第二章 本章优化总结
【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教A版必修5
例1 根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通
项公式． 项公式． 1 1 1 1 (1) ， ， ， ； 2×4 3×5 4×6 5×7 × × × × (2)－3,7，－ ，－15,31； － ，－ ； (3)2,6,2,6.
【解】 (1)均是分式且分子均为 1，分母均是两 均是分式且分子均为 ， 因数的积， 因数的积，第一个因数是项数加上 1，第二个因 ， 数比第一个因数大 ， 数比第一个因数大 2， 1 . ∴an＝ )(n＋ ) (n＋1)( ＋3) ＋ )(
2，n是奇数 ， 是奇数 . an＝4＋(－1) ·2 或 an＝ ＋－ ， 是偶数 6，n是偶数
n
n
2．公式法 ． 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列， 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列， 所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否 符合等差、等比数列的定义，然后用等差、 符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比 数列的通项公式表示它． 数列的通项公式表示它．
知识方法：在解题时，根据题目所给条件的不同， 知识方法：在解题时，根据题目所给条件的不同， 可以采用不同的方法求数列的通项公式， 可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方 法有如下几种： 法有如下几种： 1．观察归纳法 ． 观察归纳法就是观察数列特征， 观察归纳法就是观察数列特征，找出各项共同的 构成规律，横向看各项之间的关系， 构成规律，横向看各项之间的关系，纵向看各项 与项数n的内在联系， 与项数 的内在联系，从而归纳出数列的通项公 的内在联系 式．
例8
设数列{a 为等比数列 为等比数列， 设数列 n}为等比数列，Tn＝na1＋(n－ －
1)a2＋…＋2an－1＋an，且T1＝1，T2＝4. ＋ ， － (1)求数列 n}的首项和公比； 求数列{a 的首项和公比 的首项和公比； 求数列 (2)求数列 n}的通项公式． 求数列{T 的通项公式 的通项公式． 求数列
高中物理必修一第二章本章优化总结
章末过关检测
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第二章
匀变速直线运动的研究
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度下滑，依次通过A、B、C三点，已知AB＝12 m，AC＝
32 m，小物块通过AB、BC所用的时间均为2 s，求：
(1)小物块下滑时的加速度； (2)小物块通过A、B、C三点时的速度分别是多少？
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第二章
匀变速直线运动的研究
【解析】 法一：(1)设物块下滑的加速度为 a，则 xBC－xAB xBC－xAB 20－12 2 ＝at ，所以 a＝ ＝ m/s2＝2 m/s2. 2 2 2 t xAC 32 (2)vB＝ ＝ m/s＝8 m/s 2t 2×2 由 v＝v0＋at 得 vA＝vB－at＝(8－2×2) m/s＝4 m/s vC＝vB＋at＝(8＋2×2) m/s＝12 m/s. 1 2 法二：由 x＝v0t＋ at 知 2 1 AB 段：12＝vA×2＋ a×22① 2 1 AC 段：32＝vA×4＋ a×42② 2 ①②联立得 vA＝4 m/s，a＝2 m/s2 所以 vB＝vA＋at＝8 m/s，vC＝vA＋a· 2t＝12 m/s.
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物理意义 点 斜率
截距
两图线的交点
第二章
匀变速直线运动的研究
例3
(2013· 广东徐闻中学高一检测)如图所示为物体做
直线运动的v t图Leabharlann ．若将该物体的运动过程用x t图象表
示出来(其中x为物体相对出发点的位移)，则下面的四幅图
描述正确的是( )
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第二章
匀变速直线运动的研究
【解析】
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第二章
匀变速直线运动的研究
最新-2018高中数学 第2章本章优化总结课件 必修2 精品
对称问题
在解析几何中，经常遇到对称问题，本章的对称 主要有以下四种： (1) 点 关 于 点 的 对 称 问 题 通 常 利 用 中 点 坐 标 公 式 ． 点 P(x ， y) 关 于 Q(a ， b) 的 对 称 点 为 P′(2a － x,2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊 点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0， y0)，求l关于P点的对称直线方程． 设P′(x′，y′)是对称直线l′上任意一点，它关 于P(x0，y0)的对称点(2x0－x′，2y0－y′)在直线l 上，代入得A(2x0－x′)＋B(2y0－y′)＋C＝0.
根据切线的性质，P，A，C，B 四点共圆，PC 的 中点 M(－23，32)，12PC＝ 22，故圆 M：(x＋32)2＋ (y－32)2＝( 22)2，即 x2＋y2＋3x－3y＋4＝0，与 x2 ＋y2＋4x－2y＋4＝0 作差，得 x＋y＝0.即直线 AB 的方程为 x＋y＝0.
【答案】 y＝2或x＝－1 x＋y＝0
【名师点评】 判断两圆的位置关系时，首先确 定圆心之间的距离，其次确定半径之和或差，再 分类比较，作出判断．
圆的切线问题
相切是直线与圆的一种重要位置关系，其主要问题 有两个，一是求圆的切线方程和切点弦所在的直线 方程,主要难点是圆的切点弦所在直线方程的求解, 最基本的方法是通过圆的切线性质转化为两圆的公 共弦解决；二是与圆的切线相关的一些取值范围、 最值等问题，主要难点是如何利用圆的切线性质对 问题进行转化，解决难点的方法是充分研究题目中 所涉及的圆的切线和所要解决问题的关系．圆的切 线问题的关键就是切线的性质．
由①②可得aa＋ b＝2b8＝ ，ab， 或aa＋ b＝2－ b＝8， ab，
高中数学第二章解析几何初步优化总结北师大版必修2
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，
3为半径的圆．
(1)设xy＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得
最大值和最小值，
此时有 |2k－0| ＝ k2＋1
3，解得 k＝± 3，
故xy的最大值是 3，最小值是－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相切时 b 取
得最大值和最小值，此时|2－0＋b|＝ 3， 2
解得 b＝－2± 6，
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知 识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最 大值和最小值，又知圆心到原点的距离为 2，故 x2＋y2 的最大 值为(2＋ 3)2＝7＋4 3，最小值为(2－ 3)2＝7－4 3.
2．求过圆外一点的圆的切线过程 求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定
系数法或判别式法求出斜率k，但用点斜式表示直线方程的前
提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果 只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形 结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来． 3．已知斜率求圆的切线
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x ＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线 l 过点 A(4，0)， 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直
的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满 足条件的点 P 的坐标．
《优化方案》2014高一数学必修1同步教学课件第二章本章优化总结
f(x)的图像如图
(3)由f(x)的图像可知:f(x)的增区间为(－∞， －1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,1]．
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∴f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝6， f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＋f(3)＝10， 即所求的最大值为10，最小值为6. 【思维总结】 证明奇函数，就是要从f(x＋ y)＝f(x)＋f(y)恒成立中推出f(－x)＋f(x)＝0的 结论． 证明单调性:利用“x<0时，f(x)<0”来构造, f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]．
【误区警示】 换元后要注意新元的范围， 这是易忽略的地方．
函数的单调性与奇偶性的 应用
函数的单调性和奇偶性始终为高考的重点和 热点，常见的应用有： (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解 析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方 程，从而得到f(x)的解析式．
1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)
＝0，那么这样的映射f：A→B有( )
A．2个
B．3个
C．5个
D．8个
解析：选B.
f(a)
f(b)
0
0
1
－1
－1
1
f(a)＋f(b) 0 0 0
3．(2012·铜州调研)函数f(x)＝x2－4x＋5在区 间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________． 解析：f(x)＝(x－2)2＋1. 如图，f(0)＝5.关于 x＝2对称，f(4)＝5. ∴m∈[2,4]． 答案：[2,4]
(3)当－1≤－a2≤1，即－2≤a≤2 时，作草图 ③. 此时，对称轴在区间[－1,1]内，
教科版物理必修二课件第2章本章优化总结
(3)由④式可知，可采取的有效措施有：
a．适当增大内、外轨的高度差 h；
B．适当增大铁路弯道的轨道半径 r.
【答案】 见精讲精析
图 2－6 (1)当 v1＝ gL/6时，求线对物体的拉力； (2)当 v2＝ 3gL/2时，求线对物体的拉力．
【精讲精析】 临界条件为圆锥体对小球的支持 力 N＝0 如图 2－6 乙所示，由牛顿第二定律可列出方程 F＝ma＝mv2/r＝mv20/Lsin30°＝mgtan30°.
解得 v0＝ 3gL/6. (1)因 v1＜v0，N≠0，对小球进行受力分析如图 2 －6 丙所示． Fsinθ－Ncosθ＝mv21/(Lsinθ)； Fcosθ＋Nsinθ－mg＝0.
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本章优化总结
知识网络构建
本
章
优
专题归纳整合
化
总
结
章末综合检测
知识网络构建
专题归纳整合
向心力公式及其应用 向心力公式 F＝mvr2既适用于匀速圆周运动，也适 用于变速圆周运动，还适用于一般曲线运动．在 匀速圆周运动中，物体所受合力提供向心力；在 非匀速圆周运动中，合外力不等于向心力，但合 外力在圆周法线方向的分力仍等于向心力；在一 般曲线运动中，公式中的 r 为曲率半径．
【精讲精析】 A、B两球在竖直平面上做圆周运 动，它们在圆周的最高点与最低点所需的向心力 均由重力和管壁对它们的弹力的合力提供．应用 牛顿第二定律，求出弹力后，根据牛顿第三定律， 即可根据题意列式求出A、B两球的质量之比．
图2－1
分别画出 A、B 两球及细管的受力如图 2－1 甲、
乙所示，对 A、B 球分别应用牛顿第二定律得
图 2－4 当压力为零时，即 G－mvR2＝0，v＝ gR，这个速 度是汽车能正常过拱桥的临界速度．
第二章 章末优化总结
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2.如图，几何体 EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M 为线段 AE 的中点，求证：DM∥平面 BEC.
证明： (1)如图(1)，取 BD 的中点 O，连接 CO，EO. 由于 CB＝ CD，所以 CO⊥BD. 又 EC⊥ BD， EC∩ CO＝ C， CO， EC⊂平面 EOC， 所以 BD⊥平面 EOC， 因此 BD⊥ EO. 又 O 为 BD 的中点， 所以 BE＝ DE.
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1.在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°，侧面 PAD 为正三角 形，其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)求证：AD⊥PB. (2)若 E 为 BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？ 并证明你的结论.
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③二面角的定义 a.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形， 叫二面角， 其大小通过二面角的平面 角来度量. b.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (2)空间角的一般求法 ①异面直线所成的角的求法一般有如下两种： a.平移相交法：即根据定义，把异面直线中的一条或两条进行平移，并使其相交，作 出异面直线所成的角，然后利用三角形边角关系求角的大小.
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②直线和平面所成的角，应分三种情况： a.直线与平面斜交时， 直线和平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的 锐角； b.直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为 90°； c.直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角为 0°.
人教A选修二第2章本章优化总结
(3)再列表计算、对比： 再列表计算、对比： 再列表计算 n S1(n) S2(n) 1 1 1 2 3 5 3 6 4 5 6 7 28 8 36 … …
10 15 21
14 30 55 91 140 204 …
运用________推理； 推理； 运用 推理 (4)从上表的数据中没有看到明显的规律，再 从上表的数据中没有看到明显的规律， 从上表的数据中没有看到明显的规律 进一步列表计算： 进一步列表计算：
上式可变形为
1 4≤ ≤ ＋4(1－cosα)． － ． 1－cosα － ∵1－cosα>0， － ， 1 4(1 ∴ ＋ － 1－cosα － 1 cosα)≥2 ·4(1－cosα)＝4， ≥ ( － ) ， 1－cosα － 1 π 当且仅当 cosα＝ ，即 α＝ 时取等号． ＝ ＝ 时取等号． 2 3
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(1)首先列表计算观察： 首先列表计算观察： 首先列表计算观察 n S2(n) 1 1 2 5 3 4 5 6 7 8 … 14 30 55 91 140 204 …
运用________推理； 推理； 运用 推理 (2)从上表的数据中没有明显的发现，于是联 从上表的数据中没有明显的发现， 从上表的数据中没有明显的发现 想到正整数之和的公式 S1(n)＝1＋2＋3＋… ＝ ＋ ＋ ＋ 1 ＋n＝ n(n＋1)，二者能否有关系呢？ ＝ ＋ ，二者能否有关系呢？ 2 运用________推理； 推理； 运用 推理
1 . ∴4cosα≤ ≤ 1－cosα － ∵α∈(0，π)，∴sinα>0. ∈ ， ， sinα . ∴4sinαcosα≤ ≤ 1－cosα － sinα . ∴2sin2α≤ ≤ 1－cosα －
【优化方案】高中数学 第2章本章优化总结课件 北师大版必修3
画法步骤： (1)画顺序结构图，即起止框及两个处理框，并分别 填入循环初始条件(如图中①)； (2)画循环结构图，先画循环体即两个处理框(一个
累加，一个计数)，再画循环终止条件，即判断框
并判断i>99，若不成立，则流向循环体进行再循环 (如图中②)； (3)画输出框输出x以及终止框表示算法结束(如图中 ③ )．
【名师点评】
(1) 在本算法中，条件语句中嵌入
了另一个条件语句，在每一个语句结束时都要写 End If ； (2)上述两个语句的先后层次关系，我们 用缩进若干空格的办法来体现，从而使算法层次 分明，便于检查．
2．根据基本语句画框图
根据基本语句画框图要做到：
(1)要明确基本语句是由哪些关键语句构成(条件语 句、循环语句)； (2)要明确各类语句定义符的含义； (3)要明确各类语句对应的框图符号．
例5
相传古代印度国王舍罕要褒赏他的聪明能干
的宰相达依尔(国际象棋发明者)，问他需要什么，
达依尔回答说：“国王只要在国际象棋的棋盘第一 个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒麦子，第 三个格子里放4粒麦子，以后按此比例放麦子，一 直放到第六十四格(国际象棋棋盘是8×8＝64格)，
我就感恩不尽，其他我什么也不要了．”国王想：
算法框图如图：
【名师点评】
循环结构必包含顺序结构和选择
结构，所以本题具有一定的典型性和示范性；如
累加、累乘等需要反复执行的算法设计中，宜使
用循环结构，这时要密切注意“循环体”、“循
环变量”和“循环终止条件”三个重要组成部分
的框图设计．
算法框图与基本算法语句的互化 算法框图和基本语句是描述算法的两种重要方 法．框图用流程线、矩形框、菱形框等描述算 法，具有直观、形象的特点，能使我们迅速而 准确地认识某一算法；基本语句将自然语言与 程序设计语言结合起来描述算法，比画框图省 时省力，且更容易转化为程序．
优化方案高中数学第二章平面向量章末优化总结新人教A版必修4
章末优化总结,)平面向量的概念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念．突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提．关于平面向量a，b，c有下列三个命题：①若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)[解析] ①因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b；②a∥b，且a≠0⇒b＝λa⇒1－2＝k6⇒k＝－3；③|a|＝|b|＝|a－b|⇒a，b，a－b构成等边三角形，a与a＋b的夹角应为30°.所以真命题为①②.[答案] ①②平面向量的线性运算1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．2．理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义，并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算问题的基础．如图，在△ABC 中，AQ →＝QC →，AR →＝13AB →，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC交于点P .(1)用AB →和AC →分别表示BQ →和CR →；(2)如果AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，求实数λ和μ的值； (3)确定点P 在边BC 上的位置．[解] (1)由AQ →＝12AC →，可得BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋12AC →，又AR →＝13AB →，所以CR →＝CA →＋AR →＝－AC →＋13AB →.(2)将BQ →＝－AB →＋12AC →，CR →＝－AC →＋13AB →，代入AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，则有AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋12AC →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫－AC →＋13AB →，即(1－λ)AB →＋12λAC →＝13μAB →＋(1－μ)AC →.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45μ＝35.(3)设BP →＝mBC →，AP →＝nAI →.由(2)，知AI →＝15AB →＋25AC →，所以BP →＝AP →－AB →＝nAI →－AB →＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AB →＋25AC →－AB →＝2n 5AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5－1AB →＝mBC →＝mAC →－mAB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝n 5－1，m ＝2n 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝53.所以BP →＝23BC →，即BP PC＝2.即点P 是BC 上靠近点C 的三等分点．平面向量的数量积求平面向量的数量积的方法有两个：一个是根据数量积的定义，另一个是根据坐标．定义法是a·b ＝|a||b|·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角；坐标法是a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决．(1)设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m⊥b ，则|x ＋2y |＝________． (2)已知两个单位向量a ，b 的夹角θ为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________．[解析] (1)因为单位向量m ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1.① 若m ⊥b ，则m·b ＝0，即2x －y ＝0.②由①②解得x 2＝15，所以|x |＝55，|x ＋2y |＝5|x |＝ 5. (2)法一：因为b·c ＝0， 所以b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a·b ＋(1－t )b 2＝0.又因为|a |＝|b |＝1，θ＝60°，所以12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2.法二：由t ＋(1－t )＝1知向量a ，b ，c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.[答案] (1) 5 (2)2平面向量的应用平面向量的应用主要体现在两个方面，一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和平行，数乘向量和相似，距离、夹角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．二是在物理中的应用，主要是解决力、位移、速度等问题．如图所示，G 为△AOB 的中线OM 的中点，过点G 作直线分别交OA ，OB 于点P ，Q ，设OP OA ＝m ，OQ OB ＝n ，试推断1m ＋1n是否为定值．[解] 设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝12OM →＝14(OA →＋OB →)＝14a ＋14b . 所以PG →＝OG →－OP →＝14a ＋14b －m a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－m a ＋14b . PQ →＝OQ →－OP →＝nOB →－mOA →＝n b －m a .因为PG →与PQ →共线，所以PG →＝λPQ →(λ∈R )， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫14－m a ＋14b ＝λ(n b －m a )． 所以⎩⎪⎨⎪⎧14－m ＝－λm ，14＝λn .消去λ得14－m ＝－m 4n ⇒14m －1＝－14n .所以1m ＋1n＝4为定值．质量m ＝2.0 kg 的木块在平行于斜面向上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿斜面角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离，如图所示(g 取9.8m/s 2)．(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系．[解] (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如题图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F ·s ＝|F||s |cos 0°＝20(J)．支持力对木块所做的功为W F N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)． (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W ＝W F ＋W F N ＋W G ＝0.4(J)．(3)物体所受合外力的大小为|F 合|＝|F |－|G |sin 30°＝0.2(N)． 所以，物体所受合外力对物体所做的功为W ＝F 合·s ＝0.4(J)．所以，物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和相等．1．O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：选B.由题意知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝0，如图所示，其中AB →＋AC →＝2AD →(点D 为线段BC 的中点)，所以AD ⊥BC ，即AD 是BC 的中垂线，所以AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形．故选B.2．已知e 为单位向量，|a |＝4，a 与e 的夹角为23π，则a 在e 方向上的投影为________．解析：根据定义知a 在e 方向上的投影为|a |cos 2π3＝－2.答案：－23．已知向量a ＝(6，2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．解析：设B (x ，y )为l 上任意一点，则AB →＝(x －3，y ＋1)，又a ＋2b ＝(6，2)＋2⎝⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2，3)，由题意得AB →·(a ＋2b )＝0，所以(x －3，y ＋1)·(－2，3)＝－2(x －3)＋3(y ＋1)＝0，即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝04．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝ 5. (1)求|2a －3b |的值；(2)求3a －b 与a －2b 的夹角．解：(1)因为|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4a ·b ＋1＝5， 所以a ·b ＝0.因为|2a －3b |2＝4a 2＋9b 2＝4＋9＝13， 所以|2a －3b |＝13.(2)设3a －b 与a －2b 的夹角为θ，则cos θ＝（3a －b ）·（a －2b ）|3a －b |·|a －2b |＝3a 2＋2b 210·5＝552＝22，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4为所求．5．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，BC 上一点F 使BF ＝13BC .(1)以a 、b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →.解：(1)由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋b .HF →＝HD →＋DC →＋CF →＝12b ＋a ＋(－23b )＝a －16b .(2)由已知得a·b ＝|a||b|cos 120°＝3×4×(－12)＝－6，从而AM →·HF →＝(12a ＋b )·(a －16b )＝12|a |2＋1112a·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113., [学生用书单独成册])(时间：100分钟，分数：120分)一、选择题(本大题共有10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．共线向量的方向相同 B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选B.对A ，共线向量的方向相同或相反，错误；对B ，零向量是0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B.2．已知A 、B 、D 三点共线，存在点C ，满足CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23 B ．13 C ．－13 D ．－23解析：选C.因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14 B ．12 C ．1 D ．2解析：选B.a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12. 4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心，外心B ．重心，内心C ．外心，重心D ．外心，内心解析：选C.由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得AN →＝NB →＋NC →，取BC 边的中点D ，则AN →＝NB →＋NC →＝2ND →，知A 、N 、D 三点共线，且AN ＝2ND ，故点N 是△ABC 的重心．5．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角等于( )A ．θ－π2B ．π2＋θC.3π2－θ D ．θ 解析：选C.设a 与b 的夹角为α，a ·b ＝cos θ·0＋sin θ·(－1)＝－sin θ，|a |＝1，|b |＝1，所以cos α＝a ·b |a ||b |＝－sin θ＝cos(3π2－θ)，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α∈[0，π]，y ＝cos x 在[0，π]上是递减的，所以α＝3π2－θ，故选C.6．已知等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b －b ·c －c·a 等于( )A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：选D.由平面向量的数量积的定义知，a·b －b·c －c·a ＝|a||b|cos(π－C )－|b||c|cos(π－A )－|c||a|cos(π－B )＝cos(π－C )－cos(π－A )－cos(π－B )＝－cos C ＋cos A ＋cos B ＝cos 60°＝12.故选D.7．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2 B ．π3 C.π6D ．π解析：选B.因为|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，所以4＋4a·b ＋3＝7，a·b ＝0，所以a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，因为tan∠COA ＝|CA ||OA |＝3，所以∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.8．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.53 B ．54 C.109 D ．158解析：选A.依题意，不妨设BE →＝12EC →，BF →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →；AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →)＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，故选A. 9．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝|a |＝1，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选D.因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，所以|c |＝ 3.又c·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a·c |a ||c |＝－323×1＝－32，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.10．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )A.103 6 B ．53 6 C.103 D ．203解析：选A.如图，因为OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，所以动点P 的轨迹所覆盖的区域是以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAMB ，则动点P 的轨迹所覆盖的面积S ＝AB ×r ，r 为△ABC 的内切圆的半径．在△ABC 中，由向量的减法法则得BC →＝AC →－AB →，所以BC →2＝(AC →－AB →)2，即|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2－2|AC →||AB →|cos A ，由已知得72＝62＋|AB →|2－12·|AB →|×15，所以5|AB →|2－12|AB →|－65＝0，所以|AB →|＝5.所以S △ABC ＝12×6×5×sin A ＝66，又O 为△ABC 的内心，故O 到△ABC 各边的距离均为r ，此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，所以S △ABC ＝12(6＋5＋7)×r ，即12(6＋5＋7)×r ＝66， 所以r ＝263，故所求的面积S ＝AB ×r ＝5×236＝1036.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 解析：m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋4b 与a －2b 共线， 所以－1(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2. 答案：－212．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．解析：因为AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →)＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝μa ＋μ2b . 因为μ＋μ2＝1，解得μ＝23.所以AO →＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b13．已知两点A (－1，0)，B (－1，3)，O 为坐标原点，点C 在第一象限，且∠AOC ＝120°.设 OC →＝－3OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ＝________．解析：由题意，得OC →＝－3(－1，0)＋λ(－1，3)＝(3－λ，3λ)，因为∠AOC ＝120°，所以OA →·OC →|OA →||OC →|＝－12，即λ－3（3－λ）2＋3λ2＝－12，解得λ＝32. 答案：3214．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝(AB →＋13AD →)·(AD →＋1λAB →)＝1λAB →2＋1＋3λ3λAD →·AB →＋13AD →2 ＝4λ＋1＋3λ3λ×2×2×cos 120°＋43＝10－2λ3λ＝1. 解得λ＝2. 答案：215．若将向量a ＝(1，2)绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则b 的坐标是________．解析：如图，设b ＝(x ，y )， 则|b |＝|a |＝5，a·b ＝|a||b |·cos π4＝5×5×22＝522，又x 2＋y 2＝5，a·b ＝x ＋2y ，得x ＋2y ＝522，解得x ＝－22，y ＝322(舍去x ＝322，y ＝22)． 故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，322.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，322三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)由a ＝(1，2)，得|a |＝12＋22＝5， 又|c |＝25，所以|c |＝2|a |. 又因为c ∥a ，所以c ＝±2a ，所以c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)因为a ＋2b 与2a －b 垂直，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，将|a |＝5，|b |＝52代入，得a·b ＝－52.所以cos θ＝a·b|a|·|b |＝－1，又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a 与b 的夹角为π.17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．(1)求AB →，AC →及|AB →＋AC →|；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)⊥OC →，求t 的值． 解： (1)因为A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．所以AB →＝(－3，－1)，AC →＝(1，－5)，AB →＋AC →＝(－2，－6)， |AB →＋AC →|＝（－2）2＋（－6）2＝210.(2)因为(AB →－tOC →)⊥OC →，所以(AB →－tOC →)·OC →＝0， 即AB →·OC →－tOC →2＝0，因为AB →·OC →＝－3×2＋(－1)×(－1)＝－5， OC →2＝22＋(－1)2＝5，所以－5－5t ＝0，所以t ＝－1.18．(本小题满分10分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1.求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：因为OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，所以OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，所以(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，所以|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，所以OP 1→·OP 2→＝－12，又cos∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，所以∠P 1OP 2＝120°. 所以|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝（OP 2→－OP 1→）2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3. 同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3.故△P 1P 2P 3是等边三角形．19．(本小题满分12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .证明：如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，E (1，2)，F (0，1)．(1)BE →＝OE →－OB →＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)，CF →＝OF →－OC →＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)，因为BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，所以BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)，因为FP →∥CF →，所以－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，所以y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. 所以AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝AB →2， 所以|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .20．(本小题满分13分)(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并判断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系．(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB → ＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b .同理OQ →＝13a ＋23b .OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)结论：OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n (OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →， 所以OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1→＝1n a ＋n －1n b ，所以OA 1→＋OA n －1→＝a ＋b ＝OA →＋OB →. 又OA 2＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2→＝2n a ＋n －2n b ，所以OA 2→＋OA n －2→＝a ＋b ＝OA →＋OB →，…， 因此有OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.。
【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教B版必修2
解得
x x y 所以所求的直线方程是 ＋y＝1 或 ＋ ＝ ＝1， ， 2 －1 －2 即 x＋2y－2＝0 或 2x＋y＋2＝0. ＋ － ＝ ＋ ＋ ＝ (2)设所求直线的方程为 设所求直线的方程为 (3x－2y＋1)＋λ(x＋3y＋4)＝0， － ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ， 即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0. ＋ ＋ － ＋ ＋ ＝ 由所求直线垂直于直线 x＋3y＋4＝0，得 ＋ ＋ ＝ ， ＋ 1 3＋λ 3 ＝－ ，解这个方程，得 λ＝ . ＝－1，解这个方程， － ·－ ＝ 3 3λ－2 10 － 故所求直线的方程是 3x－y＋2＝0. － ＋ ＝
易解决，若挖掘其几何意义，利用数形结合， 易解决 ， 若挖掘其几何意义 ，利用数形结合 ， 往 往会柳暗花明，使问题轻松获解． 往会柳暗花明，使问题轻松获解．
分类讨论思想 在解决直线的斜率、直线与直线、直线与圆、 在解决直线的斜率、直线与直线、直线与圆、 圆与圆的位置关系问题时常常用到分类讨论的 思想． 思想．
点评】 【点评】 (1)在利用直线的特殊形式求直线方程 在利用直线的特殊形式求直线方程 往往将斜率k和截距 和截距a、 作为参数引入 作为参数引入； 时 ， 往往将斜率 和截距 、 b作为参数引入； (2) 求与直线Ax＋ ＋ ＝ 平行的直线方程可设为 求与直线 ＋ By＋ C＝ 0平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝0，与直线 ＋By＋C＝0垂直的直 ＋ ＋ ＝ ，与直线Ax＋ ＋ ＝ 垂直的直 线方程可设为Bx－ ＋ ＝ ， 线方程可设为 － Ay＋ n＝0， 将 m， n作为参数 ， 作为参数 引入；(3)求过两相交直线的交点的直线 求过两相交直线的交点的直线， 引入；(3)求过两相交直线的交点的直线，可利用 直线系方程，设它的方程为A ＋ ＋ 直线系方程，设它的方程为 1x＋B1y＋C1＋λ(A2x 引作参数， ＋ B2y＋C2)＝0，将 λ引作参数， 通过确定这些参 ＋ ＝ ， 引作参数 数的值来解题． 数的值来解题．
【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 苏教版必修2
例1 过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－
4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k
的取值范围及倾斜角的范围．
【思路点拨】
直线l过点M，斜率变化时，可以
理解为直线l绕定点M旋转，数形结合进行分析．
【解】 如图所示， (1)直线 l 过点 A(3,0)时， 即为直线 MA， 倾斜角 α1 0－－3 为最小值，所以 tanα1＝ ＝1，即 α1＝45° . 3－0
若 C1C2＝r1＋r2，即 5＝ 50－k＋1⇒k＝34 时， 两圆外切； 若 r1－r2<C1C2<r1＋r2，即| 50－k－1|<5< 50－k ＋1⇒14<k<34 时，两圆相交； 若 C1C2＝|r1－r2|， 5＝| 50－k－1|⇒k＝14 时， 即 两圆内切； 若 C1C2<|r1－r2|，即| 50－k－1|>5⇒k<14 时，两 圆内含．
【解析】 由 x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，得(x＋2)2 ＋(y－1)2＝1，则圆心 C(－2,1)，半径 r＝1，当所 求的切线 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为 y－2 ＝ k(x ＋ 1) ， 即 kx － y ＋ k ＋ 2 ＝ 0 ， 则 d ＝ |k×－2－1＋k＋2| ＝r＝1，解得 k＝0，则切线 l 2 2 k ＋－1 的方程为 y＝2，当切线 l 的斜率不存在时，切线 l 的方程为 x＝－1.所以所求的切线 l 的方程为 y＝2 或 x＝－1.
【名师点评】
当直线绕定点旋转时，若倾斜角
为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越
来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率也
越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规
律．但倾斜角不确定是锐角或钝角时，逆时针旋
【优化方案】精品课件人教物理选修1-2第二章本章优化总结
弹的温度升高多少摄氏度？
【精讲精析】 铅弹射中木块后与木块一起做平抛运 2h 动的初速度为 v＝s/ g ＝1 m/s. 根据动量守恒，可得铅弹射入木块时速度为 m＋M v0＝ m v＝2.01× 102 m/s. 系统损失的机械能为 1 2 1 ΔE＝ mv0－ (m＋M)v2＝2.01× 102 J. 2 2 损失的机械能转化为系统增加的内能，则 η ΔE Δt＝ ＝93 ℃. cm 【答案】 93 ℃
例3
对热力学第二定律，下列理解正确的是(
)
A．自然界进行的一切宏观过程都是可逆的
B．自然界进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向
性，是不可逆的
C．热量不可能由低温物体传递到高温物体
D．第二类永动机违背了能量守恒定律，因此不可能
制成
【精讲精析】
由热力学第二定律知自然界一切
与热现象有关的宏观过程都是不可逆的，故A错本章优化总结来自本 章 优 化 总 结
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能量守恒定律 1 ．能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也 不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种 形式，或者从一个物体转移到别的物体，在能的 转化或转移过程中其总量不变． 2．不同形式能量之间可以相互转化 (1)自然界中能量存在形式：物体运动具有机械 能，分子运动具有内能、电荷的运动具有电能、 原子核内部的运动具有原子能等．可见，在自然 界中不同的能量形式与不同的运动形式相对应．
热力学第一定律 1．在一般情况下，如果物体跟外界同时发生 做功和热传递的过程，外界对物体所做的功 W 加上物体从外界吸收的热量 Q 等于物体内能的 增加ΔU，即ΔU＝Q＋W. 利用 ΔU ＝ Q ＋ W 讨论问题时，必须弄清其中 三个量的符号法则，外界对物体做功， W取正 值，反之取负值；物体从外界吸收热量， Q 取 正值，反之取负值；物体内能增加，ΔU取正值， 反之取负值．
第二章本章优化总结
专题三 求参数的取值范围
（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列 出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等 式组得出参数的取值范围. （2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个 函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函 数，通过讨论函数的值域求参数的取值范围.
例3 已知双曲线C：(1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)，设
【分析】可设OA的斜率k为参数，确定A、B的坐标，写
出直线AB的方程.又OM⊥AB，可得OM的方程，消去参数
可得点M的轨迹方程.
【解】设直线OA的方程为y=kx（k≠±1，因为当k=±1
时，直线AB的斜率不存在），则直线OB的方程为 y k
x
x2=-4·(m-1)(y-m).又P(-a,a)在抛物线上，所以
a2=-4(m-1)(a-m)①.而MP的斜率 k m a ，所以
a
m=ak+a②.把②代入①得4ak2+4(a-1)k-a=0在
1 4
,
1 3
上有实根.令f(k)=4ak2+4(a-1)k-a,由于
对称轴 k 1 a 0 ，
或y=0（-1<x<2）.
【点评】 （1）本题是利用直接法求解的，从已知条件 出发，利用公式，直接得到了动点M的坐标 （x,y）所满足的方程. （2）本题还需注意，轨迹是 ①3x2-y2=3的右支； ②y=0（-1<x<2）.
3 代入法（转移法） 如果轨迹上的点P（x,y）依赖于另一动点Q （x′,y′），而点Q（x′,y′）又在某已知曲线 上，则可列出关于x、y、x′、y′的方程组，利 用x、y表示出x′、y′，把x′、y′代入已知曲 线的方程便得到动点P的轨迹方程，此法称为代入 法，也叫转移法或相关点法. 例6 过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线， 垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.
第2章 统计 本章优化总结 课件
平均数
甲
7
乙
7
方差 1.2 5.4
中位数 7 7.5
命中9环及以上 1 3
25 第二十五页，编辑于星期日：十九点 五十二分。
(2)s2甲＝110[(5－ 7)2＋ (6－ 7)2×2＋(7－ 7)2×4 ＋ (8－ 7)2× 2＋ (9－ 7)2]＝ 1.2，
8 第八页，编辑于星期日：十九点 五十二分。
专题二 用样本的频率分布估计总体的分布
利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总 体情况作出估计，有时也利用频率分布折线图 和茎叶图对总体估计． 1．用样本频率分布估计总体频率分布时，通 常要对给定的一组数据进行列表、作图处理， 作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方 法步骤． 2．茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信 息都可以从图中得到，二是便于记录和表示， 但数据较多时不方便．
【解】
频率
对于表 1，[60,65) [65,70) 0.4 [70,75) 0.2 [75,80) 0.1
0.3 0.08 0.04 0.02
频率 组距 0.06
15 第十五页，编辑于星期日：十九点 五十二分。
对于表 2，[60,65)
[65,70) 0.25 [70,75) 0.2 [75,80) 0.3 [80,85) 0.15 如图所示
s
2
乙
＝
1 10
[(2
－
7)2
＋
(4
－
7)2
＋
(6
－
7)2
＋
(7
－
7)2×2＋ (8－7)2×2＋(9－ 7)2×2＋(10－ 7)2]
＝ 5.4.
第二章本章优化总结
”型变压器时 型变压器时
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专题归纳整合
第 二 章 交 变 电 流
3.电压思路：变压器原、副线圈的电压之比为 电压思路：变压器原、 电压思路 U1/U2=n1/n2；当变压器有多个副线圈时，只要 当变压器有多个副线圈时， 绕在同一闭合铁芯上， 绕在同一闭合铁芯上，任意两线圈之间总有 UP/UQ=nP/nQ. 4.电流思路 对只有一个副线圈的变压器有 电流思路:对只有一个副线圈的变压器有 电流思路 I1/I2=n2/n1;当变压器有多个副线圈时有 当变压器有多个副线圈时有 n1I1=n2I2+n3I3+…
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第 二 章 交 变 电 流
（3）负载制约 ） ①变压器副线圈中的功率P2由用户负载决 变压器副线圈中的功率 定,P2=P负1+P负2+… ②变压器副线圈中的电流I2由用户负载及 变压器副线圈中的电流 电压U 决定,I 电压 2决定 2=P2/U2.
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第 二 章 交 变 电 流
2. 轴旋转所产生的交变电流的电动势 其最大 轴旋转所产生的交变电流的电动势,其最大 在考虑电容器的耐压值时,应根 值 Em=NBSω,在考虑电容器的耐压值时 应根 在考虑电容器的耐压值时 据交流电的最大值. 据交流电的最大值 3.平均值 平均值需用 E = n∆Φ / ∆t 和I = E / R 进行 平均值:平均值需用 平均值 计算,求一段时间内通过导体横截面的电荷量 计算 求一段时间内通过导体横截面的电荷量 时要用电流的平均值,q= 时要用电流的平均值 I t. 最大值:线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的 最大值 线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的 4.有效值 正弦式交流电的有效值 I = I / 2 , 有效值:正弦式交流电的有效值 有效值
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定义 有机物中不饱和C
实例 烯、炔、苯及不饱和
加成 原子跟其它原子(或 烃的衍生物与氢气、 反应 原子团)直接结合成 卤素、卤化氢、水等 新物质的反应 反应; 油的氢化等
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促进身心健康
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Байду номын сангаас
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反应 类型 取代 反应
定义 有机化合物中的某些原
实例 (1)烷烃(卤代);
子(或原子团)被其它原子 (2)醇与酸的酯
(或原子团)所替代的反应 化反应
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