大学数学(高数微积分)函数的单调性(课堂讲义)
函数的单调性 课件
知识点二 函数的单调区间 思考 我们已经知道 f(x)＝x2 的减区间为(－∞，0]，f(x)＝1x的减区间为 (－∞，0)，这两个减区间能不能交换？ 答案 f(x)＝x2 的减区间可以写成(－∞，0)，而 f(x)＝1x的减区间 (－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为 0 不属于 f(x)＝1x的定义域.
类型三 用单调性解不等式
例 3 (1) 已 知 函 数 f(x) 在 区 间 (a ， b) 上 是 增 函 数 ， x1 ， x2∈(a ， b) 且 f(x1)<f(x2)，求证：x1<x2；
证明 假设x1，x2∈(a，b)且x1≥x2. 则由f(x)在区间(a，b)上是增函数， 得f(x1)≥f(x2)，与已知f(x1)<f(x2)矛盾，故假设不成立. ∴x1<x2.
函数的单出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图 象的升降情况如何？ 答案 两函数的图象如下：
函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的； 函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.
一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则 函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应 区间称为减区间.
(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的
取值范围. －1<1－a<1
解 根据(1)，f(1－a)<f(2a－1)等价于－1<2a－1<1 ，
1－a>2a－1
解得 0<a<23，
即所求
a
的取值范围是
2 0<a<3.
(2)写出y＝x2－3|x|＋2的单调区间. 解 由 f(x)＝xx22－＋33xx＋＋22，，xx≥<00，， 画出草图：
函数单调性课件
图象 特征
数量 特征
从左至右，图象上升
y随x的增大而增大 y x >0
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 y x <0
增函数
在区间I内
减函数
在区间I内
y
f(x2)
图 象 f(x1)
y
· y=f(x) f(x1)
·y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
0
x1
x2 x
从左至右，图象下降
解：函数 y f (x) 的单调区间有 [-4，-2），
[-2，1），[1，2）， [2，3]
其中y f (x) 在区间[-4，-2）， [1，2）
上是减函数，在区间[-2，1），[2，3]上 是增函数
快乐之旅
1
3
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6个金蛋你可以任选一个，如果出现“恭喜你”的字样， 你将直接过关；否则将有考验你的数学问题，当然你可以 自己作答，也可以求助你的同学.
如果对于函数y=f(x)在给定区间I
上的任意两个不相等的值x1, x2，都有
y
x <0
那么就说f(x)在这个区间上是单调
减函数. I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
小试牛刀
如图是定义在区间[-4，3]上的函数 y f (x) 的图象，根据图象说出y f (x) 的单调区间，以及在每个单调区间上，y f ( x )是增函数还是减函数.
·y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
图象 特征
从左至右，图象上升
数学课件：函数的单调性
如果函数在某区间的两端点取值 相等，则函数在该区间内可能存 在拐点或极值点。
常见函数的单调性
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
一次函数在其定义域内是单 调的，其单调性取决于一次 项系数的正负。一次项系数 大于0时，函数单调递增； 一次项系数小于0时，函数 单调递减。
二次函数的单调性取决于二 次项系数和一次项系数的正 负。当二次项系数大于0时 ，函数开口向上，对称轴左 侧函数单调递减，右侧函数 单调递增；当二次项系数小 于0时，函数开口向下，对 称轴左侧函数单调递增，右 侧函数单调递减。
要点二
详细描述
在函数中，如果函数在某个区间内单调递增或递减，那么 我们可以根据这个性质来确定参数的取值范围。例如，如 果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上单调递增，那么对于任意的 $x_1, x_2 in [a, b]$，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) < f(x_2)$。因此，如果函数在某个区间内单调递增，那么参 数必须满足一定的条件才能使函数在这个区间内单调递增 。
函数单调性的几何解释
单调性的几何解释
在平面坐标系中，如果函数图像在某区间内是上升或下降的，则该函数在此区间 内是单调递增或单调递减的。
单调性的判定方法
通过观察函数图像或利用导数来判断函数的单调性。如果函数图像在某区间内是 上升或下降的，或者导数大于0或小于0，则该函数在此区间内是单调递增或单调 递减的。
02
判断函数单调性的方法
导数与函数单调性
导数大于0，函数单 调递增；导数小于0 ，函数单调递减。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数的符号变化点可 能是函数的拐点或极 值点。
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
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03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
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单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
函数单调性课件(公开课)ppt
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
函数函数的单调性课件
定义法、导数法（对于可导函数） 。
复合函数的单调性例题解析
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复合函数单调性的概念、性质及判定方法
02 03
详细描述
复合函数单调性取决于内外层函数单调性的关系。若外层函数单调递增 （减），内层函数单调递增（减），则复合函数为单调递增（减）函数 。
判定方法
根据复合函数单调性的性质进行判断。
易错点提醒
在求解函数的单调性问题时，容易忽略函数的定义域、导数的正负与函数单调性的关系以及如何根据 题目要求进行分类讨论。同时需要注意极值点不一定是拐点，要根据题目要求进行求解。
THANKS
感谢观看
05
总结与回顾
函数单调性的定义与性质回顾
函数单调性的定义
函数在某区间上的单调性是指函 数在该区间内随着自变量的增加 ，函数值随之增加（或减少）。
函数单调性的性质
函数的单调性可以通过导数来刻 画，如果导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的应用与解题技巧总结
详细描述
函数单调性可以用于优化问题、经济问题、交通问题等多个领域。例如，在投资决策中，通过观察股票价格的波 动和单调性，可以更好地把握投资机会。在交通规划中，通过观察交通流量的变化和单调性，可以更好地规划交 通路线。
04
函数单调性的例题解析
单调递增函数的例题解析
总结词
单调递增函数的概念、性质及判 定方法
03
函数单调性的应用
利用函数单调性求函数的值域
总结词
函数单调性是求解函数值域的重要工具。
详细描述
通过观察函数在定义域内的单调性，可以容易地求出函数的值域。例如，对于一 次函数，其在定义域内是单调的，可以直接根据定义域和单调性求出值域。对于 二次函数，可以通过观察其对称轴和顶点位置，结合单调性来求解值域。
函数的单调性公开课课件
在函数值比较中的应用
1 2
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区 间内单调，则可以直接比较它们的大小。
确定函数值的范围
通过判断函数的单调性，可以确定函数在某个区 间内的取值范围。
3
举例
比较sin(π/4)和sin(π/6)的大小。由于正弦函数 在[0, π/2]区间内单调递增，因此sin(π/4) > sin(π/6)。
06
复合函数的单调性
复合函数的定义和性质
复合函数的定义
设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$， 函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$， 且$g(D_g) subseteq D_f$，则称函 数$y=f[g(x)]$为$x$的复合函数。
复合函数的性质
复合函数保持原函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等基本性质。
以直观地判断函数在各个 区间内的单调性。
判断单调区间
根据图像的形状和走势， 确定函数在各个区间内的 单调性。
图像的绘制
通过描点法、图像变换法 等方法，绘制出函数的图 像。
04
常见函数的单调性
一次函数
一次函数单调性
一次函数$f(x) = ax + b$（$a neq 0$）在其定 义域内单调增加或减少，取决于系数$a$的正负。
总结与展望
课程总结
函数的单调性定义
详细解释了函数单调性的定义，包括增函数、减函数以及常数函 数的特性。
判断函数单调性的方法
介绍了如何通过导数、二阶导数以及函数的图像来判断函数的单调 性。
函数单调性的应用
举例说明了函数单调性在解决实际问题中的应用，如优化问题、经 济学中的边际分析等。
函数的单调性(公开课课件)
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
格单调的。
函数单调性的扩展
05
多变量函数的单调性
01 02
定义
对于多变量函数，如果函数在某个区域内的任意两点x1和x2，当x1<x2 时，函数值f(x1)<=f(x2)，则称函数在此区间内单调递增；反之，则称 函数在此区间内单调递减。
判断方法
通过求导数或求偏导数，判断函数的增减性。
03
应用
在经济学、物理学等领域中，多变量函数的单调性有着广泛的应用。
严格单调函数的反例
总结词
非严格单调函数
详细描述
严格单调函数在其整个定义域内单调递增或递减，没有拐点或水平切线。反例可以是通 过构造一个有拐点或水平切线的函数来证明。例如，函数$f(x) = x^3 + x$在$(-infty, +infty)$内是严格单调递增的，但如果在某点处添加一个水平切线，则该函数不再是严
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
高数课件12单调性的判定
单调增函数的应用：在解决实际问题时，可以利用单调增函数的性质来简化计算或证 明结论
单调减函数的定义
添加 标题
单调减函数：对于定义域内的任意x1,x2， 如果x1>x2，则f(x1)<f(x2)
添加 标题
单调减函数的图像：在定义域内，函数图 像是向下倾斜的
单调性在数学分析、高等数学等课程中具有重要地位，是学习数学的重要基础
感谢您的耐心观看
汇报人：
添加 标题
单调减函数的性质：如果函数f(x)在区间 [a,b]上是单调减函数，那么f(x)在区间 [a,b]上的最大值是f(a)，最小值是f(b)
添加 标题
单调减函数的应用：在解决实际问题时， 可以利用单调减函数的性质来简化计算或 证明结论。
单调性的判定方法
定义法
单调性的定义：函数在某点处的导数大于0，则函数在该点处单调递增；函数在某点处的导数小 于0，则函数在该点处单调递减。
单调性的判定方法：通过计算函数在某点处的导数，判断其符号，从而确定函数的单调性。
导数的计算方法：使用导数公式或导数表进行计算。
单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用单调性进行求解，如求极值、最值等。
导数法
导数定义：函数在某一点的切线斜率 导数性质：导数是函数在某一点的切线斜率 导数判定：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减 导数应用：判断函数单调性，求极值、最值等
单调性在解题中的应用技巧
注意函的定义域和值域
利用单调性判断函数的极 值和拐点
利用单调性求解不等式
利用单调性求解方程的根
单调性在数学中的地位和作用
单调性是函数性质的重要方面，决定了函数的变化趋势和性质 单调性是函数极限、导数、积分等重要概念的基础 单调性在解决实际问题中具有重要作用，如优化问题、微分方程等
函数的单调性(公开课课件)
差分法
总结词
通过比较相邻点的函数值来判断函数的单调性。
详细描述
差分法是通过计算相邻点的函数值之差来判断函数的单调性。如果相邻点之间的函数值之差大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果相邻点之间的函数值之差小于0，则函数单调递减。差分法在离散数据中应用广泛，如时 间序列分析等。
03
函数单调性的应用
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。当导数大于0时，函数在该区间内单调递增 ；当导数小于0时，函数在该区间内单调递减。因此，通过计算导数并分析其符 号，可以判断函数的单调性。
图像观察法
总结词
通过观察函数的图像来判断其单调性。
详细描述
在平面直角坐标系中，函数的图像是一条连续不断的曲线。通过观察图像的走向 ，可以直观地判断函数的单调性。如果图像在整个定义域内呈上升趋势，则函数 在该区间内单调递增；反之，如果图像呈下降趋势，则函数单调递减。
当$a > 0$时，函数 在$mathbf{R}$上单 调递增。
二次函数的单调性
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的单调性由系数$a$和对称 轴决定。
当$a > 0$时，函数图像开口 向上，对称轴为$x = frac{b}{2a}$，函数在对称轴两 侧单调性相反。
当$a < 0$时，函数图像开口 向下，对称轴为$x = frac{b}{2a}$，函数在对称轴两 侧单调性相同。
当$0 < a < 1$时，函数在$(0, +infty)$上单调递减。
05
函数单调性的深入理解
单调性与极值的关系
01
单调性决定极值点
如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内只存在极大值或极
《函数的单调性与导数》 讲义
《函数的单调性与导数》讲义一、函数单调性的定义在数学中，函数的单调性是指函数在某个区间上的增减性质。
具体来说，如果对于区间内的任意两个自变量的值\（x_1\）和\（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么就称函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼），则称函数在这个区间上是单调递减的。
我们可以通过图像来直观地理解函数的单调性。
单调递增的函数图像是从左往右逐渐上升的，而单调递减的函数图像则是从左往右逐渐下降的。
二、导数的定义导数是微积分中的一个重要概念。
对于函数\（y ＝ f(x)＼），在点\（x\）处的导数定义为：＼f'（x) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x ＋＼Delta x) f(x)｝｛＼Delta x}＼导数表示了函数在某一点处的变化率，也就是函数曲线在该点处的切线斜率。
三、函数单调性与导数的关系函数的单调性与导数之间有着密切的联系。
若函数\（f(x)＼）在区间\（（a,b)＼）内可导，那么：（1）如果在\（（a,b)＼）内，＼（f'（x) ＞0\），则函数\（f(x)＼）在\（（a,b)＼）上单调递增。
这是因为导数大于零，意味着函数在每一点处的变化率都是正的，即函数值随着自变量的增加而增加，所以函数是单调递增的。
（2）如果在\（（a,b)＼）内，＼（f'（x) ＜0\），则函数\（f(x)＼）在\（（a,b)＼）上单调递减。
导数小于零，说明函数在每一点处的变化率为负，函数值随着自变量的增加而减小，从而函数是单调递减的。
（3）如果在\（（a,b)＼）内，＼（f'（x) ＝0\），则函数\（f(x)＼）在\（（a,b)＼）上是常函数。
导数为零，意味着函数在该区间内的变化率为零，函数值保持不变，即为常函数。
函数的单调性(精品讲义)
都江堰校区 （数学） 辅导讲义任课教师: 岳老师 Tel:课题函数的单调性基础盘查一 函数的单调性1．判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( ) (2)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)( )(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( ) (4)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( ) 2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________．3．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则k 的取值范围是________． 基础盘查二 函数的最值4．判断正误(1)所有的单调函数都有最值( ) (2)函数y ＝1x 在[1,3]上的最小值为13( )5．(人教A 版教材例题改编)已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为________．【答案】1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×；2．[2,4]；3．⎝⎛⎭⎫－∞，－12；4．(1)× (2)√；5．2考点一 函数单调性的判断[必备知识1]：单调性的定义设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有： (1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数． [必备知识2]：确定单调性的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．[典题例析]【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， 因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的单调区间[必备知识2]：求函数的单调区间与确定单调性的方法一致[典题例析]【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f (x )在(－∞，0]上是减函数， 在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方 的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间． 【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数． ∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．考点三 函数单调性的应用[必备知识3]复合函数单调性的判断利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最大值f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最小值f (b )．【多角探明】函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值【例5】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．【解析】当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.角度二：比较函数值或自变量的大小【例6】设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )【解析】选D 由a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34，得a 2＋1>a ，又∵f (x )是R 上的减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )． 【例7】(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解析】选B ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c . 角度三：解函数不等式【例8】f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)【解析】选B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值【例9】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎭⎫138，2【解析】选B 由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138 .[类题通法]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.一、选择题1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】选A 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f (－3)>f (5)；④y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)【解析】选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13【解析】选B 由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又13<12<23<1，∴f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23. 4．(创新题)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( )A ．最小值是0，最大值是4B ．最小值是－4，最大值是0C ．最小值是－4，最大值是4D ．没有最大值也没有最小值 【解析】选C y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x ≥3)－2x ＋2 (－1≤x <3)4 (x <－1)作出图象可求．6．(2015·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负【解析】选C 由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0. 由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上单调递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C. 二、填空题7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________． 【解析】由题意知f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)；则⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0. 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________． 【解析】函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ， 画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．10．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．【解析】f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2⇒⎩⎨⎧2a 2－1＞0，a ≥1⇒a ≥1.答案 [1，＋∞)三、解答题11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．【解】(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.12．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．【证明】(1)设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.13．函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.【解】(1)设x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．。
大学数学(高数微积分)函数的单调性(课堂讲义)
x t sin t 例7. 设函数y y ( x )由参数方程 y 1 cos t 确定，求函数y ( x )的极值。
(0 t 2 )
sin t ' 解. y , 令yx 0, 即sin t 0 t 1 cos t
' x
故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
第154页 3，4，6，7，8，10
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
( 1,3)
3
0
极 小 值
( 3, )
0
极 大 值
下凸函数f ( x)的图形是向下凸的，也称曲线y f ( x)是 下凸的（或称曲线是凹的）；上凸函数f ( x)的图形是向 上凸的，也称曲线y f ( x)是上凸的（或称曲线是凸的）
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
பைடு நூலகம்
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
a b 2
1 a b (e e ) 2
练习：证明当0 x
2
2 时， x sin x x
函数的单调性讲义
函数的单调性讲义(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--海豚教育个性化简案海豚教育错题汇编海豚教育个性化教案海豚教育个性化教案（真题演练）海豚教育1对1出门考（_______年______月______日周_____）学生姓名_____________ 学校_____________ 年级______________ 等第1. 函数2()2f x x x=-的单调增区间是（）A. (,1]-∞ B. [1,)+∞ C. R D.不存在2. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（）A．2y x=- B．2yx= C．||y x= D．2y x=-3．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是( )A．(－∞，40] B．[40,64] C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞)4．如果二次函数y＝5x2－nx－10在区间(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则n的值是( )A．1 B．－1 C．10 D．－105.函数()|2|f x x=-的单调递增区间是，6．函数f(x)图象如下图所示，函数的单调递减区间是________．7. 函数f(x)＝822+--xx的单调减区间。
8. 若函数f（x）在（-2，3）上是增函数，则y=f（x+5）的递增区间是。
9. 已知函数21)(-=xxf．（1）求f（x）的定义域；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．评语：3A作业：周一：周二：周三：周四：周五：作业要求在月日之前完成。
函数单调性的概念课件
在(0,1) 是减函数. 取值 证明：任取 x1 , x2 (0,1),且x1 x2 1 1 作差 f (x ) f (x ) (x ) (x ) 例1.证明函数
1 2
1 f ( x) x x
1
x2 1 1 ( x1 x2 ) ( ) x1 x2
x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 或 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f ( x2 )
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x2 x
o
x1
2.减函数的概念
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是减函数.
减函数概念的等价形式
若函数f ( x)的定义域为 I ,区间D I .任取x1 , x2 D
增函数概念的等价形式
若函数f ( x)的定义域为 I ,区间D I .任取x1 , x2 D
(1)(x1 x2 )( f ( x1 ) f ( x2 )) 0 f ( x)在D上是增函数
f ( x1 ) f ( x2 ) (2) 0 f ( x)在D上是增函数 x1 x2
考察下列两个函数:
（ 1）
f ( x) x ； (2) f ( x) x ( x 0)
2
y
y
o
x
o
x
思考1:观察两个函数图像，思考函数值y如何随自 变量x变化的？
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3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
下凸
( 0, 2 ) 3
上凸
2
3 0
( 2 ,) 3
下凸
( 0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
例2.求函数f ( x) | ln( x) | ( x 0)的凸性区间及曲线的拐点
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
函数极值
费马定理：设函数y f ( x)在点x0处可导，若x0是函数的 极值点，则f '( x) 0
驻点：一阶导数f '( x0 ) 0的点x0称为函数f ( x)的驻点。
推论：可导函数的极值点一定是驻点； 问题：驻点一定是极值点吗？ 问题：不可导点可能是驻点吗？ 不可导点可能是极值点吗？
练习：确定函数 f ( x) 2 x 9 x 12 x 3
3 2
的单调区间
y 二、曲线凹凸的定义
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
o
A
x
y f ( x)
y
y f ( x)
y
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义 设f ( x )在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 那末称 2 2 f ( x ) 在 I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧） ; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 如果恒有 f ( ) , 那末称 f ( x ) 2 2 在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧） ．
a b 2
1 a b (e e ) 2
练习：证明当0 x
2
2 时， x sin x x
判断拐点 ,且 的方法: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ( 1 ) 证 0, f ( x0 ) lim
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
例5：求函数f ( x) ( x 2) x 的极值
3 2
2 x 2 5x 4 解 f '( x) x 3 3 3 x 3 x 4 即，x 0为f ( x)的不可导点，x 为f ( x)的驻点。 5
yx
3
y | x |
连续函数的极值点可能由哪些点 构成呢？
函数的某点成为极值点需要具备 什么条件呢？
定理3(第一充分条件)
设函数f ( x)在x0处连续，在点x0的某去心邻域U ( x0 , )可导
0
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ' ( x ) 符号相同,则 f ( x )在 x0 处无极值.
将闭区间换成其它各种区间（包括无穷区间）， 结论仍然成立．
练习：讨论下列函数的单调区间： 1).y e x 1; 2). y x
x 3 2
备注：对函数y=f(x)单调性的讨论，应先求出使导数等 于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的 定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导 数f’(x)在各个子区间的符号，从而确定函数在各个子 区间的单调性．
3 2
x
f ( x )
f ( x)
(, 0)
0
不存在
(0, 4 / 5)
4 / 5 (4 / 5, )
0
极 小 值
极 大 值
极大值f (0) 0,
4 6 3 16 极小值f ( ) 5 5 25
定理4(第二充分条件) 设 f ( x )在 x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值; (2)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极小值.
0
y
y
o
x0
x
x0
(是极值点情形)
o
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求函数的不可导点和驻点（ f ( x) 0 的点） ;
(2) 检查 驻点和不可导点左右的正负号, 判断极值点;
(3) 求极值.
例4 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
所以，函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
例6. 求函数y e 2e 的极值点和极值
x
x
1 解. f '( x) e 2e , 令f '( x) 0 x ln 2 2 1 1 ln 2 ln 2 1 f ''( x) e x 2e x f ''( ln 2) e 2 2e 2 0 2 1 1 所以 x ln 2是函数的极小值点，极小值f ( ln 2) 2 2 2 2
为 ( a, b)上的下凸（上凸）函数的充要条件是： f ( x ) 0(或f ( x ) 0）
注意：若定义1定理1中的不等式变为严格不等式， 则称函数是严格下凸（或上凸）的。
定义2. 若函数f ( x)在点x0左右两侧的凸性相反， 则称点( x0 , f ( x0 ))为曲线y f ( x)的拐点。
故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
第154页 3，4，6，7，8，10
3.4 函数的单调性
和曲线的凹凸性与极值
定理1 设函数y f ( x )在[a , b]上连续， 在( a , b)可导，则 1).若在( a, b)内f '( x ) 0, 则函数y f ( x )在[a , b]上单调增加； 2).若在( a, b)内f '( x ) 0, 则函数y f ( x )在[a , b]上单调减少；
定义：设函数f ( x)在区间[a, b]上有定义， 若x1 , x2 (a, b), (0,1), 恒有: f [ x1 (1 ) x2 ] f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ) 成立，则称函数f ( x)在(a, b)内是下凸的； 若x1 , x2 (a, b), (0,1), 恒有: f [ x1 (1 ) x2 ] f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ) 成立，则称函数f ( x)在(a, b)内是上凸的。
下凸函数f ( x)的图形是向下凸的，也称曲线y f ( x)是 下凸的（或称曲线是凹的）；上凸函数f ( x)的图形是向 上凸的，也称曲线y f ( x)是上凸的（或称曲线是凸的）
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
x x
x t sin t 例7. 设函数y y ( x )由参数方程 y 1 cos t 确定，求函数y 解. y , 令yx 0, 即sin t 0 t 1 cos t
' x
思考题
设 f ( x ) 在(a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
思考题解答
因为 f ( x 0 ) 0 只是( x 0 , f ( x 0 )) 为拐点 的必要条件，