(一)直线的倾斜角与斜率复习课

2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，
则m的值为( )
ห้องสมุดไป่ตู้A．－8
B．0
C．2
D．10
解析：∵4m－＋m2＝－2，∴m＝－8.
答案：A
3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(数)也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主 要体现了什么数学思想？
两点 ---方向
直线
倾斜角
斜率
对直线的倾斜角和斜率及两直线位置关系的考查主要有： (1)求已知直线的倾斜角，特别要注意斜率k不存在，即倾斜角为90° 的情形． (2)利用斜率知识解决三点共线问题． (3)将两直线平行或垂直的条件与充要条件的判断相结合，这是近几 年高考的热点．解决时要注意平行或垂直满足的充要条件．
所以12≤cos α≤ 23，因此 k＝2cos α∈[1， 3]．设直线的倾斜角为 θ，则 有 tan θ∈[1， 3]，由于 θ∈[0，π)，所以 θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范 围是[π4，π3]．
答案：B
直线的斜率及其应用
已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线
两条直线的平行与垂直
例3、若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点 (－2,1)，斜率为－ 的直线垂直，则实数a的值为_____． 解析：由条件可知＝ 即3a＝－2，∴a＝－ 答案：－
例4 (12分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y
＋a2－1＝0. 试判断l1与l2是否平行?
2．两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1.
提示：由两直线的斜率之积为－1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积
不一定为－1.如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直．
所以斜率之积为－1是两直线l1、l2垂直的充分而不必要条件．
2．已知点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾 斜角的2倍，求直线l的斜率．
解析：∵由于 A(－1，－5)，B(3，－2)， ∴kAB＝－3＋ 2＋15＝34. 设直线 AB 的倾斜角 θ， 即 tan θ＝34， 直线 l 的倾斜角为 2θ， ∴tan 2θ＝1－2tatannθ2 θ＝274. 即 l 的斜率为274.
综上可知，倾斜角 θ 的取值范围为[π4，34π]．
1．直线 2xcos α－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围是( )
A．[π6，π3]
B．[π4，π3]
C．[π4，π2]
D．[π4，23π]
解析：直线 2xcos α－y－3＝0 的斜率 k＝2cos α，由于 α∈[π6，π3]，
两条直线l1，l2方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l∥2的充要条件是什么？
提示：A1A2＋B1B2＝0.
1．直线 3x＋ 3y－1＝0 的倾斜角大小为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：∵k＝－ 3 ＝－ 3.∴α＝120°. 3
答案：C
__(－___∞__，__0_) _．
3．斜率k与倾斜角α之间关系的图象
k＝tanα(α∈[ 0，π2 ) ∪ (π2， π ) )．
思考感悟 直线的倾斜角与斜率是一一对应的吗？
提示： 不是．若倾斜角是90°时，该直线的斜率不存在．
43．直线的斜率公式
过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式 y2－y1
直线的倾斜角与斜率、直线方程一般不单独考查，多与 导数、圆、圆锥曲线交汇命题，因直线的斜率分存在和不存在 两种情况，故在设直线方程时，应分两种情况讨论．体现了分 类讨论的数学思想．
课堂小结
（1）在本节课中，你掌握了哪些概念？他们
之间有什么关系？ （2）怎样求出已知两点的直线的斜率？ （3）从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度，到斜率
解析：由1×1－a＝0，得a＝1，∴为充要条件．
答案：C
4．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a的值等于________．
解析：
解得：a＝4.
答案：4
5．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若 l1⊥l2，则实数m＝________.
解析：由已知得k2＝－1，
k＝___x_2_－__x_1____ (x1≠x2)．
注：x1≠x2,
斜率公式中：分母中含有字母时，要讨论分 母是否为零
二、两条直线平行与垂直的判定
1．两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有
l1∥l2⇔ k1＝k2 .特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时l1与l2 的关系 为 平行．
预测角度一 直线倾斜角与斜率的综合应用
1．若直线 l 的斜率 k 的变化范围是[－1， 3]，则它的倾斜角的变
化范围是( )
A．[－π4＋kπ，π3＋kπ](k∈Z)
B．[－π4，π3]
C．[－π3，－34π]
D．[0，π3]∪[34π，π)
解析：由－1≤k≤ 3，
即－1≤tan α≤ 3，又 α∈[0，π)，
y2－y1 x2－x1
2．直线的斜率 倾斜角不是_9_0_°_的直线，它的倾斜角 α 的_正__切__值__ 叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用 k 表示，即 k＝_t_a_n_α__.
当 α∈0，π2时，k∈_[_0_，__＋__∞__)__；当 α＝π2时，直
线 的 斜 率 _不__存__在___ ； 当 α ∈ π2，π 时 ， k ∈
第一节 直线的倾斜角与斜率
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一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x 轴 正向 与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾 斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0° . (2)倾斜角的范围为 [0．， π)
∴
＝－1，∴m＋1＝－5，∴m＝－6.
答案：－6
直线的倾斜角
求直线 x＋tan α·y＋1＝0(α∈[－π4，π4])的倾斜角 θ 的取值范围．
[听课记录] ①当 α＝0 时，tan α＝0，直线方程为 x＋1＝0， 其倾斜角 θ＝π2；
②当 α∈[－π4，0)∪(0，π4]时，直线的斜率 k＝tan θ＝－tan1 α∈ (－∞，－1]∪[1，＋∞)，借助正切函数在[0，π)上的图象可知，θ ∈[π4，π2)∪(π2，34π]；
AB的倾斜角的一半，求l的斜率．
[听课记录] 设直线 l 的倾斜角为 α，则直线 AB 的倾斜角为 2α， 由题意可知：tan 2α＝－3－2－－－15＝34.
∴1－2tatannα2 α＝34，整理得 3tan2 α＋8tan α－3＝0. 解得 tan α＝13或 tan α＝－3， ∵tan 2α＝34>0，∴0°<2α<90°， ∴0°<α<45°， ∴tan α>0， 故直线 l 的斜率为13.
[思路流程] 分别明确直线的斜率 → 运用位置关系建立等式 →
得结果
[规范解答]
已知直线 l 的倾斜角为34π，直线 l1 经过点 A(3,2)，B(a， －1)，且直线 l1 与 l 垂直，直线 l2：2x＋by＋1＝0 与直线 l1 平行，求 a＋b 的值．
【解】 依题意知，直线 l 的斜率为－1， ∵直线 l1 与 l 垂直， ∴直线 l1 的斜率为 1. 又直线 l1 过点 A(3,2)，B(a，－1)， 于是有32－＋a1＝1，∴a＝0， 由于直线 l2 与 l1 平行，且直线 l2 的方程为 2x＋by＋1＝0， ∴－2b＝1，b＝－2， 所以 a＋2＝0－2＝－2.
∴α∈[0，π3]∪[34π，π)． 答案：D
预测角度二 直线的位置关系与充要条件的判断
2．“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0 垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当m＝－1时，两条直线方程为x＋3y－1＝0和3x－y＋3＝0， 显然两直线垂直，充分性成立．反之，当这两直线垂直时，3m＋m(2m －1)＝0得m＝0或－1，必要性不成立． 答案：A