，引导学生运用公式简单计算，让学生在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力.。

数学《平方差公式》导学案课件

数学《平方差公式》导学案课件(一)教学知识点1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.平方差公式的推导和应用.用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)XX×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中XX×1999=(XX+1)(XX－1)=XX2－XX+XX－1×1=XX2－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的XX，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，XX和1999，一个比XX 大1，于是可写成XX与1的和，一个比XX小1，于是可写成XX与1的差，所以XX×1999就是XX与1这两个数的和与差的积，即(XX+1)(XX－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：XX2－12，恰为这两个数XX与1的平方差.即(XX+1)(XX－1)=XX2－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.［师］出示投影片(§ A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2 ①其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.( a+b)(b－ a)C.(－a+b)(a－b)D.(x2－y)(x+y2)E.(－a－b)(a－b)F.(c2－d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);(－m+n)(－m－n).［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.( a+b)(b － a)利用加法交换律可得( a+b)(b－ a)=(b+ a)(b－ a),表示b与 a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作§ C)［例2］利用平方差公式计算：(1)(－ x－y)(－ x+y);(2)(ab+8)(ab－8);(3)(m+n)(m－n)+3n2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－ x－y)(－ x+y)——(－ x)与y的和与差的积=(－ x)2－y2——利用平方差公式得(－ x)与y的平方差= x2－y2——运算至最后结果(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差=a2b2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n的和与差的积=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式=m2－n2+3n2——去括号=m2+2n2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.1.计算：(1)(a+2)(a－2);(2)(3a+2b)(3a－2b);(3)(－x+1)(－x－1);(4)(－4k+3)(－4k－3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.。

平方差公式导学案

主备人：王晓飞审核人：秦秀艳使用人：使用时间：2012.3.8数学（六下）7.7平方差公式导学案第一课时【学习目标】1. 会推导平方差公式，弄清平方差公式的结构特点，并能正确地运用公式进行简单的运算；2. 经历探索平方差公式的过程，进一步发展观察、归纳与概括能力；3．经历探索平方差公式的过程，认识“特殊”与“一般”的关系，知道“特殊到一般”的认识规律和数学发现的方法；4. 在数学学习的过程中，体验与领悟数学发现的成功感，感受数学发现学习的乐趣。

【学习重点】公式的理解与正确运用。

【学习难点】认识公式的结构特征（公式中字母a、b的正确理解）。

【学习过程】一．知识链接：1.学习本节内容需要熟悉“多项式乘多项式”、“幂的乘方”和“积的乘方”的运算法则，学习前可先检查自己是否熟悉这几个法则。

2.同学们在利用多项式乘法方则进行多项式乘多项式的运算时，是否感到有些繁琐？是否渴望有一个公式能很快得出运算结果？学完本节内容后你的这一愿望就会如愿以偿了！二．预习检查：公式的获得请完成课本25页的“做一做”（1）(x+6)(6-x) （2）11()()22x x -+-- （3）(x-12y)(x+12y)（4）(3a-bc)(-bc-3a)，并仔细观察算式及计算结果，你发现了什么规律？请你用自己的语言叙述你的发现的规律：提示：注意观察“做一做”四个计算题中每一个题的结构、特点:每个因式的项数、符号。

想一想：（1）你能否推导该公式？推导的依据是什么？Sx1-11 班级：学生姓名：页码：1（2）为什么取名叫“平方差公式”，而不叫“两数和乘两数差公式”？（3）平方差公式的结构和特点是什么？三、自主学习：公式的运用（一）例题的学习：在学习例题时，请先遮住例1、例2的解答自己做一遍，然后对照书本上的解答过程检查和评析自己的解答。

如果出错了，把出错的地方勾出来并思考出错的原因，不明白的地方可与同学交流，还不能解答的问题在课堂交流时提出来大家讨论。

《平方差公式(1)》导学案

1.5 平方差公式（1）导学案一、教学（学习）目标：1、知识与技能：经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理水平，会推导平方差公式，并能使用公式实行简单的计算和推理。

2、过程与方法：通过创设问题情境，让学生在活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。

3、情感与态度：让学生感受到数学既来源于生活实际，又是解决生活中很多问题的工具，从而促使学生热爱数学。

二、温故知新计算：（多项式乘多项式）(1)(m+n)(a+b) (2) (x-1)(x+2) (3) (a+3)(a-3) (4) (x+2)(x-2)问题：两个二项式相乘在合并同类项前应该是几项？合并同类项后，积可能是三项式或二项式？当两个二项式相乘，乘式具备什么特征时积是二项式？三、互动导学（一）发现特征、探索规律，亲历建构过程。

计算下列各题，并用自己的语言叙述你的发现(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3) x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z)你的发现（公式的结构特征）：__________________________________________________________________ 归纳：(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=__________________(2)语言叙述：(3)口诀：同前项，反后项，平方作差切莫忘。

(4)注意：只有符合公式结构才能使用公式，公式中的a 和b 若是多项式时应该用括号括起来，并且最后结果要化最简形式。

（二）使用知识解决问题，形成数学意识。

①直接使用新知，解决第一层次问题利用平方差公式计算巩固练习1 ： (1) (5+6x)(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y) (3) (8)(8)ab ab +- (4) (-m+n)(-m-n)②间接运用新知，解决第二层次问题例: 利用平方差公式计算(1) (-2x+3)(3+2x) (2) (m+n)(m-n)+3n2巩固练习2：利用平方差公式计算(1) (-4k+3)(-4k-3) (2) (-2b- 5) (2b -5) (3) x2+(y-x)(y+x)（三）巩固深化，拓展思维例: 计算：(1) (x+y-z)(x+y-z) (2) (a-b+c)(a+b+c)四、反馈检测（感受问题，体验探索成功）1. (1) (x+y)(x-y)=____ (2) (x+3y)(x-3y)=( )2-( )2=____ (3) (2+a)(2-a)=( )2-( )2=____(4) (1-3m)(1+3m)=( )2-( )2=____ (5) (-3x+2y)( )=9x2-4y22、下列式子可用平方差公式计算吗？为什么？如果能，怎样计算？(1) (a-b)(b-a) (2) (a+2b)(2b+a) (3) -(a-b)(a+b) (4) (-2x+y)(y-2x)3、填空：(1) (x+2y)(-x+2y) (2) (3m-5n)(5n+3m) (3) (-2b-5)(2b-5)4、提高题：(1) (m+2)(m-2)(m2+4) (2) (a+b+2)(a+b-2)五、归纳总结，形成知识网络1. 叙述公式2. 公式中的字母可代表什么？3. 方法规律：平方差公式是乘法运算中的一个重要公式，应用十分广泛，对于这个公式不仅要熟记还要灵活运用，要达到灵活运用，关键要准确掌握公式的结构特征、公式的变化形式及公式中字母的广泛含义。

《平方差公式》导学案 (精品)2022年 (1)

平方差公式教学目标：1.经历探索平方差公式的过程，进一步开展符号感和推理能力。

2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。

3.在合作交流和讨论中开掘知识，并体验学习的乐趣。

教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

教学难点：用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式教学方法：探究与讲练结合。

使学生在计算的过程中发现归律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在练习中学会应用。

教学过程：（一）知识回忆：1.计算：〔x+2〕〔x+5〕= =2.多项式的乘法法那么是什么？复习多项式的乘法法那么使学生更准确的进行下面的计算。

（二）探索规律：1.计算以下各题，直接写出最后结果：（1）〔x+2〕〔x-2〕=（2）〔1+3a〕〔1-3a〕=（3）〔m+5n〕〔m-5n〕=（4）〔3y+z〕〔3y-z〕=2.观察后答复：〔1〕上述各式有什么特点？〔2〕它们的结果有什么特点？3.动手试一试：自己动手写出两个多项式相乘，满足“两个数的和与两个数的差的积〞这个条件，然后计算结果，观察结果，会不会满足“这两个数的平方差〞？4.大胆猜测：〔1〕两数和与两数差的积等于。

〔2〕用公式表示为：。

使学生在计算的过程中，通过观察，归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律。

师生共同总结出利用平方差解题的方法1.观察式子是否满足平方差公式的特点即是否是两个相同项，两个相反项。

2.结论是相同项的平方减去相反项的平方。

〔三〕学以至用：1.分组讨论下面式子可否运用平方差公式进行计算：〔1〕〔-a+b 〕〔-a-b 〕〔2〕〔a-b 〕〔-a+b 〕〔3〕〔-a+b 〕〔a+b 〕〔4〕〔a+b 〕〔a-c 〕〔5〕〔-a-b 〕〔a-b 〕〔6〕〔a+b 〕〔b+a 〕2.动手试一试，用平方差公式计算：〔1〕〔5+6x 〕〔5-6x 〕〔2〕〔x-2y 〕〔2y+x 〕〔3〕〔-m+n 〕〔-m-n 〕〔4〕〔5〕〔ab+8〕〔ab-8〕〔6〕〔m+n 〕〔m-n 〕+3n 2)41)(41(y x y x +---总结学生分两组板演强调学生做题中出现的问题3.想一想，如何用公式计算：〔a+b+c〕〔a+b-c〕（四）谈谈收获：通过本节课的学习，你的收获是什么？体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式。