机械振动与机械波的复习提要

3、干涉加强和减弱的条件： 相长干涉的条件：
20 10） 2 （
r2 r1

2k
k 0 ,1,2 ,3 ,...
A Amax A1 A2
相消干涉的条件：
I I max I1 I 2 2 I1 I 2
2 ( r2 r1 ) ( 2k 1 )
同方向、同频率谐振动的合振动仍然是简谐振动, 同.
分析
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 20 10 )
若两分振动同相：
20 10 2k
k 0 ,1,2 ,
A A1 A2
若两分振动反相:
两分振动相互加强
20 10 ( 2k 1 )
体积元内媒质质点的弹性势能为
dE p
1 x A2 2 sin2 [ ( t ) 0 ]dV 2 u
体积元内媒质质点的总能量为：
dE dE k dE p A2 2 sin2 [ ( t
说明
x ) 0 ]dV u
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等 而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。 2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
cos t cos(
2
)t
)t
随t 缓变
随t 快变
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
机械波的复习提要
一、基本概念 1、机械波：机械振动在弹性煤质中的传播称为机械波。 形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性媒质。 2、横波和纵波： 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波。 两者相互平行的波叫纵波。 各种复杂的波都可以分成横波和纵波来分别处理。 3、平面波和球面波： 波面为平面的波称为平面波。 点波源的波面是球面，叫做球面波。 4、波长λ：同一波线上相位相差为2π的两相邻质点之间的距离，即 即一个完整波形的长度。它反映波在空间上的周期性。 5、波的周期T：一个完整波形通过波线上某点所需要的时间。它反映波在 时间上的周期性。波的周期与传播媒质各质点的振动周期相同。
六、波的叠加原理 几列波可以保持各自的特点通过同一媒质，互补影响，在他们相重叠的 区域内（有条件），每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢 量和。 七、波的干涉 1.波的干涉现象：两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的相位相同 或相位差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动 始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。能产生干涉现象的波叫 做相干波，相应的波源叫做相干波源。 2、波的相干条件：频率相同、振动方向不相互垂直（经常考虑方向相同） 相位相同或相位差恒定。

0
0
o
x
X
A
t= t
A t=
t+0
o

0
0 X
x
分析：匀速旋转的矢量 A 的矢端速度在坐标轴上的投影？
1、表示一特定的简谐振动的速度。 2、振动质点位于上半圆时：V<0 位于下半圆时：v>0
A
t= t
A t=
t+0
o

0
0
X
x
分析：匀速旋转的矢量 轴上的投影？ 1、表示一特定的简谐振动的加速度。 2、振动质点位于右半圆时：a<0 位于左半圆时：a>0
11、振动加速度α：表示振动物体速度变化的快慢程度，即
dv d 2 x a 2 2 A cos( t 0 ) 2 A cos( t 0 ) dt dt x0 x |t 0 A cos 0 12、初始条件：在t=0时刻物体的运动状 态（位移和速度）称为初始条件，它决定 v v | A sin 0 t 0 0
(3) 驻波能量 驻波振动中无位相传播，也无能量的传播
一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换， 并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。
驻波能量推导
2 x 反射波能量密度 ： w2 A2 2 sin 2 ( t )
入射波能量密度 ： w1 A2 2 sin 2 ( t
1 E k mv 2 2 1 2 kA sin2 ( t 0 ) 2
x A cos( t 0 )
1 2 E p kx 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
简谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 总的机械能为： 平均能量：
1 2 E Ek E p kA 2

负号：沿X轴正方向传播；正号：表示波沿X轴负方向传播。 3、波函数的物理意义：波函数是x和t的函数。给定x，表示x处质点的振动， 即给出x出质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定t，表示t时刻的质点 离开自己平衡位置的位移。
四、波传播的能量 体积元内媒质质点动能为
1 2 1 x 2 2 2 dE k v dm A sin [ ( t ) 0 ]dV 2 2 u
x 0
x k 2
A( x) 0
k 0 ,1,2 ,
振幅最小，波节
cos 2
x

1 2 ( k ) 2
1 x ( k ) 2 2
k 0 ,1,2 ,
(2)驻波的位相的分布特点
y 2 A cos
2

x cos t
时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而空间变化带 来的相位是不同的。 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。 速度方向相反。 两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速 度方向相同。
ω=2πυ
7、振幅A:物体离开平衡位置（x=0）的最大位移的绝对值称为振幅. 8、相位φ：φ=ωt+φ0称为相位，单位是弧度（rad）。每经历一个周期T, 相位增加2π，完成一次振动。 9、初相位φ0：开始计时（t=0）时的相位。 10、振动的速度V:表示物体位移变化的快慢程度，即：
dx v A sin( wt 0 wA ) cos( ) dt 2
二、简谐波
1、简谐波：波源作简谐振动的波称为简谐波。各种复杂的波形可以看作 是由许多不同频率的简谐波的叠加。 2、平面简谐波的波函数：
x t x y A cos[ ( t ) ] A cos[2 ( ) ] u T x A cos[( t 2 ) ]
k 0,1,2,3,...
k 0,1,2,3,...
相长干涉 相消干涉
称为波程差
Байду номын сангаас
七、驻波 两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。它 时间上是稳定的分段振动。有波节和波腹。相邻两波节或波腹之间的距离 为λ/2。波节两边的媒质，振动的相位差为π.
y1 A cos( t
A的矢端法向加速度在坐标
记住四个特殊位置的点
v A
an 2 A
A t=t A t=0
X x
简谐振动的质点处 于平衡位置并向正 向最大位移运动 （速度为正向最大， 加速度为0）
t+0
an 2 A

简谐振动的质点 处于平衡位置并 向负向最大位移 运动（速度为负 向最大，加速度 为0（因在x轴投 影为0）
A A1 A2
两分振动相互减弱
k 0 ,1,2 ,
如 A1=A2 , 则 A=0
用旋转矢量表示相位关系

A2
同相
A1
x
反相


A2
A1
A2
x
A1
x
二. 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动
x1 A cos( 1t )
x2 A cos( 2 t )

A1
20
x x1 x 2
0
x A cos( t 0 )
A A A 2 A1 A2 cos( 20 10 )
2 1 2 2
x2
x1
x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg 0 A1 cos 1 A2 cos 2
其频率仍为,与分振动相
( 20 10 )
A Amin | A1 A2 |
k 0 ,1,2 ,3 ,..
I I min I1 I 2 2 I1 I 2
当两相干波源为同相波源时，相干条件写为
r2 r1 k ,
r2 r1 (2k 1) ,
振动的振幅和初相位，即：
由以上两式，可求得： A x0
2
2
v0 2
v0 tg 0 x
二、旋转矢量法 简谐振动可以用一旋转矢量在x轴上的投影来表示。 在平面上画一矢量A,其长度等于振幅A,初始位置与x轴正方向的夹角等 于初相位φ，其尾端固定在坐标质点上，并以圆频率ω为交速度绕O点 作逆时针匀速转动，则矢量A在X轴上的投影
五、惠更斯原理
惠更斯原理： 介质中波阵面上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后一时 刻这些子波的包迹便是新的波阵面。
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向 t时刻波面
· · · ·
t+t时刻波面
波传播方向
t + t
· · · · · t · · · · · · ··· 球面波
ut
平面波
6、波速：振动状态在空间的传播速度称为波速。它与波动的性质无关，仅决定 于传播媒质的性质。 7、波的频率ν:单位时间通过波线上某点的完整波形的数目,它与媒质质点的振动 频率相等. 8、波数k:它的数值等于在2π长度内所包含的完整波的个数。 它们之间的关系：