九年级数学下册 专训1 圆的基本性质同步练习 (新版)沪科版
九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.4圆的基本性质同步检测新版沪科版
24.2.4圆的基本性质同步检测一、选择题：1.下列条件,可以画出圆的是( ).A.已知圆心B.已知半径C.已知不在同一直线上的三点D.已知直径2.三角形的外心是( ).A.三条中线的交点B.三条边的中垂线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点 13.和l，那么它的外接圆的直径是（ ).A.1B.2C.3D.44.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( ).A.1个或3个B.3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个5.用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”这一命题时,假设后得到的结论和下面结果矛盾的是( ).A.同位角相等,两直线平行B.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C.内错角相等,两直线平行D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行6.下列说法中正确的个数有( ).①直径不是弦；②三点确定一个圆；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）C. D.二、填空题：8.边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆完全覆盖,则r的最小值是_______cm.9. 图24-2-41,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.10.用反证法证明∠A ︒<90时应先假设 ，即 或 .11.△ABC 的三边为,则其外接圆的直径为_____.12.一个三角形的外心在三角形的外部,这个三角形是_____三角形.三、解答题：13.要将如图24-2-42所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).14.设线段AB=4cm,作图说明:到点A 的距离大于3cm,且到点B 的距离小于2cm 的所有点组成的图形.15.计算机把数据存储在磁盘上，磁盘上有一些同心圆转道．如图24-2-43，现有一张半径为45毫米的磁盘，磁盘的最内磁道半径为r 毫米，磁盘的最外圆周不是磁道，磁道上各磁道之间的宽度必须不小于0.3毫米，这张磁盘最多有 ______条磁道．参考答案:1.C.2.B.提示:由于三角形的外心到三个顶点的距离相等,这点是中垂线的交点.3.B.提示:直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点.4.D.提示:最少可以确定一个圆,四个点三个点一组,可以分成四组,最多确定四个圆.5.B.提示:假设两直线相交,则经过一点有两条直线与已知直线垂直,与垂线的性质矛盾. 图24-2-41图24-2-43 图24-2-42 BA6.A.提示:③正确.7.A.提示:边长为2·cos30°..提示:求出正三角形的外接圆的半径即可.9.两.提示:利用不在同一直线上的三点确定一个圆解决.10.∠A≥90°,∠A＞90°,∠A=90°..由题意,△ABC为直角三角形,外接圆的直径等于斜边.12.钝角.13.(1)在残圆上任取三点A、B、C; (2)分别作弦AB、AC的垂直平分线, 则这两垂直平分线的交点即是所求的圆心;(3)连接OA,则OA的长即是残圆的半径.14.如右图.15.101503r.提示:半径为45毫米,宽度为0.3毫米时共可以刻45÷0.3=150,再减去内部不是最内磁道以内的部分.。
24.2圆的基本性质(解析版)-2020-2021学年九年级数学下册课时同步练(沪科版)
沪科版九年级下册数学24.2圆的基本性质（解析版）一、单选题1．已知点P 与⊙O 在同一平面内，⊙O 的半径为5cm ，6OP cm =，则点P 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法判断 【答案】A【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可．解： ∵⊙O 的半径为5cm ，6OP cm =，∴OP ＞5cm ， 则点P 在⊙O 外．故选：A ．2．下面命题中，正确的是（ ）．A ．三点确定一个圆B ．垂直于弦的直线平分弦C ．经过四点不能作一个圆D ．三角形有一个且只有一个外接圆 【答案】D【解析】根据圆、垂径定理的性质，对四个选项逐个分析，即可得到答案．A ：经过不在同一直线上的三点确定一个圆，故A 错误；B ：垂直于弦的直线不一定平分弦，故B 错误；C ：经过四点可能能作一个圆，也可能不能作圆，故C 错误；D ：三角形有一个且只有一个外接圆，故D 正确；故选：D ．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点(10,0)A ，直线8y kx =+与O 交于B 、C 两点，则弦BC 长的最小值（ ）．A ．8B ．10C ．12D ．16 【答案】C【解析】 先确定直线8y kx =+必过点D (0,8)，再求出最短的弦CB 是过点D 且与该圆直径垂直的弦，先求出OD 的长，再求出OB 的长，最后根据勾股定理求得BD ，最后求出BC 的长即可．解：∵直线8y kx =+，∴无论k 为何值，该直线一定恒过(0,8)这个点，记为点D ，过圆内定点D 的所有弦中，与OD 垂直的弦最短，如图，BC OD ⊥，连结OB ，∵10OA OB ==，8OD =，∴由勾股定理可得226BD OB OD =-=，∴6CD BD ==，12BC =，∴弦BC 的最小值为12．故选：C ．4．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（ ）A ．5B ．15C ．16D ．8【答案】A【解析】连接OA ，先根据⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2求出CO 及OP 的长，再根据勾股定理可求出AP 的长，进而得出结论．连接OA ，∵⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2，∴CO ＝6，PO=4，∵AB ⊥CD ，∴AP=22OA OP - =2264-=25 ，∴AB ＝2AP ＝22545⨯=．故选：A ．5．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】 过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，由垂径定理得DM ＝3，在Rt △PMD 中，由勾股定理可求得PM 为5即可． 解：过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，如图所示：∵⊙P 与y 轴交于M （0，−4），N （0，−10）两点，∴OM ＝4，ON ＝10，∴MN ＝6，∵PD ⊥MN ，∴DM ＝DN ＝12MN ＝3，∴OD ＝7， ∵点P 的横坐标为−4，即PD ＝4，∴PM ＝22PD DM +＝2243+＝5，即⊙P 的半径为5，故选：C ．二、填空题6．已知⊙O 的半径r =3cm ，PO =1cm 时，点P 与⊙O 的位置关系是________________．【答案】点P 在圆内【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．∵⊙O 的半径r=3cm ，点P 到圆心O 的距离PO=1cm ，∴点P 在⊙O 内．故答案为：点P 在圆内．7．一点到O 上的最近距离为3cm ，最远距离为11cm ，则这圆的半径是______．【答案】4cm 或7cm【解析】当点P 在圆内时，点P 到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径．当点P 在圆外时，点P 到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径．知道了直径就能确定圆的半径．当点P 在圆外时，如图1，点P 到圆的最大距离与最小距离的差为8cm ，就是圆的直径，所以半径是4cm ．当点P 在圆内时，如图2，点P 到圆的最大距离与最小距离的和为14cm ，就是圆的直径，所以半径是7cm ．故答案是：4cm 或7cm ．8．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，1）、B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 、D ，则CD 的长是____．【答案】23【解析】根据题意在Rt AOC △中求出CO ，利用垂径定理得出结果．由题意，在Rt AOC △中，1,2AO AC AB ===，3OC =，AB CD ⊥∴由垂径定理知CO DO =，223CD CO ==，故答案为：23．9．如图，已知在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，2OE =，那么CD =______．【答案】3【解析】连接OD ，设圆的半径是x ，再根据锐角三角函数表示出DE 的长，在Rt ODE △中，利用勾股定理列式求出x 的值，得到圆的半径长，再求出DE 的长，最后根据垂径定理得到CD 的长．解：如图，连接OD ，设AO DO x ==，∵2OE =，∴2AE x =+，∵30BAD ∠=︒， ∴3tan 3DE BAD AE ∠==，则()323DE x =+， 在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()2223223x x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，解得12x =-，24x =，∴4OD =，23DE =，根据垂径定理得243CD DE ==．故答案是：43．10．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若60,6B CD ︒∠==，则AC 的长为__________．【答案】6【解析】直径AB 垂直于弦CD ，由垂经定理DE=CE=12CD ,∠ACB 是 AB 为直径所对的圆周角，由B 求∠A=90º-∠B ，利用30角所对直角边等于斜边的一半即可求出AC O 的直径AB 垂直于弦CD ，由垂经定理DE=CE=132CD = ∠ACB=90º 60B ︒∠= ∠A=90º-∠B=30º在RtΔACE 中，AC=2CE=6故答案为：6．三、解答题11．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA ．若AB ＝4，CD ＝1，求⊙O 半径的长．【答案】⊙O 半径的长为52． 【解析】设⊙O 的半径为r ，在Rt △ACO 中，根据勾股定理列式可求出r 的值．解：设⊙O 的半径为r ，则OA ＝r ，OC ＝r ﹣1，∵OD ⊥AB ，AB ＝4，∴AC ＝12AB ＝2， 在Rt △ACO 中，OA 2＝AC 2+OC 2，∴r 2＝22+（r ﹣1）2， r ＝52， 答：⊙O 半径的长为52． 12．如图，在直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2），（1）写出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：______；（2）判断点()5,2D -与圆M 的位置关系．【答案】（1）（2，0）；（2）在圆内．【解析】（1）由网格容易得出AB 的垂直平分线和BC 的垂直平分线，它们的交点即为点M ，根据图形即可得出点M 的坐标；（2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM 的长，当DM 小于圆的半径时点D 在圆内．（1）如图1，点M 就是要找的圆心；圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（2）圆的半径AM =2224+=25．线段MD =22(52)2-+=13＜25，所以点D 在⊙M 内．13．往直径为68cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽60AB cm =，求油的最大深度．【答案】18cm【解析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD 的长．解：过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交弧AB 于点C ．∵OC ⊥AB 于点D ∴BD ＝12AB ＝12×60＝30cm ， ∵⊙O 的直径为68cm ∴OB=OC ＝34cm∵在Rt △ODB 中，OD=2222343016OB BD -=-=（cm ），∴DC ＝OC ﹣OD ＝34﹣16＝18（cm ）；答：油的最大深度为18cm ．14．如图，在O 中，DE 是O 的直径，AB 是O 的弦，AB 的中点C 在直径DE 上．已知8AB cm =，2CD cm =．（1）求O 的半径；（2）连接AE ，过圆心O 向AE 作垂线，垂足为F ，求OF 的长．【答案】（1）5；（25【解析】（1）连接OA ，根据AB=8cm ，CD=2cm ，C 为AB 的中点，设半径为r ，由勾股定理即可求出r ； （2）先求出AE 的长，根据垂径定理可知：OF ⊥AE ，FE=FA ，再利用勾股定理即可求得OF 的长． 解：（1）连接OA ，如图所示∵C 为AB 的中点，8AB cm =，∴4AC cm =又∵2CD cm =设O 的半径为r ，则()22224r r -+= 解得：=5r（2）523OC OD CD =-=-=，538EC EO OC =+=+=∴22224845EA AC EC =+=+=∵OF ⊥AE ，∴FE=FA ，∴45252EA EF === ∴2225205OF EO EF =-=-=．15．1．如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD ＝3：5，则AB 的长为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．91【答案】C【解析】连接OA ，先根据⊙O 的直径CD ＝20，OM ：OD ＝3：5求出OD 及OM 的长，再根据勾股定理可求出AM 的长，进而得出结论．【详解】连接OA ，∵⊙O 的直径CD ＝20，OM ：OD ＝3：5，∴OD ＝10，OM ＝6，∵AB ⊥CD ，∴2222106=8AM OA OM =-=-，∴AB ＝2AM ＝16．故选：C ．16.如图，在半径为13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6,1AB AE ==，则CD 的长是（ ）A ．6B ．10C ．211D ．43【答案】C【解析】 过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，由垂径定理得出1,32DF CF AG BG AB ====，得出2EG AG AE =-=，由勾股定理得出222OG OB BG =-=，证出EOG ∆是等腰直角三角形，得出45,222OEG OE OG ∠=︒==30OEF ∠=︒，由直角三角形的性质得出122OF OE ==，由勾股定理得出11DF =，即可得出答案．解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，如图所示： 则1,32DF CF AG BG AB ====，∴2EG AG AE =-=，在Rt BOG ∆中，221392OG OB BG =-=-=，∴EG OG =，∴EOG ∆是等腰直角三角形，∴45OEG ∠=︒，222OE OG ==，∵75DEB ∠=︒，∴30OEF ∠=︒，∴122OF OE ==，在Rt ODF ∆中，2213211DF OD OF =-=-=，∴2211CD DF ==；故选C ．。
九年级数学下册第24章圆集训课堂测素质圆及圆的基本性质习题新版沪科版
19 (12分)如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C， OD交⊙O于点D，点E在⊙O上． (1)若∠AOD＝54°，求∠DEB的度数； 解：∵OD⊥AB，∴A︵D＝B︵D. ∴∠DEB＝12∠AOD＝12×54°＝27°.
(2)若CD＝2，AB＝8，求⊙O的半径． 解：设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r－2. ∵OD⊥AB，∴AC＝12AB＝4，∠ACO＝90°. 在 Rt△ AOC 中，AO2＝AC2＋OC2， ∴r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5. ∴⊙O 的半径是 5.
20 (12分)【2021·荆门】如图，在△ABC中，∠BAC＝
90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边
︵
于另一点F，且F是AE的中点，AD是⊙O的一条直径，
连接DE并延长交AB边于M点．
(1)求证：四边形CDMF为平行四边形；
证明：如图，连接DF.
∵∠BAC＝90°，∴FC是⊙O的直径．
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第24章 圆
集训课堂
测素质
圆及圆的基本性质
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1C 2A 3D 4B
5D 6A 7B 8A
答案呈现
9D
10 D 11 60° 12 50°
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13 (0，8)
17
14 AC＝AE
18
15 20°
19
16 4
20
答案呈现
1 如图，在以原点为圆心，2 为半径的⊙O 上有一点 C， ∠COA＝45°，则点 C 的坐标为( C ) A．( 2， 2) B．( 2，－ 2) C．(－ 2， 2) D．(－ 2，－ 2)
11 已知⊙O中最长的弦是12 cm，弦AB＝6 cm，则 ∠AOB＝____6_0_°__．
九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.2圆的基本性质同步检测新版沪科版
24.2.2 圆的基本性质同步检测一、选择题：1.圆是轴对称图形，它的对称轴有( ).A.一条B.两条C.三条D.无数条2.在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ）.A.4B.8C.24D.163.下列命题中错误的命题有（ ）.（1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；（4）圆的对称轴是直径．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.如图24-2-4,过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（）.A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm二、填空题：5.已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于．6.已知⊙O•中，•弦AB•的长是8cm ，•圆心O•到AB•的距离为3cm ，•则⊙O•的直径是_____cm ．7.已知⊙O 中,OC⊥弦AB 于C,AB=6,OC=3,则⊙O 的半径长等于________.8.在⊙O 中弦AB 垂直弦CD 于P ，如果PA=PB=4cm,CP=2cm,则⊙O 的直径为cm.三、解答题：9.已知：如图24-2-5，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．10.一条排水管的截面如图24-2-6所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．O ABC 图24-2-6图24-2-4 图24-2-5参考答案:1.D.提示:圆的对称轴是直径所在的直线,一个圆有无数条直线.2.B.提示:作OC ⊥AB,垂足为C,则OC=AC=4,从而OA=24,则直径为28.3.B.提示:(2)(4)是错误的.4.A.提示:圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦.5.24.提示:直接利用弦长公式计算.6.10.7.23.提示:半径OA=23332222=+=+AC OC .8.10.提示:由题意,CD 为⊙O 的直径,由OA 2=42+(OA-2)2,解得OA=5.9.作OM ⊥AB,垂足为M,则CM=DM,又OA=OB,得AM=BM,从而AC=BD ．10.先作出圆心O 到水面的距离OC ，即画 OC ⊥AB ，于是AC=BC=8,在Rt △OCB 中，68102222=-=-=BC OB OC ,即圆心O 到水面的距离OC 为6．。
九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.1圆的基本性质同步检测新版沪科版
24.2.1 圆的基本性质同步检测一、选择题：1.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ).A.圆的外部(包括边界)B.圆的内部(不包括边界)C.圆D.圆的内部(包括边界)2.下列命题是真命题的是( ).A.圆心相同的两个圆为同心圆B.圆上任意两点间的部分为弧C.过圆心的线段是直径D.在同一个圆中最长的弦只有一条3.下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：4.⊙O 的半径为5,圆心O 的坐标为(0,0),点P 的坐标为(4,3),则点P 与⊙O 的位置关系是( ).A.点P 在⊙O 内B.点P 的⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.点P 在⊙O 上或⊙O 外5.⊙O 的半径为5cm,OA=3cm,那么A 点与⊙O 的位置关系是______________.6.两个同心圆的直径分别为5 cm 和3 cm ，则圆环部分的宽度为_____ cm.7.⊙O 的直径为10cm ,⊙O 所在的平面内有一点P,当PO_______时,点P 在⊙O 上;当PO_____时,点P 在⊙O 内;当PO______时,点P 在⊙O 外.8.若⊙O 的半径为5,则⊙O 中最长的弦长为_____.三、解答题：9.如图24-2-1，已知△ABC ，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C 为圆心作⊙C ，半径为r.(1)当r 取什么值时，点A 、B 在⊙C 外;(2)当r 在什么范围时，点A 在⊙C 内，点B 在⊙C 外.10.如图24-2-2所示，在△ABC 中，BD, CE 是两条高线，求证：B ，C ，D, E 四点在同一个圆上．参考答案：1.D.提示:直接根据点的与圆的位置与点到圆心的距离和半径之间的关系判断.2.B.提示:同心圆还要求半径不等;过圆心的线段不一定就是直径,有可能是比直径短的一条线段;圆ABC 图24-2-1 图24-2-2中最长的弦是直径,而一个圆中的直径有无数多条.3.B.提示:①③正确.4.B.提示:由勾股定理,可知OP的长为5,等于圆的半径,因此点P在圆上.5.点A在⊙O内.提示:由OA＜5(⊙O的半径),知A在⊙O内.6.1.提示:圆环的宽度等于两圆半径的差,即2.5-1.5=1(cm).7.=5cm,＜5cm,＞5cm.8.10.提示:圆中最长的弦是直径.9.由AC=3,BC=4,所以(1)r＜3时,点A、B在⊙C外;(2)3＜r＜4时,点A在⊙C内，点B在⊙C外.10.取BC的中点O,连结OD、OE,则OD=OE=OB=OC(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),所以B、C、D、E四点在以O为圆心,BC的一半长为半径的圆上.。
2019-2020学年数学沪科版九年级下册24.2圆的基本性质 第4课时 圆的确定 同步训练新版
2019-2020学年数学沪科版九年级下册24.2圆的基本性质第4课时圆的确定同步训练新版姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、 2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.2圆的基本性 (共11题；共35分)1. （2分）过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（）①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．A . ①②B . ①②③C . ②③D . ①③2. （2分）下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中假命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）可以作圆，且只可以作一个圆的条件是（）A . 已知圆心B . 已知半径C . 过三个已知点D . 过不在一直线上的三点4. （2分）下列命题错误的是（）A . 经过三个点一定可以作圆B . 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C . 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D . 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心5. （2分）现有如下4个命题：①过两点可以作无数个圆．②三点可以确定一个圆．③任意一个三角形有且只有一个外接圆．④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （3分）锐角三角形的外心在________，直角三角形的外心在________ ，钝角三角形的外心在________.7. （1分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、，点E是的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若，则点D的坐标为________.8. （1分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（2，1），C（2，-3），则△ABC 的外心坐标是________．9. （5分）如图，已知△ABC．求作BC边上的高．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）10. （10分）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．11. （5分）平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P 上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是参考答案一、 2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.2圆的基本性 (共11题；共35分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、答案：略8-1、9-1、10-1、10-2、11-1、。
上海教育版数学九下27.1《圆的基本性质》同步练习题2
DD27.3 垂径定理（2）一、课前预习1、垂径定理：2、如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦（不是直径），CD 与AB 交于点M ， 且AM=BM ，问CD 垂直于AB 吗？为什么？ 提问：如果AB 是直径结论还成立吗？为什么？3、如果把第（2）题中的条件“AM=BM ”改成“»»AD BD =吗？为什么？4、我们知道过A 、B 两点的圆的圆心一定在线段AB 的上， 所以，弦AB 的垂直平分线必经过 .5、如图，在O e 中，弦CD 与弦AB 交于点M.（1）如果AM =BM ，»»AD BD =，那么CD 与AB 垂直吗？（2）如果CD AB ⊥，垂足为点M ，»»AD BD =，那么AM 与BM 相等吗？ 二、基础巩固1、如图，已知AD 是O e 的直径，»»»AB BC CD ==. （1) 求»BD所对的圆心角的大小； （2）OC 与BD 垂直吗？为什么？2、如图是一块残缺的圆形砂轮片，试画出这块砂轮片原来的图形，3，如图，已知O e 的半径长为3厘米，半径OB 与弦AC 垂直，垂足是点D ，AC 长为3厘米. 求：(1)AOB ∠的大小； （2）CD 的长.三、综合提升A 1、如图，已知O e 的半径OC 过弦AB 的中点D ，如果»AC 的长是20厘米，那么»AB 的长是 厘米.2、如图，已知C 是»AB 的中点，半径OC 与弦AB 相交于点如果60,6OAB AB ∠==o 厘米，那么AOD ∠= 度，CD= 厘米.3、已知：如图， AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点.求证：4、已知：如图，MN 是的弦，AB 是的直径，分别交MN 于点E 、F ，且OE=OF.求证：（1）ME=NF ；（2）。
九年级数学下册 专训1 圆的基本性质同步练习 (新版)沪科版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题专训1：圆的基本性质名师点金：圆的基本性质里面主要涉及弦、弧之间的关系，圆周角、圆心角之间的关系，弦、圆周角之间的关系，弦、圆心角之间的关系，弦、弧、圆心角之间的关系等，在解此类题目时，需要根据已知条件和所求问题去探求它们之间的内在联系，从而达到解决问题的目的．弦、弧之间的关系1．下列说法：(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)在同一圆中，优弧长度大于劣弧长度；(3)在圆中，一条弦对应两条弧，但一条弧却只对应一条弦；(4)弧包括两类：优弧、劣弧．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第2题)2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵，则下列结论正确的是( )A ．AB>2CDB ．AB ＝2CDC ．AB<2CD D ．以上都不正确3．如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相等，求证：AD ︵＝BC ︵.(第3题)圆周角、圆心角之间的关系4．如图，AB ，AC ，BC 都是⊙O 的弦，且∠CAB ＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.(第4题)弧、圆周角之间的关系5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．(第5题)弦、圆心角之间的关系6．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点E.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．(第6题)弦、弧、圆心角之间的关系7．等边三角形ABC的顶点A，B，C在⊙O上，D为⊙O上一点，且BD＝CD，如图所示，判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由．【导学号：31782088】(第7题)专训2：垂径定理的四种应用技巧名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出另外一个．巧用垂径定理求点的坐标1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．(第1题)巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，C D⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．【导学号：31782089】(第2题)巧用垂径定理证明3．如图，在△AOB中，OA＝OB，以点O为圆心的圆交AB于C，D两点．求证：AC＝BD.(第3题)巧用垂径定理解决实际问题(转化思想)4．某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2 m ，拱顶高出水面2.4 m ，现有一艘宽3 m ，船舱顶部为长方形并高出水面2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？答案专训11．C 点拨：(1)(2)(3)正确，(4)中弧包括优弧、劣弧和半圆，所以不正确． 2．C3．证明：∵AB＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ︵－DB ︵＝CD ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵.4．证明：在⊙O 中，∠CAB，∠COB 是CB ︵所对的圆周角和圆心角，∴∠COB＝2∠CAB.同理：∠COA＝2∠CBA .又∵∠C AB ＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.5．解：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°. 又∵∠ADC，∠ABC 是AC ︵所对的圆周角， ∴∠ADC＝∠ABC＝40°.6．解：BD ＝DE ＝EC.理由如下：连接OD ，OE. ∵OB＝OD ＝OE ＝OC ，∠B＝∠C＝60°， ∴△BOD 与△COE 都是等边三角形． ∴∠BOD＝∠COE＝60°，∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.∴∠DOE＝∠BOD＝∠COE.∴BD＝DE ＝EC.点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD ，OE ，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．7．解：四边形OBDC 是菱形，理由如下： 连接AD ，设AD 与BC 交于P 点， ∵AB＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵.同理BD ︵＝CD ︵，∴AB ︵＋BD ︵＝AC ︵＋CD ︵，即ABD ︵和ACD ︵都是半圆．∴AD 为⊙O 的直径，即AD 过圆心O.∵AB＝BC ＝CA ，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°.∴∠BOD＝∠COD＝60°.∴OB＝OD ＝BD ，OC ＝CD ＝DO.∴OB＝OC ＝BD ＝CD ，∴四边形OBDC 是菱形．专训2(第1题)1．解：如图，连接CM ，作MN⊥CD 于N ，CH⊥OA 于H. ∵四边形OCDB 为平行四边形， ∴CD＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN. 又∵MN⊥CD ，∴CN＝DN ＝12CD ＝4.∵OA＝10，∴半圆M 的半径MO ＝MC ＝5. 在Rt △MNC 中，MN ＝CM 2－CN 2＝52－42＝3. ∴CH＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1. ∴点C 的坐标为(1，3)．2．解：如图，易知点C 关于MN 的对称点为点D ，连接AD ，交MN 于点P ，连接PC ，易知此时PA ＋PC 最小且PA ＋PC ＝AD.过点D 作DH⊥AB 于点H ，连接OA ，OC.易知AE ＝4，CF ＝3，由勾股定理易得OE ＝3，OF ＝4，∴DH＝EF ＝7，又AH ＝AE ＋EH ＝4＋3＝7.∴AD＝7 2.即PA ＋PC 的最小值为7 2.点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．(第2题)(第3题)3．证明：如图，过点O 作OE⊥CD 于点E ，则CE ＝DE. ∵OA＝OB ，∴AE＝BE. ∵AE－CE ＝BE －DE ， ∴AC＝BD.4．解：如图，设弧形拱桥AB 所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，ON ，作OD⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．(第4题)设OA ＝r m ，则OD ＝OC －DC ＝(r －2.4) m ，AD ＝12AB ＝3.6 m .在Rt △AOD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2， 即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，解得r ＝3.9.在Rt △OHN 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(m )．所以FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m )．因为2.1 m ＞2 m ，所以此货船能顺利通过这座拱桥．。
上海教育版数学九下27.1《圆的基本性质》同步练习
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF. AEF例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.B DCE O例题7、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.作 业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
九年级数学下册 小专题(二)与圆的基本性质有关的解答
小专题（二） 与圆的基本性质有关的解答题（中考中常出现与圆的基本性质相关的解答题，难度中等，有时会与动点结合．）1．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，连接BD ，∠BAD ＝105°，∠DBC ＝75°.（1）求证：BD ＝CD ；（2）若⊙O 的半径为3，求BC ︵的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠DCB ＋∠BAD＝180°.∵∠BAD ＝105°，∴∠DCB ＝180°－105°＝75°.∵∠DBC ＝75°，∴∠DCB ＝∠DBC.∴BD ＝CD.（2）∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC ＝30°.由圆周角定理，得BC ︵的度数为60°，故BC ︵的长为60π×3180＝π.2．如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 是半圆上两点，且OD∥AC，OD 与BC 交于点E.（1）求证：E 为BC 的中点；（2）若BC ＝8，DE ＝3，求AB 的长度．解：（1）证明：∵AB 是半圆O 的直径，∴∠C ＝90°.∵OD ∥AC ，∴∠OEB ＝∠C＝90°.∴OD ⊥BC.∴BE ＝CE.∴E 为BC 的中点．（2）设圆的半径为x ，则OB ＝OD ＝x ，OE ＝x －3，在Rt △BOE 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，∵BE ＝12BC ＝4，∴x 2＝42＋（x －3）2，解得x ＝256.∴AB ＝2x ＝253.3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点N ，点M 在⊙O 上，C 为BM ︵的中点．（1）求证：CB∥MD；（2）若BC ＝4，AB ＝6，求BN 的长．解：（1）证明：∵CD⊥AB，∴BC ︵＝BD ︵.∵C 为BM ︵的中点，∴BC ︵＝CM ︵.∴BD ︵＝CM ︵.∴∠CBM ＝∠M.∴CB ∥MD.（2）连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠BNC ＝90°，BD ︵＝BC ︵.∴∠BCD ＝∠BAC.∴△BCN ∽△BAC. ∴BN BC ＝BC AB ，即BN 4＝46. ∴BN ＝83.4．（2017·安徽）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠B ＝∠D，AD 不平行于BC ，过点C 作CE∥AD 交△ABC 的外接圆⊙O 于点E ，连接AE.（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）连接CO ，求证：CO 平分∠BCE.证明：（1）由圆周角定理得∠B ＝∠E，又∵∠B＝∠D，∴∠E ＝∠D.∵CE ∥AD ，∴∠D ＋∠ECD＝180°.∴∠E ＋∠ECD＝180°.∴AE ∥CD.∴四边形AECD 为平行四边形．（2）过点O 作OM⊥BC 于点M ，ON ⊥CE 于点N ，∵四边形AECD 为平行四边形，∴AD ＝CE.又∵AD＝BC ，∴CE ＝CB.∴OM ＝ON.又∵OM⊥BC，ON ⊥CE ，∴CO 平分∠BCE.5．（2018·宜昌）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E.延长AE 至点F ，使EF ＝AE ，连接FB ，FC.（1）求证：四边形ABFC 是菱形；（2）若AD ＝7，BE ＝2，求半圆和菱形ABFC 的面积．解：（1）证明：∵AB 为半圆的直径，∴∠AEB ＝90°，∵AB ＝AC.∴CE ＝BE.又∵EF＝AE ，∴四边形ABFC 是平行四边形．又∵AB＝AC ，∴四边形ABFC 是菱形．（2）∵AD＝7，BE ＝CE ＝2，∴设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x ，BC ＝4.连接BD ，∵AB 为半圆的直径，∴∠ADB ＝90°.∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2，即（7＋x ）2－72＝42－x 2.解得x 1＝1，x 2＝－8（舍去）．∴BD ＝15.∴S 半圆＝12×π×42＝8π， S 菱形＝8×15＝815.6．（2015·安徽中考变式）已知⊙O 的直径AB ＝12，点C 是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P 是弦BC 上一动点，过点P 作PD⊥OP 交⊙O 于点D.（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD 的长；（2）如图2，当BP 平分∠OPD 时，求PC 的长．解：（1）连接OD.∵直径AB ＝12，∴OB ＝OD ＝6.∵PD ⊥OP ，∴∠DPO ＝90°.∵PD ∥AB ，∴∠DPO ＋∠POB＝180°.∴∠POB ＝90°.又∵∠ABC＝30°，OB ＝6，∴OP ＝OB·tan 30°＝2 3.∵在Rt △POD 中，PO 2＋PD 2＝OD 2，∴（23）2＋PD 2＝62.∴PD ＝2 6.（2）过点O 作OH⊥BC，垂足为H.∵OH ⊥BC ，∴∠OHB ＝∠OHP＝90°.∵∠ABC ＝30°，OB ＝6，∴OH ＝12OB ＝3，BH ＝OB·cos 30°＝3 3. ∵在⊙O 中，OH ⊥BC ， ∴CH ＝BH ＝3 3. ∵BP 平分∠OPD， ∴∠BPO ＝12∠DPO＝45°. ∴PH ＝OH ＝3.∴PC ＝CH －PH ＝33－3.。
24.2圆的基本性质(1)-沪科版九年级数学下册练习
圆的基本性质（1）1在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线叫做_______,线段OA叫做圆的________,点O叫做圆的____符号用______表示,圆心是O的圆表示为________,读作__________.2连接圆上任意两点的线段叫做_______,经过圆心的弦叫做______圆上任意两点之间的部分叫做______,简称______,用符号“~”表示.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做______,小于半圆的弧叫_____弧,用表示弧的两个端点的字母表示;大于半圆的弧叫____弧,用表示弧的两个端点的字母和表示弧上的一个点的字母表示由弦及其所对的弧组成的图形叫做_______. 3能够________的两个圆是等圆;等圆的半径____________,在同圆或等圆中能够重合的两弧是____________.4点和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d则有:①点P在圆外:____ ②点P在圆上:___ ③点P在圆内:___5下列条件中,能确定一个圆的是( )A.以点O为圆心 B以2cm为半径C.以点O为圆心,5cm为半径D.经过已知点A6如图,在⊙O中,点A、O、D,点B、OC以及点E、DC分别在一条直线上,图中弦的条数为( )A.2B.3C.4D.57下列说法正确的有( )①半圆是弧,但弧不一定是半圆;②过圆上任意一点只能作一条弦,且这条弦为直径;③弦是直径;④直径是圆中最长的弦A.1个B.2个C.3个D.4个8关于半径为5的圆,下列说法正确的是( )A.若有一点到圆心距离为5,则该点在圆外B若有一点在圆外,则该点到圆心的距离不小于5B.圆上任意两点之间的线段长度不大于10D圆上任意两点之间的部分可以大于109如图,AB和CD都是⊙O的直径若∠AOC=50°,则∠C的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.50°10如图,若AC,BD为⊙O的两条直径,则四边形ABCD一定是___________形.11如图,半圆中有一正方形,则半圆的直径AB=___________.12如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠BOC=70°,AD∥OC,则∠AOD=_____________.13一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9cm,则该圆的半径是( )A.1.5cmB.7.5cmC.1.5cm或7.5cmD.3cm或15cm14设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.在直角坐标系中,如果⊙P是以(3,4)为圆心,1为半径的圆,那么点O(0,0)到⊙P的距离为( )A.3B.4C.5D.615如图,点A,D,G,M在半圆上,四边形ABCC,DBF,HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是( )A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a16已知⊙O的半径为4,点P与圆心O的距离为d,且方程x2-4x+d=0有实数根,则点P在⊙O_________(填位置关系)17如图,⊙O的弦AB、半径OC的延长线交于点DBD=OA.若∠AOC=120,则∠D的度数是_____________.18已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm.(1)若以点A为圆心,4cm为半径作⊙A,则点B,C,D与⊙A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A的半径r的取值范围是什么?19如图,AB是⊙O的任一直径,CD是⊙O中不过圆心的任一弦,求证:AB>CD.20如图所示,在△ABC中,BD,CE是两条高,求证:B,C,D,E四点在同一个圆上.21如图①,AB为⊙O的直径,P为射线BA上的一点,质点由点P向点B匀速运动,图②是质点距离A点的距离s与时间t的函数图象,求⊙O的半径.答案1圆半径圆心⊙⊙O圆O2弦直径圆弧弧半圆劣优弓形3重合相等等弧4 d>r d=r d<r5 C6 B7 B8 C9 B10 矩11 2212 40°13 C14 B15 B16 内或上17 20°18解:(1)BA=3cm<4cm,点B在⊙A内;DA=4cm,点D 在⊙A 上;CA=5cm>4cm,点C 在⊙A 外(2)3cm<r<5cm.19证明:连接OC,OD.根据三角形三边关系得OC+OD>CD AB=OA+OB, OA=OB=OC=OD∴AB=OC+OD,∴AB>CD.20证明:取BC 的中点O,连接OD,OE,则OD=OE=21BC=OB=OC. 故B,C,D,E 四点在以O 为圆心,BC 的一半为半径的圆上21解:由题图②,得t=3时,s=0,∴PA=3,速度为每秒1个单位长度当t=8时,s=1×5=5,∴AB=5单位长度,∴⊙O 的半径为2.5单位长度。
九年级数学下册 第24章 圆 24.2 圆的基本性质 第4课时 圆的确定同步练习(含解析) 沪科版
[24.2 第4课时圆的确定]一、选择题1．用反证法证明“a＞b”时应假设( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a≤b2．下列条件中能确定一个圆的是( )A．已知圆心B．已知半径C．过三个已知点D．过一个三角形的三个顶点3．三角形的外心是( )A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条内角平分线的交点4．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是链接听课例2归纳总结( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定5．2018·烟台如图K－6－1，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为( )图K－6－1A ．(－1，－2)B ．(－1，－3)C ．(－2，－2)D ．(－3，－1)6．2017·山西公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2，导致了第一次数学危机.2是无理数的证明如下：假设2是有理数，那么它可以表示成q p (p 与q 是互质的两个正整数)．于是(q p)2＝(2)2＝2，所以q 2＝2p 2.于是q 2是偶数，进而q 是偶数．从而可设q ＝2m ，所以(2m )2＝2p 2，p 2＝2m 2，于是可得p 也是偶数．这与“p 与q 是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“2是有理数”的假设不成立，所以，2是无理数．这种证明“2是无理数”的方法是( ) A ．综合法 B ．反证法C ．举反例法D ．数学归纳法 二、填空题7．平面直角坐标系内的三个点A (1，0)，B (0，－3)，C (2，－3)__________确定一个圆(填“能”或“不能”)．8．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设________________________．9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图K －6－2所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第________块.链接听课例1归纳总结图K －6－210．2017·宁夏如图K －6－3，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格的格点上，过A ，B ，C 三点的圆除经过A ，B ，C 三点外还经过的格点有________个．图K －6－311．2017·巢湖月考若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为________________．三、解答题12．在平面直角坐标系中，若作一个⊙M ，使⊙M 经过点A (－4，0)，B (0，－2)，O (0，0)，求点M 的坐标．13.求证：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.链接听课例3归纳总结14．如图K－6－4所示，BD，CE是△ABC的高．求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．图K－6－415．如图K－6－5，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图K－6－516．如图K－6－6，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，AC＝24，BD＝10，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点．试求以E，F，G三点所确定的圆的周长．(结果保留π)图K－6－6如图K－6－7，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E 为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：点O是△ABC的外接圆的圆心；(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．图K－6－7详解详析[课堂达标]1．[解析] D 反证法的第一步是反设，即假设命题的结论不成立，故证明“a ＞b ”时应假设“a ≤b ”．2．[解析] D 确定一个圆的条件是圆心和半径；不在同一条直线的三个点确定一个圆；过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆．综上所述，选项D 正确．3．[答案] B 4．[解析] A △ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的内部，则△ABC 是锐角三角形．故选A. 5．[解析] A 根据垂径定理，借助网格，找到两条弦BC ，AB 的垂直平分线的交点，即为圆心，其坐标为(－1，－2)．6．[解析] B 阅读材料中的证明方法符合反证法的步骤． 7．[答案] 能[解析] ∵B(0，－3)，C(2，－3)，∴BC ∥x 轴， 而点A(1，0)在x 轴上，∴点A ，B ，C 不共线，∴三个点A(1，0)，B(0，－3)，C(2，－3)能确定一个圆． 8．[答案] 在一个三角形中有两个内角为钝角 9．[答案] ② 10．[答案] 5[解析] 如图，分别作AB ，BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以点O 为圆心，OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的圆， 由图可知，⊙O 还经过点D ，E ，F ，G ，H 这5个格点． 故答案为5.11．[答案] 2－3或2＋ 3 [解析] 如图，当△ABC 是钝角三角形时，△BOC 是等边三角形，且∠AOB ＝∠AOC ＝30°，BD ＝CD ＝1，∴OD ＝3BD ＝3，则AD ＝OA －OD ＝2－3，∴S △ABC ＝12BC ×AD ＝12×2×(2－3)＝2－3；当△ABC 是锐角三角形时，AD ＝OA ＋OD ＝2＋3，∴S △ABC ＝12BC ×AD ＝12×2×(2＋3)＝2＋ 3.12．解：如图所示：∵△AOB 是直角三角形，∴△AOB 的外心M 是斜边AB 的中点．过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，作MD ⊥y 轴于点D ，则MD ∥OA ，MC ∥OB ， ∴C 是OA 的中点，D 是OB 的中点， ∴OC ＝12OA ＝2，OD ＝12OB ＝1，∴点M 的坐标为(－2，－1)．13．解：已知：如图所示，直线AB ∥EF ，CD ∥EF.求证：AB ∥CD.证明：假设AB 与CD 不平行，则直线AB 与CD 相交，设它们的交点为P ，于是经过点P 就有两条直线(AB ，CD)都和直线EF 平行， 这就与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾， 所以假设不成立，故AB ∥CD.14．证明：如图所示，取BC 的中点F ，连接DF ，EF.∵BD ，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF ，EF 分别为Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线，∴DF ＝EF ＝BF ＝CF ， ∴E ，B ，C ，D 四点在以点F 为圆心，12BC 为半径的圆上．15．解：(1)用尺规作出两边(如AB ，AC)的垂直平分线，交点即为圆心O ，以OA 为半径作出⊙O ，⊙O 即为所求(图略)．(2)∵∠BAC ＝90°，AB ＝8米，AC ＝6米， ∴BC ＝10米．∵直角三角形的外心为斜边的中点， ∴△ABC 外接圆的半径为5米，∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米． 16．解：如图，连接EF ，FG ，EG.∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AC ，且EF ＝12AC ＝12.同理可得FG ∥BD ，且FG ＝12BD ＝5.∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG.∵在Rt △EFG 中，EF ＝12，FG ＝5，∴EG ＝13.∵直角三角形外接圆的直径等于斜边的长， ∴以E ，F ，G 三点所确定的圆的周长为13π. [素养提升]解：(1)证明：∵AE ⊥EF ，EF ∥BC ，∴AD ⊥BC. 又∵D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC.(2)证明：连接BO ，由(1)知AD 是BC 的垂直平分线，∴BO ＝CO.又∵AO ＝CO ，∴AO ＝BO ＝CO ， ∴点O 是△ABC 的外接圆的圆心．(3)解法1：∵∠ABE ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝ ∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB ，∴AB AE ＝ADAB.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4，∴5AE ＝45，∴AE ＝254.解法2：由(2)得AO ＝BO ，∴∠ABO ＝∠BAO. ∵∠ABE ＝90°，∴∠ABO ＋∠OBE ＝∠BAO ＋∠AEB ＝90°， ∴∠OBE ＝∠OEB ，∴OB ＝OE.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4.设OB ＝x ，则OD ＝4－x ，在Rt △OBD 中，有32＋(4－x)2＝x 2， 解得x ＝258，∴AE ＝2OB ＝254.。
初中数学沪科版九年级下册(课时训练) 24.2圆的基本性质(1)
沪科版九年级数学下册
第24章圆
24.2圆的基本性质（1）
选择题
1. 在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AB=13，D是AB的中点，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则⊙C与点D的位置关系是()
A. D在圆内B．D在圆上C．D在圆外D．不能确定
2．下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶角的距离相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．下面的四个判断中，正确的一个是()
A．过圆内的一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦；
B．过圆内的一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦；
C. 过圆内的一点的无数条弦中，有一条且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦；
D．过圆内的一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦．
4．下列说法中，正确的有()
①菱形的四个顶点在同一个圆上；
②矩形的四个顶点在同一个圆上；
③正方形四条边的中点在同一个圆上；
④平行四边形四条边的中点在同一个圆上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
填空题
5.半径为5 cm的定圆O中，长度为6 cm的弦的中点的集合是______.
6．平面内一点到圆上点的最小距离是2cm，最大距离是8 cm．那么这个圆的半径________.。
沪教新版九年级(下) 中考题同步试卷：第1节 圆的基本性质(05)
5．如图，在⊙O 中，直径 AB⊥CD，垂足为 E，∠BOD＝48°，则∠BAC 的大小是（ ）
A．60°
B．48°
C．30°
D．24°
6．如图，已知 AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD 的度数为（ ）
A．68°
B．88°
C．90°
D．112°
7．如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O，点 P 是优弧 的度数为（ ）
．
26．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点 C 为圆心，BC 为半径的圆交 AB 于
点 D，交 AC 于点 E，则 的度数为
．
27．如图，一个宽为 2 厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度
尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是 3 和 9，那么玻璃
则∠B＝
度．
20．如图，一块直角三角板 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是
58°，则∠ACD 的度数为
．
21．如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD＝
度．
22．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，若∠CAB＝40°，则∠ABC 的度数为
沪教新版九年级（下）中考题同步试卷：第 1 节 圆的基本性质
一、选择题（共 13 小题）
（05）
1．如图所示，在⊙O 中，
，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
2．如图，P 是⊙O 外一点，PA、PB 分别交⊙O 于 C、D 两点，已知 和 所对的圆心角 分别为 90°和 50°，则∠P＝（ ）
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专训1：圆的基本性质
名师点金：圆的基本性质里面主要涉及弦、弧之间的关系，圆周角、圆心角之间的关系，弦、圆周角之间的关系，弦、圆心角之间的关系，弦、弧、圆心角之间的关系等，在解此类题目时，需要根据已知条件和所求问题去探求它们之间的内在联系，从而达到解决问题的目的．
弦、弧之间的关系
1．下列说法：(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)在同一圆中，优弧长度大于劣弧长度；(3)在圆中，一条弦对应两条弧，但一条弧却只对应一条弦；(4)弧包括两类：优弧、劣弧．其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
(第2题)
2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵
，则下列结论正确的是( )
A ．AB>2CD
B ．AB ＝2CD
C ．AB<2C
D D ．以上都不正确
3．如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相等，求证：AD ︵＝BC ︵
.
(第3题)
圆周角、圆心角之间的关系
4．如图，AB ，AC ，BC 都是⊙O 的弦，且∠CAB ＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.
(第4题)
弧、圆周角之间的关系
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．
(第5题)
弦、圆心角之间的关系
6．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点E.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．
(第6题)
弦、弧、圆心角之间的关系
7．等边三角形ABC的顶点A，B，C在⊙O上，D为⊙O上一点，且BD＝CD，如图所示，判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由．【导学号：31782088】
(第7题)
专训2：垂径定理的四种应用技巧
名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出另外一个．
巧用垂径定理求点的坐标
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
(第1题)
巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)
2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，C D⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．【导学号：31782089】
(第2题)
巧用垂径定理证明
3．如图，在△AOB中，OA＝OB，以点O为圆心的圆交AB于C，D两点．求证：AC＝BD.
(第3题)
巧用垂径定理解决实际问题(转化思想)
4．某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2 m ，拱顶高出水面2.4 m ，现有一艘宽3 m ，船舱顶部为长方形并高出水面2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
答案
专训1
1．C 点拨：(1)(2)(3)正确，(4)中弧包括优弧、劣弧和半圆，所以不正确． 2．C
3．证明：∵AB＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ︵－DB ︵＝CD ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵.
4．证明：在⊙O 中，∠CAB，∠COB 是CB ︵
所对的圆周角和圆心角，∴∠COB＝2∠CAB.同理：∠COA＝2∠CBA .
又∵∠CAB＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.
5．解：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°. 又∵∠ADC，∠ABC 是AC ︵
所对的圆周角， ∴∠ADC＝∠ABC＝40°.
6．解：BD ＝DE ＝EC.理由如下：连接OD ，OE. ∵OB＝OD ＝OE ＝OC ，∠B＝∠C＝60°， ∴△BOD 与△COE 都是等边三角形． ∴∠BOD＝∠COE＝60°，
∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.
∴∠DOE＝∠BOD＝∠COE.∴BD＝DE ＝EC.
点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD ，OE ，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．
7．解：四边形OBDC 是菱形，理由如下： 连接AD ，设AD 与BC 交于P 点， ∵AB＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵.
同理BD ︵＝CD ︵，∴AB ︵＋BD ︵＝AC ︵＋CD ︵，即ABD ︵和ACD ︵
都是半圆．∴AD 为⊙O 的直径，即AD 过圆心O.∵AB＝BC ＝CA ，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°.∴∠BOD＝∠COD＝60°.∴OB＝OD ＝BD ，OC ＝CD ＝DO.∴OB＝OC ＝BD ＝CD ，∴四边形OBDC 是菱形．
专训2
(第1题)
1．解：如图，连接CM ，作MN⊥CD 于N ，CH⊥OA 于H. ∵四边形OCDB 为平行四边形， ∴CD＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN. 又∵MN⊥CD ，∴CN＝DN ＝1
2CD ＝4.
∵OA＝10，∴半圆M 的半径MO ＝MC ＝5. 在Rt △MNC 中，MN ＝CM 2
－CN 2
＝52
－42
＝3. ∴CH＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1. ∴点C 的坐标为(1，3)．
2．解：如图，易知点C 关于MN 的对称点为点D ，
连接AD ，交MN 于点P ，连接PC ，易知此时PA ＋PC 最小且PA ＋PC ＝AD.过点D 作DH⊥AB 于点H ，连接OA ，OC.易知AE ＝4，CF ＝3，由勾股定理易得OE ＝3，OF ＝4，∴DH＝EF ＝7，又AH ＝AE ＋EH ＝4＋3＝7.∴AD＝7 2.即PA ＋PC 的最小值为7 2.
点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．
(第2题)
(第3题)
3．证明：如图，过点O 作OE⊥CD 于点E ，则CE ＝DE. ∵OA＝OB ，∴AE＝BE. ∵AE－CE ＝BE －DE ， ∴AC＝BD.
4．解：如图，设弧形拱桥AB 所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，ON ，作OD⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．
(第4题)
设OA ＝r m ，则OD ＝OC －DC ＝(r －2.4) m ，AD ＝1
2AB ＝3.6 m .
在Rt △AOD 中，OA 2
＝AD 2
＋OD 2
， 即r 2
＝3.62
＋(r －2.4)2
，解得r ＝3.9.
在Rt △OHN 中，OH ＝ON 2
－NH 2
＝ 3.92
－1.52
＝3.6(m )．
所以FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m )．因为2.1 m ＞2 m ，所以此货船能顺利通过这座拱桥．。