高考数学专题07 三角形中的组合图形问题(第一篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题07 三角形中的组合图形问题【典例1】【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试】如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，BD CD =ABD △的面积. 【思路引导】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到2BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.解：（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=， 所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=， 所以1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=， 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =ABC V 中，由正弦定理sin sin c bC B=， 所以sin sin c B C b=22sin π=7=； （2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD CCD CBD=∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠，因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=，而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以BD =， 因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=， 所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 11222=⨯=. 【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】 在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【思路引导】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长； 解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC =2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ==【典例3】【河北省唐山市2019届高三上学期期末考试】如图，在梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=o ，M 为AD 上一点，22AM MD ==，60BMC =o ∠.（1）若60AMB ∠=o ，求BC ；（2）设DCM θ∠=，若4MB MC =，求tan θ. 【思路引导】(1)先由题中条件求出MC MB ，，再由余弦定理即可求解；(2)先由DCM θ∠=，表示出ABM ∠，进而可用θ表示出MC ，MB ，再由4MB MC =，即可求解. 解：（1）由60BMC ∠=o ，60AMB ∠=o ，得60CMD ∠=o . 在Rt ABM V 中，24MB AM ==； 在Rt CDM V 中，22MC MD ==．在MBC V 中，由余弦定理得，2222cos 12BC BM MC BM MC BMC =+-⋅⋅∠=，BC =（2）因为DCM θ∠=，所以60ABM θ∠=-o ，060θ<<o o ． 在Rt MCD V 中，1sin MC θ=； 在Rt MAB V 中，()2sin 60MB θ=-o ，由4MB MC =得，()260sin sin oθθ-=，θsin θsin θ-=，即2sin θθ=，整理可得tan θ=【典例4】【广东省2019届高三上学期期末联考】如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.(1)求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.【思路引导】(1)由正弦定理将()sin cos a c B B =+化为()sin sin sin cos A C B B =+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；(2)先由余弦定理求出BC 的长，将平面四边形ABDC 的面积转化为两三角形ABC ∆与BCD ∆面积之和，即可求解.解：（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a c A C=， 所以()sin sin sin cos A C B B =+在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+ 所以sin cos sin sin B C C B =因为在ABC ∆中，sin 0B ≠ 所以cos sin C C =因为C 是ABC ∆的内角所以4C π=.（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =- 因为ABC ∆是等腰直角三角形， 所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===- 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅= 所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+BCD S ∆5cos sin 4D D =-+ 544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时平面四边形ABDC 的面积有最大值54+ 【典例5】【2020届重庆市高三11月调研测试卷】如图，半圆O 的直径2AB =，点C ，P 均在半圆周上运动，点P 位于C ，B 两点之间，且6CAP π∠=.（1）当12PAB π∠=时，求APC △的面积.（2）求四边形ABPC 的面积的最大值. 【思路引导】（1）根据已知条件求出,AC AP ，再利用面积公式即可；（2）将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值.解：（1）由题知4CAB π∠=，cos AC AB CAB ∴=∠=cos2cos 2cos cos 2sin sin 123434342AP AB πππππππ⎛⎫==-=+=⎪⎝⎭，1sin 26APC S AC AP π∴=⋅⋅=V ； （2）由题知6CAP π∠=，根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可得3COP π∠=，设半径1r =，AOC θ∠=，则23POB πθ∠=-， 212sin sin sin 233ABPC AOC POB POC S S S S r ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦V V V ，11sin sin 22224264πθθθθ⎛⎛⎫=+++=++≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭当3AOC πθ∠==时等号成立.【典例6】【2019届河北省衡水中学高三上学期三调考】如图所示，正三角形ABC 的边长为2，,,D E F 分别在三边,AB BC 和CA 上，D 为AB 的中点，()90,090EDF BDE θθ∠=︒∠=︒<<︒．（Ⅰ）当tan 2DEF ∠=θ的大小； （Ⅱ）求DEF ∆的面积S 的最小值及使得S 取最小值时θ的值．【思路引导】第一问，在EDF ∆中，tan DF DEF DE ∠==DBE ∆中，利用正弦定理，用θ表示DE ，在ADF ∆中，利用正弦定理，用θ表示DF ，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出tan θ，利用特殊角的三角函数值求角θ；第二问，将第一问得到的DF 和DE 代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S 的最小值．解：在BDE V 中，由正弦定理得000sin 60sin(120)2sin(60)BD DE θθ==-+，在ADF V 中，由正弦定理得0sin 60sin(30)AD DF θ==+tan DEF ∠=，得00sin(60)sin(30)θθ+=+tan θ=，所以60θ=︒． （2）1·2S DE DF =＝0038sin(60)sin(30)θθ=++==．当45θ=︒时，S 62-=．【典例7】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学】某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道（不考虑宽度），BE为赛道内的一条服务通道，23BCD CDE BAEπ∠=∠=∠=，DE=4km，BC CD==.（1）求服务通道BE的长度；（2）当4AEBπ∠=时，赛道BA的长度？【思路引导】（1）连接BD，在BCD∆中，由余弦定理可得3BD=，由等腰三角形的性质结合23BCD CDEπ∠=∠=可得2BDEπ∠=，再由勾股定理可得结果；（2）在BAE∆中，23BAEπ∠=，5BE=，4AEBπ∠=，直接利用正弦定理定理可得结果.解：（1）连接BD，在BCD∆中，由余弦定理得：2222BD BC CD BC=+-cos9CD BCD⋅∠=，3BD∴=.BC CD=Q，6CBD CDBπ∴∠=∠=，又23CDEπ∠=，2BDEπ∴∠=，在Rt BDE∆中，5BE==.（2）在BAE∆中，23BAEπ∠=，5BE=.4AEBπ∠=由正弦定理得2sin sin34BE ABππ=，=得3BA=，当4AEBπ∠=时，赛道BA的长度为3.1.【2020年陕西省高三教学质量检测卷（一)】如图，在ABC ∆中，sin BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，7AD =，8AC =，D 在BC 边上，连接AD .（1）求角B 的大小； （2）求ACD ∆的面积.【思路引导】（1）由ABD ADC BAD ∠=∠-∠及两角差的正弦公式，结合正余弦值求得ABD ∠的正弦值，即可得角B 的大小；（2）先在ACD ∆中，由余弦定理求出CD 的长度，再利用三角形的面积公式即可求解. 解：（1）在ABC ∆中，1cos 7ADC ∠=， 所以0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2BAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭∵sin 14BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，∴13cos 14BAD ∠==，sin 7ADC ∠==∴sin sin()ABD ADC BAD ∠=∠-∠ sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠⨯∠-∠⨯∠1317147142=⨯-⨯=. 因为0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3B π=.（2）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯∠，∴216449277CD CD =+-⨯⨯⨯，解得5CD =，∴1sin 2ACD S AD CD ADC ∆=⨯⨯⨯∠1752=⨯⨯⨯=2.【天一大联考皖豫联盟2019-2020学年高中毕业班第二次考试】 如图所示，在平面四边形ABCD 中，4tan 3BCD ∠=-.（1）若ACB ACD ∠=∠，22AB BC ==，求AC 的长； （2）若45CBD ︒∠=，2BC =，求BCD V 的面积. 【思路引导】（1）由tan BCD ∠，可求出cos BCD ∠，结合ACB ACD ∠=∠，可求得cos ACB ∠，在ABC V 中，由余弦定理可求出AC 的长；（2）先求得sin cos BCD BCD ∠∠，，则()sin sin 45CDB BCD ︒∠=∠+，然后利用正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可求出CD ，进而可求出BCD V 的面积.解：（1）4tan 3BCD ∠=-,则BCD ∠是钝角，cos 0BCD ∠<，可求得3cos 5BCD ∠=-. 因为ACB ACD ∠=∠，所以23cos 2cos 15BCD ACB ∠=-=∠-.因为cos 0ACB ∠>，所以cos ACB ∠=.在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即2305AC AC --=.解得AC =AC =（舍去）.所以AC =（2）由（1）可知，4sin 5BCD ∠==. 在BCD V 中，因为45CBD ∠=︒，所以()()sin sin 18045sin 45cos )CDB BCD BCD BCD BCD ∠=︒-∠-︒=∠+︒=∠+∠=由正弦定理得sin sin BC CDCDB CBD =∠∠，所以sin 10sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠. 故BCD V 的面积14210825S =⨯⨯⨯=.3.【2020届江西省南昌市第十中学高三上学期期末】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足3sin 2sin 3sin 3sin a A a C b B c C -=-.（1）求cos B 的值.（2）如图，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，若2AC =，求DBC △面积的最大值. 【思路引导】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解. （2）由（1）以及余弦定理、基本不等式可得22224233a c ac ac ac =+-≥-，由1S S 3BDC ABC ∆∆=即可求解.解：（1）3sin 2sin 3sin 3sin a A a C b B c C ∴-=-， 由正弦定理，可得2223233a ac b c -=-，则2221cos 23a cb B ac +-== （2）由（1）知1cos 3B =, 可得：22224233a c ac ac ac =+-≥-4,3ac = 3ac ∴≤，（当且仅当a c =时取等号）， 由2AD DC =，可得：1S S 3BDC ABC ∆∆=1111sin 33232ac B =⨯⨯≤⨯=，DBC ∴△的面积最大值为3. 4.【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020届高三上学期三校联考】如图，在四边形ABCD 中，AD BD ⊥,AC 平分BAD ∠,BC =3BD =BCD ∆的面积为S =，ABC ∠为锐角.（Ⅰ）求CD ； （Ⅱ）求ABC ∠ .试题分析: (I)在BCD ∆中,由三角形的面积公式可求得CBD ∠,再利用余弦定理求出CD ；（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理求出sin BDC ∠和cos BDC ∠,根据题意AC 平分BAD ∠，CAD BAC ∠=∠,在ACD ∆和ABC ∆中分别写出正弦定理,得出比例关系,求出ABC ∠.解:(I)在ABC ∆中，31sin 22S BD BC BCD ==⋅⋅∠.因为3BC BD ==+1sin 2CBD ∠=. 因为ABC ∠为锐角，所以30CBD ∠=︒.在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠((22323=+-⋅+9= 所以CD 的长为3.(II)在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠3sin30=︒，解得sin BDC ∠= BC BD <Q ,BDC ∴∠也为锐角.cos 3BDC ∴∠=. 在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CDADC CAD=∠∠ 即3cos sin AC BDC CAD=∠∠①在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC BCABC BAC=∠∠即sin AC ABC =∠② Q AC 平分BAD ∠，∴CAD BAC ∠=∠由①②得sincos ABC BDC ∠=∠sin 2ABC ∠= 因为ABC ∠为锐角，所以45ABC ∠=︒ .5.【2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试】在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，a =. (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积【思路引导】（1）结合正弦定理，条件选择①3sin 4cos a C c A =，则34sinAsinC sinCcosA =，再利用公式22sin cos 1A A +=求sin A ；若选择条件②，由正弦定理和诱导公式可得22AsinBcos=，再根据二倍角公式求得2A sin=，再根据sin 2sin cos 22A A A =求解.（2）解法1:设BM MC m ==，在BMC △中由余弦定理，解得m =再由（1）4sin 5A =，解得AB 边长，最后求得到ABC ∆的面积；解法2：由MB MC =可知，3225sin C sin A cosA π⎛⎫⎭=⎪⎝=-=，，再根据正弦定理和面积公式ABC S ∆=4545sin cos sin 244C C C ==. 解：解:若选择条件①，则答案为:(1)在ABC V 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==， 所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =所以2113352252BMC S m sin BMC =∠=⨯⨯=V 在Rt ABM V 中，4,52sinA BM ABM π==∠=所以AB =158ABM S =V ，所以31527288ABC S =+=V 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠， 因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-= 因为A 为锐角，所以325sin C cosA ==又sin sin sin 4b c a B C A ===所以sin ,4b B =,4c C =所以11445sin sin sin sin 2244542ABC S bc A B C C C π⎛⎫==⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭V 454527sin cos sin 2448C C C ===若选择条件②，则答案为:(1)因为22B C bsin +=，所以22Absin π-=，由正弦定理得22AsinBcos =，因为0sinB ≠，所以2,2A cos =222A A Acos cos =，因为02Acos≠，所以2A sin =，则2A cos=，所以4sin 2sin cos 225A A A ==. (2)同选择①6.【2020届广东省韶关市高三上学期期末调研】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,AD AB BC CD DB ====，设DAB θ∠=.（1）若23πθ=，求sin ADB ∠的值； （2）用θ表示四边形ABCD 的面积()S θ，并求()S θ的最大值. 【思路引导】（1）由余弦定理得BD ，再由正弦定理求得结论；（2）同（1）由余弦定理表示出BD ，求出两个三角形ABD ∆和BCD ∆的面积，可得()S θ，再由三角函数的公式变为一个角的一个三角函数形式，然后可得最大值．解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理知2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅∠ 由已知21,2,3AD AB DAB π==∠=，代入上式得：211421272BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即BD =又由正弦定理得：sin sin AB BDADB DAB=∠∠即：22sin sin 3ADB π=∠，解得：sin 7ADB ∠=（2）在ABC ∆中，由余弦定理知214212cos 54cos BD θθ=+-⨯⨯⨯=-故())112sin 54cos sin 2S θθθθθ=⨯⨯⨯-=-+2sin )34πθθπ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭所以2333πππθ-<-<故max S 526S π⎛⎫==⎪⎝⎭． 7.【湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学】已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且2222cos cos b c a ac C c A +-=+.（1）求A ；（2）在ABC ∆中，BC =D 为边AC 的中点，E 为AB 边上一点，且DE AC ⊥，DE =，求ABC ∆的面积. 【思路引导】（1）由余弦定理得2cos cos cos b A a C c A =+，再由正弦定理得2sin cos sin()B A A C ⋅=+，进而得1cos 2A =，即可求解（2）在Rt AED ∆中，求得AD =，AC =ABC ∆中由正弦定理得4B π=，结合三角形的面积公式，即可求解.解：（1）由余弦定理有22cos cos cos bc A ac C c A =+， 化简得2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin sin()B A A C C A A C ⋅=⋅+=+ ∵A B C π++=，∴2sin cos sin B A B ⋅=，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又由0A π<<，∴3A π=. （2）在AEC ∆中，D 为边AC 的中点，且DE AC ⊥， 在Rt AED ∆中，2DE =，3A π=，所以2AD =，AC =ABC ∆中由正弦定理得sin sin AC BC B A =，得sin B ，4B π=，512C π=，所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=8.【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】 （1）当()k k z απ≠∈时，求证：1cos tan2sin ααα-=；（2）如图，圆内接四边形ABCD 的四个内角分别为A 、B 、C 、D .若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =.求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【思路引导】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD 为圆的内接四边形可知sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由（1）结论原式可化为22sin sin A B+，连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理即可求解. 解：（1）证明21cos 22sin 1cos 22sin sin 22sin cos 222ααααααα-⋅-==⋅⋅tan 2α=.（2）因为ABCD 为圆的内接四边形，所以sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由此可知：tantan tan tan 2222A B C D+++1cos 1cos 1cos 1cos sin sin sin sin A B C DA B C D ----=+++22sin sin A B=+连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理可得： 22536cos 256y A +-=⨯⨯，2916cos 234y C +-=⨯⨯，2369cos 263x B +-=⨯⨯，22516cos 254x D +-=⨯⨯，解得281919x =，22477y =，那么3cos 7A =，1cos 19B =，sin A =sin B =所以原式3=. 9.【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】如图所示，锐角ABC ∆中，AC =D 在线段BC 上，且CD =，ACD ∆的面积为，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（Ⅰ）求AD 的值； （Ⅱ）若2sin 3BEC ∠=，求AE 的值. 【思路引导】（Ⅰ）在ACD ∆中，由面积公式得sin 5ACD ∠=，进而得1cos 5ACD ∠=，再由余弦定理求解即可；（Ⅱ）由EC BC ⊥，得()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=，在AEC ∆中，再由正弦定理求解即可 解：（Ⅰ）在ACD ∆中，1sin 2ACD S AC CD ACD ∆=⋅∠1sin 2ACD =⨯∠=所以sin 5ACD ∠=. 因为090ACD ︒<∠<︒，所以1cos 5ACD ∠==. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+-⋅⋅⋅∠=，得AD =（Ⅱ）因为EC BC ⊥，所以()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=. 在AEC ∆中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即1253AE =，所以AE =. 10.【北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AB =3CD =，sin 14DBC ∠=，3C π∠=.（1）求sin BDC ∠的值； （2）求BD ，AD 的值. 【思路引导】（1）由同角三角函数基本关系得13cos 14DBC ∠=，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可 （2）利用正弦定理得7BD =，再利用余弦定理求解 解：（1）∵sin DBC ∠=，22sin cos 1,02DBC DBC DBC π∠+∠=<∠<，∴13cos 14DBC ∠=在△BDC 中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠=，∴sin sin()BDC DBC C ∠=∠+∠sin cos cos sin DBC C DBC C =∠⋅+∠⋅113214=+=（2）在△BDC 中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C =∠= 解得7BD =，∵2ABD DBC π∠+∠=，sin 14DBC ∠=，∴cos ABD∠14=， 在△ABD中，AB =2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅∠2272749=+-⋅= 解得7AD = 11.【2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查】如图，在平面四边形ABCD 中，2BC =，4CD =，且AB BD DA ==.（1）若6CDB π∠=，求tan ABC ∠的值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【思路引导】（1）根据条件由正弦定理，求出sin 1CBD ∠=，从而求出2CBD π∠=，即可求出结果；（2）设,0BCD θθπ∠=<<，根据余弦定理求出2BD ，将,BCD ABC ∆∆的面积和表示为θ的函数，由辅助角公式化简面积表达式，再结合正弦函数的最值，即可求解.解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠， ∴4sin6sin 12CBD π⨯∠==，∵0CBD π<∠<，∴2CBD π∠=，∴()tan tan tan 32ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+ ⎪⎝⎭5tan tan 66ππ==-=. （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅2224224cos θ=+-⨯⨯2016cos θ=-.∴21sin 2ABCD BC CD S BD θ=⋅+四边形4sin θθ=-+8sin 3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当56πθ=时，四边形ABCD 面积的最大值8+. 12.【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】如图，在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且2cos 2a C c b -=．（1）求角A 的大小；（2）若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC V 的面积． 【思路引导】（1）利用正弦定理化边为角可得2sin cos sin 2sin A C C B -=,则()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,进而求得角A 即可；（2）由（1）可得6C π=,则AC AB =,设AD x =,则2AB x =,在ABD △中,根据余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅,可得x =进而求得ABC V 的面积即可解：（1）因为2cos 2a C c b -=,根据正弦定理,得2sin cos sin 2sin A C C B -=,即()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,所以2sin cos sin 2sin cos 2sin cos A C C A C C A -=+,整理得sin 2sin cos C C A -=,因为sin 0C ≠,所以1cos 2A =-, 又因为()0,A π∈,则23A π= （2）由（1）知23A π=,又因为6ABC π∠=,所以6C π=,所以AC AB =, 因为D 是AC 中点, 设AD x =,则2AB x =, 在ABD △中,根据余弦定理,得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅, 即()22227222cos 3x x x x π=+-⋅⋅⋅即2749x =,解得x =故ABC V 的面积2112sin 4sin 223S AB AC A x π=⋅⋅=⋅⋅=。