江苏新高考数学文科一轮创新设计总复习训练4.6正弦定理和余弦定理

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2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【含解析】

4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【原卷版】1．在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cos C＝34，则tan A＝()A．56B．76C．53D．732．在△ABC中，A＝π6，AB＝3，AC＝4，则BC边上的高的长度为()A．2217B．2C．3D．2133．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b cos C且c＝6，A＝π3，则△ABC的面积为()A．363B．27C．203D．1834．已知△ABC的面积为S＝14(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．是直角三角形但不是等腰三角形C．是等腰三角形但不是直角三角形D．等腰直角三角形5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c＝6，A ABC 面积为42，则sin C＝()A．16B．13C．69D．2236．(多选)在△ABC中，下列说法正确的是()A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cos BD．若cos2A＋cos2B－cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是()A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55D ．△ABC 为钝角三角形8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．10．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC 的面积为12(a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角C ；(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值．11．(多选)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝18，以下结论正确的是()A ．AB ＝8B ．CD BD ＝18C ．AB ＝6D ．△ABD 的面积为37412．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)()A ．65．46kmB ．85．09kmC ．74．35kmD ．121．12km13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a＝cos B cos A ．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．16．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是()A ，334BC D ，33417．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足－14．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【解析版】1．在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝()A ．56B ．76C ．53D ．73解析：D由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，因为AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，tan A ＝73，故选D ．2．在△ABC 中，A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，则BC 边上的高的长度为()A ．2217B ．2C ．3D ．213解析：A 由A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，得S △ABC ＝12×4×3×12＝3，由余弦定理得：BC ＝3＋16－2×4×3×32＝7，BC 边上的高的长度为2×37＝2217．故选A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝b cos C 且c ＝6，A ＝π3，则△ABC 的面积为()A ．363B ．27C ．203D ．183解析：D在△ABC 中，a ＝b cos C ，所以sin A ＝sin B cos C ，又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝0，因为B ，C sin C ≠0，所以cos B ＝0，所以B ＝π2，又因为c ＝6，a ＝6tan A ＝63，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ac ＝183，故选D ．4．已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 的边长)，则△ABC 的形状为()A ．等边三角形B ．是直角三角形但不是等腰三角形C ．是等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形解析：D依题意△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)，则12bc sin A ＝14(b 2＋c 2)，2bc sin A ＝b 2＋c 2，由于0＜A ＜π，0＜sin A ≤1，所以0＜2bc sin A ≤2bc ，由基本不等式可知b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以sin A ＝1，A ＝π2ABC 是等腰直角三角形．故选D ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ＝6，A ABC面积为42，则sin C ＝()A ．16B ．13C ．69D ．223解析：B因为b ＝3c ＝6，△ABC 的面积为42＝12bc sin A ＝6sin A ，解得sin A ＝223，因为A 所以cos A ＝13，在△ABC 中，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42，因为42223＝2sin C ，所以sin C ＝13．故选B ．6．(多选)在△ABC 中，下列说法正确的是()A ．若a cos A ＝b cosB ，则△ABC 为等腰三角形B ．若a ＝40，b ＝20，B ＝25°，则△ABC 必有两解C ．若△ABC 是锐角三角形，则sin A ＞cos BD ．若cos 2A ＋cos 2B －cos 2C ＜1，则△ABC 为锐角三角形解析：BC对于A ，由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°，∴△ABC 为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，a sin B ＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×12＝20，即a sin B ＜b ＜a ，∴△ABC 必有两解，故B 正确；对于C ，∵△ABC是锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，即π2＞A ＞π2－B ＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A ＞cos B ，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B －1＋2sin 2C ＜1，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＞0，即a 2＋b 2－c 2＞0，∴cos C ＞0，即C 为锐角，不能说明△ABC 为锐角三角形，故D 错误．故选B 、C ．7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是()A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55D ．△ABC 为钝角三角形解析：ACD因为a sin A ＝4b sin B ，所以a 2＝4b 2，所以a ＝2b ，故A 正确；因为ac ＝5(a 2－b 2－c 2)＝5·(－2bc cos A )，且a ＝2b ，所以2bc ＝－25bc cos A ，所以cos A ＝－55，故B 错误；因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝255，又因为a ＝2b ，所以sin A ＝2sin B ，所以sin B ＝55，故C 正确；由cos A ＝－55＜0可知A ABC为钝角三角形，故D 正确；故选A 、C 、D ．8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．解析：由题意△EFD 为等边三角形，则∠EDA ＝π3，所以∠BDA ＝2π3，根据条件△AFC与△BDA 全等，所以AF ＝BD ＝1在△ABD 中，AD ＝3，BD ＝1，AB 2＝AD 2＋BD 2－2×AD ×BD ×cos ∠BDA ＝32＋12－2×1×313，所以AB ＝13．答案：139．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．解析：由题意得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc ＝3，故bc ＝4．因为A ＝60°，b ＋c＝6，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝24，所以a ＝26，△ABC 的周长为6＋26，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12(a ＋b ＋c )r ＝12×(6＋26)r ＝3，所以r ＝3－2．答案：3－210．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC的面积为12(a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角C ；(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解：(1)选择①，根据正弦定理得(a －c )(a ＋c )＝b (a －b )，整理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．选择②，根据正弦定理有sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，从而有cos C ＝12，故C ＝π3．选择③，因为12ca sin B ＝12c (a sin A ＋b sin B －c sin C )，所以a sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C ，由正弦定理得ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ，即b 2＝1＋3－23cos ∠ADC ．在△BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ，即a 2＝1＋3－23cos ∠BDC ．因为∠ADC ＋∠BDC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC ，所以a 2＋b 2＝8．由C ＝π3及c ＝2，得a 2＋b 2－4＝ab ，所以ab ＝4，从而a 2＋b 2－2ab ＝0，所以a ＝b ＝2．11．(多选)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝18，以下结论正确的是()A ．AB ＝8B ．CD BD ＝18C ．AB ＝6D ．△ABD 的面积为374解析：BCD如图所示，因为AD 是角平分线，设∠CAD ＝∠DAB＝α，则∠BAC ＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos 2α－1＝18，且0＜α＜π2，所以cos α＝34，在Rt △ACD 中，AD ＝1，所以AC ＝AD cos α＝34，在Rt △ACB 中，AB ＝AC cos 2α＝34×8＝6，故A 错误，C 正确；根据角平分线定理，CD BD ＝AC AB ＝34×16＝18，故B 正确；因为cos α＝34，且0＜α＜π2，所以sin α＝74，所以S △ABD ＝12AD ·AB ·sin α＝12×6×74＝374，故D 正确，故选B 、C 、D ．12．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)()A ．65．46kmB ．85．09kmC ．74．35kmD ．121．12km解析：A如图所示，由题意可得AC ＝46km ，∠ACB ＝16．28°，∠BAC ＝132．57°，由正弦定理可得BC sin A ＝ACsin B ，即BC sin 132.57°＝46sin 31.15°，解得BC ＝46sin 31.15°·sin 132．57°≈460.52×0．74≈65．46．故选A ．13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝12b ，若满足条件的△ABC 有两个，则12b ＜1且1＝a ＜b ，所以1＜b ＜2．答案：32((1,2)内任一数即可)14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．解析：∵(3b －a )cos C ＝c cos A ，∴利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．又∵sin B ≠0，∴cos C ＝13，则C 为锐角，∴sin C ＝223．由△ABC的面积为32，可得12ab sin C ＝32，∴ab ＝9．由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(a ＋b )2＝113ab ＝33，∴a ＋b ＝33．答案：93315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a ＝cos Bcos A．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)已知3b 2c －3a ＝cos Bcos A，则由正弦定理可得3sin B 2sin C －3sin A ＝cos Bcos A，即3sin B cos A ＝(2sin C －3sin A )cos B ，即3sin(A ＋B )＝2sin C cos B ，即3sin C ＝2sin C cos B ，∵sin C ≠0，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，则B ＝π6．(2)由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即22＝a 2＋c 2－2ac cosπ6，即4＝a 2＋c 2－3ac ≥2ac －3ac ，当且仅当a ＝c 时，等号成立，ac ≤42－3＝4(2＋3)，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ≤12×4(2＋3)×12＝2＋3．∴△ABC 的面积的最大值为2＋3．16．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是()A ，334BCD ，334解析：A由于a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，且A ∈(0，π)，所以A＝π3，那么外接圆半径为R ＝12×332＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34·2R sin B ·2R3sin BB ＋12sin ＝32sin B cos B ＋32sin 2B ＝34sin 2B ＋32－12cos 2＝2B －12cos 2＋34＝32sin B ＋34．由于△ABC 为锐角三角形，所以0＜B ＜π2，0<C ＝π－A －B ＝2π3－B <π2，所以π6<B <π2，所以π6＜2B －π6＜5π6，12＜B 1，故32＜S △ABC ≤334．故选A ．17．已知在△ABC 中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足－14．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)因为＝－14，A －12cos －32sin A ＋12cos ＝－14，即32sin A cos A －34sin 2A －14cos 2A ＝－14，所以34sin 2A －38(1－cos 2A )－18(1＋cos 2A )＝－14，整理可得34sin 2A ＋14cos 2A ＝14，所以可得A ＝12，因为A ∈(0，π)，可得2A ＋π6∈所以2A ＋π6＝5π6，可得A ＝π3．(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且a ＝1，A ＝π3，所以b ＝233sin B ，c ＝233sin C ；所以a ＋b ＋c ＝1＋233(sin B ＋sin C )＝1＋233sin B ＋sin1＋因为△ABC 为锐角三角形，＜B ＜π2，＜2π3－B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以π3<B ＋π6<2π3，所以1＋(1＋3，3]，即△ABC 周长的取值范围是(1＋3，3]．。

高考数学一轮复习专题4.6正弦定理和余弦定理(练)(2021年整理)

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第06节正弦定理和余弦定理A 基础巩固训练1。

【2018年理数全国卷II 】在中，，，，则A 。

B.C.D 。

【答案】A2。

【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为，,，若的面积为，则A 。

B. C 。

D. 【答案】C3.【2017课标II ，文16】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+，则B = 【答案】3π【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒= 4.【2018年北京卷理】在△ABC 中，a =7,b =8，cos B = –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ)求AC边上的高．【答案】（1）∠A=（2) AC边上的高为（Ⅱ)在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．5。

【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知sin30A A=，a7b=2.（1）求c；(2）设D为BC边上一点,且AD⊥AC，求△ABD的面积。

高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理

高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1. 正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明R Aa__sin =（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一；（4）公式的变形：①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；②sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===；③sin sin sin ::::A B C a b c =．（5）三角形面积公式：=∆ABC S ____ ____=______ ___=_____ ___． (6)正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角。

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

2. 余弦定理： =2a _____________________；=2b ____________________； =2c _____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90 时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；(4)变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+=ac c b a C 2cos 222-+=．（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3. 解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、基础检测：1. 在中，，则等于（）A ．B ．C ．D ．2. 若是（）A ．等边三角形B ．有一内角是30°C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 3. 在，面积，则BC 长为（）A ．B ．75C ．51D ．494．在中，已知角则角A 的值是（）A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°5．中，sinB=23sin ,21=C ,则a ：b ：c 为（）A.1：3：2B.1：1：3C.1：2：3D.2：1：3或1：1：36. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为A ．3B ．6C ．3D ．67.若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。

高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件

[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，

高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第六节正弦定理和余弦定理(课件)

答案：B
直角三角形
等腰三角形或直角三角形
反思感悟判定三角形形状的常用技巧
[提醒] 注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形” 的区别．
【对点训练】
1．[2023·四川省内江市第六中学测试]若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝7∶11∶13，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
关键能力—考点突破
答案：B
答案：A
答案：A
答案：D
反思感悟用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
考点二判断三角形的形状 [基础性、综合性] [例1] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C ＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
第六节正弦定理和余弦定理
必备知识—基础落实微专题
关键能力—考点突破
·最新考纲· 1．借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2．掌握余弦定理、正弦定理．
·考向预测·
考情分析：利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题．
微专题19 计算三角形中的未知量
数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．
学科素养：通过利用正、余弦定理解三角形考查数学运算的核心素养．
必备知识—基础落实
sin A∶sin B∶sin C c＝2R sin C

2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理【课件】

_ _______; _ _______; ________
（注：为外接圆的半径）
2.三角形常用面积公式
（1）（表示边上的高）.
（2） __________=__________.
（3）（为三角形内切圆半径）.
（4） .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
2.(2023·福建泉州模拟)设的内角，，所对的边分别为，，，已知，则 _ _.
解析：由题意，得，又 ,所以 .
核心考点师生共研
02
考点一利用正、余弦定理解三角形（自主练透）
1.在中，已知 , , ，则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析：选C.在中，设 , ，，由余弦定理得 ,因为为的内角，所以 .故选C.
√
3.已知中， , , ，则 ( )A. B. C. D.
解析：选D.由正弦定理，得，得 .又 ,所以 ,所以 .故选D.
√
4.在中，角，，所对的边分别为 , , ，若 , , ,则 ____, ___.
解析：选C.由正弦定理得 ,所以，所以不存在，即满足条件的三角形不存在.
√
2.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则 _ _， ___.
5
解析：在中，由正弦定理得 ,所以，所以 .在中，由余弦定理得，得，即，解得或，经检验，不符合要求，所以 .
3.(2023·甘肃省第一次诊断考试)在中，角，，的对边分别为 , , ，且 , , ，则 ___.
2
解析：因为，所以由正弦定理得 ,又，所以，因为 ,所以 .由余弦定理 ,得 ,化简得，解得或（舍去），故 .

【步步高】高考数学大一轮复习 4.6 正弦定理和余弦定理试题(含解析)新人教A版

4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )． A ．135° B ．105° C ．45° D ．75°解析由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22，又由题知，BC＜AB ，∴A ＝45°. 答案 C2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )．A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝－12，∴C ＝120°.答案 C3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：直接根据正弦定理可得asin A ＝bsin B，可得sin B ＝b sin A a ＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1解析根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A.2 B. 2C. 12D. 12-解析 2122cos 2222222=+-≥-+=ba c c abc b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A.答案 A 二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2.答案29. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________. 解析：根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得a sin A ＝c32，∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3. 答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ，得x ＋2＋y 2＝ 2x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2.答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．解析法一取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tanC tan B＝4.法二由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab，即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c2a 2＋b 2－c 2＝4.答案 4 三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，法一如图(1)，图(1)a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)， ∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac . 又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解析 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin Csin A＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2.。

江苏高考数学理科一轮创新设计总复习课件4.6正弦定理和余弦定理

辨析感悟 1．三角形中关系的判断 (1)在△ABC 中，sin A＞sin B 的充分不必要条件是 A＞B.(×) (2)(教材练习改编)在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45° ，则 A＝60° 或 120° . (√)
2．解三角形 1 (3)(2013· 北京卷改编)在△ABC 中，a＝3，b＝5，sin A＝3， 5 则 sin B＝9. (√)
内容
正弦定理 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝ 2Rsin C；常见变形
余弦定理 • 续表 b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
a b a2＋c2－b2 (2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝ cos B＝ 2ac ； c 2R； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
• 续表正弦定理余弦定理 (1)已知两角和任一 (1)已知三边，边，求其他两边和求三个角；解决一角；的问 (2)已知两边和 (2) 已知两边和其中题它们的夹角，一边的对角，求另求第三边和其一边和其他两角他两角
• 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为钝角 A为锐角或直角
解析
(1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得 2sin A· sin B＝
3sin B， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B≠0. 3 ∴sin A＝ 2 .又∵△ABC 为锐角三角形，
π π ∴A∈ 0，2 ，∴A＝ . 3
2 (2)由余弦定理，得 b ＝a ＋c －2accos B＝1＋32－8 2× 2 ＝
考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例 1】 (1)(2013· 湖南卷改编)在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b.若 2asin B＝ 3b，则角 A 等于______． (2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1，c＝4 2，B＝45° ，则 sin C＝________.

(新)高中数学高考一轮复习正弦定理和余弦定理复习课教学设计

（新）高中数学高考一轮复习正弦定理和余弦定理复习课教学设计(新)高中数学高考一轮复习：正弦定理和余弦定理复习课教学设计《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计设计意图：学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。

作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实际应用问题。

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

虽然是复习课，但我们不能一味的讲题，在教学中应体现以下教学思想：⑴重视教学各环节的合理安排：设疑探究拓展实践循环此流程在生活实践中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧知识与方法，引出课题。

激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的状态，符合学生的认知规律。

⑵重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法贯穿整个教学过程。

⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。

⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。

从数学教学的传统上看解三角形内容有不少高度技巧化、形式化的问题，我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。

二、实施教学过程评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论：该题若用余弦定理如何解决【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，（1）若△ABC的面积为，c=2,A=600,求边a,b的值；（2）若a=ccoB,且b=cinA,试判断△ABC的形状。

（五）变式训练、归纳整理【例3】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若bcoC=(2a-c)coB(1)求角B(2)设,求a+c的值。

2023年高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理

第六节　
正弦定理和余弦定理
2023年高考数学总复习
内容索引
必备知识·自主学习
核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评
2.余弦定理
(1)定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2accos B,
a2+b2-2abcos C
c2=_______________.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.( )
(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.( )
(3)在△ABC中,sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.( )
提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是正确的,所以(1)√, (2)√,(3)×.
【易错点索引】
序号易错警示典题索引
1在三角形中,一个正弦值(正数)对应两个角,
一个余弦值对应一个角
考点一、T3
2忽视三角形内角范围,即0°<A<180°考点二、典例。

高考数学文优化方案一轮复习课件第第六正弦定理和余弦定理苏教江苏专用

(2)直接利用正弦定理求解．
【解析】 (1)∵sinB＋cosB＝ 2 sinπ4＋B＝ 2 ，
∴sinπ4 ＋B＝1.
又 0<B<π，∴B＝π4.
由正弦定理，得 sin A＝asbinB＝
2× 2
2 2 ＝21.
又 a<b，∴A<B，∴A＝π6.
(2)由正弦定理得sinaA＝sinc C，故sin245°＝sin6C，
b、c，且 S△ABC＝a2＋b42－c2，那么角 C＝________.
解
析
：
由21abs
inC
＝
a2＋
b2－ 4
c2
得
sinC ＝
a2＋ b2－ c2
2ab .
根据余弦定理得 cosC＝a2＋2ba2b－c2，得 sinC
＝cosC，
即 tanC＝1，故 C＝π4.
答案：π 4
3．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acos C＝0 . (1)求角 A 的大小；
例1 (1)(2010 年高考山东卷)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2， sin B＋cos B＝ 2，则角 A 的大小为________．
(2)满足 A＝45°，a＝2，c＝ 6 的△ABC 的个数为
________．
【思路分析】 (1)先求出角B，再利用正弦定理求角A；
由①②得 b＝c＝ 3，∴△ABC 为等边三角形．
本部分内容讲解结束
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预测2012年江苏高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．

【精选】最新高考数学一轮复习专题4-6正弦定理和余弦定理(练)

∴b=AC=1
直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，
解得：BC=．
4. 【陕西省××市2018年高考5月信息专递】在中，角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积最大值．
【答案】（1）（2）
（Ⅱ）由余弦定理得：，
即，
整理得：．
（当且仅当取等号），
，即，
，
故面积的最大值为．
5.在中，角，，所对的边分别是，，，且，.
B 能力提升训练
1. 提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为
A. 12 B. C. D.
【答案】
5.【2017北京，理15】在△ABC中， =60°，c=a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
C思维扩展训练
1.【2018届河南省××市第一中学第十九次考】已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的外接圆的半径为__________．
【答案】（1）（2）2或
【解析】分析：（1）先根据两角和与差正弦公式展开，再根据配角公式得基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期公式求结果，（2）先求A,再根据面积公式求不，最后根据余弦定理求a.
详解：
解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．
化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）

新高考苏教版数学理大一轮复习训练4.8正弦定理和余弦定理(含答案解析)

4.8 正弦定理和余弦定理一、填空题．在△ ABC 中， sin 2A ≤ sin 2B ＋ sin 2C － sin B C ，则 A 的取值范围是________． 1 sin分析由题意和正弦定理，得 a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－ a 2 ≥bc ，cosA b 2 ＋c 2－a 21 A π .＝bc≥ ，因此0＜ ≤322答案0， π 32．若△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边为 a ，b ，c 知足 ( a ＋b) 2－c 2 ＝4，且 C ＝60°，则 ab 的值为 ________．分析由( a ＋b) 2 －c 2＝4 及余弦定理，22224得 c ＝a ＋ b － 2abcos 60 °＝ ( a ＋b) －3ab ，因此 ab ＝ 3.答案 432π3．在△ ABC 中，若 b ＝1，c＝3，C ＝ 3 ，则 a ＝________.3 1分析由正弦定理，有2π＝ sin B ，sin 31即 sin B ＝ 2. 又 C 为钝角，π π因此 B 必为锐角，因此 B ＝ 6 ，因此 A ＝ 6 . 故 a ＝ b ＝ 1. 答案 14. 在△ ABC 中, 已知 a 5 2 c10A 30 , 则 B 等于 ________.acc sin A10 12分析依据正弦定理2sin A sin C 得 sin C a 5 2 2.∴ C=45 或 C=135 . 当 C=45 时 ,B=105 ; 当 C=135 时 ,B=15 .答案 105 或 155．如图，在△ ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.分析设 AB ＝a ，∴ BD ＝ 2a ，3BC ＝ BD ＝ 4 a ，2322 224 2a －aAB ＋AD － BD 231 cos A ＝ AB · AD ＝ a 2＝ 22 322 2∴ sin A ＝ 1－cos A ＝ 3由正弦定理知ABA ＝3 2 2 6sinC ＝ ·4 × 3 ＝ 6 .BC sin答案66ABC S △ ABC 1 a 2 b 2 － c 2 C6．在△ 中，若＝4( ＋ ) ，那么角＝________.1 12 2 2分析依据三角形面积公式得， S ＝ 2absin C ＝4( a＋b －c ) ，a 2 ＋b 2－c 2. 又由余弦定理： cosC ＝ a 2＋b 2－c 2∴ sin C ＝2ab ab，2π∴ sin C ＝cosC ，∴ C ＝ 4 .π 答案47．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ，且 b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则角 A 的大小为 ________．b 2＋c 2 －a 2 1π分析由余弦定理，得 cos A ＝ 2bc＝2，因此 A ＝ 3.答案π38．已知△ABC 中， AB ＝， C ＝ π，则△ ABC 的周长为________(用含角 A 的三角23函数表示 ) ．2sinA 2sin B分析由正弦定理，得△ ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝π ＋π ＋2sin 3 sin 3＝4sin A ＋ 42π－A ＋＝A ＋ 2cos A ＋＝4sin A ＋π＋2.sin32 2 3sin2 633π答案4sin A ＋ 6 ＋29．已知△ ABC 的一个内角为 120°，而且三边长组成公差为 4 的等差数列，则△ ABC 的面积为 ________．分析不如设 A ＝ °， c ＜b ，则 a ＝ b ＋，c ＝b －，1204 4 于是由 cos 120 °＝ b 2＋ b － 2 － b ＋ 2 1b b －＝－，22 b ＝ 1 °＝解得，＝ bcsin 120 15 3. 10 2答案15 310. 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a 2－b 2＝ 3bc ，sin C＝ 2 3sin B ，则 A 角大小为 ________．分析由 a 2－b 2＝ 3bc ， c ＝ 2 3b ，得 a 2＝7b 2 ，b 2＋c 2－a 2b 2 ＋b 2－ b 2 3π因此 cos A ＝1272bc ＝2＝，因此 A ＝ .4 3b2 6答案π611. 在锐角△ ABC 中 ,BC=1,B=2A,则 AC的值等于,AC的取值范围cosA为. 分析设A B 2 . 由正弦定理得ACBC ∴ AC1AC 2 .sin2 sin2coscos由锐角△ ABC 得 0 29045 ,又 0 <180 3 90 3060,故 30452 cos3 AC=2cos∴ AC( 23) .22答案2(2 3)12．△ ABC 中， a ，b ，c 分别为 A ， B ， C 的对边，假如a ，b ，c 成等差数列， B3＝30°，△ ABC 的面积为 2，那么 b ＝________.分析由 a ，b ， c 成等差数列，得 2b ＝a ＋c.平方得 a 2＋ c 2 ＝4b 2－2ac.3又△ ABC 的面积为 2，且 B ＝30°，111 3 故由 S △ ABC ＝ acsin B ＝ acsin 30°＝ ac ＝，2 2 42得 ac ＝ 6，因此 a 2＋ c 2＝4b 2 －12. 由余弦定理a 2 ＋c 2－b 2 4b 2－ 12－b 2 b 2－43cos B ＝ac＝×6＝＝ .2 242解得 b 2＝＋ 2 3. 4又由于 b 为边长，故 b ＝＋3. 1 答案1＋ 3b atan 13．在锐角△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c. 若 a ＋ b ＝ 6cos C ，则tantan C＋tan B 的值是________．b a分析利用正、余弦定理将角化为边来运算，由于 a ＋b ＝6cos C ，a 2＋b 2 a 2 ＋b 2－c 2 2 23 2 由余弦定理得 ab ＝6· 2 ab ，即 a ＋ b ＝ c .2tan C tan C sin C cos A cos B sin C sin C而＋＝ C sin A ＋ sin B ＝·A Btan tan cos cos C sinsin c 2 c 2 c 2＝ 2 ＝ 2 2＝ 2＝4.2 2 c 2 2 ca ＋b － a ＋ b － 2 2ab · ab 3c －c2 2CA答案 4二、解答题14．在△ ABC中，已知角 A， B， C 的对边分别为 a，b，c，且 ( a＋b＋ c)( b＋ c － a) ＝3bc.(1) 求 A ；(2) 若 B －C ＝90°， c ＝ 4，求 b.( 结果用根式表示 )分析 (1) 由条件，得 ( b ＋ c) 2－ a 2＝3bc ，即 b 2＋c 2－a 2＝ bc ，b 2 ＋c 2－a 2 1 ∴ cosA ＝ 2bc ＝2.∵0° <A<180°，∴ A ＝60°.B ＋C ＝ °，(2) 由 B －C ＝ 120 得 B ＝105°， C ＝15°.°90b4 4sin105 °由正弦定理得＝，即 b ＝， sin105 ° sin15 ° sin15 °1＋tan30 °∵ t an75 °＝ tan(45 °＋ 30°) ＝ 1－tan30 ° ＝2＋ 3，∴ b ＝ 8＋4 3.15．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 B ＝C, 2b ＝ 3a. (1) 求 cos A 的值；A ＋π的值．(2)cos 24分析由 B ＝ C, b ＝ 3 a ，(1)，可得 c ＝＝2 323 2 3 2 2b 2＋c 2－a 2 4a ＋4a －a 1 因此 cos A ＝ bc ＝ 3 3 ＝ .2×3×2 2 21(2) 由于 cos A ＝ 3， A ∈ (0 ，π ) ，因此sinA ＝－cos2A ＝2 2，cos 2 A ＝2cos 2A －＝－ 7，1 3194 2sin2 A ＝2sin AcosA ＝ 9 .2A ＋ π π π因此 cos 4 ＝cos 2 Acos 4 －sin 2 Asin 47 2 4 22 8＋7 2 ＝－9×2－ 9 ×2＝－ 18 .16．设△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 a ＝，b ＝，121cos C ＝4.(1) 求△ ABC 的周长；(2) 求 cos( A －C) 的值．分析222－ ab1 (1)由于 c ＝a＋ bC ＝＋－×＝4.2cos1 4 44因此 c ＝2.因此△ ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.121 2 15(2) 由于 cos C ＝ 4，因此 sin C ＝ 1－cos C ＝1－ 4＝4.15a C 4 15A ＝ sin 因此 sin c＝2＝8. 由于 a ＜c ，因此 A ＜C ，故 A 为锐角，因此 cosA ＝－ sin 2A ＝－ 15 27118＝8.A － C ＝AC ＋7 1 1515 11因此 cos( cos sin A C ＝×＋8 ×4 ＝16.) cos sin 8 417．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c. 已知 cos A － 2cos C 2c －a cos B＝ b .sin C(1) 求 sin A 的值；1(2) 若 cos B ＝4，△ ABC 的周长为 5，求 b 的长．分析 (1) 由正弦定理得 a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C( R 为△ ABC 外接 cos A －2cos C 2c －a 2sin C －sin A圆半径 ) ，因此＝ b＝ sin B，cos B即 sin Bcos A － 2sin Bcos C ＝2sin Ccos B －sin Acos B ，即有 sin( A ＋B) ＝2sin( B ＋ C) ，即 sinC ＝2sin A ，因此sinC＝2.sin A(2) 由 sin C c c ＝ a ，又由于△ ABC 的周长为，(1) 知 sin A ＝2，因此有 a ＝2，即25新高考苏教版数学理大一轮复习训练4.8正弦定理和余弦定理(含答案分析)1因此 b＝5－3a，由余弦定理及cos B＝4得222ac B，即－ a2a2221b＝ c＋a －(5＝(2＋ a － a×，解得 a＝，2cos 3 ))414因此 b＝2.→→1 18．在△ ABC中，角 A，B，C 所对边的长分别是a，b，c，且 cos〈AB，AC〉＝4.(1) 求sin2B＋C＋cos 2 A 的值；2(2)若 a＝4，b＋ c＝ 6，且 b＜c, 求 a，c 的值．分析 (1)sin 2B＋C2＋cos 2 A1＝2[1 －cos( B＋C)] ＋ (2cos 2A－1)1＝2(1 ＋cos A) ＋(2cos 2 A－ 1)11＝2 1＋4＋8－1 ＝－4.11(2) 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－ 2bccos A，即 a2＝( b＋ c) 2－ 2bc－2bccos A，5即 16＝ 36－2bc，∴ bc＝8. b＋ c＝ 6，＝，由 bc＝8，2可求得b＜ c，c＝4.。

锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习3.6正弦定理和余弦定理(含答案详析)

,训练手册A 组基础达标（时间： 30 分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲2，8，9一、选择题（每题 5 分，共 25 分）1.在△ ABC中，已知 a＝ 2 ，b ＝2，B＝ 45 °，则角A 等于（ D ）A. 30 °或150 °B. 60°120或°C. 60°D. 30°a b a21分析：由正弦定理＝，得 sin A ＝ sin B＝sin45 °＝，sin A sin B b22又 b>a ，故 A ＝ 30 °.2.（ 2013 ·莱州模拟在）△ ABC中，a＋b ＋ 10c ＝2（sin A＋sin B＋10sin C），A ＝ 60 °，则a 等于（ A）A.3B.2 3C. 4D. 不确立a60 °＝ 3，故分析：由已知及正弦定理得＝ 2，a＝ 2sin A＝ 2sinsin A选 A.3.（ 2014 ·聊城模拟）在△中，ABC内角 A，B，C 的对边分别是 a， b， c，若 a2－b 2＝3bc ，sin C＝23sin B，则 A 等于（ A ）A. 30 °B. 60°C. 120 °D. 150 °b c及 sin C＝2 3sin B，得 c＝ 2 3b ，∴cos A 分析：由＝sin B sin Cb 2＋c2－ a2－3bc ＋ 2 3bc3＝＝2bc ＝.2bc2∵A 为△ ABC的内角，∴A ＝ 30 °.4.（2014 ·威海模拟）在△中，ABC内角 A，B， C 对应的边分别是 a，b ，πc.已知 c＝2 ，C＝，S△ABC＝3 ，则△ABC的周长为（A）3A. 6B. 5C. 4D. 4＋231π33 ，得 ab ＝4.分析：由 S△ABC＝ absin＝ab ＝234π依据余弦定理知 4 ＝ a2＋b 2－ 2abcos＝（ a＋b ）2－3ab ，3∴a＋b ＝4.故△ ABC的周长为 a＋ b ＋c＝6，应选 A.5. （ 2013 ·青岛模拟）在△中ABC，＝ 120 °，b ＝ 1 ，面积为 3 ，则b －c－a等于（ C）sin B － sin C －sin A23939A. B.33C. 27D.47分析：∵ A＝ 120 °，sin∴ A ＝313，∴AB＝， S＝× 1 × AB× sinA＝224.依据余弦定理可得，BC2＝AC2＋AB 2－ 2AC · ABcos A＝ 21 ，∴BC＝21. 依据正弦定理可知：b －c－a BC＝＝2 7，应选 C.sin B － sin C －sin A sin A二、填空题（每题 5 分，共 15 分）6.（ 2013 ·铁岭模拟）若△的面ABC积为 3 ，BC＝2，C＝ 60 °，则边AB 的长度等于2.1分析：由正弦定理可知， S△ABC＝ BC· CA· sin 603°，＝2又 BC＝ 2，∴CA＝ 2 ，即 BC＝ CA，又∠ ACB＝ 60 °，∴三角ABC形是正三角形，∴AB ＝2.7.（ 2014 ·日照调研）在锐角△中， aABC，b ， c 分别为角 A，B， C 所对的π边，且 3a＝2csin A ，角 C＝.3a c，由 3a ＝2csin A ，得a c分析：依据正弦定理，＝sin A ＝，sin A sin C32∴sin C＝3π，而角 C 是锐角.∴C.＝238. 在△ ABC中，已知 sin A∶ sin B＝ 2 ∶ 1 ，c2＝b 2＋2bc ，则三内角 A，B，C 的度数挨次是45 °，30 °，105 ° .分析：由题意知， a＝ 2b ， a2＝b 2＋c2－2bccos A ，即 2b 2＝b 2＋ c2－2bccos A ，又 c2＝b 2＋ 2bc ，∴cos212b ＞b ，A＝，A＝ 45 °，sin B＝，∵a＝22∴A ＞B，∴B＝ 30 °，C∴＝ 105 °.三、解答题（共 10 分）9.（ 2014 ·茂名调研）在△中，ABCa， b ，c 分别是角 A ，B，C 的对边，5若 tan A＝3 ， cos C＝.5（1 ）求角 B 的大小；（2 ）若 c＝4 ，求△ ABC的面积 .分析：（1 ）∵ cos C＝525C＝2.，∴sin C＝， tan55tan A ＋ tan C 3 ＋2又 tan B＝－ tan （ A＋C）＝－＝－＝1，1－ tan Atan C1－ 3×2π且 B< π，∴B＝ .（4 分）4b c csin B10，（6 分）（2 ）由正弦定理＝，得 b ＝＝sin B sin C sin C由 sin A ＝sin （B＋C）＝ sin π＋ C ，4得 sin310A ＝，（8 分）101∴△ABC 的面积 S△ABC＝ bcsin A＝6.（10 分）2B 组提优操练（时间： 30分钟满分： 50分）若时间有限，建议选讲3，6，8一、选择题（每题 5 分，共 15 分）C1.（ 2014 ·台州模拟）在△中，ABCsin A· sin B cos＝2，则△ABC的形状一2定是（ B）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形C1＋ cos C 1 － cos （A＋B）1分析：∵2＝＝ [1 －（ cos Acos B－sincos＝2222Asin B ）] ，∴2sin Asin B ＝1－（ cos Acos B －sin Asin B ），∴sin Asin B ＋cos Acos B ＝1 ，∴cos （A －B）＝ 1 ，又 A－ B∈（－π，π），∴A － B＝ 0，∴A＝B，故△ABC 为等腰三角形 .2.（ 2013 ·江南十校联考）在△中，角ABC，B，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 a＝23，c＝2tan A2c，则C等于（B）2，1＋＝tan B bA. 30°B.45°C. 45 °或135 °D. 60°tan A2c和正弦定理，得 cos Asin B＋sin Acos B 分析：由 1＋＝tan B b＝ 2sin Ccos A ，即 sin C＝2sin Ccos A，∴cos 1A＝，则 A＝60°.由223222，又 c<a ，则 C<60 °，故C＝ 45 °.正弦定理，得＝，则 sin C＝sin A sin C23（. 2013 ·梅州调研已）知△ABC的面积为3，AC＝ 2，∠BAC ＝60 °，则∠ ACB2等于（ A）A. 30 °B. 60°C. 90°D. 150 °1 3分析：由 S △ABC ＝ AB · ACsin ∠ BAC ＝ ABsin 60 ，°得＝ AB ＝1 ，∴BC 2＝2 2AB 2 ＋ AC 2－ 2AB · ACcos ∠ BAC ＝3 ， ∴BC ＝3. 由正弦定理得 BC＝sin ∠ BACABAB · sin ∠ BACsin 60 °1，∴sin ∠ACB ＝ BC ＝＝，又 AB ＜ BC ，∴∠ACB ＜ 60 °，sin ∠ ACB 3 2∴∠ACB ＝ 30 °.二、填空题（每题5 分，共 15 分）4.（ 2014·威海模拟）△ 的内ABC 角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若sinA ， sinB ， sinC 成等比数列，且 c ＝2a ，则 cos3 B ＝.4分析： ∵ sin A ， sin B ，sin C 成等比数列，∴ sin 2B ＝ sinA · sin C ，由正弦定理，得 b 2＝ac ，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋ c 2 －b 2 a 2＋c 2 －ac＝＝2ac2ac a 2＋ 4a 2 －2a 234a2＝ .45.（ 2013·长春调研）△ 的周ABC 长为 20 ，面积为 10 3， A ＝ 60 °，则BC边的长为7 .分析：设三角形三边长分别为a ，b ，c ，1依题意知， a ＋b ＋ c ＝ 20 ， bcsin A ＝10 3 ，2 ∴bc ＝ 40 ，依据余弦定理，得a 2＝b 2 ＋c 2－ 2bccos A ＝（ b ＋c ）2－ 3bc ＝（ 20 －a ）2 －120 ，解得 a ＝7.A ＋B6. 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 4sin 2－ 2cos77 ，则△ABC的面积为332C＝，且 a＋b ＝ 5， c＝.22分析：∵2A＋B72C＋1 4sin－cos2C ＝，∴2[1 － cos （ A ＋B）] －2cos2277＝，即 2 ＋2cos C－2cos 2C＋1 ＝，22∴cos 2C－ cos11C＝3C＋＝0 ，解得 cos C＝ .则 sin，依据余弦定理4221 a2＋b 2－7有 cos C＝＝，∴ab ＝ a2＋b 2－ 7 ，3ab ＝a2＋b 2＋ 2ab －7 ＝（ a＋22ab113 b ）2－7＝25 －7＝18 ，ab ＝6 ，∴△ABC 的面积 S△ABC＝ absin C＝×6×＝222332.三、解答题（共 20 分）7.（10 分）（ 2013 ·北京旭日统考）△的内角ABC，B，C的对边分别为a，b ，c，asin A ＋csin C－2asin C＝bsin B.（1）求 B；（2 ）若 A ＝ 75 °，b＝ 2，求 a，c.分析：（1 ）由正弦定理，得 a2＋ c2－2ac ＝b 2.由余弦定理，得 b 2＝a2＋ c2－2accos B.故 cos B＝2，所以 B＝ 45 ° .4（分）2（2 ）∵ sin A＝ sin（ 30 °＋ 45＝°）sin30 ° cos 45 °＋ cos30 ° sin 45 °2＋ 6，C＝ 180 °－ 75 °－ 45 °＝6 分60）° . （＝4sin A 2 ＋6∴a＝ b ·＝2＝1＋ 3，（8 分）sin Bsin C sin 60°c＝ b ·＝ 2 ·＝ 6.（10 分）sin B sin 45°8.（10分）在△ABC中，内角 A， B，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知sin B（tan A＋tan C）＝ tan Atan C.（1 ）求证： a，b ，c 成等比数列；（2 ）若 a＝1 ，c＝2 ，求△ABC的面积 S.分析：（1 ）在△ ABC中，因为sin B（tan A＋tan C）＝ tan Atan C，∴sinsin Acos C ＋cos Asin C sin A sin C B·＝·，cos Acos C cos A cos C即 sin B（ sin Acos C＋cos Asin C）＝ sin Asin C，∴sin Bsin （A ＋C）＝sin Asin C.（2分）又 A＋ B＋C＝π，∴sin （A ＋C）＝ sin B，所以 sin 2B＝sin Asin C.由正弦定理，得 b 2＝ac，即 a， b， c 成等比数列 .（5 分）（2 ）∵ a ＝1，c＝2 ，∴b ＝ 2 ，由余弦定理，得 cosa2＋c2－b 212＋22－2 3B＝＝＝，（7 分）2ac2× 1×2 4∵0<B< π，∴sin B＝ 1 －cos 2 B＝7，41177.（10故△ ABC的面积 S＝ acsin B＝×1×2×＝4分）224。

江苏版高考数学一轮复习：专题4.6正余弦定理巩固检测题附答案.doc

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】专题4.6 正余弦定理一、填空题1．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为【解析】由题意知，c ＝3a ，b 2－a 2＝52ac ＝c 2－2ac cos B ，所以cos B ＝c 2－52ac 2ac＝9a 2－152a 26a2＝14. 2．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是【解析】由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于【解析】由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2017·渭南模拟)在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝【解析】因为sin A ＋B sin B ＝23，故sin C sin B ＝23，即c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12b 2－3bc 43b 2＝6b243b 2＝32，所以A ＝π6.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝【解析】根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sinC ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b ＝________.【答案】57【解析】因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin45°＝57.8．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．【答案】2【解析】由面积公式，得S ＝12bc sin A ，代入数据得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a ＝23，由正弦定理，得2R ＝asin A＝2332，解得R ＝2.9．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.【答案】110．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.【答案】 6【解析】如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝ABsin ∠ADB，∴sin ∠ADB ＝22. 由题意知0°<∠ADB <60°，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC ＝30°，C ＝30°，∴BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin ∠BAC，∴AC ＝ 6.二、解答题11．(2017·河北三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ， B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．12．(2017·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝234cos 2C －14sin 2C ，化简得sin A ＝32，故A ＝π3或2π3.(2)由题知，若b ≥a ，则A ＝π3，又a ＝3，所以由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝asin A＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.因为b ≥a ，所以π3≤B ＜2π3，π6≤B －π6＜π2，所以23sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B －π6∈[3，23)．即2b －c 的取值范围为[3，23).高中数学知识点三角函数 1、以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin=， cos=， tg= ， ctg = ， sec = ， csc = 。

2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第4章第6节正弦定理、余弦定理

1
π
AB·AD·sin
2
6
1
AC·AD
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 2
＝1，又△ABC 的面积
1 为2×4×2sin∠BAC＝2 3，
所以△ABD 的面积为 3.
2 法二：由余弦定理得 cos C＝ 7，
AC 在 Rt△ACD 中，cos C＝CD，所以 CD＝ 7，所以 AD＝ 3，DB＝CD＝ 7，
[解](1)由已知条件可得 tan A＝－ 3，A∈(0，π)，所以 A＝ 3 ，在△ABC 中， 2π
由余弦定理得 28＝4＋c2－4ccos 3 ，即 c2＋2c－24＝0，解得 c＝－6(舍去)，或 c＝4. π (2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝2，
π
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝6，
由余弦定理得 cos
b2＋c2－a2 b2＋c2－4c2＋b2 －3c2 1 b
A＝ 2bc ＝
2bc
＝ 2bc ＝－4，∴c＝6.
故选 A.]
(2)[解] ①由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得
b2＋c2－a2＝bc.
b2＋c2－a2 1 由余弦定理得 cos A＝ 2bBD＝S△ACD＝2×2× 7×sin C＝ 7× 7＝ 3.
π
2
法三：∠BAD＝6，由余弦定理得 cos C＝ 7，
所以 CD＝ 7，所以 AD＝ 3，
1 所以 S△ABD＝2×4× 3×sin∠DAB＝ 3.
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一
.
9 [设 BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，