2.4正态分布(PPT)

至50分钟到达目的地的概率为0.9544-0.6826=0.2718,由正态
曲线关于直线x=30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的
概率为0.1359.
【解题探究】1.题(1)中正态分布的概率密度函数关于哪条直 线对称?a和4-a的平均数是多少? 2.题(2)中μ,σ的值分别为多少? 【探究提示】1.关于直线x=2对称.a和4-a的平均数是2. 2.μ=1,σ=2.
u=1
σ=0.5
σ=1
2 3.随机变量X服从正态分布 N (, ) ,
则P(X<a)=
S
阴影部分
(ˇˍˇ) ：这里的参数μ，σ的意义是什么？ 提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，即
2 若X˜N (, ) ，则E(X)= μ。参数σ是衡量随机变量总体波动
大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。
1 P(174-6<X≤174+6) 2
1 ·0.9544 =0.4772. 2
400 х0.4772≈191（人）
(3)已知X～N(1,22),求P(3<X≤5)的值. 因为P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1), 所以P(3<X≤5) = [P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)]
=
=
[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)]
2.4 正态分布
u , (x)
1 e 2 ( x ) 2 22
KETANG HEZUO TALeabharlann BaiduJIU
问题归类：
1.正态密度曲线函数中参数 , 的意义；
2.正态曲线的性质4、5、6的理解； 3.如何利用正态分布求正态变量的概率？
1.正态曲线
u , (x)
1 e 2
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)： (1)函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方 差. ( × )
(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变 化而变化的. (× ) (√ )
(3)正态曲线可以关于y轴对称.
2.填一填：
(1)已知正态分布密度函数为f(x)=
【方法技巧】正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ-σ,μ+σ),(μ2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)这三个区间进行转化,然后利用 上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依然会用到化归思 想及数形结合思想.
【补偿训练】某人乘车从A地到B地,所需时间X(分钟)服从正态 分布N(30,100),求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率. 【解析】由μ=30,σ=10,P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826知此人在 20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.6826,又由于P(μ2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,所以此人在10分钟至20分钟或40分钟
【解析】(1)对照正态分布密度函数f(x)= (-≦,+≦), 可得μ=0,σ= 2 . 答案：0
2
1 e 2
2 x
2 2
,x∈
2 (2)可知N(μ1， ),N(μ2， )的密度曲线分别关于直线 1 2 2
x=μ1,x=μ2对称，因此结合所给图象知μ1＜μ2，且N(μ1，
u , (x)
2.正态密度曲线的性质:
1 e 2
( x ) 22
2
y =φμ,σ(x)
上方 与x轴不相交. ①曲线位于x轴_____, x=μ对称. ②曲线是单峰的,它关于直线_____
1 2 ③曲线在x=μ处达到峰值______.
1 ④曲线与x轴之间的面积为__.
σ=1 （5）当σ一定时,曲线的位置 μ μ 由 确定,曲线随着 的变 化而沿x轴平移。 （6）当μ一定时，曲线的形状 σ 由 确定 . σ越小，曲线越“瘦高 ”，表示 σ=2 总体的分布越集中； σ越大，曲线越“ 矮胖 ”，表示 总体的分布越分散.
4.正态变量在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
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( x ) 2 22
u , (x)
2.正态密度曲线的性质:
1 e 2
( x ) 22
2
y =φμ,σ(x)
上方 ①曲线位于x轴_____,与x轴不相交. x=μ对称. ②曲线是单峰的,它关于直线_____
1 2 ③曲线在x=μ处达到峰值______.
1 ④曲线与x轴之间的面积为__.
和7.5mm,则可认为
(C
)
A.上、下午生产情况均为正常
B.上、下午生产情况均为异常
C.上午生产情况正常,下午生产情况异常
D.上午生产情况异常,下午生产情况正常
（2）据调查统计，某校高二学生中男生的身高X(单位：cm) 服从正态分布N(174,9)，若该校共有高二男生400人，试计算 该校高二男生身高在(174,180]范围内的人数. 解：因为X～N(174,32),所以μ=174,σ=3. P(174<X≤180) = =
问题归类：
1.正态密度曲线函数中参数 , 的意义；
2.正态曲线的性质4、5、6的理解； 3.如何利用正态分布求正态变量的概率？
1. 正态曲线
f ( x) 1 e 2
( x )2 2 2
x (,)
y
2.正态分布 3.正态曲线的性质
(1)非负性 (4)最值性 (2)定值性 (5)几何性. (3)对称性
【解析】由已知可设X～N(50,102),Y～N(60,42).
由正态分布的2σ区间性质 P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.
根据上述性质得到如下结果:
对X:μ=50，σ=10, 2σ区间为(30,70), 对Y:μ=60，σ=4, 2σ区间为(52,68),
要尽量保证用时在X∈ (30,70),Y ∈(52,68)才能保证有95%以 上的概率准时到达.
【延伸探究】条件不变的情况下,试求P(X≥5).
【解析】因为P(X≥5)=P(X≤-3),
1 所以P(X≥5)= 2 [1-P(-3<X≤5)] 1 = 2 [1-P(1-4<X≤1+4)] 1 = 2[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)] 1 = (1-0.9544)=0.0228. 2
y
x
-1 1 3 5
学生学习时问题截屏的呈现 教师归类后的问题呈现
【解析】(1)错误.参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特 征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大 小的特征数,可以用样本的标准差去估计. (2)错误.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是定值1. (3)正确.当μ=0时,正态曲线关于y轴对称. 答案:(1)× (2)× (3)√
o x
4.正态分布的简单应用
《课时作业》P117-118
谢谢大家！ 再见！
频率 组距
样本容量增大时 频率分布直方图
y
各小长方形的面积为各组的频率 全部直方图的面积等于1
0 返回
x
【类题训练】
1．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于( D ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 5 4 2 3 2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4) ＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( C ) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
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3.（2)已知X～N(1,22),求P(-1<X≤3)的值。 y 解：因为X～N(1,22),所以μ=1,σ=2. P(-1<X≤3) = P(1-2<X≤1+2) = P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.6826.
-1 1 3
x
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(1)时间只有70分钟可用,应该走第二条路线. (2)时间只有65分钟可用,两种方案都能保证有95%以上的概率 准时到达,但是走市区平均用时比路线二少了 10分钟,应该走第 一条路线.
知识应用：
(1)某厂生产的零件外直径ξ～N(8.0,0.152)(mm),今从该厂上、 下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm
返回
变式训练
在武汉从汉口乘公共汽车前往武昌高铁站有两条路线可走, 第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为 分)服从正态分布N(50,102); 第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间
服从正态分布N(60,42).
(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线?
(2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线?
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【解题思路归纳】
求正态变量 X 在某区间内取值的概率的基本方法: (1)根据题目中给出的条件确定 μ,σ 的值; (2)将待求问题向(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]这三个区间进 行转化; (3)利用上述区间求出相应的概率.
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3.（3）在某次数学考试中，考生的成绩

服从一个正态分布，
即 ~N(90,225).
（1）试求考试成绩

位于区间(75,120)上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在120分以上的
考生大约有多少人？
x
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[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)]
=
(0.9544-0.6826)=0.1359.
(2)某糖厂用自动打包机打包,每包质量X(kg)服从正态分布 N(100,1.22).一公司从该糖厂进货1500包,试估计质量在下列 范围内的糖包数量. ①(100-1.2,100+1.2). ②(100-3×1.2,100+3×1.2).
(2)由正态分布N(100,1.22),知 P(100-1.2<X≤100+1.2)=0.6826, P(100-3×1.2<X≤100+3×1.2)=0.9974. 所以①糖包质量在(100-1.2,100+1.2)内的包数为 1500×0.6826≈1024. ②糖包质量在(100-3×1.2,100+3×1.2)内的包数为 1500×0.9974≈1496.
1 e 2
x2 4
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,x∈(-∞,+∞),则该
2 .
正态分布的均值为
0
,标准差为
2 )(σ >0)和N(μ , 2 )(σ >0)的 (2)设两个正态分布N(μ1,1 1 2 2 2
密度函数图象如图所示,则有μ1
<
μ2, σ1
<
σ2.
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则P(a≤x<4-a)= 0.36
.
4-a
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【解题思路归纳】
充分利用正态曲线的对称性及面积为 1 的性质求解. (1)熟记正态曲线关于直线 x=μ 对称,从而在关于 x=μ 对称的区间 上概率相等. (2)P(X<a)=1-P(X≥a); P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
【解题探究】1.题(1)中判断上、下午生产情况是否正常的依 据是什么? 2.题中如何估计质量在所求范围内的糖包数量 ? 【探究提示】1.依据是3σ原则,即某产品的外径是否落在区间 (7.55,8.45)内. 2.先依据正态分布求所在区间对应的概率 ,再计算所求范围内 的糖包数量.
【自主解答】(1)选C.因为零件外直径ξ～N(8.0,0.152), 根据3σ原则,所以在8+3×0.15=8.45(mm)与8-3×0.15 =7.55(mm)之外时为异常.因为上、下午生产的零件中各随机取 出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,7.5<7.55,所以下 午生产的产品异常,故选C.
(3)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0). 若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率 为 0.8 . ξ在(2, +∞)内取值的概率为 0.1 。
3.做一做： （1）已知随机变量X～N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,
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