2013中考数学复习专题讲座三：开放性问题
数学专题复习探索开放性问题
初三数学专题复习---探索开放性问题知识要点：开放探索性问题可分为条件开放与探索问题、结论开放与探索问题、策略开放与探索问题.对于条件开放与探索问题,要善于从问题地结论出发,逆向追索,多途寻因；对于结论开放与探索问题,包括相应地结论地“存在性”问题,解决这类问题地关键是充分利用条件进行大胆而合理地推理、猜想,发现规律,得出结论,主要考查发散性思维和所学基础知识地应用能力；策略开放与探索问题,一般是指解题方法不唯一,或解题路径不明确,解答这类题要注意不能墨守成规,要善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程.注意：复习中要对各种题型进行针对性练习,优选各地中考试卷,强化训练.善于类比、联想、转化等数学思想方法地应用,提高观察、分析、比较、归纳探究及发散思维、动手操作地能力.例题分析：1. 若a、b是无理数且a+b=2,则a,b地值可以是_____.(填上一组满足条件地值即可>分析与解答：这是一个条件开放题,由于题中只有一个关系式,因此只要先确定,其中一个无理数地大小,另一个也随之确定,本题答案不唯一,如.2. 如图：在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要使△ABC≌△DEF,需要补充地一个条件是_____.分析与解答：本题考查全等三角形地判定及分析问题能力和逻辑推理能力,已知一边一角对应相等,可以是SAS或ASA或AAS来证两个三角形全等.如：BC=EF(或∠A=∠D或∠C=∠F>3. 已知两条抛物线y=x2+2x-3和y=2x2+x-3,请至少写出三条它们地共同特点：分析与解答：本题是结论开放性问题,考查二次函数地图象、性质及发散思维、归纳探索地能力,所以可以从两函数图象特征(开口方向,对称轴,顶点>及两函数图象交点与坐标轴交点等方面入手.(1>开口方向都向上；(2>都过点(1,0>,(0,-3>；(3>对称轴都在y轴左侧；(4>都有最小值；(5>两函数图象地顶点都在第三象限等等.4. 如图,在四个正方形拼接成地图形中,以A1,A2,A3,……,A10过10个点中任意三点为顶点,其能组成______个等腰直角三角形？分析与解答：本题考查正方形地性质,等腰直角三角形定义,轴对称性质,图形计数规律及分析,归纳,探索能力.由图形地轴对称性,先计算出以A1,A2,A5,A6,A9这五个点为直角顶点地等腰直角三角形地个数,然后将结果乘以2即为所求等腰直角三角形地个数.解：∵以A1,A2,A5,A6,A9这五个点为直角顶点地等腰直角三角形有1+3+1+6+2=13(个>,由轴对称性可知,在整个图形中共有13×2=26个等腰直角三角形.5. 如图,正△ABC内接于⊙O,P是上任一点,PA交BC于点E,则以下结论：(1>PA=PB+BC；(2>；(3>PA·PE=PB·PC；其中正确结论地序号______分析与解答：本题考查三角形和圆地有关性质,延长BP到F,使BF=PA,易证：△BCF≌△ACP,从而△PCF是等边三角形,可证得结论(1>成立,则结论(2>不成立,再证：△PAB∽△PCE可知结论(3>成立,从而正确结论序号(1>,(3>6. 在平面内确定四个点,连结每两点,使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形>,且每两点之间地线段长只有两个数值,如图图中相等线段有：AB=BC=CD=AD,AC=BD请你再画出满足题目条件地三个图形,并指出每个图形中相等地线段.分析与解答：本题是一道以方案设计为背景地开放性问题,考查等腰三角形定义及动手操作,分析问题及创新能力.从题目地条件和要求上,可以从平面上地四点构成六条线段入手.分别设计五条、四条、三条、两条分别相等线段地情形.本题答案不唯一,如：其中(1>AB=BC=CD=AD=BD,AC=AC(2>AB=AC=AD=BD,BC=DC(3>AB=BC=AC,AD=BD=CD(4>AB=AD=CD,AC=BC=BD(5>AB=AC,AD=BC=BD=CD7. 如图1,在△ABC中(AB>AC>,若直线AD平分∠BAC且与△ABC地外接圆相交于点E,交BC边于点 D.(1>求证：AB·AC=AD·AE；(2>若把题中地条件“直线AD平分∠BAC”改为“直线AD平分∠BAC地外角”,如图2,那么(1>中结论是否仍成立？请说明理由.分析与解答：本题是存在性问题,考查直线和圆地有关知识及推理探索能力.可以从已知条件出发,结合定义、定理,对AB·AC与AD·AE地关系进行推理：要证等积式,需证比例式四条线段所在三角形是否相似.(1>连结BE则∠E=∠C,又∠BAE=∠DAC,∴△ABE∽△ADC∴AB·AC=AD·AE；(2>(1>中结论仍成立连结BE,∵四边形AEBC内接于⊙O∴∠E=∠ACD又∵∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ADC∴AB·AC=AE·AD.。
浅谈中考数学“开放性问题”
浅谈中考数学“开放性问题”浅谈“开放性问题”所谓的开放性试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题。
开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识．过程开放或结论开放的问题能促使考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力．题型1条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出。
例1.(04苏州) 已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数y=k/x 图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为___________（只需写出满足条件的一个k的值）【解析】此类开放性试题一般需要结合分类讨论的数学思想进行解题：由于反比例函数的图像有两支，且当k取正、负值时其函数图像所处象限不同，故要进行分类讨论：①k>0且x1＜x2＜0时，反比例函数的图像分布在第三象限，在此象限，y值随着x值的增加而减小，故不可能；②k且x1＜x2＜0时，反比例函数的图像分布在第二象限，在此象限，y值随着x值的增加而增大，故只要k，都可以满足题意要求。
本题只要任填一个负数即可。
像本题一样，条件开放性试题主要解题思路是把结论作为条件，采取逆向思维进行探索，执果索因。
题型2结论开放与探索。
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。
中考专题三(开放性问题)
中考专题三（开放性问题）开放性问题是近年考试中的一大亮点，它是在新课程理念下考查同学们思维能力、想象能力、探究能力、合理推理能力和灵活运用数学知识能力的好材料，它的鲜明特点是试题条件的不完备性，结论的不确定性，试题解法的探索性和多样性等，所以广义的开放性问题还包括探索性问题、存在性问题、几何动态问题和方案设计问题。
其解答题通常作为中考数学的中档题或压轴题出现，开放性问题往往涉及的知识面广，综合性强、能力要求较高，要求有扎实的数学基础知识，熟悉的基本技能和数学的一些思想方法，解题时要通过阅读、理解、观察、实验、猜想、归纳、比较、分析和综合展开发散思维，然后运用所学的数学基础知识和方法进行推理计算得出正确的答案，因此，数学总复习时，应当加强这种题型的训练。
1、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．2．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3。
2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：开放性问题
开放性问题•选择题•填空题1. （2013?徐州，13, 3分）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：________________ .考点：中心对称图形. 专题：开放型.分析：常见的中心对称图形有：平行四边形、正方形、圆、菱形，写出一个即可.解答：平行四边形是中心对称图形•故答案可为：平行四边形.点评：本题考查了中心对称图形的知识，同学们需要记忆一些常见的中心对称图形.2. （2013上海市，15, 4分）如图3,在厶ABC和厶DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE , AC // DF，请添加一个条件，使△ ABC DEF，这个添加的条件可以是_____________ .（只需写一个，不添加辅助线）I莠畫1 AC-DF ｛普军不推一）.I若点.】*店型，平行的性盾.空等三痢黔們剽宅・【分析】由3F =C3・根摒等韋加和相等，- CE + FG 3C<Fi由农詩壬、根齬甲行娃伍内建爾相等的性就.・△人艾和△DEP申有一角卫衬应相等.• •+根抿全等三角护的判定，丽I] AC-DFr可由SAS 可由ASA肖AABCttA^Z?! 可由AAS AASCi： A3rF.3. （2013四川巴中，14, 3分）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，/仁/2，BC=EF，要使△ ABC DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是CA=FD考点：全等三角形的判定. 专题：开放型.:可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加.解答：解：添加CA=FD ，可利用 SAS 判断△ ABC ◎△ DEF .故答案可为CA=FD .点评：本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一.4.（ 2013江西南昌，15, 3分）若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt △ ABC 的两条直角边长，且 S A ABC =3，请写出一个 符合题意的一元二次方程 __________________ .【答案】x 2— 5x+6=0【解析】先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程.【方法指导】 本题是道结论开放的题（答案不唯一） ，已知直角三角形的面积为 3 （直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保 证方程的根为整数），如直角边长分别为 2、3的直角三角形的面积就是 3，以2、3为根的_ 2 2一元二次方程为 x -5 x *6=0 ；也可以以1、6为直角边长，得方程为 x - 7 x ，6=0.5. （2013山东荷泽，12, 3分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”.“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径” （例如圆的直径就是它的“面径”）•已知等边三角形的边长为 2，则它的“面径”长可以是 _____ （写出1个即可）.【答案】,3或'、2 .（写出1个即可）.【解析】1）根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高与一边平行的线段（如图），设DE=x 因为△ ADE 与四边形 DBCE 面积要相等，根据三角形相似性质，有（-）2 =-.2 2解得x= 2.综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系【方法指导】根据规定内容的定义， 思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分 的直线存在有两种情形：（1）高（中线、角平分线）所在线；（2 ）与一边平行的线•要把一个三角形面积进行两等份， 这样的直线有无数条， 都过这个三角形三边中线的交点 （重心）.经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形三.解答题1. （2013山西，25, 13分）（本题13分）数学活动一一求重叠部分的面积。
初中数学教学中开放性问题的巧妙应用策略
初中数学教学中开放性问题的巧妙应用策略开放性问题是指没有固定答案，需要学生自主探索、思考和解决的问题。
在初中数学教学中，巧妙运用开放性问题可以提高学生的数学思维能力、问题解决能力和创新能力。
下面是一些建议的应用策略：1. 引导学生从实际问题中提出开放性问题：在数学教学中，可以引入一些实际生活中的问题，让学生思考并提出相关的开放性问题。
引导学生思考生活中的某个问题，如“如何合理安排家庭支出”，让学生从不同角度提出不同的解决方案，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
2. 鼓励学生进行数学探究活动：在课堂上，可以组织学生进行小组探究活动，让学生合作探究某个数学问题，提出自己的解决方案，并互相讨论，交流思路。
通过合作探究，学生能够培养合作意识、分析问题的能力，并提高解决问题的效果。
3. 提供多样化的解决方法：在开放性问题的探究过程中，鼓励学生提出不同的解决方法，并进行比较和讨论。
通过比较，学生可以发现不同解决方法之间的优缺点，培养学生的批判性思维和判断能力。
也可以提高学生解决问题的灵活性和创新性。
4. 引导学生进行证明和推理活动：在初中数学教学中，可以设置一些开放性问题，要求学生进行证明和推理。
通过证明和推理，学生可以深入理解数学概念和定理，并培养学生的逻辑思维和推理能力。
5. 布置数学研究课题：可以给学生提供一些数学研究课题，要求学生自主选择和研究，并提交研究报告。
通过研究课题，可以培养学生的独立思考能力和创新能力，并提高学生的数学素养和综合应用能力。
巧妙运用开放性问题可以激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力和创新能力。
在实际教学中，教师要善于引导学生进行探究和思考，激发学生的自主学习和解决问题的能力。
中考数学开放性问题PPT课件
A
D
象限内y的值随着x的值增大而增大，则b可以是
————。
F
2、如图（1）,E、F是平行四边形ABCD对角线BD上
E
的两点，请你添加一个适当的条件：—————，
使四边形AECF是平行四边形。
3、在多项式4 X 2+1中，添加一个单项式，使所得的
B
（1） C
整式成为一个完全平方式，则添加的单项式是
——————。（只写出一个即可）
D
连结DE、BE，若∠BDE+ ∠BCE=180°
写出图中至少两对类似三角形（注意：不得添
加字母和线段），并说明理由。
⊿ADE～ ⊿ACB
B
⊿FEC～ ⊿FBD
⊿AEB～ ⊿ADC
⊿CFD～ ⊿EFB
E
C
F
小试身手
A
B
C
A
A A
二分之一点
二分之一点
二分之一点
二分之一点
B
四四四 分分分
之之之
一一一
点点点
(1)
CB
A
二
分 之
C
一
点
(2) A
B
二分之一点 C
(3)
A
三分之一点 三分之一点
B 四分之一点 (4)
B C
二分之一点
二分之一点
C
(5)
B
平行与BC 且类似比是 1/√2
二分之一点 C (6)
x 1、请你写出一个b值，使得函数y= 2+2bx+1在第一
填写条件时，应符合题意或相关的概念、 性质、定理。
例题精讲
A
D
例1:已知如图,AC=DB,如不增加字母和辅助线
初中数学教学中开放性问题的巧妙应用策略
初中数学教学中开放性问题的巧妙应用策略
在初中数学教学中，开放性问题是一种非常重要的教学方法，它能够提高学生的思维能力和问题解决能力。
下面介绍一些巧妙应用策略。
1. 引导学生探究问题：老师可以通过提问的方式引导学生思考问题，激发他们的兴趣。
当讲解一个几何问题时，可以先问学生这个问题是什么，是否存在解，如果存在解，如何确定解等，从而引导学生主动思考和提出问题。
2. 提供多样化的解决途径：对于同一个问题，可以给学生提供多种解决方法和不同的思路。
对于一个数学题目，可以鼓励学生使用不同的方法和不同的角度去解答，从而培养学生的多样化思维方式和解决问题的能力。
3. 鼓励学生合作解决问题：开放性问题可以鼓励学生之间的合作与交流，让学生们共同思考和解决问题。
可以将学生分成小组，在组内进行讨论和思考问题的解决方法，然后再向全班展示他们的解决思路和答案。
4. 培养学生拓展思维：在学生解决一个问题之后，鼓励他们思考和提出更进一步的问题。
在解决一个数学题目之后，可以要求学生进一步探究问题的性质，拓展解决方法或尝试修改条件等，从而促使学生不断思考和提高问题解决的能力。
5. 创设情境和应用问题：通过将数学问题与实际问题相结合，可以让学生更好地理解和应用数学知识。
可以设计一些与生活相关的问题，让学生将数学知识应用于实际情境中，提高学生的实际应用能力。
6. 鼓励学生进行推理和证明：开放性问题可以鼓励学生进行推理和证明，培养他们的逻辑思维能力。
在学生解决一个问题之后，可以要求他们对解决方法进行推理和证明，从而提高学生的逻辑思维和数学思维能力。
中考数学复习开放性问题3[人教版]
![中考数学复习开放性问题3[人教版]](https://img.taocdn.com/s3/m/27b1b1495ef7ba0d4a733bcd.png)
专题复习：中考中的开放性问题
开放题的类型主要有：（1）条件开放；(条件不唯一) （2）结论开放；(结论不唯一) （3）条件与结论均开放。 (条件与结论均不唯一)
开放题一般出现在填空题中，但有时也在解答题中出现， 且分值较高。
条件开放：
例1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需
C
BD=AC
F
∠ A=∠B
B
学生练习：已知D是△ABC的边AB上的 一点，连结CD。问满足什么条件时， △ACD与△ABC相似？
（1）AD：AC=AC：AB
D
（2）∠ACLeabharlann = ∠BB（3） ∠ADC= ∠ACB
A C
结论开放：
例3 如图，已知⊙ O内切于四边形ABCD，AB=AD，
连结AC，BD，由这些条件你能推出哪些结 论？ ∠ABD= ∠ADB， AC⊥BD， BC=CD。
（2001年丽水） 平面上，经过两点A（2，0），B（0，-1）
的含抛字物母线 系有数无）数：条，请写y 出1一x条2 确 1定的抛物线解析。式（不
4 y ax2 bx c(a 0)
像上述这种答案不唯一的问题，我们把它 称为
开放题。
近年来，数学中考中连续出现了这类开放题， 这类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视。
（写出三个即可）
A
∠ BCA=∠ACD ∠BAC= ∠ CAD △ABC≌ △ACD …
O
B
D
C
例4 （2002台州）用三种不同方法把平行四边形面积 四等分（在所给的图形中画出你的设计方案，画图工
具不限）
例5 见练习题解答题的第1题；
方法开放 图形开放
学科开放
初中数学教学中的开放性问题教学
初中数学教学中的开放性问题教学开放性问题在数学教学中起着重要的作用。
通过引导学生展开思维和探究，开放性问题能够培养学生的创新能力和解决问题的能力，激发他们对数学的兴趣和学习动力。
本文将探讨初中数学教学中的开放性问题教学方法与技巧。
一、开放性问题的定义与特点开放性问题是指问题有多种可能的解决方法和答案，并且需要学生通过深入思考、探索性的学习和发散性的思考来解决。
与此相对的是封闭性问题，封闭性问题只能通过特定的方法或公式得到确定的答案。
开放性问题的特点是多样性、不确定性和探索性。
这些问题没有固定的答案，可以有多种解决方法和思路，需要学生发散思维，探索解决的过程。
二、开放性问题教学的价值与意义1. 培养学生的创新意识与创造能力。
开放性问题鼓励学生思考和探索，激发他们的创新意识，培养创造能力。
2. 促进学生的主动学习与自主发展。
学生在解决开放性问题过程中需要主动动手、主动寻找答案，从而培养自主学习与自主发展的能力。
3. 激发学生的学习兴趣与动力。
开放性问题能够引起学生对数学的兴趣，激发他们对数学的学习动力，促进他们更深入地探索和学习数学知识。
4. 培养学生的合作意识与团队合作能力。
在解决开放性问题的过程中，学生可以进行合作探讨和交流，培养他们的合作意识与团队合作能力。
三、开放性问题教学的方法与技巧1. 设计具有挑战性的问题。
问题的设计应该具有一定的难度，能够引起学生的思考和兴趣。
2. 引导学生积极思考。
鼓励学生提出自己的问题、思考自己的策略，并有机会分享和展示自己的想法和解决方法。
3. 提供资源和引导。
为学生提供必要的资源和信息，引导他们进行独立的探索和学习。
4. 鼓励学生合作探究。
引导学生进行小组合作或团队合作，共同解决问题，促进学生之间的交流和合作。
5. 注重过程与方法。
在教学中要注重让学生理解问题的解决过程和方法，而不只是关注答案的正确与否。
6. 提供反馈和评价。
为学生提供及时的反馈和评价，鼓励他们不断改进和完善自己的解决方法。
2013年中考数学复习专题讲座三：开放性问题(含详细参考答案)
2013年中考数学复习专题讲座三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2012•义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2012•宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．解答：CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF，证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∵在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE，∴CE=BF，∠AFB=∠DEC，∴CE∥BF，即CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3 （2012•广元）如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果…，那么…”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．解答：解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；（2）若选择如果①②，那么③，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴CE=BF；若选择如果①③，那么②，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AC=DB，∴AC﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4 （2012•南京）看图说故事．请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：①指出变量x和y的含义；②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．解答：解：本题答案不唯一，下列解法供参考．①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）的关系．②小明以400m/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以500m/min的速度匀速骑车回出发地．四、中考真题演练一、填空题1．（2012•娄底）写出一个x的值，使|x﹣1|=x﹣1成立，你写出的x的值是．解答：解：∵|x﹣1|=x﹣1成立，∴x﹣1≥0，解得x≥1，故答案是2（答案不唯一）．2．（2012•宁波）写出一个比4小的正无理数．解答：解：此题答案不唯一，举例如：、π等．故答案为：π（答案不唯一）．3．（2012•连云港）写一个比大的整数是．解答：解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴符合条件的数可以是：2（答案不唯一）．故答案为：2（答案不唯一）．4．（2012•天津）将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是（写出一个即可）．解答：解：“上加下减”的原则可知该函数的解析式可以是：y=﹣6x+1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣6x+1（答案不唯一）．5．（2012•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．解答：解：答案不唯一，如x2﹣3=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）．故可填x2﹣3．6．（2012•湛江）请写出一个二元一次方程组，使它的解是．解答：解：此题答案不唯一，如：，，①+②得：2x=4，解得：x=2，将x=2代入①得：y=﹣1，∴一个二元一次方程组的解为：．故答案为：此题答案不唯一，如：．7．（2012•镇江）写出一个你喜欢的实数k的值，使得反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大．解答：解：∵反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，∴k﹣2＜0，解得k＜2．∴k可以为：1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．8．（2012•陕西）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=﹣2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即可）．解答：解：设反比例函数的解析式为：y=，∵一次函数y=﹣2x+6与反比例函数y=图象无公共点，则，∴﹣2x2﹣6x﹣k=0，即△=（﹣6）2﹣8k＜0解得k＞，则这个反比例函数的表达式是y=；故答案为：y=．9．（2012•广西）请写出一个图象在第二、第四象限的反比例函数解析式，你所写的函数解析式是．解答：解：由于反比例函数图象经过二、四象限，所以比例系数为负数，故解析式可以为y=﹣（答案不唯一）．故答案为：y=﹣（答案不唯一）．10．（2012•赤峰）存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是（写出一个即可）．解答：解：设此函数的解析式为y=（k＞0），∵此函数经过点（1，1），∴k=1，∴答案可以为：y=（答案不唯一）．故答案为：y=（答案不唯一）．11．（2012•三明）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF 成立．你添加的条件是．（不再添加辅助线和字母）解答：解：答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD，或∠AED=∠AFD等；理由是：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；②由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；③由∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据AAS证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；④∵∠AED=∠AFD，∠AED=∠B+∠BDE，∠AFD=∠C+∠CDF，又∵∠BDE=∠CDF，∴∠B=∠C，即由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；故答案为：答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD．12．（2012•盐城）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）解答：解：添加的条件是∠A=90°，理由是：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A=90°．13．（2012•佳木斯）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．解答：解：添加的条件是AF=CE．理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AF∥CE，∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：AF=CE．15．（2012•郴州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件（只需写一个）．解答：解：∵∠A是公共角，∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），当AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．三、解答题16．（2012•张家界）先化简：，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．解答：解：原式=×+1=+1∵a≠0，a≠±2，∴a可以等于1，当a=1时，原式=1+1=2．17．（2012•新疆）先化简，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．解答：解：（﹣）÷=÷=•=，由解集﹣2≤x≤2中的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，当x=1，﹣1，0时，原式没有意义；若x=2时，原式==2；若x=﹣2时，原式==﹣2．18．（2012•吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．（1）情境a，b所对应的函数图象分别是、（填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．解答：解：（1）∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故答案为：③，①．（2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家．点评：主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．19．（2012•衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．解答：解：猜想：AE=CF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．20．（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．解答：证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；（2）图2：BE=EF．…（1分）图3：BE=EF．…（1分）图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，…（1分）∴AG=AE，∴BG=CE，…（1分）又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）∴BE=EF；…（1分）图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC∠ACB=60°，…（1分）又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，…（1分）∴AG=AE，∴BG=CE，…（1分）又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）∴BE=EF．…（1分）21．（2012•朝阳）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F 点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形ABCD为平行四边形，请证明．你添加的条件是．解答：解：条件是：∠F=∠CDE，理由如下：∵∠F=∠CDE∴CD∥AF在△DEC与△FEB中，，∴△DEC≌△FEB∴DC=BF，∠C=∠EBF∴AB∥DC∵AB=BF∴DC=AB∴四边形ABCD为平行四边形故答案为：∠F=∠CDE．22．（2012•柳州）右表反映了x与y之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式：y=x+7，y=x﹣5，y=﹣，y=x﹣1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表要求的函数表达式：；（2）请说明你选择这个函数表达式的理由．解答：解：（1）∵由表中所给的x、y的对应值的符号均相反，∴所给出的几个式子中只有y=﹣符合条件，故答案为：y=﹣；（2）∵由表中所给的x、y的对应值的符号均相反，∴此函数图象在二、四象限，∵xy=（﹣6）×1=（﹣5）×1.2=﹣6，∴所给出的几个式子中只有y=﹣符合条件．23．（2012•漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：．（均填写序号）证明：解答：情况一：题设：①②③；结论：④．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2；情况二：题设：①③④；结论：②．证明：在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC=EF，∴BC﹣FC=EF﹣FC，即BF=EC；情况三：题设：②③④；结论：①．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．25．（2012•南平）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，我选择添加的条件是：．（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）解答：解：添加的条件是BE=DF．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BE=DF，∴AF=CE，即AF=CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，故答案为：BE=DF．26．（2012•南平）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）解答：解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AC=BC=×2=，∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴AD：AC=AE：AD，即AD2=AE•AC，∴AE===•AD2，当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1，∴AE的最小值为×12=，∴CE的最大值=﹣=；②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°，∴点D与B重合，不合题意舍去；当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD=1；当DA=DE时，如图2，∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC，∴DC=CA=，∴BD=BC﹣DC=2﹣，∴当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2﹣．。
初中数学教学中开放性问题的巧妙应用策略
初中数学教学中开放性问题的巧妙应用策略开放性问题是指可以有多种解决方法和答案的问题。
在初中数学教学中，巧妙使用开放性问题能够提高学生的思维能力和解决问题的能力，培养学生的创新意识和探索精神。
下面是一些巧妙应用开放性问题的策略。
1. 引导学生提出自己的问题：在教学过程中，可以引导学生从课堂知识中发现问题，让他们提出自己的疑问。
通过提问的方式，激发学生的思考，培养他们主动探索解决问题的能力。
2. 提供多种解决方法：对于同一个问题，鼓励学生提供不同的解决方法。
可以组织小组讨论，让学生分享自己的想法和方法。
这样可以拓宽学生的思路，培养他们灵活运用数学知识解决问题的能力。
3. 鼓励学生解决实际问题：结合实际生活中的问题，设计开放性问题，让学生在解决问题的过程中应用数学知识。
例如，通过一个购物问题，让学生计算打折后的价格，培养他们的应用能力和计算能力。
4. 注重过程与方法的探究：在解决开放性问题的过程中，强调解决问题的方法和思路的合理性。
不仅关注答案的正确与否，更注重学生解决问题的过程。
鼓励学生通过数学知识的灵活运用，合理选择方法，培养他们的分析和判断能力。
5. 激发学生的创造力：在设计开放性问题时，可以增加一些扩展的要求，鼓励学生发挥自己的创造力。
例如，在解决一个几何问题时，要求学生设计一个自己的图形，并解释其特点和性质。
通过这样的训练，能够培养学生的创新意识和发散思维能力。
6. 给予适当的引导和指导：对于初中生来说，他们的数学基础有限，可能会遇到一些困难和障碍。
在应用开放性问题时，需要给予学生一定的引导和指导。
可以提供一些提示或者步骤，帮助他们解决问题，同时又不剥夺他们自己思考和探索的机会。
中考数学专题--开放性问题
例1 (无锡)如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,在①AB∥CD;② AO=CO;③AD=BC 中任意选取两个作为条件,“四边形 ABCD 是平行四边形”为 结论构造命题. (1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是,请证明;若不是,请举出反例; (2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明.(命题请写成 “如果……,那么……”的形式)
【解析】 以①②作为条件构成的命题是真命题.
AO BO 证明: ∵A B ∥C D , ∴△A O B ∽△C O D , ∴ OC OD .
∵A O = O C , ∴O B = O D , ∴四边形 A B C D 是平行四边形. ( 2) 根据①③作为条件构成的命题是假命题, 即如果有一组 对边平行, 而另一组对边相等的四边形时平行四边形, 如等 腰梯形符合, 但不是平行四边形; 根据②③作为条件构成的命题是假命题, 即如果一个四边 形 A B C D 的对角线交于 O , 且 O A= O C , AD = BC , 那么这个 四边形时平行四边形, 如图, 根据已知不能推出 O B = O D 或 A D ∥B C 或 A B = D C , 即四边形不是平行四边形.
3.(三明)在平面直角坐标系中,点 A 在第一象限,点 P 在 x 轴上,若以 P,O,A 为顶 点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点共有( A.2 个 C.4 个 【答案】 C B.3 个 D.5 个 )
专题考点 0 3 条件和结论都开放问题
此类问题没有明确的条件和结论, 并且符合条件的结论具有多样性, 因此必 须认真观察与思考, 将已知的信息集中分析, 挖掘问题成立的条件或特定条件下 的结论, 通过设问方式多方面、多角度、多层次探索认定条件和结论. 组成一个 或多个新命题, 并进行证明或判断.
中考数学专题三 开放型问题 (共62张PPT)
【点拨】 (1)解方程即可得到结论；(2)根据直线 l：y＝ kx＋ b 过点 A(－ 1，0)，得到直线 l 的解析式为 y＝ kx＋ k，解方程得到点 D 的横坐标为 4，求得 k＝ a，得到直线 l 的解析式为 y＝ ax＋ a； (3)过点 E 作 EF∥y 轴交直线 l 于点 F，设 E(x， ax － 2ax－ 3a)， 得到 F(x， ax＋ a)，求出 EF＝ ax2－ 3ax－ 4a，根据三角形的面积 公式列方程即可得到结论； (4)令 ax － 2ax－ 3a＝ ax＋ a，即 ax － 3ax－ 4a＝ 0，得到 D(4，5a)，设 P(1，m)，①若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边，②若 AD 是矩形 APDQ 的对角线，列方程即可得到结 论．
(3)如图①，过点 E 作 EF∥ y 轴交直线 l 于点 F， 设 E(x， ax － 2ax－ 3a)，
2
则 F(x，ax＋ a)，EF＝ ax2－ 2ax－ 3a－ ax－ a＝ ax2－ 3ax－ 4a，
1 2 1 2 ∴ S△ ACE＝ S△ AFE － S△ CEF ＝ (ax － 3ax － 4a)(x ＋ 1) － (ax － 2 2 1 2 1 3 2 25 3ax－ 4a)x＝ (ax － 3ax－ 4a)＝ a x－ 2 － a， 2 2 8 25 ∴△ ACE 的面积的最大值＝－ a. 8 5 又∵△ ACE 的面积的最大值为 ， 4 25 5 ∴－ a＝ ， 8 4 2 解得 a＝－ ； 5
2．结论开放型：称结论不确定或没有确定结论的开放型问题 为结论开放题．给出问题的条件，让解题者根据给出的条件探索 相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，解题时需由因 导果，由已知条件导出相应的结论，并且得出的结论应尽可能地 使用题目给出的全部条件．
中考数学专题复习三 开放型问题_初三专题复习课件
又∵BE＝x＝3＝12BC， ∴点 E 为 BC 的中点． ∴AE⊥BC，∴AE＝ AB2－BE2＝4. 此时，EF⊥AC，∴EM＝ CE2－CM2＝152. ∴S△ AEM＝12AM ·EM＝ 12×156×152＝9265.
方法总结 先假设问题的结论正确，然后再根据条件进行推 理，若得出正确的结论，则假设成立，否则就不成立.
【答案】 不唯一，如∠B＝∠E(或∠A＝∠D 或 AC ＝DC)
方法总结 添加条件时，首先分析具备了哪些条件，然后按照 三角形全等的判定方法确定缺少的条件.
考点二 结论开放型 例 2 (2013·吉林)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C，连接 OA，OB.点 P 是半径 OB 上任意一点，连 接 AP.若 OA＝5 cm，OC＝3 cm，则 AP 的长度可能是 _______cm(写出一个符合条件的数值即可)．
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分) 6 ． (2013·娄 底 ) 如 图 ， AB ＝ AC ， 要 使 △ABE≌△ACD ， 应 添 加 的 条 件 是 ∠C ＝ ∠B( 或 ∠AEB＝∠ADC 或∠CEB＝∠BDC 或 AE＝AD 或 CE ＝BD) (添加一个条件即可)．
解析：若根据 SAS 证明时，则可以添加 AE＝AD 或 CE＝BD；若根据 ASA 证明时，则可以添加∠C＝ ∠B；若根据 AAS 证明时，则可以添加∠AEB＝∠ADC 或∠CEB＝∠BDC.
解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B. ∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE， ∴∠CEM＝∠BAE.∴△ABE∽△ECM.
(2)能构成等腰三角形．理由如下： ∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM. 当 AE＝EM 时，则△ABE≌△ECM， ∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝1. 当 AM＝EM 时，则∠MAE＝∠MEA， ∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM， 即∠CAB＝∠CEA.
中考数学专题35 开放型问题
学科教师辅导讲义
件，这个条件可以是
【点拨】
在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；
小题的结论是在不添加任何辅助线的情况下得出的，由圆的对称性知阴影部分的面积就是扇
是什么特殊四边形，请证明你的结论．
这种问题要求学生要充分利用条件进行大胆而合理的结论猜想，
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有________个★.
解决此类问题的关键首先要整体观察，判断出图形按什么规律来排列，哪几个一组，
数学规律大多数是函数的解析式．函数的解析式里常包含着数学运算，
或∠A＝∠C或∠B＝∠
＋b(k≠0)的图象如图所示，请写出一条正确的结论：
y＝2
x
或一次函数解析式为
AC，连结OP，弦CB//OP 之间的数量关系，并加以证明；
∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB.
＝
2
BC
∴PO ＝
PD
＝
3
，∴
，∴
DC
DO
＝
BD
PD
＝
2
3
，＝
2
3
OD.
＝2x.＝x2＋y2＝3x.
＝
OA
OP
＝
x
3x
＝
1
3
＝
3
.
图1 图2
图3 图4 图5
图9图10图11图12
图14
图15图16
解说词：外星人。
中考数学专题复习 开放性问题
开放性问题开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.题型之一 条件开放型例1 (2014·巴中)如图，在四边形ABCD 中，点H 是边BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E,F ，连接BE,CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是，并证明. (2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE 是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH 与BH 应满足的条件.【解答】(1)添加条件：答案不唯一，如：BE ∥CF 或EH=FH 或∠EBH =∠FCH 或∠BEH=∠CFH 等. 选择EH=FH ，证明如下：证明：∵点H 是边BC 的中点，∴BH=CH. 在△BEH 和△CFH 中，,,BH CH EHB FHC EH FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△CFH(SAS).(2)如图，当BH=EH 时，四边形BFCE 是矩形.理由如下：∵BH=CH ，EH=FH,∴四边形BFCE 是平行四边形. 又∵BH=EH,∴EF=BC. ∴四边形BFCE 是矩形.方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.1.（2014·湘潭）如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足 ，则a 、b 平行.2.(2014·内江)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件： ，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线).3.(2013·六盘水)如图，添加一个条件： ，使△ADE ∽△ACB.(写出一个即可)4.(2014·娄底)先化简241193x x x ⎛⎫⎪⎝-÷--⎭-，再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 为矩形，并说明理由.题型之二 结论开放型例2 (2013·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x)，请说明：当p=12时，这种变换满足上述两个要求；(2)若按关系式y=a(x-h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)【思路点拨】(1)要验证y=x+12(100-x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x-h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.【解答】(1)当p=12时，y=x+12(100-x).即y=12x+50.∴y随着x的增大而增大，即p=12时，满足条件(Ⅱ)；又当20≤x≤100时，12×20+50≤y≤12×100+50.即60≤y≤100.即满足条件(Ⅰ).综上可知，当p=12时，这种变换满足要求.(2)由题意可知,只要满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60~100之间，则这样的关系式都符合要求.如取h=20，y=a(x-20)2+k.∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大，令x=20,y=60，得k=60.令x=100,y=100，得a×802+k=100.则a=1 160.∴y=1160(x-20)2+60.方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论.1.(2014·滨州)写出一个运算结果是a6的算式 .2.(2013·赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数 .3.(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.4.(2013·内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x ＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.5.(2014·台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.质量0.5 0.6 0.7 1.0 1.2 1.6 1.9/kg1 8 15 18 5 1 2数量/条然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号.(1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).(2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大?(3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？(4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg).题型之三 综合开放型例3 (2013·绍兴有改动)看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系，要求： (1)指出变量x 和y 的含义；(2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题.【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出.【解答】(1)本题答案不唯一，如下列解法：某市出租车计费方法是当载客行驶里程为x(千米)，则车费为y(元).该函数图象就是表示y 随x 的变化过程. (2)①出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数关系式; ②若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程. 解：①由图象得：出租车的起步价是8元. 设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y=kx+b ， 由函数图象，得83,125.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2,2.k b =⎧⎨=⎩ 故y 与x 的函数关系式为：y=2x+2.②当y=32时，32=2x+2.解得x=15. 答：这位乘客乘车的里程是15千米.方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生.1.看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x 和y 的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量.2.A ，B 两地间的距离为15千米，甲从A 地出发步行前往B 地，20分钟后，乙从B 地出发骑车前往A 地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A 地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地.请你就“甲从A 地到B 地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围； (2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.参考答案题型之一 条件开放型1.答案不唯一，如∠1=∠22.（答案不唯一）AD ＝BC(或AB ∥DC)3.∠ADE=∠C(答案不唯一)4.原式=()()431333x x x x x ---÷+--=()()43·334x x x x x --+--=13x +. 解不等式2x-3<7得x<5. 取x=1时，原式=113+=14. 提示：本题最后答案不唯一，x 不能取±3,4.5.本题答案不唯一，如：∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°,或OB=OA=OC 或AB 2+BC 2=AC 2等. 以∠B=90°为例说明.理由： ∵AB=CD,AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵∠B=90°，∴□ABCD 为矩形.题型之二 结论开放型1.答案不唯一，如：2a 6-a 6，a 2×a 4，(a 2)3，a 8÷a 2(a ≠0) 2.23，4π 3.(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA.(2)∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF.4.根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数.例如：① 此函数的解析式为y=kx(k＞0)，∵此函数经过点(1，1)，∴k=1.∴此函数可以为：y=1x；②设此函数的解析式为y=kx+b(k＜0)，∵此函数经过点(1，1)，∴k+b=1，k＜0.∴此函数可以为：y=-x+2,y=-2x+3,…；③设此函数的解析式为y=a(x-m)2+n(a<0,m≤0)，∵此函数经过点(1，1)，∴a(1-m)2+n=1(a<0,m≤0).∴此函数可以为：y=-x2+2,y=-2x2+3,y=-(x+1)2+5,….5.(1)如图所示.(2)其质量落在0.5 kg~0.8 kg范围内的可能性最大；(3)质量落在0.8~1.1 kg范围内；(4)方法一：用去尾平均数估计：去尾平均数x=0.680.715 1.018 1.25 1.6147⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈0.87（kg）.50×50×0.87＝2 175(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 175 kg.方法二：平均数x=（0.5×1+0.6×8+0.7×15+1.0×18+1.2×5+1.6×1+1.9×2）×150＝0.904(kg).50×50×0.904＝2 260(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 260 kg.方法三：利用组中值计算平均数：x=0.65240.9518 1.255 1.551 1.85250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝0.884（kg）.50×50×0.884＝2 210(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 210 kg.方法四：用众数(中位数)估计水库中成品鱼的总质量：50×50×1.0＝2 500(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 500 kg.题型之三综合开放型1.答案不唯一，如：（1）该函数图象表示小明开车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位：min）的关系；（2）小明以0.4 km/min的速度匀速开了5 min，在原地休息了6 min，然后以0.5 km/min的速度匀速开车回出发地.2.答案不唯一，如：甲从A地到B地步行所用时间是多久？设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得301x-=15x+10.化简得2x 2-5x-3=0，解得x 1=3，x 2=-12. 经检验知x=3符合题意，∴x=3.∴甲从A 地到B 地步行所用时间为3小时. 3.(1)设y=k x， ∵A(1，10)在图象上，∴10=1k.即k=10. ∴y=10x(1≤x ≤10). (2)答案不唯一.例如：小明家离县城10 km ，某天小明骑自行车以x km/h 的速度去县城，那么小明从家去县城所需的时间y=10x（h ）.。
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2013年中考数学复习专题突破1：开放性问题一、中考专题诠释
开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．
二、解题策略与解法精讲
解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲
题型一：条件开放型
条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2012•义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．
题型二：结论开放型：
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件
的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题
思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2012•宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．
题型三：条件和结论都开放的问题：
此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．
例3 （2012•广元）如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、
B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，
③CE=BF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果…，那么…”）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
题型四：解题方法开放型
例4（2011四川宜宾）如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．
题型五：编制开放型：
此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．
例5 （2012•南京）看图说故事．
请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：
①指出变量x和y的含义；
②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．
四、中考真题演练
一、填空题
1、（2012•镇江）写出一个你喜欢的实数k的值 ，使得反比例函数y=
的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大．
2、（2012•陕西）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=﹣2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是 （只写出符合条件的一个即可）．
3、（2012•三明）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，
∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件
是 ．（不再添加辅助线和字母）
4、（2012•盐城）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的
一个条件是 ．（填上你认为正确的一个答案即可）
5、（2012•郴州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接
DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件
三、解答题
6、（2012•张家界）先化简：
，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．
7、（2012•新疆）先化简
，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．8、（2012•吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地
刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
（1）情境a，b所对应的函数图象分别是 、 （填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．
9、（2012•衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
10、（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．
11、（2012•朝阳）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形ABCD为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ．
12、（2012•柳州）右表反映了x与y之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式：
y=x+7，y=x﹣5，y=﹣
，y=
x﹣1
x…﹣6﹣534…
y…1 1.2﹣2﹣1.5…
（1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表要求的函数表达式： ；
（2）请说明你选择这个函数表达式的理由．
13、（2012•南平）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；
结论二： ；
结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
14、如图2-1-7，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）当点C在劣弧上运动时，应再具备什么条件可使结论成立？
15、如图2-1-8,AB是⊙O的直径, ⊙O交BC于D,过D作⊙O的切线DE交AC于E,且DE⊥AC,由上述条件,你能推出的正确结论有: .
_
图
2
-
1
-
8
_
O
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A。