2019届高考数学专题二函数零点精准培优专练理
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：解答题通关练1.doc
解答题通关练1.解三角形1.在AABC中，角A, B, C 所对的边分别为。
，b, c,已知m=(ccos C, 1), 〃 = (2, acos B +/?cos A),且⑴若c- = lb2, S AABC=2娘,求a,人的值；(2)若2sin Acos A = sin A+cos A,求实数4的取值范围.解 (l)・「zn_L〃，.*.m n=2ccos C+acos B+bcos A=0,由正弦定理得2sin Ceos C+sin Acos B+sin Bcos A=0,2sin Ceos C=— sin(A+B)= — sin C.又C£(0, 7i), sin C^O,•cos c= —- • c=~•. VUO I 2,・・l 3.由余弦定理c'=a2+b2—2abcos C, c2=7b2,得a—6Z?2+«/?—0,'.a—2b或a=—3b(舍去)，又C=2*^3, ab=8,•・i=4, Z?=2.(2)由(1)得A 为锐角，故sin Acos A^O.sin A+cos AX Asin Acos A=sin A+cos A, /.A=-s j n ^cos，设£=sin A+cos A=Ssin°+¥),・.・AE(0,寺，.・.10＜皿，O’ 7...人=吕=土在(1,皿］上单调递减，.人＞-------- 2A/2..““(S)2—1—2W，实数人的取值范围为［2皿，+8).2.已知ZvlBC 中，AC=2, A=号，^/3cos C=3sin B.又 sin Bsin(1)求 AB ；⑵若D 为B C 边上一点，且△ACQ 的面积为孚，求ZADC 的正弦值.解(1)因为A=亨，所以B=^—C,由"7§cos C=3sin B 得,cos C='sin 任-所以 cos C=A /3(^^COS c —^sin C )=|cos C —平sin C,所 以§cos C=gsin C,即 tan C=^~.又因为勇(0,寺，所以C=g,从而得3=§一C=§所以AB=AC=2.⑵由已知得| AC CZ )sin 1孚，所以CD=哗,在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2=AC 2+CD 2~2AC-CDcos C=f,即 AD=乎，土 T 吵〜钿泊 AD AC 站• / ■ n 厂 "sin C 2寸由正弦正理倚，sinZADC 故 smZADC - AD - 7 -3. 已知a, b, c 是△ABC 的内角A, B, C 所对的边，且黔+滂=；篇#-L 5111 D olll ^olll D olll⑴求角A ；(2)若a = 4,求AABC 的面积的最大值.护 .i\..sinC | sin 』_ 1—cos2A__ ] 用牛 11J • sinB 十sinC —2sinBsinC.sin sin B sin^A 即阮当且仅当b = c 时取等号，...（阮）max=§，••・Sd4Bc=§"csin A=§X 阮X 乎=乎阮＜平X?=马3, 当且仅当b=c 时取等号,AABC 的面积的最大值为耳£4. （2018-六安模拟）已知函数加=2福sin2（^+J + 2si 皆+x ）cos 俘+尤）1 * sin B sin C sin Bsin C '/. sin 2C+ sin 2B=sin 2A —sin Bsin C. 由正弦定理得，b 2+c 2—a 2= ~bc, . /?2 + c 2 —6Z 21・•・cos A =—液一=—云V0<A<K ,「・A=亨.(2)由(1)知，人=号，由余弦定理得，2冗 42=Z?2+c 2—2/?ccos -^-=b 2+c 2+bc^2bc+bc=3bc 9（1）求函数/（工）的单调递增区间；（2）在如43。
2019届高考数学专题2函数与导数第2讲综合大题部分真题押题精练理
第2讲 综合大题部分1. (2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x－x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．①若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减， 在(－ln a ，＋∞)上单调递增．(2)①若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．②若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a＋ln a .a ．当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；b ．当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；c ．当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0， 故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0.由于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值． 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点． 由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.令x ＝1＋12n 得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12<12n .从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12<12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2， 所以m 的最小值为3.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解析：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减． 而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x.当x ∈(0,2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①若h (2)＞0，即a ＜e24，h (x )在(0，＋∞)没有零点．②若h (2)＝0，即a ＝e24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．③若h (2)＜0，即a ＞e24，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)有一个零点；由(1)知，当x ＞0时，e x＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e4a ＝1－16a32a2＞1－16a3a4＝1－1a＞0，故h (x )在(2,4a )有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点． 综上，当f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e24.1. 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax 2，a >0. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(－1,0)上有唯一零点x 0，证明：e －2<x 0＋1<e －1. 解析：(1)f ′(x )＝1x ＋1＋2ax ＝2ax 2＋2ax ＋1x ＋1，x >－1，令g (x )＝2ax 2＋2ax ＋1， 则Δ＝4a 2－8a ＝4a (a －2)， 若Δ<0，即0<a <2，则g (x )>0，故当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 若Δ＝0，即a ＝2，则g (x )≥0， 仅当x ＝－12时，等号成立，故当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． 若Δ>0，即a >2，则g (x )有两个零点，x 1＝－a －a a －2a ，x 2＝－a ＋a a －2a，由g (－1)＝g (0)＝1>0，g (－12)<0得，－1<x 1<－12<x 2<0，故当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当0<a ≤2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增， 当a >2时，f (x )在(－1，－a －a a －2a )和(－a ＋a a －2a ，＋∞)上单调递增，在(－a －a a －2a，－a ＋a a －2a)上单调递减．(2)由(1)及f (0)＝0可知：仅当极大值等于零，即f (x 1)＝0时，符合要求． 此时，x 1就是函数f (x )在区间(－1,0)上的唯一零点x 0. 所以2ax 20＋2ax 0＋1＝0， 从而有a ＝－12x 0x 0＋，又f (x 0)＝ln(x 0＋1)＋ax 20＝0， 所以ln(x 0＋1)－x 0x 0＋＝0，令x 0＋1＝t 0，则ln t 0－t 0－12t 0＝0， 即ln t 0＋12t 0－12＝0，且0<t 0<12，设h (t )＝ln t ＋12t －12，则h ′(t )＝2t －12t 2，当0<t <12时，h ′(t )<0，h (t )单调递减，又h (e －2)＝e 2－52>0，h (e －1)＝e －32<0，所以e －2<t 0<e －1，即e －2<x 0＋1<e －1.2．已知函数f (x )＝12ln x －mx ，g (x )＝x －ax (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若m ＝12e 2，对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝12ln x －mx ，x >0，所以f ′(x )＝12x－m ，当m ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当m >0时，由f ′(x )＝0得x ＝12m；由⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0得0<x <12m ；由⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0得x >12m.综上所述，当m ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，12m )，单调递减区间为(12m ，＋∞)．(2)若m ＝12e 2，则f (x )＝12ln x －12e 2x .对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立， 等价于对∀x ∈[2,2e 2]都有g (x )min ≥f (x )max ， 由(1)知在[2,2e 2]上f (x )的最大值为f (e 2)＝12，g ′(x )＝1＋ax2>0(a >0)，x ∈[2,2e 2]，函数g (x )在[2,2e 2]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝2－a2，由2－a 2≥12，得a ≤3，又a >0，所以a ∈(0,3]，所以实数a 的取值范围为(0,3]．3．已知函数f (x )＝ln xx ＋a (a ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直．(1)试比较：2 0182 019与2 0192 018的大小并说明理由；(2)若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2>e 2.解析：(1)依题意得f ′(x )＝x ＋ax－ln x x ＋a 2，所以f ′(1)＝1＋a ＋a2＝11＋a， 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝1， 即11＋a＝1，解得a ＝0. 故f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2.令f ′(x )>0，则1－ln x >0，解得0<x <e ； 令f ′(x )<0，则1－ln x <0，解得x >e ， 所以f (x )的单调递增区间为(0，e)， 单调递减区间为(e ，＋∞)．∴f (2 018)>f (2 019)，即ln 2 0182 018>ln 2 0192 019，即ln 2 0182 019>ln 2 0192 018，∴2 0182 019>2 0192 018.(2)不妨设x 1>x 2>0，因为g (x 1)＝g (x 2)＝0， 所以ln x 1－kx 1＝0，ln x 2－kx 2＝0， 可得ln x 1＋ln x 2＝k (x 1＋x 2)， ln x 1－ln x 2＝k (x 1－x 2)． 要证x 1x 2>e 2，即证ln x 1x 2>2， 只需证ln x 1＋ln x 2>2， 也就是证k (x 1＋x 2)>2，即证k >2x 1＋x 2. 因为k ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以只需证ln x 1－ln x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2，即证ln x 1x 2>x 1－x 2x 1＋x 2.令x 1x 2＝t (t >1)，则只需证ln t >t －t ＋1(t >1)．令h (t )＝ln t －t －t ＋1(t >1)，则h ′(t )＝1t－4t ＋2＝t －2t t ＋2>0，故函数h (t )在(1，＋∞)上是单调递增的， 所以h (t )>h (1)＝0，即ln t >t －t ＋1.所以x 1x 2>e 2. 4．已知函数f (x )＝exx.(1)求曲线y ＝f (x )在点P (2，e22)处的切线方程；(2)证明：f (x )>2(x －ln x )．解析：(1)因为f (x )＝exx，所以f ′(x )＝e x ·x －e xx2＝exx －x 2，f ′(2)＝e24，又切点为(2，e22)，所以切线方程为y －e 22＝e24(x －2)，即e 2x －4y ＝0.(2)设函数g (x )＝f (x )－2(x －ln x )＝exx－2x ＋2ln x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝exx －x 2－2＋2x＝x－2x x －x2，x ∈(0，＋∞)．设h (x )＝e x－2x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝e x－2，令h ′(x )＝0，则x ＝ln 2. 当x ∈(0，ln 2)时，h ′(x )<0； 当x ∈(ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )min ＝h (ln 2)＝2－2ln 2>0， 故h (x )＝e x－2x >0.令g ′(x )＝x－2x x －x2＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 所以g (x )min ＝g (1)＝e －2>0， 故g (x )＝f (x )－2(x －ln x )>0， 从而有f (x )>2(x －ln x )．。
2019版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 2.2.2 函数的零点与方程专项练课件 文
f(x)=
e������ ,������ ≤ 0, ln������,������ > 0,
g(x)=f(x)+x+a,若g(x)
存在2个零点,则a的取值范围是( )
关闭
要A.使[-1得,0方) 程 g(x)B=.f[(0x,)++∞x)+a 有两个零点,等价于方程 f(x)=-x-a 有两 个C.实[-1根,+,∞即) 函数 yD=.[f1(x,+)的∞)图象与直线 y=-x-a 的图象有两个交点,从 图象可知,必须使得直线 y=-x-a 位于直线 y=-x+1 的下方,所以 -a≤1,即 a≥-1.故选 C.
时 范∵当,围fxf((>xx是)1)满=时(���足���1-1f(.fx则()x)=+关������11-于1),+画fx(出1的-x其方)=图程2,象∴f(,fx当()x+)x的2<a图1=时0象没的关有图于负象点实由(1根f,(1x)时)中=,���实心���1-1数对关称于a 的,点取(1,值1)关闭 A中.(心-∞对,-1称]∪得到- 12,, + ∞
(由 g(x))= A.4n
������2-4������ -������2 +
+ 4,������ > 2, 可得图象如下:
4������-B4.,2������n< 2,
C.n
D.0
������ =1
g(x)的图象也关于点(2,0)对称,即有 f(x)与 g(x)
的交点关于点(2,0)对称,
������
A由.(图-1可,+∞知),x1+x2=-B2,.-(l-o1g,12x] 3=log2x4,即 x3·x4=1,当-log2x3=1 时,x3=12.
【23份】江苏省2019年高考理科数学二轮复习精准提分
【23份】江苏省2019年高考理科数学二轮复习精准提分目录附加题满分练 (2)附加题满分练1 (2)附加题满分练2 (5)附加题满分练3 (8)解答题满分练 (13)解答题满分练1 (13)解答题满分练2 (20)解答题满分练3 (26)解答题专项练 (33)1.立体几何 (33)2.三角函数与解三角形 (40)3.应用题 (45)4.解+析几何 (53)5.函数与导数 (60)6.数列 (67)填空题满分练 (76)填空题满分练(1) (76)填空题满分练(2) (81)填空题满分练(3) (86)填空题满分练(4) (92)填空题满分练(5) (98)填空题满分练(6) (105)填空题满分练(7) (111)填空题满分练(8) (118)压轴小题组合练 (124)压轴小题组合练(A) (124)压轴小题组合练(B) (130)压轴小题组合练(C) (138)附加题满分练附加题满分练11.如图，过点P 作圆O 的切线PC ，切点为C ，过点P 的直线与圆O 交于点A ，B (P A <PB )，且AB 的中点为D .若圆O 的半径为2，PC ＝4，圆心O 到直线PB 的距离为2，求线段P A 的长.解 连结OC ，OD ，因为O 为圆心，AB 中点为D ， ∴OD ⊥AB ，又PC 为圆O 的切线，∴OC ⊥PC ， 由条件可知OD ＝2，∴AB ＝2OA 2－OD 2＝22，由切割线定理可得PC 2＝P A ·PB ， 即16＝P A ·(P A ＋22)， 解得P A ＝2 2.2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M . 解 由题意，λ1，λ2是方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ －a －b λ＝λ2－ab ＝0的两根. 因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Ma 2＝λ2a 2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λ2，b ＝λ2， 所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1，从而a ＝b ＝－1，故矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 －1－1 0.3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ⎝⎛⎭⎫2，π3为圆心且与直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . 则点P 的直角坐标为()1，3.将直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2的方程变形为： ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程得3x －y ＋4＝0.∴P ()1，3到直线l: 3x －y ＋4＝0的距离为4()32＋()－12＝2.∴所求圆的普通方程为()x －12＋()y －32＝4，化为极坐标方程得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. 4.已知实数x >0，y >0，z >0，证明：⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92. 证明 因为x >0，y >0，z >0， 所以1x ＋2y ＋3z 3≥36xyz ，x 2＋y 4＋z 63≥ 3xyz48， 所以⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92.当且仅当x ∶y ∶z ＝1∶2∶3时，等号成立. 5.已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上.(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值.解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2， ∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(2)另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.6.已知f n (x )＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论.解 (1)f 1(x )＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x )＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x )＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6.(2)猜测f n (x )＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明.①当n ＝1时，f 1(x )＝1，等式成立.②假设当n ＝m (m ≥1，m ∈N *)时，等式成立，即f m (x )＝∑k ＝0m(－1)k C k m (x －k )m ＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1·(x －k )m ＋1. 因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，k C k m ＋1＝(m ＋1)·C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C m m ，所以f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m ＋1 ＝x ∑k ＝0m ＋1(－1)kC k m ＋1(x －k )m－∑k ＝0m ＋1 (－1)k k C k m ＋1(x －k )m＝x ∑k ＝0m(－1)kC k m (x －k )m ＋x ∑k ＝1m ＋1 (－1)k C k －1m (x －k )m －(m ＋1)∑k ＝1m ＋1(－1)k C k －1m (x －k )m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)∑k ＝0m(－1)k C k m ·[(x －1)－k ]m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)·m! ＝(m ＋1)·m ！＝(m ＋1)！. 即当n ＝m ＋1时，等式也成立.由①②可知，对n ∈N *，均有f n (x )＝n ！.附加题满分练21.(2018·江苏省盐城中学质检)已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是∠APB 的平分线，E 是下半圆的中点.求证：直线PC 经过点E .证明 连结AE ，EB ，OE ，则∠AOE ＝∠BOE ＝90°. 因为∠APE 是圆周角，∠AOE 同弧上的圆心角， 所以∠APE ＝12∠AOE ＝45°.同理可得∠BPE ＝45°，所以PE 是∠APB 的平分线.又PC 也是∠APB 的平分线，∠APB 的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E .2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2.设变换T 1, T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，求对△ABC 依次实施变换T 1, T 2后所得图形的面积.解 依题意，依次实施变换T 1, T 2所对应的矩阵NM ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2. 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44.∴A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2分别变为点A ′()0，0，B ′()6，0，C ′()4，4.∴所得图形的面积为12×6×4＝12.3.已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程.解 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，两式平方相加得x 2＋y 2＝2.又x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4， θ∈[0，π]， 所以x ∈[－1，2]，y ∈[－1，2].所以动点M 轨迹的普通方程为x 2＋y 2＝2(x ，y ∈[－1，2]).4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2. 证明 因为a >0，b >0，所以a 2＋b 2＋ab ≥33a 2·b 2·ab ＝3ab >0， ab 2＋a 2b ＋1≥33ab 2·a 2b ·1＝3ab >0， 所以(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投. (1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望.解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥. 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3. P (A 1)＝25，P (A 2)＝35×13×25＝225，P (A 3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×25＝2125.所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45，P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×1＝125. 即X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.6.设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n ≥3). (1)当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；(2)当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n (n ∈N *且n ≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 证明 (1)因为a n (n ∈N *且n ≥3)均为正实数，左—右＝12⎝⎛⎭⎫a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2－2a 3≥12⎝⎛⎭⎫2a 1a 3a 2×a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 3a 2－2a 3＝0，所以原不等式a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3≥a 1＋a 2＋a 3成立.(2)归纳的不等式为：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3). 记F n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a n )，当n ＝3(n ∈N *)时，由(1)知，不等式成立； 假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥3)时，不等式成立，即F k ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a 1＋a k a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k )≥0.则当n ＝k ＋1时，F k ＋1＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)＝F k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－a k －1a k a 1－a k a 1a 2－a k ＋1＝F k ＋a k －1a k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a 2(a k ＋1－a k )≥0＋a 2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a k (a k ＋1－a k )＝(a k ＋1－a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫a k a 1＋a 1a k －a k ＋1＋a k a k ＋1， 因为a k ＋1≥a k ，a k a 1＋a 1a k ≥2，a k ＋1＋a k a k ＋1≤a k ＋1＋a k ＋1a k ＋1＝2，所以F k ＋1≥0，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.综上所述，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3)成立.附加题满分练31.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，BF 是⊙O 的切线，连结CF 交⊙O 于D ，交AB 于E .若BC ＝BF ＝4，CE ∶ED ＝6∶5，求⊙O 的半径.解 如图，连结BD ，因为BF 是⊙O 的切线，所以∠DBF ＝∠BCF ，因为BC ＝BF ，所以∠BCF ＝∠BFC ， 所以∠DBF ＝∠BFC ，所以BD ＝DF ，又∠BEF ＋∠BFC ＝90°，∠EBD ＋∠DBF ＝90°， 所以∠BEF ＝∠EBD ，所以BD ＝ED ，所以ED ＝DF . 设CE ＝6x ，ED ＝5x (x >0)，则DF ＝5x ， 因为BF ＝4，根据切割线定理知BF 2＝DF ·CF ， 所以16＝5x ×16x ，解得x ＝55， 所以EF ＝ED ＋DF ＝25，因为BF 为⊙O 的切线，所以AB ⊥BF ， 所以BE 2＋BF 2＝EF 2，所以BE ＝2，根据相交弦定理知AE ·BE ＝CE ·ED ，得AE ＝3， 所以AB ＝5，因为AB 为⊙O 的直径，所以⊙O 的半径为52.2.若二阶矩阵M 满足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－212 2－1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0 4 －1，求曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.解 记矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 12 2 －1，det(A )＝(－2)×(－1)－2×12＝1≠0， 故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2，所以M ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－2 2，即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12－2 2. 设曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′).所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎤ 1 12－2 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x ＋12y －2x ＋2y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋12y ，y ′＝－2x ＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′－y ′6，y ＝2x ′＋y ′3，又点P (x ，y )在曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上，代入整理得2x ′2＋3y ′＝0， 由点P (x ，y )的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2＋3y ＝0.3.已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值. 解 (1)极点为直角坐标原点O ， ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|x －2|(m >0)的最小值为4，正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝ 3.求证：1a 2＋2b2≥m .证明 易知|x ＋m |＋|x －2|≥|(x ＋m )－(x －2)|＝|m ＋2|， 故由f (x )的最小值为4得|m ＋2|＝4，又m >0，所以m ＝2.又⎝⎛⎭⎫1a 2＋2b 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ×1＋2b ×122＝3，当且仅当a ＝32，b ＝3时等号成立， 故1a 2＋2b2≥2＝m ，即结论成立.5.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.(1)若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小； (2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度. 解 分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，M (1,1,0). (1)若P 是线段A 1B 的中点，则P (1,0,1)，MP →＝(0，－1,1)，AC →＝(0,2,0). 所以cos 〈MP →，AC →〉＝MP →·AC →||MP →·||AC→＝－22.又〈MP →，AC →〉∈[0，π]，所以〈MP →，AC →〉＝3π4.所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4.(2)由N (0,2,1)，得MN →＝(－1,1,1). 设P (x ，y ，z )，BP →＝λBA 1,0≤λ≤1，则(x －2，y ，z )＝λ(－2,0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝0，z ＝2λ，所以P (2－2λ，0,2λ)，所以MP →＝(1－2λ，－1,2λ).设平面PMN 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则n ⊥MN →，n ⊥MP →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＋z 1＝0，(1－2λ)x 1－y 1＋2λz 1＝0，取n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12λ，12λ，1. 因为BA 1＝(－2,0,2)，设直线A 1B 与平面PMN 所成的角为θ.由sin θ＝||cos 〈n ，BA 1〉＝|n ·BA 1|||n ·||BA 1＝⎪⎪⎪⎪(－2)×⎝⎛⎭⎫1＋12λ＋2⎝⎛⎭⎫1＋12λ2＋⎝⎛⎭⎫12λ2＋1·22＝77，得λ＝14(舍负). 所以BP →＝14BA 1，所以BP ＝14BA 1＝22.6.已知⎝⎛⎭⎫1＋12x n 展开式的各项依次记为a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )，…，a n (x )，a n ＋1(x ).设F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)·a n ＋1(x ).(1)若a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次成等差数列，求n 的值； (2)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1)－F (x 2)|≤2n －1(n ＋2)－1.(1)解 依题意a k (x )＝C k －1n⎝⎛⎭⎫12x k －1，k ＝1,2,3，…，n ＋1， a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次为C 0n ·⎝⎛⎭⎫120＝1，C 1n ·12＝n 2，C 2n ·⎝⎛⎭⎫122＝n (n －1)8， 所以2×n2＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去).(2)证明 F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)a n ＋1(x )＝C 0n ＋2C 1n ⎝⎛⎭⎫12x ＋3C 2n ⎝⎛⎭⎫12x 2＋…＋n C n －1n ⎝⎛⎭⎫12x n －1＋(n ＋1)C n n ⎝⎛⎭⎫12x n ， F (2)＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， 设S n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， 则S n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋C 0n ， 考虑到C k n ＝C n －k n ，将以上两式相加得 2S n ＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )，所以S n ＝2n －1(n ＋2)，又当x ∈[0,2]时，F ′(x )>0恒成立，从而F (x )是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，|F (x 1)－F (x 2)|≤F (2)－F (0)＝2n －1(n ＋2)－1.解答题满分练解答题满分练11.如图，已知直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)在线段EA 上是否存在点F ，使得EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA 的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 取AB 的中点O ，连结OE ，OD .因为EB ＝EA ，所以OE ⊥AB .因为四边形ABCD 为直角梯形，AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ， 所以四边形OBCD 为正方形， 所以AB ⊥OD .又OD ∩OE ＝O ，OE ，OD ⊂平面EOD ， 所以AB ⊥平面EOD ， 又DE ⊂平面EOD ， 所以AB ⊥DE .(2)解 连结CA 交BD 于点M ，由AB ∥CD 可得CM AM ＝CD AB ＝12.假设线段EA 上存在点F ，使得EC ∥平面FBD ，又平面ACE ∩平面FBD ＝FM ， 故EC ∥FM ，从而EF F A ＝CM AM ＝12，故EF EA ＝13，所以当EF EA ＝13时，EC ∥平面FBD .2.(2018·江苏省常州市三校联考)已知a ＝()1＋cos ωx ，－1， b ＝()3，sin ωx ( ω>0)，函数f (x )＝a ·b ，函数f (x )的最小正周期为2π. (1)求函数f (x )的表达式；(2)设θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f ()θ＝3＋65，求cos θ的值. 解 (1)f (x )＝a ·b ＝3()1＋cos ωx －sin ωx ＝ 3－2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， ∵为函数f (x )的最小正周期为2π， ∴2πω＝2π， 解得ω＝1. ∴f (x )＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 . (2) 由f (θ)＝3＋65，得sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－35. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝45， ∴cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3sin π3 ＝45×12－⎝⎛⎭⎫－35×32＝4＋3310.3.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时， y 取得最大值？解 (1)扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )， ∴θ＝10＋2x 10＋x(0<x <10).(2)由(1)可得花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0<x <10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，∴花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010(17＋x )，令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤3910－110·2·t ·324t ＝310，当且仅当t ＝324t ， 即t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答 当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.4.(2018·江苏六市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点.当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 满足： QB 1⊥PB 1, QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值.(1)解 设P ()x 0，y 0.在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋()x ＋329＝1.∴x 0＝－6a 29＋a 2.∵PB 1＝x 20＋()y 0－32＝2||x 0，∴42＝2·6a 29＋a 2，解得a 2＝18. ∴椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1). 方法一 直线PB 1的斜率为1PB k ＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，则直线QB 1的斜率为1QB k ＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理， QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴x 1＝－x 02.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.方法二 设直线PB 1, PB 2的斜率为k, k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1k x ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得()2k 2＋1x 2＋12kx ＝0，∵P 是椭圆上异于点B 1, B 2的点， ∴x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k .由QB 2⊥PB 2，得直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，得x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k2k 2＋1.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2. 5.设函数f (x )＝x －a sin x (a >0).(1)若函数y ＝f (x )是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围； (2)设a ＝12，g (x )＝f (x )＋b ln x ＋1()b ∈R ，b ≠0， g ′(x )是g (x )的导函数.①若对任意的x >0，g ′(x )>0，求证：存在x 0，使g (x 0)<0； ②若g (x 1)＝g (x 2) (x 1≠x 2)，求证： x 1x 2<4b 2.(1)解 由题意，得 f ′()x ＝1－a cos x ≥0对x ∈R 恒成立. ∵a >0，∴1a ≥cos x 对x ∈R 恒成立， ∵(cos x )max ＝1， ∴1a≥1，从而0<a ≤1. (2)证明 ①g ()x ＝x －12sin x ＋b ln x ＋1，则g ′(x )＝1－12cos x ＋bx.若b <0，则存在－b2>0，使g ′⎝⎛⎭⎫－b 2＝－1－12cos ⎝⎛⎭⎫－b 2<0，不合题意. ∴b >0. 取x 0＝3eb-，则0<x 0<1.此时g ()x 0＝x 0－12sin x 0＋b ln x 0＋1<1＋12＋b ln 3e b -＋1＝－12<0.∴存在x 0>0，使g ()x 0<0.②依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t >1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增， 则x 2－sin x 2>x 1－sin x 1， 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. ∵g (x 1)＝g (x 2)，∴x 1－12sin x 1＋b ln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋b ln x 2＋1，∴－b (ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12()x 2－x 1.∴－2b >x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t <0. (*)设h ()t ＝ln t －t －1t ()t >1， 则h ′()t ＝－()t －122t t<0在()1，＋∞上恒成立.∴h (t )在()1，＋∞上单调递减，故h (t )<h (1)＝0， 从而(*)式得证.∴－2b >x 1x 2，即x 1x 2<4b 2.6.已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *).若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，① 当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝(2)1n b -，②由①②知a n ＝(2)1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝(2)32b b -.∵b 3＝6＋b 2，∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n } 的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *).又由a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，得 21×22×23…×2n ＝(2)n b， 即(1)22n n +＝(2)n b，∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).(2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝⎛⎭⎫11－12＋122－⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n －1，而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n ≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.解答题满分练21.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面P AD ⊥底面ABCD, P A ⊥PC ； (1)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (2)若过点B 的直线l 垂直于平面PCD ， 求证： l ∥平面P AD .证明 (1)因为ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD, CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ，因为AP ⊂平面P AD ，所以P A ⊥CD ，又P A ⊥PC, PC ∩CD ＝C, CD ，PC ⊂平面PCD ， 所以AP ⊥平面PCD ，又AP ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD . (2)由(1)知，AP ⊥平面PCD ，又l ⊥平面PCD ， 所以l ∥P A ，又l ⊄平面P AD, AP ⊂平面P AD ，所以l ∥平面P AD .2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足cos B cos C ＋b2a ＋c ＝0 .(1)求角B 的值；(2)若c ＝2，AC 边上的中线BD ＝32，求△ABC 的面积. 解 (1)cos B cos C ＋b 2a ＋c ＝0⇔cos B cos C ＋sin B2sin A ＋sin C ＝0,所以cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0， 所以sin A (2cos B ＋1)＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12.所以B ＝2π3.(2)延长BD 到E ，使BD ＝DE ，易知四边形AECB 为平行四边形，在△BEC 中，EC ＝2，BE ＝2BD ＝ 3 ，因为∠ABC ＝2π3，所以∠BCE ＝π3 ，由余弦定理得，BE 2＝EC 2＋BC 2－2EC ·BC ·cos ∠BCE ， 即3＝22＋a 2－2·2a ·cos π3，即a 2－2a ＋1＝0， 解得a ＝1，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2×32＝32.3.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy .(1)若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S ＝23lh )解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－32， 代入抛物线方程得a ＝3200，令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40米.(2)抛物线最大拱高为h 米，h ≥6，抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－⎝⎛⎭⎫h －92， 代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100hh －92，则⎝⎛⎭⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400，∵h ≥6，∴92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40，∴S ＝23lh ＝23l ·92l 2l 2－400＝3l 3l 2－400，20<l ≤40，∴S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1 200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2，当20<l <203时，S ′＜0；当203<l ≤40时，S ′＞0， 即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增， ∴当l ＝203时，S 取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答 当拱高为274米，拱宽为203米时，使得隧道口截面面积最小.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线2x －y ＝0上，且直线x －y ＝0被圆C 截得的弦长为2 2. (1)求圆C 的标准方程；(2)已知两定点A (0,1)，B (0，－1)，P 为圆C 上的动点，求P A 2＋PB 2的取值范围. 解 (1)由已知可设圆心C (a,2a )，则r ＝|a |. 圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －2a |2＝|a |2，则⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝|a |2，解得a ＝±2，从而所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝4 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝4. (2)设P (x ，y )，则P A 2＋PB 2＝x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝2(x 2＋y 2)＋2， 要求P A 2＋PB 2的取值范围，只需求x 2＋y 2的取值范围，而x 2＋y 2的几何意义为圆C 上的点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离的平方. 由圆心C 到原点O 的距离OC ＝25，知点P (x ，y )到原点O 的距离的最大值，最小值分别为25＋2,25－2，则x 2＋y 2的取值范围为[24－85，24＋85]，故P A 2＋PB 2的取值范围为[50－165，50＋165].5.已知函数f (x )＝a ln x ＋bx (a ，b ∈R )在x ＝12处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直. (1)求实数a ，b 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝ax＋b ，由题设可知f ′(1)＝－1且f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.代回检验可得，满足题意.所以实数a ，b 的值分别为1和－2.(2)由(1)可知f (x )＝ln x －2x ，所以不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 即x 2－x －ln x ＋k ≤0.令g (x )＝x 2－x －ln x ＋k (x >0)，则g ′(x )＝2x －1－1x ＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g (x )min ＝g (1)＝k . 因此，欲使不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，则k ≤0. 即实数k 的取值范围是(－∞，0].(3)对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，等价于ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x ≤0在x ∈[1，＋∞)上恒成立.设h (x )＝ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x (x ≥1)， 则h ′(x )＝1x －m ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2＝－mx 2＋x －m x 2. 若m ≤0，则h ′(x )>0，h (x )在[1，＋∞)上为增函数， h (x )≥h (1)＝0， 这与题设h (x )≤0矛盾.若m >0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2.(i)当Δ≤0，即m ≥12时，h ′(x )≤0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，即不等式成立；(ii)当0<m <12时，设方程－mx 2＋x －m ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，x 1＝1－1－4m 22m∈(0,1)，x 2＝1＋1－4m 22m∈(1，＋∞)，当x ∈[1，x 2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )≥h (1)＝0，与题设矛盾. 综上所述，m ≥12.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.6.(2018·江苏泰州中学模拟)已知数列{}a n ，{}b n ，S n 为数列{}a n 的前n 项和，向量x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y .(1)若b n ＝2，求数列{}a n 的通项公式； (2)若b n ＝n2，a 2＝0.①证明：数列{}a n 为等差数列；②设数列{}c n 满足c n ＝a n ＋3a n ＋2，问是否存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m成等比数列？若存在，求出l ，m 的值；若不存在，请说明理由. (1)解 由x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y ， 得：S n ＝(a n －1)b n ，若b n ＝2，则S n ＝2a n －2.①当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2， 又S n ＋1＝2a n ＋1－2，②②－①得：S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2，又a 1＝2，所以{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以a n ＝2n .(2)①证明 因为b n ＝n2，则2S n ＝na n －n ，③当n ＝1时，2S 1＝a 1－1，即a 1＝－1， 又2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－(n ＋1)，④④－③得：2S n ＋1－2S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －1， 即(n －1)a n ＋1－na n －1＝0，⑤ 又na n ＋2－(n ＋1)a n ＋1－1＝0，⑥⑥－⑤得：na n ＋2－2na n ＋1＋na n ＝0，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{}a n 为等差数列. ②解 因为a 1＝－1，a 2＝0，数列{a n }为等差数列， 所以数列{}a n 是首项为－1，公差为1的等差数列. a n ＝－1＋(n －1)×1＝n －2，所以c n ＝n ＋1n，假设存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m 成等比数列， 即c 22＝c l c m ， 可得94＝l ＋1l ·m ＋1m，整理得5lm －4l ＝4m ＋4，即l ＝4m ＋45m －4，由4m ＋45m －4≥1，得1≤m ≤8, 一一代入检验⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，l ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，l ＝1611或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，l ＝54或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，l ＝87或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，l ＝1413或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7，l ＝3231或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8，l ＝1.又l ，m 为正整数，l <m ，且l ≠2，m ≠2， 所以存在l ＝1，m ＝8符合题意.解答题满分练31.已知函数f ()x ＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f ()A ＝－1，a ＝7且向量m ＝(3，sin B )与向量n ＝(2，sin C )共线，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝－1，∴2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＋1＝－1，即cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，∴2A ＋π3＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴A ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵0<A <π， ∴A ＝π3，∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×3×32＝332.2.(2018·常州市武进区期中)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝2，AD ＝4，AP ＝4，F 是线段BC 的中点. (1)求证：平面P AF ⊥平面PDF ；(2)若E 是线段AB 的中点，在线段AP 上是否存在一点G ，使得EG ∥平面PDF ？若存在，求出线段AG 的长度；若不存在，说明理由.(1)证明 ∵P A ⊥平面ABCD, DF ⊂平面ABCD, ∴P A ⊥DF ，又∵在底面ABCD 中， AF ＝DF ＝22，AD ＝4， ∴AF 2＋DF 2＝AD 2, ∴AF ⊥DF ，∵AP ∩AF ＝A ，AF ⊂平面P AF ，AP ⊂平面P AF ， ∴DF ⊥平面P AF ，∵DF ⊂平面PDF ， ∴平面P AF ⊥平面PDF .(2)解 方法一 假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .延长AB 交DF 的延长线于点M ，连结PM .∵F 是线段BC 的中点，底面ABCD 是矩形， ∴MB ＝AB,∵EG ∥平面PDM, EG ⊂平面P AM ，平面P AM ∩平面PDM ＝PM ， ∴EG ∥PM ，∵AE ＝14AM, ∴AG ＝14AP ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ， 此时AG ＝1.方法二 假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .取DF 的中点I ，连结EI ，过点G 作AD 的平行线交PD 于点H ，连结GH ，HI . ∵E 是线段AB 的中点，∴EI 是梯形ABFD 的中位线， ∴EI ＝3，EI ∥GH ，∵EG ∥平面PDF , EG ⊂平面GEIH ， 平面GEIH ∩平面PDF ＝IH ， ∴EG ∥IH ，∴四边形GEIH 是平行四边形， ∴EI ＝GH ＝3，∴PG ＝34AP ＝3, ∴AG ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ， 此时AG ＝1.3.如图，某生态园将一块三角形地ABC 的一角APQ 开辟为水果园，已知角A 为2π3，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何操作可使得三角形地块APQ 的面积最大？ (2)已知竹篱笆长为50 3 米， AP 段围墙高1米， AQ 段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围. 解 (1)设AP ＝x 米，则AQ ＝(200－x )米， 所以S △APQ ＝12x ()200－x sin 2π3＝34x ()200－x ≤34⎝⎛⎭⎫20022＝2 500 3 (平方米)， 当且仅当x ＝200－x 时，取等号.即AP ＝AQ ＝100 米， S max ＝2 500 3 平方米. (2)由正弦定理AP sin ∠AQP ＝AQ sin ∠APQ ＝PQ sin A ，得AP ＝100sin ∠AQP ，AQ ＝100sin ∠APQ ，故围墙总造价y ＝100()AP ＋2AQ ＝10 000(sin ∠AQP ＋2sin ∠APQ )＝10 0003cos ∠AQP ， 因为0<∠AQP <π3， ∴12<cos ∠AQP <1，所以y ∈ ()5 0003，10 0003.答 围墙总造价的取值范围为()5 0003，10 0003(元).4.(2018·盐城模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，并且椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，直线l 的方程为x ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆内一点E (1,0)，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，交直线l于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)因为椭圆的离心率为32， 所以b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫322＝14，又椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋34b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，令x ＝4，则y ＝3k ，所以点M (4,3k )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋4y 2＝4，可得()1＋4k 2x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以x 1,2＝4k 2±23k 2＋11＋4k2， 所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，所以k 1＋k 2＝2k －32·8k 21＋4k 2－24k 2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1 ＝2k －33. 又因为k 3＝3k －323＝k －36，所以k 1＋k 2＝2k 3，所以存在λ＝2，使得k 1＋k 2＝2k 3. 5.已知函数f (x )＝ x －bx，g (x )＝ 2a ln x .(1)若b ＝0，函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求a 的值；(2)若a >0, b ＝－1，函数F (x )＝xf (x )＋g (x )满足对任意x 1，x 2∈(]0，1(x 1≠x 2)，都有||F ()x 1－F ()x 2<3⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2恒成立，求a 的取值范围； (3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋ g (x )，且G (x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈⎝⎛⎦⎤0，13，求G ()x 1－G ()x 2的最小值.解 (1)若b ＝0，函数f (x )＝x 的图象与g (x )＝2a ln x 的图象相切，设切点为(x 0,2a ln x 0)， 则切线方程为y ＝2ax 0x －2a ＋2a ln x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a x 0＝1，－2a ＋2a ln x 0＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝e 2.所以a ＝e 2. (2)当a >0，b ＝－1时，F (x )＝x 2＋1＋2a ln x ，F ′(x )＝2x ＋2ax >0，所以F (x )在(0,1]上单调递增.不妨设0<x 1<x 2≤1，原不等式⇔F (x 2)－F (x 1)<3⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2，即F (x 2)＋ 3x 2< F (x 1)＋3x 1. 设h (x )＝F (x )＋3x ＝ x 2＋1＋2a ln x ＋3x ，x ∈(0,1]，则原不等式⇔h (x )在(0,1]上单调递减，即h ′(x )＝2x ＋2a x －3x 2≤0在(0,1]上恒成立，所以2a ≤3x－2x 2在(0,1]上恒成立.设y ＝3x －2x 2，它在(0,1]上单调递减，所以y min ＝3－2＝1，所以2a ≤1，又a >0，所以0<a ≤12.(3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋g (x )＝x －1x＋2a ln x ，G ′(x )＝ x 2＋2ax ＋1x 2(x >0)，由题意知x 1，x 2是x 2＋2ax ＋1＝0的两根， 所以x 1,2＝－2a ±4a 2－42，x 2＝1x 1，2a ＝－x 1－1x 1，G (x 1)－G (x 2)＝G (x 1)－G ⎝⎛⎭⎫1x 1＝2⎣⎡⎦⎤x 1－1x 1－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1. 令H (x )＝2⎣⎡⎦⎤x －1x －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，13， H ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1x 2－1ln x ＝2()1＋x()1－x ln x x 2，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，H ′(x )<0, H (x )在⎝⎛⎦⎤0，13上单调递减，H (x )的最小值为H ⎝⎛⎭⎫13＝20ln 3－163. 即G (x 1)－G (x 2) 的最小值为20ln 3－163. 6.(2018·常州市武进区期中)已知数列{}a n 中， a 1＝3，前n 项和S n 满足a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *). (1) 求数列{}a n 的通项公式； (2)记b n ＝a n()a n －1()a n ＋1－1，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)是否存在整数对()m ，n (其中m ∈Z ,n ∈N *)满足a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0？若存在，求出所有的满足题意的整数对()m ，n ，若不存在，请说明理由. 解 (1)当n ≥2时，a n ＋1＝2S n ＋3与a n ＝2S n －1＋3相减， 得a n ＋1－a n ＝2()S n －S n －1＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)， 在a n ＋1＝2S n ＋3中，令n ＝1可得，a 2＝9，即a 2＝3a 1. 故a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，故数列{}a n 是首项为3，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝3n (n ∈N *). (2)由(1) 知，b n ＝a n()a n－1()a n ＋1－1＝3n()3n－1()3n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1， 则T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫12－18＋⎝⎛⎭⎫18－126＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12－13n ＋1－1(n ∈N *). (3)a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0，即32n －()m ＋23n ＋7m ＋5＝0，则m ＝32n －2×3n ＋53n －7＝()3n －7()3n ＋5＋403n －7＝()3n＋5＋403n －7，若存在整数对()m ，n ，则403n －7必须是整数，其中3n －7只能是40的因数，可得n ＝1时， m ＝－2; n ＝2时， m ＝34; n ＝3时， m ＝34. 综上所有的满足题意的整数对为()－2，1， ()34，2， ()34，3.解答题专项练1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP ＝AD ，点M 在棱PD 上， AM ⊥PD ，点N 是棱PC 的中点，求证：(1) MN ∥平面P AB ； (2) AM ⊥平面PCD .证明 (1)因为在△P AD 中， AP ＝AD ，AM ⊥PD ， 所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点， 所以MN 是△PDC 的中位线， 所以MN ∥DC .因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ∥DC ，。
2019届高考数学专题二函数零点精准培优专练理
培优点二 函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g xf x a x =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
2019高考数学(理)精准提分二轮(课件+讲义+优选习题)通用版：第二篇 第5部分解析几何 第23练
第23练 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题[压轴大题突破练][明晰考情] 1.命题角度：圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考常考的问题；以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.2.题目难度：偏难题.考点一 圆锥曲线中的定值问题方法技巧 (1)求定值问题常见的方法有两种①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点.若OM →＝35OA →＋45OB →，点N 为线段AB 的中点，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫62，0，求证：|NC |＋|ND |＝2 2. (1)解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，3a 2＋14b2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1.由OM →＝35OA →＋45OB →，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.因为M 是椭圆C 上一点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 1＋45y 22＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214＋y 21⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224＋y 22⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×35×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋y 1y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×35×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋y 1y 2＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0.又线段AB 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2222＋2⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214＋y 21＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224＋y 22＋x 1x 24＋y 1y 2＝1. 从而线段AB 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在椭圆x 22＋2y 2＝1上. 又椭圆x 22＋2y 2＝1的两焦点恰为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0，所以|NC |＋|ND |＝2 2.2.(2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)，过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＞0， 解得k ＜0或0＜k ＜1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)， 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.3. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆上，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值.解 (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2，①又点Q ⎝⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆C 上，∴b 2a 2＋a 2b4＝1，② 联立①②得a 2＝8，b 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 的方程为x ＝2或x ＝－2，从而有|PN |＝23， ∴S ＝12|PN |·|OM |＝12×23×22＝26；当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将PN 的方程代入椭圆C 的方程， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，Δ＝16k 2m 2－4(2m 2－8)(1＋2k 2)>0，即m 2<4＋8k 2，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2， 由OM →＝OP →＋ON →，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2，2m 1＋2k 2. 将M 点坐标代入椭圆C 的方程，得m 2＝1＋2k 2. 又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k2，|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，∴S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 48k 2＋242k 2＋1＝2 6. 综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6. 考点二 圆锥曲线中的定点问题方法技巧 (1)动直线l 过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0).(2)动曲线C 过定点问题.引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.4.已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2PA →·PB →＝|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C 于点G ，H 和M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点.(1)解 设点P 的坐标为(x ，y )，∴点Q 的坐标为(0，y ). ∵2PA →·PB →＝|PQ →|2，PA →＝(－2－x ，－y )， PB →＝(2－x ，－y )，|PQ →|＝|x |，∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2，化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明 当两直线的斜率都存在且不为0时， 设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－1k (x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k (x －1)，消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 则Δ>0恒成立.∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.∴GH 中点E 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k22k 2＋1，－k 2k 2＋1.同理，MN 中点E 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋2，k k 2＋2，∴12E E k ＝－3k2(k 2－1)，∴12E E l 的方程为y －kk 2＋2＝－3k 2(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 2＋2，即y ＝－3k 2(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，∴直线E 1E 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0； 当两直线的斜率分别为0和不存在时，12E E l 的方程为y ＝0，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 综上所述，12E E l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 5.已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形. (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点. (1)解 设坐标原点为O ，∵四边形ABPQ 是平行四边形，∴|AB →|＝|PQ →|，∵|PQ →|＝2|OB →|，∴|AB →|＝2|OB →|，则点B 的横坐标为a 3，∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，43，代入椭圆C 的方程得b 2＝2，又c 2＝2，∴a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明 设直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，N (x 0，y 0)，DA ⊥AM ，∴D (2，4k ).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，则－2x 0＝8k 2－41＋2k 2，即x 0＝2－4k 21＋2k2，∴y 0＝k (x 0＋2)＝4k 1＋2k 2，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设G (t ，0)，则t ≠－2，若以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点， 则DG ⊥AN ，∴GD →·AN →＝0恒成立.∵GD →＝(2－t ，4k )，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k21＋2k 2，4k 1＋2k 2，∴GD →·AN →＝(2－t )·－8k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝0恒成立，即8k 2t1＋2k2＝0恒成立， ∴t ＝0，∴点G 是定点(0，0).6.(2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上. 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1). 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0， 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1).考点三 圆锥曲线中的存在性问题方法技巧 解决存在性问题的一般思路：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.7.(2016·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ， 代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点.8.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c ，0)且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点D ，原点O到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4PA →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)由椭圆的对称性知，|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32， ∴bc a ＝32，∴bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4， a ＞b ＞c ＞0，∴b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件.故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)＞0， ∴k ＞－12.∵OP 2→＝4PA →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5， ∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去，∴存在满足条件的直线l ，其方程为x －2y ＝0.典例 (12分)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由. 审题路线图(1)联立直线方程与椭圆方程―→一元二次方程―→中点坐标―→求出斜率乘积 (2)先假定四边形OAPB 能为平行四边形―→找几何关系：平行四边形的对角线互相平分 ―→转化成代数关系：x P ＝2x M ―→求k 规范解答·评分标准(1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).…………2分将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，Δ＝4k 2b 2－4(k 2＋9)(b 2－m 2)>0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.………………………………………………4分 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. ……………………………………………6分 (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形. ………………………………………………………7分因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. ……………………………………9分将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程，得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝k (k －3)m3(k 2＋9).……………………………………………………………………………10分 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形. ………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 先假定：假设结论成立；[第二步] 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解；[第三步] 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设； [第四步] 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.1.(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0).由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2. (2)证明 由题意知F (－1，0).设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n ).由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1. 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值. (1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ>0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2，＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.3.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q (x Q ，y Q )(点Q 异于点P )，若0<x Q <1，求直线l 的斜率k 的取值范围.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a＝2，b ＝1，c ＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y －32＝k (x －1)， 代入方程x 24＋y 2＝1.消去y 得(1＋4k 2)x 2＋(43k －8k 2)x ＋4k 2－43k －1＝0， ∴x Q ·1＝4k 2－43k －11＋4k 2， ∵0<x Q <1，∴0<4k 2－43k －11＋4k 2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－43k －11＋4k2>0，4k 2－43k －11＋4k 2<1，解得－36<k <3－22或k >3＋22，经检验，满足题意. ∴直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，3－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22，＋∞. 4.如图所示，已知椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点构成边长为5的菱形，原点O 到直线AB 的距离为125，其中A (0，a )，B (－b ，0).直线l ：x ＝my ＋n 与椭圆M 相交于C ，D 两点，且以CD 为直径的圆过椭圆的右顶点P (其中点C ，D 与点P 不重合).(1)求椭圆M 的方程；(2)证明：直线l 与x 轴交于定点，并求出定点的坐标. 解 (1)由已知，得a 2＋b 2＝52，由点A (0，a )，B (－b ，0)知，直线AB 的方程为x －b ＋ya ＝1，即ax －by ＋ab ＝0.又原点O 到直线AB 的距离为125，即 |0－0＋ab |a 2＋b2＝125， 所以a 2＝16，b 2＝9，c 2＝16－9＝7. 故椭圆M 的方程为y 216＋x 29＝1.(2)由(1)知P (3，0)，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 将x ＝my ＋n 代入y 216＋x 29＝1，整理，得(16m 2＋9)y 2＋32mny ＋16n 2－144＝0， 则y 1＋y 2＝－32mn 16m 2＋9，y 1y 2＝16n 2－14416m 2＋9. 因为以CD 为直径的圆过椭圆的右顶点P ， 所以PC →·PD →＝0，即(x 1－3，y 1)·(x 2－3，y 2)＝0， 所以(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0. 又x 1＝my 1＋n ，x 2＝my 2＋n ，所以(my 1＋n －3)(my 2＋n －3)＋y 1y 2＝0，整理，得(m 2＋1)y 1y 2＋m (n －3)(y 1＋y 2)＋(n －3)2＝0， 即(m 2＋1)·16n 2－14416m 2＋9＋m (n －3)·－32mn 16m 2＋9＋(n －3)2＝0， 所以16(m 2＋1)(n 2－9)16m 2＋9－32m 2n (n －3)16m 2＋9＋(n －3)2＝0， 易知n ≠3，所以16(m 2＋1)(n ＋3)－32m 2n ＋(16m 2＋9)·(n －3)＝0， 整理，得25n ＋21＝0，即n ＝－2125.经检验，n ＝－2125符合题意.所以直线l 与x 轴交于定点，定点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，0. 5.已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值； (2)是否存在实数p ，使|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由.解 (1)∵直线2x －y ＋2＝0与y 轴的交点为(0，2)， ∴F (0，2)，则抛物线C 的方程为x 2＝8y ，准线l ：y ＝－2. 设过D 作DG ⊥l 于G ，则|DF |＋|DE |＝|DG |＋|DE |， 当E ，D ，G 三点共线时，|DF |＋|DE |取最小值2＋3＝5.(2)假设存在，抛物线x 2＝2py 与直线y ＝2x ＋2联立，得x 2－4px －4p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝(4p )2＋16p ＝16(p 2＋p )>0，则x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p ， ∴Q (2p ，2p ).∵|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|，∴QA →⊥QB →. 则QA →·QB →＝0，得(x 1－2p )(x 2－2p )＋(y 1－2p )(y 2－2p ) ＝(x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )(2x 2＋2－2p ) ＝5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2－8p ＋4＝0， 代入得4p 2＋3p －1＝0，解得p ＝14或p ＝－1(舍去).因此存在实数p ＝14，且满足Δ>0，使得|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|成立.。
2019高考数学(理)精准提分二轮(课件+讲义+优选习题)通用版：第二篇 第6部分 函数与导数 第25练
第25练 基本初等函数、函数的应用[小题提速练][明晰考情] 1.命题角度：考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题.2.题目难度：中档偏难.考点一 基本初等函数的图象与性质方法技巧 (1)指数函数的图象过定点(0，1)，对数函数的图象过定点(1，0).(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数. (3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质.1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，f (x －1)＋1，x ≥0，则f (2 019)等于( )A.2 018B.2C.2 020D.4 0412答案 D解析 f (2 019)＝f (2 018)＋1＝…＝f (0)＋2 019＝f (－1)＋2 020＝2－1＋2 020＝4 0412.2.函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )答案 A解析 f (x )＝y ＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|－x |－(－x )2＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.故选A.3.(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2xD.3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .故选D.4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧34x ＋54，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (t ))＝2f (t )的t 的取值范围是____________________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13 解析 若f (t )≥1，显然成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧t <1，34t ＋54≥1或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，2t≥1，解得t ≥－13.若f (t )<1，由f (f (t ))＝2f (t )，可知f (t )＝－1，所以34t ＋54＝－1，得t ＝－3.综上，实数t 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13. 考点二 函数与方程方法技巧 (1)判断函数零点个数的主要方法①解方程f (x )＝0，直接求零点；②利用零点存在性定理；③数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.(2)解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.5.函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1，2) D.(2，3)答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数.f (1)＝log 21－11＝0－1<0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，∴ f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1，2)内.6.已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋x 3，若函数y ＝f (x )＋f (k －x 2)有两个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 答案 B解析 因为f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋x 3在区间(－1，1)上单调递增，且是奇函数，令y ＝f (x )＋f (k－x 2)＝0，则f (x )＝－f (k －x 2)＝f (x 2－k ).由函数y ＝f (x )＋f (k －x 2)有两个零点，等价于方程x 2－x －k ＝0在区间(－1，1)上有两个不相等的实根，令g (x )＝x 2－x －k ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，g (－1)>0，g (1)>0，解得－14<k <0.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，0≤x ＜1，f (x －1)，x ≥1，若函数g (x )＝f (x )－kx －2k 有五个不同的零点，则实数k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，16C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，17 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，17答案 C解析 当x ≥1时，f (x )呈现周期性. 作函数y 1＝f (x )和y 2＝k (x ＋2)的图象.直线l ：y ＝k (x ＋2)过定点A (－2，0)，点A 与点B (5，1)连线的斜率k AB ＝15＋2＝17，点A 与点C (6，1)连线的斜率k AC ＝16＋2＝18.由图可知，要使两函数图象有五个交点，则k AC ≤k ＜k AB ，所以18≤k ＜17，故选C.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x 2－ax ，x ≤0，若方程f (x )＝x ＋a 有2个不同的实根，则实数a的取值范围是________________________. 答案 {a |a ＝－1或0≤a <1或a >1}解析 当直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切时，设切点为(t ，ln t )，则切线斜率k ＝(ln x )′|x＝t＝1t＝1，所以t ＝1，切点坐标为(1，0)，代入y ＝x ＋a ，得a ＝－1. 又当x ≤0时，f (x )＝x ＋a ⇔(x ＋1)(x ＋a )＝0， 所以①当a ＝－1时，ln x ＝x ＋a (x >0)有1个实根， 此时(x ＋1)(x ＋a )＝0(x ≤0)有1个实根，满足题意； ②当a <－1时，ln x ＝x ＋a (x >0)有2个实根， 此时(x ＋1)(x ＋a )＝0(x ≤0)有1个实根，不满足题意；③当a >－1时，ln x ＝x ＋a (x >0)无实根，此时要使(x ＋1)(x ＋a )＝0(x ≤0)有2个实根，应有－a ≤0且－a ≠－1，即a ≥0且a ≠1，综上得实数a 的取值范围是{a |a ＝－1或0≤a <1或a >1}. 考点三 函数的综合应用方法技巧 (1)函数实际应用问题解决的关键是通过读题建立函数模型，要合理选取变量，寻找两个变量之间的关系.(2)基本初等函数与不等式的交汇问题是高考的热点，突破此类问题的关键在于准确把握函数的图象和性质，结合函数的图象寻求突破点.9.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年答案 B解析 设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金为y 万元，则y ＝130(1＋12%)n.依题意130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013.两边取对数，得n ·lg 1.12>lg 2－lg 1.3， ∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.10.已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( ) A.[1，3]B.(1，3)C.[2－2，2＋2]D.(2－2，2＋2)答案 D解析 函数f (x )＝e x －1的值域为(－1，＋∞)，g (x )＝－x 2＋4x －3的值域为(－∞，1]，若存在f (a )＝g (b )，则需g (b )＞－1，即－b 2＋4b －3＞－1，所以b 2－4b ＋2＜0，解得2－2＜b ＜2＋ 2.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象如图所示，所以a >1.12.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x x ，x ＜0，12log x ，x ＞0，则f (x )≥－2的解集是________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪(0，4] 解析 当x ＜0时，f (x )≥－2，即1＋x x ≥－2，可转化为1＋x ≤－2x ，得x ≤－13；当x ＞0时，f (x )≥－2， 即12log x ≥－2，可转化为12log x ≥12log 4，解得0＜x ≤4.综上可知不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪(0，4].1.函数f (x )＝2e x －2x 2的图象大致为( )答案 A解析 因为f (－x )＝2()ex －－2(－x )2＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数.当x >0时，f ′(x )＝2x 2e x －4x ＝2x (2e x －2)，若x ∈(0，ln 2)，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 若x ∈(ln 2，＋∞)，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增， 则f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2>0， 结合图象的对称性可知，故选A.2.如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13B.1C.3D.13或3 答案 D解析 令a x ＝t (t >0)，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(负值舍去)；当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上知a ＝3或a ＝13.3.(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[－1，0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞) 答案 C解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x ).在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示.若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0，1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意. 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞). 故选C.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________.答案 [－2，0]解析 由y ＝|f (x )|的图象知，①当x ＞0时，只有当a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax . ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax ，得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立. 当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . 因为x －2＜－2，所以a ≥－2. 综上可知，a ∈[－2，0].解题秘籍 (1)基本初等函数的图象可根据特殊点及函数的性质进行判定.(2)与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，解题中要优先考虑函数的定义域.(3)数形结合是解决方程、不等式的重要工具，指数函数、对数函数的底数要讨论.1.已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞14，则( )A.b ＜2b －aB.b ＞2b －aC.a ＜b －aD.a ＞b －a答案 B解析 ∵12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122b＞14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴1＜a ＜b2＜2，∴b 2－4(b －a )＝b 2－4b ＋4a ＞b 2－4b ＋4≥0， ∴b 2＞4(b －a )， ∴b ＞2b －a ，故选B. 2.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]答案 B解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减， 在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减. 3.函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 由题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由函数零点的定义，f (x )在(0，＋∞)内的零点即是方程|x －2|－ln x ＝0的根.令y 1＝|x －2|，y 2＝ln x (x ＞0)，在同一坐标系中画出两个函数的图象.由图得两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点.4.函数y ＝22e x x－＋(0≤x ＜3)的值域是( )A.(0，1]B.(e －3，e] C.[e －3，1] D.[1，e]答案 B 解析 ∵y ＝22ex x－＋＝2(1)1ex －－＋(0≤x ＜3)，当0≤x ＜3时，－3＜－(x －1)2＋1≤1， ∴e －3＜2(1)1ex －－＋≤e 1，即e －3＜y ≤e，∴函数的值域是(e －3，e].5.函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C.2 D.4答案 B解析 当a ＞1时，由a ＋log a 2＋1＝a ， 得log a 2＝－1，所以a ＝12，与a ＞1矛盾；当0＜a ＜1时，由1＋a ＋log a 2＝a ， 得log a 2＝－1，所以a ＝12.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5·⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ，－1≤x <1，1＋4x 2，x ≥1，设m >n ≥－1，且f (m )＝f (n )，则m ·f (2m )的最小值为( ) A.4 B.2 C. 2 D.2 2答案 D解析 当－1≤x <1时，f (x )＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤54，20，f (0)＝5；当x ≥1时，f (x )＝1＋4x 2≤5，f (4)＝54，1≤m <4.m ·f (2m )＝m ＋2m≥22，当且仅当m ＝2时取等号，故选D.7.若函数f (x )＝a e x－x －2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC.(－∞，0)D.(0，＋∞)答案 D解析 函数f (x )＝a e x－x －2a 的导函数f ′(x )＝a e x－1，当a ≤0时，f ′(x )<0恒成立，函数f (x )在R 上单调递减，不可能有两个零点；当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln 1a ，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln 1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ，＋∞上单调递增，∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝1－ln 1a－2a ＝1＋ln a －2a . 令g (a )＝1＋ln a －2a (a ＞0)，则g ′(a )＝1a－2. 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g (a )单调递增， 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，g (a )单调递减， ∴g (a )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2＜0， ∴f (x )的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＜0，函数f (x )＝a e x －x －2a 有两个零点. 综上，实数a 的取值范围是(0，＋∞).8.函数f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c <0答案 C解析 由f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2及图象可知，x ≠－c ，－c ＞0， 则c ＜0；当x ＝0时，f (0)＝b c 2＞0，所以b ＞0；当f (x )＝0时，ax ＋b ＝0，所以x ＝－b a ＞0，所以a ＜0，故选C.9.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n n x －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，那么n 的值为________.答案 1解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验，只有n ＝1符合题意.10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln (－x －1)，x <－1，2x ＋1，x ≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.答案 [－1，＋∞)解析 设t ＝f (x )，令f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t ).在同一坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图象(如图).当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图象有两个交点.设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2>t 1)且t 1<－1，t 2≥－1，当t 1<－1时，t 1＝f (x )有一解；当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解.当a <－1时，只有一个零点.综上可知，当a ≥－1时，函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点.11.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________.答案 2解析 ①当x ≤0时，y ＝f (f (x ))－1＝f (2x )－1＝log 22x －1＝x －1，令x －1＝0， 则x ＝1，显然与x ≤0矛盾，所以当x ≤0时，y ＝f (f (x ))－1无零点.②当x ＞0时，分两种情况：当x ＞1时，log 2x ＞0，y ＝f (f (x ))－1＝f (log 2x )－1＝log 2(log 2x )－1，令log 2(log 2x )－1＝0，得log 2x ＝2，解得x ＝4；当0＜x ≤1时，log 2x ≤0，y ＝f (f (x ))－1＝f (log 2x )－1＝2log 2x －1＝x －1，令x －1＝0，解得x ＝1.综上，函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为2.12.函数f (x )＝12－x 的图象与函数g (x )＝2sin π2x 在区间[0，4]上的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________.答案 12解析 如图，画出函数f (x )和g (x )在[0，4]上的图象，可知有4个交点，并且关于点(2，0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝12＋0＝12.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：压轴小题组合练(C)
压轴小题组合练(C)1.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2x ，则在区间(8，9)内满足方程f (x )＋2＝f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 为( ) A.172 B.678 C.334 D.658 答案 D解+析 ∵f (x ＋1)为奇函数，则f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，即f (x )＝－f (2－x ). 当x ∈(1，2)时，2－x ∈(0，1)， ∴f (x )＝－f (2－x )＝－log 2(2－x ). 又f (x )为偶函数，即f (x )＝f (－x )，∴f (－x )＝－f (－x ＋2)，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，故f (x )是以4为周期的函数. ∵f (1)＝0，∴当8<x ≤9时，0<x －8≤1，f (x )＝f (x －8)＝log 2(x －8). 由f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，f (x )＋2＝f ⎝⎛⎭⎫12可化为log 2(x －8)＋2＝－1，得x ＝658. 2.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1，3} B.{－3，－1，1，3} C.{2－7，1，3} D.{－2－7，1，3}答案 D解+析 当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3， 由g (x )＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x ＜0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3，由g (x )＝0，得x ＝－2＋7(舍)或x ＝－2－7. 所以g (x )的零点的集合为{－2－7，1，3}.3.在Rt △ABC 中，CA ＝4，CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤2，52B.[4，6]C.⎣⎡⎦⎤11925，485D.⎣⎡⎦⎤14425，535 答案 C解+析 以C 为坐标原点，CA ， CB 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)， 则 A (4，0)，B (0，3)， l AB ：y ＝3－34x ，设M ⎝⎛⎭⎫a ，3－34a ，N ⎝⎛⎭⎫b ，3－34b ，假设a <b ，因为MN ＝2，所以a ＝b －85. CM →·CN →＝2516b 2－7b ＋635＝2516⎝⎛⎭⎫b －56252＋11925， 又85≤b ≤4， 所以CM →·CN →的取值范围为⎣⎡⎦⎤11925，485.4.(2018·河南省安阳35中模拟)已知三棱锥D －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝22，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A.8π B.9π C.25π3 D.121π9答案 D解+析 由AB ＝BC ＝2，AC ＝22， 可得AB 2＋BC 2＝AC 2.所以△ABC 为直角三角形，且AC 为斜边. 所以过△ABC 的截面圆的圆心为斜边AC 的中点E .当DE ⊥平面ABC ，且球心O 在DE 上时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值. 因为三棱锥D －ABC 体积的最大值为2， 所以13S △ABC ·DE ＝2，即13×12×22×DE ＝2，解得DE ＝3. 设球的半径为R ，则AE 2＋OE 2＝AO 2， 即(2)2＋(3－R )2＝R 2，解得R ＝116.所以球O 的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫1162＝121π9.5.(2018·沈阳市东北育才学校模拟)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，P 是双曲线上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则4b a ＋a b ＋12mn ＋2ln ||m ＋2ln ||n 取得最小值时，双曲线的离心率为( ) A. 5 B. 6 C.52 D.62答案 C解+析 设A (－a ，0)，B (a ，0)， P (x 0，y 0)，点P 在双曲线上，得x 20a 2－y 20b 2＝1，所以k P A k PB ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝b 2a 2，即mn ＝b 2a 2， 4b a ＋a b ＋12mn ＋2ln|m |＋2ln|n |≥4＋ 12mn＋2ln ||mn ， 设函数f (x )＝2ln x ＋12x (x >0)， f ′(x )＝2x －12x 2＝4x －12x 2，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，14上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫14，＋∞上单调递增.f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫14，即mn ＝b 2a 2＝14，又基本不等式等号成立的条件为当且仅当a 2＝4b 2，所以e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.6.在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是面DCC 1D 1所在的平面内的动点，且满足∠APD ＝∠MPC ，则三棱锥P －BCD 体积的最大值是( ) A.36 B.12 3 C.24 D.18 3答案 B解+析 ∵AD ⊥平面D 1DCC 1，∴AD ⊥DP ，同理BC ⊥平面D 1DCC 1，则BC ⊥CP ，∠APD ＝∠MPC ， ∴△P AD ∽△PMC ，∴PD PC ＝ADMC，∵AD ＝2MC ，∴PD ＝2PC ，下面研究点P 在面DCC 1D 1内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D (0，0)，C (6，0)，C 1(6，6)，设P (x ，y )，∵PD ＝2PC ， ∴x 2＋y 2＝2(x －6)2＋y 2，化简得(x －8)2＋y 2＝16(4≤x ≤6)，该圆与CC 1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6，23)，三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积为18，要使三棱锥P －BCD 的体积最大，只需高最大，当P 点坐标为(6，23)时，CP ＝23，棱锥的高最大，此时三棱锥P －BCD 的体积V ＝13×18×23＝123，故选B.7.如图，AB ∩α＝B ，直线AB 与平面α所成的角为75°，点A 是直线AB 上一定点，动直线AP 与平面α交于点P ，且满足∠P AB ＝45°，则点P 在平面α内的轨迹是( )A.双曲线的一支B.抛物线的一部分C.圆D.椭圆 答案 D解+析 用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线.此题中平面α上的动点P 满足∠P AB ＝45°，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB 与平面α所成的角为75°，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.故可知动点P 的轨迹是椭圆.8.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A.3 B.2 2 C. 5 D.2答案 A解+析 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2，1).设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0). ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.9.(2018·西安质检)已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于P ，则使得PF 1→·PF 2→≤0的M 点的概率为 ( ) A.23 B.263 C.63 D.12答案 C解+析 因为椭圆方程为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，即c ＝ 3.设P (x 0，y 0)，其中y 0>0，则当∠F 1PF 2＝90°时， 12F PF S △＝12×23×y 0＝b 2·tan ∠F 1PF 22＝tan 90°2＝1，所以y 0＝33.把y 0＝33代入椭圆方程可得x 0＝±263.由PF 1→·PF 2→≤0，可得∠F 1PF 2≥90°.所以使得PF 1→·PF 2→≤0的M 点的概率为P ＝263－⎝⎛⎭⎫－2632a ＝4634＝63.10.(2018·北京朝阳区模拟)某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案 D解+析 ①若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； ②若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符； ③若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；④若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意，故选D. 11.在平面直角坐标系中，定义d (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“折线距离”.则下列命题中：①若A (－1，3)，B (1，0)，则有d (A ，B )＝5；②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆； ③若C 点在线段AB 上，则有d (A ，C )＋d (C ，B )＝d (A ，B )；④到M (－1，0)，N (1，0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0. 真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解+析 由题意①中d (A ，B )＝|－1－1|＋|3－0|＝5，所以①对；②中设P (x ，y )，d (P ，O )＝|x －0|＋|y －0|＝1，即|x |＋|y |＝1，是一个正方形，②错；③中，由于 C 点在线段AB 上，由绝对值的几何意义可知，d (A ，C )＋d (C ，B )＝d (A ，B )，所以③对；④中，设动点P (x ，y )，则d (M ，P )＝d (N ，P )，即|x ＋1|＋|y |＝|x －1|＋|y |，解得x ＝0，所以④对.12.若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A.(－∞，0)B.(0，1)C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.(0，＋∞) 答案 B解+析 根据题意可知，“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与函数y ＝kx －1(x >0)图象的交点个数为2个即可. 设切点为(m ，ln m )，y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，可得km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)过点(1，0)的切线斜率为1， 结合图象可知k ∈(0，1)时有两个交点，符合题意.13.已知点A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，点P 是双曲线C 上异于A ，B 的另外一点，且△ABP 是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________. 答案 x ±y ＝0解+析 如图所示，过点P 作PC ⊥x 轴，因为|AB |＝|PB |＝2a ，∠PBC ＝60°，所以|BC |＝a ，y P ＝|PC |＝3a ，点P (2a ，3a )，将P 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得a ＝b ，所以其渐近线方程为x ±y ＝0.14.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，3S n ＝(n ＋2)a n ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 100的值是________. 答案200101解+析 ∵3S n ＝(n ＋2)a n ， ∴当n ≥2时，3S n －1＝(n ＋1)a n －1，∴3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1，∴a n a n －1＝n ＋1n －1，∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1×31×42×…×nn －2×n ＋1n －1＝n (n ＋1)2(n ≥2)，当n ＝1时，1×22＝1＝a 1满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 100＝2⎝⎛⎭⎫11－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫1100－1101＝200101. 15.如图，一张纸的长、宽分别为22a ，2a ，A ，B ，C ，D 分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是________.(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥；②平面BAD ⊥平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ；④该多面体外接球的表面积为5πa 2. 答案 ①②③④解+析 将平面图形沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，从而得到一个多面体，则①由于(2a )2＋(2a )2＝4a 2，∴该多面体是以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，①正确.②∵AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，BP ∩CP ＝P ，BP ，CP ⊂平面BCD ，∴AP ⊥平面BCD ， ∵AP ⊂平面BAD ，∴平面BAD ⊥平面BCD ，正确. ③与②同理，可得平面BAC ⊥平面ACD ，正确. ④该多面体外接球的半径为52a ，表面积为5πa 2，正确. 16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x <1，x ＋2x ，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是________. 答案 [－2，2]解+析 作出f (x )的图象如图所示，当y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象经过点(0，2)时，可知a ＝±2.当y ＝x2＋a 的图象与y ＝x ＋2x 的图象相切时，由x 2＋a ＝x ＋2x ，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0，并结合图象可得a ＝2.要使f (x )≥⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，只需f (0)≥|a |，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0；当a >0时，需满足a ≤2，所以－2≤a ≤2.。
2019届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分 专题二 函数、不等式、导数 1-2-4 Word版含答案
限时规范训练七 导数的综合应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )取极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x＝x －x ＋x，∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.故C 正确．3．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)＜e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0)D ．f (2)＞e 2f (0)解析：选D.由题意构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＞0，则g (x )＝f xex在R 上单调递增，则有g (2)＞g (0)，故f (2)＞e 2f (0)．4．不等式e x－x ＞ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，e －1) B ．(e －1，＋∞) C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)解析：选A.由题意知不等式e x－x ＞ax 在区间[0,2]上恒成立，当x ＝0时，不等式显然成立，当x ≠0时，只需a ＜e xx －1恒成立，令f (x )＝e xx－1，f ′(x )＝e xx －x 2，显然函数在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值e －1，则a ＜e －1，故选A.5．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x ＞1时，f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )与g (x )的大小关系不确定解析：选B.由题意得f (x )与x 轴的交点(1,0)在g (x )上，所以a ＋b ＝0，因为函数f (x )，g (x )的图象在此公共点处有公切线，所以f (x )，g (x )在此公共点处的导数相等，f ′(x )＝1x，g ′(x )＝a －b x 2，以上两式在x ＝1时相等，即1＝a －b ，又a ＋b ＝0，所以a ＝12，b ＝－12，即g (x )＝x 2－12x ，f (x )＝ln x ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋12x ，则h ′(x )＝1x －12－12x 2＝2x －x 2－12x2＝－x －22x2，因为x ＞1，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，所以f (x )＜g (x )．故选B.6．设函数f (x )＝ax 3－x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]都有f (x )≥0，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[0，＋∞)C ．[0,2]D ．[1,2]解析：选C.∵f (x )＝ax 3－x ＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－1，当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－1＜0，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a ＜0，不符合题意．当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝0，符合题意． 当a ＞0时，由f ′(x )＝3ax 2－1≥0，得x ≥13a 或x ≤－13a ，当0＜13a ＜1，即a ＞13时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a，13a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤13a ，1上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－a ＋1＋1＝2－a ≥0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 3－13a ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a ≥427a ＞13，∴13＜a ≤2； 当13a ≥1，即0＜a ≤13时，f (x )在[－1,1]上单调递减， f (x )min ＝f (1)＝a ＞0，符合题意．综上可得，0≤a ≤2.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．答案：08．在函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)的图象上任取两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，总能使得f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，则实数a 的取值范围为________．解析：不妨设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，∴f x 1－f x 2x 1－x 2≥4，∵f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)∴f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)，∴a x ＋2(x ＋1)≥4，∴a ≥－2x 2＋2x ，又－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≤12，∴a ≥12. 答案：a ≥129．设函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，且f (3)＝0，则不等式x －1f x≥0的解集为________． 解析：∵函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，设f (x )＝x 3－3x 2＋c ，又f (3)＝0，∴33－3×32＋c ＝0，解得c ＝0，∴f (x )＝x 3－3x 2，∴x －1f x ≥0可化为x －1x 3－3x 2≥0，解得0＜x ≤1或x ＜0或x ＞3. 答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意．②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点． 因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0， 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n ，从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e.而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3. 11．设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围． 解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f －f －1，f－－f －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0. 故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m－m ＞e －1； 当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m＋m ＞e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．12．已知函数f (x )＝mx 4x 2＋16，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |，其中m ∈R 且m ≠0. (1)判断函数f (x )的单调性；(2)当m ＜－2时，求函数F (x )＝f (x )＋g (x )在区间[－2,2]上的最值；(3)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≥2，g x ，x ＜2，当m ≥2时，若对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，试求m 的取值范围．解：(1)依题意，f ′(x )＝m－x2x 2＋2＝m －x ＋xx 2＋2，①当m ≥0时，解f ′(x )≥0得－2≤x ≤2，解f ′(x )＜0得x ＜－2或x ＞2；所以f (x )在[－2,2]上单调递增，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减． ②当m ＜0时，解f ′(x )≤0得－2≤x ≤2，f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2； 所以f (x )在[－2,2]上单调递减；在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增． (2)当m ＜－2，－2≤x ≤2时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ＝2m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－2,2]上单调递减，由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝mx 4x 2＋16＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[－2,2]上单调递减；∴F (x )max ＝F (－2)＝4×2m－m16＝2m ＋2－m16；F (x )min ＝F (2)＝2m －2＋m16.(3)当m ≥2，x 1∈[2，＋∞)时，h (x 1)＝f (x 1)＝mx 14x 21＋16，由(1)知h (x 1)在[2，＋∞)上单调递减， 从而h (x 1)∈(0，f (2)]，即h (x 1)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，m 16；当m ≥2，x 2＜2时，h (x 2)＝g (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x 2－m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ·2x 2在(－∞，2)上单调递增， 从而h (x 2)∈(0，g (2))，即h (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2；对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，只需m16＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，即m 16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2＜0成立即可．记函数H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，易知H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2在[2，＋∞)上单调递增，且H (4)＝0. 所以m 的取值范围为[2,4)．。
2019年高考数学(理科)一本“培养优选练”小题对点练2集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(2)
小题对点练(二) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(2)(建议用时：40分钟) (对应学生用书第114页)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，1)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1}D [A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}，从而A 、C 项错，∁R A ＝{x |x ≤0}，故选D.] 2．设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >1且b >3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [显然“a >1且b >3”成立时，“a ＋b >4”一定会成立，所以是必要条件． 当a >4，b >2时，“a ＋b >4”成立，但“a >1且b >3”不成立，所以不是充分条件．故选B.]3．(2018·肇庆市三模)f (x )是R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧f (x －1)，x ＞1log 2 x ，0＜x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝( ) A.12 B ．－12 C ．1D ．－1C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－log 2 12＝－log 2 2－1＝1.故选C.]4．函数y ＝ln(－x 2＋2x ＋3)的减区间是( ) A ．(－1,1] B ．[1,3) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)B [令t ＝－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，故函数的定义域为(－1,3)，且y ＝ln t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质求得t ＝－(x －1)2＋4在定义域内的减区间为[1,3)，故选B.]5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －2≤0，x ≥0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．－4B ．－52C ．－1D ．－2D [作出可行域，如图所示：当直线y ＝x 2－z2过点D (0,1)时z 取到最大值，即z ＝－2，故选D.]6．(2018·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(﹁q )B ．(﹁p )∧qC ．p ∧qD ．(﹁p )∨qA [对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(﹁q )为真命题，故选A.]7．(2018·天津高考)已知a ＝log 2 e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [法一：因为a ＝log 2 e ＞1，b ＝ln 2∈(0,1)，c ＝log 1213＝log 2 3＞log 2 e ＞1，所以c ＞a ＞b ，故选D.法二：log 1213＝log 2 3，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2 x ，y ＝ln x 的图象，由图知c ＞a ＞b ，故选D.]8．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递增，且f (－2)＝1，则f (x －2)≤1的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．[0,4]D [由题意得f (x －2)≤f (－2)，由于函数f (x )是偶函数，所以x －2到原点的距离小于等于－2到原点的距离，所以|x －2|≤|－2|＝2，所以－2≤x －2≤2，解之得0≤x ≤4，故选D.]9．对于使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界，若a >0，b >0且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A.92 B ．－92 C.14D ．－4B [－12a －2b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋b 2a ＋2a b ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2b 2a ×2a b ＝－92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝23时取等号， 所以原式的上确界为－92，故选B.]10．(2018·衡水中学七调)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lnx －1x ＋1的图象大致为( )A BC DB [由于x ≠0，故排除A 选项．又f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln －x －1－x ＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C 选项．由f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13＝－sin(ln 3)＜0，排除D 选项，故选B.]11．(2018·保定市一模)已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )A．0 B．2 018 C．4 036 D．4 037D[因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数，所以f(x)＝x2，∴h(x)＝g(x)x2＋1＋1，因此h(x)＋h(－x)＝g(x)x2＋1＋1＋g(－x)x2＋1＋1＝2，h(0)＝g(0)0＋1＋1＝1，因此h(2 018)＋h(2 017)＋h(2 016)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 016)＋h(－2 017)＋h(－2 018)＝2 018×2＋1＝4 037，选D.]12．已知函数f(x)＝x2e x，下列关于f(x)的四个命题：①函数f(x)在[0,1]上是增函数；②函数f(x)的最小值为0；③如果x∈[0，t]时，f(x)max＝4e2，则t的最小值为2；④函数f(x)有2个零点．其中真命题的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4C[∵函数f(x)＝x2e x，∴f′(x)＝x(2－x)e－x，∴令f′(x)＞0，得0＜x＜2，即函数f(x)在(0,2)上为增函数；令f′(x)＜0，得x＜0或x＞2，即函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上为减函数．∵函数f(x)＝x2e x≥0在R上恒成立，∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，且函数f(x)的零点个数只有一个．当x＞0时，f(x)max＝f(2)＝4e2，则要使x∈[0，t]时，f(x)max＝4e2，则t的最小。
“用好零点”,确定参数的最值或取值范围-2019年高考数学压轴题之函数零点问题 Word版含解析
专题四“用好零点”，确定参数的最值或取值范围函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点，确定参数的最值或取值范围问题，例题说法，高效训练.【典型例题】例1.【山东省淄博市2019届高三3月模拟】已知函数.（1）若是的极大值点，求的值；（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)，因为是的极大值点，所以，解得，当时，，，令，解得，当时，，在上单调递减，又，所以当时，；当时，，故是的极大值点；(2)令，，在上只有一个零点即在上只有一个零点,当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.（Ⅰ）当，即时，时，在上只有一个零点，即在上只有一个零点.（Ⅱ）当，即时，取，，①若，即时，在和上各有一个零点，即在上有2个零点，不符合题意；②当即时，只有在上有一个零点，即在上只有一个零点，综上得，当时，在上只有一个零点.例2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.【答案】（1）0（2）【解析】（1）当时，，，令则列表如下：所以.（2）设，，设，，由得，，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意.②当，即时，由（1）可知，所以，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解1.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，，故在内，关于的方程有一个实数解.又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.综上，.例3. 已知函数()()ln 1axf x e x =+，其中a R ∈. （1）设()()axF x ef x -='，讨论()F x 的单调性；（2）若函数()()g x f x x =-在()0,+∞内存在零点，求a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（i ） 当 0a <时，则 111x a=-<-，因此在()1,-+∞ 上恒有 ()'0F x < ，即 ()F x 在()1,-+∞ 上单调递减；（ii ）当0a >时， 111x a =->-，因而在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有()'0F x <，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有()'0F x > ；因此 ()F x 在 11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）设 ()()()()ln 1,0,axg x f x x e x x x =-=+-∈+∞,()()()()1''1ln 1111ax axg x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝⎭，设()()()'1ax h x g x e F x ==-，则 ()()()()()22221''ln 11axaxax a h x e aF x F x e a x x ⎛⎫+- ⎪⎡⎤=+=++⎣⎦ ⎪+⎝⎭. 先证明一个命题：当0x >时， ()ln 1x x +<.令()()ln 1S x x x =+-， ()1'1011xS x x x-=-=<++，故()S x 在()0,+∞上是减函数，从而当0x >时， ()()00S x S <=，故命题成立.若0a ≤ ,由 0x >可知， 01ax e <≤.()()()ln 1110ax ax ax g x e x e x x x e ∴=+-<-=-≤，故()0g x <，对任意()0,x ∈+∞都成立，故 ()g x 在()0,+∞上无零点，因此0a >.（ii ）当102a <<，考察函数 ()'h x ，由于 ()()1'0210,'0,'2h a h h x a ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭在 ()0,+∞上必存在零点.设()'h x 在 ()0,+∞的第一个零点为0x ，则当()00,x x ∈时， ()'0h x <，故 ()h x 在 ()00,x 上为减函数，又 ()()000h x h <=，所以当 ()00,x x ∈时， ()'0g x <，从而 ()g x 在 ()00,x 上单调递减，故在 ()00,x 上恒有()()00g x g <=.即 ()00g x < ，注意到 ax e x ax >，因此()()()()()ln 1ln 11ln 11axg x e x x x ax x x a x =+->+-=+-，令1ax e =时，则有()0g x >，由零点存在定理可知函数 ()y g x =在 10,ax e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，符合题意.例4．【广东省广州市天河区2019届高三综合测试（一)】设函数．若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；讨论函数的单调区间与极值；若函数有两个零点，求满足条件的最小整数a的值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）3【解析】，．，函数在处的切线与直线垂直，，解得．，时，，此时函数在内单调递增，无极值．时，可得函数在内单调递减，在内单调递增．可得时，函数取得极小值，．由可得：时，函数在内单调递增，不可能有两个零点，舍去．时，可得时，函数取得极小值，时，；时，．因此极小值．即．令函数，在上单调递增．，，，可得，满足条件的最小整数．【规律与方法】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.（4）如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论.（5）参变分离法、构造函数法、数形结合法等，均应灵活运用.【提升训练】1.【四川省高中2019届高三二诊】已知．求的极值；若有两个不同解，求实数的取值范围．【答案】（1）有极小值，为；无极大值；（2）【解析】的定义域是，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故时，；记，，则，故可转化成，即：，令，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，且时，，时，故，由，，的性质有：，和有两个不同交点，，且，，各有一解，即有2个不同解，，和仅有1个交点，且，有2个不同的解，即有两个不同解，取其它值时，最多1个解，综上，的范围是2．【陕西省咸阳市2019年高考模拟（二)】已知函数. （1）当，求证；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）证明：当时，，得，知在递减，在递增，，综上知，当时，.（2）法1：，，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，，且，由函数有个零点，即直线与函数图像有两个交点，得.法2：由得，，当时，，知在上递减，不满足题意；当时，，知在递减，在递增.，的零点个数为，即，综上，若函数有两个零点，则.3.【湖南省怀化市2019届高三3月一模】设函数.（1）若是的极大值点，求的取值范围；（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，函数的定义域为，则导数为由，得，∴①若，由，得.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.所以是的极大值点②若，由，得，或.因为是的极大值点，所以，解得综合①②：的取值范围是（2）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解设，则，令，即.因为，，所以（舍去），当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增当时，，取最小值则，即，所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解因为，所以方程（*）的解为，即，解得4.【安徽省马鞍山市2019届高三高考一模】已知函数在上是增函数．求实数的值；若函数有三个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】当时，是增函数，且，故当时，为增函数，即恒成立，当时，函数的导数恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，则，即．若，则在上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故，当时，有一个零点，当时，，故0也是故的一个零点，故当时，有且只有一个零点，即有且只有一个解，即，得，，则，在时有且只有一个根，即与函数，在时有且只有一个交点，，由得，即得，得，此时函数递增，由得，即得，得，此时函数递减，即当时，函数取得极小值，此时极小值为，，作出的图象如图，要使与函数，在时有且只有一个交点，则或，即实数的取值范围是．5.【吉林省长春市普通高中2019届高三监测（二)】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.6. 设函数()()()22ln 11f x x x =---. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]24，内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞;(2) a 的取值范围是[)2ln352ln24--，. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()1+∞， ∵()()()2212111x x f x x x x --⎡⎤=--=⎢⎥--⎣⎦'∵1x >，则使()0f x '<的x 的取值范围为()2,+∞， 故函数()f x 的单调递减区间为()2,+∞故()230f x x x a +--=在区间[]24，内恰有两个相异实根()()()20{30 40.g g g ≥⇔<≥，，即30{4220 5230a a ln a ln +≥+-<+-≥，解得： 2ln352ln24a -≤<-综上所述， a 的取值范围是[)2ln352ln24--，7. 已知函数()()21xf x e a x b =---，其中e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在区间[]0,1上是单调函数，试求实数a 的取值范围；（2）已知函数()()211xg x e a x bx =----，且()10g =，若函数()g x 在区间[]0,1上恰有3个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) ][3,1,22e⎛⎫-∞⋃++∞ ⎪⎝⎭(2) ()1,2e - 【解析】（2）()()()'21xg x e a x b f x =---=．由()()010g g ==，知()g x 在区间()0,1内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间()00,x 内不单调， 所以()f x 在区间()00,x 内存在零点1x ， 同理， ()f x 在区间()0,1x 内存在零点2x ， 所以()f x 在区间()0,1内恰有两个零点． 由（1）知，当32a ≤时， ()f x 在区间[]0,1上单调递增，故()f x 在区间()0,1内至多有一个零点，不合题意． 当12ea ≥+时， ()f x 在区间[]0,1上单调递减， 故()f x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意； 所以3122ea <<+．8．已知函数()()22ln R f x a x x ax a =-+∈.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）)1e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222a x a x a ax x f x x x-++='-=.由()0f x '=得x a =或2ax =-. 当0a =时， ()0f x '<在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，没有单调递增区间. 当0a >时， ()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 当0a <时， ()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.9．已知()()()3231ln ,2x f x x e e x g x x x a =--=-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞;(2) a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【解析】（2）由（1）知当1x =时， ()f x 取得最小值， 又()10f =，所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)0,+∞．因为存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =， 所以满足()0g x ≥的正整数解只有1个． 因为()3232g x x x a =-++， 所以()()23331g x x x x x =-+'=--，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10{20g g ≥<，即1{ 220a a +≥-+<， 解得122a -≤<． 所以实数a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 10．设函数()ln f x x =， ()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意()01,x ∈+∞和任意()0,3a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得()()()120g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于()11,,A x y ()2212,()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.【答案】（1）12{ 12a b ==-（2）3（3）见解析【解析】（2）当01x >时，则()00f x >，又3b a =-，设()0t f x =， 则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．即关于x 的方程()()230(0)ax c t x a t -++-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．所以()()2121203430{ 030a c t a a c t x x a a x x a<<∆=+-->++=>-=>，得()()203{43 0a c t a a c t <<+>-+>， 所以c t >对()()0,,0,3t a ∈+∞∈恒成立．因为03a <<，所以（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以的取值范围是(),3-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222{b lnx xc x b lnx x c x =+-=+-，两式相减，得211221ln ln 1x x b x x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭. 要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--<-<- ⎪-⎝⎭，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令()1ln 1t t tϕ=+-，所以()221110t t t t t ϕ'-=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增． 又()10ϕ=，所以()1ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以()1110tm t t t-=-=<'，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又()10m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立． 综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.。
2020届高三精准培优专练二 函数零点(理) 考试版
6．【答案】B
【解析】令 x 1， f (x 2) f (x) f (1) f (1) f (1) f (1) f (1) f (1) 0 f (1) f (1) 0 ， ∴ f (x) f (x 2) f ( x) ，∴ f (x) 图象关于直线 x 1对称， 画出函数 f (x) 与函数 y loga (| x | 1) 的图象如下，
f
(x)
m x
1
n ln
x(m
0, 0
n
e) 在区间 [1, e] 内有唯一零点，则
n 2 的取值范围 m 1
为（ ）
A．
e2 e2 e
1
,
e 2
1
B．
e
2 1
,
e 2
1
C．
e
2
1
,1
D．
1,
e 2
1
二、填空题
13．已知函数 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且当 x 0 时， f (x) 2x 1 x a ，则函数 f (x) 有
A． 3
B． 5
C． 7
D． 9
5．用二分法求如图所示函数 f (x) 的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A． x1
B． x2
C． x3
D． x4
6 ． 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f (x) 满 足 对 x R ， 有 f (x 2) f (x) f (1) ， 且 当 x [2,3] 时 ， f (x) 2x2 12x 18 ，若函数 y f (x) loga (| x | 1) 至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是（ ）
2019届高考数学专题二函数零点精准培优专练理201811081138
培优点二函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在1,上的函数f x x ln x 2，求证：f x存在唯一的零点，且零点属于3,4．【答案】见解析1x 1【解析】，x1,，fx0，f x 在1,+单调递增，f x1x x，f 42ln20，f 3f40，，使得f00 31ln30f xx03,4因为f x单调，所以f x的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数f x满足fx f 3x，当x1,3，fx ln x ，若在区间1,9内，函数gx f x ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）ln31 A．,3eln31B．,93eln31C．,92eln3ln3D．,93【答案】Bf x f x f x f f x fx x x 【解析】3，当x 3,9时，ln333，ln x 1x3所以f x xln3x93，而g x f x ax有三个不同零点y f x与y ax有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln31a93e13．零点的性质例3：已知定义在R上的函数f x满足：f x x2x0,122x2x0,12x x1,02，且f x 2fx，g x2x5x 2，则方程f x g x 在区间5,1上的所有实根之和为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在1,1中，通过作图可发现f x 在1,1关于0,2中心对称，由f x2f x可得f x是周期为2的周期函数，则在下一个周期3,1中，fx关于2,2中心对称，以此类推。
从而做出f x的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看g x图像，g x 2x 512x 2x2，可视为将y1的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，x所以对称中心移至2,2，刚好与f x对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点x x x，123其中x，23x与1x 关于2,2中心对称，所以有3x x 。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练习：第二篇+第27练+导数与函数的单调性、极值、最值+Word版含解析
2019高考数学（理）通用版二轮精准提分练 第27练 导数与函数的单调性、极值、最值[压轴大题突破练][明晰考情] 1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度：偏难题.考点一 利用导数研究函数的单调性 方法技巧 (1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在此区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在此区间内单调递减.(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数f (x )在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f (x )在这个区间内f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).(3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解.1.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性. 解 因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1 ＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(x >0，k >0). ①当0<k <2时，4k >k >0，且4k>2， 所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立， 所以f (x )在(0，2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数. 综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0，2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数.2.已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性.解 f ′(x )＝a x ＋1－a －2x ＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2＋a 2x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22， 又f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时， 若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减.②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时， 若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减； 若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减.③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时， f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减.④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时， 若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；。
2019版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值 文
专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值1.已知函数f(x)=ln x+(a∈R).(1)若函数f(x)在区间(0,4)上单调递增,求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=2x相切,求a的值.2.已知函数f(x)=ln x+ax2-x-m(m∈Z).(1)若f(x)是增函数,求a的取值范围;(2)若a<0,且f(x)<0恒成立,求m的最小值.3.设函数f(x)=a ln x+ (e为自然对数的底数).(1)当a>0时,求函数f(x)的极值;(2)若不等式f(x)<0在区间(0,e2]内有解,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)= x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.专题对点练6答案1.解 (1)f'(x)=,∵函数f(x)在区间(0,4)上单调递增,∴f'(x)≥0在(0,4)上恒成立,∴(x+1)2+ax≥0,即a≥-=--2在(0,4)上恒成立,∵x+≥2,取等号条件为当且仅当x=1,∴a≥-4.(2)设切点为(x0,y0),则y0=2x0,f'(x0)=2,y0=ln x0+,∴=2, ①且2x0=ln x0+.②由①得a=,代入②得2x0=ln x0+(2x0-1)(x0+1),即ln x0+2-x0-1=0.令F(x)=ln x+2x2-x-1,则F'(x)= +4x-1=.∵4x2-x+1=0的Δ=-15<0,∴4x2-x+1>0恒成立.∴F'(x)在(0,+∞)上恒为正值,∴F(x)在(0,+∞)上单调递增.∵F(1)=0,∴x0=1代入①式得a=4.2.解 (1)f'(x)= +ax-1,依题设可得a≥,而=-,当x=2时,等号成立.所以a的取值范围是.(2)由(1)可知f'(x)= +ax-1=.设g(x)=ax2-x+1,则g(0)=1>0,g(1)=a<0,g(x)=a+1-在(0,+∞)内单调递减,因此g(x)=0在(0,1)内有唯一的解x0,使得a=x0-1,而且当0<x<x0时,f'(x)>0,当x>x0时,f'(x)<0,所以f(x)≤f(x0)=ln x0+-x0-m=ln x0+ (x0-1)-x0-m=ln x0-x0--m.设r(x)=ln x-x--m,则r'(x)=>0.所以r(x)在(0,1)内单调递增.所以r(x)<r(1)=-1-m,由已知可得-1-m≤0,所以m≥-1,即m的最小值为-1.3.解 (1)由题意,f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=(x>0),当a>0时,由f'(x)>0,解得x>,由f'(x)<0,解得0<x<,故函数f(x)在递减,在递增,故函数f(x)只有极小值f=a ln+a,无极大值.(2)f(x)<0在区间(0,e2]内有解,即f(x)在区间(0,e2]的最小值小于0.(ⅰ)当a≤0时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(0,e2]内为减函数,故f(x)的最小值是f(e2)=2a+<0,即a<-;(ⅱ)当a>0时,函数f(x)在区间内为减函数,在区间内为增函数,①若e2≤,即0<a≤,函数f(x)在区间(0,e2]内为减函数,由(ⅰ)知,f(x)的最小值f(e2)<0时,a<-,与0<a≤矛盾;②若e2>,即a>,则函数f(x)的最小值是f=a ln+a,令f=a ln+a<0,得a>e2.综上,实数a的范围是∪(e2,+∞).4.解 (1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g'(x)=f'(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x).令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增.所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x).当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=- a3-sin a.综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=- a3-sin a,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=- a3-sin a.。
2019高考数学(理)精准提分二轮(课件+讲义+优选习题)通用版：第二篇 第7部分 函数与导数(2) 第30练
第30练 压轴小题突破练(2)[明晰考情] 高考选择题的12题位置、填空题的16题位置，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.考点一 与向量有关的压轴小题方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.1.在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA→||CA →＋y ·CB→||CB →，则xy 的最大值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 由题设sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0，也即cos C ＝0， ∴C ＝90°.又∵bc cos A ＝9，故b 2＝9，即b ＝3. ∵12ab ＝6，故a ＝4，c ＝5， 故建立如图所示平面直角坐标系xCy ，则A (3，0)，B (0，4)，则由题设可知P (x ，y )，直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1且x ＞0，y ＞0，∴x 3＋y4＝1≥2xy12，即xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时“＝”成立，故选C.2.已知点O 是△ABC 内部一点，且满足2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比为( ) A.4∶2∶3 B.2∶3∶4 C.4∶3∶2 D.3∶4∶5答案 A解析 如图所示，延长OA ，OB ，OC ，使OD ＝2OA ，OE ＝3OB ，OF ＝4OC ，∵2OA →＋3OB →＋4OC →＝0， ∴OD →＋OE →＋OF →＝0，即O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则△AOB 的面积为16，△BOC 的面积为112，△AOC 的面积为18，故△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比为16∶112∶18＝4∶2∶3.故选A.3.(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案 3解析 如图，过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D .设OD →＝mOA →，DC →＝nOB →，则在△ODC 中有OD ＝m ，DC ＝n ，OC ＝2，∠OCD ＝45°，由tan α＝7，得cos α＝210， 又由余弦定理知，⎩⎨⎧m 2＝n 2＋(2)2－22n cos 45°，n 2＝m 2＋(2)2－22m cos α，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝2－2n ， ①n 2－m 2＝2－25m ， ②①＋②得4－2n －25m ＝0，即m ＝10－5n ，代入①得12n 2－49n ＋49＝0，解得n ＝74或n ＝73，当n ＝73时，m ＝10－5×73＝－53<0(舍去)，当n ＝74时，m ＝10－5×74＝54，故m ＋n ＝54＋74＝3.4.已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →. (1)若∠C ＝90°，则λ＋μ＝______________；(2)若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为______________. 答案 12 23解析 (1)若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点， BO →＝12BA →，即λ＝12，μ＝0.(2)设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧BO →·BA →＝λBA →2＋μBA →·BC →BO →·BC →＝λBA →·BC →＋μBC →2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12c 2＝λc 2＋12μac ，12a 2＝12λac ＋μa 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧λc ＋12μa ＝12c ，12λc ＋μa ＝12a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23－a 3c ，μ＝23－c3a ，则λ＋μ＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋c 3a ≤43－2a 3c ·c 3a ＝43－23＝23，当且仅当△ABC 为等边三角形时“＝”成立.考点二 与解析几何有关的压轴小题方法技巧 求圆锥曲线范围，最值问题的常用方法(1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或范围.(2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决.(3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式(组)求变量的范围.5.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14答案 D解析 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.6.已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 答案 C解析 设P (m ，n )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m 2－c 2＋n 2＝c 2， ∴2c 2－m 2＝n 2.①把P (m ，n )代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得m 2a 2＋n 2b 2＝1，②①代入②得m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，即b 2≤2c 2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2≤3c 2，即e ＝c a ≥33. 又m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≤a 2，即a 2≥2c 2，即e ＝c a ≤22， ∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22. 7.等腰直角△AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，△AOB 的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则|OM ||MF |的最大值为( )A.33B.63C.233D.263答案 C解析 因为等腰直角△AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ， 所以可设A (a ，a )(a ＞0)，S △AOB ＝12a ×2a ＝16，得a ＝4，将A (4，4)代入y 2＝2px ，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ，所以F (1，0). 设M (x ，y )，则x ≥0，设t ＝1x ＋1(0<t ≤1)， 则||OM ||MF ＝x 2＋4x x ＋1＝1＋2x ＋1－3()x ＋12＝－3t 2＋2t ＋1＝43－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132≤43＝233， 当t ＝13时“＝” 成立.故选C.8.如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使||OA ＝||AC ，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为E ，G ，则||EG 的最小值为____________.答案 4解析 设点A ，B 的坐标为A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由题意可知 ||EG ＝||OE ＋||OG ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋12y B ≥2()2||y A×⎝ ⎛⎭⎪⎫12||y B＝2||y A y B， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0，由根与系数的关系，得 y A y B ＝－4，由此可知|EG |≥4 ，当且仅当||y B ||＝4y A 时等号成立， 即||EG 的最小值为4.当直线AB 的斜率不存在时，直线AB ：x ＝1，此时A (1，－2)，B (1，2)，所以C (2，－4)，D ⎝⎛⎭⎪⎫12，1，即G (0，1)， E (0，－4)，所以|EG |＝5.综上，|EG |的最小值为4.考点三 与推理证明有关的压轴小题方法技巧 推理证明问题考查学生逻辑推理能力，属于较难题，考试形式往往为(1)以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.(2)“新定义”问题题型较为新颖，所包含的信息丰富，能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力，越来越受到关注和重视.9.给出以下数对序列：(1，1)(1，2)(2，1)(1，3)(2，2)(3，1)(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)…若第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3，2)，则a nm等于( )A.(m，n－m＋1)B.(m－1，n－m)C.(m－1，n－m＋1)D.(m，n－m)答案 A解析方法一由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm ＝(m，n－m＋1).方法二赋值法，令m＝n＝1，则a nm＝a11＝(1，1)，分别代入选项A，B，C，D，只有A结果为(1，1)符合题意.10.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n等于( )A.7B.8C.11D.15答案 C解析由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数(23－1)要多，比四个盘子不同时操作的次数(24－1)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为11.11. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________. 答案 (1，3)解析 由题意得丙不取(2，3)，若丙取(1，2)，则乙取(2，3)，甲取(1，3)满足；若丙取(1，3)，则乙取(2，3)，甲取(1，2)不满足，故甲取(1，3).12.若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的是________.(填序号) 答案 ①③解析 对于①，ʃ1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x ·cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝－⎪⎪⎪12cos x 1－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 1－1≠0，则f (x )，g (x )不是区间[－1，1]上的正交函数； 对于③，ʃ1－1x 3d x ＝⎪⎪⎪14x 41－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数.所以满足条件的正交函数是①③.1.(2018·天津)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0答案 C解析 如图，连接MN .∵BM →＝2MA →， CN →＝2NA →， ∴AM AB ＝13＝AN AC， ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13，∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6. 故选C.2.已知向量a ，b 满足|a |＝22|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 答案 C解析 求导可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，则由函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ≥0在R 上恒成立，即x 2＋|a |x ＋a ·b ≥0恒成立，故判别式Δ＝a 2－4a·b ≤0，再由|a |＝22|b |≠0，可得8|b |2≤82|b |2cos 〈a ，b 〉， ∴cos〈a ，b 〉≥22， 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4. 3.(2018·重庆诊断)设集合A ＝{(x ，y )|(x ＋3sin α)2＋(y ＋3cos α)2＝1，α∈R }，B ＝{(x ，y )|3x ＋4y ＋10＝0}，记P ＝A ∩B ，则点集P 所表示的轨迹长度为( )A.2 5B.27C.4 2D.4 3答案 D解析 由题意得圆(x ＋3sin α)2＋(y ＋3cos α)2＝1的圆心(－3sin α，－3cos α)在圆x 2＋y 2＝9上，当α变化时，该圆绕着原点转动，集合A 表示的区域是如图所示的环形区域(阴影部分所示).由于原点(0，0)到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离为d ＝1032＋42＝2，所以直线3x ＋4y ＋10＝0恰好与圆环的小圆相切.所以P ＝A ∩B 表示的是直线3x ＋4y ＋10＝0截圆环的大圆x 2＋y 2＝16所得的弦长. 故点集P 所表示的轨迹长度为242－22＝4 3.4.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，λμ＝18，则该双曲线的离心率为( )A.322 B.2 C.233D. 2答案 D解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，焦点F (c ，0)，不妨设y A >0，y B <0，则A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，因为OP →＝λOA →＋μOB →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ＝⎝⎛⎭⎪⎫(λ＋μ)c ，(λ－μ)bc a ， 所以λ＋μ＝1，λ－μ＝bc， 解得λ＝c ＋b 2c ，μ＝c －b2c， 又由λμ＝18，得c 2－b 24c 2＝18，解得c 2a 2＝2， 所以e ＝2，故选D.5.若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n ＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”.已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( ) A.2B.4C.6D.8答案 B 解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列.又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92＝2，即该数列为常数列时取等号.6.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起.他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是( )A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英答案 A解析 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.7.(2018·石家庄模拟)抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，其准线l 与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B.2C.2 2D.4答案 B解析 F (0，1)，A (0，－1)，过M 作MN ⊥l ，垂足为N ，∴△AMF 的高为|AN |，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14m 2(m >0)， 则S △AMF ＝12×2m ＝m . 又由|MA ||MF |＝2，|MN |＝|MF |， ∴△AMN 为等腰直角三角形，∴14m 2＋1＝m ，∴m ＝2， ∴△AMF 的面积为2.8.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于点G ，点P 在DG 上运动(如图).若AP →＝λAE →＋μBF →，其中λ，μ∈R ，则6λ＋μ的取值范围是( )A.[1，2]B.[2，22]C.[2，22]D.[1，22]答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，C (2，2)，D (0，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.设P (cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π2，则 AP →＝(cos θ，sin θ)，AE →＝(2，1)，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， ∵AP →＝λAE →＋μBF →，∴(cos θ，sin θ)＝λ(2，1)＋μ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝2λ－μ，sin θ＝λ＋32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14sin θ＋38cos θ，μ＝12sin θ－14cos θ，∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∵0≤θ≤π2，∴π4≤θ＋π4≤3π4， ∴2≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤22， 即6λ＋μ的取值范围是[2，22]，故选C.9.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则CA →·CB →＝________.答案 3解析 由a 2＋b 2－c 2＝3ab ，得2cos C ＝3，即cos C ＝32，由ac sin B ＝23sin C ，得ac sin B bc ＝23sin C bc ，由sin B b ＝sin C c ，得ab ＝23，所以CA →·CB →＝ab cos C ＝23×32＝3. 10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”. 已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为__________.答案 b n ＝2n －1(n ∈N *)解析 设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *).11.已知cos π3＝12， cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， …，(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…， 前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________. 答案 (1)cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10 解析 (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *). (2)由(1)可知a n ＝12n ， 故S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024， 解得n ＝10.12.已知抛物线C ：y 2＝2px (0＜p ＜4)的焦点为F ，点P 为C 上一动点，A (4，0)，B (p ，2p )，且|PA |的最小值为15，则|BF |＝________.答案 92解析 设P (x ，y )且y 2＝2px ，则|PA |＝(x －4)2＋y 2＝(x －4)2＋2px ＝x 2＋(2p －8)x ＋16，根号下二次函数的对称轴为x ＝4－p ∈(0，4)，所以在对称轴处取得最小值， 即(4－p )2＋(2p －8)(4－p )＋16＝15，解得p ＝3或5(舍去)，经检验p ＝3符合题意. 所以抛物线方程为y 2＝6x ，B (3，32)，易知点B 在抛物线上，所以|BF |＝3＋32＝92.。
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培优点二函数零点
1．零点的判断与证明
例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()11
1x f x x x
-'=-
=
，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，
()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =
因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．
2．零点的个数问题
例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】
()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
所以()ln 13ln 39
3
x
x f x x
x ≤<⎧⎪
=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点()y f x =与y ax =有三个
不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：
ln31
93e
a <<
3．零点的性质
例3：已知定义在上的函数()f x 满足：()[)[)
22
2
0,121,0x x f x x
x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，
()25
2
x g x x +=
+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．B ．C ．D ． 【答案】C
【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，
由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
从而做出()f x 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看()g x 图像，()251222x g x x x +=
=+
++，可视为将1
y x
=的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位， 所以对称中心移至()2,2-，刚好与()f x 对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点
123x x x <<，
其中23x =-，与关于()2,2-中心对称，所以有134x x +=-。
所以1237x x x ++=-．故选C ．
4．复合函数的零点
例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()2
0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（）
A ．()2,0-
B ．()2,1--
C ．()0,1
D ．()0,2。