2020届高考数学一轮总复习第三单元导数及其应用第21讲定积分练习理(含解析)新人教A版
高三数学一轮 第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理
|12
= 32-a,Βιβλιοθήκη π 40π
cos 2xdx=12sin 2x|04
= 12,
∴ B
1 2
=
32-a,即
a=1.
解析
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答案
知识梳理 双基自测
12345
3.若 S1=
1 0
(ex-1)dx,S2=
1 0
xdx,S3=
1 0
sin xdx,则(
)
A.S2>S3>S1 B.S1>S3>S2 C.S2>S1>S3 D.S1>S2>S3
有的小区间长度都趋近于0,在每个小区间内任取一点ξi,作和式
������ -1
In= ∑ f(ξi)Δxi.当 λ→0 时,如果和式的极限存在,把和式 In 的极限叫做
������=0
函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
������ ������
f(x)dx
,即
b a
������ -1
f(x)dx=λ���������→���������0������∑=0f(ξi)Δxi,其中
()
(3)在区间[a,b]上连续的曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所
围成的曲边梯形的面积
S=
������ ������
|f(x)|dx.
()
(4)若
������ ������
f(x)dx<0,则由
y=f(x),x=a,x=b
以及
x
轴所围成的图形一
定在 x 轴下方.
()
(5)已知质点的速度 v=10t,则质点从 t=0 到 t=t0 所经过的路程是
2020年高考数学(理)总复习:导数的简单应用与定积分(解析版)
2020年高考数学(理)总复习:导数的简单应用与定积分题型一 导数的几何意义及导数的运算 【题型要点解析】(1)曲线y =f (x )在点x =x 0处导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率,即k =f ′(x 0),由此当f ′(x 0)存在时,曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0).(2)过P 点的切线方程的切点坐标的求解步骤:①设出切点坐标;①表示出切线方程;①已知点P 在切线上,代入求得切点坐标的横坐标,从而求得切点坐标.(3)①分式函数的求导,要先观察函数的结构特征,可化为整式函数或较为简单的分式函数;①对数函数的求导,可先化为和、差的形式;①三角函数的求导,先利用三角函数的公式转化为和或差的形式;①复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.例1.函数f (x )=14 ln x +x 2-bx +a (b >0,a ①R )的图象在点(b ,f (b ))处的切线的倾斜角为α,则倾斜角α 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ,43 【解析】】 依题意得f ′(x )=14x +2x -b ,f ′(b )=14b+b ≥214b ·b =1(b >0),当且仅当14b=b >0,即b =12时取等号,因此有tan α≥1,即π4≤α<π2,即倾斜角α 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ,选B.【答案】 B例2.若实数a ,b ,c ,d 满足(b +a 2-3ln a )2+(c -d +2)2=0,则(a -c )2+(b -d )2的最小值为( )A. 2B .2C .2 2D .8【解析】 因为实数a ,b ,c ,d 满足(b +a 2-3ln a )2+(c -d +2)2=0,所以b +a 2-3ln a =0,设b =y ,a =x ,则有y =3ln x -x 2,由c -d +2=0,设d =y ,c =x ,则有y =x +2,所以(a -c )2+(b -d )2就是曲线y =3ln x -x 2与直线y =x +2之间的最小距离的平方值,对曲线y =3ln x -x 2求导:y ′=3x -2x 与平行y =x +2平行的切线斜率k =1=3x -2x ,解得x =1或x =-32(舍去),把x =1代入y =3ln x -x 2,解得y =-1,即切点(1,-1),则切点到直线y =x +2的距离为L =|1+1+2|2=22,所以L 2=8,即(a -c )2+(b -d )2的最小值为8,故选D.【答案】 D题组训练一 导数的几何意义及导数的运算1.若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线,也是曲线y =ln (x +1)的切线,则b =( )A .1 B.12C .1-ln 2D .1-2ln 2【解析】 对于函数y =ln x +2,切点为(r ,s ),y ′=1x ,k =1r ,对于函数y =ln (x +1),切点为(p ,q ),y ′=1x +1,k =1p +1,1r =1p +1①r =p +1, 斜率k =1r =1p +1=q -s p -r =(ln r +2)-ln (p +1)r -p ,解得:⎩⎪⎨⎪⎧k =2r =12,p =-12,s =ln r +2=ln 12+2=2-ln 2,s =q +2代入y =2x +b,2-ln 2=2×(12)+b ,得:b =1-ln 2.【答案】 C2.在直角坐标系xOy 中,设P 是双曲线C :xy =1(x >0)上任意一点,l 是曲线C 在点P 处的切线,且l 交坐标轴于A 、B 两点,则以下结论正确的是( )A .①OAB 的面积为定值2 B .①OAB 的面积有最小值为3C .①OAB 的面积有最大值为4D .①OAB 的面积的取值范围是[3,4]【解析】 设P 是双曲线xy =1上任意一点,其坐标为P (x 0,y 0),经过P 点的切线方程为y =kx +b .双曲线化为y =1x 形式,y 对x 的导数为y ′=-1x2,在P 点处导数为-1x 20,切线方程为(y -y 0)=-1x 20(x -x 0),令x =0,y =y 0+1x 0=x 0·y 0+1x 0=2x 0=2y 0,(其中x 0·y 0=1),则切线在y 轴截距为2y 0,令y =0,x =2x 0,则切线在x 轴截距为2x 0,设切线与两坐标轴相交于A 、B 两点构成的三角形为OAB .S ①OAB =12|OA |·|OB |=12|2x 0|·|2y 0|=2|x 0·y 0|=2,故切线与两坐标轴构成的三角形面积定值为2.【答案】 A题型二 利用导数研究函数的单调性 【题型要点解析】求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下,这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论:(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论. (2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论. 【提醒】 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制.例1.已知函数f (x )=x 2+a ln x .(1)当a =-2时,求函数f (x )的单调区间;(2)若g (x )=f (x )+2x ,在[1,+∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围.【解】 (1)f ′(x )=2x -2x,令f ′(x )>0,得x >1;令f ′(x )<0,得0<x <1,所以f (x )的单调递增区间是(1,+∞), 单调递减区间是(0,1).(2)由题意g (x )=x 2+a ln x +2x ,g ′(x )=2x +a x -2x2,若函数g (x )为[1,+∞)上的单调增函数,则g ′(x )≥0在[1,+∞)上恒成立, 即a ≥2x -2x 2在[1,+∞)上恒成立,设φ(x )=2x -2x 2.①φ(x )在[1,+∞)上单调递减,①φ(x )max =φ(1)=0, ①a ≥0;若函数g (x )为[1,+∞)上的单调减函数,则g ′(x )≤0在[1,+∞)上恒成立,不可能. ①实数a 的取值范围为[0,+∞).题组训练二 利用导数研究函数的单调性 设函数f (x )=3x 2+ax e x(a ①R ).(1)若f (x )在x =0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若f (x )在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围. 【解析】 (1)对f (x )求导得f ′(x )=(6x +a )e x -(3x 2+ax )e x(e x )2=-3x 2+(6-a )x +a e x因为f (x )在x =0处取得极值,所以f ′(0)=0,即a =0.当a =0时,f (x )=3x 2e x ,f ′(x )=-3x 2+6x e x,故f (1)=3e ,f ′(1)=3e,从而f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -3e =3e(x -1),化简得3x -e y =0.(2)由(1)知f ′(x )=-3x 2+(6-a )x +ae x .令g (x )=-3x 2+(6-a )x +a ,由g (x )=0,解得x 1=6-a -a 2+366,x 2=6-a +a 2+366当x <x 1时,g (x )<0,即f ′(x )<0,故f (x )为减函数; 当x 1<x <x 2时,g (x )>0,即f ′(x )>0, 故f (x )为增函数;当x >x 2时,g (x )<0,即f ′(x )<0,故f (x )为减函数.由f (x )在[3,+∞)上为减函数,知x 2=6-a +a 2+366≤3,解得a ≥-92,故a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29 题型三 利用导数研究函数的极值(最值)问题 【题型要点解析】(1)利用导数研究函数的极值的一般思想:①求定义域;①求导数f ′(x );①解方程f ′(x )=0,研究极值情况;①确定f ′(x 0)=0时x 0左右的符号,定极值.(2)求函数y =f (x )在[a ,b ]上最大值与最小值的步骤:①求函数y =f (x )在(a ,b )内的极值;①将函数y =f (x )的极值与端点处的函数值f (a ),f (b )比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(3)当极值点和给定的自变量范围关系不明确时,需要分类求解,在求最值时,若极值点的函数值与区间端点的函数值大小不确定时需分类求解.例1.设函数G (x )=x ln x +(1-x )·ln (1-x ).(1)求G (x )的最小值;(2)记G (x )的最小值为c ,已知函数f (x )=2a ·e x +c +a +1x -2(a +1)(a >0),若对于任意的x ①(0,+∞),恒有f (x )≥0成立,求实数a 的取值范围.【解】 (1)由已知得0<x <1,G ′(x )=ln x -ln (1-x )=lnx 1-x.令G ′(x )<0,得0<x <12;令G ′(x )>0,得12<x <1,所以G (x )的单调减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0,单调增区间为⎪⎭⎫⎝⎛1,21.从而G (x )min =G ⎪⎭⎫⎝⎛21=ln 12=-ln 2.(2)由(1)中c =-ln 2,得f (x )=a ·e x+a +1x -2(a +1).所以f ′(x )=ax 2·e x -(a +1)x 2.令g (x )=ax 2·e x -(a +1),则g ′(x )=ax (2+x )e x >0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递增, 因为g (0)=-(a +1),且当x →+∞时,g (x )>0,所以存在x 0①(0,+∞),使g (x 0)=0,且f (x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增.因为g (x 0)=ax 20·e x 0-(a +1)=0,所以ax 20·e x 0=a +1,即a ·e x 0=a +1x 20,因为对于任意的x ①(0,+∞),恒有f (x )≥0成立,所以f (x )min =f (x 0)=a ·e x 0+a +1x 0-2(a +1)≥0,所以a +1x 20+a +1x 0-2(a +1)≥0,即1x 20+1x 0-2≥0,即2x 20-x 0-1≤0, 所以-12≤x 0≤1.因为ax 20·e x 0=a +1,所以x 20·e x 0=a +1a >1.又x 0>0,所以0<x 0≤1,从而x 20·e x 0≤e ,所以1<a +1a ≤e ,故a ≥1e -1. 题组训练三 利用导数研究函数的极值(最值)问题已知函数f (x )=ax 2+bx +ce x (a >0)的导函数y =f ′(x )的两个零点为-3和0.(1)求f (x )的单调区间;(2)若f (x )的极小值为-e 3,求f (x )在区间[-5,+∞)上的最大值. 【解】 (1)f ′(x )=(2ax +b )e x -(ax 2+bx +c )e x (e x )2=-ax 2+(2a -b )x +b -ce x .令g (x )=-ax 2+(2a -b )x +b -c ,因为e x >0,所以y =f ′(x )的零点就是g (x )=-ax 2+(2a -b )x +b -c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同.又因为a >0,所以当-3<x <0时,g (x )>0,即f ′(x )>0,当x <-3或x >0时,g (x )<0,即f ′(x )<0, 所以f (x )的单调递增区间是(-3,0), 单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由(1)知,x =-3是f (x )的极小值点, 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a -3b +ce -3=-e 3,g (0)=b -c =0,g (-3)=-9a -3(2a -b )+b -c =0,解得a =1,b =5,c =5,所以f (x )=x 2+5x +5e x .因为f (x )的单调递增区间是(-3,0), 单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以f (0)=5为函数f (x )的极大值,故f (x )在区间[-5,+∞)上的最大值取f (-5)和f (0)中的最大者,而f (-5)=5e -5=5e 5>5=f (0),所以函数f (x )在区间[-5,+∞)上的最大值是5e 5.题型四 定积分 【题型要点解析】(1)求简单定积分最根本的方法就是根据微积分定理找到被积函数的原函数,其一般步骤:①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差;①利用定积分的性质把所求定积分化为若干个定积分的和或差;①分别用求导公式找到F (x ),使得F ′(x )=f (x );①利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值;①计算所求定积分的值.有些特殊函数可根据其几何意义,求其围成的几何图形的面积,即其对应的定积分.(2)求由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形的面积,一般转化为定积分的计算与应用,但一定找准积分上限、积分下限及被积函数,且当图形的边界不同时,要讨论解决,其一般步骤:①画出图形,确定图形范围;①解方程组求出图形交点范围,确定积分上、下限;①确定被积函数,注意分清函数图象的上、下位置;①计算下积分,求出平面图形的面积.例1.设f (x )=⎩⎨⎧1-x 2,x ①[-1,1)x 2-1,x ①[1,2],则⎰-21f (x )d x 的值为( )A.π2+43 B.π2+3 C.π4+43D.π4+3 【解析】 ⎰-21f (x )d x =⎰-211-x 2d x +⎰-21(x 2-1)d x =12π×12+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 331⎪⎪⎪21=π2+43,故选A.【答案】 A例2.⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x =________.【解析】⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x =⎰101-x 2d x +⎰112x d x ,⎰112x d x =14,⎰11-x 2d x表示四分之一单位圆的面积,为π4,所以结果是π+14.【答案】π+14例3.由曲线y =x 2+1,直线y =-x +3,x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( )A .3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示,由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x 2+1y =-x +3,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-2y =5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2,即A (1,2),结合图形可知,所求的面积为⎰1(x 2+1)d x +12×22=⎪⎭⎫⎝⎛+x x 331|10+2=103,选B. 【答案】 B 题组训练四 定积分1.已知1sin φ+1cos φ=22,若φ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,则⎰-ϕtan 1(x 2-2x )d x =( )A.13 B .-13C.23D .-23【解析】 依题意,1sin φ+1cos φ=22①sin φ+cos φ=22sin φcos φ①2sin(φ+π4)=2sin2φ,因为φ①(0,π2),所以φ=π4,故⎰-ϕtan 1(x 2-2x )d x =⎰-ϕtan 1-1(x 2-2x )d x =(x 33-x 2)|1-1=23.选C. 【答案】 C 2.函数y =⎰t(sin x +cos x sin x )d x 的最大值是________.【解析】 y =⎰t(sin x +cos x sin x )d x=⎰t⎪⎭⎫⎝⎛+x x 2sin 21sin d x=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 2cos 41cos ⎪⎪⎪t 0=-cos t -14cos 2t +54=-cos t -14(2cos 2 t -1)+54=-12(cos t +1)2+2,当cos t =-1时,y max =2. 【答案】 2 【专题训练】一、选择题1.已知变量a ,b 满足b =-12a 2+3ln a (a >0),若点Q (m ,n )在直线y =2x +12上,则(a-m )2+(b -n )2的最小值为( )A .9 B.353 C.95D .3【解析】令y =3ln x -12x 2及y =2x +12,则(a -m )2+(b -n )2的最小值就是曲线y =3ln x-12x 2上一点与直线y =2x +12的距离的最小值,对函数y =3ln x -12x 2求导得:y ′=3x -x ,与直线y =2x +12平行的直线斜率为2,令2=3x -x 得x =1或x =-3(舍),则x =1,得到点(1,-12)到直线y =2x +12的距离为355,则(a -m )2+(b -n )2的最小值为(355)=95. 【答案】C2.设a ①R ,若函数y =e ax +3x ,x ①R 有大于零的极值点,则( ) A .a >-3 B .a <-3 C .a >-13D .a <-13【解析】 y ′=a e ax +3=0在(0,+∞)上有解,即a e ax =-3,①e ax >0,①a <0.又当a <0时,0<e ax <1,要使a e ax =-3,则a <-3,故选B.【答案】 B3.已知函数f (x )=x 3-tx 2+3x ,若对于任意的a ①[1,2],b ①(2,3],函数f (x )在区间[a ,b ]上单调递减,则实数t 的取值范围是( )A .(-∞,3]B .(-∞,5]C .[3,+∞)D .[5,+∞)【解析】 ①f (x )=x 3-tx 2+3x ,①f ′(x )=3x 2-2tx +3,由于函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则有f ′(x )≤0在[a ,b ]上恒成立,即不等式3x 2-2tx +3≤0在[a ,b ]上恒成立,即有t ≥32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[a ,b ]上恒成立,而函数y =32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[1,3]上单调递增,由于a ①[1,2],b ①(2,3],当b=3时,函数y =32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1取得最大值,即y max =32⎪⎭⎫ ⎝⎛+313=5,所以t ≥5,故选D.【答案】 D4.已知函数f (x )=e x -ln(x +a )(a ①R )有唯一的零点x 0,(e =2.718…)则( ) A .-1<x 0<-12B .-12<x 0<-14C .-14<x 0<0D .0<x 0<12【解析】 函数f (x )=e x -ln(x +a )(a ①R ),则x >-a ,可得f ′(x )=e x -1x +a ,f ″(x )=e x +1(x +a )2恒大于0,f ′(x )是增函数,令f ′(x 0)=0,则e x 0=1x 0+a ,有唯一解时,a =1e x 0-x 0,代入f (x )可得:f (x 0)=e x 0-ln(x 0+a )=e x 0-ln(1e x 0)=e x 0+x 0,由于f (x 0)是增函数,f (-1)≈-0.63,f (-12)≈0.11,所以f (x 0)=0时,-1<x 0<-12.故选A.【答案】 A5.定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足f (x )>2(x +x )f ′(x ),其中f ′(x )为f (x )的导函数,则下列不等式中,一定成立的是( )A .f (1)>f (2)2>f (3)3B.f (1)2>f (4)3>f (9)4 C .f (1)<f (2)2<f (3)3D.f (1)2<f (4)3<f (9)4【解析】 ①f (x )>2(x +x )f ′(x ), ①f (x )>2x (x +1)f ′(x ), ①f (x )12x>(x +1)f ′(x ).①f ′(x )(x +1)-f (x )12x <0,①(f (x )x +1)′<0,设g (x )=f (x )x +1,则函数g (x )在(0,+∞)上递减, 故g (1)>g (4)>g (9),①f (1)2>f (4)3>f (9)4.故选B.【答案】 B6.已知函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),若f ′(x )满足f ′(x )-f (x )x -1>0,y =f (x )e x 关于直线x =1对称,则不等式f (x 2-x )e x 2-x<f (0)的解集是( )A .(-1,2)B .(1,2)C .(-1,0)①(1,2)D .(-∞,0)①(1,+∞)【解析】 令g (x )=f (x )e x ,则g ′(x )=f ′(x )-f (x )e x .①f ′(x )-f (x )x -1>0,当x >1时,f ′(x )-f (x )>0,则g ′(x )>0,①g (x )在(1,+∞)上单调递增; 当x <1时,f ′(x )-f (x )<0,则g ′(x )<0, ①g (x )在(-∞,1)上单调递减. ①g (0)=f (0),①不等式f (x 2-x )e x 2-x <f (0)即为不等式g (x 2-x )<g (0).①y =f (x )ex 关于直线x =1对称,①|x 2-x |<2,①0<x 2-x <2,解得-1<x <0或1<x <2,故选C. 【答案】 C7.已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x ),且满足f (1)=0,当x >0时,xf ′(x )<2f (x ),则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1)①(0,1)B .(-∞,-1)①(1,+∞)C .(-1,0)①(1,+∞)D .(-1,0)①(0,1)【解析】 根据题意,设函数g (x )=f (x )x 2(x ≠0),当x >0时,g ′(x )=f ′(x )·x -2·f (x )x 3<0,说明函数g (x )在(0,+∞)上单调递减,又f (x )为偶函数,所以g (x )为偶函数,又f (1)=0,所以g (1)=0,故g (x )在(-1,0)①(0,1)上的函数值大于零,即f (x )在(-1,0)①(0,1)上的函数值大于零.【答案】D8.定义在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上的函数f (x ),f ′(x )是它的导函数,且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立,则( ) A.3f ⎪⎭⎫⎝⎛4π>2f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π B .f (1)<2f ⎪⎭⎫⎝⎛6πsin 1 C.2f ⎪⎭⎫⎝⎛6π>f ⎪⎭⎫⎝⎛4π D.3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π 【解析】 构造函数F (x )=f (x )sin x.则F ′(x )=f ′(x )sin x -f (x )cos x sin 2x >0,x ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π, 从而有F (x )=f (x )sin x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上为增函数,所以有F ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π<F ⎪⎭⎫⎝⎛3π,3sin36sin 6ππππ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ①3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π,故选D. 【答案】 D 二、填空题9.已知曲线f (x )=a cos x 与曲线g (x )=x 2+bx +1在交点(0,m )处有公切线,则实数a +b 的值为____________.【解析】 因为两个函数的交点为(0,m ),①m =a cos0,m =02+b ×0+1,①m =1,a =1,①f (x ),g (x )在(0,m )处有公切线,①f ′(0)=g ′(0),①-sin 0=2×0+b ,①b =0,①a +b =1.【答案】 110.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ①(0,+∞)时,都有不等式f (x )+xf ′(x )>0成立,若a =40.2f (40.2),b =(log 43)f (log 43),c =⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1614log 1614log f ,则a ,b ,c 的大小关系是________.【解析】 根据题意,令g (x )=xf (x ),则a =g (40.2),b =g (log 43),c =g (log 4116)有g (-x )=(-x )f (-x )=(-x )[-f (x )]=xf (x ),则g (x )为偶函数,又由g ′(x )=(x )′f (x )+xf ′(x )=f (x )+xf ′(x ),又由当x ①(0,+∞)时,都有不等式f (x )+xf ′(x )>0成立,则当x ①(0,+∞)时,有g ′(x )>0,即g (x )在(0,+∞)上为增函数,分析可得|log 4116|>|40.2|>|log 43|,则有c >a >b ;故答案为:c >a >b .【答案】 c >a >b11.已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是________.【解析】 令f ′(x )=ln x -ax +x ⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1=ln x -2ax +1=0,得ln x =2ax -1.因为函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点,所以f ′(x )=ln x -2ax +1有两个零点,等价于函数y =ln x 与y =2ax -1的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象,过点(0,-1)作y =ln x 的切线,设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率k =1x 0,切线方程为y =1x 0x -1.切点在切线y =1x 0x-1上,则y 0=x 0x 0-1=0,又切点在曲线y =ln x 上,则ln x 0=0,①x 0=1,即切点为(1,0),切线方程为y =x -1.再由直线y =2ax -1与曲线y =ln x 有两个交点,知直线y =2ax -1位于两直线y =0和y =x -1之间,其斜率2a 满足0<2a <1,解得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.【答案】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,012.曲线y =2sin x (0≤x ≤π)与直线y =1围成的封闭图形的面积为________.【解析】 令2sin x =1,得sin x =12,当x ①[0,π]时,得x =π6或x =5π6,所以所求面积S =∫5π6(2sin x -1)d x =(-2cos x -x )π6⎪⎪⎪5π6π6=23-2π3.【答案】 23-2π3三、解答题13.已知函数f (x )=a e 2x +(a -2)e x -x . (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.【解析】 (1)f (x )的定义域为(-∞,+∞),f ′(x )=2a e 2x +(a -2)e x -1=(a e x -1)(2e x +1), (i)若a ≤0,则f ′(x )<0,所以f (x )在(-∞,+∞)单调递减. (ii)若a >0,则由f ′(x )=0得x =-ln a .当x ①(-∞,-ln a )时,f ′(x )<0;当x ①(-ln a ,+∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )在(-∞,-ln a )单调递减,在(-ln a ,+∞)单调递增.(2)(i)若a ≤0,由(1)知,f (x )至多有一个零点.(ii)若a >0,由(1)知,当x =-ln a 时,f (x )取得最小值,最小值为f (-ln a )=1-1a +ln a .①当a =1时,由于f (-ln a )=0,故f (x )只有一个零点; ①当a ①(1,+∞)时,由于1-1a +ln a >0,即f (-ln a )>0,故f (x )没有零点;①当a ①(0,1)时,1-1a+ln a <0,即f (-ln a )<0.又f (-2)=a e -4+(a -2)e -2+2>-2e -2+2>0,故f (x )在(-∞,-ln a )有一个零点.设正整数n 0满足n 0>ln (3a -1),则f (n 0)=e n 0(a e n 0+a -2)-n 0>e n 0-n 0>2r 0-n 0>0.由于ln (3a -1)>-ln a ,因此f (x )在(-ln a ,+∞)有一个零点.综上,a 的取值范围为(0,1).14.已知函数f (x )=e ax (其中e =2.71828…),g (x )=f (x )x .(1)若g (x )在[1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)当a =12时,求函数g (x )在[m ,m +1](m >0)上的最小值.【解析】 (1)由题意得g (x )=f (x )x =eaxx在[1,+∞)上是增函数,故'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x e ax =e ax (ax -1)x 2≥0在[1,+∞)上恒成立,即ax -1≥0在[1,+∞)恒成立,a ≥1x 在x ①[1,+∞)上恒成立,而1x ≤1,①a ≥1; (2)当a =12时,g (x )=e x 2x ,g ′(x )=e x 2(x2-1)x 2,当x >2时,g ′(x )>0,g (x )在[2,+∞)递增, 当x <2且x ≠0时,g ′(x )<0,即g (x )在(0,2),(-∞,0)递减,又m >0,①m +1>1,故当m ≥2时,g (x )在[m ,m +1]上递增,此时,g (x )min =g (m )=e m2m ,当1<m <2时,g (x )在[m,2]递减,在[2,m +1]递增,此时,g (x )min =g (2)=e2,当0<m ≤1时,m +1≤2,g (x )在[m ,m +1]递减,此时,g (x )min =g (m +1)=e m +12m +1,综上,当0<m ≤1时,g (x )min =g (m +1)=e m +12m +1,当1<m<2时,g(x)min=g(2)=e2,m≥2时,g(x)min=g(m)=e m 2 m.。
高考数学一轮复习专题3.1导数的概念及运算定积分知识点讲解理科版含解析
知识点 7.微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且 F′(x)=f(x),那么 错误!f(x)dx=F(b)-F(a).
b
| 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把 F(b)-F(a)记为 F(x) ,即 错误!f(x)dx a b
| =F(x) )=F(b)-F(a). a 【特别提醒】
于形如 y=f(ax+b)的复合函数)的导数;
5.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念,几何意义;
6.了解微积分基本定理的含义。
【重点知识梳理】
知识点 1.导数的概念
(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 liΔxm→0 Δy=liΔxm→0 Δx
x 【答案】e
【方法技巧】
1.求函数导数的总原则:先化简解析式,再求导.
2.常见形式及具体求导 6 种方法
连乘形式
先展开化为多项式形式,再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
对数形式
先化为和、差形式,再求导
n
n b-a
点ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
f(ξi),当 n→∞时,上述和式无限接近于某个
i=1
i=1 n
常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 错误!f(x误!f(x)dx 中,a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被
函数 f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有
高考数学一轮复习第三章导数及其应用积分的运算及应用课件
3.(1)已知 f(x)为偶函数且6f(x)dx=8,则 0
6 f(x)dx 等于( )
-6
A.0
1 N 能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,需做功__0_.1_8____ J.
解析 (1)因为 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,
所以6 f(x)dx=26f(x)dx=8×2=16.故选 D.
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
a
b
个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式,为了方便,常常把
b
bf(x)dx=
a
F(x) =F(b)-F(a)
a
.
F(b)-F(a)记作
F(x)
a
,即
6 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
4 常见求定积分的公式 (1)abxndx=n+1 1xn+1ba (n≠-1);
=
-13.故选 B.
(2) 如图,面积 S=1xdx+ 0
141xdx=12x210
+ln x4
1
=12+ln 4.
(3) 1a2x+1xdx=1a2xdx+1a1xdx=x2a1
+ln xa
1
=a2-1+ln a=3+ln 2,
a2-1=3,
所以a=2.
解得 a=2.
15 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬法·命题法 解题法
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撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
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2020届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数与积分教师用书理(PDF,含解析)
对应学生用书起始页码 P40
考点一 导数的概念及其几何意义 高频考点
考点二 定积分的运算及应用
1.导数的几何意义 函数 f( x) 在 x = x0 处的导数就是曲线 y = f ( x) 在 点 ( x0,
f( x0 ) ) 处的切线的斜率. 2.函数 y = f( x) 的图象在 x = x0 处的切线方程为 y-f( x0 ) =
1.定积分的性质
∫ ∫ b
b
(1) kf( x) dx = k f( x) dx( k 为常数) ;
a
a
∫ ∫ ∫ b
b
b
(2) [f1(x) ±f2(x)]dx = f1(x)dx± f2(x)dx;
a
a
a
∫ ∫ ∫ c
b
b
(3) f(x)dx+ f(x)dx = f(x)dx(a<c<b).
a
c
a
2.微积分基本定理
一般地,如果 f( x) 是区间[ a,b] 上的连续函数,并且F′( x) =
∫b
f(x),那么 f(x)dx = F(b) -F( a),这个结论叫做微积分基本定
a
理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式,为了方便,常常把 F( b) -F(a)
∫b
记作F( x)
b a
,即
f(x)dx = F(x)
f ′( x0 ) ( x-x0 ) . 3.几种常见函数的导数
原函数
导数
y = C(C 为常数)
y′ = 0
y = xn( n∈N∗ )
y′ = nxn-1
y = sin x
y′ = cos x
y = cos x
y′ = -sin x
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间:90分钟 分值:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知f (x )=(x +a )2,且f ′(12)=-3,则a 的值为( ) A .-1 B .-2 C .1D .2解析:f (x )=(x +a )2,∴f ′(x )=2(x +a ). 又f ′(12)=-3,∴1+2a =-3,解得a =-2. 答案:B2.函数y =sin x (cos x +1)的导数是( ) A .y ′=cos2x -cos x B .y ′=cos2x +sin x C .y ′=cos2x +cos xD .y ′=cos 2x +cos x解析:y ′=(sin x )′(cos x +1)+sin x (cos x +1)′=cos 2x +cos x -sin 2x =cos2x +cos x .答案:C3.函数y =3x -x 3的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,-1) C .(-1,1)D .(1,+∞)解析:f ′(x )=3-3x 2>0⇒x ∈(-1,1).答案:C4.某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2t 3-5t 2+2,则t =2秒时,汽车的加速度是( )A .14B .4C .10D .6解析:依题意v (t )=s ′(t )=6t 2-10t ,所以a (t )=v ′(t )=12t -10,故汽车在t =2秒时的加速度为a (2)=24-10=14.答案:A5.若曲线f (x )=x sin x +1在x =π2处的切线与直线ax +2y +1=0互相垂直,则实数a 的值为( )A .-2B .-1C .1D .2解析:f ′(x )=x cos x +sin x ,f ′(π2)=1, ∴k =-a2=-1,a =2. 答案:D6.已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为( )A .1B .3C .-4D .-8解析:如图所示,由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2), ∵点P ,Q 在抛物线x 2=2y 上,∴⎩⎨⎧42=2y 1, ①(-2)2=2y 2, ②∴⎩⎨⎧y 1=8,y 2=2,∴P (4,8),Q (-2,2).又∵抛物线可化为y =12x 2,∴y ′=x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x =4=4,∴过点P 的切线为y -8=4(x -4),即y =4x -8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x =-2=-2.∴过点Q 的切线为y -2=-2(x +2),即y =-2x -2.联立⎩⎨⎧y =4x -8,y =-2x -2,解得x =1,y =-4.∴点A的纵坐标为-4. 答案:C7.若函数y=a(x3-x)的递增区间是(-∞,-33),(33,+∞),则a的取值范围是()A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 D.0<a<1解析:依题意y′=a(3x2-1)>0的解集为(-∞,-33),(33,+∞),故a>0.答案:A8.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0≤a≤21 B.a=0或a=7C.a<0或a>21 D.a=0或a=21解析:f′(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点.故选A.答案:A9.已知函数f(x)=x3-3x,若对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是()A.0 B.10C.18 D.20解析:f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,解得x=±1,所以1,-1为函数f(x)的极值点,因为f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=2,f(x)min=-18,所以对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤20,所以t≥20,从而t的最小值为20.答案:D10.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点解析:取函数f(x)=x3-x,则x=-33为f(x)的极大值点,但f(3)>f(-33),∴排除A.取函数f(x)=-(x-1)2,则x=1是f(x)的极大值点,f(-x)=-(x+1)2,-1不是f(-x)的极小值点,∴排除B;-f(x)=(x-1)2,-1不是-f(x)的极小值点,∴排除C.故选D.答案:D11.若函数y=f(x)满足xf′(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,则()A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)解析:设g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x)>0,∴g(x)在R上是增函数,又a>b,∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b).答案:B12.设函数f (x )满足x 2f ′(x )+2xf (x )=e x x ,f (2)=e 28,则x >0时,f (x )( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值解析:由题意知f ′(x )=e x x 3-2f (x )x =e x -2x 2f (x )x3.令g (x )=e x-2x 2f (x ),则g ′(x )=e x -2x 2f ′(x )-4xf (x )=e x -2(x 2f ′(x )+2xf (x ))=e x -2e xx =e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2x .由g ′(x )=0得x =2,当x =2时,g (x )min =e 2-2×22×e 28=0,即g (x )≥0,则当x >0时,f ′(x )=g (x )x 3≥0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.答案:D第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标为-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为________.解析:∵y ′=2x -1,∴y ′|x =-2=-5. 又P (-2,6+c ),∴6+c-2=-5.∴c =4. 答案:414.如果函数f (x )=x 3-6bx +3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线,则实数b 的取值范围是________.解析:存在与x 轴平行的切线,即f ′(x )=3x 2-6b =0有解,∵x ∈(0,1),∴b =x 22∈(0,12).答案:{b |0<b <12}15.已知a ≤4x 3+4x 2+1对任意x ∈[-1,1]都成立,则实数a 的取值范围是________.解析:设f (x )=4x 3+4x 2+1,则f ′(x )=12x 2+8x =4x (3x +2),令f ′(x )=0,解得x 1=0,x 2=-23.又f (-1)=1, f (-23)=4327,f (0)=1,f (1)=9,故f (x )在[-1,1]上的最小值为1,故a ≤1.答案:(-∞,1]16.设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x ),f ′(0)>0,若∀x ∈R ,恒有f (x )≥0,则f (1)f ′(0)的最小值是________.解析:二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x )=2ax +b ,由f ′(0)>0,得b >0,又对∀x ∈R ,恒有f (x )≥0,则a >0, 且Δ=b 2-4ac ≤0,故c >0,所以f (1)f ′(0)=a +b +c b =a b +c b +1≥2acb 2+1≥2ac4ac +1=2,所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案:2三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)已知函数f (x )=ln(2x +a )+x 2,且f ′(0)=23.(1)求f (x )的解析式;(2)求曲线f (x )在x =-1处的切线方程. 解:(1)∵f (x )=ln(2x +a )+x 2,∴f ′(x )=12x +a ·(2x +a )′+2x =22x +a +2x .又∵f ′(0)=23,∴2a =23,解得a =3. 故f (x )=ln(2x +3)+x 2.(2)由(1)知f ′(x )=22x +3+2x =4x 2+6x +22x +3,且f (-1)=ln(-2+3)+(-1)2=1, f ′(-1)=4×(-1)2+6×(-1)+22(-1)+3=0,因此曲线f (x )在(-1,1)处的切线方程是y -1=0(x +1),即y =1.18.(12分)已知函数f (x )=13x 3+ax +b (a ,b ∈R )在x =2处取得极小值-43.(1)求函数f (x )的增区间;(2)若f (x )≤m 2+m +103对x ∈[-4,3]恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)由已知得f (2)=-43,f ′(2)=0,又f ′(x )=x 2+a ,所以83+2a +b =-43,4+a =0,所以a =-4,b =4,则f (x )=13x 3-4x +4,令f ′(x )=x 2-4>0,得x <-2或x >2,所以增区间为(-∞,-2),(2,+∞).(2)f (-4)=-43,f (-2)=283,f (2)=-43,f (3)=1,则当x ∈[-4,3]时,f (x )的最大值为283,故要使f (x )≤m 2+m +103对∈[-4,3]恒成立,只要283≤m 2+m +103,所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤-3.19.(12分)已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4.(1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4.由已知得f (0)=4,f ′(0)=4,故b =4,a +b -4=4,所以a =4,b =4.(2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x , f ′(x )=4e x(x +2)-2x -4=4(x +2)(e x-12).令f ′(x )=0,得x =-ln2或x =-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(-2,-ln2)时,f ′(x )<0.故f (x )在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x =-2时,函数f (x )取得极大值, 极大值为f (-2)=4(1-e -2).20.(12分)已知函数f (x )=x -a ln x (a ∈R ).(1)当a =2时,求曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程. (2)求函数f (x )的极值.解:函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-ax . (1)当a =2时,f (x )=x -2ln x ,f ′(x )=1-2x (x >0),所以f (1)=1,f ′(1)=-1,所以y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0.(2)由f ′(x )=1-a x =x -ax ,x >0可知:①当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a;因为x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-a ln a,无极大值.21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定给这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x 元/千克,政府补贴为t 元/千克,根据市场调查,当16≤x ≤24时,这种食品日供应量p 万千克,日需量q 万千克近似地满足关系:p =2(x +4t -14)(t >0),q =24+8ln 20x .当p =q 时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域;(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为多少元/千克?解:(1)由p =q 得2(x +4t -14) =24+8ln 20x (16≤x ≤24,t >0), 即t =132-14x +ln 20x (16≤x ≤24). ∵t ′=-14-1x <0,∴t 是x 的减函数. ∴t min =132-14×24+ln 2024=12+ln 2024=12+ln 56; t max =132-14×16+ln 2016=52+ln 54, ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+ln 56,52+ln 54.(2)由(1)知t =132-14x +ln 20x (16≤x ≤24).而当x =20时,t =132-14×20+ln 2020=1.5(元/千克),∵t 是x 的减函数,∴欲使x ≤20,必须t ≥1.5(元/千克). 要使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为1.5元/千克.22.(12分)已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x .(1)若函数f (x )在x =2处取得极值,求实数a 的值. (2)若函数f (x )在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围. (3)当a =-12时,关于x 的方程f (x )=-12x +b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.解:(1)由题意,得f ′(x )=-ax 2+2x -1x(x >0), 因为x =2时,函数f (x )取得极值,所以f ′(2)=0,解得a =-34,经检验,符合题意.(2)函数f (x )的定义域为(0,+∞),依题意,f ′(x )≥0在x >0时恒成立,即ax 2+2x -1≤0在x >0时恒成立,则a ≤1-2x x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -12-1在x >0时恒成立,即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x -12-1min (x >0),当x =1时,⎝⎛⎭⎪⎫1x -12-1取最小值-1,所以a 的取值范围是(-∞,-1].(3)当a =-12时,f (x )=-12x +b , 即14x 2-32x +ln x -b =0.设g (x )=14x 2-32x +ln x -b (x >0), 则g ′(x )=(x -2)(x -1)2x, 当x 变化时,g ′(x ),g (x )的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) + 0 - 0 + g (x )极大极小所以g (x )极小值=g (2)=ln2-b -2, g (x )极大值=g (1)=-b -54, 又g (4)=2ln2-b -2,因为方程g (x )=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根, 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0,g (2)<0,g (4)≥0,解得ln2-2<b ≤-54,所以实数b 的取值范围是(ln2-2,-54).。
近年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理练习理(2021年整理)
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§3。
3 定积分与微积分基本定理考纲解读分析解读1。
了解微积分基本定理,会求函数的定积分。
2。
理解定积分的几何意义,会求曲边梯形的面积。
3.本节在高考中分值为5分左右,属中低档题。
五年高考考点一定积分的计算1。
(2014陕西,3,5分)定积分(2x+e x)dx的值为( )A.e+2 B。
e+1C.eD.e—1答案C2。
(2013江西,6,5分)若S1=()A.S1〈S2〈S3B。
S2〈S1〈S3C。
S2〈S3〈S1 D.S3〈S2〈S1答案B教师用书专用(5-7)3.(2014湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2。
其中为区间[—1,1]上的正交函数的组数是()A。
0 B。
1 C.2 D.3答案C考点二定积分的意义1.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2B.4C.2D.4答案D2。
(2013湖北,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止。
高三一轮 第三章3.3 定积分与微积分基本定理
思维升华
计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积 的和或差. (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.
多维探究
题型二 定积分的几何意义
(3)ʃ 20|1-x|dx;
解 ʃ 20|1-x|dx=ʃ 10(1-x)dx+ʃ 21(x-1)dx =x-12x210+12x2-x21 =1-12-0+12×22-2-12×12-1=1. (4)ʃ 21e2x+1xdx; 解 ʃ 21e2x+1xdx=ʃ 12e2xdx+ʃ 121xdx = 12e2x21+ln x21=12e4-12e2+ln 2-ln 1 =12e4-12e2+ln 2.
x 轴下方.( × ) (4)曲线 y=x2 与 y=x 所围成图形的面积是 ʃ 01(x2-x)dx.( × )
1 2 3 4 5 67
题组二 教材改编 2.[P66A 组 T14]ʃ e2+1x-1 1dx=__1__. 解析 ʃ e2+1x-1 1dx=ln(x-1)|e2+1=ln e-ln 1=1.
为__2__3_-__2_3π__.
解析 令 2sin x=1,得 sin x=12,
当 x∈[0,π]时,得 x=6π或 x=56π,
5π
所以所求面积S=
6 π
(2sin x-1)dx
6
5π
=(-2cos x-x) |π6 2
6
3 2π . 3
师生共研
题型三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t) =7-3t+ 25 (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续
高考数学复习 第三单元 第21讲 简单的三角恒等变换练习 文(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册
第21讲简单的三角恒等变换1.若cos (π2-α)=√23,则cos(π-2α)=()A .29B .59 C .-29D .-592.已知sin (α-π4)=√33,则sin2θ= ()A .13B .-23 C .2√55D .-2√333.设函数f (x )=sin (α+π4)+cos (α-π4),则 () A .f (x )=-f (α+π2) B .f (x )=f (-α+π2) C .f (x )f (α+π2)=1 D .f (x )=-f (-α+π2)4.[2018·某某一模] 若sin (π6-α)=14,则cos 2α-π3的值为. 5.(1+√3tan10°)cos40°=.6.已知α∈0,π2∪π2,π,且sin α,sin2α,sin4α成等比数列,则α的值为 ()A .π6 B .π3C .2π3D .3π47.[2018·某某联考] 已知sin α-2cos α=√102,则tan2α= ()A .43B .-34 C .34D .-438.[2018·某某期末] 已知cos36°cos72°=14,由此可算得cos36°= () A .√5+14 B .√5-12 C .√3+14 D .√3+249.设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°,b=√22·(sin56°-cos56°),c=1-tan 239°1+tan 239°,则a ,b ,c的大小关系是 ()A .a>b>cB .b>a>cC .c>a>bD .a>c>b 10.定义运算|α αα α|=ad-bc.若cos α=17,|sin α sin αcos α cos α|=3√314,0<β<α<π2,则β等于()A .π12 B .π6C .π4D .π311. 已知sin α=35,α∈(π2,π),则√2sin (α+π4)=.12.函数f (x )=√3sin 23x-2sin 213x (π2≤α≤3π4)的最小值是.13.[2018·某某某某期中] 已知函数f (x )=cos x-π3-sin (π2-α). (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若α∈(0,π2),且f (α+π6)=35,求f (2α)的值.14.[2018·某某某某联考] 已知函数f (x )=sin 54π-x -cos (π4+α).(1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)已知cos(α-β)=35,cos(α+β)=-35,0<α<β≤π2,求f (β)的值.15.若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=.16.在函数y=sin 3x+π3cos x-π6-cos 3x+π3cos x+π3的图像的对称轴方程中,在y 轴左侧,且最靠近y 轴的对称轴方程是.课时作业(二十一)1.D[解析] 由cosπ2-α=√23得sin α=√23,所以cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin 2α)=-1-2×29=-59,故选D .2.A[解析]∵sin θ-π4=√33,∴√22(sin θ-cos θ)=√33,解得sin θ-cos θ=√63,两边同时平方可得1-sin2θ=23,∴sin2θ=13.故选A . 3.B[解析]f (x )=sin x+π4+cos x-π4=sin x cos π4+cos x sin π4+cos x cos π4+sin x sin π4=√2(sin x+cos x )=2sin x+π4,∴f x+π2=2sin x+π2+π4=2cos x+π4≠-f (x ),A 错误.f -x+π2=2sin -x+π2+π4=2sin π--x+3π4=2sin x+π4=f (x ),B 正确.同理,C,D 错误.故选B .4.78[解析]∵sinπ6-α=14,∴sin α-π6=-14,cos 2α-π3=cos 2α-π6=1-2sin 2α-π6=1-2×116=78.5.1[解析](1+√3tan10°)cos40°=1+√3sin10°cos10°cos40°=√3sin10°+cos10°cos10°·cos40°=2sin(10°+30°)cos10°·cos40°=2sin40°cos40°cos10°=sin80°cos10°=1.6.C[解析]∵sin α,sin2α,sin4α成等比数列,∴sin 22α=sin αsin4α,∴2sin2αsin α(cos α-cos2α)=0,∵α∈0,π2∪π2,π,∴2α∈(0,π)∪(π,2π),∴sin2α≠0,sin α≠0且sin α≠1,cos α≠1且cos α≠0,∴cos α-cos2α=0,∴2cos 2α-cos α-1=0,即(2cos α+1)(cos α-1)=0,解得cos α=-12,cos α=1(舍去),∴α=2π3.故选C .7.C[解析]∵sin α-2cos α=√102,∴sin 2α-4sin α·cos α+4cos 2α=52,化简得4sin2α=3cos2α,∴tan2α=sin2αcos2α=34,故选C .8.A[解析] 设cos36°=x ,则cos36°cos72°=x (2x 2-1)=14,即(2x+1)(4x 2-2x-1)=0,解得x=-12或x=1±√54,显然x>0,所以x=√5+14,故选A . 9.D[解析]由三角恒等变换公式,可得a=cos50°cos127°+cos40°cos37°=cos50°cos127°+sin50°sin127°=cos(50°-127°)=cos(-77°)=cos77°=sin13°,b=√22(sin56°-cos56°)=√22sin56°-√22cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,c=1-tan 239°1+tan 239°=1-sin 239°cos 239°1+sin 239°cos 239°=cos 239°-sin 239°=cos78°=sin12°.因为函数y=sin x ,x ∈[0°,90°]为增函数,所以sin13°>sin12°>sin11°,所以a>c>b ,故选D .10.D[解析]由题设得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=3√314.∵0<β<α<π2,∴cos(α-β)=1314.又∵cos α=17,∴sin α=4√37.故sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=4√37×1314-17×3√314=√32,∴β=π3.11.-75[解析]cos2α√2sin (α+π4)=cos 2α-sin 2α√2(√22sin α+√22cos α)=cos α-sin α.∵sin α=35,α∈π2,π,∴cos α=-45,∴原式=-75.12.√3-1[解析]f (x )=√3sin 23x-1-cos 23x =2sin23x+π6-1,∵π2≤x ≤3π4,∴π2≤23x+π6≤2π3,∴f (x )min =f (34π)=2sin2π3-1=√3-1.13.解:(1)f (x )=12cos x+√32sin x-cos x=√32sin x-12cos x=sin x-π6,∴函数f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)知f (x )=sin x-π6,∴f α+π6=sin α+π6-π6=sin α=35.∵α∈0,π2,∴cos α=√1-sin 2α=√1-(35) 2=45, ∴sin2α=2sin αcos α=2×35×45=2425,cos2α=2cos 2α-1=2×452-1=725,∴f (2α)=sin 2α-π6=√32sin2α-12cos2α=√32×2425-12×725=24√3-750.14.解:(1)f (x )=sin54π-x -cos π4+x=sin x-π4-sin π2-π4+x=2sin x-π4,由-π2+2k π≤x-π4≤π2+2k π,k ∈Z,得-π4+2k π≤x ≤3π4+2k π,k ∈Z,故函数f (x )的单调递增区间为-π4+2k π,3π4+2k π(k ∈Z).(2)方法一:∵cos(α-β)=35,cos(α+β)=-35,且0<α<β≤π2,∴sin(α-β)=-45,sin(α+β)=45.从而cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-925-1625=-1,故cos β=0,∵0<β≤π2,∴β=π2,∴f (β)=2sin π4=√2.方法二:∵cos(α-β)=35,cos(α+β)=-35,∴cos αcos β+sin αsin β=35,①cos αcos β-sin αsin β=-35.② 由①+②可得cos αcos β=0, 又0<α<β≤π2,∴cos β=0, ∴β=π2, ∴f (β)=fπ2=2sinπ2-π4=√2.15.3[解析]cos (α-3π10)sin (α-π5)=sin (α-3π10+π2)sin (α-π5)=sin (α+π5)sin (α-π5)=sin αcos π5+cos αsinπ5sin αcos π5-cos αsinπ5=sin αcos αcos π5+sin π5sin αcos αcos π5-sin π5=2tan π5cos π5+sinπ52tan π5cos π5-sinπ5=3sinπ5sinπ5=3.16.x=-π6[解析]y=sin 3x+π3cos x-π6-cos 3x+π3cos x+π3=sin 3x+π3cos x-π6+cos 3x+π3sin x-π6=sin 3x+π3+x-π6=sin 4x+π6,则由4x+π6=k π+π2(k ∈Z),得x=απ4+π12(k ∈Z).当k=-1时,直线x=-π6在y 轴左侧,且最靠近y 轴.。
2020届高三理科数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3节 定积分与微积分基本定理
方的面积比在 x 轴上方的面积大. (4)定积分bf(x)dx 等于由 x=a,x=b,y=0 及曲线 y=f(x)所围
a
代数和. (5)加速度对时间的积分是速度,速度对时间的积分才是路程.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
∴k=2.
考点二 利用定积分计算平面图形的面积
利用定积分求解曲边图形的面积,关键把握住两点:一是 被积函数,一般的原则是“上”-“下”,即根据曲边图形的结 用上方曲线对应的函数解析式减去下方曲线对应的函数解 是准确确定定积分的上下限,应为曲边图形左右两边对应 坐标,上下限的顺序不能颠倒.
考点二 利用定积分计算平面图形的面积
故所求面积
S=1
0
x+13xdx+132-x+13xdx
=23x23+16x210+2x-13x231=23+16+43=163.
考点三 定积分在物理中的应用
[例 3] (1)物体 A 以 v=3t2+1(m/s)的速度在一直线 l 上运动,物体 且在物体 A 的正前方 5 m 处,同时以 v=10t(m/s)的速度与 A 同 物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 (1)因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为t (3t2+1)dt,
考点一 定积分的计算(典例迁移)
[训练 1] (1)设 f(x)=x2-2,xx,∈x[∈0,(11],,2],则20f(x)dx 等于(
3 A.4
4 B.5
5 C.6
D.不存在
解析 (1)如图,
2f(x)dx=1x2dx+2(2-x)dx
高中导数、定积分的复习讲义(含答案)
一、知识点梳理1.导数:当x ∆趋近于零时,xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。
可用符号“→”记作:当0→∆x 时,x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000,符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率,通常称作)(x f 在0x x =处的导数,并记作)(0x f '。
即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2.导数的四则运算法则:1))()())()((x g x f x g x f '±'='± 2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='3))()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡几种常见函数的导数:(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-)((3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a xx ln )(='例题:对下面几个函数求导 (1)、12832++=x x y(2)xxa x x e x f -+=ln 5)((3)22ln 3)(x xe xf x +=3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率;导数的物理意义,通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点,则过点),(00y x P 的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数,表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率,因此,曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得:(1)求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数,即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理习题理
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理习题理1.定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间上任取一点ξi (i =1,2,…,n )作和式∑=-ni i f n ab 1)(ξ.当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a ,b]上的定积分,记作__________,即⎠⎛abf (x )d x =∑=∞→-ni i n f nab 1)(limξ.其中f(x)称为________,x 称为__________,f(x)dx 称为__________,[a ,b]为__________,a 为积分下限,b 为积分上限,“∫”称为积分号.(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、___________.2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x =____________(k 为常数);(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x =____________________; (3)⎠⎛ab f (x )d x =____________(其中a <c <b ).3.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a ,b]上的连续函数,并且F ′(x)=f(x) ,那么⎠⎛ab f (x )d x =____________,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式.常常把F (b )-F (a )记作__________,即⎠⎛ab f (x )d x=__________=__________.4.定积分在几何中的简单应用(1)当函数f(x)在区间[a ,b]上恒为正时,由直线x =a ,x =b(a≠b),y =0和曲线y =f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S =____________.(2)当函数f(x)在区间[a ,b]上恒为负时,由直线x =a ,x =b(a≠b),y =0和曲线y =f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S =____________.(3)当x∈[a,b]有f(x)>g(x)>0时,由直线x =a ,x =b(a≠b),y =0和曲线y =f(x),y =g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S =____________.一般情况下,定积分⎠⎛abf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y =f (x )以及直线x =a ,x =b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和,其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(4)若f(x)是偶函数,则⎠⎛-a a f (x )d x =__________(其中a >0);若f(x)是奇函数,则⎠⎛-aa f (x )d x =____________(其中a >0).5.定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t),速度方向不变)在时间区间[a ,b]上所经过的路程S =____________.(2)在变力F =F(x)的作用下,物体沿力F 的方向作直线运动,并且由x =a 运动到x =b(a <b),则力F 对物体所做的功W =____________.(3)在变力F =F(x)的作用下,物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动,并且由x =a 运动到x =b(a <b),则力F 对物体所做的功W =____________.自查自纠1.(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2.(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x +⎠⎛cb f (x )d x3.F(b)-F(a) F(x)|b a F(b)-F(a) F(x)|ba 4.(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)-⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )-g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05.(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x定积分⎠⎛01(2x +e x)d x 的值为( )A .e +2B .e +1C .eD .e -1解:⎠⎛01(2x +e x )d x =(x 2+e x )|10=(1+e)-(0+1)=e.故选C .已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,0≤x <1,2,1≤x ≤2. 则⎠⎛02f (x )dx =( )A .0B .1C .2D .3解:⎠⎛02f (x )d x =⎠⎛011d x +⎠⎛122d x =x |10+2x |21=(1-0)+(4-2)=3.故选D .(2014·江西)若f (x )=x 2+2⎠⎛01f (x )d x ,则⎠⎛01f (x )d x =( )A .-1B .-13 C.13D .1解:⎠⎛01f (x )d x 为常数,不妨设a =⎠⎛01f (x )d x . 则f (x )=x 2+2a ,∴a =⎠⎛01(x 2+2a )d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3+2ax |10,∴a =13+2a ,∴a =-13.故选B .(2015·天津)曲线y =x 2与y =x 所围成的封闭图形的面积为________.解:由题意画出图形如图,得到积分上限为1,积分下限为0,因此直线y =x 与曲线y =x 2所围图形的面积S=⎠⎛01(x -x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2-13x 3|10=12-13=16.故填16.从平衡位置开始,如果1 N 能拉长弹簧1 cm ,为了将弹簧拉长6 cm ,需做功________ J. 解:设F (x )=kx ,又F (0.01)=1,∴k =100,W =⎠⎛00.06100x d x =100×12x 2|0.060=0.18 J ,故填0.18.类型一 计算简单函数的定积分计算下列定积分:(1)⎠⎛-13(3x 2-2x +1)d x ;(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x d x ;(3)⎠⎛0π(sin x -cos x )d x .解:(1)⎠⎛-13(3x 2-2x +1)d x =(x 3-x 2+x ) |3-1=24.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2-ln x |21=32-ln2.(3)⎠⎛0π(sin x -cos x )d x =⎠⎛0πsin x d x -⎠⎛0πcos x d x=(-cos x ) |π0-sin x |π0=2.【点拨】求定积分的步骤:①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商;②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差;③分别用求导公式找到F(x),使得F′(x)=f(x);④利用牛顿一莱布尼兹公式求出各个定积分的值;⑤计算所求定积分的值.计算下列定积分:(1)⎠⎛02x (x +1)d x ;(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x +1x d x ; (3)⎠⎛0π(1-cos x )d x .解:(1)⎠⎛02x (x +1)d x =⎠⎛02(x 2+x )d x=⎠⎛02x 2d x +⎠⎛02x d x =13x 3|20+12x 2|20=⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23-0+⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22-0=143. (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x +1x d x =⎠⎛12e x d x +⎠⎛121xd x =e x |21+ln x |21 =e 2-e +ln2.(3)⎠⎛0π(1-cos x )d x =⎠⎛0π1d x -⎠⎛0πcos x d x=x |π0-sin x |π0 =π.类型二 计算分段函数的定积分求⎠⎛-22|x 2-2x |d x .解:∵|x 2-2x|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,-2≤x<0,-x 2+2x ,0≤x ≤2,∴⎠⎛-22|x 2-2x |d x =⎠⎛-20(x 2-2x )d x +⎠⎛02(-x 2+2x )d x=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3-x 2|0-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-13x 3+x 2|20=8. 【点拨】对分段函数f(x)求定积分,关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛ab f (x )d x =⎠⎛ac f (x )d x +⎠⎛cbf (x )d x 求解.求函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,|x|≤2,1+x 2,2<x≤4 在区间[-2,4]上的定积分. 解:⎠⎛-24f (x )d x =⎠⎛-22(2x +1)d x +⎠⎛24(1+x 2)d x=(x 2+x ) |2-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫x +13x 3|42=743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)⎠⎛011-(x -1)2d x =________.解:根据定积分的几何意义,可知⎠⎛011-(x -1)2d x 表示的是圆(x -1)2+y 2=1的面积的14(如图中阴影部分).故⎠⎛011-(x -1)2d x =π4.故填π4.(2)由抛物线y =x 2-1,直线x =0,x =2及x 轴围成的图形面积为________. 解:如图所示,由y =x 2-1=0,得抛物线与x 轴的交点分别为(-1,0)和(1,0).所以S =⎠⎛02|x 2-1|d x=⎠⎛01(1-x 2)d x +⎠⎛12(x 2-1)d x=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -x 33|10+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33-x |21 =⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫83-2-⎝ ⎛⎭⎪⎫13-1=2.故填2. 【点拨】用定积分求面积的基本方法:求出交点,结合图形求面积.应注意:对于有交叉的图形,需要分段处理;对于具有对称性的图形,要利用对称性,使问题简化.(2013·北京)直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B .2C.83D.1623解:由已知得l :y =1,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2=4y ,y =1, 得交点坐标为(-2,1),(2,1).如图阴影部分,由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称,所以所求面积S =2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 24d x =2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -112x 3|20=2⎝ ⎛⎭⎪⎫2-812=83.故选C .类型四 定积分在物理中的简单应用一质点在直线上从时刻t =0开始以速度v (t )=t 2-4t +3(m/s)做减速运动,则质点初次减速到0时经过的路程为________ m.解:由v (t )=t 2-4t +3=(t -1)(t -3)=0,得t =1或3(舍去).所以路程s =⎠⎛01(t 2-4t +3)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3-2t 2+3t |10=43(m).故填43.【点拨】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题,只需对速度求定积分,积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间.(2015·杭州模拟)设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x =1运动到x =10,已知F (x )=x 2+1且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位:m ,力的单位:N).解:变力F (x )=x 2+1使质点M 沿x 轴正向从x =1运动到x =10所做的功为W =⎠⎛110F (x )d x =⎠⎛110(x 2+1)d x=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3+x |101=342(J).故填342.1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F ′(x )=f (x )的函数F (x ),可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F (x ).2.利用定积分求曲线围成图形的面积,关键是画出图形,结合图形确定积分区间以及被积函数,从而得到面积的积分表达式,再利用微积分基本定理求出积分值.3.利用定积分解决简单的物理问题,关键是要掌握定积分的物理意义,结合物理学中的相关内容,将物理问题转化为定积分来解决.1.定积分⎠⎛013x d x 的值为( )A .3B .1C.32 D.12解:⎠⎛013x d x =32x 2|10=32.故选C .2.⎠⎛-21|x |d x 等于( )A .-1B .1C.32D.52解:⎠⎛-21|x |d x =⎠⎛-20(-x )d x +⎠⎛01x d x =-12x 2|0-2+12x 2|1=2+12=52.故选D .3.由直线x =12,x =2,曲线y =1x及x 轴所围成图形的面积为( )A.154B.174 C.12ln2 D .2ln2解:因为所围图形在x 轴的上方,所以S =∫2121x d x =ln x |212=ln2-ln 12=2ln2.故选D .4.(2015·大庆检测)一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度v (t )=5-t +551+t (t的单位:s ,v 的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是( )A .55ln10 mB .55ln11 mC .12+55ln7 mD .12+55ln6 m解:令5-t +551+t =0,注意到t >0,得t =10,即经过的时间为10 s ;行驶的距离s =⎠⎛010⎝ ⎛⎭⎪⎫5-t +551+t d t =[5t -12t 2+55ln(t +1)]|100=55ln11,即紧急刹车后火车继续行驶的路程为55ln11 m .故选B .5.若y =⎠⎛0x (sint +costsint)d t ,则y 的最大值是( )A .1B .2C .-72D .0解:y =⎠⎛0x (sin t +cos t sin t )d t =⎠⎛0x sin t d t +12⎠⎛0x sin2t d t =(-cos t ) |x0+12⎝ ⎛⎭⎪⎫-12cos2t |x 0=-cos x +1-14cos2x +14=-12(cos x +1)2+2,故当cos x =-1时,y max =2.故选B .6.(2015·衡水调研)在平面直角坐标系中,记抛物线y =x -x 2与x 轴所围成的平面区域为M ,该抛物线与直线y =kx (k >0)所围成的平面区域为A ,向区域M 内随机投一点P ,若点P 落在区域A 内的概率为827,则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34解:令x -x 2=0得x =0或x =1,令kx =x -x 2得x =0或x =1-k .∴M 的面积为⎠⎛01(x -x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2-13x 3|10=16,A 的面积为⎠⎛01-k (x -x 2-kx )d x =(12x 2-13x 3-k 2x 2)|1-k 0=16(1-k )3,∴16(1-k )316=827,∴k =13.故选A . 7.(2014·河南月考)设函数f (x )=ax 2+b (a ≠0),若⎠⎛03f (x )d x =3f (x 0),则x 0=________.解:因为⎠⎛03f (x )d x =⎠⎛03(ax 2+b )d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3+bx |30=9a +3b ,3f (x 0)=3ax 20+3b ,所以9a +3b =3ax 20+3b ,所以x 20=3,x 0=± 3.故填±3.8.⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1-x 2+12x d x =________. 解:⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 2+12x d x =⎠⎛011-x 2d x +⎠⎛0112x d x ,⎠⎛0112x d x =14,⎠⎛011-x 2d x 表示四分之一单位圆的面积,为π4,所以计算结果是π+14.故填π+14. 9.计算下列定积分的值:(1)⎠⎛-111-x 2d x ;(2)⎠⎛-12|x 2-x |d x .解:(1)被积函数y =1-x 2,即x 2+y 2=1,y ≥0.根据定积分的几何意义,所围成的图形如图所示,⎠⎛-111-x2d x =π2.(2)⎠⎛-12|x 2-x |d x=⎠⎛-10(x 2-x )d x +⎠⎛01(x -x 2)d x +⎠⎛12(x 2-x )d x=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33-x 22|0-1+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22-x 33|10+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33-x 22|21 =56+16+56=116. 10.有一动点P ,在时间t 时的速度为v(t)=8t -2t 2(m /s ).求从t =0到t =4时,点P 经过的路程. 解:由v(t)=8t -2t 2=2t(4-t), 可知当0≤t≤4时,v (t)≥0.因此,路程S =⎠⎛04(8t -2t 2)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2-23t 3|40=643(m). 11.在曲线y =x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程.解:如图所示,设切点A (x 0,y 0),由y ′=2x ,得过点A 的切线方程为y -y 0=2x 0(x -x 0),即y =2x 0x -x 20.令y =0,得x =x 02,即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02,0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ,S 曲边△AOB =⎰02x x d x =13x 3x =13x 30, S △ABC =12||BC ·||AB =12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-x 02·x 20=14x 30. ∴S =13x 30-14x 30=112x 30=112.∴x 0=1,从而切点A (1,1),切线方程为y =2x -1.抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积为________.解:如图所示,所求面积S =S A +S B ,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2x ,y =4-x , 得交点坐标为(2,2),(8,-4).A 部分:由于抛物线的上半支方程为y =2x ,下半支方程为y =-2x ,所以:S A =⎠⎛02[2x -(-2x )]d x =22⎠⎛02x 12d x=22·23x 32|20=163.B 部分:S B =⎠⎛28[4-x -(-2x )]d x=⎝ ⎛⎭⎪⎫4x -12x 2+223x 32|82=383.于是S =163+383=18.故填18.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(教材习题改编题)函数f (x )=cos π2x ,则f ′(1)=( )A .-π2B .-π4C .0 D.π2解:f ′(x )=-sin π2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ′=-π2sin π2x .∴f ′(1)=-π2.故选A .2.已知曲线y =x 24-ln x 的一条切线的斜率为-12,则切点的横坐标为( )A .3B .2C .1 D.12解:y ′=x 2-1x ,令x 2-1x =-12,解得x =1或x =-2(舍去).故选C .3.(2015·皖南八校联考)函数f (x )=x e x-e x +1的单调递增区间是( )A .(-∞,e)B .(1,e)C .(e ,+∞)D .(e -1,+∞)解:f ′(x )=e x+x e x-e x +1=e x(1+x -e),由f ′(x )>0得x >e -1.故选D .4.(教材习题改编题)函数f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )A .-2B .0C .2D .4解:f ′(x )=3x 2-6x ,令f ′(x )=0,得x =0或2.∴f (x )在[-1,0)上是增函数,在(0,1]上是减函数.∴f (x )在区间[-1,1]上的最大值为f (0)=2.故选C .5.(2014·湖北八校第二次联考)已知f (x )=14x 2+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+x ,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(x )的图象是( )解:f (x )=14x 2+cos x ,∴f ′(x )=12x -sin x ,令g (x )=f ′(x ),则g (x )为奇函数,排除B ,D ;由g ′(x )=12-cos x 知g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,π3上单调递减,排除C.故选A .6.定积分⎠⎛04π(16-x 2)d x 的值等于( )A .半径为4的球的体积B .半径为4的四分之一球的体积C .半径为4的半球的体积D .半径为4的球的表面积解:⎠⎛04π(16-x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫16x -x 33π|40=128π3,等于半径为4的半球的体积,故选C . 7.(2015·韶关联考)设a∈R ,若函数y =e x+ax ,x ∈R ,有大于-1的极值点,则( ) A .a <-1B .a >-1C .a <-1eD .a >-1e解:由y ′=e x +a =0得e x =-a ,∵函数有大于-1的极值点,∴a =-e x<-1e .故选C .8.已知函数f (x )在R 上可导,且f (x )=x 2+2xf ′(2),则f (-1)与f (1)的大小关系为( ) A .f (-1)=f (1) B .f (-1)>f (1) C .f (-1)<f (1)D .以上答案都不对解:∵f ′(x )=2x +2f ′(2),∴f ′(2)=4+2f ′(2),得f ′(2)=-4, ∴f (x )=x 2-8x ,∴f (-1)=9,f (1)=-7,f (-1)>f (1).故选B .9.一质点运动时速度(v )与时间(t )的关系为v (t )=t 2-t +2,质点直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解:质点在时间[1,2]内的位移为⎠⎛12(t 2-t +2)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3-12t 2+2t |21=176.故选A .10.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图象可能是( )解:因为函数f (x )在x =-2处取得极小值,可得f ′(-2)=0,且当x ∈(a ,-2)(a <-2)时,f (x )单调递减,即f ′(x )<0;当x ∈(-2,b )(-2<b <0)时,f (x )单调递增,即f ′(x )>0.所以函数y =xf ′(x )在x ∈(a ,-2)内的函数值为正,在区间(-2,b )内的函数值为负,由排除法可得只有选项C 符合,故选C .11.(2015·福建)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=-1,其导函数f ′(x )>k >1,则下列结论中一定错误..的是( ) A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k<1kB .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k -1C .f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1<1k -1D .f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1>k k -1解:令h (x )=f (x )-kx +1,则h ′(x )=f ′(x )-k >0,即h (x )在R 上单调递增,而h (0)=0,1k -1>0,∴h ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1>0,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -1>1k -1,∴C 项一定错误.也可用特值法(如令f (x )=2x -1及f (x )=10x -1等排除A ,B ,D).故选C . 12.(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=e x(2x -1)-ax +a ,其中a <1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-32e ,1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-32e ,34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ,34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ,1解:由a <1,易知存在整数x 0=0,使得e x 0(2x 0-1)<ax 0-a .设g (x )=e x(2x -1),h (x )=ax -a ,则g ′(x )=e x(2x +1).可得g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞上单调递增,作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示,若存在唯一整数x 0,使得f (x 0)<0,还须满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>g (0),h (-1)≤g (-1), 即⎩⎪⎨⎪⎧a <1,-2a ≤-3e , ∴32e ≤a <1.故选D .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2015·江西检测)已知直线y =2x -1与曲线y =ln(x +a )相切,则a 的值为________.解:∵y =ln(x +a ),∴y ′=1x +a ,设切点为(x 0,y 0),则y 0=2x 0-1,y 0=ln(x 0+a ),且1x 0+a=2,解之得a =ln22.故填ln22.14.(2014·抚顺联考)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示,则不等式(x 2-2x -3)f ′(x )>0的解集为________.解:由y =f (x )的图象可得y =f ′(x )的大致图象如图.f ′(x )>0⇔x >1或x <-1; f ′(x )<0⇔-1<x <1.而x 2-2x -3>0的解为x >3或x <-1;x 2-2x -3<0的解为-1<x <3. ∴原不等式的解为x >3或x <-1或-1<x <1. 故填(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞).15.已知函数y =f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,5,C (1,0),函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________.解:根据题意得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10x ,0≤x ≤12,-10x +10,12<x ≤1,从而得到y =xf (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10x 2,0≤x ≤12,-10x 2+10x ,12<x ≤1,所以函数y =xf (x )与x 轴围成的图形面积为S =∫12010x 2d x +∫112(-10x 2+10x )d x=103x 3|120+⎝⎛⎭⎪⎫5x 2-103x 3|112=54.故填54.16.(2015·福州质量检测)若函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3上有极值点,则实数a 的取值范围是____________.解:若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3上无极值,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3时,f ′(x )=x 2-ax +1≥0或f ′(x )=x 2-ax +1≤0恒成立.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3时,易得y =x +1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2,103.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3时,f ′(x )=x 2-ax +1≥0,即a ≤x +1x 恒成立,a ≤2;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3时,f ′(x )=x 2-ax +1≤0,即a ≥x +1x 恒成立,a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3 上有极值点,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2,103.故填⎝⎛⎭⎪⎫2,103.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)函数f (x )=x 2+ax +1(a ∈R ).(1)若f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为12,求实数a 的值;(2)若f (x )在x =1处取得极值,求实数a 的值.解:(1)f ′(x )=2x (x +1)-x 2-a (x +1)2=x 2+2x -a(x +1)2,若f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为12,则f ′(1)=12.所以f ′(1)=3-a 4=12,得a =1.(2)若f (x )在x =1处取得极值,则f ′(1)=0,即3-a4=0,得a =3,经检验,合题意.18.(12分)已知函数y =x 3+3ax 2+3bx +c 在x =2处有极值,且其图象在x =1处的切线斜率为-3. (1)求函数的单调区间;(2)求函数的极大值与极小值的差. 解:(1)∵y ′=3x 2+6ax +3b , 由题意得y ′|x =2=12+12a +3b =0,y ′|x =1=3+6a +3b =-3,解得a =-1,b =0,所以y =x 3-3x 2+c ,y ′=3x 2-6x . 令y ′>0,得x <0或x >2,∴函数的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 单调递减区间是(0,2).(2)由(1)可知函数在x =0处取得极大值c , 在x =2处取得极小值c -4,∴函数的极大值与极小值的差为c -(c -4)=4.19.(12分)(2015·重庆)设函数f (x )=3x 2+axex(a ∈R ). (1)若f (x )在x =0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f (x )在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围.解:(1)f ′(x )=(6x +a )e x -(3x 2+ax )ex(e x )2=-3x 2+(6-a )x +a ex, ∵f (x )在x =0处取得极值,∴f ′(0)=0,解得a =0.当a =0时,f (x )=3x 2e x ,f ′(x )=-3x 2+6xex, ∴f (1)=3e ,f ′(1)=3e,∴曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -3e =3e(x -1),化为3x -e y =0.(2)解法一:由(1)可得f ′(x )=-3x 2+(6-a )x +ae x, 令g (x )=-3x 2+(6-a )x +a ,由g (x )=0,解得x 1=6-a -a 2+366,x 2=6-a +a 2+366.当x <x 1时,g (x )<0,即f ′(x )<0,此时函数f (x )为减函数; 当x 1<x <x 2时,g (x )>0,即f ′(x )>0,此时函数f (x )为增函数; 当x >x 2时,g (x )<0,即f ′(x )<0,此时函数f (x )为减函数. 由f (x )在[3,+∞)上为减函数,可知x 2=6-a +a 2+366≤3,解得a ≥-92.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-92,+∞. 解法二:由f (x )在[3,+∞)上为减函数,∴f ′(x )≤0在[3,+∞)上恒成立, 可得a ≥-3x 2+6xx -1,在[3,+∞)上恒成立.令u (x )=-3x 2+6x x -1,u ′(x )=-3[(x -1)2+1](x -1)2<0,∴u (x )在[3,+∞)上单调递减,a ≥u (x )max =u (3)=-92,故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-92,+∞. 20.(12分)某景区为提高经济效益,现对景区进行升级改造,经过市场调查,旅游收入增加y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足:y =f (x )=ax 2+10150x -b ln x10,a ,b 为常数.当x =10万元时,y =19.2万元;当x =20万元时,y =35.7万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)(1)求f (x )的解析式;(2)求该景点升级改造后利润增加的最大值(利润增加值=旅游收入增加值-投入).解:(1)由条件⎩⎪⎨⎪⎧a ×102+10150×10-b ln1=19.2,a ×202+10150×20-b ln2=35.7.解得a =-1100,b =1.则f (x )=-x 2100+10150x -ln x10(x ≥10).(2)设T (x )=f (x )-x =-x 2100+5150x -ln x10(x ≥10).则T ′(x )=-x 50+5150-1x =-(x -1)(x -50)50x.令T ′(x )=0,得x =1(舍)或x =50.T (x )在[10,50)上是增函数;在(50,+∞)上是减函数,∴x =50为T (x )的极大值点.即该景点改造升级后利润T (x )的最大值为T (50)=24.4万元.21.(12分)(2015·北京)已知函数f (x )=ln 1+x1-x .(1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)求证:当x ∈(0,1)时,f (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x 33; (3)设实数k 使得f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x 33对x ∈(0,1)恒成立,求k 的最大值. 解:(1)由1+x1-x >0得-1<x <1.因此f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),所以f ′(x )=11+x +11-x,f ′(0)=2.又因为f (0)=0,所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =2x .(2)证明:令g (x )=f (x )-2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x 33, 则g ′(x )=f ′(x )-2(1+x 2)=2x41-x2,因为g ′(x )>0(0<x <1),所以g (x )在区间(0,1)上单调递增.所以g (x )>g (0)=0,x ∈(0,1),即当x ∈(0,1)时,f (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x 33.(3)由(2)知,当k ≤2时,f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x 33对x ∈(0,1)恒成立. 当k >2时,令h (x )=f (x )-k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x 33, 则h ′(x )=f ′(x )-k (1+x 2)=kx 4-(k -2)1-x2, 所以当0<x <4k -2k时,h ′(x )<0,因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0,4k -2k 上单调递减.当0<x <4k -2k 时,h (x )<h (0)=0,即f (x )<k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x 33.所以当k >2时,f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x 33并非对x ∈(0,1)恒成立.综上可知,k 的最大值为2.22.(12分)(2015·宜昌模拟)已知函数f (x )=x +1ex(e 为自然对数的底数).(1)求函数f (x )的单调区间;(2)设函数φ(x )=xf (x )+tf ′(x )+1e x ,存在实数x 1,x 2∈[0,1],使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立,求实数t 的取值范围.解:(1)∵函数的定义域为R ,f ′(x )=-xe x ,∴当x <0时,f ′(x )>0,当x >0时,f ′(x )<0,∴f (x )的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞). (2)假设存在x 1,x 2∈[0,1],使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立, 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max (x ∈[0,1]).∵φ(x )=xf (x )+tf ′(x )+e -x=x 2+(1-t )x +1ex, ∴φ′(x )=-x 2+(1+t )x -tex=-(x -t )(x -1)ex. ①当t ≥1时,在[0,1]上φ′(x )≤0,φ(x )在[0,1]上单调递减,∴2φ(1)<φ(0),即t >3-e2>1.②当t ≤0时,在[0,1]上φ′(x )≥0,φ(x )在[0,1]上单调递增, ∴2φ(0)<φ(1),即t <3-2e<0.③当0<t <1时,若x ∈[0,t ),φ′(x )<0,φ(x )在[0,t )上单调递减;若x ∈(t ,1],φ′(x )>0,φ(x )在(t ,1]上单调递增,所以2φ(t )<max{φ(0),φ(1)},即2·t +1e t <max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,3-t e ,(*) 由(1)知,g (t )=2·t +1et 在[0,1]上单调递减,故4e ≤2·t +1e t ≤2,而2e ≤3-t e ≤3e,所以不等式(*)无解. 综上所述,t 的取值范围是(-∞,3-2e )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3-e 2,+∞.第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念. ②能进行弧度与角度的互化. (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象,了解三角函数的周期性.③理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等),理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2内的单调性. ④理解同角三角函数的基本关系式:sin 2x +cos 2x =1,sin x cos x=tan x .⑤了解函数y =A sin(ωx +φ)的物理意义;能画出函数y =A sin(ωx +φ)的图象,了解参数A ,ω,φ对函数图象变化的影响.⑥会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2.三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).3.解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.。
高考数学定积分知识讲解与例题练习(含答案解析)
高考数学定积分知识讲解与例题练习(含答案解析)一、基础知识1、相关术语:对于定积分()baf x dx ⎰(1),:a b 称为积分上下限,其中a b ≥ (2)()f x :称为被积函数(3)dx :称为微分符号,当被积函数含参数时,微分符号可以体现函数的自变量是哪个,例如:()2bax tx dx +⎰中的被积函数为()2f x x tx =+,而()2baxtx dt +⎰的被积函数为()2f t xt x =+2、定积分()baf x dx ⎰的几何意义:表示函数()f x 与x 轴,,x a x b ==围成的面积(x 轴上方部分为正,x 轴下方部分为负)和,所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时,()baf x dx ⎰才表示面积。
()baf x dx ⎰可表示数()f x 与x 轴,,x a x b ==围成的面积的总和,但是在求定积分时,需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法:高中阶段求定积分的方法通常有2种:(1)微积分基本定理:如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数,并且()()'F x f x =,那么()()()()|bb aaf x dx F x F b F a ==−⎰使用微积分基本定理,关键是能够找到以()f x 为导函数的原函数()F x 。
所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心:()f x C = ()'0f x = ()f x x α= ()'1f x x αα−= ()sin f x x = ()'cos f x x = ()cos f x x = ()'sin f x x =− ()x f x a = ()'ln x f x a a = ()x f x e = ()'x f x e = ()log a f x x = ()'1ln f x x a =()ln f x x = ()'1f x x= ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”,先根据导函数的形式猜出原函数的类型,再调整系数,例如:()3f x x =,则判断属于幂函数类型,原函数应含4x ,但()'434x x=,而()3f x x =,所以原函数为()414F x x C =+(C 为常数) ② 如果只是求原函数,则要在表达式后面加上常数C ,例如()2f x x =,则()2F x x C =+,但在使用微积分基本定理时,会发现()()F b F a −计算时会消去C ,所以求定积分时,()F x 不需加上常数。
高三一轮复习-导数与定积分讲义(带答案)
个性化辅导授课教案学员姓名 : 辅导类型(1对1、小班): 年 级: 辅 导 科 目 : 学 科 教 师 : 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段年 月 日 时间段教 学 内 容导数与定积分一、变化率与导数、导数的计算【考情解读】1.了解导数概念的实际背景;2.通过函数图象直观理解导数的几何意义;3.能根据导数的定义求函数y =c (c 为常数),y =x ,y =1x,y =x 2,y =x 3,y =x 的导数;4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如y =f (ax +b )的复合函数)的导数.【重点知识梳理】1.函数f (x )在点x 0处的导数 (1)定义函数y =f (x )在点x 0的瞬时变化率lim Δx →0 00()()f x x f x x+-=l ,通常称为f (x )在点x 0处的导数,并记作f ′(x 0),即lim Δx →0 00()()f x x f x x+-=f ′(x 0).(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))的切线的斜率等于f ′(x 0). 2.函数f (x )的导函数如果f (x )在开区间(a ,b )内每一点x 导数都存在,则称f (x )在区间(a ,b )可导.这样,对开区间(a ,b )内每个值x ,都对应一个确定的导数f ′(x ).于是,在区间(a ,b )内,f ′(x )构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y =f (x )的导函数,记为f ′(x )(或y ′x 、y ′). 3.基本初等函数的导数公式y =f (x ) y ′=f ′(x ) y =Cy ′=0y =x n y =x μ (x >0,μ≠0) y =a x (a >0,a ≠1)y =e xy =log a x (a >0,a ≠1,x >0)y =ln x y =sin x y =cos xy ′=nx n -1,n 为自然数 y ′=μx μ-1,μ为有理数y ′=a x ln a y ′=e x y ′=1x ln ay ′=1xy ′=cos x y ′=-sin x4.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x );(3)⎣⎡⎦⎤f x g x ′=f ′x g x -f x g ′x [g x ]2 (g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y ′x =y ′u ·u ′x ,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 【高频考点突破】考点一 利用定义求函数的导数例1、利用导数的定义求函数f (x )=x 3在x =x 0处的导数,并求曲线f (x )=x 3在x =x 0处的切线与曲线f (x )=x 3的交点.【方法技巧】求函数f (x )的导数步骤: (1)求函数值的增量Δf =f (x 2)-f (x 1); (2)计算平均变化率Δf Δx =f x 2-f x 1x 2-x 1;(3)计算导数f ′(x )=lim Δx →0ΔfΔx. 【变式探究】 利用导数的定义,求: (1)f (x )=1x在x =1处的导数; (2)f (x )=1x +2的导数.【解析】 (1)∵Δy Δx =(1)(1)f x f x +-=11+Δx -1Δx=1-1+Δx Δx 1+Δx =11(1)(11)x x x x --+++=(1)(11)xx x x -+++=1(1)(11)x x -+++∴f ′(1)=lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx →01(1)(11)x x -+++=-12. (2)∵Δy Δx =00()()f x x f x x+- =1x +2+Δx -1x +2Δx =2(2)2)(2)x x x x x x x +-+++++(=12)(2)x x x -+++(,∴f ′(x )=lim Δx →0 Δy Δx=lim Δx →012)(2)x x x -+++(=-212)x -+(. 考点二 导数的运算 例2、求下列函数的导数: (1)y =e x ·ln x ; (2)y =x ⎝⎛⎭⎫x 2+1x +1x 3; (3)y =sin 2⎝⎛⎭⎫2x +π3; (4)y =ln(2x +5).(4)设y =ln u ,u =2x +5,则y ′x =y ′u ·u ′x , 因此y ′=12x +5·(2x +5)′=22x +5.【方法规律】(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量;(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导. 【变式探究】 求下列各函数的导数: (1)y =11-x +11+x ;(2)y =cos 2xsin x +cos x ;(3)y =(1+sin x )2; (4)y =ln x 2+1.【解析】 (1)∵y =11-x +11+x =21-x ,∴y ′=⎝⎛⎭⎫21-x ′=222(1)'2(1x)(1x)x --=--(2)∵y =cos 2xsin x +cos x =cos x -sin x ,∴y ′=-sin x -cos x .(3)设u =1+sin x ,则y =(1+sin x )2, 由y =u 2与u =1+sin x 复合而成.因此y ′=f ′(u )·u ′=2u ·cos x =2cos x (1+sin x ). (4) y =ln x 2+1=21ln(1)2x + 22211y'(1)'211x x x x =+=++考点三 导数的几何意义 例3、已知曲线y =13x 3+43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程; (3)求斜率为1的曲线的切线方程.【解析】 (1)∵P (2,4)在曲线y =13x 3+43上,且y ′=x 2,∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x =2=4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2), 即4x -y -4=0.【探究提高】利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件:(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点.【变式探究】 已知抛物线y =ax 2+bx +c 通过点P (1,1),且在点Q (2,-1)处与直线y =x -3相切,求实数a 、b 、c 的值.【解析】 ∵y ′=2ax +b ,∴抛物线在点Q (2,-1)处的切线斜率为①求f (x )在(a ,b )内的极值;②将f (x )的各极值与f (a ),f (b )进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 【高频考点突破】考点一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )=e x -ax -1. (1)求f (x )的单调增区间;(2)是否存在a ,使f (x )在(-2,3)上为减函数,若存在,求出a 的取值范围,若不存在,请说明理由.【拓展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性;(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题;(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0且在(a ,b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.【变式探究】(1)设函数f (x )=13x 3-(1+a )x 2+4ax +24a ,其中常数a >1,则f (x )的单调减区间为_____________________.(2)已知a >0,函数f (x )=x 3-ax 在[1,+∞)上是单调递增函数,则a 的取值范围是________. 【答案】(1)(2,2a ) (2)(0,3]故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(2)∵f′(x)=3x2-a,f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,∴f′(x)≥0,∴a≤3x2,∴a≤3.又a>0,可知0<a≤3.考点二利用导数求函数的极值例2(2014·福建)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x.【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点.(2)若函数y =f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y =f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.【变式探究】 设f (x )=e x1+ax 2,其中a 为正实数.(1)当a =43时,求f (x )的极值点;(2)若f (x )为R 上的单调函数,求a 的取值范围.考点三 利用导数求函数的最值例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.71828…为自然对数的底数. 设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值. 【解析】 由f (x )=e x -ax 2-bx -1, 有g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b . 所以g ′(x )=e x -2a .因此,当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ]. 当a ≤12时,g ′(x )≥0,所以g (x )在[0,1]上单调递增,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ; 当a ≥e2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ;当12<a <e2时,令g ′(x )=0得x =ln(2a )∈(0,1), 所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减, 在区间[ln(2a ),1]上单调递增. 于是,g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b .综上所述,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当12<a <e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ; 当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b . 【拓展提升】(1)求解函数的最值时,要先求函数y =f (x )在(a ,b )内所有使f ′(x )=0的点,再计算函数y =f (x )在区间内所有使f ′(x )=0的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况. 【变式探究】 已知函数f (x )=(x -k )e x . (1)求f (x )的单调区间;(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值.(2)当k -1≤0,即k ≤1时,f (x )在[0,1]上单调递增, 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)=-k ; 当0<k -1<1,即1<k <2时,f (x )在[0,k -1]上单调递减,在[k -1,1]上单调递增, 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k -1)=-e k -1;当k -1≥1,即k ≥2时,f (x )在[0,1]上单调递减, 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为 f (1)=(1-k )e.综上,当k ≤1时,f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)=-k ; 当1<k <2时,f (x )在[0,1]上的最小值为 f (k -1)=-e k -1;当k ≥2时,f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)=(1-k )e.三、导数与函数最值及在生活中的实际应用【考情解读】1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).2.会利用导数解决某些实际问题. 【重点知识梳理】1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y =f (x );(2)求函数的导数f ′(x ),解方程f ′(x )=0;(3)比较函数在区间端点和f ′(x )=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. 2.不等式问题(1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.(2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题. 3.方程解的个数问题构造函数,利用导数研究函数的单调性,极值和特殊点的函数值,根据函数性质结合草图推断方程解的个数. 【高频考点突破】考点一 函数的最值与导数例1、已知a ∈R,函数f (x )=ax+ln x -1.(1)当a =1时,求曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程; (2)求f (x )在区间(0,e]上的最小值.(2)因为f (x )=a x+ln x -1,所以f ′(x )=-a x2+1x=x -ax2.令f ′(x )=0,得x =a .【拓展提升】1.极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.2. 求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性,但要注意极值点不一定是最值点,还要与端点值比较,对于含参数的函数最值,要注意分类讨论.【变式探究】已知函数f (x )=ax -2x-3ln x ,其中a 为常数.(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时,求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,3上的最小值;(2)若函数f (x )在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a 的取值范围;【解析】(1)由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23=1,解得a =1.故f (x )=x -2x-3ln x ,,由f ′(x )=0,得x =2.于是可得下表:x 32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2 2 (2,3) 3 f′(x) - 0 + f(x)减1-3ln 2增∴f (x )min =f (2)=1-3ln 2.(2)f ′(x )=a +2x 2-3x =ax 2-3x +2x2(x >0), 由题意可得方程ax 2-3x +2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x 1、x 2,并令h (x )=ax 2-3x +2,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=9-8a >0x 1+x 2=3a >0x 1x 2=2a >0(也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ=9-8a >0--32a >0h 0>0),解得0<a <98.考点二 利用导数证明不等式例2、 已知定义在正实数集上的函数f (x )=12x 2+2ax ,g (x )=3a 2ln x +b ,其中a >0.设两曲线y =f (x ),y=g (x )有公共点,且在该点处的切线相同.(1)用a 表示b ,并求b 的最大值; (2)求证:f (x )≥g (x )(x >0).故h(t)在(0,13e)上为增函数,在(13e,+∞)上为减函数,于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为h(13e)=233e2,即b的最大值为233e2.【方法技巧】利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数,并求其单调区间;(2)判断区间端点函数值与0的关系;(3)判断定义域内函数值与0的大小关系,证不等式.【变式探究】证明:当x∈[0,1]时,22x≤sin x≤x.考点三、利用导数研究函数零点问题例3、已知函数f(x)=x2+x sin x+cos x.(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.【方法技巧】函数零点或函数图象交点问题的求解,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一.【变式探究】已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图象可知:实数m的取值范围是(-3,1).考点四生活中的优化问题例4、某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-3+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x (3,4)4(4,6)f′(x)+0-f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4时,函数f(x)在区间(3,6)内取得极大值,也是最大值.所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.【方法技巧】在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.【变式探究】请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.四、定积分与微积分定理【考情解读】1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念,几何意义;2.了解微积分基本定理的含义.【重点知识梳理】1.用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限.2.定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间上任取一点ξi (i =1,2,…,n ),作和式∑n i =1f (ξi )Δx =∑n i =1b -a n f (ξi ),当n →∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作⎠⎛a b f (x )d x ,即⎠⎛ab f (x )d x =.3.定积分的运算性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x =k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x =⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x =⎠⎛ac f (x )d x +⎠⎛cb f (x )d x (a <c <b ).4.微积分基本定理一般地,如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ),那么⎠⎛ab f (x )d x =F (b )-F (a ).这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )-F (a )记为F (x )|b a ,即⎠⎛ab f (x )d x =F (x )|b a =F (b )-F (a ).5.定积分的几何意义 如图:设阴影部分的面积为S . ①S =⎠⎛ab f (x )d x ;②S =-⎠⎛ab f (x )d x ;③S =⎠⎛a c f (x )d x -⎠⎛cb f (x )d x ;④S =⎠⎛a b f (x )d x -⎠⎛a b g (x )d x =⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d x .【高频考点突破】 考点一 定积分的计算【例1】 (1)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ∈[0,1],2-x ,x ∈(1,2],则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D .不存在(2)定积分⎠⎛039-x 2d x 的值为________.(3)⎠⎛-11e |x |d x =________.【答案】(1)C (2)9π4 (3)2e -2【规律方法】(1)用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函数.此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分对积分区间的可加性,将积分区间分解,代入相应的解析式,分别求出积分值相加.(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.(3)若y =f (x )为奇函数,则⎠⎛-a a f (x )d x =0.若f (x )为偶函数,则⎠⎛-a a f (x )d x =2⎠⎛0a f (x )d x .【变式探究】 (1)定积分⎠⎛-11(x 2+sin x )d x =________.(2)定积分⎠⎛02|x -1|d x =________.法二 由定积分的几何意义知所求定积分是图中阴影部分的面积,易知面积S =12+12=1.【答案】(1)23(2)1考点二 利用定积分求平面图形面积【例2】 如图所示,求由抛物线y =-x 2+4x -3及其在点A (0,-3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积.因此,所求的图形的面积是=98+98=94. 【规律方法】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)确定积分的上、下限,并求出交点坐标;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.求解时,注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开:定积分是一个数值(极限值),可为正,可为负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正.【变式探究】 (1)如图所示,曲线y =x 2和直线x =0,x =1及y =14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14(2)曲线y =x 2与直线y =kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43,则k =________.【答案】(1)D (2)2考点三 定积分在物理中的应用【例3】 一物体作变速直线运动,其v -t 曲线如图所示,则该物体在12s ~6 s 间的运动路程为________.【答案】494m 【规律方法】定积分在物理中的两个应用:(1)求物体做变速直线运动的位移,如果变速直线运动物体的速度为v =v (t ),那么从时刻t =a 到t =b 所经过的路程s =⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功,一物体在变力F (x )的作用下,沿着与F (x )相同方向从x =a 移动到x =b 时,力F (x )所做的功是W =⎠⎛ab F (x )d x . 【变式探究】 设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x =1运动到x =10,已知F (x )=x 2+1的方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位:m ,力的单位:N).【解析】由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为⎠⎛110(x 2+1)d x =⎝⎛⎭⎫13x 3+x ⎪⎪⎪101=342(J). 【答案】342。
2020届高考数学一轮总复习第三单元导数及其应用第21讲定积分课件理新人教A版
x
3 2
-12x2+2x)|04=136.
答案:C
【变式探究】
2. (2019·陕西一模)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内
围成的封闭图形的面积为(
)
A.2 2
B.4 2
C.2
D.4
解:画出图形如右:
由yy= =4xx3,, 得 4x=x3, 解得 x=0 或 x=±2. 所以 S=2(4x-x3)dx
1.定积分的求法:
(1)利用微积分基本定理:①求 f(x)的一个原函数 F(x),②计
算 F(b)-F(a).
其中关键是原函数,常见函数的原函数总结如下:
xmdx=m+1 1xm+1+C(x>0,m∈Q 且 m≠-1);
1xdx=ln |x|+C;
exdx=ex+C;
axdx=lnaxa+C(a>0,且 a≠1);
0
=(2x2-41x4)|02=4.
点评:用定积分求图形面积的一般步骤: (1)画出图形,确定图形范围,通过解方程组求出交点 的横坐标,确定积分的上、下限; (2)确定被积函数,特别要注意被积函数的上、下位置; (3)写出平面图形面积的定积分表达式; (4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的 面积.
n
(3)求和:
b-n af(ξi);
i=1
(4)取极限:abf(x)dx=lni→m∞i=n1f(ξi)b-n a.
2. 定积分的几何意义
(1)当函数 f(x)在区间[a,b]上连续且恒为正时,定积分bf(x)dx 的几何 a
意义是由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形(图
2t
0≤t≤1
2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第7讲定积分与微积分基本定理分层演练理(含解析)新人教A版
第7讲 定积分与微积分基本定理1.定积分⎠⎛01(3x +e x)dx 的值为( )A .e +1B .eC .e -12D .e +12解析:选D.⎠⎛01(3x +e x)dx =⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2+e x ⎪⎪⎪10=32+e -1=12+e.2.若f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg x ,x >0,x +⎠⎛0a 3t 2d t ,x ≤0,f (f (1))=1,则a 的值为( )A .1B .2C .-1D .-2解析:选A.因为f (1)=lg 1=0,f (0)=⎠⎛0a 3t 2dt =t 3|a0=a 3,所以由f (f (1))=1得a 3=1,所以a =1.3.一物体受到与它运动方向相反的力:F (x )=110e x+x 的作用,则它从x =0运动到x =1时F (x )所做的功等于( ) A .e 10+25 B .e 10-25 C .-e 10+25D .-e 10-25解析:选D.由题意知W =-⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x +x dx=-⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x +12x 2⎪⎪⎪10=-e 10-25.4.若f (x )=x 2+2⎠⎛01f (x )dx ,则⎠⎛01f (x )dx =( )A .-1B .-13C .13D .1解析:选B.因为f (x )=x 2+2⎠⎛01f (x )dx ,所以⎠⎛01f (x )dx =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3+2x ⎠⎛01f (x )dx |10 =13+2⎠⎛01f (x )dx ,所以⎠⎛01f (x )dx =-13. 5.直线y =x +4与曲线y =x 2-x +1所围成的封闭图形的面积为( ) A.223 B.283 C.323D.343解析:选C.因为x +4=x 2-x +1的解为x =-1或x =3, 所以封闭图形的面积为S =⎠⎛-13[x +4-(x 2-x +1)]dx=⎠⎛-13(-x 2+2x +3)dx=⎝ ⎛⎭⎪⎫-13x 3+x 2+3x |3-1=323.6.定积分⎠⎛-11(x 2+sin x )dx =________.解析:⎠⎛-11(x 2+sin x )dx=⎠⎛-11x 2dx +⎠⎛-11sin xdx=2⎠⎛01x 2dx =2·x 33⎪⎪⎪10=23.答案:237.⎠⎛-11(x 2tan x +x 3+1)dx =________.解析:因为x 2tan x +x 3是奇函数.所以⎠⎛-11(x 2tan x +x 3+1)dx =⎠⎛-111dx =x |1-1=2.答案:28.设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),若⎠⎛01f (x )dx =f (x 0),0≤x 0≤1,则x 0的值为________.解析:⎠⎛01f (x )dx =⎠⎛01(ax 2+c )dx =⎝ ⎛⎭⎪⎫13a x 3+c x ⎪⎪⎪10=13a +c =f (x 0)=ax 20+c ,所以x 20=13,x 0=±33.又因为0≤x 0≤1,所以x 0=33. 答案:339.求下列定积分: (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x -x 2+1x dx ;(2)⎠⎛-π0(cos x +e x)dx .解:(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x -x 2+1x dx =⎠⎛12xdx -⎠⎛12x 2dx +⎠⎛121xdx=x 22|21-x 33|21+ln x |21=32-73+ln 2=ln 2-56. (2)⎠⎛-π0(cos x +e x )dx =⎠⎛-π0cos xdx +⎠⎛-π0e xdx=sin x |0-π+e x |0-π=1-1e π.10.已知函数f (x )=x 3-x 2+x +1,求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )=x 2围成的图形的面积.解:因为(1,2)为曲线f (x )=x 3-x 2+x +1上的点, 设过点(1,2)处的切线的斜率为k , 则k =f ′(1)=(3x 2-2x +1)|x =1=2,所以过点(1,2)处的切线方程为y -2=2(x -1), 即y =2x .y =2x 与函数g (x )=x 2围成的图形如图中阴影部分:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2,y =2x 可得交点A (2,4),O (0,0),故y =2x 与函数g (x )=x 2围成的图形的面积 S =⎠⎛02(2x -x 2)dx =⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-13x 3|20=4-83=43.1.由曲线y =2-x 2,直线y =x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( )A.92B.423+76C.76D.2+1解析:选B.把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积. 易得S =⎠⎛-2(2-x 2)dx +⎠⎛01(2-x 2-x )dx=⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -x 33|0-2+⎝⎛⎭⎪⎫2x -x 33-x 22|10 =22-(2)33+2-13-12=423+76.2.(2019·湖南省湘中名校高三联考)设f (x )=⎩⎨⎧1-x 2,x ∈[-1,1)x 2-1,x ∈[1,2],则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( ) A.π2+43 B.π2+3 C.π4+43D.π4+3 解析:选 A.⎠⎛-12f (x )dx =⎠⎛-111-x 2dx +⎠⎛12(x 2-1)dx =12π×12+⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3-x |21=π2+43,故选A.3.汽车以72 km/h 的速度行驶,由于遇到紧急情况而刹车,汽车以等减速度a =4 m/s 2刹车,则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m. 解析:先求从刹车到停车所用的时间t , 当t =0时,v 0=72 km/h =20 m/s ,刹车后,汽车减速行驶,速度为v (t )=v 0-at =20-4t . 令v (t )=0,可得t =5 s ,所以汽车从刹车到停车,所走过的路程为:⎠⎛05(20-4t )dt =(20t -2t 2)|50=50(m).即汽车从开始刹车到停止,共走了50 m.答案:504.函数y =⎠⎛0t (sin x +cos x sin x )dx 的最大值是________.解析:y =⎠⎛0t (sin x +cos x sin x )dx=⎠⎛0t ⎝⎛⎭⎪⎫sin x +12sin 2x dx =⎝ ⎛⎭⎪⎫-cos x -14cos 2x |t=-cos t -14cos 2t +54=-cos t -14(2cos 2t -1)+54=-12(cos t +1)2+2,当cos t =-1时,y ma x =2. 答案:25.已知f (x )为二次函数,且f (-1)=2,f ′(0)=0,⎠⎛01f (x )dx =-2.(1)求f (x )的解析式;(2)求f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值. 解:(1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b . 由f (-1)=2,f ′(0)=0,得⎩⎪⎨⎪⎧a -b +c =2,b =0,即⎩⎪⎨⎪⎧c =2-a ,b =0, 所以f (x )=ax 2+2-a . 又⎠⎛01f (x )dx =⎠⎛01(ax 2+2-a )dx=⎣⎢⎡⎦⎥⎤13a x 3+(2-a )x |10 =2-23a =-2.所以a =6,从而f (x )=6x 2-4. (2)因为f (x )=6x 2-4,x ∈[-1,1]. 所以当x =0时,f (x )min =-4; 当x =±1时,f (x )ma x =2.6.如图,在曲线C :y =x 2,x ∈[0,1]上取点P (t ,t 2),过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x =0,x =1及直线l 围成的图形包括两部分,面积分别记为S 1,S 2.当S 1=S 2时,求t 的值.解:根据题意,直线l 的方程是y =t 2,且0<t <1. 结合题图,得交点坐标分别是A (0,0),P (t ,t 2),B (1,1).所以S 1=⎠⎛0t (t 2-x 2)dx =⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x -13x 3|t 0=t 3-13t 3=23t 3,0<t <1.S 2=⎠⎛t1(x 2-t 2)dx =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3-t 2x |1t=⎝ ⎛⎭⎪⎫13-t 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3-t 3 =23t 3-t 2+13,0<t <1. 由S 1=S 2,得23t 3=23t 3-t 2+13, 所以t 2=13.又0<t <1,所以t =33. 所以当t =33时,S 1=S 2.。
最新高考数学大一轮复习2020高考试题汇编 第三章 导数与定积分 Word版含解析
第三章 导数与定积分第|一节 导数的概念与运算题型30 导数的定义 - -暂无 题型31 求函数的导数 题型32 导数的几何意义1.(2021北京理19)函数()e cos xf x x x =-.(1 )求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程; (2 )求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最|||大值和最|||小值.解析 (1 )因为()e cos x f x x x =- ,所以()e (cos sin )1xf x x x '=-- ,(0)0f '=.又因为(0)1f = ,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. (2)设()e (cos sin )1x h x x x =-- ,那么()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x '< ,所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,有()(0)0h x h = ,即()0f x '.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最|||大值为(0)1f = ,最|||小值为ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.第二节 导数的应用题型33 利用导数研究函数的单调性 题型34 利用导函数研究函数的极值与最|||值1. (2021江苏20 )函数()321f x x ax bx =+++()0,a b >∈R 有极值 ,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点 (极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 ). (1 )求b 关于a 的函数关系式 ,并写出定义域; (2 )证明:23b a >;(3 )假设()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值范围. 解析 (1 )由()321f x x ax bx =+++ ,得()232f x x ax b =++' ,当3a x =-时 ,()f x '有极小值为23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点 ,所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭,又0a > ,故2239a b a =+. 当()22120a b ∆=-时 ,()2320f x x ax b =++'恒成立 ,即()f x 单调递增 , 所以此时()f x 不存在极值 ,不合题意.因此24120a b ∆=-> ,即232223192730933a a a a a a a ⎛⎫--+=-=> ⎪⎝⎭,所以3a >.()=0f x '有两个相异的实根1x ,2x 列表如下故()f x 的极值点是12,x x ,从而3a >.所以b 关于a 的函数关系式为2239a b a=+ ,定义域为()3,+∞. (2 )解法一:由 (1 )知 ,即证明222339a a a ⎛⎫+>⎪⎝⎭ ,即424439138a a a a ++> , 因为0a > ,所以问题等价于6341357290a a -+> ,不妨设3t a = ,那么()27,t ∈+∞ ,不妨设()24135729g t t t =-+ ,易知()g t 在135,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增 ,且135278< , 从而()()227427135277290g t g >=⨯-⨯+= ,即6341357290a a -+>得证. 因此23b a >.解法二 (考试院提供 ):由 (1 )知+设()23=9t g t t+ ,那么()22223227=99t g t t t --='.当2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时 ,()0g t '> ,从而()g t在2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 因为3a > ,所以>,故((g g >=,, 因此23b a >.(3 )由 (1 )设()2320f x x ax b =++='的两个实根为12,x x ,且设12x x < ,且有12123123x x a x x b⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因此22212469a b x x -+=.而()f x 的情况如下表所示:所以()f x 的极值点是12,x x ,从而()()32321211122211=f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++()()()()222212112212121232322=3333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++ ()()221212122=33a x xb x x ++++ 3423227a ab -+324223202739a a a a ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭. 记()f x ,()f x '所有极值之和为()h a ,因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+ ,所以()2139h a a a=-+ ,3a >. 处理方法一:因为()223=09h a a a'--< ,于是()h a 在()3,+∞上单调递减. 因为()76=2h -,由()()6h a h ,故6a . 处理方法二:所以()213792h a a a=-+-,整理得3263540a a -- (必然可以猜想零点 ) ,()()2621290a a a -++ ,因此6a .因此a 的取值范围为(]3,6.评注 ①此题第 (2 )问考查的是数值大小的比拟 ,常见的有作差法、作商法、两边平方比拟法 ,此题采用作商 (考试院解法二 )化简函数到达简化效果 ,可见对于压轴问题 ,方法的选择是非常关键的.②第 (3 )问实际考查的是函数零点的应用 ,下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考.案例1:函数()2ln f x ax x x =-- ,假设函数()f x 存在极值 ,且所有极值之和小于5ln 2+ ,那么实数a 的取值范围是 .解析 因为()12f x a x x=--'221x ax x -+-=()0x > ,设()221g x x ax =-+- ,当280a ∆=-时 ,()0g x 恒成立 ,所以()f x 单调递减 ,故不存在极值;所以280a ∆=-> ,设()2210g x x ax =-+-=的两根为12,x x (不妨设12x x < ) ,从而12102x x => ,因此12,x x 同号 , 所以问题等价于()2210g x x ax =-+-=在()0,+∞上有两个不相等的实数根12,x x ,因此212128002102a x x x x a ∆=⎧⎪⎪⎪+=>⎨>->⎪⎪=⎪⎩,从而a >.所以()f x 的所有极值之和为()()12f x f x +22111222ln l =n ax x x ax x x =--+--()()2121212122ln a x x x x x x x x +-++-2211ln 5ln 2242a a =-+-<+ , 因此216a < ,解得44a -<< ,又a >,所以实数a的取值范围是(). ④另外 ,如果熟悉三次函数对称中|心 ,此题还可以作如下考虑:即()321f x x ax bx =+++ ,()232f x x ax b =++' ,()62f x x a '+'= , 令()620f x x a '=+=' ,那么3ax =-,所以该三次函数的对称中|心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此有()()1223a f x f x f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3233321=a a a a b ⎡⎤=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎢⎣⎭⎥⎥⎦⎝3221273a a b ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦232232102739a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这里可以采用假算的思想 ,即写出简单过程 ,省去中间过于复杂的运算过程 ,直接写出结果即可 ,这需要平时积累一些有价值的素材. 案例2: (徐州15 -16高二下学期期末文20 )函数()24ln f x x x a x =-+(),0a a ∈≠R ,()f x '为函数()f x 的导函数.(1 )假设1a = ,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; (2 )求函数()f x 的单调区间;(3 )假设存在实数12,x x ,且12x x < ,使得()()120f x f x ''== ,求证:()24f x >-.解析 (1 )假设1a = ,那么()24ln f x x x x =-+ ,()124f x x x'=-+ , 所以切线斜率为()11f '=- ,又(1)3f =- ,所以()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20x y ++=.(2 )()22424a x x af x x x x='-+=-+ ,0x >.①当2a 时 ,()0f x '恒成立 ,所以()f x 的单调增区间为()0,+∞; ②当02a <<时 ,令()0f x '> ,得0x <<或x > ,所以()f x的单调增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎝⎭ , 同理()f x的单调减区间为⎝⎭;③当0a <时 ,令()0f x '> ,得x >.所以()f x 的单调增区间为⎫+∞⎪⎝⎭,同理()f x 的单调减区间为⎛ ⎝⎭.(3 )由题意可知 ,12,x x 是方程2240x x a -+=()02a <<的两根 ,那么()221,22x +=∈ ,22242a x x =- ,所以()222224ln f x x x a x =-+()2222222442ln x x x x x =-+-. 令()()22442ln g x x x x x x =-+- ,()1,2x ∈.那么()()41ln 0g x x x '=-<恒成立 ,所以()g x 在()1,2上单调递减 , 所以()()24g x g >=- ,即()24f x >-.2. (2021山东理20 )函数()22cos f x x x =+ ,()()e cos sin 22x g x x x x =-+- ,其中e 2.71828=是自然对数的底数.(1 )求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程;(2 )令()()()()h x g x af x a =-∈R ,讨论()h x 的单调性并判断有无极值 ,有极值时求出极值.解析 (1 )由题意()22f π=π- ,又()22sin f x x x '=- ,所以()2f 'π=π ,因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x -π-=π-π , 即222y x =π-π-.(2 )由题意得2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+ , 因为()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---()()2e sin x a x x =-- ,令()sin m x x x =- ,那么()1cos 0m x x '=- ,所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0m = ,所以当0x >时 ,()0m x >;当0x <时 ,()0m x <. (i )当0a 时 ,e x a -0>.当0x <时 ,()0h x '< ,()h x 在区间(),0-∞上单调递减; 当0x >时 ,()0h x '> ,()h x 在区间()0,+∞上单调递增 , 所以当0x =时 ,()h x 取得极小值 ,极小值为()021h a =--;(ii )当0a >时 ,()()()ln 2e e sin x a h x x x '=-- ,由()0h x '= ,得1ln x a = ,2=0x . ① 当01a <<时 ,ln 0a < ,当(),ln x a ∈-∞时 ,()0h x '> ,此时()h x 单调递增; 当()ln ,0x a ∈时 ,()0h x '< ,此时()h x 单调递减; 当()0,x ∈+∞时 ,()0h x '> ,此时()h x 单调递增. 所以当ln x a =时 ,()h x 取得极大值 ,极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦ ,当0x =时 ,()h x 取得极小值 ,极小值是()021h a =--; ②当1a =时 ,ln 0a = ,所以当(),x ∈-∞+∞时 ,()0h x ' ,函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增 ,无极值点; ② 当1a >时 ,ln 0a > ,所以 当(),0x ∈-∞时 ,()0h x '> ,此时()h x 单调递增; 当()0,ln x a ∈时 ,()0h x '< ,此时()h x 单调递减; 当()ln ,x a ∈+∞时 ,()0h x '> ,此时()h x 单调递增; 所以当0x =时 ,()h x 取得极大值 ,极大值为()021h a =--; 当ln x a =时 ,()h x 取得极小值 ,极小值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述:当0a 时 ,()h x 在(),0-∞上单调递减 ,在()0,+∞上单调递增 , 函数()h x 有极小值 ,极小值为()021h a =--;当01a <<时 ,函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增 ,在()ln ,0a 上单调递减 ,函数()h x 有极大值 ,也有极小值 ,极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦ ,极小值是()021h a =--;当1a =时 ,函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增 ,无极值;当1a >时 ,函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增 ,在()0,ln a 上单调递减 ,函数()h x 有极大值 ,也有极小值 , 极大值是()021h a =-- ,极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.3.(2021北京理19)19.函数()e cos xf x x x =-.(1 )求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程; (2 )求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最|||大值和最|||小值.解析 (1 )因为()e cos x f x x x =- ,所以()e (cos sin )1xf x x x '=-- ,(0)0f '=.又因为(0)1f = ,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. (2)设()e (cos sin )1x h x x x =-- ,那么()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时 ,()0h x '< ,所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,有()(0)0h x h = ,即()0f x '. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最|||大值为(0)1f = ,最|||小值为ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.4. (2021全国2理11 )假设2x =-是函数()()21`1e x f x x ax -=+-的极值点 ,那么()f x 的极小值为 ( ).A.1-B.32e --C.35e - D.1解析 ()()2121e x f x x a x a -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦.由()()324221e 0f a a -'-=-++-⋅=⎡⎤⎣⎦ ,解得1a =- ,所以()()211e x f x x x -=--⋅ ,()()212e x f x x x -'=+-⋅.令()0f x '= ,得2x =-或1x = ,当2x <-或1x >时 ,()0f x '>;当21x -<<时 ,()0f x '< ,那么()f x 的极小值为()11f =-.应选A.5.(2021浙江理20)函数()(1e 2xf x x x-⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1 )求()f x 的导函数;(2 )求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭,上的取值范围. 解析 (1 )因为 (1x '=-,()e ex x--'=- , 所以()(()12e 11e e 2x x xx f x x x ----⎛⎫'=->⎪ ⎭⎝=.(2 )由()()12e 0x x f x --'== ,解得1x =或52x =. 当x 变化时 ,()f x ,()f x '的变化情况如下表所示.又())211e02xf x -=,152211e e 22--> ,所以()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.题型35 利用导函数研究函数的图像1.(2021浙江理7)函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如以下图 ,那么函数()y f x =的图像可能是 ( ).解析 导数大于零 ,原函数单调递增 ,导数小于零 ,原函数单调递减 ,对照导函数图像和原函数图像.应选D .题型36 恒成立与存在性问题1. (2021天津理20 )设a ∈Z ,定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()1,2内有一个零点0x ,()g x 为()f x 的导函数.(1 )求()g x 的单调区间; (2 )设[)(]001,,2m x x ∈ ,函数()()()()0h x g x m x f m =-- ,求证:()()00h m h x <;(3 )求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数,p q ,且[)(]001,,2px x q∈满足041p x q Aq-. 解析 (1 )由a x x x x x f +--+=6332)(234 ,可得6698)()(23--+='=x x x x f x g ,61824)(2-+='x x x g , 令()01g x x '=⇒=-或14x =. 当x 变化时 ,()g x ' ,()g x 变化情况如下表:C.所以)(x g 的单调增区间是(),1-∞-和1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;单调减区间是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2 )证明:由)())(()(0m f x m x g x h --= ,0()()()()h m g m m x f m =-- ,000()()()()h x g x m x f m =-- ,令10()()()()H x g x x x f x =-- ,10()()()H x g x x x ''=- , 由 (1 )得 ,当]2,1[∈x 时 ,0)(>'x g ,当0[1,)x x ∈ ,1()0H x '< ,1()H x 单调递减;当0(,2]x x ∈ ,1()0H x '> ,1()H x 单调增; 所以当]2,(),1[00x x x ∈时 ,0)()()(0011=-=>x f x H x H , 可得0)(1>m H ,即0)(>m h .令200()()()()H x g x x x f x =-- ,20()()()H x g x g x '=-. 由 (1 )可知 ,)(x g 在]2,1[上单调递增 ,故当),1[0x x ∈时 ,0)(2>'x H ,)(2x H 单调递增; 故当]2,(0x x ∈时 ,0)(2<'x H ,)(2x H 单调递减. 当]2,(),1[00x x x ∈时 ,0)(0)(0)()(02022<⇒<⇒=<x h m H x H x H , 故0)()(0<x h m h .(3)对于任意的正整数q p , ,且]2,(),1[00x x qp∈ , 令qpm =,函数)())(()(0m f x m x g x h --= , 由 (2 )知 ,当),1[0x m ∈时 ,)(x h 在区间内有零点),(0x m ; 当]2,(0x m ∈时 ,)(x h 在区间内有零点),(0m x ,故)(x h 在)2,1(上至|||少有一个零点 ,不妨设为1x ,那么110()()0p p h x g x x f q q ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由 (1 )得)(x g 在]2,1[上单调递增 ,故)2()()1(01g x g g <<<.于是()4322340412336()(2)2p p f f p p q p q pq aqq q px q g x g g q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭-==. 因为当]2,1[∈x 时 ,0)(>x g ,故)(x f 在]2,1[单调递增 , 所以)(x f 在区间]2,1[上除0x 外没有其他的零点 , 而,0x qp≠故0p f q ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭,而a q p ,,是正整数 , 所以|6332|432234aq pq q p q p p +--+是正整数 ,从而43223423361p p q p q pq aq +--+. 即041(2)p x qg q - ,所以只要取)2(g A = ,就有041px qAq -. 2. (2021全国3理21 )函数()1ln f x x a x =--. (1 )假设()0f x ,求a 的值;(2 )设m 为整数 ,且对于任意正整数n ,21111+1++222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 ,求m 的最|||小值. 解析 (1 )解法一:()1ln f x x a x =-- ,0x > ,那么()1a x a f x x x-'=-= ,且(1)0f = , 当0a 时 ,()0f x '> ,()f x 在()0+∞,上单调递增 ,所以01x <<时 ,()()10f x f <= ,不满足题意; 当0a >时 ,当0x a <<时 ,()0f x '< ,那么()f x 在(0,)a 上单调递减; 当x a >时 ,()0f x '> ,那么()f x 在(,)a +∞上单调递增.① 假设1a < ,()f x 在(,1)a 上单调递增 ,所以当(,1)x a ∈时 ,()(1)0f x f <= ,不满足题意; ② 假设1a > ,()f x 在(1,)a 上单调递减 ,所以当(1,)x a ∈时 ,()(1)0f x f <= ,不满足题意; ③ 假设1a = ,()f x 在(0,1)上单调递减 ,在(1,)+∞上单调递增 ,所以()(1)0f x f = ,满足题意.综上所述1a =.解法二:因为()10f = ,要使()1ln 0f x x a x =--在()0,+∞上恒成立 ,那么必要条件为()10f x a '=-= ,得1a =.当1a =时 ,()1ln f x x x =-- ,()1x f x x-'=. 当01x <<时 ,()0f x '< ,()f x 单调递减; 当1x >时 ,()0f x '> ,()f x 单调递增;所以1x =为()f x 的极小值点 ,()()10f x f = ,即1a =满足题意. (2 )由 (1 )知当()1,x ∈+∞时 ,1ln 0x x --> ,令112n x =+ ,得11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ , 所以221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 从而2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而2e<3< ,所以m 的最|||小值为3.题型37 方程解(零点)的个数问题1. (2021全国1理21 )函数()()2e 2e xx f x a a x =+--.(1 )讨论()f x 的单调性;(2 )假设()f x 有两个零点 ,求a 的取值范围.解析(1 )由于()()2e 2e x xf x a a x =+-- ,所以()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.①当0a 时 ,e 10x a -< ,2e 10x +> ,从而()0f x '<恒成立 ,所以()f x 在R 上单调递减. ②当0a >时 ,令()0f x '= ,从而e 10x a -= ,得ln x a =-.x()ln a -∞-,ln a - ()ln a -+∞,()f x ′ -+()f x极小值综上所述 ,当0a 时 ,()f x 在R 上单调递减;当0a >时 ,()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减 ,在(ln ,)a -+∞上单调递增. (2 )由 (1 )知 ,当0a 时 ,()f x 在R 上单调递减 ,故()f x 在R 上至|||多一个零点 ,不满足条件. 当0a >时 ,()min 1ln 1ln f f a a a=-=-+.令()()11ln 0g a a a a =-+> ,那么()2110g a a a'=+> ,从而()g a 在()0+∞,上单调递增.而()10g = ,所以当01a <<时 ,()0g a <;当1a =时()0g a =;当1a >时 ,()0g a >. 由上知假设1a > ,那么()min 11ln 0f a g a a=-+=> ,故()0f x >恒成立 ,从而()f x 无零点 ,不满足条 件.假设1a = ,那么()min 11ln 0f a g a a=-+== ,故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-= ,不满足条件;假设01a << ,那么()min 11ln 0f a g a a=-+=< ,注意到ln 0a -> ,()22110e e ea a f -=++-> , 故()f x 在()1ln a --,上有一个实根.而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭, 且33ln 1ln 133ln 1ee 2ln 1a af a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅+---⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦()33132ln 1a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 331ln 10a a ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,上有一个实根. 又()f x 在()ln a -∞-,上单调递减 ,在()ln a -+∞,单调递增 ,故()f x 在R 上至|||多两个实根.综上所述 ,01a <<.评注 对于零点个数 ,求参数的取值范围问题的难点在于验证零点存在性的赋值上 ,对于一般的赋值方法要把握两点:①限定要寻找0x 的范围 ,如此题中分别在(),ln a -∞-及()ln ,a -+∞上各寻找一个零点; ②将函数不等式变形放缩 ,据0x 的范围得出0x .在此题中 ,实际上在区间(),ln a -∞-上找到0x ,使得()00f x > ,那么说明()f x 在区间(),ln a -∞-上存在零点 ,在区间()ln ,a -+∞上找到0x ' ,使得()00f x '> ,那么证明()f x 在区间()ln ,a -+∞上存在另一个零点.对于验证零点存在性的赋值问题大家可参见2021<高|考数学解答题核心考点 (理科版 )>154156P P .2. (2021全国3理11 )函数()()2112e e x x f x x x a --+=-++有唯一零点 ,那么a = ( ). A .12-B .13C .12D .1解析 由条件()2112(e e )x x f x x x a --+=-++ ,得:221(2)1211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )x x x x f x x x a x x x a ----+---=---++=-+-+++=2112(e e )x x x x a --+-++.所以()()2f x f x -= ,即1x =为()f x 的对称轴 ,由题意 ,()f x 有唯一零点 ,故()f x 的零点只能为1x = ,即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++= ,解得12a =.应选C.题型38 利用导数证明不等式 - -暂无 题型39 导数在实际问题中的应用 - -暂无第三节 定积分和微积分根本定理题型40 定积分的计算 - -暂无 题型41 求曲边梯形的面积 - -暂无第四章 三角函数第|一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别 - -暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题 - -暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算 - -暂无 题型45 三角函数定义题 - -暂无 题型46 三角函数线及其应用 - -暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值 - -暂无 题型48 诱导求值与变形 - -暂无题型49 同角求值 - -角与目标角相同 - -暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 解析式确定函数性质1. (2021全国3理6 )设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,那么以下结论错误的选项是 ( ). A .()f x 的一个周期为2-πB .()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C .()f x +π的一个零点为6x π=D .()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到 ,由图可知 ,()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增 ,所以D 选项错误.应选D.π题型51 根据条件确定解析式1. (2021天津理7 )设函数()2sin()f x x ωϕ=+ ,x ∈R ,其中0ω> ,||ϕ<π.假设528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭,且()f x 的最|||小正周期大于2π ,那么 ( ). A.23ω=,12ϕπ= B.23ω=,12ϕ11π=- C.13ω= ,24ϕ11π=-D.13ω=,24ϕ7π= 解析 解法一:由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩ ,其中12,k k ∈Z ,所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π ,所以01ω<< ,从而23ω=.由11212k ϕ=π+π ,由ϕ<π ,得π12ϕ=.应选A .解法二:由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭,易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴 ,点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点 ,那么()11521884T k ππ-=+⨯ ,又因为2T ωπ= ,即()221=3k ω+.又0ω> ,且()f x 的最|||小正周期大于2π ,所以2=3ω ,从而52+2832k ϕππ⨯=π+ ,又ϕ<π ,所以=12ϕπ.应选A. 2.(2021浙江理18)函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .(1 )求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2 )求()f x 的最|||小正周期及单调递增区间. 解析 (1 )由2sin 3π=,21cos 32π=- ,得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2 )由22cos2cos sin x x x=- ,sin22sin cos x x x= ,得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ ,所以()f x 的最|||小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z ,解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z . 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ,.题型52 三角函数的值域 (最|||值) - -暂无 题型53 三角函数图像变换1. (2021全国1理9 )曲线1cos C y x =: ,22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭: , 那么下面结论正确的选项是 ( ).A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍 ,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度 ,得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍 ,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度 ,得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍 ,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度 ,得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍 ,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度 ,得到曲线2C解析 1:cos C y x = ,22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首|||先曲线1C ,2C 统一为一三角函数名 ,可将1:cos C y x =用诱导公式处理.πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x .横坐标变换需将1=ω变成2=ω ,即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.注意ω的系数 ,左右平移需将2=ω提到括号外面 ,这时π4+x 平移至|||π3+x , 根据 "左加右减〞原那么 , "π4+x 〞到 "π3+x 〞需加上π12 ,即再向左平移π12.应选D.2. (2021山东理1 )设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,其中03ω<<.06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1 )求ω;(2 )将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍 (纵坐标不变 ) ,再将得到的图像向左平移4π个单位 ,得到函数()y g x =的图像 ,求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最|||小值. 解析 (1 )因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin cos 22x x ωω⎫=-=⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭,所以63k ωππ-=π ,k ∈Z . 故62k ω=+ ,k ∈Z ,又03ω<< ,所以2ω=.(2)由(1)得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ ,当123x ππ-=- ,即4x π=-时 ,()g x 取得最|||小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1. (17江苏05 )假设π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ,那么tan α= . 解析 解法一 (角的关系 ):tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故填75. 解法二 (直接化简 ):πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭ ,所以7tan 5α=.故填75. 2.(2021北京理12)在平面直角坐标系xOy 中 ,角α与角β均以Ox 为始边 ,它们的终边关于y 轴对称.假设1sin 3α= ,()cos αβ- =___________.解析 由题作出图形 ,如以下图 ,1sin 3α= ,那么cos α=,由于α与β关于y 轴对称 , 那么()1sin sin 3βα=π-=,cos 3β=- ,故()117cos 33339αβ⎛⎫-=⨯-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭.3. (2021全国2理14 )函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最|||大值是 .解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭, ,令cos x t =且[]01t ∈,,214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭,当t ,即6x π=时 ,()f x 取最|||大值为1.4.(2021浙江理18)函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .(1 )求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2 )求()f x 的最|||小正周期及单调递增区间. 解析 (1 )由2sin 3π=,21cos 32π=- ,得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2 )由22cos2cos sin x x x=- ,sin22sin cos x x x= ,得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ ,所以()f x 的最|||小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z ,解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z . 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ,.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1. (2021天津理15 )在ABC △中 ,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .a b > ,5,6a c == ,3sin 5B =. (1 )求b 和sin A 的值; (2 )求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析 (1 )在ABC △中 ,因为a b > ,故由3sin 5B =,可得4cos 5B =.由及余弦定理 ,得2222cos 13b a c ac B =+-= ,所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin 13a B A b ==.(2 )由 (Ⅰ )及a c < ,得cos A =,所以12sin 22sin cos 13A A A == ,25cos 212sin 13A A =-=-,故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2. (2021山东理9 )在ABC △中 ,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .假设ABC △为锐角三角形 ,且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+ ,那么以下等式成立的是 ( ).A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C++=+ ,所以2sin cos sin cos B C A C = ,又02C π<<,得2sin sin B A = ,即2b a =.应选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状 - -暂无 题型58 解三角形的综合应用1. (2021江苏18 )如以下图 ,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm . 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水 ,水深均为12cm . 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm (容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计 ).(1 )将l 放在容器Ⅰ中 ,l 的一端置于点A 处 ,另一端置于侧棱1CC 上 ,求l 没入水中局部的长度;(2 )将l 放在容器Ⅱ中 ,l 的一端置于点E 处 ,另一端置于侧棱1GG 上 ,求l 没入水中局部的长度.ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 (1 )由正棱柱的定义 ,1CC ⊥平面ABCD ,所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ,1CC AC ⊥.记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处 ,如以下图为截面11A ACC的平面图形.因为AC =,40AM = ,所以30MC == ,从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P , 过点1P 作11PQ AC ⊥ ,1Q 为垂足 ,那么11PQ ⊥平面ABCD ,故1112PQ = ,从而11116sin PQ AP MAC==∠.答:玻璃棒l 没入水中局部的长度为16cm .问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1(2 )如以下图为截面11E EGG 的平面图形 ,O ,1O 是正棱台两底面的中|心.由正棱台的定义 ,1OO ⊥平面EFGH , 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ,1O O EG ⊥.同理 ,平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ,111O O E G ⊥. 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作11GK E G ⊥ ,K 为垂足 ,那么132GK OO ==. 因为 14EG = ,1162E G = ,所以16214242KG -== ,从而1GG =40==.设1EGG α∠= ,ENG β∠= ,那么114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠.因为2απ<<π ,所以3cos 5α=-. 在ENG △中 ,由正弦定理可得4014sin sin αβ= ,解得7sin 25β=. 因为02βπ<<,所以24cos 25β= , 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.记EN 与水面的交点为2P ,过2P 作22P Q EG ⊥ ,2Q 为垂足 ,那么22P Q ⊥平面EFGH , 故2212P Q = ,从而22220sin PQ EP NEG==∠.答:玻璃棒l 没入水中局部的长度为20cm .问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识 ,但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感 ,且该应用题的实际应用性也不强. 也有学生第 (1 )问采用相似法解决 ,解法如下:AC =,40AM = ,所以30CM == ,1112PQ = ,所以由11AP A Q CM △△∽ ,111PQ AP CM AM=,即1123040AP = ,解得116AP =. 答:玻璃棒l 没入水中局部的长度为16cm . 2.(2021北京理15)在ABC △中 ,60A ∠= ,37c a =. (1 )求sin C 的值;(2 )假设7a = ,求ABC △的面积.解析 (1 )在ABC △中 ,因为60A ∠= ,37c a =,所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. (2 )因为7a = ,所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+- ,得222173232b b =+-⨯⨯ ,解得8b =或5b =- (舍 ).所以ABC △的面积11sin 83222S bc A ==⨯⨯⨯=.3. (2021全国1理17 )ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,ABC △的面积为23sin a A.(1 )求sin sin B C 的值;(2 )假设6cos cos 1B C = ,3a = ,求ABC △的周长.分析 此题主要考查三角函数及其变换 ,正弦定理 ,余弦定理等根底知识的综合应用.解析 (1 )因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A = ,所以21sin 3sin 2a bc A A = ,即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A = ,由sin 0A ≠ ,得2sin sin 3B C =. (2 )由 (1 )得2sin sin 3B C =,又1cos cos 6B C = ,因为πA B C ++= , 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈, ,所以60A = ,sin A =,1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅ ,sin sin a c C A =⋅ ,所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由① ,② ,得b c +,所以3a b c ++=,即ABC △周长为34. (2021全国2理17 )ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()2sin 8sin 2B AC +=. (1)求cos B ;(2)假设6a c += ,ABC △的面积为2 ,求.b解析 (1 )依题得21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-. 因为22sin cos 1B B += ,所以2216(1cos )cos 1B B -+= ,所以(17cos 15)(cos 1)0B B --= ,得cos 1B = (舍去 )或15cos 17B =. (2 )由⑴可知8sin 17B =,因为2ABC S =△ ,所以1sin 22ac B ⋅= ,即182217ac ⋅= ,得172ac =.因为15cos 17B = ,所以22215217a cb ac +-= ,即22215a c b +-= ,从而22()215a c ac b +--= , 即2361715b --= ,解得2b =.5. (2021全国3理17 )ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c,sin 0A A +=,a =,2b =.(1 )求c ;(2 )设D 为BC 边上一点 ,且 AD AC ⊥ ,求ABD △的面积.解析 (1 )由sin 0A A = ,得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ,即()ππ3A k k +=∈Z ,又()0,πA ∈ ,所以ππ3A += ,得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c += ,解得4c =.(2 )因为2,4AC BC AB === ,由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=. 因为AC AD ⊥ ,即ACD △为直角三角形 ,那么cos AC CD C =⋅ ,得CD . 从而点D 为BC 的中点,111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2021浙江理14)ABC △ ,4AB AC == ,2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点 ,2BD = ,联结CD ,那么BDC △的面积是___________ ,cos BDC ∠=__________. 解析 如以下图 ,取BC 的中点为O ,在等腰ABC △中 ,AO OB ⊥ ,所以2215AOABBO,15sin sin 4CBDOBA, 所以BDC △的面积为115sin 22BC BD OBA .因为2BC BD ,所以BDC△是等腰三角形,所以2πCBD BDC ,21cos cos(π2)12cos 4CBD BDC BDC,解得10cos 4BDC .ODC BA。
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第21讲 定积分
1.
⎰-
22
π
π
(1+cos x )d x 等于(D )
A .π
B .2
C .π-2
D .π+2
⎰-
22
π
π
(1+cos x )d x =(x +sin x) 22
|
ππ-=π+2.
2.(2018·华南师大附中模拟)⎠⎛0
1|x 2
-4|d x =(C )
A .7
B .22
3
C .113
D .4
⎠⎛0
1|x 2-4|d x =⎠
⎛0
1(4-x 2
)d x =(4x -13x 3)|10=4-13=113.
3.(2019·甘肃天水模拟)已知f(x)=⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
, x∈[0,1],1x
, x∈(1,e ],则⎠⎛0e f (x )d x 的值为(D )
A .-3
4 B .-23
C .23
D .43
⎠⎛0
e f (x )d x =⎠⎛0
1x 2d x +⎠⎛1
e 1x
d x =13x 3|10+ln x |e
1=43.
4.(2019·山东部分重点中学第二次联考)直线y =2x 与抛物线y =3-x 2
所围成的封闭图形的面积是(D )
A .253
B .2 2
C .- 3
D .323
由3-x 2
=2x ,得x =-3或x =1. 封闭图形的面积为
⎰
-1
3
(-x 2
-2x +3)d x =(-x 3
3-x 2+3x)1
-3=(-13-1+3)+9=323
.
5.(2018·山东部分重点中学第二次联考)定积分⎰
-2
2
(4-x 2
+|x |)d x = 2π+
4 .
⎰
-2
2
(4-x 2
+|x |)d x =
⎰
-2
2
4-x 2
d x +
⎰
-2
2
|x |d x ,
其中⎰
-2
2
4-x 2
d x 等于半圆x 2
+y 2
=4(y≥0)的面积,即为12
π·22
=2π,
⎰
-2
2
|x |d x
=2
⎰
2
x d x =4.
故原定积分的值为2π+4.
6.一物体在力F(x)=⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 0≤x≤1x +1 1<x≤2
(单位:N )的作用下,沿着与F 相同的方
向,从x =0处运动到x =2处(单位:m ),则力F(x)所做的功为 3 J .
W =⎠⎛02F (x )d x =⎠⎛01x d x +⎠⎛1
2(x +1)d x
=12x 210+(12
x 2+x )2
1 =12+(12×4+2)-(1
2+1)=3. 7.求下列定积分: (1)⎠⎛02(3x 2
+4x 3
)d x; (2)
⎰
20
π
(sin x -2cos x )d x ;
(3)⎠⎛0
π(2sin x -3e x
-2)d x .
(1)⎠⎛02(3x 2
+4x 3
)d x =⎠⎛023x 2
d x +⎠⎛0
24x 3
d x
=(x 3+x 4)20=23+24
=24. (2)
⎰
20
π (sin x -2cos x )d x =
⎰
20
πsin x d x -2
⎰
20
πcos x d x
=(-cos x )π20-2sin x π
20=-1.
(3)⎠⎛0π(2sin x -3e x
-2)d x
=2⎠⎛0
πsin x d x -3⎠⎛0πe x
d x -2⎠⎛0
πd x
=2(-cos x )π0-3e x π0-2x π0=7-3e π
-2π.
8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是(C)
A.在t0时刻,两车的位置相同
B.t0时刻后,乙车在甲车前面
C.在t1时刻,甲车在乙车前面
D.t1时刻后,甲车在乙车后面
路程S甲=∫t10v甲d t的几何意义为曲线v甲与t=t1及t轴所围成的区域的面积,同理,S乙=∫t10v乙d t的几何意义为曲线v乙与t=t1及t轴所围成的区域的面积.由图易知S甲>S乙,故选C.
9.(经典真题)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2 .
建立如图所示的平面直角坐标系,
由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y=2
25
x2-2,抛物线与x轴围成的面积S1=⎰-55 (2-225x2)d x=403,
梯形面积S2=6+10×2
2
=16.
最大流量比为S2∶S1=1.2.
10.(2019·山东枣庄一模)如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,记直线OP、曲线y=x2所围成的面积为S1,直线OP、曲线y=x2及直线x=2所围成的面积为S2,若S1=S2,求点P的坐标.
设直线OP 的方程为y =kx ,P 点的坐标为(x ,y), 则⎠⎛0x (kx -x 2
)d x =⎠⎛x
2(x 2
-kx )d x ,
即(12kx 2-13x 3)x 0=(13x 3-12kx 2)2
x , 解得12kx 2-13x 3=83-2k -(13x 3-12kx 2
),
解得k =43,即直线OP 的方程为y =43x ,
所以点P 的坐标为(43,16
9).。