《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习(提高) .doc
【图形的相似】全章复习提高
《图形的相似》全章复习提高一、【整章的知识结构】二、【知识要点归纳】(一)比例线段1、线段的比（长度之比）：比例尺=实际距离图距（注：单位统一）2、比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝cd，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 3、比例中项：如果a b ＝b c 那么b 叫做a 、c 的比例中项，也可以写成b 2＝ac4、比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a5、黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．6、平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
BAP相似多边形的性质相似 图形相似多边形相似三角形相似三角形的判定方法和性质三角形中位线梯形中位线三角形重心坐标与图形 的运动坐标表示物体 的位置●（1）对应边的比相等，对应角相等.●（2）相似三角形的周长比等于相似比.●（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.●（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
中考总复习：图形的相似--巩固练习(基础)
B①②D④O③中考总复习：图形的相似--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2011 ft东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x 轴上，OC在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1，那么点B′的坐标是（）．4A．（3，2）B．（－2，－3） C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）2.如图，△ABC中，BC=2，DE 是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。
其中正确的有（）．A.0 个B.1 个C. 2 个D. 3 个3.如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )．A.①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似AC4.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．45．（2015•锦州）如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 和D 的坐标分别为（）A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2）6.如图，在平行四边形 ABCD 中（AB≠BC），直线 EF 经过其对角线的交点 O，且分别交 AD、BC 于点M、N，交BA、DC 的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△ CNO，其中正确的是（）．A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题7.如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．第7 题第9 题8.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长，面积．9.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于．10.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是．11.（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1 与l2 之间距离是1，l2 与l3 之间距离是2，且l1，l2，l3 分别经过点A，B，C，则边AC 的长为．12.如图，不等长的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，且将四边形 ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若AO=BO=1，则甲、乙、丙、丁这4 个三角形中，一定相似的有．OC OD 2三、解答题13.已知线段OA⊥OB，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连 AC、BD 交于P 点．AP（1）如图 1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求PC的值；AD（2）如图 2，当OA=OB，AOAPP 3 1= 时，求 tan∠BPC； 4ADD B C O B C O图 2图 1 14.（2016•静安区一模）已知：如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 BC 、AB 上，BD=AD=AC ，AD 与 CE相交于点 F ，AE 2=EF•EC．（1） 求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；（2） 求证：AF•AD=AB•EF．15. 如图,已知在等腰△ABC 中,∠A =∠B =30°,过点 C 作 CD ⊥AC 交 AB 于点 D .(1) 尺规作图：过 A ，D ，C 三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2) 求证：BC 是过 A ，D ，C 三点的圆的切线；(3) 若过 A ，D ，C 三点的圆的半径为 ,则线段 BC 上是否存在一点 P ，使得以 P ，D ，B 为顶点的三 角形与△BCO 相似.若存在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由.CA B16. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点 P 在 AD 上滑动时（ 点 P 与 A ，D 不重合），一直角边经过点 C ，另一直角边交 AB 于点 E ．我们知道，结论“Rt △AEP∽Rt△DPC”成立．（1） 当∠CPD=30°时，求 AE 的长；（2） 是否存在这样的点 P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的 2 倍？若存在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一．选择题1. 【答案】D ． 2. 【答案】D ． 3. 【答案】B ； 【解析】由 OA ：OC=0B ：OD ，利用对顶角相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求． 4．【答案】A ．5. 【答案】C ；【解析】∵线段 AB 两个端点的坐标分别为 A （4，4），B （6，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD ，∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选：C ．6. 【答案】B ；【解析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得 AO≠BO，即可求得①错误；②易证△AOE≌△COF，即可求得 EO=FO ；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN；④易证△EAO≌△FCO，而△FCO 和△CNO 不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．二．填空题3 17. 【答案】 ． 28．【答案】90，270．9. 【答案】１:3; 【解析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF 是正三角形，又由直角三角 形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得 DF ：AB=1： ，又由相似三角形 的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．24 10. 【答案】4， ．7BF CF 【解析】根据折叠得到 BF=B′F，根据相似三角形的性质得到可求出 x 的长，得到 BF 的长=，设 BF=x，则CF=8-x，即AB BC1.【答案】．【解析】如图，过点B 作EF⊥l2，交l1 于E，交l3 于F，如图．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC= = ．∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴== ．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC= == ．在Rt△ABC 中，sin∠BAC==，AC= = = ．故答案为．12.【答案】甲和丙相似．AO BO 1【解析】∵==，∴AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∴△AOB∽△COD．OC OD 2故必有甲和丙相似．三.综合题13.【解析】1 1（1）过C 作CE∥OA交BD 于E，则△BCE∽△BOD得CE=2OD=2AD；AP 再由△ECP∽△DAP 得PCAD CE2 ；（2）过C 作CE∥OA交BD 于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，1由△BCE∽△BOD 得 CE=23OD= x，2再由△ECP∽△DAP得PDAD PE C E 52 ；3PD 2由勾股定理可知 BD=5x，DE=2x，则= DE -PDCO 1CP 2P 1O D3 3333 3，可得 PD=AD=x，3则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A==。
北师大九上第18讲 图形的相似复习与巩固
《图形的相似》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 要点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点二、相似三角形2b1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值.举一反三【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF ＝（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5类型二、相似三角形2. 如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)∠ABC=________，BC=________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.举一反三：【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A． B． C． D．【答案】B.3.如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF△BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．4. 在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．（1）若AB=AE，求证：△DAE=△D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．举一反三【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）.A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：255. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F 分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.(1)求y与x的函数解析式；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？举一反三【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?类型三、位似6. 将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：66. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点E 、C 、P 为顶点的三角形相似的是( ).A ．∠APB=∠EPCB ．∠APE=90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ：BC=2：37. 如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，,，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）.A ．9B ．10C ．12D ．138.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）.A ．∠E=2∠KB ．BC=2HIC ．六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL二、填空题 9. 在□ABCD 中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG 与△BFD12AEEB的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。
《图形的相似》复习课(可编辑修改word版)
《图形的相似》复习课教学目标：（一）知识与技能1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固提升。
（二）过程与方法体现研究图形问题的多种方法，培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
（三）情感与价值观要求培养学生对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等过程，发展学生的探索精神，合作意识，增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识。
教学重点：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。
教学难点：培养学生处理图形问题的思维发展水平，建立几何模型的解题思考过程。
教学内容：一、线段的比和比的基本性质AB m1、线段比的定义：AB∶CD＝m∶n 或写成＝，其中，线段AB、CD 分别叫做这两个线段比CD nm AB的前项和后项．如果把表示成比值k，则＝k 或AB＝kCD.n CDa c2、比例线段的定义：＝，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段．b d3、比例的性质：(1)比例的基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么a d＝bc；a c(2)如果ad＝bc(a、b、c、d 都不等于 0)，那么＝．b d4、在求两条线段的比时，有哪些地方是需要特别留意的？(1)线段的比为正数；(2)单位要统一；(3)线段的比与所采用的长度单位无关．1.已知线段AB＝2cm，线段CD＝2m，则线段AB∶CD＝．2.已知四条线段a、b、c、d 的长度，试判断它们是否成比例？(1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.3.已知直角三角形两条直角边长比a∶b＝1∶2，斜边长为4 5cm，那么三角形面积是( )A．32cm2 B．16cm2 C．8cm2 D．4cm24.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )3A. 3∶2B. 3∶1 C．2∶D．1∶3AE 5. 如图，已知矩形 ABCD (AB ＜BC )，AB ＝1.将矩形 ABCD 对折，得到小矩形 ABFE ，如果AB AB 的值恰好与 的值相等，求原矩形 ABCD 的边 AD 的长． AD 二、比例线段与比例的性质 1、比例的基本性质：如果 a ∶b ＝c ∶d ，那么 ad ＝bc ．a c e m a ＋c ＋e ＋…＋m a 2、等比性质：若 ＝ ＝ ＝…＝ ，且b ＋d ＋f ＋…＋n ≠0，则 ＝ ．b d f ac n a ± bc ±d b ＋d ＋f ＋…＋n b 3、合(分)比性质：若 ＝ ，则 ＝ ．b d ac e 1 bd a ＋c ＋e a ＋2c ＋3e 1.若 ＝ ＝ ＝ ，且 b ＋d ＋f ≠0，则 ＝ ； b d f 3 b d f ＋ ＋ ＝ ．a ＋b a ＋c b ＋cb 2d 3f2. 已知 c ＝ b ＝ a＝k ，则 k 的值是 2 或－1． a c e 1 3．若 ＝ ＝ ＝ ，b ＋d ＋f ＝30，则 a ＋c ＋e ＝15． b d f 2 a ＋4 b ＋3 c ＋84．已知 a 、b 、c 是△ABC 的三边，满足 3 ＝ 2(1)试求 a ，b ，c 的值；(2) 判断△ABC 的形状． 三、平行线分线段成比例＝ 4 ， 且 a ＋b ＋c ＝12. 1. 平行线等分线段：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等．2. 平分线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．3. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．1. 如图，已知 l 1∥l 2∥l 3，如果 AB ∶BC ＝2∶3，DE ＝4，则 EF 的长是( )10A . 3B ．6C ．4D ．25 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，E 是 AB 上的一点，EF ∥BC ，交 CD 于 F ，若 AE ＝2，BE ＝3， CD ＝4，则 FC ＝ ，DF ＝． 3．已知，如图，EG ∥BC ，GF ∥DC ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求 AD 的值．四、相似多边形1. 相似多边形的定义：(1) 从图形上讲：一般而言，形状相同的图形称为相似图形；(2) 从边、角上讲：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比；(3) 相似多边形的记法：用“∽”符号表示相似，如四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似， 记为“四边形 ABCD ∽四边形 A 1B 1C 1D 1”．2. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．1. 下列结论不正确的是( )A. 所有的矩形都相似 B ．所有的正方形都相似＋ ＋C. 2∶1C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似2.如图，在下面的三个矩形中，相似的是( )A.甲、乙和丙B．甲和乙C．甲和丙D．乙和丙3.如果一个矩形对折后所得到的矩形与原矩形相似，则矩形的长边长与短边长的比是( )A．2∶1 B．4∶1 D．1∶五、探索三角形相似的条件（一）三角形相似的判定定理 11.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在相同位置上，如A 与D，B 与E，C 与F 相对应．AB∶DE 等于BC∶EF．2.三角形相似判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相似．1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B．2 对C．3 对D．4 对2．如图，D 是直角三角形ABC 直角边AC 上的一点，若过D 点的直线交AB 于E，使得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有( )A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条3.已知△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.（二）两边一夹角判定两个三角形相似三角形相似判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．1.下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( )AE AC AE DEA.＝B．∠B＝∠ADE C. ＝D．∠C＝∠AEDAD AB AC BC2.下列条件能判断△ABC 和△A′B′C′相似的是( )AB AC AB AC AB A′B′AB ACA. ＝B. ＝且∠A＝∠C′C. ＝且∠B＝∠A′D. ＝且∠B＝∠B′A′B′A′C′A′B′A′C′BC A′C′A′B′A′C′3.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图三角形(阴影部分)与右图△ABC 相似的是( ),A) ,B) ,C) ,D)4.已知：如图，在△ABC 中，CE⊥AB，BF⊥AC.求证：△AEF∽△ACB.（三）三边成比例的两个三角形相似三角形相似判定定理 3：三条边成比例的两个三角形相似．1.下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( )25－1 2 5－1 2 AE AD AD AE DE DE AD A . ＝ ，∠CAE ＝∠BAD B.∠B ＝∠ADE ，∠CAE ＝∠BAD C . ＝ ＝ D . ＝ ，∠C ＝∠E AC AB AB AC BC BC AB2. 下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是( )（四）黄金分割 ,A ) ,B ) ,C ) AC BC 黄金分割的意义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果 ＝ ，那么AB AC称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．5－1 黄金比=，近似数为 0.618． 21. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC ＞BC ，则下列等式成立的是( )A ．AB 2＝AC ·CB B ．CB 2＝AC ·AB C ．AC 2＝CB ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC2. 已知 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC ∶AB 为( )A. B . 3－ 5 2 5＋1 C. 2D. 或 3. 下列说法正确的是( )A. 每条线段有且仅有一个黄金分割点B ．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的 0.618 倍C ．若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC 2＝AB ·BCD ．以上说法都不对六、利用相似三角形测高测量旗杆高度的常见方法有：(1)利用“同一时刻的物高与影长成比例”构造相似三角形；(2) 利用“视线、标杆和物高”构造相似三角形；(3) 利用“平面镜中入射角与反射角相等”构造相似三角形．①利用阳光下的影子来测量旗杆的高度点拨：把太阳的光线看成是平行的．∵太阳的光线是平行的，∴AE ∥CB ，∴∠AEB ＝∠CBD ，AB BE AB·BD ∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB ，∴△ABE ∽△CDB ，∴ ＝ ，即 CD ＝ ，CD DB BE代入测量数据即可求出旗杆 CD 的高度．②利用镜子的反射点拨：入射角＝反射角．∵入射角＝反射角，∴∠AEB ＝∠CED .∵人、旗杆都垂直于地面，AB BE AB·DE ∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△AEB ∽△CED ，∴ ＝ ，∴CD ＝ .因此，测量出人与镜子的CD DE BE距离 BE ，旗杆与镜子的距离 DE ，再知道人的身高 AB ，就可以求出旗杆 CD 的高度． 1. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆 AC 的高度，在点 F 处竖立一根长为 1.5m 的标杆 DF ，如右图，量出 DF 的影子 EF 的长度为 1m ，同一时刻测量旗杆 AC 的影子 BC 的长度为6m ，那么旗杆 AC 的高度为( )A. 6mB ．7mC ．8.5mD ．9m2. 如图，是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点 P 处放一水平的平面镜，,D )3－ 5 2光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB⊥BD，CD⊥B且D.测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝12m.那么该古城墙CD 的高度是( )A.6m B．8m C．18m D．21m3.小明想知道学校旗杆的高，在他与旗杆之间的地面上直立一根2 米的标竿EF，小明适当调整自己的位置使得旗杆的顶端C、标竿的顶端F 与眼睛D 恰好在一条直线上，量得小明高AD 为 1.6 米，小明脚到标杆底端的距离AE 为0.5 米，小明脚到旗杆底端的距离AB 为8 米．请你根据数据求旗杆BC 的高度．七、相似三角形的性质（一）相似三角形对应线段的比1.相似多边形对应边的比叫做相似比．2.相似三角形的对应角相等，对应边成比例．3.相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比1.如果两个相似三角形对应角平分线之比为1∶2，那么它们对应中线之比为( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶82.已知△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′是高，且AD＝3cm，A′D′＝5cm，AE，A′E′分别是BC 和B′C′边上的中线，AE＝6cm，则A′E′＝．3.如图，在△ABC 是一张锐角三角形硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2 倍的矩形EFGH，使它的一边EF 在BC 上，顶点G，H 分别在AC，AB 上，AD 与HG 的交点为M.AM HG(1)求证：AD ＝BC；(2)求矩形EFGH 的周长．（二）相似三角形周长和面积的比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．1.下列命题中错误的是( )A．相似三角形的周长比等于对应中线的比B．相似三角形对应高的比等于相似比C．相似三角形的面积比等于相似比D．相似三角形对应角平分线的比等于相似比2.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．4∶13.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6cm 和8cm，它们的周长之和为35cm，则较小的三角形的周长为．4.在▱ABCD 中，BE＝2AE，若S△AEF＝6，求S CDF.八、图形的位似（一）位似变换1.位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A、A′的连线(或延长线)都经过同一个点O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心，这时的相似比k 又称为位似比．2.位似多边形的性质：(1)位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质；(2) 位似多边形上任意一对对应点连线(或延长线)都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比．3.同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三个条件缺一不可：①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行(或在同一直线上)．4.画位似图形的方法：①确定位似中心；②找对应点；③连线；④下结论．1.如图所示的每组图中的两个多边形，一定不是位似图形的是( ),A) ,B) ,C) ,D)2.下列说法错误的是( )A．位似多边形对应角相等，对应边成比例B．位似多边形对应点所连的直线一定经过位似中心C．位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D．两个位似多边形一定是全等图形1.若五边形ABCDE 3.如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE 是位似图形，且位似比为2的面积为16cm2，周长为20cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为，周长为．4．如图，已知四边形ABCD 和点O，请以O 为位似中心，作出四边形ABCD 的位似图形，把四边形ABCD 放大为原来的2 倍．（二）位似变换中的坐标变化1.在平面直角坐标系中，一个多边形每一个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|．2.我们学习过的图形变换包括：平移、轴对称、旋转和位似．其中经过平移、轴对称、旋转变换前后的两个图形一定是全等的；而经过位似变换前后的两个图形是相似的1.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2 倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( )A．(2，4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1)2.在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(－6，1)，B(－3，1)，C(－3，3)．若将它们的横纵坐标都乘以－3，得到新三角形△A1B1C1，则△A1B1C1与△ABC 是位似关系，位似中心是，位似比等于．3.如图，已知△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1 个单位长度)(1)画出△ABC 向下平移4 个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且相似比为2∶1，点C2的坐标是；(3)△A2B2C2的面积是平方单位．九、相似三角形的几种基本模型。
北师大版初中数学九年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料)：第18讲《图形的相似》全章复习与巩固(基础)
《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．（2019•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：6 6. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点E 、C 、P 为顶点的三角形相似的是( ).A ．∠APB=∠EPCB ．∠APE=90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ：BC=2：37. 如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，,，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）.A ．9B ．10C ．12D ．138.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）.A ．∠E=2∠KB ．BC=2HIC ．六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL二、填空题 9. 在□ABCD 中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG 与△BFD 的面积之比为________.12AEEB11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.（2019•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。
新人教版九年级下册《相似》全章复习与巩固--巩固练习(提高)
《相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④.其中单独能够判定的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BC.A．2个B．3个C．4个D．5个4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似5．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，•⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )A．②③④B．③④⑤C．④⑤⑥D．②③⑥6. （2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．7. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米8. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）A.512-B.512+ C. 3 D. 2二、填空题9. 如图，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC=8，BC=6，则AD=_________.10. 如图，M 是ABCD 的边AB 的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比为___ __.11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
19.第6章图形的相似九年级数学下册专题巩固训练含答案
图形的相似阶段九年级数学下册专题巩固训练一、选择题1、下列四条线段成比例的是( )A ．1 cm ，2 cm ，4 cm ，6 cmB ．3 cm ，4 cm ，7 cm ，8 cmC ．2 cm ，4 cm ，8 cm ，16 cmD ．1 cm ，3 cm ，5 cm ，7 cm2、若34y x =，则x y x +的值为（ ） A ．1 B ．47 C ．54 D ．743、已知2a 3b ＋3c ＝2b 3c ＋3a ＝2c 3a ＋3b＝k ，则k 的值为( ) A.13 B ．－23 C.13或－23 D.23或－1 4、在比例尺为1：2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B 两地间的实际距离为（ ）A ．10mB ．25mC ．100mD ．10000m5、已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BC AC，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果AC 2＝AB ·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割 C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比 D ．一条线段有两个黄金分割点6、已知AB ＝2 cm ，C 为AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的值为( )A ．(5－1)cmB ．0.618 cmC ．(3－5)cm D.3－52cm 7、下列各组图形相似的是( )8、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对9、如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2二、填空题10、已知三条线段的长度分别是4，8，5，当另一条线段的长为_______时，这四条线段是成比例线段． 11、已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．12、已知a b ＝c d ＝e f ＝3，且b ，d ，f 为正数，则a ＋c ＋e b ＋d ＋f的值为_____ 13、如图，C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，且CD ＝1，则线段AB 的长为 ．14、已知线段MN ，P 是它的黄金分割点，若MN ＝5＋1，则线段MP 的长是_________15、如图，在一个矩形纸片ABCD 上剪去一个正方形ABEF ，所余下的矩形ECDF 与原矩形ABCD 相似，那么原矩形中较长的边BC 与较短的边AB 的比值为________．16、若△ABC ∽△DEF ，且AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF ＝___ ___17、如图，正方形EFGH 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似比为35，则BEAE （AE ＜BE ）的值为 ．18、如图，已知△ACP∽△ABC，AC ＝4，AP ＝2，则AB 的长为________．19、图中的两个四边形是相似图形，若∠N ＝125º，则∠Ｍ＝＿＿.20、仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有 ．(填序号)三、解答题21、若a ＋23＝b 4＝c ＋56，且2a －b ＋3c ＝21.求a ∶b ∶c.22、如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上；（1）求AM ，DM 的长；（2）点M 是线段AD 的黄金分割点吗？为什么？23、如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．24、如图，矩形ABCD中，AB＝30，BC＝20.(1)如图①，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，则图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；ABCD与A′B′C′D′相似？图形的相似阶段九年级数学下册专题巩固训练(答案)一、选择题1、下列四条线段成比例的是( C )A ．1 cm ，2 cm ，4 cm ，6 cmB ．3 cm ，4 cm ，7 cm ，8 cmC ．2 cm ，4 cm ，8 cm ，16 cmD ．1 cm ，3 cm ，5 cm ，7 cm2、若34y x =，则x y x +的值为（ ） A ．1 B ．47 C ．54 D ．74解答：∵34y x =，∴x y +1=43+1 ∴43744x y x ++==．故选D ． 3、已知2a 3b ＋3c ＝2b 3c ＋3a ＝2c 3a ＋3b ＝k ，则k 的值为(C ) A.13 B ．－23 C.13或－23 D.23或－1 4、在比例尺为1：2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B 两地间的实际距离为（ ）A ．10mB ．25mC ．100mD ．10000m解答：设A 、B 两地间的实际距离为xm ， 根据题意得152000x 100=，解得x ＝100． 所以A 、B 两地间的实际距离为100m ． 故选C ．5、已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是(C )A ．如果AC AB ＝BC AC，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果AC 2＝AB ·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割 C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比 D ．一条线段有两个黄金分割点6、已知AB ＝2 cm ，C 为AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的值为( A )A ．(5－1)cmB ．0.618 cmC ．(3－5)cm D.3－52cm 7、下列各组图形相似的是( B )8、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( A )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对9、如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( C )A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2二、填空题10、已知三条线段的长度分别是4，8，5，当另一条线段的长为_______时，这四条线段是成比例线段．[解析] 由于题目中没有明确具体的比例式，所以存在多种情况．设所求的线段长度为x .当5x ＝4×8时，得x ＝325； 当8x ＝4×5时，得x ＝208＝52； 当4x ＝5×8时，得x ＝404＝10. 故答案为325或52或1011、已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．解答：∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==， 解得b ＝±4，又∵线段是正数，∴b ＝4．故答案为4．12、已知a b ＝c d ＝e f ＝3，且b ，d ，f 为正数，则a ＋c ＋e b ＋d ＋f的值为__ 3___ 13、如图，C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，且CD ＝1，则线段AB 的长为 ．【解析】∵线段AB ＝x ，点C 是AB 黄金分割点， ∴较小线段AD ＝BC=215-x , 则CD ＝AD+BC-AB ＝2×215-x -x 解得：x ＝2． 故答案为：214、已知线段MN ，P 是它的黄金分割点，若MN ＝5＋1，则线段MP 的长是____2或5－1 _____15、如图，在一个矩形纸片ABCD 上剪去一个正方形ABEF ，所余下的矩形ECDF 与原矩形ABCD 相似，那么原矩形中较长的边BC 与较短的边AB 的比值为__5＋12______．16、若△ABC ∽△DEF ，且AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF ＝___ 6 ___17、如图，正方形EFGH 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似比为，则（AE ＜BE ）的值为 ．【解析】∵正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似比为，∴不妨假设EF k ，AB ＝3k ，∵∠A ＝∠B ＝∠FEH ＝90°，∴∠AEH +∠BEF ＝90°，∠BEF +∠EFB ＝90°， ∴∠AEH ＝∠EFB ， ∵EH ＝EF ，∴△HAE ≌△EBF （AAS ），∴AE ＝BF ，设AE ＝BF ＝x 则EB ＝3k ﹣x ，在Rt △EFB 中，∵EF 2＝BE 2+BF 2，∴（k ）2＝（3k ﹣x ）2+x 2，整理得x 2﹣3kx +2k 2＝0，解得x ＝k 或2k （舍弃），∴AE ＝k ，BE ＝2k ，∴，故答案为．18、如图，已知△ACP∽△ABC，AC ＝4，AP ＝2，则AB 的长为___ 8 _____．19、图中的两个四边形是相似图形，若∠N ＝125º，则∠Ｍ＝＿ 125º＿.20、仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有(1)(2)(5)．(填序号)三、解答题21、若a ＋23＝b 4＝c ＋56，且2a －b ＋3c ＝21.求a ∶b ∶c. 解：令a ＋23＝b 4＝c ＋56＝m ， 则a ＋2＝3m ，b ＝4m ，c ＋5＝6m ，∴a ＝3m －2，b ＝4m ，c ＝6m －5.∵2a －b ＋3c ＝21，∴2(3m －2)－4m ＋3(6m －5)＝21，即20m ＝40，解得m ＝2，∴a ＝3m －2＝4，b ＝4m ＝8，c ＝6m －5＝7.∴a ∶b ∶c ＝4∶8∶722、如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上；（1）求AM ，DM 的长；（2）点M 是线段AD 的黄金分割点吗？为什么？（1）15-=AM ；53-=DM ；（2）根据定义可证明：点M 是线段AD 的黄金分割点；23、如图，G 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，作GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F.求证：四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．证明：∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°.又∵GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，∴EG ＝FG ，且AE ＝EG ，AF ＝FG .∴AE ＝EG ＝FG ＝AF.又∵∠EAF ＝90°，∴四边形AFGE 为正方形．∴AF AB ＝FG BC ＝GE CD ＝AE AD，且∠EAF ＝∠DAB ，∠AFG ＝∠ABC ，∠FGE ＝∠BCD ，∠AEG ＝∠ADC. ∴四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．24、如图，矩形ABCD 中，AB ＝30，BC ＝20.(1)如图①，若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，则图中所形成的两个矩形ABCD与A ′B ′C ′D ′相似吗？请说明理由； ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似？理由：由题意，得AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18，而2830≠1820， ∴A ′B ′AB ≠ B ′C ′BC， ∴矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′不相似． (2)∵矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似，∴A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ，则30－2x 30＝20－220，解得x ＝1.5. 或A ′B ′BC ＝B ′C ′AB ，则30－2x 20＝20－230，解得x ＝9， ∴当x 为1.5或9时，图中的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似．。
《相似三角形》全章复习和巩固(提高)-巩固练习.docx
《相似三角形》全章复习与巩固（提高） 巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；③直角三角形斜边上的 屮线与斜边的比为1： 2；④两个相似多边形的面积比为4： 9,则周长的比为16： 81屮，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC,他量得AB=20米，BD=30米，CE=90米，则河宽区为（）A. 50 米B. 40 米C. 60 米D. 80 米3. 一个三角形三边的长分别为3, 5, 7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,则其它两边的和是（）A. 19B. 17C. 24 D ・ 21 , AB=AD-2 ^2 , 防血，点P 在四边形力必9的边上.若戶到別的距离碍则点P 的个数为（）5. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点0）20米的点A 处，沿0A 所在的直线行 走14米到点B 时，人影的长度（）A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3. 5米D.减小3. 5米6. 如图，在AABC 中，AB 二24, AC=18, D 是AC 上一点，八D 二6,在AB 上取一点E,使A 、D 、E 三点组成的 三角形与△ABC 相似，则AE 的长为（）D.8 或 9E 在AD 上，且CE 平分ZBCD, BE 平分ZABC,则下列关系式中成立的有（）4.如图，四边形力磁中,9A.8B.- 2 7.如图,梯形ABCD 中, 卡9C. 8 或一2AB//CD, ZA 二CD _DE ① ~AB~~AE A. 2个CD _ DE ② ~AE ~7B B ・3个C ・4个CE _ BE ③ DE~ AB D ・5个；④CE=CDXBC ；⑤BE^AEXBCC. 3D. 4二、填空题抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m,则桶内油面的高度为 __________第9题 第10题 第11题11. 如图，在ZXABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G, CF=1,贝0BC 二AADE 与ZXABC 的面积之比为 _________ , ACFG 与△BFD 的面积之比为 _________ .12. 如图，在口ABCD 中，AD 二10厘米，CD 二6厘米，E 为AD 上一点，且BE 二BC,CE 二CD,则DE 二 厘米. 13. 如图，Z7ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F, CD 二2DE.若ADEF 的面积为/则口 ABCD 的面积为 ______ .（用a 的代数式表示）第12题 笫13题 笫14题14. 如图，M 是口ABCD 的边AB 的中点，CM 交BD 于E,则图中阴影部分的面积与口ABCD 的面积之16. 如图，在口ABCD 屮，点F 是AB 的屮点，点E 在BC 上，且BC=3BE,设BF =ci , BE = b,那么将下 列向量表示d 、b 的分解式:8.如图，已知△ABC 中, 两条中线AE. CF 交于点G,设BA = m BC = n.则向量CF 关于"八〃的分解式表示正确的为（ A. CF = -m + — n2)B. CF = — m-rt C ・ CF = m ——n229.如图，RtAABC 中,AC 丄BC, CD 丄AB 于 D, AC=8, BC=6,则 AD 二10. 一油桶高0.8m,桶内有油, 一根木棒长lm,从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口, (1) AD；(2) BD ；(3) EA ；(4) OC比为 ____则用向量b 、C 表示d =2z 2 -3x+4 _ x 2 4-x-l2x 2一3x-4 x 2+x+l18. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完 整.原题：如图1,在OABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD于点G,若——=3EF（1）尝试探究在图1中，过点E 作EH//AB 交BG 于点H,则AB 和EH 的数量关系是 _________________ , CG 和EH 的CD数量关系是 ，——的值是----------------- CG -----------------------------（2） 类比延伸如图2,在原题的条件下，若 —=m （m > 0）则£2的值是（用含加的代数式表示），试EF CG写出解答过程.（3） 拓展迁移 DC 〃AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F,若AB 二2cm, AC=4cm,动点P 从点A 出发，沿AB 方向以lcm/s 的速度向点B 运动，动点Q 从点B 同时出发，沿BA 方向以lcm/s 的速度向点A 运动.当点P 到三.解答题17.解方程: CG的值.如图3,梯形ABCD 屮, AB =ClyCD0,则竺EF的值是 ____________ （用含a"的代数式表示）. 19.如图，在ZiABC 中,ZA=90°DBB ~E C1S1B EC 图2图3达点B时，P, Q两点同吋停止运动.以AP 为一边向上作正方形APDE,过点Q 作QF 〃BC,交AC 于点F.设点P 的运动吋间为ts,正 方形APDE 和梯形BCFQ 重合部分的面积为Scm 2・ （1） ________ 当2 s 时，点P 与点Q 重合； （2） ________ 当t 二 s 时，点D 在QF 上；（3） 当点P 在Q, B 两点之间（不包括Q, B 两点）时，求S 与t 之间的函数关系式.20.计算:⑴十+ (4_”) + 2庆2 13(2) (2a--^3c)-(--a + -b-2c).【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B ；【解析】正确的是①③. 2. 【答案】B ；AD20 30【解析】BDHEC f :. AABD<^AACS f :. 一 = 一, ---------------- = —BC=40m.AC SC 20 + 5C 903. 【答案】C ；【解析】用相似三角形的对应边的比相等求出其他两边，再求和. 4. 【答案】B ；【解析】A 到BD 的距离为2,故在AB 、AD 存在P. 5. 【答案】D ；【解析】由题意，OA - 20m f OB = OA-AB = 20-14= 6m t同理，BN =MA-NB = 5-1.5 = 3.5^2.6. 【答案】C ；【解析】如图，情况分两种:由相似,MAMOMAMA + 20（a川图:'7. 【答案】B ；【解析】②③④成立. 8. 【答案】B. 二、填空题 9. 【答案】6.4；AH 21 r*由LACDSLABS. — = AD = 6.4 . AC AB 10. 【答案】0. 64m ；【解析】将实际问题转化为儿何问题是解题的关键，即由题意可得RtAABC,其中AB=lm, AC 二0. 8m,BD 二0.8m, DE//BC,将问题转化为求CE 的长，由平行线分线段成比例定理计算即得.11. 【答案】2； 1:4； 1:6；【解析】由题意，'CFG® 墮DG,:. CF = DE , DEHBC 包DE =、BC , ：. BC = 22AADESAASCj -^=——=1:4九馳丿T AE = 2EG,・.= 22^仍=，瓦cyg _SjiCFGiLADE &12. 【答案】3.6；【解析】Z\BCE 与Z\CDE 均为等腰三角形，II 两个底角ZDEC 二ZBCE, •••△BCEs^CDE,13. 【答案】12a ；【解析】根据四边形肋〃是平行四边形，利用已知得出△化\DEF S 'ABF 、进而利用相似三角形的性质分别得出△伽、△/!/的而积为4日、9已，然后推出四边形优莎的面积为8日即可.14-【答案4【解析】在RtAABC 中,.BC CE * CD DE ・・・—,ADE=3. 6厘米.6 DEA AMR Mg DE1 1 【解析\ bMBESWDE耳=岂=三=7，:.5 =心遇，CD EC DE 2^AZW= 2瓦^豳,沫观=2S©趣(三角形等高，面积比等于底边比)^S L ADM= =，^a A£CD = ^iLADM + 瓦ZW + 瓦 CSB + 瓦 ODE + =】阴影部分的面积与OABCD的面积之比为1： 3.1715.【答案】ci = ----- b ------- c；18 27316.【答案】(1) 3b ；(2) 2a + 3b；(3) 2a —b ；(4) —a —h.2三、解答题17.【答案与解析】应用合比性质：原方程化为4异-6X =2”+2X ,8 -2即 2x2 -3^ x2 +x' -4-~ -1解得Xi二0,七=‘6经检验^i = 0,x2=-i都是原方稈的根.（1）AB*CG = gz、m⑵一2作EH〃AB交BG于点H,则厶EHF^AABF, — = — = m,AB = mEH EH EFTAB二CD, CD = mEHTEH〃AB〃CD, AABEH^ABCG,CG BC c••——=——=2, ACG=2EIhEH BECD mEH m•18. 【答案与解析】图1图3■&— 2EH一亍(3) ab提示：此问是(1)、(2)类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件— = a,— = b(a>^b>0),所以添加如图3,过点E作EH/7AB交BD的延长线于点II,贝9有CD BE --- —--- , --- —---- ,两式相比就可得出---- —cibBE EH EF EH EF19.【答案与解析】(1)VP, Q的运动速度都是lcm/s,・・・P, Q在AB的中点重合.・••当t二Is时，P, Q重合.(2)VQF II AC••务篇即乎号「•AF二4-2t, 乂 TDP II AF,二穿影即占(3)①当l<tW土时，如图1、图2.3VPQ II BC,AF AQ nn•••——=^,即 AF二4-2t, EF=4-3t,AC ABXVDE II AB,EG FE EG4_3/•••△FE2MQ得，巫=帀，百=科,3 cEG= --- f + 2 ,2/ 3 — 5 宀• • GD=t"(— f + 2)二一/ —2 92 2QP二AP-AQ二t-(2-t)=2t-2,9 9S 二一t~—2f44 AF AO ②当严＜2时，由aFQsMBC 得，花=嗟加".= l(4-2z)(2-r)= (2-r)21 3同理由△CEH^ACBA 可得 EH=1一一t, HD=-r-2； ABPG^ABAC,得 PG 二4-2t, DG=t-(4-2t)=3t-42 2 •: S= S = S 正方形APDE _ S/V1QF _ S △DHG= r2_l (2_r)2_l ⑶一4)(|r _2)2 2 29 9 =—+ 10/ — 8. 420. 【答案与解析】/、1 1 八" 1 , 1 ,…11 9Z(1) ----------------------------------------- ——d + (4b ——b) + 2b = 4a ——b + 2b = —d +—b ；3 5 3 5 3 52 13 2 1 3 5 17(2) (2a ——b + 3c) — (——a^-b-2c) = 2a ——b + 3c + —a — 二b + 2c = — a --------------- b + 5c.3 24 3 2 4 2 12图1BB。
《图形的相似》全章复习与巩固(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学上册
专题4.50《图形的相似》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1. 若()450m n m =≠，则下列等式成立的是（ ）A. 45m n = B. 54m n = C. 45m n = D. 54m n =2. 已知线段AB=2，P 是线段AB 的黄金分割点，AP>PB ，那么线段AP 的长度等于（ ）A. B. 1- C. D. 3-3. 如图，在ABC 中，AB BC =，点D 为AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，连接BE ，若13DE =，20AC =，则BE 的长为（ ）A. 12B. 20C. 24D. 264. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）A. 2：1B. 1：2C. 3：2D. ：15. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12B D 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论正确的是（ ）A. DE 垂直平分ACB. △ABE ∽△CBAC. 2BD BC BE =⋅D. CE AB BE CA⋅=⋅6. 如图，AC ⊥BC ，:3:4AC BC =，D 是AC 上一点，连接BD ，与∠ACB 的平分线交于点E ，连接AE ，若83ADE S ∆=，323BCE S ∆=，则BC ＝（ ）A. B. 8 C. D. 107. 如图，在ABC 中，120BC =，高60AD =，正方形EFGH 一边在BC 上，点,E F 分别在,AB AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A. 15B. 20C. 25D. 308. 如图，在矩形ABCD 中，AB =AD =6，直线l 与BC 、AD 、AC 分别相交于E 、F 、P 点，且AF =2，∠BEF =60o ，则AP 长为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AD 上一点，交AC 于点E ，交CD 的延长线于点G ，若2AF =3FD .则BE EG的值为（ ）A. 35 B. 25 C. 23 D. 1310. 如图，直线112y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，BOC 与B O C ''' 是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B '的坐标为( )A. (8,3)--B. 34,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭或32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (8,3)--或(4,3)二、填空题11. 已知：23a b =，则22a b a b-+ 的值是_______.12. 把两个含30 角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AF AC=_________．13. 如图，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B 的对应点B ′的坐标为_______．14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE =40cm ，EF =20cm ，测得边DF 离地面的高度AC =1.5 m ，CD =8 m ，则树高AB =____m ．15. 如图，在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ =________．16. 如图，正方形ABCD 中，1124AB AE AB ==，，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为_______．17. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ．折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上．若5DE =，则GE 的长为__________．18. 如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '，AC '分别交对角线BD 于点,E F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为_______．三、解答题19. 已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且():():()(2):7:1a c a b c b -+-=-，24a b c ++=.(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断ABC ∆的形状.20. 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得 1.25m AB =，已知李明直立时的身高为1.75m ，求路灯的高CD 的长．（结果精确到0.1m)．21. 如图，AD 平分CAB ∠，过点D 作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥的延长线于点N ，且NCD B ∠=∠．（1）求证：BD CD =．（2）若//,6CD AB AC =，求BD 的长．22. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．23. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE =DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：△BEC ∽△BCH ；（2）如果BE 2=AB •AE ，求证：AG =DF ．24. 在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；（2）如图2，当5AB =，且10AF FD ⋅=时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，求A B B C 出的值．专题4.50《图形的相似》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】D【解析】【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断即可．【详解】解：A.由45m n =，可得54m n =，不符合题意；B.由54m n=，可得45nm =⨯，不符合题意；C.由45m n =，可得54m n =，不符合题意；D.由54m n =，可得45m n =，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化．【2题答案】【答案】B【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP ，代入数据即可得出AP 的长．【详解】解：∵线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ；∴AP ＝ ．故选：B ．【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．解题的关键是掌握黄金分割的公式：较短【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据题意可知DE 为ABC 的中位线，根据等腰三角形的性质可得BE AC ⊥，勾股定理解Rt BCE 即可求解．【详解】 点D 为AB 的中点，AD BD ∴=，DE ∥BC ，AD AE BD EC∴=1=，AE EC ∴=，12DE BC ∴=，1226,102BC DE EC AC ∴====，,AB BC AE EC == ，BE AC ∴⊥，在Rt BCE 中，24BE ==，故选C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线的判定与性质，三线合一，勾股定理，求得E 是AC 中点是解题的关键．【4题答案】【答案】D【解析】【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可．【详解】解：设原来矩形的长为x ，宽为y ，如图，则对折后的矩形的长为y ，宽为2x ，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x ：y =y ：2x ，解得x ：y:1 ．故选：D ．【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线，AB AD =，根据SAS 证明ABE ADE ≌，可得EB ED =，90ADE ABE ∠=∠=︒，根据面积法可得11221122ABEAEC AB BE AB BE S S AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅ ，可得AB BE AC EC =即可判断D 选项正确，其他选项无法证明．【详解】解：根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线，AB AD =，∴EAB EAD ∠=∠，在ABE △与ADE 中，AE AE EAB EAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ADE ≌，∴EB ED =，90ABC ∠=︒ ，∴90ADE ABE ∠=∠=︒，∴,BE AB ED C ⊥⊥， 11221122ABEAEC AB BE AB BE S S AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅ ，∴AB BE AC EC=，即CE AB BE CA ⋅=⋅．A,B,C 选项无法证明．故选：D ．【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．【6题答案】【答案】B【解析】【分析】过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,,F G 由角平分线的性质可得：,EF EG =利用83ADE S ∆=，323BCE S ∆=可以求得,AD BC进而求得,CDE BCD S S ∆∆，利用面积公式列方程求解即可．【详解】解：如图，过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,.F GCE 平分,ACB ∠,EF EG ∴=:3:4AC BC = ，设3,4,AC x BC x ==83ADE S ∆=，323BCE S ∆=，18132,,2323AD EG BC EF ∴== 1,,4AD AD x BC ∴=∴= 2,CD AC AD x ∴=-=162,3CDE ADE S S ∆∆∴== 163216.33BCD S ∆∴=+= 12416,2x x ∴= 2,x ∴=（负根舍去）48.BC x∴==故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．【7题答案】【答案】B【解析】【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EF AN BC AD=．设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，∴6012060x x-=解得：x=20所以，AN=20．故选：B．【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．【8题答案】【答案】D【解析】【分析】过点F做FH垂直CB，垂足为H，根据60BEF︒∠=计算出3EH=，再得出1CE =，根据//CE AF 可以得到12CE CP AF AP ==，再根据勾股定理计算出AC ，从而计算出AP 的长度．【详解】解：过点F 做FH 垂直CB ，垂足为H ，∵ABCD 为矩形，FH BC ⊥，∴四边形ABHF 是矩形，∴FH AB ==2AF HB ==∵60BEF ︒∠=，90︒∠=FHE ，∴12EH EF =，∴2224FH EH EH +=，∴3EH =，∵6BC AD ==∴1CE BC EH HB =--=，∵CE AF ∥，∴CEP AFP ∽，∴12CE CP AF AP == ，∵AC ==，∴23AP AC ==故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理和相似三角形的性质，解题的关键是根据60BEF ︒∠=计算出EH ，从而计算出CE ．【9题答案】【答案】A【解析】【分析】由2AF ＝3DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝32k ，AD ＝AF +FD ＝3522k k k +=，再利用相似三角形性质即可解决问题．【详解】解：由2AF ＝3DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝32k ，AD ＝52k ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠DGF ，∵∠AFE ＝∠GFD ，∴△ABF ∽△DFG ，且∠AFE ＝∠GBC ，∴△BCG 为等腰三角形，即BC ＝CG ＝AD ＝52k ，∵△GFD 为等腰三角形，即FD ＝GD ，∴CD ＝CG ﹣DG ＝5322k k k -=， AB ∥CD ，//AB CG ∴，EAB ECG EBA EGCAEB CEG ∠=∠⎧⎪∴∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ∽△CGE ，∴332552k BE AB EG CG k ===．故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．【10题答案】【答案】D【解析】【分析】分点B '在y 轴左侧与右侧两种情况，根据对应线段比等于相似比，求出OO '与O B ''的长度即可【详解】解：如图所示，∵直线112y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴ 当0x =时1y =；当0y =时，2x =-，∴(2,0)A -，(0,1)B ，∴2OA =，1OB =，∵BOC 与B O C ''' 是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，∴13OA O A ='，13OB O B =''，∴36O A OA '==，33O B OB ''==，当点B '在y 轴右侧时，624OO O A OA ''=-=-=，∴点B 的对应点B '的坐标为(4,3)；当点B '在y 轴左侧时，628OO O A OA ''''=+=+=，∴点B 的对应点B ''的坐标为(8,3)--；综上，点B 的对应点B '的坐标为(8,3)--或(4,3)．故选D ．【点睛】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的定义是解题的关键，注意分情况讨论，避免漏解．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．二、填空题【11题答案】【答案】12-【解析】【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.【详解】解：由23a b =，可设a=2k ，b=3k ，(k ≠0),故：222341222382a b k k k b b k k k --⨯-===-++⨯，故答案：12-.【点睛】此题主要考查比例的性质，a 、b 都用k 表示是解题的关键.【12题答案】【答案】35【解析】【分析】连接CE ，设CD=2x ，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x ，x ，，AB=3，再由已知证得CE ∥AB ，则有AF BF CF EF =，由角平分线的性质得32AB BF AE EF ==，进而求得AF AC 的值.【详解】连接CE ，设CD=2x ，在Rt ΔACD 和Rt ΔABC 中，∠BAC=∠CAD=30º，∴∠D=60º，AD=4x ，=，BC=12AC x ，3=x ，∵点E 为AD 的中点，∴CE=AE=DE=12AD =2x ，∴ΔCED 为等边三角形，∴∠CED=60º，∵∠BAD=∠BAF+∠CAD=30º+30º=60º，∴∠CED=∠BAD，∴AB∥CE，∴AF BF CF EF=，在ΔBAE中，∵∠BAF=∠CAD=30º∴AF平分∠BAE，∴3322 AB BF xAE EF x===，∴32 AF BFCF EF==，∴35 AFAC=，故答案为：3 5 .【点睛】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.【13题答案】【答案】（8，6）或（－16，－6）【解析】【详解】试题分析：直线y=x+1与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣2，0），B（0，1），已知△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，所以==，即可求得O′B′=3，AO′=6，所以B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．考点：一次函数图象上点的坐标特征；位似变换.【14题答案】【答案】5.5【解析】【详解】在△DEF和△DBC中，D DDEF DCB∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴△DEF∽△DBC，∴DE CD EF BC=，40cm=0.4m，20cm=0.2m，即0.48 0.2BC=，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m视频【点睛】考点：相似三角形【15题答案】【答案】154或307【解析】【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；由相似三角形的性质列比例式求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴10AB==，①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，∵PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BCA ，∴BQ PQ BA AC=，∴10106x x -=，∴x =154，∴AQ =154．②当AQ =PQ ，∠PQB =90°时，如图2，设AQ =PQ =y ．∵∠PQB =∠C =90°，∠B =∠B ，∴△BQP ∽△BCA ，∴PQ BQ AC BC =，∴1068y y -=，∴y =307．综上所述，满足条件的AQ 的值为154或307．【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．【16题答案】【答案】4【解析】【分析】先证明BPE CQP ∆∆∽，得到与CQ 有关的比例式，设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：9090BEP BPE QPC BPE ∠+∠︒∠+∠︒ ＝，＝，BEP CPQ ∴∠∠＝．又90B C ∠∠︒＝＝，BPE CQP ∴∆∆∽．BE BP PC CQ∴=设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣．912x x y ∴=-，化简得()21129y x x =--，整理得21(6)49y x =--+，所以当6x ＝时，y 有最大值为4．故答案为4．【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．【17题答案】【答案】4913【解析】【分析】先根据勾股定理得出AE 的长，然后根据折叠的性质可得BF 垂直平分AG ，再根据ABM ~ADE ,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE 的长【详解】解：在正方形ABCD 中，∠BAD=∠D =090，∴∠BAM+∠FAM=090在Rt ADE 中，13===A E ∵由折叠的性质可得ABF GBF≅ ∴AB=BG ，∠FBA=∠FBG∴BF 垂直平分AG ，∴AM=MG ，∠AMB=090∴∠BAM+∠ABM=090∴∠ABM=∠FAM∴ABM ~ADE∴AM AB DE AE = ，∴12513AM =∴AM=6013, ∴AG=12013∴GE=13-120491313=【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键【18题答案】【答案】16【解析】【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明AEF DEA ~ ，利用相似的性质即可得出答案．【详解】解：在正方形ABCD 中，BAC=ADB 45∠∠=︒，∵ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，∴B AC =BAC 45''∠∠=︒，∴EAF=ADE 45∠∠=︒，∵AEF=AED ∠∠，∴AEF DEA ~ ，∴AE EF DE AE=，∴22EF ED AE 416∙===．故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．三、解答题【19题答案】【答案】（1）6a =，8b =，10c =；（2）ABC ∆是直角三角形.【解析】【分析】（1）解此类含等比式的题目，解题关键是能否想到设出比例系数k ，从而通过解方程组来得到a 、b 、c 和k 的值.（2）判断△ABC 的形状，通常首先想到直角三角形和等腰三角形或者等腰直角三角形，通过计算来判断出a ，b ，c 三者之间的关系.【详解】解：（1）∵():():()(2):7:1a c a b c b -+-=-，∴271a c abc b -+-==-.设271a c a b c b k -+-===-，则2,7,,a c k a b k c b k -=-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩解得3,4,5.a k b k c k =⎧⎪=⎨⎪=⎩又∵24a b c ++=，∴34524k k k ++=，解得2k =.∴6a =，8b =，10c =.(2)∵2222226810a b c ==++=，∴ABC ∆是直角三角形.【点睛】此题考查比例的性质，勾股定理的逆定理，解题关键在于利用“设k 法”.【20题答案】【答案】路灯的高CD 的长约为6.1m【解析】【分析】根据AM EC ⊥，CD EC ⊥，BN EC ⊥，EA MA =得到////MA CD BN ，从而得到ABN ACD ∆∆∽，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【详解】解：设CD 长为x m ，AM EC ⊥ ，CD EC ⊥，BN EC ⊥，EA MA =，////MA CD BN ∴，EC CD x ∴==m ，ABN ACD ∴∆∆∽，∴BN AB CD AC =，即1.75 1.251.75x x =-，解得： 6.125 6.1x =≈．经检验， 6.125x =是原方程的解，且符合题意，∴路灯高的长CD 约为6.1m【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．【21题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】【分析】（1）根据AD 平分CAB ∠，DM AB ⊥，DN AC ⊥，可得DM DN =，90N DMB ∠=∠= ，利用AAS ，易证NCD MBD ≅ ，即有BD CD =；（2）根据//CD AB ，NCD B ∠=∠，可得NCD NDC =∠∠，即NCD 是等腰直角三角形，得到NC ND =，利用//CD AB ，根据平行线的性质有NC ND NC AC BD BD==，即有：6BD AC ==．【详解】解：（1）∵AD 平分CAB ∠，DM AB ⊥，DN AC ⊥，∴DM DN =，90N DMB ∠=∠= ，又∵NCD B ∠=∠，∴NCD MBD ≅ ()AAS ，∴BD CD=（2）∵//CD AB∴NDC B∠=∠又∵NCD B ∠=∠，∴NCD NDC=∠∠∴NCD 是等腰直角三角形，∴NC ND=∵//CD AB∴NC ND NC AC BD BD==,即有：6BD AC ==．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，平行线分线段成比例等知识，熟悉相关性质是解题的关键．【22题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）当BE⊥CD 时，∠EFD＝∠BCD【解析】【分析】（1）先判断出△ABC ≌△ADC 得到∠BAC=∠DAC ，再判断出△ABF ≌△ADF 得出∠AFB=∠AFD ，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD ，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF ≌△DCF ，结合BE ⊥CD 即可．【详解】(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.【23题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CD// BH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB•AE，得到BEAB=AEEB，再利用AG//BC，平行线分线段成比例定理得到BEAB=AGBC，再结合已知条件即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CD//AB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CD//BH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE =∠H ．且∠B =∠B ，∴△BEC ∽△BCH ．(2)∵BE 2=AB •AE ，∴BE AB =AE EB，∵AG //BC ，∴AE BE =AG BC ，∴BE AB =AG BC，∵DF =BE ，BC =AB ，∴BE =AG =DF ，即AG =DF ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【24题答案】【答案】（1）15°；（2）；（3）35【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到30AFB ∠=︒，再由折叠的性质可得到15CBE ∠=︒；（2）由三等角证得FAB EDF ∆∆∽，从而得2DE =，3EF CE ==，再由勾股定理求出DE ，则BC AD ==（3）过点N 作NG BF ⊥于点G ，可证得NFG BFA ∆∆∽．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．【详解】（1）∵矩形ABCD ，∴90A ∠=︒，//AD BC由折叠的性质可知BF=BC=2AB ，12CBE CBF ∠=∠，∴30AFB ∠=︒，∴30FBC AFB ∠=∠=°，∴15CBE ∠=︒（2）由题意可得90A D ∠=∠=︒，90AFB DFE ∠+∠=︒，90FED DFE ∠+∠=︒∴AFB DEF∠=∠∴FAB EDF∆∆∽∴AF AB DE DF=，∴1025AF DF DE AB === ∴3EF CE ==，由勾股定理得DF ==，∴AF ==，∴BC AD AF FD ==+=；（3）过点N 作NG BF ⊥于点G ．∴90NGF A ∠=∠=°又∵BFA NFG∠=∠∴NFG BFA ∆∆∽．∴NG FG NF AB FA BF==．∵NF AN FD =+，即111222NF AD BC BF ===∴12NG FG NF AB FA BF ===，又∵BM 平分ABF ∠，90NG BF A ⊥∠=︒，，∴NG=AN ，∴12NG AN AB ==，∴111222FG BF BG BC AB FA AN NF AB BC --===++整理得：35AB BC =．【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．。
《相似》全章复习与巩固--巩固练习(提高)
《相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④.其中单独能够判定的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BC.A．2个B．3个 C．4个 D．5个4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( )A．①和②相似B．①和③相似 C．①和④相似D．②和④相似5．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，•⑤△FGH ，⑥△EFK ，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥6. （2016•淄博）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB=90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米8. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）A .B .CD . 2 1212二、填空题9. 如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=_________.10. 如图，M是ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比为___ __.11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
《相似》全章复习与巩固--知识讲解(基础).docx
撰稿：赵炜 审稿：杜少波【学习目标】1、 了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并常握相似三角 形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受 位似变换后点的坐标的变化；4、 结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能 力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】积比等于相似比的平方他似图形］【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1. 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(sim 订ar figures). 要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2. 相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形. 要点诠释：(1) 相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质. （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段自、b 、c 、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等, 如臼:我们就说《相似》全章复习与巩固 知识讲解(基础)相似图形卜|相似多边形卜相似三角 形的识别•判定方法］t•判定方法2 } 1判定方法3 }彳判定方湖”I 相似三角形相似三角 形的特征相似图形的应用这四条线段是成比例线段，简称比例线段.要点诠释：（1）若a: ire: d ,则ad二be；（d也叫第四比例项）（2）若a: b=b\ c ,贝ijb' =ac （.b称为&、u的比例中项）.要点二、相似三角形1.相似三角形的判定：判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应屮线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
九年级数学上册 第四章 图形的相似《图形的相似及相似图形的性质》巩固练习(含解析)(新版)北师大版
图形的相似及相似图形的性质--巩固练习【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为（ ）A.3kmB.30kmC.300kmD.3 000km2. 下列四条线段中，不能成比例的是 （ ）A. a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6B. a ＝，b ＝，c ＝1，d ＝C. a ＝6，b ＝4，c ＝10，d ＝5D. a ＝，b ＝2，c ＝，d ＝23. 下列命题正确的是( )A ．所有的等腰三角形都相似B ．所有的菱形都相似C ．所有的矩形都相似D ．所有的等腰直角三角形都相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a ，b)对应大鱼上的点( )A ．(-2a ，-2b)B ．(-a ，-2b)C ．(-2b ，-2a)D ．(-2a ，-b)5. 若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）A ．2a=3bB ．3a=2bC ．32=a bD ．31=-b b a 6. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）A ． 图形中线段的长度与角的大小都保持不变B ． 图形中线段的长度与角的大小都会改变C ． 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D ． 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变二. 填空题7. 在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm ，则该道路的实际长度是 km ．8. 若，则________9．已知若-3=,=____;4x y x y y则若5-4=0,x y 则x :y =___. 10. 有一块三角形的草地，它的一条边长为25m ．在图纸上，这条边的长为5cm ，其他两条边的长都为4cm ，则其他两边的实际长度都是 m ．11. 用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B 是原来∠B 的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有 .12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.AE BE=三 综合题13. 如果a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++，一次函数y kx m =+经过点（-1,2）， 求此一次函数解析式.14. 一个矩形ABCD 的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B ．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2．【答案】C ．【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．3．【答案】 D4．【答案】 A【解析】 由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5.【答案】B6．【答案】D【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D ．二、填空题7.【答案】2.88.【答案】【解析】由可得，故填. 9.【答案】74;.4510.【答案】20.11.【答案】 ③12.【答案】 2.【解析】因为梯形ADFE 相似于梯形EFCB ，所以AD EF EF BC=,即EF=所以2AE AD BE EF === 三、 解答题 13.【解析】∵a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++ ∴+1=+1=+1=+1=+1++++++++ca b c d k b c d a c d a b d a b ∴++++++++++++====+1++++++++ca b c d a b c d a b c d a b c d k b c d a c d a b d a b 则分两种情况：（1）+++=0a b c d ，即+1=0k ,=-1k(2)++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ,即===,a b c d 1=3k 则 所以当=-1k ，过点（-1,2）时，=-+1y x 当1=3k ，过点（-1,2）时，17=+33y x . 14.。
《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习(基础)
《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( )A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( )A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4.如右图所示为我市某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（）米．A．0.6 B．0.8 C．1D．1.25.（2015•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：66. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3第6题第7题第8题7. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. 在□ABCD中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.OAB CD第9题第10题第11题11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.（2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_________.第14题 第15题 第16题 16.如图，△ABC 顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为5-12的三角形是黄金三角形），若△ABC 、 △BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________________.三、解答题17. 如图，等腰直角△ABC 的斜边AB 所在的直线上有点E 、F ，且∠E+∠F=45°，AE=3，设AB=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数解析式.18. 一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如图1、图2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.图1 图219. 如图，已知△ABC 中，AE ︰EB ＝1︰3，BD ︰DC ＝2︰1，AD 与CE 相交于F ，求FC EF ＋FDAF 的值．20.（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【答案与解析】一．选择题1．【答案】A.【解析】考点：平行线分线段成比例.2．【答案】A.【解析】考点：相似三角形的性质.3．【答案】A【解析】考点：相似三角形的判定.4．【答案】B.【解析】∵AB∥EF，∴△DAB∽△DEF，∴AD：DE=AB：EF，∴0.6：1.6=0.3：EF，∴EF=0.8米．5．【答案】B.【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故选：B．6．【答案】C.7.【答案】A.【解析】求出AEAB的值，推出△AEF∽△ABC，得出19AEFABCSS△△，把S四边形BCFE=8代入求出即可．8.【答案】B.【解析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．二．填空题9．【答案】3:5.10．【答案】2，1:4，1:6.11．【答案】1:3 .【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9，，∵△AOD与△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3，∴S△DOC:S△BOC=1:3.12．【答案】30m.13．【答案】5.【解析】∵l3∥l6，∴BC∥EF，∴△ABC∽△AEF，∴=，∵BC=2，∴EF=5．14．【答案】68°，1:2.【解析】首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果.15.【答案】10.【解析】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴AE DEAB CB，DE=10.16.【答案】6-25．【解析】根据题意可知，BC=5-12AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，∴BD=AD，同理可证DE=DC，∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-5-12AB=6-25.三. 解答题17．【解析】解：△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°，∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°，所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF，所以△ECA∽△CFB，，3y=CA2=x2，即y=x2.18．【解析】乙加工的方法符合要求.解：设甲加工桌面长xm，过点C作CM⊥AB，垂足是M，与GF相交于点N，由GF∥DE，可得三角形相似，而后由相似三角形性质可以得到CN：CM=GF：AB，即(CM-x)：CM=x：AB.由勾股定理可得AB=2.5m，由，可求得CM=1.2m，故此可求得x=m；设乙加工桌面长ym，由FD∥BC，得到Rt△AFD∽Rt△ACB，所以AF：AC=FD：BC，即(2-y)：2=y：1.5，解得y=，很明显x ＜y ，故x 2＜y 2，所以乙加工的方法符合要求.19．【解析】作EG ∥BC 交AD 于G ，则由EB AE ＝31，即AB AE ＝41， 得EG ＝41BD ＝21CD ， ∴ FC EF ＝CD EG ＝21． G H作DH ∥BC 交CE 于H ，则DH ＝31BE ＝AE ． ∴ FD AF ＝DHAE ＝1， ∴ FC EF ＋FD AF ＝21＋1＝23．20.【解析】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=90°，AD ∥BC ，∴∠AMB=∠EAF ，又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE ，∴△ABM ∽△EFA ；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F 是AM 的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM ∽△EFA ， ∴， 即，∴AE=16.9，∴DE=AE ﹣AD=4.9．。
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《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④. 其中单独能够判定的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42.（2015•十堰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BC.A．2个B．3个 C．4个 D．5个4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( )A．①和②相似B．①和③相似 C．①和④相似D．②和④相似5．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，•⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥第4题第5题第6题6. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米第7题第8题8. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A.512-B.512+C. 3D. 2二、填空题9.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=____________．第9题第10题10.如图，M是ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比为___ __.11.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_______________.12.如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片30cm，•幻灯片距屏幕1.5m，幻灯片中的小树高8cm，则屏幕上的小树高是__ ____.13.（2015•娄底）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为．14.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为__________________．15.如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)第14题第15题第16题16.如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=23AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为_______________.三、解答题17. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.18.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，（注解=EP EM）．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的自变量取值范围；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．图1 图2 备用图19.（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上,且DE∥BC,AQ交DE于点P．求证：．（2）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证MN2=DM·EN．20. （2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案与解析】一．选择题 1．【答案】C.【解析】①②④正确，考点：三角形相似的判定. 2．【答案】D.【解析】∵点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A 的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D ． 3．【答案】B.【解析】提示：②③④成立. 4．【答案】B. 5．【答案】B. 6．【答案】B ；【解析】A 到BD 的距离为2，故在AB 、AD 上存在P. 7.【答案】D ； 【解析】由题意，，由相似，，同理，.8. 【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF ADFD AB =, 111x x =-， 解得x 1=152+，x 2=152-（负值舍去）， 经检验x 1=152+是原方程的解．故选B ． 二．填空题 9．【答案】352-. 【解析】∵△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，AB=1∴AB=AC ，AD=BD=BC ，DE=BE=CD ，DE ∥AB ∴设DE=x ，则CD=BE=x ，AD=BC=1-x ，DE ECAB BC=∴EC=BC-BE=1-x-x=1-2x ∴1211x xx-=- 解得：DE=352-． 10．【答案】 .【解析】，，(三角形等高，面积比等于底边比)，阴影部分的面积与ABCD 的面积之比为1：3.11．【答案】12.36cm. 12．【答案】48cm. 13.【答案】3333-（，）. 【解析】过点B 作BD⊥OD 于点D ，∵△ABC 为直角三角形， ∴∠BCD+∠CAO=90°，∴△BCD∽△COA， ∴=，设点B 坐标为（x ，y ）， 则=，y=﹣3x ﹣9， ∴BC ==，AC==，∵∠B=30°， ∴==，解得：x=﹣3﹣，则y=3．即点B 的坐标为3333-（，）． 14．【答案】23y x =. 【解析】求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．15.【答案】12a.【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.16.【答案】15.三.综合题17．【解析】(1)证明：∵E是AB的中点，∴AB=2EB，∵AB=2CD，∴CD=EB.又AB∥CD，•∴四边形CBED是平行四边形.∴CB∥DE，∴∴△EDM∽△FBM.(2)解：∵△EDM∽△FBM，∴.∵F是BC的中点，∴DE=2BF.∴DM=2BM.∴BM=DB=3.18．【解析】(1) 由AE=40，BC=30，AB=50，∴CP=24，又sin∠EMP=，∴CM=26。
(2) 在Rt△AEP与Rt△ABC中，∵∠EAP=∠BAC，∴Rt△AEP∽Rt△ABC，∴，即，∴ EP=x，又sin∠EMP=，∴tan∠EMP==，∴=，∴ MP=x=PN， y=BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0<x<32).(3) ①当E在线段AC上时，由(2)知，，即，∴EM=x=EN，又AM=AP-MP=x-x=x，由题设△AME∽△ENB，∴，∴=，解得x=22=AP.②当E在线段BC上时，由题设△AME∽△ENB，∴∠AEM=∠EBN.由外角定理，∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP，∴ Rt △ACE ∽Rt △EPM ，∴，即，∴CE=…①.设AP=z ，∴PB=50-z ， 由Rt △BEP ∽Rt △BAC ，∴，即=，∴BE=(50-z)，∴CE=BC-BE=30-(50-z)…②. 由①，②，解=30-(50-z)，得z=42=AP.∴AP 的长为22或42． 19．【解析】（1）证明：在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ， ∴△ADP ∽△ABQ ，∴．同理△APE ∽△AQC ，．∴．（2）①．②证明：∵∠B ＋∠C=90°，∠CEF ＋∠C=90°． ∴∠B=∠CEF ，又∵∠BGD=∠EFC ，∴△BGD ∽△EFC ． ∴， ∴DG ·EF ＝CF ·BG又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2＝CF ·BG 由（1）得，∴()MN DM ENGF BG CF2. ∴MN 2＝DM ·EN.20.【解析】（1）证明：①∵△OCD 旋转到△OC ′D ′， ∴OC=OC ′，OD=OD ′，∠AOC ′=∠BOD ′， ∵OA=OB ，C 、D 为OA 、OB 的中点， ∴OC=OD ， ∴OC ′=OD ′，在△AOC ′和△BOD ′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．。