福建省福州市仓山区城门中学2015_2016学年高一数学下学期期末考试试题

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福建省师大附中1516学年度高一下学期期末考试——数学

福建省师大附中2015—2016学年度下学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 角的终边过点，则的值是(******* ) A ． B ． C ． D ．－ 2. sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(******* )A ．B ．C ．D ．3.设向量=(m ,1)， =(1,2)，且|+|2=||2+||2，则m =(******* )A ．B ．1C ．D ． 4. 下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(******* )A ．y=sin （2x+）B ．y=cos （2x+）C ．y=sin2x+cos2xD ．y=sinx+cosx 5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y ，且=3，则(******* ) A ．x=，y= B ．x=，y= C ．x=，y= D ．x=，y=6. 若，则 (******* )A ．B ．C ．D ．7．将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为(******* )A ．y =2sin(2x +π4)B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)8．函数的部分图像如图所示，则（******） A ． B ． C ． D ．9. ()()001tan181tan 27++的值是(******* )A ．B ．C ．2D ． 10.在中，若，则一定是(******* )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 11．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为，且，则(******* )A ．在单调递减B ．在单调递减C ．在单调递增D ．在单调递增12．定义在R 上的偶函数满足，且在[-3，-2]上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则(******* )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷共90分二、填空题：（每小题4分，共28分.请把答案填在答卷上） 13. 设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x = ******** .14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且三点共线，则******** .15.已知，，，则的值为 ******** .16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 ******** .17．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ******** .18．已知函数5()),6f x x π=+方程在区间上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ******** .19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ******** .三、解答题：（本大题共5题，满分62分）20．（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求|+|；（3）求在+方向上的投影． 21．（本题满分16分）（1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求的值． 22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MC N是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sinωxcosωx+2sin 2ωx ﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g （x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点及 (1)已知时，恒成立，求实数的取值范围;(2)当取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数，使得对于恒成立，求的值.福建师大附中2015-2016学年第二学期模块考试卷解答一、选择题：BDCBD ； BDACC ； AC 二、填空题：13. 14. 15. 16. 17． 18． 19.9三、解答题：（本大题共5题，满分62分） 20．（本小题满分12分）解：（1）∵||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3， ∴4||2﹣3||2﹣4•=3， ∴•=﹣，∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．21．（本小题满分16分） 21．解：（1）由，，∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0，所以上式== ==.22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (sin cos )(2)sin 1tan cos sin 1cos 1tan 17753sin 2sin 2tan(),,2,cos()1tan 4124344544sin(),tan().4543cos cos[()]44x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x πππππππππππ+++==---+==⋅+<<∴<+<+=-∴+=-+=-=+-由又7282,=-10102575x x =-=-=原式 22. （本小题满分10分）解：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，则BM=1﹣x，DN=1﹣y，在△CBM中，tanα=1﹣x，在△CDN中，tanβ=1﹣y，所以：tan（α+β）===，（5分）△AMN的周长为2千米，所以x+y+=2，化简得xy=2（x+y）﹣2，代入（*）式，可得tan（α+β）====1，由于α+β，所以α+β=，所以∠MCN是定值，且∠MCN=．﹣﹣﹣（10分）23．（本小题满分12分）23.解：（1）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣），由最小正周期为π，得ω=1，所以，由，整理得，所以函数f（x）的单调增区间是．（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g （x）=2sin2x+1，令g（x）=0，得或，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+=．24.（本题满分为12分）(0)1,()11,112()(1)(sin cos ))sin ()4(1)sin (),)43(0,)(,)(,1]2444210())]|()|2)2,[f f a b ac b c afx a x x aa x ax t y at ax x tI a f x a a f x a a a πππππππ==+=+=∴==-∴=-++=-+++==-+∈∴+∈∴∈->∈-+≤-+≤∈-解：由可得设则、当时，此时可得10()110()),1)|()|2)2,(1,4[4(2)8,()8()4()()18()sin ()sin (144II a f x III a f x a a f x a a a a a f x x mf x nf x m n x x πππφφ-==-<∈-+≤-+≥-∈+-+==-++-=+-+-+-=、当时，，此时满足题意、当时，此时可得综上所述，的取值范围是可得则由得）令,8()cos )sin sin cos 148()1sin 0cos 0cos 1sin 011611,,2,1616x X m n m n X X m n X m n n m n m n k k Zπφφφφφφφππ+=+-++=⎧⎪+==⎧⎪⎪+==-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪==⎩∴===+∈得要使上式对任意恒成立，则有解得。

2015-2016学年福建师大附中高一下学期期末数学试题(解析版)

2015-2016学年福建师大附中高一下学期期末数学试题一、选择题1．角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( ) A ．35 B ．45 C ．35- D ．－45【答案】B【解析】试题分析：()()()0553422<-==+-=k k k k k r ，而5454cos =--==k k r x α，故选B. 【考点】三角函数的定义2．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( )A ．23-B ． 23C ．21-D ．21【答案】D 【解析】试题分析：原式等于()2130sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin 0000000==+=+，故选D. 【考点】两角和与差的三角函数3．设向量a =(m,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m=( )A ． 1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C【解析】试题分析：根据公式222222b a b a b a b a +=++=+，根据公式22a a =，22b b =，可得，0=⋅b a，即0211=⨯+⨯m ，解得2-=m ，故选C.【考点】向量数量积4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y=sin （2x+2π）B ．y=cos （2x+2π） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx【答案】B【解析】试题分析：x x y 2cos 22sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π，是周期为π的偶函数，故不正确，x x y 2sin 22cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π，为周期为π的奇函数，故正确，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=42sin 22cos 2sin πx x x y 是周期为π的函数，但既不是奇函数也不是偶函数，故不正确，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin πx x x y 是周期为π2的函数，既不是奇函数也不是偶函数,故不正确，故选B. 【考点】三角函数的性质5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x +y ，且=3，则( )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y= 【答案】D【解析】试题分析：()-=-⇔=33,整理为414334+=⇔+=,所以43=x ，41=y ，故选D. 【考点】平面向量基本定理6．若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) A ．725B ．725-C ．15-D ．15【答案】B【解析】试题分析：()53sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-αααπ，两边平方后得:()2518sin cos 2=+αα25182sin 1=+⇔α,解得2572sin -=α，故选B. 【考点】三角函数恒等变形7．将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移4π个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y=2sin(2x+4π) B ．y=2sin(2x+3π)C ．y=2sin(2x –4π)D ．y=2sin(2x –3π)【答案】D【解析】试题分析：根据平移规律，“左＋右－”的原则，向右平移4π个周期后，变为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2642sin 2πππx x y ，故选D.【考点】三角函数的变换【易错点睛】本题考查了三角函数的变换，属于基础题型，在三角函数的变换中，容易出错在两个地方，举例，①函数x y 2sin =向左平移6π个单位得到哪个函数，很多同学会写成⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y ，谨记“左+右－”指的是x ，所以应是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ，②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，很多同学会写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 6221sinππx x y ，谨记，横坐标伸长或缩短到原来的ω1倍，仅仅是x 前面的系数变了，与ϕ无关，所以应是⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y . 8．函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A【解析】试题分析：根据图像的最值可得2=A ,半周期26--3212πππωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯，解得2=ω，当3π=x 时，232πϕπ=+⨯，解得6-πϕ=，所以函数为⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin 2πx y ，故选 A.【考点】()ϕω+=x A y sin 的图像9．()()01tan181tan 27++的值是( )A ．1C ．2D ．()002tan18tan 27+【答案】C【解析】试题分析：根据公式()127tan 18tan 127tan 18tan 2718tan 000000=-+=+，所以00027tan 18tan 127tan 18tan -=+，原式等于227tan 18tan 27tan 18tan 10000=+++，故选C.【考点】两角和的正切函数10．在ABC ∆+ABC ∆一定是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】试题分析：原式变形为-=,两边平方后得BABA⋅-+=⋅++222222,化简为0=⋅,即BC BA ⊥,角B 为直角，所以是直角三角形，故选C.【考点】向量数量积11．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】A【解析】试题分析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=4sin 2πϕωx x f ，πωπ==2T ,2=ω，根据条件()()x f x f =-，说明函数是偶函数，关于y 轴对称，当0=x 时，Z k k ∈+=+,24πππϕ,解得：Z k k ∈+=,4ππϕ，当0=k 时，4πϕ=，所以函数()x x x f 2cos 222sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π，当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，()π,02∈x 是函数的单调递减区间，故A 正确，C 不正确，当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ43,4x 时，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ23,22x ，在此区间函数我先减后增，即⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππx 时函数单调递减，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ43,2x 时，函数单调递增，故B,D 不正确，故选A.【考点】三角函数的图像和性质【方法点睛】本题考查了()ϕω+=x A y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>200πϕω，，A 的性质，本题考查了两个问题，一是如何求函数解析式，二是如何判断三角函数的性质，A 是振幅，一般根据函数的最值求解，ωπ2=T ,ω一般根据周期求解，ϕ一般根据“五点法”求解，而象本题给出三角函数后，如何判断所给区间是否具有单调性，首先由x 的区间，代入求ϕω+=x u 的区间，然后判断ϕω+=x u 是否落在u y sin =的单调区间内. 12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 【答案】C【解析】试题分析：根据条件函数的周期2=T ,并且满足()()()x f x f x f -==+2，函数关于1=x 对称，当函数在[]2-3-，为减函数，根据周期，[]2,1也是减函数，根据对称性，[]1,0上是增函数，,αβ是锐角三角形的两个内角，那么2πβα>+，即βπα->2，即1cos 2sin sin 0<=⎪⎭⎫⎝⎛-><ββπα，根据在区间[]1,0上是增函数，所以()()βαcos sin f f >，故选C.【考点】函数的性质【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察，属于中档题型，本题的难点是如何转化锐角三角形这个条件，即若是锐角三角形，需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<<<<22020πβαπβπα，这样βπα->2，这样根据函数的单调性，两边取三角函数，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛->，或是⎪⎭⎫⎝⎛-<βπα2cos cos βsin =，这个难点克服后，就容易想到根据函数的性质，转化为求函数()x f 在区间()1,0的单调性. 13．已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】(【解析】试题分析：如图，画出函数u y si n 3=的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=611,65652πππx u ，此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,3x f ，当2π=x 时，23-=y 根据图像可得若有两个不同的实根，那么⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈23,3m ，故填：⎥⎦⎤ ⎝⎛23-3-，.【考点】三角函数图像的应用【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题型，以复合函数的观点解决函数零点问题，首先设π652+=x u ，并且求出u 的取值范围，然后画出函数u y sin 3=的图像，这问题转化为m y =与三角函数图像交点的问题，通过图像很容易求出没有交点，一个交点，以及两个交点的m 的取值范围问题，切记，最好不要画⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π652sin 3x y 的图像，因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿失，一定画换元后的图像.二、填空题14．设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】23-【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得()0211=⨯++⨯x x ，解得32-=x ，故填：32-. 【考点】向量数量积15．已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = .【答案】23-【解析】试题分析：()7,4--=k ，()2,2--=k ，因为,,A B C 三点共线，所以AB 与共线，所以()()()k k 272-4-⨯-=-⨯，解得：32-=k ，故填：32-. 【考点】向量共线的充要条件 16．已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=，则sin β的值为 . 【答案】6365【解析】试题分析：0-<<-αβπ，又因为()0135cos >=-αβ，所以02<-<-αβπ，()1312sin -=-αβ，因为43t a n -=α，所以53s i n=α，54cos -=α，而()[]()()6563131********sin cos cos sin sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=-+-=-+=αβααβααβαβ，故填：6563. 【考点】三角函数恒等变形17．函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 .【答案】928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】试题分析：设tx =-6π，那么()8941s i n 2s i n s i n 21s i n 2c o s s i n 22s i n 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=+⎪⎭⎫⎝⎛+=t t t t t t t t f π，因为[]1,1sin -∈t ，所以当41sin =t 时，函数取得最大值89，当1sin -=t 时，函数取得最小值-2，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2，故填：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2. 【考点】三角函数的性质18．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为 . 【答案】81 【解析】试题分析：AC AB DF AD AF 4321+=+=,AB AC BC -=,所以()812111414321414321432122=⨯⨯⨯-+-=⋅-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅,故填：81.【考点】向量数量积19．已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 . 【答案】9【解析】试题分析：由题可知，244--4kTT +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，解得()*12N k k ∈+=ω,又因为()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，单调，所以ωππππ22121218-365⋅=≤=T ,即12≤ω，接下来，采用排除法，若11=ω，此时4-πϕ=，此时()()x f x x f ,411sin ⎪⎭⎫⎝⎛-=π在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛443,18ππ上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛365443ππ，上单调递减，不满足在区间⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，单调，若49πϕω==，，此时()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=49sin πx x f ，满足()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，单调递减，所以ω的最大值为9. 【考点】三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kTT +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值.三、解答题20．已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【答案】（1）127-；（2）6；（3）126.【解析】试题分析：（1）将条件()()3232=-⋅-b a b a按照分配率展开，根据向量数量积的公式，得到两向量的夹角；（2）()b a b a ba b a⋅++=+=+2222，根据公式22a a =代入数值；（3）根据向量数量积的几何意义可知a 在b a +方向上的投影为()ba ba a ++，代入数量积和上一问模的结果，即可.试题解析：（1）∵||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3， ∴4||2﹣3||2﹣4•=3， ∴•=﹣，∴cos＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．【考点】向量数量积【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1）θcos b a b a=⋅，（2）ba b a ⋅=θcos ，（3）22a a =，以及()2ba b a +=+，（4）0=⋅⇔⊥b a b a，（5）投影公式：向量a 在b 方向上的投影为θcos a 或是bb a ⋅，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练运用公式避免计算错误. 21．（1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．【答案】（1）41；（2）7528. 【解析】试题分析：（1）由条件可直接求得22tan =x ，再利用公式2tan 12tan2tan 2x xx -=，求x tan ，然后将所求原式的分子x x x 22sin cos 2cos -=，分母⎪⎭⎫⎝⎛+x 4cos π展开化简，并上下同时除以x cos ，将分式转化为关于x tan 的式子，代入求解；（2）首先根据公式x x x cos sin 22sin =，xxx cos sin tan =，进行初步的化简，得到原式等于⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=-+⋅x x x x x 4tan 2sin tan 1tan 12sin π，根据条件再依次求解各项.试题解析：（1）由，，∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0，所以上式==1tan tan xx+==．22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (sin cos )(2)sin 1tan cos sin 1cos 1tan 17753sin 2sin 2tan(),,2,cos()1tan 4124344544sin(),tan().4543cos cos[()]44x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x πππππππππππ+++==---+==⋅+<<∴<+<+=-∴+=-+=-=+-由又7282,=-2575x x ===原式【考点】三角函数的恒等变形求值22．如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MCN 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．【解析】试题分析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，若MC N ∠为定值，那么βα+为定值，即()βα+tan 为定值，根据所设条件，得到()βα+t a n()xyy x y x -++-=2，因为AMN ∆的周长等于222=+++y x y x ，将此式进行化简为()y x y x +-=+222，两边平方得到()22-+=y x xy ，代入正切公式得到定值.试题解析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）=()()()xy y x y x y x y x -++-=----+-=-+211111tan tan 1tan tan βαβα，△AMN 的周长为2千米，所以222=+++y x y x ，化简得()22-+=y x xy ，代入（）式，可得tan （α+β）=()()()[]()()1222222=+-+-=-+-++-=-++-y x y x y x y x y x xy y x y x ，由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=4π，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．【考点】三角函数的实际应用23．已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g （x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ；（2）1259π.【解析】试题分析：(1)第一步根据降幂公式x x x ωωω2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2xx ωω-=化简，第二步，对降幂后的式子，再根据辅助角公式化简，得到()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈-22,2232πππππk k x ，Z k ∈得到函数的单调递增区间;（2）根据三角函数的图像变换规律，“左＋右－，上＋下－”，得到函数()12sin 2+=x x g ，令()0=x g ，得到x 的值，根据x 的取值集合，b 只需大于等于 10个点的横坐标即可.试题解析：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3=sin2ωx ﹣3cos2ωx=2sin （2ωx ﹣3π），由最小正周期为π，得ω=1，所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f ，由Zk k x k ∈+≤-≤-,223222πππππ，整理得kk x k ,12512ππππ+≤≤-Z ∈，所以函数f （x ）的单调增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ．（2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g （x ）=2sin2x+1，令g （x ）=0，得127ππ+=k x 或Z k k x ∈+=,1211ππ，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y=g （x ）在[0，b]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为125912114πππ=+．【考点】1.三角恒等变换；2.单价函数的性质；3.三角函数的图像变换.【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括ααα2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=，降幂后采用辅助角公式化简，()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中a b=ϕtan ，这样函数就可以化简为()ϕω+=x A y sin .24．已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围. 试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ，所以a c b -==1，所以()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,22t ，① 当01>-a 时，()()(]a a x f +-∈12,1，此时()2≤x f 恒成立，只需()212≤+-a a ，可得[)1,2-∈a ， ②当0-1=a 时，()1=x f ，此时满足条件， ③当0-1<a 时，()()[)1,12a a x f +-∈，此时()2≤x f 恒成立，只需()212-≥+-a a ，可得(]234,1+∈a综上，a 的取值范围是[]234,2-+. (2)可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f 由()()1=-+φx nf x mf ，可得()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，()()1cos sin 27sin cos 278=++-+X n X n m n m φφ要使上式对任意X 恒成立，则有()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==1611cos 0sin n m φφ 所以161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【考点】1.三角函数的性质；2.恒成立问题.。

2015-2016年福建省福州市高一(下)期末数学试卷(解析版)

）的图象（个单位个单位
）
B．向右平移 D．向右平移
11．（5 分）如图，点 P 是半径为 1 的半圆弧弧
上一点，若 AP 长度为 x，则直线 AP 与半圆）
所围成的面积 S 关于 x 的函数图象为（
A．
B．
C． 12．（5 分）将函数 f（x）＝3cos（
D． x）与 g（x）＝x﹣1 的所有交点从左往右依次记为 A1， + C．3 +…+ |＝（） D．5
A2，A3，…，An，若 O 为坐标原点，则| A．0 B．1
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分.、共 16 分. 13．（4 分）已知钝角 α 满足 sinα＝，则 α＝．
14．（4 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E 为边 AB 的中点，线段 AC 与 DE 交于点 P，则 tan∠在长度为一个周期的闭区间上的简图；（Ⅱ）写出 f（x）的对称中心以及单调递增区间；（Ⅲ）求 f（x）的最大值以及取得最大值时 x 的集合．
19．（12 分）已知函数 f（x）＝cos x﹣sin x+4 （Ⅰ）求 f（x）的周期；（Ⅱ）若 f（）＝，求 f（α+ ）的值．
22．（13 分）已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点 P 为 f（x）与 x 轴的交点，点 A，B 分别为 f（x）图象的最低点与最高点，（Ⅰ）求 ω 的值；（Ⅱ）若 x∈[﹣1，1]，求 f（x）的取值范围． • ＝| |．
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sin cos cosx．
20．（12 分）在△ABC 中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝60°，设 D 为△ABC 所在平面内一点，＝2 ．

2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案.doc

2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案一、选择题BCBBB CAACB CB二、填空题 13. 13 14. 231- 15. [1,1]- 16. 1[1,)2- 三、解答题17．解 (Ⅰ)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．…………2分又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．……………5分(Ⅱ)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ……………7分∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. ……………10分 18.解:( Ⅰ)设回归直线方程为ˆy =ˆbx+ˆa . ∵72i i 1x =∑=280,72i i 1y =∑=45 309,7i 1=∑x i y i =3 487,x =6,y =5597, ……………2分 ∴ˆb =5593487767280736-⨯⨯-⨯=13328=4.75, ……………4分 ˆa =5597-6×4.75≈51.36, ∴回归直线方程为ˆy =4.75x+51.36. ……………6分(Ⅱ)当x=20时,ˆy =4.75×20+51.36≈146.故某天的销售量为20件时,估计这天可获纯利大约为146元. ……………12分19.解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,第4组的频率为0.04×5=0.2,第5组的频率为0.02×5=0.1. ……………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. ……………5分因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为第3组:3060×6=3, 第4组:2060×6=2, 第5组:1060×6=1. 所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人. ……………7分(Ⅲ)设第3组的3位同学为A 1,A 2,A 3,第4组的2位同学为B 1,B 2,第5组的1位同学为C 1.则从六位同学中抽两位同学有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共15种可能. ……………9分其中第4组的2位同学为B 1,B 2至少有一位同学入选的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2).(A 3,B 1),(B 1,B 2),(A 3,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共9种可能.所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35.……………12分 20.解 (Ⅰ)如图所示建立直角坐标系，设角(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边，0OP 为终边的角,则.6πϕ=-……………2分OP 每秒钟内所转过的角为52.606ππ⨯=……………4分由OP 在时间()t s 内所转过的角为52().606t t ππ⨯= 由题意可知水轮逆时针转动，故所求的函数关系式为4sin() 2.66z t ππ=-+……………6分 (Ⅱ)令4sin()26,66z t ππ=-+=……………9分得sin()1,66t ππ-= ,4,662t t πππ-==令得故点p 第一次到达最高点大约需要4s . ……………12分 21．解：（Ⅰ）sin θ因为，θcos 为方程21204x bx -+=的两根，则有： 220(1)sin cos (2)21sin cos (382)b b θθθθ⋯⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⋯⎪⋯=⋯⋯⎪⎪⎩分由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，……………4分又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=……………6分（Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-因为……………8分且sin cos )04πθθθ-=->，sin cos 2θθ∴-=……………10分sin 1cos 1sin cos 21cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅=-+-.……………12分1cos(2)1cos 2322.:()()221[cos(2)cos 2]2313(2cos 2)222)23x x f x x x x x x πωωπωωωωπω+--=-=-+=+=+解Ⅰ………………………………………………………2分 2,(),0,,12f x ππωπωω>∴==由题意可知的最小正周期为且即())3()122f x x f ππ∴=+∴=………………………………………………………………………………5分 ()|()|1,()1()1f x m f x m f x -≤-≤≤+Ⅱ即min max 7[,0]|()|1,12()1()1,x f x m m f x m f x π∃∈--≤≥-≤+因为使得成立所以且 ………………………………………………………………………………7分max min 750,2126331sin(2)33)343(),()42x x x x f x f x ππππππ-≤≤-≤+≤-≤+≤≤+≤==-因为所以所以所以即 …………………………………………………………………10分7147[1,].24m m -≤≤--即的取值范围是 ………………………………………………………………………………12分。

2015-2016学年福建省福建师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( ) A ．35B ．45C ．35-D ．－45【答案】B 【解析】试题分析：()()()0553422<-==+-=k k k k k r ，而5454cos =--==k k r x α，故选B. 考点：三角函数的定义2.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( ) A ．23-B ．23C ．21-D ．21【答案】D 【解析】试题分析：原式等于()2130sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin 0000000==+=+，故选D. 考点：两角和与差的三角函数3.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =( )A ． 1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C考点：向量数量积4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y=sin （2x+2π） B ．y=cos （2x+2π） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx【答案】B考点：三角函数的性质5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y，且=3，则( )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=【答案】D 【解析】试题分析：()OP OA OB OP PA BP -=-⇔=33,整理为OP OB OA OP 34+=⇔+=所以43=x ，41=y ，故选D. 考点：平面向量基本定理6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) A ．725 B ．725- C ．15- D ．15【答案】B 【解析】试题分析：()53sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-αααπ，两边平方后得:()2518sin cos 2=+αα25182sin 1=+⇔α,解得2572sin -=α，故选B. 考点：三角函数恒等变形7.将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移4π个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y=2sin(2x+4π) B ．y=2sin(2x+3π) C ．y=2sin(2x –4π) D ．y=2sin(2x –3π)【答案】D考点：三角函数的变换【易错点睛】本题考查了三角函数的变换，属于基础题型，在三角函数的变换中，容易出错在两个地方，举例，①函数x y 2sin =向左平移6π个单位得到哪个函数，很多同学会写成⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y ，谨记“左+右－”指的是x ，所以应是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ，②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，很多同学会写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 6221sinππx x y ，谨记，横坐标伸长或缩短到原来的ω1倍，仅仅是x 前面的系数变了，与ϕ无关，所以应是⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y . 8.函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A考点：()ϕω+=x A y sin 的图像 9.()()01tan181tan 27++的值是( )A B ．1．2 D ．()002tan18tan 27+ 【答案】C 【解析】试题分析：根据公式()127tan 18tan 127tan 18tan 2718tan 000000=-+=+，所以000027tan 18tan 127tan 18tan -=+，原式等于227tan 18tan 27tan 18tan 10000=+++，故选C.考点：两角和的正切函数10.在ABC ∆+ABC ∆一定是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】C 【解析】-+BC BA BC BABC BA BC BA⋅-+=⋅++222222,化简为0=⋅BC BA ,即BC BA ⊥,角B 为直角，所以是直角三角形，故选C. 考点：向量数量积11.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】A考点：三角函数的图像和性质【方法点睛】本题考查了()ϕω+=x A y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>200πϕω，，A 的性质，本题考查了两个问题，一是如何求函数解析式，二是如何判断三角函数的性质，A 是振幅，一般根据函数的最值求解，ωπ2=T ,ω一般根据周期求解，ϕ一般根据“五点法”求解，而象本题给出三角函数后，如何判断所给区间是否具有单调性，首先由x 的区间，代入求ϕω+=x u 的区间，然后判断ϕω+=x u 是否落在u y sin =的单调区间内.12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 【答案】C考点：函数的性质【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察，属于中档题型，本题的难点是如何转化锐角三角形这个条件，即若是锐角三角形，需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<<<<22020πβαπβπα，这样βπα->2，这样根据函数的单调性，两边取三角函数，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛->，或是⎪⎭⎫⎝⎛-<βπα2cos cos βsin =，这个难点克服后，就容易想到根据函数的性质，转化为求函数()x f 在区间()1,0的单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上） 13.设向量a =(x ，x+1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】23- 【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得()0211=⨯++⨯x x ，解得32-=x ，故填：32-. 考点：向量数量积14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = .【答案】23-考点：向量共线的充要条件 15.已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=，则sin β的值为 . 【答案】6365【解析】试题分析：0-<<-αβπ，又因为()0135cos >=-αβ，所以02<-<-αβπ，()1312sin -=-αβ，因为43tan -=α，所以53sin =α，54cos -=α，而()[]()()6563131********sin cos cos sin sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=-+-=-+=αβααβααβαβ，故填：6563. 考点：三角函数恒等变形16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 .【答案】928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】试题分析：设t x =-6π，那么()8941sin 2sin sin 21sin 2cos sin 22sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t t t t t t f π，因为[]1,1sin -∈t ，所以当41sin =t 时，函数取得最大值89，当1sin -=t 时，函数取得最小值-2，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2，故填：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2. 考点：三角函数的性质17.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为 .【答案】81考点：向量数量积18.已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】(【解析】试题分析：如图，画出函数uy sin3=的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=611,65652πππxu，此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,3xf，当2π=x时，23-=y根据图像可得若有两个不同的实根，那么⎥⎦⎤⎝⎛-∈23,3m，故填：⎥⎦⎤⎝⎛23-3-，.考点：三角函数图像的应用【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题型，以复合函数的观点解决函数零点问题，首先设π652+=xu，并且求出u的取值范围，然后画出函数uy sin3=的图像，这问题转化为my=与三角函数图像交点的问题，通过图像很容易求出没有交点，一个交点，以及两个交点的m的取值范围问题，切记，最好不要画⎪⎭⎫⎝⎛+=π652sin3xy的图像，因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿失，一定画换元后的图像.19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x，ωϕωϕ=>≤=-为()f x的零点，π4x=为()y f x=图像的对称轴，且()f x在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 .【答案】9考点：三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kT T +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值. 三、解答题（本大题共5小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 20.（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【答案】（1）127-；（2）6；（3）126.∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．考点：向量数量积【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1）θcos b a b a=⋅，（2）ba b a⋅=θcos ，（3）22a a =，以及()2ba b a +=+，（4）0=⋅⇔⊥b a b a ，（5）投影公式：向量a在b 方向上的投影为θcos a 或是bb a ⋅，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练运用公式避免计算错误.21.（本题满分16分）（1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．【答案】（1）41；（2）7528.∴．原式==，由以上知cosx﹣sinx≠0，考点：三角函数的恒等变形求值22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M，N分别在边AB，AD上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN的周长为2千米，请探究∠MCN是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．【解析】试题分析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，若MCN ∠为定值，那么βα+为定值，即()βα+tan 为定值，根据所设条件，得到()βα+tan ()xyy x y x -++-=2，因为AMN ∆的周长等于222=+++y x y x ，将此式进行化简为()y x y x +-=+222，两边平方得到()22-+=y x xy ，代入正切公式得到定值.试题解析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）=()()()xyy x y x y x y x -++-=----+-=-+211111tan tan 1tan tan βαβα，（5分） △AMN 的周长为2千米，所以222=+++y x y x ，化简得()22-+=y x xy ，代入（*）式，可得tan （α+β）=()()()[]()()1222222=+-+-=-+-++-=-++-y x y x y x y x y x xy y x y x ，由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=4π，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．﹣﹣﹣（10分）考点：三角函数的实际应用 23.（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g（x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ；（2）1259π.试题解析：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3=sin2ωx ﹣3cos2ωx=2sin （2ωx ﹣3π），由最小正周期为π，得ω=1，所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f ，由Z k k x k ∈+≤-≤-,223222πππππ，整理得k k x k ,12512ππππ+≤≤-Z ∈，[KS5UKS5U] 所以函数f （x ）的单调增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ．【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括ααα2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=，降幂后采用辅助角公式化简，()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中ab=ϕtan ，这样函数就可以化简为()ϕω+=x A y sin .24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围.试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ，所以a c b -==1，所以()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,22t ，(2)可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f 由()()1=-+φx nf x mf ，可得()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，考点：1.三角函数的性质；2.恒成立问题.。

2016年福建省福州市仓山区城门中学高一下学期期末数学试卷与解析答案

2015-2016学年福建省福州市仓山区城门中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知向量，，则=（）A．B． C．D．2．（5分）已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．3．（5分）设tanα=3，则=（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．（5分）在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）5．（5分）从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数不都是奇数的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．257．（5分）实数a，b均为正数，且a+b=2，则+的最小值为（）A．3 B．3+2C．4 D．+8．（5分）为了解某校身高在1.60m～1.78m的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图所示频率直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m，身高在1.66m～1.74m的学生数为n，则m，n的值分别为（）A．0.27，78 B．0.27，83 C．0.81，78 D．0.09，839．（5分）若执行如图所示的程序框图，当输入n=1，m=5，则输出p的值为（）A．﹣4 B．1 C．2 D．510．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定11．（5分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为S n，则满足不等式|S n﹣n﹣6|＜的最小整数n是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（+），则在方向上的投影．14．（5分）已知α、β为锐角，且=（sinα，cosβ），=（cosα，sinβ），当∥时，α+β=．15．（5分）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在△ABC的三个顶点处，则A处安装红灯的概率为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且点P（a n，a n+1）（n∈N+）在直线x﹣y+1=0上，则+++…+=．三、解答题（本题包括6小题，17小题10分，其余各题每小题10分，共70分．）17．（10分）已知||=1，||=4，且向量与不共线．（1）若与的夹角为60°，求（2﹣）•（+）；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．18．（12分）如图，在▱ABCD中，=，=，=，=．（1）用，表示；（2）若||=1，||=4，∠DAB=60°，分别求||和•的值．19．（12分）设数列是{a n}公差大于0的等差数列，a1=2，a3=a22﹣10．（1）求{a n}的通项公式；（2）{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．20．（12分）如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？21．（12分）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=bx+a；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．22．（12分）已知数列{a n}满足如下所示的程序框图，（1）写出数列{a n}的一个递推公关系；（2）证明：{a n﹣3a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式+1（3）求数列的前n项和T n．2015-2016学年福建省福州市仓山区城门中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知向量，，则=（）A．B． C．D．【解答】解：∵向量，，∴=+=（3﹣2，7+3）=（1，10），∴﹣=（﹣，﹣5）．故选：C．2．（5分）已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵已知，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣．故选：A．3．（5分）设tanα=3，则=（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵tanα=3，∴原式====2．故选：B．4．（5分）在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）【解答】解：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是（2）和（3）故选：D．5．（5分）从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数不都是奇数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，∴基本事件总数n==6，两个数不都是奇数的对立事件是两个数都是奇数，∴两个数不都是奇数的概率是：p=1﹣=．故选：B．6．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选：A．7．（5分）实数a，b均为正数，且a+b=2，则+的最小值为（）A．3 B．3+2C．4 D．+【解答】解：∵a+b=2，∴+=（+）（a+b）=（1+++2）=（++3），∵+≥2，当=，即a=2﹣2时，等号成立，∴+的最小值为+故选：D．8．（5分）为了解某校身高在1.60m～1.78m的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图所示频率直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m，身高在1.66m～1.74m的学生数为n，则m，n的值分别为（）A．0.27，78 B．0.27，83 C．0.81，78 D．0.09，83【解答】解：由题意知：身高在（1.60，1.62]的学生人数为100×0.01=1人，身高在（1.62，1.64]的学生人数为100×0.03=3人，身高在（1.64，1.66]的学生人数为3×3=9人，身高在（1.66，1.68]的学生人数为9×3=27人，后6组的频数成等差数列，则这个等差数列的首项为27，设公差为d，则6×27+15d=87，解得d=﹣5，∴身高在（1.68，1.70]的学生人数为27﹣5=22人，身高在（1.70，1.72]的学生人数为22﹣5=17人，身高在（1.72，1.74]的学生人数为17﹣5=12人，∴m=，n=27+22+17+12=78．故选：A．9．（5分）若执行如图所示的程序框图，当输入n=1，m=5，则输出p的值为（）A．﹣4 B．1 C．2 D．5【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；m=5，n=1，k=1，p=1，p=1×（1﹣5+1）+1=﹣2；1＜5，是，k=2，p=﹣2×（1﹣5+2）+1=5；2＜5，是，k=3，p=5×（1﹣5+3）+1=﹣4；3＜5，是，k=4，p=﹣4×（1﹣5+4）+1=1；4＜5，是，k=5，p=1×（1﹣5+5）+1=2；5＜5，否，输出p=2．故选：C．10．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选：A．11．（5分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，故选：B．12．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为S n，则满足不等式|S n﹣n﹣6|＜的最小整数n是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：对3a n+a n=4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n﹣1）+1即：故可以分析得到数列b n=a n﹣1为首项为8公比为的等比数列．所以b n=a n﹣1=8×a n=8×+1=b n+1所以==|S n﹣n﹣6|=＜解得最小的正整数n=7故选：C．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（+），则在方向上的投影﹣3．【解答】解：设向量，的夹角为θ，则由||=3，||=2，且⊥（+），可得•（+）=+•=9+3×2×cosθ=0，求得cosθ=﹣．故在方向上的投影为||cosθ=2×（﹣）=﹣3，故答案为：﹣3．14．（5分）已知α、β为锐角，且=（sinα，cosβ），=（cosα，sinβ），当∥时，α+β=．【解答】解∵∥，=（sinα，cosβ），=（cosα，sinβ），∴sinαsinβ﹣cosαcosβ=0，即cos（α+β）=0．∵0＜α+β＜π．∴α+β=．故答案为：．15．（5分）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在△ABC的三个顶点处，则A处安装红灯的概率为．【解答】解：红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在△ABC的三个顶点处共有A43=24种，A处安装红灯共有A32=6种，故A处安装红灯的概率P==．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且点P（a n，a n+1）（n∈N+）在直线x﹣y+1=0上，则+++…+=．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且点P（a n，a n+1）（n∈N+）在直线x﹣y+1=0上，a n﹣a n+1+1=0，∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n=n+×1=，∴==，∴+++…+=1﹣=1﹣=．故答案为：．三、解答题（本题包括6小题，17小题10分，其余各题每小题10分，共70分．）17．（10分）已知||=1，||=4，且向量与不共线．（1）若与的夹角为60°，求（2﹣）•（+）；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．【解答】解：（1）||=1，||=4，与的夹角为60°，即有•=1×4×=2，（2﹣）•（+）=22﹣2+•=2×1﹣16+2=﹣12；（2）由于（k+）⊥（k﹣），则（k+）•（k﹣）=0，即有k22﹣2=0，则k2﹣16=0，解得k=±4．18．（12分）如图，在▱ABCD中，=，=，=，=．（1）用，表示；（2）若||=1，||=4，∠DAB=60°，分别求||和•的值．【解答】解：（1）如图，==；（2）∵||=1，||=4，∠DAB=60°，∴===．∴||=；•====．19．（12分）设数列是{a n}公差大于0的等差数列，a1=2，a3=a22﹣10．（1）求{a n}的通项公式；（2）{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵数列是{a n}公差大于0的等差数列，a1=2，a3=a22﹣10，∴1+2d=（1+d）2﹣10，解得d=，或d=﹣（舍）∴=．（2）∵{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴数列{a n+b n}的前n项和：S n=[2n+]+=2n++2n﹣1．20．（12分）如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？【解答】解：设池塘的长为x米时，占地总面积为S，则池塘的宽为：（米），；即：，∴当=6x即x2=20000，∴x=100米时，y==50米时，每个池塘的面积取得最小值为S min=2+20036=1200+20036；答：每个池塘的长为米，宽为米时，占地总面积最小．21．（12分）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=bx+a；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．【解答】解：（I）根据所给的表格可知，用年份减去2006，得到﹣4，﹣2，0，2，4需求量都减去257，得到﹣21，﹣11，0，19，29，这样对应的年份和需求量之间是一个线性关系，=0，=3.2b==6.5．a=3.2﹣0×6.5=3.2，∴线性回归方程是﹣257=6.5（﹣2006）+3.2即y=6.5x﹣12778.8（II）当x=2012时，y=6.5（2012﹣2006）+260.2=299.2，即预测该地2012年的粮食需求量是299.2（万吨）22．（12分）已知数列{a n}满足如下所示的程序框图，（1）写出数列{a n}的一个递推公关系；（2）证明：{a n+1﹣3a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式（3）求数列的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图可知，数列{an}的一个递推关系式a1=1，a2=1，a n+2=5a n+1﹣6a n．（Ⅱ）数列{a n}的一个递推关系式，a n+2=5a n+1﹣6a n；则a n+2﹣3a n+1=2（a n+1﹣3a n），且a2﹣3a1=﹣2∴数列{a n﹣3a n}是以﹣2为首项，2为公比的等比数列+1﹣3a n=﹣2 n（III）由（II）有a n+1∴∴=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）（n≥2）=﹣×﹣×﹣×=﹣∴a n=2n﹣3n﹣1（n≥2）当n=1时，也满足上式，故a n=2n﹣3n﹣1前n项和S n=（2+22+23+…+2n）﹣（1+3+32+…+3n﹣1）=．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2015-2016学年福建省福州市第八中学高一下学期期末考试数学试题

福州八中2015—2016学年第二学期期末考试高一数学必修4考试时间：120分钟试卷满分：150分2016.7.5第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．已知,135sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值是Ａ．125- Ｂ．512- Ｃ．125 Ｄ．5122. 一个半径为R 的圆中,60的圆心角所对的弧长为A. 60RB.R 6πC.R 31D.3πR3. 已知||3a =，b 在a 方向上的投影为32，则a b ⋅=A ．3B ．92C ．2D ．124．已知向量a ，b ，c 满足|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于A ．30°B ．60°C ．120°D ．90° 5. 函数()cos 22s i n f x x x =+的最小值和最大值分别为A. 3,1-B.2,2-C. 33,2- D. 32,2-6．要将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像转化为某一个偶函数图像，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像 A ．向左平移π4个单位 B ．向左平移π8个单位C ．向右平移π4个单位D ．向右平移π8个单位7. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于..2.3.4AOM B OM C OMD OM8．关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 计算：=π619sin____________ 10. 在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，3=BC ，则AC=___ _ 11. 设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是12．tan70°+tan50°－3tan70°tan50°的值等于三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．（本小题满分10分）已知非零向量,满足1=,且43)()(=+⋅-.(1)求; (2)当41-=⋅时,求向量a 与b a 2+的夹角θ的值.14. （本小题满分10分）已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值；（2）若sin()102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．15. （本小题满分10分）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C所对的边分别为a b c 、、且tan )1tan tan A B A B -=+⋅.（1）求A-B 的大小；（2）已知63B ππ<<，向量(s i n ,c os )m A A =，(cos ,sin )n B B =，求32m n -的取值范围.16．（本小题满分10分）设函数f(x)＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m)． (1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，－4<f(x)<4恒成立，求实数m 的取值范围．第Ⅱ卷四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17．cos 5πcos 52π的值等于A ．41 B ．21C ．2D ．418.在△ABC 中，①若B=60 ，a=10，b=7，则该三角形有且有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120 ；③若△ABC 为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x ．则x 的取值范围是135<<x ．其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.319．已知BC 是单位圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的点，且BF →＝2FA →，若DE是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则 FD →·FE →的值是A ．－34B ．－14C ．－89 D ．不确定 20．已知()sin(2015)cos(2015)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ,使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为A ．2015πB ．22015πC ．42015πD ．4030π五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为_______22．已知α，β∈(0，π4)，tan α21－tan 2α2＝14，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β＝_____ 六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 23．（本小题满分13分）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),(23,1)m x x n x x p ===，且c o s 0x ≠. （Ⅰ）若//m p ，求m n ⋅的值；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2B bC a c=-+，且()f x m n =⋅，求函数()f A 的值域.24. （本小题满分13分）岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如下图所示)，观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时海里的速度前往拦截.（1）问：海监船接到通知时，距离岛A 多少海里？（2）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间.福州八中2015—2016学年第二学期期末考试高一数学必修4 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 ADBC CBDD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 9. 21-10. 2 11. ),2()2,21(+∞⋃- 12. －3三、解答题：本大题共有4个小题，共40分 13．（本小题满分10分）解: (1) 因为43)()(=+⋅-,即4322=-, …………2分所以21,4143==-= …………5分(2) 因为1,11114)2(2=+=+-=+⋅+=+=+……7分又因为 212112)2(=-=⋅+=+⋅……8分所以21c o s ==θ，………9分又01800≤≤θ所以060=θ…………10分14. （本小题满分10分）解：（1）∵与互相垂直，则0c o s 2si n =-=⋅θθ，即θθcos 2s i n =，…2分代入1c o s si n 22=+θθ得55cos ,552sin ±=±=θθ，…………4分又(0,)2πθ∈，∴55cos ,552sin ==θθ.…………5分（2）∵20πϕ<<，20πθ<<，∴22πϕθπ<-<-，……………6分则10103)(sin 1)cos(2=--=-ϕθϕθ，…………8分∴cos ϕ22)sin(sin )cos(cos )](cos[=-+-=--=ϕθθϕθθϕθθ. ………10分15. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵tan )1tan tan A B A B -=+⋅，又△ABC 为锐角三角形∴tan tan 1tan tan A B A B -=+⋅ ∴tan()A B -= ………2分 ∵0,022A B ππ<<<<（Ⅱ）22329m n m -= 1312s i n ()1312s i n (2)6A B B π=-+=-+…………6分 ∵63B ππ<< ∴52266B πππ<+< ∴1sin(2)(,1)62B π+∈………8分 ∴232(1,7)m n -∈……………9分 ∴32m n -的取值范围是)……………10分16．（本小题满分10分）解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1. …………2分∴函数f(x)的最小正周期T ＝π，……………3分在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3，π]．…………5分(2)∵ 当x ∈[0，π6]时，f(x)单调递增，∴当x ＝π6时，f(x)的最大值等于m ＋3. …6分当x ＝0时，f(x)的最小值等于m ＋2. …………7分由题设知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3<4m ＋2>－4，…………9分解得，－6<m<1. …………10分第Ⅱ卷四、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 17-20 ACCB五、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分21. 3 22. π4六、解答题: 本大题共有2个小题，共26分 23．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若//m p ，得s i n 2co s x x =⇒=， ……2分因为c o s 0x ≠，所以t a n 2x =， …………3分所以2313s i n co s co s m n x x x ⋅=+…………5分（Ⅱ）ABC ∆中，c o s s i n c o s 22s i n s i nB b BC a c A C =-=-++……………6分 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=-2sin cos (cos sin sin cos )sin()sin A B B C B C B C A ⇒=-+=-+=-………8分又sin 0A >得：1c o s 2B =-，因为0B π<<，所以2=3B π. ………9分则03A π<<.又1cos21()cos cos cos sin(2)262x f x x x x x x π+=+=+=++11分所以1()s i n (2)(0)623f A A A ππ=++<<因为(0,)3A π∈，所以52(,)666A πππ+∈，所以1s i n (2)(,1]62A π+∈，………12分所以3()(1,]2f A ∈，即函数()f A 的值域为3(1,]2. ………13分 24. （本小题满分13分）高一数学期末考答案第2页共2页。

福建省福州市高一数学下学期期末考试试题

2016—2017学年第二学期期末考试高一数学考试时间：120分钟试卷满分：150分2017.7.12Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1. 化简cos 15°cos 45°－co s 75°sin 45°的值为A.12B.32C ．－12D ．－322.设a n =211111123n n n n n++++++++（n ∈N *），则a 3=A .13 B.11113456+++ C.19D.111349+++3.若AD 是△ABC 的中线，已知=，，则等于A .1()2a b - B.1()2a b + C.1()2a b -+ D. 1()2a b -+ 4. 若递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A.2B.12C.2或12D.无法确定5.若将函数f （x ）=2sinxcosx -2sin 2x +1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最大负值是A .－8πB.－58πC.－38πD.－34π 6.已知12(2,1),(1,3),(1,2),e e a ===-若1122a e e λλ=+，则实数对（λ1，λ2）为 A.（1，1） B.（-1，1） C.（-1，-1） D.无数对7.在△ABC 中，2cos ab C=，则这个三角形一定是 A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角D.等腰或直角三角形8.已知α为锐角，且3cos(),cos245παα+==A.2425B.725C. －2425D.±24259. 已知x =12π是函数f （x ）（2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f （x ）的图象向右平移34π个单位后得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）在[－4π，6π]上的最小值为 A.－2B.－1C.D.10.平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知（(2)()0DB DC AD AB AC ++⋅-=，则△ABC的形状是 A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.无法确定二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）11.已知tan （α+β）=3，tan （α-β）=2，则tan2α的值为 ______ ． 12. 如图，一栋建筑物的高为(30－)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.13.已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a =，CA b =，给出下列命题：①12AD a b =-； ②12BE a b =+； ③1122CF a b =-+，④0AD BE CF ++=＝0. 其中正确命题的序号为________． 14.数列{a n }中，11,213nn na a a a +==+，则 a 10= ______ ．三、解答题：（本大题3个小题，共30分）15.（本小题10分）已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3．求：（Ⅰ）•；（Ⅱ）|+2|．16. （本小题10分）已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5 = －5．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求a 1+a 4+a 7+…+a 3n +1．17. （本小题10分）在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且BD=2，sinB=8．（Ⅰ）求sin ∠BAD 的值；（Ⅱ）求AC 的长．Ⅱ卷一、选择题：（本大题2个小题，每小题5分，共10分）18. 将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 01119. 已知向量满足，若M 为AB 的中点，并且，则λ+μ的最大值是A.1-B. 1D. 1+ 二、填空题：（本大题5分）20.给出四个命题：①若sin 2A=sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A=cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；④若cos （A-B ）cos （B-C ）cos （C-A ）=1，则△ABC 为正三角形，以上正确命题序号的是_____________________．三、解答题：（本大题3 个小题，共35分）21. （本小题11分）已知等差数列{a n }中公差d ≠0，有a 1+a 4=14，且a 1，a 2，a 7成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式a n 与前n 项和公式S n ；（Ⅱ）令b n =nS n k + (k<0)，若{b n }是等差数列，求数列{11n n b b +}的前n 项和T n ．22. （本小题12分）已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足asin A-csin C=b(sinA－sin B ）．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若边长c=4，求△ABC 的周长最大值．23. （本小题12分）已知=（sinx ，cosx ），=（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数f （x ）=•且f （3π－x ）=f （x ）．（Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cos x 在x ∈[0，4π]上恒成立，求实数a 的取值范围．高一数学必修4 试卷参考答案及评分标准Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. A2. D3. A4. A5. A6. B7.A8. A9. B 10. C 二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）11.－1 12. 60 13.②③④ 14.三、解答题：（本大题3个小题，共30分）15. （本小题10分）【解析】：（Ⅰ）•=…………2分； ……5分（Ⅱ）|+|2==13，…………9分所以，|+|=．…………10分16. （本小题10分）【解析】：（Ⅰ）由等差数列的性质，可得，………………………2分解得a1=1，d=-1，……4分则{a n}的通项公式a n=1-（n-1）=2-n；…………………………5分（Ⅱ）∵{a n}为等差数列，∴a1+a4+a7+…+a3n+1以1为首项，以-3为公差的等差数列，…………8分∴a1+a4+a7+…+a3n+1=n+1+=…………10分17.（本小题10分）【解析】：（1）在△ABD中，BD=2，sin B=，AD=3，∴由正弦定理=，得sin∠BAD═==；……4分（2）∵sin B=，∴cos B=，…………5分∵sin∠BAD=，∴cos∠BAD=，………………6分∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=×-×=－，………………7分∵D为BC中点，∴DC=BD=2，∴在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2-2AD•DC cos∠ADC=9+4+3=16，…9分∴AC=4．…………10分Ⅱ卷一、选择题：（本大题2个小题，每小题5分，共10分）18.D 19. B二、填空题：（本大题5分）20.③④三、解答题：（本大题3 个小题，共35分）21.（本小题11分）【解析】：（Ⅰ）∵a1+a4=14，∴2a1+3d=14，①………………1分∵a1，a2，a7成等比数列，∴，即，②……………………2分由①②得d2=4a1d，∵d≠0，∴d=4a1，代入①解得d=4、a1=1，………………3分∴a n=a1+（n-1）d=4n-3，……………………4分S n==2n2-n；………………5分（Ⅱ）由（1）知，∵{b n}是为等差数列，∴2b2=b1+b3，即=，解得，或k=0，由条件知，，即b n=2n，………………7分则…………………………8分∴=……………………………………10分所以，T n=……………………………………………………11分22.（本小题10分）【解析】：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理，asin A-csin C=（a-b）sin B 得，a2-c2= b（a-b），即a2+b2-c2=ab．………………2分由余弦定理得cos C==．又C∈（0，π）．所以C=．……………………5分（Ⅱ）∵C=，，A+B=，………………6分∴，可得：a=sin A，b=sin B=sin（－A），………………8分∴a+b+c=+sin A+sin（－A）=+sin A+（cos A+sin A）=8sin（A+）+4……………………10分∵由0＜A＜可知，＜A+＜，可得：＜sin（A+）≤1．……11分∴△ABC的周长a+b+c的最大值为12．……………………12分23.（本小题12分）【解析】：（Ⅰ）∵f（x）=•=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），…2分再由f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，∴+φ=+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=…………4分∴f（x）=sin（x+），由2kπ-≤ x+≤2kπ+可得2kπ-≤x≤ 2kπ+，∴函数的递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z； (6)分（Ⅱ）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立．也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，]上恒成立. …………8分令h（x）=sinx-cosx=sin（x-），x∈[0，]；φ（x）= ax-1 ………………10分如下图：h（x）的图象在φ（x）图象的下方，则：a ≥k AB==，故a ≥.………………12分。

仓山区高一数学下学期期末考试试题(2021学年)

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2016—2０1７学年下学期期末考试卷高一数学时间:１2０分钟满分:1５0分命题:高一集备组一、选择题(每小题5分，共6５分;在给出的A,B ，C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 角θ的终边与单位圆交于1(,)2P y ,则sin θ=（ )（A) 3 （Ｂ)3± （C)32（D ）32±2。

已知三角形的角,,A B C 的三边为,,a b c ,满足以下条件的三角形的解个数为1的是（）Ａ。

22,25,120a b A === B 。

9,10,30a c A === Ｃ。

06,8,60a b A === D 。

011,6,45a b A === 3。

若a ＝(２,１）,b =（3,4)，则向量b 在向量a 方向上的投影为( ）A.52ﻩﻩB.２ﻩＣ。

5 D 。

104.如图，已知3,AB a AC b BD DC a b ===，　，用、　表示AD ,则AD 等于( )Ａ.34a b + B ． 3144a b +C.1144a b +D. 1344a b + 5.0000tan 21tan 24tan 21tan 24++=（）(A) 1 (B) ２（C) 4 (Ｄ) ８6。

若O 为ABC ∆平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=,则ABC ∆形状为（ )Ａ．钝角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D 。