理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之17递推数列与数列求和

专题六数列
第十七讲 递推数列与数列求和
2019年
1.(2019
天津理
19)设
{}
n a 是等差数列,
{}
n b 是等比数列.已知
1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.
(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(Ⅱ)设数列{}n c 满足111,22,2,1,,
k k n k
k c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N . (i)求数列(
){}
221n n a c -的通项公式; (ii)求
()2*
1
n
i i
i a c n =∈∑N .
2010-2018年
一.选择题
1.(2013大纲)已知数列{}n a 满足124
30,3
n n a a a ++==-
,则{}n a 的前10项和等于 A.10
6(13
)--- B.101
(13)9- C.103(13)-- D.103(13)-+
2.(2012上海)设25
sin 1π
n n a n =,n n a a a S +++= 21,在10021,,,S S S 中,正数的个数是
A.25
B.50
C.75
D.100 二.填空题
3.(2018全国卷Ⅰ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,若21n n S a =+,则6S =_____.
4.(2017新课标Ⅱ)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则
11
n
k k
S ==∑ . 5.(2015新课标Ⅱ)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且1111,n n n a a S S ++=-=,
则n S =__. 6.(2015江苏)数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*
N n ∈),则数列}1
{
n
a 前10项的和为 .
7.(2013新课标Ⅰ)若数列{n a }的前n 项和为n S =
21
33
n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______.
8.(2013湖南)设n S 为数列{}
n a 的前n 项和,1(1),,2
n n n n S a n N *
=--∈则 (1)3a =_____;
(2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.
9.(2012新课标)数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n
n ,则}{n a 的前60项和为
.
10.(2012福建)数列{}n a 的通项公式cos
12
n n a n π
=+,前n 项和为n S ,则 2012S =___________.
三.解答题
11.(2018浙江)已知等比数列1{}a 的公比1q >,且34528a a a ++=,42a +是3a ,5a 的等差中
项.数列{}n b 满足11b =,数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为2
2n n +.
(1)求q 的值;
(2)求数列{}n b 的通项公式.
12.(2018天津)设{}n a 是等比数列,公比大于0,其前n 项和为n S ()n *
∈N ,{}n b 是等差数列.已
知11a =,322a a =+,435a b b =+,5462a b b =+. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)设数列{}n S 的前n 项和为n T ()n *
∈N ,
(i)求n T ;
(ii)证明2
21()22(1)(2)
2n n
k k k k T b b k k n ++=+=-+++∑
()n *∈N . 13.(2017江苏)对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足
11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=
对任意正整数n ()n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”.
(1)证明:等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;
(2)若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明:{}n a 是等差数列.
14.(2016年全国II)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且11a =,728S =.记[]lg n n b a =,其中[]x 表
示不超过x 的最大整数,如[]0.90=,[]lg991=. (Ⅰ)求1b ,11b ,101b ;
(Ⅱ)求数列{}n b 的前1000项和.
15.(2015新课标Ⅰ)n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知0n a >,2
243n n n a a S +=+
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式: (Ⅱ)设1
1
n n n b a a +=
,求数列{}n b 的前n 项和. 16.(2015广东)数列{}n a 满足:121
2242
n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-
,*
N n ∈. (1)求3a 的值;
(2)求数列{}n a 的前n 项和n T ; (3)令11b a =,1111
(1)23n n n T b a n n
-=
++++⋅⋅⋅+(2)n ≥ 证明:数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.
17.(2014广东)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S 满足
()()
*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222
.
(Ⅰ)求1a 的值;
(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n ,有
()()().3
1
1111112211<+++++n n a a a a a a
18.(2013湖南)设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a •=-11,∈n N *
(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;
(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.
19.(2011广东)设0b >,数列{}n a 满足1a b =,1
1(2)22
n n n nba a n a n --=
≥+-.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n ,1
1 1.2
n n n b a ++≤+
专题六数列
第十七讲 递推数列与数列求和
答案部分 2019年
1.解析 (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 依题意得2
662,6124q d q d =+⎧⎨
=+⎩解得3
.2
d q =⎧⎨=⎩ 故14(1)331,
6232n n n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯.
所以,{}n a 的通项公式为(){}31,
n n
a n n
b *=+∈N 的通项公式为()
32n n
b
n *=⨯∈N .
(Ⅱ)(i)()()()()
22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-. 所以,数列(
){}
221n n a c -的通项公式为()()
221941n n n a c n *-=⨯-∈N . (ii)
()()22221
1
1
1
2211n n n n
i
i
i i
i
i
i
i
i i i i c
a c a a c a a ====-⎡⎤=+-=+⎣⎦∑∑∑∑
()
()
12212439412n n
n n
i i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭
∑
()
(
)2114143252914
n n n n ---=⨯+⨯+⨯
--
()211*
2725212
n n n n --=⨯+⨯--∈N .
2010-2018年
1.【解析】∵113
n n a a +=-,∴{}n a 是等比数列
又243a =-,∴14a =,∴()1010101413313113
S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+
,故选C.
2.D 【解析】由数列通项可知,当1
25n
,n N +∈时,0n
a ,当2650n ,
n N +∈ 时,0n
a ,因为1260a a +>,2270a a +>⋅⋅⋅∴1250,,,S S S ⋅⋅⋅都是
正数;当51100n ,n N +∈同理5152100,,,S S S ⋅⋅⋅也都是正数,所以正数的个
数是100.
3.63-【解析】通解 因为21n n S a =+,所以当1=n 时,1121=+a a ,解得11=-a ;
当2=n 时,12221+=+a a a ,解得22=-a ; 当3=n 时,123321++=+a a a a ,解得34=-a ; 当4=n 时,1234421+++=+a a a a a ,解得48=-a ; 当5=n 时,12345521++++=+a a a a a a ,解得516=-a ; 当6=n 时,123456621+++++=+a a a a a a a ,解得632=-a . 所以61248163263=------=-S .
优解 因为21n n S a =+,所以当1=n 时,1121=+a a ,解得11=-a , 当2≥n 时,112121--=-=+--n n n n n a S S a a ,所以12-=n n a a ,
所以数列{}n a 是以1-为首项,2为公比的等比数列,所以1
2-=-n n a ,
所以661(12)
6312
-⨯-=
=--S . 4.21n n +【解析】设等差数列的首项为1a ,公差为d ,则1123
43
4102
a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩, 解得11a =,1d =,
∴1(1)(1)
22n n n n n S na d -+=+
⨯=
,所以12112()(1)1n
S k k k k ==-++, 所以
1111111122[(1)()()]2(1)223111n
k k
n
S n n n n ==-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∑. 5.1
n
-
【解析】当1n 时,111S a ==-,所以111S =-, 因为111n n n n n a S S S S +++=-=,所以
1111n n S S +-=,即1111n n
S S +-=-, 所以1
{
}n
S 是以1-为首项,1-为公差的等差数列, 所以
1(1)(1)(1)n n n S =-+--=-,所以1n S n
=-. 6.
20
11
【解析】由题意得:112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+
(1)
1212
n n n n +=+-+
++=
所以101111220
2(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++.
7.【解析】当n =1时,1a =1S =
121
33a +,解得1a =1, 当n ≥2时,n a =1n n S S --=2133n a +-(12133n a -+)=122
33
n n a a --,即n a =12n a --,
∴{n a }是首项为1,公比为-2的等比数列,∴n a =1
(2)
n --.
8.(1)1
16
-
,(2)10011(1)32-
【解析】(1)∵1
(1)2n
n n n
S a =--
. 3n =时,a 1+a 2+a 3=-a 3-1
8 ①
4n =时,a 1+a 2+a 3+a 4=a 4-116,∴a 1+a 2+a 3=-1
16. ②
由①②知a 3=-1
16.
(2)1n >时,1
1111(1)
()2n n n n S a ----=--,∴11(1)(1)()2
n n n n n n a a a -=-+-+
当n 为奇数时,1
111
()
2
2
n n n a a +-=-; 当n 为偶数时,11()2
n
n a -=-.
故1
1(),21(),2
n n n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数,11,20,n n n S n +⎧-
⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数
∴121002*********(
)2222
S S S ++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+ 10010010011
(1)
111142(1)(1)1323214
-=-=--=--.
9.1830【解析】可证明:
14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+
1123410b a a a a =+++=⇒151514
10151618302
S ⨯=⨯+
⨯=. 10.3018【解析】因为cos 2n π的周期为4;由cos 12
n n a n π
=+n N *∈
∴12346a a a a +++=,56786a a a a +++=,… ∴201250363018S =⨯=.
11.【解析】(1)由42a +是3a ,5a 的等差中项得35424a a a +=+,
所以34543428a a a a ++=+=, 解得48a =.
由3520a a +=得1
8()20q q
+=, 因为1q >,所以2q =.
(2)设1()n n n n c b b a +=-,数列{}n c 前n 项和为n S .
由11,1,2n n
n S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥,解得41n c n =-.
由(1)可知1
2n n a -=,
所以1
11(41)()2
n n n b b n -+-=-⋅,
故2
11(45)()
2
n n n b b n ---=-⋅,2n ≥,
11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-
23111
(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+.
设22
1113711()(45)()222
n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅,2n ≥,
2311111137()11()(45)()22222
n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以221
11111344()4()(45)()22222
n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅,
因此2
114(43)()2
n n T n -=--⋅,2n ≥,
又11b =,所以2
115(43)()2
n n b n -=--⋅.
12.【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得2
20q q --=.
因为0q >,可得2q =,故1
2n n a -=.
设等差数列{}n b 的公差为d ,由435a b b =+,可得13 4.b d +=由5462a b b =+, 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =
所以数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=,数列{}n b 的通项公式为.n b n =
(2)(i)由(1),有122112
n
n n S -=
=--, 故111
2(12)
(21)22212n n
n
k
k
n n k k T n n n +==⨯-=-=-=
-=---∑∑. (ii)证明:因为
1121
2()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21
k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++,
所以,
3243
212
21()2222222()()()2(1)(2)
3243212
n n n n k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑.
13.【解析】证明:(1)因为{}n a 是等差数列,设其公差为d ,则1(1)n a a n d =+-,
从而,当n 4≥时,n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-
122(1)2n a n d a =+-=,1,2,3,k =
所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6, 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.
(2)数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,因此, 当3n ≥时,n n n n n a a a a a --+++++=21124,①
当4n ≥时,n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知,n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++,③
n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+,④
将③④代入②,得n n n a a a -++=112,其中4n ≥, 所以345,,,
a a a 是等差数列,设其公差为d'.
在①中,取4n =,则235644a a a a a +++=,所以23a a d'=-, 在①中,取3n =,则124534a a a a a +++=,所以122a a d'=-, 所以数列{}n a 是等差数列.
14.【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,74728S a ==,
∴44a =,∴41
13
a a d -=
=,∴1(1)n a a n d n =+-=. ∴[][]11lg lg10b a ===,[][]1111lg lg111b a ===,[][]101101101lg lg 2b a ===. (Ⅱ)记{}n b 的前n 项和为n T ,则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+
[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+.
当0lg 1n a <≤时,129n =⋅⋅⋅，，，; 当1lg 2n a <≤时,101199n =⋅⋅⋅，，，; 当2lg 3n a <≤时,100101999n =⋅⋅⋅，，，;
当lg 3n a =时,1000n =.
∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=.
15.【解析】(Ⅰ)当1n =时,2
11112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a =3,
当2n ≥时,22
11143434---+--=+--=n n n n n n n a a a a S S a ,即
111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+,因为0n a >,所以1n n a a --=2,
所以数列{n a }是首项为3,公差为2的等差数列, 所以n a =21n +; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,n b =
1111
()(21)(23)22123
n n n n =-++++,
所以数列{n b }前n 项和为
12n b b b ++
+=1111111
[()()(
)]23557
2123
n n -+-+
+-++ =
116463(23)
n n n -=++. 16.【解析】(1)由题意知:1212242n n n a a na -+++
+=-
当3=n 时,121
22
2=42++-
a a ; 当3=n 时,123232
2+3=42
++-a a a ;
32132223
3=4(4)224++---=a
31=4
a
(2)当1n 时,1
11
12
4
12a ; 当2n ≥时,由121
2
242n n n a a na -+++
+=-
知 1212
12
2(1)42
n n n a a n a ---+++
+-=-
两式相减得21112222n n n n n n n
na ---++=-=, 此时1
1
2n
n a . 经检验知1
1a 也满足112n
n a .故数列{}n
a 是以1为首项,1
2
为公比的公比数列,
故11
1[1()]
1221212
n n n T -⨯-==--. (3)由(1)(2)知,1
11b a .
当2n ≥时,211
1
2111
11112(1)(1)23232n n n n n T b a n n
n n ----
=
++++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+⋅
1211111(1)2312
n n n n -=++++⋅⋅⋅+-⋅-. 当1n 时,1122ln12S ,成立;
当2n ≥时,
122112111
1[(1)][(1)]2223232n S =++-⋅+++-⋅+⋅⋅⋅
1211111[(1)]2312n n n n -+++++⋅⋅⋅+-⋅- 212311111111111112()()()2322222222n n n --+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-
34121211111111111()()()322221222
n n n n n n ----+++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-- 2
12111111111212()(1)()1232222
12
n n n ---+++⋅⋅⋅++-+⋅--
3
3212111111111112()()()13221222
12
n n n n n n -----+⋅-+⋅⋅⋅+-+--- 1111111112()(1)()23222n n n --+++⋅⋅⋅++-+-
111111111()()()32122n n n n n ---+-+⋅⋅⋅+-+-- 1111111122()(1)23232n n n -=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⋅111
22()23n
<+++⋅⋅⋅+.
构造函数()ln(1),01x
f x x x x
=+-
>+ 2
()0,()()1x f x f x x
在0,+单调递增'∴=>∞+
()ln(1)(0)01x
f x x f x
∴=+->=+
ln(1)()1x
x x 在0,+上恒成立∴+>∞+,即
ln(1)1x x x
1
=
,1x n 令-2n ≥,则11ln(1)1
n n <+
-, 从而可得
11ln(1)221<+-,11ln(1)331<+-,⋅⋅⋅,11
ln(1)1
n n <+-, 将以上1n -个式子同向相加即得
{}111111ln(1)ln(1)ln(1)2321311n n ++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅++=--- 23ln()ln 121
n n n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=-, 故111
22()22ln 23n S n n
<+++⋅⋅⋅+<+
综上可知,22ln n S n <+.
17.【解析】(Ⅰ)22
11111:(1)320,60,n S S S S =---⨯=+-=令得即
所以11(3)(2)0S S +-=,
1110,2, 2.S S a >∴==即
(Ⅱ)2222
(3)3()0,:(3)()0,n n n n S n n S n n S S n n ⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦由得
20(),0,30,,n n n n a n N S S S n n *>∈∴>+>∴=+从而
2212,(1)(1)2,
n n n n a S S n n n n n -⎡⎤∴≥=-=+--+-=⎣⎦当时1221,2().n a a n n N *==⨯∴=∈又
(Ⅲ)2
2313
,()(),221644
k k k N k k k k *
∈+
>+-=-+当时 111111
113(1)2(21)44()()()244
k k a a k k k k k k ∴==⋅<⋅
+++-+ 1
1
111
11114
4(1)()(1)4444k k k k ⎡⎤
⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
112211
1(1)(1)
(1)
n n a a a a a a ∴
++
+
+++1111111
()()11111141223(1)444444n n ⎡⎤
⎢⎥<-+-+
+-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦
.
18.【解析】(Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，
当 .1,011=≠⇒a a 111
1
1111222221----=⇒-=---=
-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为
(Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设
1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT
上式错位相减:
n n n n
n n n n na q
q a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++
*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒.
19.【解析】(1)由1111
121
0,0,.22n n n n n nba n n a b a a n a b b a ----=>=
>=++-知
令11
,n n n A A a b
=
=, 当112
2,n n n A A b b
-≥=+时21
12111222n n n n A b b b b
----=++
++ 21
2112
22.n n n n b b
b b
---=++++ ①当2b ≠时,
12(1)
2,2(2)1n
n n n n b b b A b b b
⎛⎫
- ⎪-⎝⎭==--
②当2,.2
n n b A ==
时 (2)
,222,2n n n
n nb b b a b b ⎧-≠⎪
=-⎨⎪=⎩
(2)当2b ≠时,(欲证1111(2)21,(1)2222
n n n n n n
n n n n n nb b b b b a nb b b ++++--=≤+≤+--只需证)
1
1
111212(2
)(2)(22)2
n n n n n n n n n b b
b b b b ++++----+=++++-
112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=++++++
+
2
1212222()2
22
n n n n
n
n n n b b b b b b
b --=++
+++++ 12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=⋅=⋅,
1
1(2) 1.22n n n n n
n nb b b a b ++-∴=<+- 当1
12,2 1.2n n n b b a ++===+时
综上所述1
1 1.2
n n n b a ++≤+。