全国各地高考文科数学试题分类汇编：不等式教师版

合集下载

高考数学文试题分类汇编：不等式.docx

2016年高考数学文试题分类汇编不等式一、选择题1、（2016年山东高考）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12【答案】C2、（2016年浙江高考）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（） A.355 B.2 C.322 D.5【答案】B3、（2016年浙江高考）已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则（）A.(1)(1)0a b --<B. (1)()0a a b -->C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a --> 【答案】D二、填空题1、（2016年北京高考）函数()(2)1x f x x x =≥-的最大值为_________.【答案】22、（2016江苏省高考）已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ . 【答案】4[,13]53、（2016年上海高考）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.【答案】)4,2(4、（2016上海高考）若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-5、（2016全国I 卷高考）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。

该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.【答案】2160006、（2016全国II 卷高考）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________【答案】5-7、（2016全国III 卷高考）若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最大值为_____________.【答案】10-8、（2016年浙江高考）11、（2016江苏省高考）函数y =232x x --的定义域是 ▲ .【答案】[]3,1-三、解答题1、（2016年天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.(1)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yx O（Ⅱ）解：设利润为z 万元，则目标函数y x z 32+=，这是斜率为32-，随z 变化的一族平行直线.3z 为直线在y 轴上的截距，当3z 取最大值时，z 的值最大.又因为y x ,满足约束条件，所以由图2可知，当直线y x z 32+=经过可行域中的点M 时，截距3z 的值最大，即z 的值最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+30010320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ，所以112243202max =⨯+⨯=z . 答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.。

(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题19 不等式选讲(教师版)

专题19 不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++．（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．（2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【答案】（1）43；（2）见详解．【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当=53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得<13-；当0≤≤12时，原不等式可化为+1–2>2，即<–1，无解；当>12时，原不等式可化为+2–1>2，解得>1．综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞U ．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥．由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ． 7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2）a b +的最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5． 8．【2018年高考江苏卷数学】若，y ，为实数，且+2y +2=6，求222x y z ++的最小值．【答案】222x y z ++的最小值为4．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ．（1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -+<≤．所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解． 10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）()()556556a b a b a ab a b b ++=+++()()()2333344222244.a ba b ab a b ab a b =+-++=+-≥（2）因为()3322333a b a a b ab b +=+++()()()()232332432,4ab a b a b a b a b =+++≤+++=+所以()38a b +≤，因此2a b +≤．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法． 11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f （）=│+1│–│–2│．（1）求不等式f （）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】（1）{}1x x ≥；（2）54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；当2x >时，由()1f x ≥解得2x >．所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥．（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而2223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-，且当32x =时，25124x x x x +---+=．故m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16a b c d +=+=，所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（22212n a a a +++L ）（22212n b b b +++L ）≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2，当且仅当b i ＝0或存在一个数，使a i ＝b i （i ＝1，2，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，代入即得结论．。

2022年高考数学真题分类汇编：不等式

2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式一、单选题(共10题；共50分)1．（5分）（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件{x−2≥0，2x+y−7≤0，x−y−2≤0，则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【解答】根据约束条件{x−2≥0，2x+y−7≤0，x−y−2≤0，画出可行域，可知过点（2，3）时取到最大值18.故答案为：B【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．2．（5分）（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件{x+y⩾2，x+2y⩽4，y⩾0，则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数z=2x−y转化为y=2x−z，上下平移直线 y =2x −z ，可知当直线过点 (4，0) 时，直线截距最小，z 最大，所以 z max =2×4−0=8 . 故选：C【分析】作出可行域，数形结合即可得解.3．（5分）（2022·全国甲卷）设全集 U ={−2，−1，0，1，2，3} ，集合 A ={−1，2}，B ={x ∣x 2−4x +3=0} ，则 ∁U (A ∪B)= （） A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{−2，1}D ．{−2，0}【答案】D【解析】【解答】解：由题意得， B ={x ∣x 2−4x +3=0}={1，3} ，所以A∪B={-1，1，2，3} ，所以∁U (A ∪B)={−2，0} . 故选：D【分析】先求解方程求出集合B ，再由集合的并集、补集运算即可得解.4．（5分）（2022·全国甲卷）已知 9m =10，a =10m −11，b =8m −9 ，则（）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a【答案】A【解析】【解答】解：由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10 ，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0．又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9 ，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0 ．综上，a>0>b ．故选：A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．5．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）设 a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9，则（） A ．a a ，a-c=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]，令y=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]， y′=xe x +e x −11−x =(1+x )(1−x )e x −11−x，令k(x)=(1+x )(1−x )e x −1，所以k'(x)=(1-2x-x 2)e x >0，所以k(x)>k(0)>0，所以y'>0，所以a-c>0，所以a>c ，综上可得，c<a<b ，故选：C【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∪(0，0.1]，y=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.6．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 M ={x ∣√x <4}，N ={x ∣3x ⩾1}，则 M ∩N =（）A ．{x ∣0≤x <2}B ．{x ∣13≤x <2}C ．{x ∣3≤x <16}D ．{x ∣13≤x <16}【答案】D【解析】【解答】解：由题意得， M ={x|0≤x <16}，N ={x|x ≥13} ，则 M ∩N = {x ∣13≤x <16} ，故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合M ，N ，再根据交集的运算求得答案.7．（5分）（2022·浙江学考）不等式 x 2−4x <0 的解集是（）A ．(0，4)B ．(−4，0)C ．(−∞，4)D ．(−∞，0)∪(4，+∞)【答案】A【解析】【解答】 x 2−4x <0⇒x(x −4)<0 ，解得 0<x <4 ，所以解集为 (0，4) 。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（） A ．12122log 22y y x x ++ C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ，故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（） A ．12122log 22y y x x ++ C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误；对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误，故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。

高考文科数学真题汇编基本不等式和线性规划老师版

的解集是（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【答案】B21.（2013天津）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 【答案】A22.(2013新标2文)设x ，y 满足约束条件{ x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3 【答案】B23.(2014新标2理) 设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】B24.(2014新标2文)设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1 【答案】B25．(2012福建) 若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2【简解】作图，由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值；即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．选B 26．（2013湖北文）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元【简解】设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>>≤-≤+,9006036,0,0,7,21y x y x x y y x ；画出可行域，求出三个满足约束条件则满足约束条件B、，则。

2023年全国各地高考数学真题+详解分类汇编【第1章不等式合集】高清解析版

第１章集合与不等式1(2023•乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}=()A.∁U (M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁U N【解析】：由题意：M∪N={x|x<2}，又U=R，∴∁U(M∪N)={x|x≥2}．故选：A．2(2023•甲卷)设集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A⋃B)=()A.{x|x=3k，k∈Z}B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}D.∅【解析】：∵A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，∴A∪B={x|x=3k+1或x=3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U(A⋃B)={x|x=3k，k∈Z}．故选：A．3(2023•甲卷)设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，则N∪∁U M=()A.{2，3，5}B.{1，3，4}C.{1，2，4，5}D.{2，3，4，5}【解析】：因为U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，所以∁U M={2，3，5}，则N∪∁U M={2，3，5}．故选：A．4(2023•乙卷)设全集U={0，1，2，4，6，8}，集合M={0，4，6}，N={0，1，6}，则M∪∁U N= ()A.{0，2，4，6，8}B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8}D.U【解析】：由于∁U N={2，4，8}，所以M∪∁U N={0，2，4，6，8}．故选：A．5(2023•新高考Ⅰ)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=() A.{-2，-1，0，1} B.{0，1，2} C.{-2} D.{2}【解析】：∵x2-x-6≥0，∴(x-3)(x+2)≥0，∴x≥3或x≤-2，N=(-∞，-2]∪[3，+∞)，则M∩N={-2}．故选：C．6(2023•天津)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】：a2=b2，即(a+b)(a-b)=0，解得a=-b或a=b，a2+b2=2ab，即(a-b)2=0，解得a=b，故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”，充分性不成立，“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”，必要性成立，故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件．故选：B．7(2023•天津)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，4}，则∁U B∪A=() A.{1，3，5} B.{1，3} C.{1，2，4} D.{1，2，4，5}【解析】：U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，4}，则∁U B={3，5}，故∁U B∪A={1，3，5}．故选：A．8(2023•新高考Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a=() A.2 B.1 C.23D.-1【解析】：依题意，a-2=0或2a-2=0，当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意．故选：B．9(2023•上海)已知P={1，2}，Q={2，3}，若M={x|x∈P，x∉Q}，则M=()A.{1}B.{2}C.{3}D.{1，2，3}【解析】：∵P={1，2}，Q={2，3}，M={x|x∈P，x∉Q}，∴M={1}．故选：A．10(2023•全国)集合A={-2，-1，0，1，2}，B={2k|k∈A}，则A∩B=()A.{0}B.{0，2}C.{-2，0}D.{-2，0，2}【解析】：因为集合A={-2，-1，0，1，2}，B={2k|k∈A}，所以B={-4，-2，0，2，4}，则A∩B={-2，0，2}．故选：D．11(2023•上海)已知集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B，则a=．【解析】：集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B，则a=2．故答案为：2．12(2023•天津)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则()A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【解析】：y=1.01x，在R上单调递增，0.6>0.5，故1.010.6>1.010.5，所以b>a，y=x0.5，在[0，+∞)上单调递增，1.01>0.6，故1.010.5>0.60.5，即a>c，所以b>a>c．故选：D．13(2023•上海)已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为．【解析】：正实数a、b满足a+4b=1，则ab=14×a⋅4b≤14×a+4b22=116，当且仅当a=12，b=18时等号成立．故答案为：116．第２章复数1(2023•甲卷)若复数(a +i )(1-ai )=2，a ∈R ，则a =()A.-1B.0C.1D.2【解析】：因为复数(a +i )(1-ai )=2，所以2a +(1-a 2)i =2，a =221-a 2即 =0，解得a =1．故选：C ．22+i 1(2023•乙卷)设z =+i 2+i5，则z=()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【解析】：∵i 2=-1，i 5=i ，2+i1∴z =+i 2+i 5=2+i i=1-2i ，∴z=1+2i ．故选：B ．3(2023•乙卷)|2+i 2+2i 3|=()A.1B.2C.5D.5【解析】：由于|2+i 2+2i 3|=|1-2i |=12+(-2)2=5．故选：C ．45(1+i 3)(2023•甲卷)(2+i )(2-i )=()A.-1B.1C.1-iD.1+i5(1+i 3)【解析】：(2+i )(2-i )=5(1-i )5=1-i ．故选：C ．5(2023•新高考Ⅱ)在复平面内，(1+3i )(3-i )对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】：(1+3i )(3-i )=3-i +9i +3=6+8i ，(1+3i )(3-i )对应的点的坐标为(6，8)，位于第一象限．则在复平面内，故选：A ．6(2023•新高考Ⅰ)已知z =21+-2i i，则z -z=()A.-iB.iC.0D.1【解析】：z =21+-2i i =21⋅1-i 1+i (1-i )2=21⋅(1+i )(1-i )=-21i ，则z =21i ，故z -z=-i ．故选：A ．7(2023•全国)已知(2+i )z=5+5i ，则|z |=()A.5B.10C.52D.55【解析】：由(2+i )z=5+5i ，得z =5+5i 2+i=(5+5i )(2-i )(2+i )(2-i )=15+5i 5=3+i ，则z =3-i ，|z |=32+(-1)2=10．故选：B ．8(2023•上海)已知复数z =1-i (i 为虚数单位)，则|1+iz |= ．【解析】：∵z =1-i ，∴|1+iz |=|1+i (1-i )|=|2+i |=5．故答案为：5．9(2023•天津)已知i 是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为．【解析】：5+14i 2+3i =(5+14i )(2-3i )(2+3i )(2-3i )=52+13i13=4+i ．故答案为：4+i ．10(2023•上海)已知z 1，z 2∈C 且z 1=i z 2(i 为虚数单位)，满足|z 1-1|=1，则|z 1-z 2|的取值范围为．【解析】：设z 1-1=cos θ+i sin θ，则z 1=1+cos θ+i sin θ，因为z 1=i •z 2，所以z 2=sin θ+i (cos θ+1)，所以|z 1-z 2|=(cos θ-sin θ+1)2+(sin θ-cos θ-1)2=22sin θ-π4 -1 2=22sin θ-π4 -1 ，显然当sin θ-π4 =22时，原式取最小值0，当sin θ-π4=-1时，原式取最大值2+2，故|z 1-z 2|的取值范围为[0，2+2]．故答案为：[0，2+2]．。

文科数学高考真题分类汇编不等式选讲答案

3 ，解得 a „ −3 或 a …−1 ．
2010-2018 年
− 2, x ≤− 1,
1．【解析】(1)当 a
=1
时，
f
( x)
=|
x
+1|
−
|
x
−1|
，即
f

(x)
=
2
x,
−1
x
1,
2, x ≥1.
故不等式 f (x) 1 的解集为{x | x 1} ． 2
(2)当 x (0,1) 时 | x +1| − | ax −1| x 成立等价于当x (0,1) 时 | ax −1| 1成立．
当 −1≤ x ≤2时，由 f ( x) ≥1得， 2x −1≥1，解得1≤ x ≤2
当 x＞2 时，由 f ( x) ≥1解得 x＞2．
所以 f ( x) ≥1的解集为 x x≥1 ．
（2）由 f (x )≥ x2 − x + m 得m≤ x +1 − x −2 − x2 + x ，而
x +1 − x −2 − x2 + x≤ x +1+ x −2 − x2 + x
当 x 1 时，①式化为 x2 + x − 4 ≤ 0 ，从而1 x ≤ −1+ 17 ． 2
所以 f (x) ≥ g(x) 的解集为{x | −1 x ≤ −1+ 17} ． 2
（2）当x [−1,1] 时， g(x) = 2 ．
所以 f (x) ≥ g(x) 的解集包含[−1,1] ，等价于当 x [−1,1] 时 f (x) ≥ 2 ．
专题十五不等式选讲
第三十五讲不等式选讲

不等式(十年全国高考数学真题分类汇编 (文科) )

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科）不等式（原卷版）一、选择题1．(2021年全国高考乙卷文科)若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为 ( )A ．18B ．10C ．6D ．42．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则() ( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<3．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)设满足约束条件,则的取值范围是( )4．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)设x 、y 满足约束条件．则的最小值是( )A ．B ．C ． D5．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)设满足约束条件则的最大值为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设x ，y 满足约束条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．17．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A ．-5B ．3x y ，326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩z x y =-.A [3,0].B [3,2].C 0,2.D 0,32330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩= 2 z x y +15-9-19,x y 33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩z x y =+C ．-5或3D ．5或-38．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是( )A ．7-B ．6-C ．5-D ．3- 9．(2012年高考数学课标卷文科)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(,)x y 在ABC ∆内部，则z x y =-+的取值范围是 ( )A．(1- B ．(0,2) C．1,2)D．(0,1+二、填空题10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________．11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．12．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．13．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则3z x y =-的最大值是___________.14．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤则13z x y =+的最大值是________．15．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤ 则z x y =+的最大值为__________．16．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．17．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)设x y ，满足约束条件210,210,1,x y x y x -+⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≤ 则235z x y =+-的最小值为______．18．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．19．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．20．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,x y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则2z x y =+的最大值为．21．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则3z x y =+的最大值为_________________．22．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．。

2024年全国高考数学真题分类( 不等式与不等关系)汇编(附答案)

2024年全国高考数学真题分类（不等式与不等关系）汇编一、单选题1．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞3．（2024ꞏ全国2卷）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．（2024ꞏ全国2卷）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．15．（2024ꞏ全国甲卷文）若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（） A ．5B ．12C ．2-D ．72-6．（2024ꞏ北京）已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（） A ．{}43x x -<C ．若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D ．若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8．（2024ꞏ北京）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A ．12122log 22y y x x ++> B ．12122log 22y y x x ++< C ．12212log 2y y x x +>+ D ．12212log 2y y x x +<+ 9．（2024ꞏ天津）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题10．（2024ꞏ上海）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．三、解答题11．（2024ꞏ全国甲卷文）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．12．（2024ꞏ全国甲卷理）已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-． (1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．B【详细分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【答案解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．B【详细分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-. 故选：B. 3．B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【答案解析】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B. 4．C【详细分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号详细分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质详细分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值. 【答案解析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12. 故选：C.【名师点评】关键点名师点评：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性详细分析判断. 5．D【详细分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【答案解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D. 6．A【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【答案解析】由题意得()4,3M N ⋃=-，故选：A. 7．C【详细分析】根据题意详细分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性详细分析判断.【答案解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >；若1S =，则1102.1 2.2S S --==，可得121n n ==；若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.1 2.2e e S S --<，即12n n <；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C. 8．A【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可.【答案解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：A.9．B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【答案解析】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B10．{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.11．(1)见答案解析 (2)见答案解析【详细分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【答案解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-= 当0a ≤时，1()0ax f x x-'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可. 11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证12．(1)极小值为0，无极大值. (2)12a ≤-【详细分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.【答案解析】（1）当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.【名师点评】思路名师点评：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.。

高考文科试题分类不等式(附答案)

05 不等式一、选择题1．（广东10）设a , b ∈R ，若a -b ＞0，则下列不等式中正确的是（ D ）A .b -a ＞0B .a 3+b 3＜0C .b +a ＞0D .a 2-b 2＜02．（宁夏7）已知a 1＞a 2＞a 3＞0，则使得2(1)1(123)i a x i -<=，，都成立的x 取值范围是（ B ）A ．110a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．120a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．310a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．320a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3．(山东7) 不等式252(1)x x +-≥的解集是（ D ） A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，， 4．（四川5）不等式22x x -<的解集为( A )（Ａ）()1,2- （Ｂ）()1,1- （Ｃ）()2,1- （Ｄ）()2,2-5．(天津8) 已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，则不等式2()f x x ≥的解集为（ A ） A ．[]11-， B ．[]22-，C ．[]21-，D ．[]12-， 6．（浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C )（A ）12ab ≤ （B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 7．(重庆7)函数f (x的最大值为 ( B ) (A)25 (B)12(D)1二、填空题1．（北京10）．不等式112x x ->+的解集是__________．{}|2x x <- 2．（江苏11）2*,,,230,y x y z R x y z xz ∈-+=的最小值为 33．（江西13）不等式224122x x +-≤的解集为．[3,1]- 4．（上海1）不等式11x -＜的解集是．（0，2）三、解答题1．（广东17）（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）解：设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++ ()10,x x Z +≥∈ ()21080048f x x '=- 令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '<因此当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．2．（江苏选修）设a ，b ，c 为正实数，求证：333111a b c+++abc ≥ 证明：因为,,a b c 为正实数，由平均不等式可得333331111a b c c ++≥ 即3331113a b c abc++≥ 所以3331113abc abc a b c abc +++≥+，而323abc abc abc abc+≥=所以 333111a b c +++abc ≥。

全国高考数学试题分类汇编：不等式选讲(-文科)(教师版)

全国高考数学试题分类汇编：不等式选讲( 文科) 【2013年高考试题】 1．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学）若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________【答案】(],8-∞2．（2013年高考陕西卷) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （,且仅当n m bmbn an am =⇒=时取最小值 2 3．（2013年高考江西卷)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学）已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值. 【答案】6．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学）设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为37．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--= 又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ,∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-8．（2013年高考新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43]. 【2012年高考试题】1.【2012高考真题新课标】已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.2.【2012高考真题陕西】若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .3.【2012高考真题辽宁】已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。

2012-2021高考真题数学汇编：等式与不等式(教师版)

2012-2021高考真题数学汇编：等式与不等式一．选择题（共26小题）1．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是( )A ．224y x x =++B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．222x x y -=+D ．4y lnx lnx=+2．（2020•上海）下列不等式恒成立的是( )A ．222a b ab +B ．222a b ab +-C ．2||a b ab +D ．222a b ab +-3．（2019•新课标Ⅰ）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则(MN = )A ．{|43}x x -<>，且1ab =，则下列不等式成立的是( )A ．21log ())2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2ab a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2a ba b a b +<+< 5．（2016•北京）已知x ，y R ∈，且0x y >>，则( )A ．110x y-> B ．sin sin 0x y ->C ．11()()022x y -<D ．0lnx lny +>6．（2015•上海）若0a b <<，则下列不等式恒成立的是( )A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <7．（2015•上海）已知0a >，0b >，若4a b +=，则( )A ．22a b +有最小值 BC ．11a b+有最大值 D 有最大值8．（2015•上海）对于任意实数a 、b ，2()a b kab -均成立，则实数k 的取值范围是( )A ．{4-，0}B ．[4-，0]C ．(-∞，0]D ．(-∞，4][0-，)+∞9．（2015•重庆）函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是( )A ．[3-，1]B ．(3,1)-C ．(-∞，3][1-，)+∞D ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞10．（2015•福建）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．（2015•湖南）若实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B ．2C ．D ．412．（2015•陕西）设()f x lnx =，0a b <<，若p f =，()2a bq f +=，1(2r f =（a ）f +（b ）)，则下列关系式中正确的是( ) A ．q r p =D ．p r q =>13．（2014•重庆）若42log (34)log a b +=a b +的最小值是( )A ．6+B ．7+C ．6+D ．7+14．（2013•上海）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是( )A ．11a b，则(10)0x f >的解集为( )A ．{|1x x <-或2}x lg >-B ．{|12}x x lg -<<-C ．{|2}x x lg >-D ．{|2}x x lg <-16．（2013•福建）若221x y +=，则x y +的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[2-，0]C ．[2-，)+∞D ．(-∞，2]-17．（2013•重庆）关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为1(x ，2)x ，且2115x x -=，则(a = )A ．52B ．72C ．154D ．15218．（2013•山东）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为( ) A ．0B ．1C ．94D ．319．（2013•山东）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为( )A ．0B ．98C ．2D ．9420．（2012•浙江）若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．621．（2012•湖南）已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+，1l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时，ba的最小值为( )A ．B ．C ．D ．22．（2012•福建）下列不等式一定成立的是( )A ．21()(0)4lg x lgx x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≠∈C ．212||()x x x R +∈D ．211()1x R x >∈+23．（2012•重庆）已知22log 3log a =+，22log 9log b =-3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c =C ．a b c <<D ．a b c >>24．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a 和()b a b <，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a v >，0c <，给出下列三个结论：①c ca b>； ②c c a b <；③log ()log ()b a a c b c ->-．其中所有的正确结论的序号( ) A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③二．多选题（共1小题）27．（2020•海南）已知0a >，0b >，且1a b +=，则( )A ．2212a b + B ．122a b ->C ．22log log 2a b +-D 2b三．填空题（共30小题）28．（2020•天津）已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为． 29．（2020•江苏）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是． 30．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为． 31．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为． 32．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为．33．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为．34．（2019•上海）已知22214x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为． 35．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为． 36．（2018•天津）已知a ，b R ∈，且360a b -+=，则128a b+的最小值为． 37．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为．38．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是． 39．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 40．（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += ． 41．（2015•广东）不等式2340x x --+>的解集为．（用区间表示） 42．（2015•北京）32-，123，2log 5三个数中最大数的是．43．（2014•上海）若实数x ，y 满足1xy =，则222x y +的最小值为．44．（2014•辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为．45．（2014•陕西）设a ，b ，m ，n R ∈，且225a b +=，5ma nb +=的最小值为．46．（2014•湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为辆/小时；（Ⅰ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时． 47．（2014•浙江）已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是． 48．（2014•上海）已知a 、b R +∈．若1a b +=，则ab 的最大值是．49．（2013•全国）关于x 的方程220x ax ++=与220x x a --=有且仅有一个公共的实根，则a = ．50．（2013•上海）设常数0a >，若291a x a x++对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为．51．（2013•天津）设2a b +=，0b >，则当a = 时，1||2||a a b+取得最小值． 52．（2013•四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a = ．53．（2013•天津）设2a b +=，0b >，则1||2||a a b+的最小值为． 54．（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为 ()m ．55．（2013•广东）不等式220x x +-<的解集为． 56．（2012•四川）设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若221a b -=，则1a b -<； ②若111b a-=，则1a b -<；③若1=，则||1a b -<； ④若33||1a b -=，则||1a b -<．其中的真命题有．（写出所有真命题的编号） 57．（2012•湖南）不等式2560x x -+的解集为．四．解答题（共3小题）58．（2018•江苏）若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 59．（2017•江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +． 60．（2015•陕西）已知关于x 的不等式||x a b +<的解集为{|24}x x <<（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅰ2012-2021高考真题数学汇编：等式与不等式参考答案一．选择题（共26小题）1．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是( )A ．224y x x =++B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．222x x y -=+D ．4y lnx lnx=+【分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A ，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B ，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C ，利用特殊值验证，即可判断选项D ．【解答】解：对于A ，2224(1)33y x x x =++=++，所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0|sin |1x <，所以4|sin |2|sin |4|sin |y x x x =+=，当且仅当4|sin ||sin |x x =，即|sin |2x =时取等号，因为|sin |1x ，所以等号取不到，所以4|sin |4|sin |y x x =+>，故选项B 错误；对于C ，因为20x >，所以24422222422x x x x xxy -=+=+⋅=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当1x e=时，1414541y ln e ln e=+=--=-<，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误．故选：C ．【点评】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题． 2．（2020•上海）下列不等式恒成立的是( )A ．222a b ab +B ．222a b ab +-C ．2||a b ab +D ．222a b ab +-【分析】利用2()0a b +恒成立，可直接得到222a b ab +-成立，通过举反例可排除ACD ．【解答】解：A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b +，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+-，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式2||a b ab +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +-不成立，故D 错误．故选：B ．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题． 3．（2019•新课标Ⅰ）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则(MN = )A ．{|43}x x -<>，且1ab =，则下列不等式成立的是( )A ．21log ())2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2ab a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 【分析】0a b >>，且1ab =，可取2a =，12b =．代入计算即可得出大小关系．【解答】解：0a b >>，且1ab =，∴可取2a =，12b =．则14a b +=，2112228a b ==，22215log ()(2)(1,2)22a b log log +=+=∈，∴21log ()2a b a b a b<+<+．故选：B ．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．（2016•北京）已知x ，y R ∈，且0x y >>，则( )A ．110x y-> B ．sin sin 0x y ->C ．11()()022x y -<D ．0lnx lny +>【分析】x ，y R ∈，且0x y >>，可得：11x y <，sin x 与sin y 的大小关系不确定，11()()22x y <，lnx lny +与0的大小关系不确定，即可判断出结论．【解答】解：x ，y R ∈，且0x y >>，则11x y <，sin x 与sin y 的大小关系不确定，11()()22x y <，即11()()022x y -<，lnx lny +与0的大小关系不确定．故选：C ．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．（2015•上海）若0a b <<，则下列不等式恒成立的是( )A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <【分析】若1a =-，1b =，则A ，B ，C 不正确，对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确．【解答】解：0a b <<，若1a =-，1b =，则A ，B ，C 不正确，对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确，故选：D ．【点评】本题考查了不等式的大小比较，特殊值法是常用的方法，属于基础题． 7．（2015•上海）已知0a >，0b >，若4a b +=，则( )A ．22a b +有最小值 BC ．11a b+有最大值 D 有最大值【分析】根据基本不等式的性质判断即可．【解答】解：0a >，0b >，且4a b +=， 2222()2162162()16882a b a b a b ab ab ++=+-=--=-=，有最小值，故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．8．（2015•上海）对于任意实数a 、b ，2()a b kab -均成立，则实数k 的取值范围是( )A ．{4-，0}B ．[4-，0]C ．(-∞，0]D ．(-∞，4][0-，)+∞【分析】化简可得22(2)a b k ab ++恒成立，从而可得222k -+．【解答】解：2()a b kab -， 222a b kab ab ∴++，即22(2)a b k ab ++恒成立，故222k -+，故[4k ∈-，0]，故选：B ．【点评】本题考查了不等关系的应用及基本不等式的应用． 9．（2015•重庆）函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是( )A ．[3-，1]B ．(3,1)-C ．(-∞，3][1-，)+∞D ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域．【解答】解：由题意得：2230x x +->，即(1)(3)0x x -+> 解得1x >或3x <-所以定义域为(-∞，3)(1-⋃，)+∞ 故选：D ．【点评】本题主要考查函数的定义域的求法．属简单题型．高考常考题型． 10．（2015•福建）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】将(1,1)代入直线得：111a b +=，从而11()()a b a b a b+=++，利用基本不等式求出即可．【解答】解：直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)， ∴111(0,0)a b a b+=>>，所以11()()2224b a b a b a b a b a b a +=++=+++⋅=，当且仅当b aa b=即2a b ==时取等号， a b ∴+最小值是4，故选：C ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，求出111a b +=，得到11()()a b a b a b+=++是解题的关键．11．（2015•湖南）若实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B ．2C ．D ．4【分析】由12a b+=，可判断0a >，0b >，然后利用基础不等式1222a b ab +即可求解ab 的最小值【解答】解：12a b+ 0a ∴>，0b >，1222a b ab+（当且仅当2b a =时取等号）， ∴22ab ab，解可得，22ab ，即ab 的最小值为故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题12．（2015•陕西）设()f x lnx =，0a b <<，若p f =，()2a bq f +=，1(2r f =（a ）f +（b ）)，则下列关系式中正确的是( ) A ．q r p =D ．p r q =>【分析】由题意可得1()2p lna lnb =+，()()2a b q ln ln ab p +==，1()2r lna lnb =+，可得大小关系．【解答】解：由题意可得若11()22p f ln lnab lna lnb ====+，()()()22a b a bq f ln ln ab p ++===， 1(2r f =（a ）f +（b ）1)()2lna lnb =+，p r q ∴=<，故选：B ．【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．13．（2014•重庆）若42log (34)log a b +=a b +的最小值是( )A ．6+B ．7+C ．6+D ．7+【分析】利用对数的运算法则可得304ab a =>-，4a >，再利用基本不等式即可得出【解答】解：340a b +>，0ab >， 0a ∴>．0b >42log (34)log a b +=， 44log (34)log ()a b ab ∴+=34a b ab ∴+=，4a ≠，0a >．0b >∴304ab a =>-， 4a ∴>，则33(4)121212123(4)72(4)7744444a a ab a a a a a a a a a a -++=+=+=++=-++-+=-----，当且仅当4a =+故选：D ．【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题． 14．（2013•上海）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是( )A ．11a b，故A 不正确．可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确．可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确．故选：D ．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．15．（2013•安徽）已知一元二次不等式()0f x <的解集为{|1x x <-或1}2x >，则(10)0x f >的解集为( )A ．{|1x x <-或2}x lg >-B ．{|12}x x lg -<<-C ．{|2}x x lg >-D ．{|2}x x lg <-【分析】由题意可得(10)0x f >等价于11102x -<<，由指数函数的单调性可得解集．【解答】解：由题意可知()0f x >的解集为1{|1}2x x -<<，故可得(10)0x f >等价于11102x -<<，由指数函数的值域为(0,)+∞一定有101x >-，而1102x<可化为121010lg x<，即21010x lg -<，由指数函数的单调性可知：2x lg <- 故选：D ．【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题． 16．（2013•福建）若221x y +=，则x y +的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[2-，0]C ．[2-，)+∞D ．(-∞，2]-【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x y +的不等关系式，进而可求出x y +的取值范围．【解答】解：1222(22xyx =+12)y，变形为124x y+，即2x y +-，当且仅当x y =时取等号．则x y +的取值范围是(-∞，2]-．故选：D ．【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．17．（2013•重庆）关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为1(x ，2)x ，且2115x x -=，则(a = )A ．52B ．72C ．154D ．152【分析】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a 的值即可．【解答】解：因为关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为1(x ，2)x ，所以122x x a +=⋯①，2128x x a ⋅=-⋯②，又2115x x -=⋯③，①24-⨯②可得2221()36x x a -=，代入③可得，221536a =，解得15562a =±=±，因为0a >，所以52a =．故选：A ．【点评】本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力． 18．（2013•山东）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为( ) A ．0B ．1C ．94D ．3【分析】依题意，当xyz取得最大值时2x y =，代入所求关系式212()f y x y z =+-，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+，又x ，y ，z 均为正实数，∴22111434432xy xy x y z x xy y x y x===-++-⨯（当且仅当2x y =时取“=” )，∴()1max xyz=，此时，2x y =． 2222234(2)3242z x xy y y y y y y ∴=-+=-⨯⨯+=，∴222121111(1)11x y z y y y y +-=+-=--+，当且仅当1y =时取得“=”，满足题意． ∴212x y z+-的最大值为1．故选：B ．【点评】本题考查基本不等式，由xyz取得最大值时得到2x y =是关键，考查配方法求最值，属于中档题． 19．（2013•山东）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为( ) A ．0B ．98C ．2D ．94【分析】将2234z x xy y =-+代入zxy，利用基本不等式化简即可求得2x y z +-的最大值．【解答】解：22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+，又x ，y ，z 为正实数，∴443231z x y x y xy y x y x=+--=（当且仅当2x y =时取“=” )，即2(0)x y y =>，22222(34)x y z y y x xy y ∴+-=+--+ 242y y =-22(1)22y =--+． 2x y z ∴+-的最大值为2．故选：C ．【点评】本题考查基本不等式，将2234z x xy y =-+代入z xy ，求得z xy取得最小值时2x y =是关键，考查配方法求最值，属于中档题．20．（2012•浙江）若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．6【分析】将35x y xy +=转化成31155x y+=，然后根据3134()(34)55x y x y x y +=++，展开后利用基本不等式可求出34x y +的最小值．【解答】解：正数x ，y 满足35x y xy +=，∴31155x y+= 31941231312334()(34)2555555555y x y x x y x y x y x y y∴+=++=++++= 当且仅当12355y xx y=时取等号， 345x y ∴+，即34x y +的最小值是5．故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．21．（2012•湖南）已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+，1l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时，ba的最小值为( ) A．B．C．D．【分析】设A ，B ，C ，D 各点的横坐标分别为A x ，B x ，C x ，D x ，依题意可求得为A x ，B x ，C x ，D x 的值，||A C a x x =-，||B D b x x =-，利用基本不等式可求得当m 变化时，ba的最小值．【解答】解：设A ，B ，C ，D 各点的横坐标分别为A x ，B x ，C x ，D x ，则2log A x m -=，2log B x m =；28log 21C x m -=+，28log 21D x m =+； 2m A x -∴=，2mB x =，8212m C x -+=，8212m D x +=．||A C a x x ∴=-，||B D b x x =-，∴888212121821||22||222||22mm m mB D m m m AC m x x b a x x ++++--+--====--．又0m >，8181117(21)28212212222m m m m ∴+=++-⨯-=++（当且仅当32m =时取“=” ) ∴72282b a= 故选：B ．【点评】本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到||||B D AC x x b a x x -=-是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题． 22．（2012•福建）下列不等式一定成立的是( )A ．21()(0)4lg x lgx x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≠∈C ．212||()x x x R +∈D ．211()1x R x >∈+ 【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C 选项用配方法验证，A ，B ，D 三个选项代入特殊值排除即可【解答】解：A 选项不成立，当12x =时，不等式两边相等； B 选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出1sin 2sin x x+； C 选项是正确的，这是因为2212||()(||1)0x x x R x +∈⇔-；D 选项不正确，令0x =，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．综上，C 选项是正确的．故选：C ．【点评】本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键23．（2012•重庆）已知22log 3log a =+，22log 9log b =-3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c =C ．a b c <<D ．a b c >>【分析】利用对数的运算性质可求得2log 3a=2log 3b=1>，而30log 21c <=<，从而可得答案．【解答】解：222log 3log log 3a =+2222log 9log log log 1b =-==>，1a b ∴=>，又30log 21c <=<， a b c ∴=>．故选：B ．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题． 24．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a 和()b a b <，其全程的平均时速为v ，则( )A．a v <B．v =C2a b v +<<D ．2a bv += 【分析】设小王从甲地到乙地按时速分别为a 和b ，行驶的路程S ，则22s abv s sa ba b==++及0a b <<，利用基本不等式及作差法可比较大小【解答】解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a 和b ，行驶的路程S 则22s abv s s a ba b==++ 0a b <<0a b ∴+>>∴2ab a b <+222()0()ab ab a ab a b a v a a a b a b a b----=-==>+++v a ∴>综上可得，a v <<故选：A ．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用． 25．（2012•大纲版）已知x ln π=，5log 2y =，12z e -=，则( )A ．x y z <，510log 22y <=<，12112z e ->=>，即可得到答案．【解答】解：1x ln lne π=>=，5510log 2log 2<<=，即1(0,)2y ∈； 12112e e-=>>=，即1(2z ∈，1)， y z x ∴<<．故选：D ．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题． 26．（2012•湖南）设1a b >>，0c <，给出下列三个结论：①c ca b>； ②c c a b <；③log ()log ()b a a c b c ->-．其中所有的正确结论的序号( ) A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③【分析】利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数c y x =的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．【解答】解：①()c c b a c a b ab --=，1a b >>，()00c c b a cc a b ab-<∴-=>，故c c a b >正确；②考查幂函数c y x =，0c c y x <∴=在(0,)+∞上是减函数，而0a b >>，则c c a b <正确； ③当1a b >>时，有log ()log ()log ()b b a a c b c b c ->->-；正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题．二．多选题（共1小题）27．（2020•海南）已知0a >，0b >，且1a b +=，则( )A ．2212a b + B ．122a b ->C ．22log log 2a b +-D 2b【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知0a >，0b >，且1a b +=，所以222()22a b a b ++，则2212a b +，故A 正确． ②利用分析法：要证122a b ->，只需证明1a b ->-即可，即1a b >-，由于0a >，0b >，且1a b +=，所以：0a >，110b -<-<，故B 正确．③22222log log log log ()22a b a b ab ++==-，故C 错误． ④由于0a >，0b >，且1a b +=，利用分析法：要证2b 成立，只需对关系式进行平方，整理得2a b ab ++，即1ab ，故122a b ab+=，当且仅当12a b ==时，等号成立．故D 正确．故选：ABD ．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三．填空题（共30小题）28．（2020•天津）已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为 4 ．【分析】由118882222a b a b a b a b ab a b a b++++=+=++++，利用基本不等式即可求出．【解答】解：0a >，0b >，且1ab =，则1188882422222a b a b a b a b a b ab a b a b a b+++++=+=+=++++，当且仅当82a b a b+=+，即2a =，2b =2a =，2b =+取等号，故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题． 29．（2020•江苏）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是45．【分析】方法一、由已知求得2x ，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；方法二、由2224(5)4x y y =+，运用基本不等式，计算可得所求最小值．【解答】解：方法一、由22451x y y +=，可得42215y x y -=，由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y-++=+==+ 221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =，可得22x y +的最小值为45；方法二、222222222254254(5)4()()24x y y x y yx y ++=+=+，故2245x y +，当且仅当222542x y y +==，即212y =，2310x =时取得等号，可得22x y +的最小值为45．故答案为：45．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题． 30．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 98 ．【分析】根据基本不等式可得．【解答】解：113222y y x x =+∴239()822y x =；故答案为：98【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．31．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 2(1,)3- ．【分析】解一元二次不等式即可．【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03x x +-<；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213x -<<；即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-；故答案为：2(1,)3-；【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题． 32．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为 92．【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：4222x y xy =+， 02xy ∴<， 552xy，故：5592222xy ++=；（当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立），故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．33．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，=；由基本不等式有：22xy当且仅当时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．34．（2019•上海）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ．【分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到a 的值．【解答】解：由题意，可知：方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-．【点评】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题．35．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x xy y +=，则【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，1AB =，的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，可得A ，B 两点在圆221x y +=上，且111cos 2OA OB AOB =⨯⨯∠=，即有60AOB ∠=︒，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，要求之和的最大值，此最大值是中点M 到直线1x y +=的距离的两倍，而中点M 的轨迹是以原点O为半径的圆，所以A ，B 点在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行，可设:0AB x y t ++=，(0)t >，由圆心O 到直线AB的距离d =，可得1=，解得t =，1=【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．36．（2018•天津）已知a ，b R ∈，且360a b -+=，则128a b +的最小值为 14．【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：a ，b R ∈，且360a b -+=，可得：36b a =+，则66611111222228222224a a aab a aa++=+=+=，当且仅当6122a a +=．即3a =-时取等号．函数的最小值为：14．故答案为：14．【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．37．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 4 ．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将1ab拆成1122ab ab +，利用均值不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a ，b R ∈，0ab >， ∴444441241a b a b ab ab+++2241a b ab+=114244ab ab ab ab=+=，当且仅当44414a bab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b a b⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a ，b =或a =，b =时取“=”；【解法二】a，b R∈，0ab>，∴443333441411411442222a b a b a bab b a ab ab b a ab ab++=+++=，当且仅当4441 4a babab⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214aba b⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a，b=或a=，b=时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．38．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和60064xx=⨯+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和6009006442240xx=⨯+⨯⨯=（万元）．当且仅当30x=时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．39．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya ba b+=>>过点(1,2)，则2a b+的最小值为8．【分析】将(1,2)代入直线方程，求得121a b+=，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a b+的最小值．【解答】解：直线1(0,0)x ya ba b+=>>过点(1,2)，则121a b+=，由124442(2)()22442448a b a b aa b a ba b b a b a b+=+⨯+=+++=+++=+=，当且仅当4a bb a=，即12a=，1b=时，取等号，故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题． 40．（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += 2 ．【分析】根据增广矩阵的定义得到21x y =⎧⎨=⎩是方程组2ax y b =⎧⎨=⎩的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2ax y b =⎧⎨=⎩的解，即221a b =⎧⎨=⎩，则112a b +=+=，故答案为：2．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． 41．（2015•广东）不等式2340x x --+>的解集为 (4,1)- ．（用区间表示）【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于2340x x +-<，所以(4)(1)0x x +-<，所以41x -<<；所以不等式的解集为(4,1)-；故答案为：(4,1)-．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题．42．（2015•北京）32-，123，2log 5三个数中最大数的是 2log 5 ．【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得3021-<<，12132<<，22log 5log 42>=，即可得到最大数．【解答】解：由于3021-<<，12132<<， 22log 5log 42>=，则三个数中最大的数为2log 5．故答案为：2log 5．【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题．43．（2014•上海）若实数x ，y 满足1xy =，则222x y +的最小值为【分析】由已知可得1y x=，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：1xy =，22222x y xy ∴+=，当且仅当222x y =，即x = 故答案为：【点评】本题考查基本不等式，属基础题．44．（2014•辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 2- ．【分析】首先把：224240a ab b c -+-=，转化为2215()4416c b a b =-+，再由柯西不等式得到2|2|a b +，分别用b 表示a ，c ，在代入到345a b c-+得到关于b 的二次函数，求出最小值即可．【解答】解：224240a ab b c -+-=，∴2222115()42416c b a ab b a b =-+=-+由柯西不等式得，222222156[()][2][2()]|2|416415b b ab a b a b -++-+=+故当|2|a b +最大时，有 4462b a -=∴23,102a b c b ==∴22234534511211()(2)2310222a b c b b b b bb -+=-+=-=--，当12b =时，取得最小值为2-．故答案为：2-【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．45．（2014•陕西）设a ，b ，m ，n R ∈，且225a b +=，5ma nb +=【分析】根据柯西不等式22222()()()a b c d ac bd +++当且仅当ad bc =取等号，问题即可解决．【解答】解：由柯西不等式得，22222()()()ma nb m n a b +++ 225a b +=，5ma nb +=，22()5m n ∴+∴【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．46．（2014•湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 1900 辆/小时；（Ⅰ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时．【分析】（Ⅰ）把l 代入，分子分母同时除以v ，利用基本不等式求得F 的最大值．（Ⅰ）把l 代入，分子分母同时除以v ，利用基本不等式求得F 的最大值最后于（Ⅰ）中最大值作差即可．【解答】解：（Ⅰ）27600076000121182018v F v v l v v==++++，121212122v v+=，当11v =时取最小值， 76000190012118F v v∴=++，故最大车流量为：1900辆/小时；（Ⅰ）2276000760007600010018201810018v v F v v l v v v v===++++++，100210020v v+=， 2000F ∴，20001900100-=（辆/小时）故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时．故答案为：1900，100【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足．47．（2014•浙江）已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是．【分析】由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b 、c 是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a 的不等式后确定a 的取值范围．【解答】解：0a b c ++=，2221a b c ++=， b c a ∴+=-，2221b c a +=-， 1(2)2bc bc ∴=2221[()()]2b c b c =+-+ 212a =-b ∴、c 是方程：22102x ax a ++-=的两个实数根，∴△02214()02a a ∴--即223a63a即a【点评】本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a 的取值范围．48．（2014•上海）已知a 、b R +∈．若1a b +=，则ab 的最大值是14．【分析】ab 的取值范围．【解答】解：a ，(0,)b ∈+∞，1a b +=，2a b ab ∴+，即1ab ，当且仅当a b =时取等号，。

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编试卷含答案(不等式)

2
2
故 sin cos sin cos sin cos 3 ， 2
故 sin cos ,sin cos ,sin cos 不可能均大于 1 .
2
取，，，
6
3
4
则 sin cos 1 1 ,sin cos 6 1 ,sin cos 6 1 ，
42
42
，
上下平移直线 y 3x z ，数形结合可得当直线过点 A 时, z 取最小值，
此时 zmin 31 3 6 .
故选：C.
3．B
x 1 0
【解析】画出满足约束条件
x
y
0
的可行域，如下图所示：
2x 3y 1 0
目标函数 z x 1 y 化为 y 2x 2z ， 2
x 1
x 1
_________．
20．（2020·江苏）已知 5x2 y2 y4 1(x, y R) ，则 x2 y2 的最小值是_______．
x y 0, 21．（2020·全国（文））若 x，y 满足约束条件 2x y 0，，则 z=3x+2y 的最大值为
x 1,
_________．
2x y 2 0, 22．（2020·全国（理））若 x，y 满足约束条件 x y 1 0, 则 z=x+7y 的最大值为
__________．
34．（2017·山东（文））若直线 x y 1(a＞0，b＞0) 过点（1,2）,则 2a+b 的最小值为 ab
______.
四、双空题
x 2,
35．（2019·北京（文））若
x，y
满足
y
1,
则 y x 的最小值为__________，

全国各地高考试题分类汇编 (文数)不等式(全Word,精心排版)

2014年全国各地高考试题分类汇编（文数）不等式（2014安徽文数）13．不等式组20240320x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，表示的平面区域的面积为．【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由320240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得82x y =⎧⎨=-⎩．所以()0,2A ，()2,0B ，()8,2C -．直线240x y +-=与x 轴的交点D 的坐标为()4,0．因此112222422ABC ABD BCD S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△．故答案为4．x+（2014北京文数）13．若x ，y 满足11010y x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩………，则z y =+的最小值为．【解析】约束条件11010y x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩………，表示的平面区域如图中阴影部分，作出基本直线00l y +=，经平移可得z y =+在点()0,1A 处取得最小值，其最小值为1．（2015大纲文数）3．不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x > 【解析】由()20x x +>得0x >或2x <-；由1x <得11x -<<，所以不等式组的解集为{}01x x <<，故选C ．（2015大纲文数）15．设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≤，则4z x y =+的最大值为．【解析】作出可行域（如图所示的阴影部分），当4z x y =+经过点A 时，目标函数z 取得最大值．由23x y x y +=⎧⎨-=⎩得()1,1A ，所以max 5z =．（2014福建文数）9．要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m 、b m ，则4ab=．容器的总造价为()()210802080160ab a b a b ++⨯=+++=…（元）（当且仅当a b =时等号成立）．故选C ．（2014福建文数）11．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，平面区域70,30,0.x y x y y Ω+-⎧⎪=-+⎨⎪⎩≤≥≥，若圆心C Ω∈，且圆C与x 轴相切，则22a b +的最大值为（）A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为MNP △内部及边界．因为圆C 与x 轴相切，所以1b =．显然当圆心C 位于直线1y =与70x y +-=的交点()6,1处时，max 6a =．所以22ab +的最大值为226137+=．故选C ．（2014广东文数）4．若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟，则2z x y =+的最大值等于（） A ．7 B ．8 C ．10 D ．11【解析】由约束条件画出如图所示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+．当直线2y x z =-+过点A 时，z 有最大值，由428x x y =⎧⎨+=⎩得()4,2A ，所以max 24210z =⨯+=．故答案为C ．（2014湖北文数）4．若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是（）A ．2B ．4C ．7D ．8【解析】画出可行域如图（阴影部分），设目标函数为2z x y =+，由42x y x y +=⎧⎨-=⎩解得()3,1A ，当目标函数过()3,1A 时取得最大值，所以max 2317z =⨯+=，故选C ．4（2014湖北文数）16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（1）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为辆/小时；（2）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时．【解析】（1）当 6.05l =时，2760001820 6.05vF v v =++⨯，所以2760007600019001211812118v F v v v v ===++++…，当且仅当121v v =，即11v =时取“=”．所以最大车流量F 为1900辆/小时．（2）当5l =时，276000760001001820518v F v v v v ==++⨯++，所以2000F =…，当且仅当100v v =，即10v =时取“=”．所以最大车流量比（1）中的最大车流量增加20001900100-=辆/小时．（2014湖南文数）13．若变量y x ，满足约束条件41y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值为．【解析】二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的ABC △的内部及其边界，由2z x y =+得2y x z =-+．当直线2y x z =-+过B 点时，z 最大．由41x y y +=⎧⎨=⎩得()3,1B ，因此，当3x =，1y =时，max 2317z =⨯+=，故答案为7．（2014辽宁文数）14．已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则目标函数34z x y =+最大值为．【解析】如图，可行域为ABC △内部及其边界．由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得()2,3A ．当动直线340x y z +-=过点A 时，max 324318z =⨯+⨯=．3x（2014辽宁文数）16．对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为．【解析】由题意得()2224226c a b ab a b ab =+-=+-．因为2222a b ab +⎛⎫⎪⎝⎭…，当且仅当2a b =时取“=”，所以22632a b ab +⎛⎫-- ⎪⎝⎭…，所以()()222226232a b c a b ab a b +⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭…，即()224a b c +…，所以2a b +…，所以当且仅当2a b =时，2a b +有最大值22a a +=24c a =，所以22212412421111124a b c a a a a a a ⎛⎫++=++=+=+-- ⎪⎝⎭…，所以124a b c ++的最小值为1-．（2014山东文数）10．已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩……当目标函数z ax by =+()0,0a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（）A ．5B ．4CD ．2【解析】不等式组10230x y x y --⎧⎨--⎩……表示的平面区域为图中的阴影部分．由于0a >，0b >，所以目标函数z ax by =+在点()2,1A处取得最小值，即2a b +=解法一：())2222222520444a b a aa +=+=-+=-+…，即22a b +的最小值为4．2a b +=2=，即22a b +的最小值为4．故选B（2014四川文数）5．若0a b >>，0c d <<，则一定有（）A ．a b d c > B ．a bd c< C ．a b c d > D ．a b c d < 【解析】因为0c d <<，所以110c d>>，两边同乘1-，得110d c ->->，又0a b >>，故由不等式的性质可知0a b d c ->->，两边同乘1-，得a bd c<．故选B ．（2014天津文数）2．设变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩………，则目标函数2z x y =+的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由线性约束条件画出可行域（如图所示）．由2z x y =+，得1122y x z =-+，12z 的几何意义是直线1122y x z =-+在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线1122y x z =-+过点()1,1A 时，z 最小，最小值为3，故选B ．（2014新课标1文数）11．设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（）A ．-5B ．3C ．-5或3D ．5或-3 【解析】二元一次不等式组表示平面区域如图所示，其中11,22a a A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭．由z x ay =+得1z y x a a =-+．由图可知当111a--剟时，z 可取得最小值，此时1a …或1a -…．又直线1zy x a a=-+过A 点时，z 取得最小值，因此11722a a a -++⨯=，化简得22150a a +-=，解得3a =或5a =-，均符合题意，故选C ．（2014新课标2文数）9．设x y ,满足约束条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥，则2z x y =+的最大值为（）A ．8B ．7C ．2D ．1【解析】约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y =+，得122z y x =-+，2z 为直线122zy x =-+在轴上的截距，要使z 最大，则需2z 最大，所以当直线122zy x =-+经过点()3,2B 时，z 最大，最大值为3227+⨯=，故选B ．（2014浙江文数）12．若实数,x y 满足240101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩………，则x y +的取值范围是_____________．【解析】画出可行域如图，可行域为ABC △的内部及其边界，设x y t +=，则y x t =-+，t 的几何意义为直线y x t =-+在y 轴上的截距，当直线通过点A ，B 时，t 取得最小值与最大值，可求得A ，B 两点的坐标分别为()1,0和()2,1，所以13t剟，即x y +的取值范围是[]1,3．（2014浙江文数）16．已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是____________．【解析】因为222b a bc +… ，即()()2222222b cbc bc b c +++=+…，所以()2222b c b c ++…，由0a b c ++=，得b c a +=-，由2221a b c ++=，得()22222122b c a a b c +-=+=…，所以223a …，所以a 剟a（2014重庆文数）9．若42log 34log a b a b +=+（）的最小值是（） A ．326+ B ．327+ C ．346+ D ．347+【解析】因为()424log 34log log a b ab +==，所以34a b ab +=，且0a >，0b >，故341b a+=，则()34a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭3434a b b a =+++≥34=a b b a ，即2234a b =时取等号．故选D。