秦九韶算法与K进制练习题(含详细解答)
高考数学同步测试 (44)
第2课时秦九韶算法与进位制学习目标 1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．知识点一秦九韶算法1．求n次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法．2．秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．知识点二进位制若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n，a n－1，…，a1，a0∈N,0<a n<k,0≤a n－1，…，a1，a0<k)．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数．思考59分59秒再过1秒是多少时间？答案1小时．上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制．类比给出k进制的概念．“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.知识点三进制间的转化1．一般地，将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2．把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k，余数为k进制的右数第一位数．把商再除以k，余数为k进制右数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法．1．二进制数中可以出现数字3.(×)2．把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法．(√)3．不同进制数之间可以相互转化．(√)题型一秦九韶算法的应用例1用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟(1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算，则可提高运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时，多项式的值为0.题型二k进制化为十进制例2二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？解110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数．跟踪训练2(1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数．(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数．解(1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以，化为十进制数是104 902.题型三十进制化k进制例3将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．解算式如图，则458＝13 022(4)＝2 042(6)．反思感悟十进制数化为k进制数的思路为除k取余→倒序写出→标明基数.跟踪训练3把89化为二进制数．解算式如图，则89＝1 011 001(2)．秦九韶算法求多项式的值典例用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v0＝1，v1＝1×0.3＋0＝0.3，v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，v3＝0.2×0.3＋0＝0.06，v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x＝0.3时，f(x)的值为－0.079 6.[素养评析](1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必须补上系数为0的相应项．这是本题的易错点．(2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.1．已知175(r)＝125(10)，则r的值为()A．1 B．5 C．3 D．8答案 D解析∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴r＝8，故选D.2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( ) A ．10 B ．9 C ．12 D ．8 答案 C解析 f (x )＝(((((6x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ＋7， ∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.3．用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 4＋2x 3＋3x 2＋x ＋1当x ＝2时的值时，第一次运算的是( ) A ．1×2 B ．24 C ．2＋1 D ．1×2＋2答案 D解析 因为f (x )＝(((x ＋2)x ＋3)x ＋1)x ＋1，据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2. 4．下列各数中，最小的数是( ) A ．85(9) B ．210(6) C ．1 000(4) D ．111 111(2)答案 D解析 85(9)＝8×9＋5＝77， 210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78， 1 000(4)＝1×43＝64，111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63. 故最小的是63.5．(1)将二进制数1611111⋅⋅⋅个转化成十进制数；(2)将53(8)转化为二进制数．解 (1)1611111⋅⋅⋅个 (2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.(2)先将八进制数53(8)转化为十进制数： 53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图．所以53(8)＝101 011(2)．1．要把k 进制数化为十进制数，首先把k 进制数表示成不同位上数字与k 的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和．2．十进制数化为k 进制数(除k 取余法)的步骤：3．用秦九韶算法求多项式f (x )当x ＝x 0时的值的思路为(1)改写；(2)计算⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x 0＋a n －k (k ＝1，2，…，n )；(3)结论f (x 0)＝v n .一、选择题1．下列各数可能是五进制数的是( ) A ．55 B ．106 C ．732 D ．2 134答案 D解析 五进制数的基数是5，在所构成的数中，只可能用0,1,2,3,4这5个数字． 2．把五进制数123(5)改写成十进制数为( ) A ．83 B ．64 C ．38 D ．44 答案 C解析 五进制数123(5)改写成十进制数应为1×52＋2×51＋3×50＝38.3．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝2x 6＋5x 5＋6x 4＋23x 3－8x 2＋10x －3当x ＝－4时的值时，v 3的值为( ) A ．－742 B ．－49 C ．18 D ．188答案 B解析 f (x )＝2x 6＋5x 5＋6x 4＋23x 3－8x 2＋10x －3＝(((((2x ＋5)x ＋6)x ＋23)x －8)x ＋10)x －3， v 0＝2，v 1＝v 0x ＋5＝2×(－4)＋5＝－3，v 2＝v 1x ＋6＝－3×(－4)＋6＝18， v 3＝v 2x ＋23＝18×(－4)＋23＝－49，故选B.4．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为( ) A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 答案 B解析 101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11. 5．四位二进制数能表示的最大十进制数是( ) A ．4 B ．64 C ．255 D ．15 答案 D解析 由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，此时，1 111(2)＝15.6．已知44(k )＝36，把67(k )转化为十进制数为( ) A ．8 B ．55 C ．56 D ．62 答案 B解析 由题意得，36＝4×k 1＋4×k 0，所以k ＝8. 则67(k )＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.7．用秦九韶算法求多项式f (x )＝1＋2x ＋x 2－3x 3＋2x 4当x ＝－1时的值时，v 2的结果是( ) A ．－4 B ．－1 C ．5 D ．6 答案 D解析 此题的n ＝4，a 4＝2，a 3＝－3，a 2＝1，a 1＝2，a 0＝1，由秦九韶算法的递推关系式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1，2，…，n )，得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6，故选D.8．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于()A．7或4 B．－7C．4 D．－4答案 C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．9．下列四个数最大的是()A．322(7)B．402(6)C．342(7)D．355(6)答案 C解析342(7)＝3×72＋4×7＋2＝177，402(6)＝4×62＋0×6＋2＝146.所以342(7)＞402(6)．而342(7)＞322(7)，402(6)＞355(6)，所以最大的数是342(7)．二、填空题10．若146(x)＝66，则x的值为________．答案 6解析146(x)＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.可得x＝6(负值舍去)．11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v6＝v5x＋a0，则v3的值是________．答案－15解析f(x)＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，所以v0＝1，v1＝1×(－1)－5＝－6，v2＝(－6)×(－1)＋6＝12，v3＝12×(－1)－3＝－15.三、解答题12．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．解∵f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13，v0＝3，v1＝v0×6＋12＝30，v2＝v1×6＋8＝188，v3＝v2×6－3.5＝1 124.5，v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2，v5＝v4×6＋5＝40 530.2，v6＝v5×6－13＝243 168.2，∴f(6)＝243 168.2.13．十六进制数与十进制数的对应如表：例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝1×16＋7＝17(16)，所以A＋B的值用十六进制表示就等于17(16)．试计算：A×B＋D＝________.(用十六进制表示)答案92(16)解析∵A×B＋D＝11×12＋14＝146，146＝9×16＋2，∴用十六进制表示146为92(16)．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9 B．18C．20 D．35 答案 B解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2v＝1×2＋2＝4i＝1v＝4×2＋1＝9i＝0v＝9×2＋0＝18i＝－1跳出循环，输出v＝18，故选B.。
2019_2020学年高中数学第一章算法初步1.3.2秦九韶算法练习(含解析)新人教A版必修3
第9课时秦九韶算法知识点一秦九韶算法的原理1．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x当x＝x0时的值，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( )A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，5答案 D解析n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4．故选D．2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是( )A．－4 B．－1 C．5 D．6答案 D解析n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6．3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是( ) A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34答案 D解析因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6＝34．4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4－2x3＋3x2－7x－5，当x＝4时的值，给出如下数据．①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143其中运算过程中(包括最终结果)会出现的数有________．(只填序号)答案②③④⑤解析将多项式改写成f(x)＝(((x－2)x＋3)x－7)x－5．v0＝1；v1＝1×4－2＝2；v2＝2×4＋3＝11；v3＝11×4－7＝37；v4＝37×4－5＝143．知识点二利用秦九韶算法计算多项式的值5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2369；v6＝2369×3＋1＝7108；v7＝7108×3＝21324．故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324．易错点利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误6．已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．易错分析由于没有抓住秦九韶算法原理的关键，没有正确改写多项式并使每一次计算只含有x的一次项而致误．正解f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)＋0＝－6；v2＝－6×(－2)＋2＝14；v3＝14×(－2)＋4＝－24；v 4＝－24×(－2)＋2＝50．故f (－2)＝50．一、选择题1．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝3x 6＋9x 5＋5x 4＋6x 3＋12x 2＋8x －7在x ＝2时的值，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．5，5B ．5，6C ．6，6D ．6，5答案 C解析 因为f (x )的最高次数是6，所以需要做乘法和加法的次数都是6．2．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时，v 4的值为( )A ．－57B ．220C ．－845D ．3392答案 B解析 v 0＝3，v 1＝3×(－4)＋5＝－7， v 2＝－7×(－4)＋6＝34，v 3＝34×(－4)＋79＝－57，v 4＝－57×(－4)－8＝220．3．已知多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( ) A ．－1972 B ．1972 C ．1832 D ．－1832答案 A解析 ∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12，∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972． 4．秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是( )A ．可以减少加法运算次数B ．可以减少乘法运算次数C ．同时减少加法和乘法的运算次数D ．加法次数和乘法次数都有可能减少答案 B解析 秦九韶算法可以把至多n n ＋12次乘法运算减少为至多n 次乘法运算．加法运算次数不变．5．用秦九韶算法计算函数y ＝2x 3－3x 2＋2x －1在x ＝2时的函数值，则下列各式正确的是( )A ．v 0＝2B ．v 0＝1C ．v 1＝4D ．v 2＝7答案 A解析 根据秦九韶算法，把多项式改写成y ＝((2x －3)x ＋2)x －1，从内到外依次计算：v 0＝2，v 1＝2×2－3＝1，v 2＝1×2＋2＝4，v 3＝4×2－1＝7．二、填空题6．已知f (x )＝x 5＋2x 3＋3x 2＋x ＋1，用秦九韶算法计算x ＝3时的值，v 3的值为________． 答案 36解析 v 0＝1，v 1＝1×3＋0＝3，v 2＝3×3＋2＝11，v 3＝11×3＋3＝36，…．7．用秦九韶算法求多项式f (x )＝5x 5＋3x 3＋2x 2＋10，当x ＝3时f (x )的值为________． 答案 1324解析 f (x )＝5x 5＋0x 4＋3x 3＋2x 2＋0x ＋10＝((((5x ＋0)x ＋3)x ＋2)x ＋0)x ＋10＝((((5x )x ＋3)x ＋2)x )x ＋10，当x ＝3时，有v 0＝5， v 1＝5×3＝15，v 2＝15×3＋3＝48，v 3＝48×3＋2＝146，v 4＝146×3＝438，v 5＝438×3＋10＝1324，∴f (3)＝1324．8．用秦九韶算法求多项式f (x )＝1－5x －8x 2＋10x 3＋6x 4＋12x 5＋3x 6当x ＝－4时的值时，v 0，v 1，v 2，v 3，v 4中最大值与最小值的差是________．答案 62解析多项式变形为f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，v0＝3，v1＝3×(－4)＋12＝0，v2＝0×(－4)＋6＝6，v3＝6×(－4)＋10＝－14，v4＝－14×(－4)－8＝48，∴v4最大，v3最小．∴v4－v3＝48－(－14)＝62．三、解答题9．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3．5x3＋7．2x2＋5x－13，当x＝6时的值，写出详细步骤．解f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3．5)x＋7．2)x＋5)x－13，v0＝3，v1＝v0×6＋12＝30，v2＝v1×6＋8＝188，v3＝v2×6－3．5＝1124．5，v4＝v3×6＋7．2＝6754．2，v5＝v4×6＋5＝40530．2，v6＝v5×6－13＝243168．2．f(6)＝243168．2．10．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x7＋x6－x3＋x＋3当x＝－1时的值，并判断f(x)在区间[－1，0]内有没有零点．解∵f(x)＝5x7＋x6－x3＋x＋3＝((((((5x＋1)x＋0)x＋0)x－1)x＋0)x＋1)x＋3，∴当x＝－1时，v0＝5，v1＝5×(－1)＋1＝－4，v2＝－4×(－1)＋0＝4，v3＝4×(－1)＋0＝－4，v4＝－4×(－1)－1＝3，v5＝3×(－1)＋0＝－3，v6＝－3×(－1)＋1＝4，v7＝4×(－1)＋3＝－1，∴f(－1)＝－1．又f(0)＝3，∴f(0)·f(－1)<0，由零点存在定理，知f(x)在区间[－1，0]内有零点．。
(典型题)高中数学必修三第二章《算法初步》测试(答案解析)
一、选择题1．我国南宋时期数学家秦九韶在其著作（数术九章》中提出了解决多项式求值的秦九韶算法，其程序框图如图所示，若输入3x =，则输出v 的值为（ ）A ．1131-B ．11312-C ．12312-D ．10312-2．运行下图所示的程序框图，如果输入的2020n =，则输出的n =（ ）A．6 B．7 C．63 D．64 3．执行如图所示的程序框图，如果输入4n ，则输出的结果是（）A．32B．116C．2512D．137604．如图所示程序框图是德国数学家科拉茨1937年提出的一个著名猜想.根据猜想，不断重复程序运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.按照这种运算，若输出k的值为9，则输入整数N的值可以为（）A．3 B．5 C．6 D．105．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A ．910B ．1011C ．1112D ．1116．如图是一个程序框图，则输出k 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．若正整数N 除以正整数m 后的余数为r ，则记为(,)Mod N m r =，例如(10,4)2Mod =.如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i =（ ）A ．8B ．18C ．23D ．388．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？9．被称为宋元数学四大家的南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中记载了求解三角形面积的公式，如图是利用该公式设计的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．执行如下图的程序框图，如果输入的N 的值是7，那么输出的p 的值是（ ）A ．3B ．15C ．105D ．94511．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 12．执行如图所示的程序框图,若输入的6n =，则输出S =A ．514B ．13C ．2756D ．310二、填空题13．按下列程序框图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是__________．14．下图所示的算法流程图中，输出的S表达式为__________．15．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为______．16．执行如图所示的程序框图，若输入的,a k分别是89，2，则输出的数为__________．17．执行如图所示的程序框图，输出的S值为__________.18．101110（2）转化为十进制数是__________．19．执行右边的程序框图，若，则输出的________．20．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为________.三、解答题21．画出程序框图，要求输入自变量x 的值，输出函数值，并写出用基本语句编写的程序.2,0()23,10.,1x x f x x x x x ⎧≥⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩22．把下列程序用程序框图表示出来.=20=15===*A B A A B B A B A A B PRINT A B END+-+23．指出下列程序框图表示的算法，并将最后输出的结果表示出来，指出相应的循环结构，并用另一种循环结构画出这个算法的程序框图．24．有关专家建议预测，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这将对我国经济的稳定有利无害．所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情况下，某种品牌的钢琴2015年的价格是10 000元，试分析其算法并用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格．25．如图,已知单位圆x2+y2=1与x轴正半轴交于点P,当圆上一动点Q从P出发沿逆时针方向旋转一周回到P点后停止运动设OQ扫过的扇形对应的圆心角为xrad,当0<x<2π时,设圆心O到直线PQ的距离为y,y与x的函数关系式y=f(x)是如图所示的程序框图中的①②两个关系式(Ⅰ)写出程序框图中①②处的函数关系式;(Ⅱ)若输出的y值为2,求点Q的坐标.26．某次数学考试中,其中一个小组的成绩为55,89,69,73,81,56,90,74,82.设计一个算法,用自然语言描述从这些成绩中搜索出小于75的成绩,并画出程序框图.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据给定的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，即可求解. 【详解】由题意，输入3,1,1x v k ===，第1次循环，满足判断条件，31,2v k =+=；第2次循环，满足判断条件，2(31)31331,3v k =+⨯+=++=；第10次循环，11109313331,112v k -=++++==，不满足判断条件，输出运算结果11312v -=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法进行求解，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据题中所给的框图，模拟执行程序框图，求得结果. 【详解】输入2020100n =>，且不是奇数，赋值1010100n =>，且不是奇数， 赋值505100n =>，且是奇数，赋值252100n =>，且不是奇数， 赋值126100n =>，且不是奇数，赋值63100n =<， 赋值()2log 6316n =+=，输出6. 故选：A 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算程序框图的输出结果，属于简单题目.3．B解析：B 【分析】根据题意，运行程序可实现111112341S n =++++⋯+-运算求值，从而得答案． 【详解】第一次执行程序，1,2S i ==，第二次执行程序，11,32S i =+=， 第三次执行程序，111,423S i =++=， 因为44=，满足条件，跳出循环， 输出结果116S =. 故选：B ．【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于容易题． 4．C解析：C【分析】模拟程序的运行，可以从N 为1出发，按照规则，逆向求解即可求出N 的所有可能的取值.【详解】解：模拟程序的运行，可知输出时，1,9N k ==，逆向运行程序得：2,8N k ==⇐4,7N k ==⇐8N =或1（舍去）,6k =⇐16,5N k ==⇐5,4N k ==⇐10,3N k ==⇐20N =或3,2k =⇐40N =或6,1k =.故选：C.【点睛】本题考查的知识点是程序框图的应用，推理与证明，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.5．B解析：B【分析】模拟程序运行后,可得到输出结果,利用裂项相消法即可求出答案.【详解】模拟程序运行过程如下:0)1,0k S ,判断为否,进入循环结构, 1)110,2122S k =+==⨯,判断为否,进入循环结构, 2)11,3223S k =+=⨯,判断为否,进入循环结构, 3)111,422334S k =++=⨯⨯,判断为否,进入循环结构, ……9)111,10223910S k =+++=⨯⨯,判断为否,进入循环结构, 10)1111,112239101011S k =++++=⨯⨯⨯,判断为是, 故输出1112231011S =+++⨯⨯111111101122310111111=-+-++-=-=, 故选:B.【点睛】 本题主要考查程序框图,考查裂项相消法,难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时,常模拟程序运行以得到结论.6．B解析：B【分析】根据程序框图，模拟计算过程即可求解.【详解】程序框图的执行过程如下：1S =，10k =；1011S =，9k =； 911S =，8k ； 811S =，7k =， 循环结束.故选B.【点睛】本题主要考查了程序框图，算法结构，属于中档题.7．C解析：C【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余3，③被7除余2，故输出的i 为23，【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．B解析：B【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案.【详解】根据程序框图,运行如下:初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=;判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=;判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=;判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=;判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=;判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.9．B解析：B【分析】模拟程序运行，依次计算可得所求结果【详解】当4a =，3b =，2c =时，124S =<，2k =； 当5a =，4b =，3c =时，612S =<，3k =；当6a =，5b =，4c =时，27124S =<，4k =；当7a =，6b =，5c =时，12S =>，5k =；故选B【点睛】本题考查程序运算的结果，考查运算能力，需注意1k k =+所在位置10．C解析：C由已知中的程序框图，得到该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得：7,1,1N k p ===，满足条件7k <，执行循环体，3,3k p ==；满足条件7k <，执行循环体，5,15k p ==；满足条件7k <，执行循环体，7,105k p ==；此时，不满足条件7k <，推出循环，输出p 的值为105，故选C ．【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解答中应模拟程序框图的运行过程，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．D解析：D【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.【详解】 根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2S S =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.12．B解析：B【解析】【分析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】 由流程图可知，程序输出的值为：1111023344556S =++++⨯⨯⨯⨯， 即1111111123344556S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111263=-=. 故选B .【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】根据题意得到不等式和计算得到答案【详解】根据题意知：且故故答案为：【点睛】本题考查了程序框图没有考虑完整情况是容易发生的错误 解析：(]10,28【分析】根据题意得到不等式()3322244x --≤和()333222244x --->⎡⎤⎣⎦，计算得到答案.【详解】根据题意知：()332224428x x --≤∴≤且()33322224410x x --->∴>⎡⎤⎣⎦ 故(]10,28x ∈故答案为：(]10,28【点睛】本题考查了程序框图，没有考虑完整情况是容易发生的错误.14．【分析】根据流程图知当满足条件执行循环体依此类推当不满足条件退出循环体从而得到结论【详解】满足条件执行循环体满足条件执行循环体满足条件执行循环体…依此类推满足条件执行循环体不满足条件退出循环体输出故 解析：112399++++【分析】根据流程图知当1i =，满足条件100i <，执行循环体，1S =，依此类推，当100i =，不满足条件100i <，退出循环体，从而得到结论．【详解】1i =，满足条件100i <，执行循环体，1S =2i =，满足条件100i <，执行循环体，12S =+3i =，满足条件100i <，执行循环体，123S =++…依此类推99i =，满足条件100i <，执行循环体，1299S =++⋯+，100i =，不满足条件100i <，退出循环体，输出1112399S S ==+++⋯+，故答案为112399++++．【点睛】 本题主要考查了循环结构应用问题，此循环是先判断后循环，属于中档题．15．【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序的运行可得满足条件执行循环体满足条件执行循 解析：7【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1i =满足条件4i <，执行循环体，2S =，2i =满足条件4i <，执行循环体，4S =，3i =满足条件4i <，执行循环体，7S =，4i =此时，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为7．故答案为7．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.16．1011001【解析】模拟程序框图的运行过程如下；输入a=89k=2q=89÷2=44…1；a=44k=2q=44÷2=22…0；a=22k=2q=22÷2=11…0；a=11k=2a=11÷2=5解析：1011001【解析】模拟程序框图的运行过程，如下；输入a=89，k=2，q=89÷2=44…1；a=44，k=2，q=44÷2=22…0；a=22，k=2，q=22÷2=11…0；a=11，k=2，a=11÷2=5…1；a=5，k=2，q=5÷2=2…1；a=2，k=2，q=2÷2=1…0；a=1，k=2，q=1÷20…1；则输出的数为1011001．故答案为：1011001．17．37【解析】根据图得到：n=18S=19n=12S=31n=6S=37n=0判断得到n>0不成立此时退出循环输出结果37故答案为：37解析：37【解析】根据图得到：n=18,S=19,n=12S=31,n=6,S=37,n=0,判断得到n>0不成立，此时退出循环，输出结果37.故答案为：37.18．46【解析】试题分析：考点：进位制间的关系解析：46【解析】试题分析：2345(2)101110121212021246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．考点：进位制间的关系． 19．【解析】试题分析：程序执行中的数据变化为：不成立输出考点：程序框图 解析：【解析】 试题分析：程序执行中的数据变化为：17,1,0,17,2,,27,3,23p n s n s n ===<==<=⨯ 1111167,7,,772334233478s n s =+<==+++<⨯⨯⨯⨯⨯不成立，输出111113233478288s =+++=-=⨯⨯⨯ 考点：程序框图20．1320【分析】由题意结合所给的流程图执行程序确定其输出值即可【详解】程序运行如下：首先初始化数据：第一次循环满足执行；第二次循环满足执行；第三次循环不满足跳出循环输出故答案为【点睛】识别运行程序框 解析：1320【分析】由题意结合所给的流程图执行程序，确定其输出值即可.【详解】程序运行如下：首先初始化数据：12,1i S ==，第一次循环，满足10i ≥，执行12,111S S i i i =⨯==-=；第二次循环，满足10i ≥，执行132,110S S i i i =⨯==-=；第三次循环，不满足10i ≥，跳出循环，输出1320S =.故答案为1320．【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．三、解答题21．见解析【分析】本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，我们根据题目已知中分段函数的解析式，然后根据分类标准，设置两个判断框的并设置出判断框中的条件，再由函数各段的解析式，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图，再编写满足题意的程序．【详解】由题意得到算法如下：第一步，输入x；第二步，判断条件x≥0是否成立，若成立，则y＝2x，并输出y，结束算法；否则，执行第三步；第三步，判断条件x≤﹣1是否成立，若成立，则计算y＝﹣x，并输出y，结束算法；否则，计算y＝2x﹣3，并输出y，结束算法.程序框图为：程序为如下：【点睛】本题考查了设计程序框图解决实际问题．主要考查编写程序解决分段函数问题．22．见解析；【解析】试题分析: 首尾加开始与结束圆角矩形框图,赋值语句改为矩形框图,输出语句改为平行四边形框图试题程序框图如下：点睛：23．见解析【解析】【分析】该程序框图表示的算法是计算1×3×5×…×97的值，采用的是直到型循环结构，所以另一种循环结构为当型循环；当型循环结构的特点是先判断条件，当条件满足时执行循环体，所以应把条件改为i<99，并且把判断条件放在循环题的前面.【详解】程序框图表示的算法是计算1×3×5×…×97的值，采用的是直到型循环结构．利用当型循环结构表示为：【点睛】本题考查程序框图的应用和计算，直到型循环、当型循环的联系与区别，属于基础题.24．见解析【解析】【分析】用P(单位：元)表示钢琴的价格，根据指数函数的性质写出算法步骤，进而得到流程图.【详解】用P(单位：元)表示钢琴的价格，算法步骤如下：2016年 P＝10 000×(1＋3%)＝10 300(元)；2017年 P＝10 300×(1＋3%)＝10 609(元)；2018年 P＝10 609×(1＋3%)＝10 927.27(元)；2019年 P＝10 927.27×(1＋3%)＝11 255.088 1(元)．因此，价格的变化情况表为：年份20152016201720182019钢琴的价格10 00010 30010 60910 927.2711 255.088 1【点睛】本题考查苏菲的设计及流程图，属基础题.25．(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意得到函数解析式为f(x)=(]()x,0,π,2x,,22cos xcos xππ⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩，根据这一条件可得到结果；（2）当0<x<2π时x=2π3，π<x<2π时, x=4π3，分别求得点的坐标.(I)当0<x≤π时,y=cos2x;,当π<x<2π时,y=cos(π-2x)=-cos2x综上可知,函数解析式为f(x)=(]()x ,0,π,2x ,,22cos xcos x ππ⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩. 所以框图中①②处应填充的式子分别为y=cos2x ,y=-cos 2x , (Ⅱ)若输出的y 值为,则当0<x<2π时由cos 2x =12,得x=2π3,此时点Q 的坐标为(-12,3); 当π<x<2π时,由-cos=2x =12,得x=4π3,此时点Q 的坐标为(-12,-3 ). 26．答案见解析【解析】试题分析：直接利用已知条件写出算法，再利用循环语句写出程序框图. 试题算法如下:第一步,i=1;第二步,输入一个数a ;第三步,若a<75,则输出a ;第四步,i=i+1;第五步,若i>9,则结束算法,否则,执行第二步.程序框图如下:。
算法案例二--秦九韶算法
作业：
1、课本 P48 A 组第 2 题。 2、用秦九韶算法计算 5 次多项式 f ( x) 2 x5 x4 10 x3 10x2 3x 1 ， 当 x 2 时的值。 3、用秦九韶算法计算多项式 f ( x) x6 12x5 60x4 160x3 240x2 192x 64 ， 当 x 2 时的值．
第二步： 计算 (an x an1 ) x an2 的值， 可以改写为 v1 x an 2 ， 将 v1 x an 2 的值赋给一个变量 v 2 ；
依次类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值 vk ，即从最内层的括号到 最外层的括号的值依次赋予变量 v1 , v2 ,, vn .第 n 步所求值 vn vn1 x a0 即为所求多项式的值。
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n2 a1 ) x a0 (( an x n2 an1 x n3 a2 ) x a1 ) x a0
n(n 1) 次乘法运算和 n 次加法运算,减少为 n 次 2
乘法运算和 n 次加法运算,大大提高了运算效率.
三、秦九韶算法应用：
例一、 已知一个 5 次多项式 f ( x) 5x 5 2x 4 3.5x 3 2.6x 2 1.7 x 0.8 ， 用秦九韶算法求这个多项式当 x 5 时的值。
10
变形后 x 的“系数” 2 5
25
21
105
108
540
534
2670
2677
思考：如何描述上述计算过程？
结论： 将变形前 x 的第 1 个系数乘以 x 的值， 加上变形前第 2 个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以 x 的值，再 加上变形前第 3 个系数，又得到一个新的系数；继续对新系 数做上面的变换，直到与变形前最后一个系数相加，得到一 个新系数为止，这个系数即为所求的多项式的值。
高一数学算法案例试题答案及解析
高一数学算法案例试题答案及解析1.用辗转相除法求得数98与63的最大公约数是____________；【答案】7【解析】98=63×1+35，63=35×1+28，35=28×1+7，28=7×4．∴98与63的最大公约数是7.【考点】辗转相除.2.已知函数，用秦九韶算法计算__________；【答案】4485【解析】则；故答案为：4485.【考点】秦九韶算法.3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋3x4－5x3＋7x2－9x＋11当x＝4时的值为．【答案】1559【解析】，当x=4时f(x)=1559．【考点】秦九韶算法．4.已知，应用秦九韶算法计算时的值时，的值为()A．27B．11C．109D．36【答案】D【解析】根据秦九韶算法，把多项式改写成，所以，，，，故选D.【考点】秦九韶算法.5.用辗转相除法求得228和1995的最大公约数是【答案】57【解析】∵1995÷228=1…171，228÷171=1…57，171÷57=3，∴228与1995的最大公约数是57。
【考点】本题主要考查辗转相除法。
点评：简单题，思路清晰，细心计算即得。
6.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据。
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤。
试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）【答案】（1）如图（2）（3）预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤。
【解析】（1）如图（2）由系数公式可知，，，所以线性回归方程为（3）时，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤。
秦九韶算法与K进制练习题(含详细解答)
.秦九韶与k进制练习题一．选择题（共16小题）1．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．12．用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1，当x=2时的值，则v3=（）A．4 B．9 C．15 D．293．把67化为二进制数为（）A．110000 B．1011110 C．1100001 D．10000114．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，55．使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5﹣2x4+5x3﹣7x2﹣2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（）A．6，3 B．6，6 C．21，3 D．21，66．把27化为二进制数为（）A．1011（2）B．11011（2）C．10110（2）D．10111（2）7．用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3﹣2x2﹣x﹣1在x=﹣4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是（）A．14，5 B．5，5 C．6，5 D．7，58．二进制数11001001（2）对应的十进制数是（）A．401 B．385 C．201 D．2589．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用（）分钟．A．13 B．14 C．15 D．2310．用秦九韶算法在计算f（x）=2x4+3x3﹣2x2+4x﹣6时，要用到的乘法和加法的次数分别为（）A．4，3 B．6，4 C．4，4 D．3，411．用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x2﹣3x3+2x4在x=﹣1时的值，v2的结果是（）A．﹣4 B．﹣1 C．5 D．612．下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、111111（2）中最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．111111（2）13．十进制数89化为二进制的数为（）A．1001101（2）B．1011001（2）C．0011001（2）D．1001001（2）14．烧水泡茶需要洗刷茶具（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡茶（2min）等个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．第一步：洗刷茶具；第二步：刷水壶；第三步：烧水；第四步：泡茶B．第一步：刷水壶；第二步：洗刷茶具；第三步：烧水；第四步：泡茶C．第一步：烧水；第二步：刷水壶；第三步：洗刷茶具；第四步：泡茶D．第一步：烧水；第二步：烧水的同时洗刷茶具和刷水壶；第三步：泡茶15．在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．11111（2）16．把23化成二进制数是（）A．00110 B．10111 C．10101 D．11101二．填空题（共11小题）17．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4的值时，其中V1的值= _________ ．18．把5进制的数412（5）化为7进制是_________ ．19．用秦九韶算法计算多项式f（x）=8x4+5x3+3x2+2x+1在x=2时的值时，v2= _________ ．20．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，至多需要做乘法和加法的次数分别是_________ 和_________ ．21．军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为abc，七进位制表示为cba，那么苹果的总数用十进位制表示为_________ ．22．若六进制数Im05（6）（m为正整数）化为十进数为293，则m= _________ ．23．用秦九韶算法求多项式f（x）=5x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8当x=5时的值的过程中v3= _________ ．24．完成下列进位制之间的转化：1234= _________ （4）．25．把十进制数51化为二进制数的结果是_________ ．26．进制转化：403（6）=_________ （8）．27．完成右边进制的转化：1011（2）= _________ （10）= _________ （8）．三．解答题（共3小题）28．将多项式x3+2x2+x﹣1用秦九韶算法求值时，其表达式应写成_________ ．29．写出将8进制数23760转化为7进制数的过程．30．已知一个5次多项式为f（x）=4x5﹣3x3+2x2+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值．答案与评分标准一．选择题（共16小题）1．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：排序问题与算法的多样性。
秦九韶算法与K进制练习题(含详细解答)
秦九韶算法与K进制练习题(含详细解答)秦九韶与k进制练习题一．选择题（共16小题）1．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．12．用秦九韶算法求多项式f（x）=x+2x+x3x1，当x=2时的值，则v3=（）A．4 B．9 C．15 D．293．把67化为二进制数为（）A．__ B．__-__ C．__-__ D．__-__4．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x+4x+5x+6x+7x+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，55．使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x+4x2x+5x7x2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（）A．6，3 B．6，6 C．21，3 D．21，66．把27化为二进制数为（）A．1011（2）B．__（2）__-__C．__（2）432D．__（2）7．用秦九韶算法计算多项式f （x）=5x+4x+3x2__1在x=4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是（）A．14，5 B．5，5 C．6，5 D．7，58．二进制数__-__（2）对应的十进制数是（）A．401 B．385 C．201 D．2589．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用（）分钟．A．13 B．14 C．15 D．2310．用秦九韶算法在计算f（x）=2x+3x2x+4x6时，要用到的乘法和加法的次数分别为（）A．4，3 B．6，4 C．4，4 D．3，411．用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x3x+2x在x=1时的值，v2的结果是（）A．4 B．1 C．5 D．612．下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、__（2）中最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．__（2）__13．十进制数89化为二进制的数为（）A．__-__（2）B．__-__（2）C．__-__（2）D．__-__（2）14．烧水泡茶需要洗刷茶具（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡茶（2min）等个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．第一步：洗刷茶具；第二步：刷水壶；第三步：烧水；第四步：泡茶B．第一步：刷水壶；第二步：洗刷茶具；第三步：烧水；第四步：泡茶C．第一步：烧水；第二步：刷水壶；第三步：洗刷茶具；第四步：泡茶D．第一步：烧水；第二步：烧水的同时洗刷茶具和刷水壶；第三步：泡茶15．在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．210（6）16．把23化成二进制数是（）A．00110 B．__二．填空题（共11小题）C．1000（4）D．__（2）C．__ D．__ 17．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x8x+79x+6x+5x+3x在x=4的值时，其中V1的值= _________ ．18．把5进制的数412（5）化为7进制是_________ ．19．用秦九韶算法计算多项式f（x）=8x+5x+3x+2x+1在x=2时的值时，v2=．20．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x+4x+5x+6x+7x+8x+1当x=0.4时的值时，至多需要做乘法和加法的次数分别是_________ 和_________ ．21．军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为abc，七进位制表示为cba，那么苹果的总数用十进位制表示为_________ ．22．若六进制数Im05（6）（m为正整数）化为十进数为293，则m= _________ ．23．用秦九韶算法求多项式f（x）=5x+2x+3.5x2.6x+1.7x0.8当x=5时的值的过程中v3=．24．完成下列进位制之间的转化：1234=（4）．25．把十进制数51化为二进制数的结果是26．进制转化：403（6）= _________（8）__-__-__2．27．完成右边进制的转化：1011（2）= _________ （10）= _________ （8）．三．解答题（共3小题）3228．将多项式x+2x+x1用秦九韶算法求值时，其表达式应写成29．写出将8进制数__转化为7进制数的过程．30．已知一个5次多项式为f（x）=4x3x+2x+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值．532答案与评分标准一．选择题（共16小题）1．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：排序问题与算法的多样性。
2020版数学人教A版必修3学案：第一章 1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制 Word版含解析
第2课时 秦九韶算法与进位制学习目标 1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．知识点一 秦九韶算法1．求n次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法．2．秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x ＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．知识点二 进位制若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n，a n－1，…，a1，a0∈N,0<a n<k,0≤a n－1，…，a1，a0<k)．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数．思考 59分59秒再过1秒是多少时间？答案 1小时．上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制．类比给出k进制的概念．“满k进一”就是k 进制，k进制的基数是k.知识点三 进制间的转化1．一般地，将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2．把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k，余数为k进制的右数第一位数．把商再除以k，余数为k进制右数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法．1．二进制数中可以出现数字3.( × )2．把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法．( √ )3．不同进制数之间可以相互转化．( √ )题型一 秦九韶算法的应用例1 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟 (1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算，则可提高运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时，多项式的值为0.题型二 k进制化为十进制例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？解 110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟 将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数．跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数．(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数．解 (1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以，化为十进制数是104 902.题型三 十进制化k进制例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．解 算式如图，则458＝13 022(4)＝2 042(6)．反思感悟 十进制数化为k进制数的思路为除k取余倒序写出标明基数→→.跟踪训练3 把89化为二进制数．解 算式如图，则89＝1 011 001(2)．秦九韶算法求多项式的值典例 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解 将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v0＝1，v1＝1×0.3＋0＝0.3，v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，v3＝0.2×0.3＋0＝0.06，v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x＝0.3时，f(x)的值为－0.079 6.[素养评析] (1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必须补上系数为0的相应项．这是本题的易错点．(2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.1．已知175(r)＝125(10)，则r的值为( )A．1 B．5 C．3 D．8答案 D解析 ∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴r＝8，故选D.2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )A．10 B．9 C．12 D．8答案 C解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4＋2x3＋3x2＋x＋1当x＝2时的值时，第一次运算的是( )A．1×2 B．24C ．2＋1D ．1×2＋2答案 D 解析 因为f (x )＝(((x ＋2)x ＋3)x ＋1)x ＋1，据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2.4．下列各数中，最小的数是( )A ．85(9)B ．210(6)C ．1 000(4)D ．111 111(2)答案 D解析 85(9)＝8×9＋5＝77，210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78，1 000(4)＝1×43＝64，111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.5．(1)将二进制数转化成十进制数；1611111⋅⋅⋅ 个(2)将53(8)转化为二进制数．解 (1) (2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.1611111⋅⋅⋅ 个(2)先将八进制数53(8)转化为十进制数：53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图． 所以53(8)＝101 011(2)．1．要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和．2．十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：3．用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0时的值的思路为(1)改写；(2)计算Error!(3)结论f(x0)＝v n.一、选择题1．下列各数可能是五进制数的是( )A．55 B．106C．732 D．2 134答案 D解析 五进制数的基数是5，在所构成的数中，只可能用0,1,2,3,4这5个数字．2．把五进制数123(5)改写成十进制数为( )A．83 B．64 C．38 D．44答案 C解析 五进制数123(5)改写成十进制数应为1×52＋2×51＋3×50＝38.3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝2x6＋5x5＋6x4＋23x3－8x2＋10x－3当x＝－4时的值时，v3的值为( )A．－742 B．－49C．18 D．188答案 B解析 f(x)＝2x6＋5x5＋6x4＋23x3－8x2＋10x－3＝(((((2x＋5)x＋6)x＋23)x－8)x＋10)x－3，v0＝2，v1＝v0x＋5＝2×(－4)＋5＝－3，v2＝v1x＋6＝－3×(－4)＋6＝18，v3＝v2x＋23＝18×(－4)＋23＝－49，故选B.4．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为( )A．12 B．11 C．10 D．9答案 B解析 101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11.5．四位二进制数能表示的最大十进制数是( )A．4 B．64 C．255 D．15答案 D解析 由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，此时，1 111(2)＝15.6．已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数为( )A．8 B．55 C．56 D．62答案 B解析 由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4当x＝－1时的值时，v2的结果是( ) A．－4 B．－1C．5 D．6答案 D解析 此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式Error!得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6，故选D.8．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于( )A．7或4 B．－7C．4 D．－4答案 C解析 132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．9．下列四个数最大的是( )A．322(7)B．402(6)C．342(7)D．355(6)答案 C解析 342(7)＝3×72＋4×7＋2＝177，402(6)＝4×62＋0×6＋2＝146.所以342(7)＞402(6)．而342(7)＞322(7)，402(6)＞355(6)，所以最大的数是342(7)．二、填空题10．若146(x)＝66，则x的值为________．答案 6解析 146(x)＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.可得x＝6(负值舍去)．11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v6＝v5x＋a0，则v3的值是________．答案 －15解析 f(x)＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，所以v0＝1，v1＝1×(－1)－5＝－6，v2＝(－6)×(－1)＋6＝12，v3＝12×(－1)－3＝－15.三、解答题12．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．解 ∵f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13，v0＝3，v1＝v0×6＋12＝30，v2＝v1×6＋8＝188，v3＝v2×6－3.5＝1 124.5，v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2，v5＝v4×6＋5＝40 530.2，v6＝v5×6－13＝243 168.2，∴f(6)＝243 168.2.13．十六进制数与十进制数的对应如表：十六进制012345678910A B C D E 数十进制数0123456789101112131415例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝1×16＋7＝17(16)，所以A＋B的值用十六进制表示就等于17(16)．试计算：A×B＋D＝________.(用十六进制表示)答案 92(16)解析 ∵A×B＋D＝11×12＋14＝146，146＝9×16＋2，∴用十六进制表示146为92(16)．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析 初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2 v＝1×2＋2＝4i＝1 v＝4×2＋1＝9i＝0 v＝9×2＋0＝18i＝－1 跳出循环，输出v＝18，故选B.。
2021高中数学-秦九韶算法(精选试题)
高中数学-秦九韶算法1、用秦九韶算法求多项式fx=2x7+x6-3x5+2x4+4x3-8x2-5x+6的值时，V4=V3x+__________.2、已知n次多项式Pnx=a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an.如果在一种算法中，计算x0k(k=2，3，4，⋅⋅⋅，n)的值需要k-1次乘法，计算P3x0的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pnx0的值共需要______次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0x0=a0，Pk+1x=xPkx+ak+1(k=0，1，2，⋅⋅⋅，n-1).利用该算法，计算P3x0的值共需要6次运算，计算Pnx0的值共需要_______次运算.3、用``秦九韶算法’’计算多项式fx=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1，当x=2时的值的过程中，要经过_____________次乘法运算和________次加法运算.4、(1)用辗转相除法求282与470的最大公约数.(2)用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值.5、用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x,当x=3时，v3的值为（）A.27B.86C.262D.786、用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值_______.7、用秦九韶算法计算fx=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为（）A.6，6B.5，6C.6，5D.6，128、用秦九韶算法计算函数fx=2x4+3x3+5x-4在x=2时的函数值.9、用秦九韶算法求多项式fx=3x5+x2-x+2，当x=-2时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（）A.4，2B.5，3C.5，2D.6，210、用秦九韶算法求多项式fx=x6-5x5+6x4+x2-3x+2，当x=3时的值.11、用秦九韶算法计算fx=6x5-4x4+x3-2x2-9x，需要加法（或减法）与乘法运算的次数分别为()A.5，4B.5，5C.4，4D.4，512、用秦九韶算法求多项式fx=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1当x=-2时的值为_________.13、用秦九韶算法求多项式fx=x7-2x6+3x3-4x2+1当x=2时的函数值.14、用秦九韶算法求多项式fx=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时，v4的值为()A.-57B.220C.-845D.339215、用秦九韶算法计算多项式fx=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64，当x=2时的值.16、用秦九韶算法计算多项式fx=6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+7在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为（）A.10B.9C.12D.817、已知fx=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）A.27B.11C.109D.3618、用秦九韶算法计算多项式fx=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64当x=2时的值.19、已知n次多项式Pnx=a0xn+a1xn-1+⋯+an-2x2+an-1x+an,如果在一种算法中,计算x0kk=234⋯n的值需要k-1次乘法,计算P3x0的值共需要9次运算（6次乘法,3次加法）,那么计算Pnx0的值共需要____________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P0x=a0,Pk+1x=xPkx+ak+1k=012⋯n-1.利用该算法,计算P3x0的值共需要6次运算,计算Pnx0的值共需要____________次运算.20、中国古代有计算多项式的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入a为2，2，5，则输出的s=（）A.7B.12C.17D.3421、用秦九韶算法求多项式fx=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x当x=2时的值.22、用秦九韶算法计算fx=2x4+3x3+5x-4在x=2时的值.23、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为()A.35B.20C.18D.924、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的计算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A.9B.18C.20D.3525、用秦九韶算法计算多项式fx=1+8x+7x2+5x4+4x5+3x6在x=5时所对应的v4的值为()A.1 829B.1 805C.2 507D.2 54326、用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.27、用秦九韶算法计算多项式fx=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6，在x=-4时的值时，v3的值为（）A.-845B.220C.-57D.3428、已知多项式fx=4x5+3x4+2x3-x2-x-12，用秦九韶算法求f-2等于（）A.-1972B.1972C.1832D.-183229、用秦九韶算法计算多项式fx=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值，需要做乘法和加法的次数分别是（）A.6，6B.5，6C.5，5D.6，530、用秦九韶算法求n次多项式fx=anxn+an-1xn-1+⋯+a1x+a0，当x=x0时，求fx0需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）A.nn+12，n，nB.n，2n，nC.0，2n，nD.0，n，nfx=1+2x+x2-3x3+2x4，当x=-1的值时，v2的结果是____________.32、阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式fx=anxn+an-1xn-1+⋯+a1x+a0，当x=x0时，框图中A处应填入____________.33、用秦九韶算法求多项式fx=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，当x=-2时的值.34、用秦九韶算法，求y=7.5x6+8.65x5-3.7x4+4.2x3+2.1x2+x-5.5在x=0.5时的值，写出详细计算过程.35、已知函数fx=x3-2x2-5x+6，用秦九韶算法求f10的值.36、用秦九韶算法求多项式fx=12-8x2+6x4+5x5+3x6在x=-4时，v4的值为()A.-57B.220C.-845D.53637、下面关于算法的说法正确的是()A.秦九韶算法是求两个数的最大公约数B.更相减损术是求多项式的值的方法C.辗转相除法是求多项式的值的方法D.以上皆错38、在利用秦九韶算法求当x=2时，fx=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5的值时，下列说法正确的是（）A.先求1+2×2B.先求6×2+5，第二步求2×6×2+5+4C.f2=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解D.以上皆错39、用秦九韶算法求多项式fx=anxn+an-1xn-1+⋯+a1x+a0时，求fx0需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）A.12nn+1，n，nB.n，2n，nC.0，2n，nD.0，n，n40、秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（）A.秦九韶算法与直接计算相比，大大节省了乘法的次数，使计算量减小，并且逻辑结构简单B.秦九韶算法减少计算乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度C.秦九韶算法减少计算乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度D.秦九韶算法避免对自变量x单独作幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精确度41、已知n次多项式Pnx=a0xn+a1xn-1+⋯+an-1x+an，如果在一种算法中，计算x0k(k=2，3，4，⋯，n)的值需要k-1次乘法，计算P3x0的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10x0的值共需要_________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0x=a0，Pk+1x=xPkx+ak+1(k=0，1，2，⋯，n-1).利用该算法，计算P3x0的值共需要6次运算，计算P10x0的值共需要___________次运算.42、用秦九韶算法求多项式fx=8x7+5x6+3x4+2x+1，当x=2时的值.43、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A.18B.35C.65D.13044、已知8次多项式fx=a8x8+a7x7+⋯+a1x+a0,用秦九韶算法求fx0的值,需要进行的乘法运算,加法运算的次数分别是()A.8,8B.16,8C.36,8D.9,945、用秦九韶算法求多项式fx=5x5+4x4-3x2+x-1,当x=13时的值时,先算的是()A.13×13B.5×135C.5×13+4D.5×13+4×346、用秦九韶算法求多项式fx=x5+0.11x3-0.15x-0.04当x=0.3时的值.47、用秦九韶算法求多项式fx=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4时的值时,v4的值为()A.-57B.220C.-845D.339248、用秦九韶算法计算多项式fx=5x7+x6-x3+x+3当x=-1时的值,并判断多项式fx在区间-10内是否有零点.49、用秦九韶算法计算多项式fx=2x7+2x6+3x5+6x4+5x3-x2-5x+8当x=2的值时,其中v3的值为()A.15B.36C.41D.77。
算法案例 习题(含答案)
算法案例 习题（含答案）一、单选题1．给出下列命题：①命题“ ”的否定是“ ”；②命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题；③把 化为十进制为11；④“方程 表示椭圆”的充要条件是“ ”．其中正确命题的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 42．用秦九韶算法计算多项式65432692351712)(x x x x x x x f ++++-+=在4-=x 时的值时,3V 的值为（ ）A ．－307B ．－81C ．19D ．13．《周易》历来被人们视作儒家之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而不朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳“—”当作数字“1”，把阴“——”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦“屯”卦，符号“”表示的十进制是（ ）A ． 18B ． 17C ． 16D ． 154．在下列各数中,最大的数是( )A ． 85(9)B ． 210(6)C ． 1000(4)D ． 11111(2)5．二位进制数 化为十位进制数是（ ）A ．B ．C ．D ．6．“结绳计数”是远古时代的人最常用的计数方法，就是用打绳结的办法来计算物体的数量.如图所示的是一位猎人记录自己捕获猎物的个数，在从右向左依次排行的不同绳子上打结，满五进一.根据图示可知，猎人捕获猎物的个数是（ ）A ． 123B ． 86C ． 66D ． 387．我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，其算法如下：多项式函数 写为，即可用如图所示的程序框图来求某多项式的值.若输入 及 ，运行程序可以输出16，则 的值为（ ）A ．B ． 1或C ． 1D ． 2或8．下列各数中，最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．用秦九韶算法计算多项式()f x = 653225238103,x x x x x x ++-+-=4-时, 4V 的值为A ． 92B ． 1529C ． 602D ． 148-二、填空题10．辗转相除法与更相减损术都是求两个正整数的最大公约数的有效算法，用这两种方法均可求得 和 的最大公约数为__________.11．请将以下用“更相减损术”求两个正整数a,b 的最大公约数的程序补充完整:INPUT “a,b=”;a,bWHILE a<>bIF a>b THENa=a-bELSE_________END IFWENDPRINT aEND12．把八进制数()()8102转化为三进制数为______________．13．11 001 ()2101=__________()10．14．用秦九韶算法求多项式f(x)=x 4-2x 3+3x 2-7x-5当x=4时的值,给出如下数据:①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143其运算过程中(包括最终结果)会出现的数有____(只填序号).15．二进制数()210对应的十进制数是__________．16．把“五进制”数转化为“七进制”数： ()5321=__________()717．用“秦九韶算法”计算多项式()543254321f x x x x x x =+++++，当2x =时的值的过程中，要经过____________次乘法运算和_________次加法运算.18．三个数72,120,168的最大公约数是 ;三、解答题19．把110(5)转化为二进制数．20．（本题满分13分）已知一个5次多项式为f （x ）=4x 5﹣3x 3+2x 2+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值21．某高中男子体育小组的50米跑成绩（单位：s ）为：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1，7.3,6.9,7.4,7.5,6.7，画出程序框图，从这些成绩中搜索出小于6.8s的成绩.22．试分别用辗转相除法和更相减损术求840与1764、440与556的最大公约数。
人教A版高中数学必修三算法案例秦九韶算法同步练习新
1.3算法案例---秦九韶算法1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）A 、164B 、3767C 、86652D 、851692、利用秦九韶算法计算多项式1876543x f(x )23456++++++x x x x x ＝ 当x=4的值的时候，需要做乘法和加法的次数分别为（ ）A 、6，6B 、5，6C 、5，5D 、6，53、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在6=x 的值，写出详细步骤。
4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的 结果s 表示（ ）A 、3210a a a a +++的值B 、300201032x a x a x a a +++的值C 、303202010x a x a x a a +++的值D 、以上都不对5、已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++L ,如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，（1）计算30()P x 的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值需要多少次运算？（2）若采取秦九韶算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1），计算30()P x 的值只需6次运算，那么计算0()n P x 的值共需要多少次运算？（3）若采取秦九韶算法，设a i =i+1，i=0，1，…，n ，求P 5（2）（写出采取秦九韶算法的计算过程）答案：1、D2、A3、解：13)5)2.7)5.3)8)123((((()(-++-++=x x x x x x x f2.243168)6(2.2431681362.40530562.67542.765.11245.36188863012635645342312010==-⨯==+⨯==+⨯==-⨯==+⨯==+⨯==f v v v v v v v v v v v v v4、C5、n ＋3)（2）2n ；（3）∵0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+，∴P 0（2）=1，P 1（2）=2P 0（2）+2=4；P 2（2）=2P 1（2）+3=11； P 3（2）=2P 2（2）+4=26；P 4（2）=2P 3（2）+5=57；P 5（2）=2P 4（2）+6=120。
2021年高中数学 1.3.2秦九韶算法和进位制练习案 新人教A版必修3
2021年高中数学 1.3.2秦九韶算法和进位制练习案新人教A版必修3理解秦九韶算法与进位制的含义和运算．基础梳理1．秦九韶计算多项式的方法f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋a n－2x n－3＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.例如：已知一个3次多项式为f(x)＝x3－2x2＋x－1，用秦九韶算法求这个多项式当x ＝2时的值．解析：f(x)＝x3－2x2＋x－1＝(((x－2)x＋1)x－1)＝1.2．进位制是一种计数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值．可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数．对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示．比如：十进数57，可以用二进制表示为111 001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的．表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示，如111001(2)表示二进制数，34(5)表示5进制数．电子计算机一般都使用二进制，下面我们来进行二进制与十进制之间的转化．例如：十进制3的二进制表示方法为________．答案：11(2)3．二进制数111(2)在十进制中表示哪个数？答案：74．十进制数是满十进一的原则，同理二进制数是满二进一的原则，要把十进制数9转化为二进制数，常常用如下方式：9＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20，因此十进制数9的二进制表示法为1 001(2)．把十进制数20化为二进制数为( B)A．10 000 (2)B．10 100(2)C．11 001(2) D．10 001(2)5．二进制数10 0001(2)等于十进制数________．答案：33自测自评1．关于进位制说法错误的是( D)A．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统B．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一C．满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几D．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标明基数2．在求高次代数方程根的完整算法时，秦九韶算法要比西方同样的算法( B)A．晚五六百年 B．早五六百年C．早七八百年 D．晚七八百年3．下列各数中最小的一个是( A)A．111 111(2) B．210(6)C．1 000(4) D．81(8)4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，V3的值为( B)A．－144 B．－136C．－57 D．34基础达标1．将二进制数110(2)化为十进制结果为________．答案：62．把十进制数20化为八进制数为________．答案：24(8)3．把八进制数20化为十进制数为________．答案：164．已知一个3次多项式为f(x)＝x3－x2＋x－1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值．解析：f(x)＝x3－x2＋x－1＝(((x－1)x＋1)x－1)＝5.5．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1当x＝2时的值的过程中，要经过________次乘法运算和________次加法运算．5 5巩固提升6．11 211(4)化为六进制数结果为________．答案：1 353(6)7．二进制数111 101(2)等于十进制数________．答案：618．把六进制数43(6)化为十进制数为________．答案：279．已知175(r)＝125(10)，求r的值．解析：∵ 1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，舍去，∴r＝8或r＝－15()∴r＝8.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5当x＝－0.2时的值．分析：可根据秦九韶算法原理，将所给多项式改写，然后由内到外逐次计算即可．解析：f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5＝((((0.008 33x＋0.041 67)x＋0.166 67)x＋0.5)x＋1)x＋1，而x＝－0.2，所以有v0＝a5＝0.008 33，v1＝v0x＋a4＝0.04，v2＝v1x＋a3＝0.158 67，v3＝v2x＋a2＝0.468 27，v4＝v3x＋a1＝0.906 35，v5＝v4x＋a0＝0.818 73，∴当x＝－0.2时，多项式的值为0.818 73.1．秦九韶算法的优点是能大量减少计算量，对相应的程序框图不作具体要求．2．进位制是十分重要的知识点，要求掌握不同进位制的转换．25514 63AA 措32742 7FE6 翦21049 5239 刹gK37038 90AE 邮36230 8D86 趆U -33913 8479 葹 .。
1.3算法案例课时作业6
1.3算法案例课时作业6A 级 基础巩固一、单选题1．下列四个数中，数值最小的是（ ）A ． (10)25B ．(6)54C ．(2)10111D ．(8)26 2．用秦九韶算法计算函数()432354f x x x x =++-，当2x =时，2v 的值为（ ） A ．10 B ．2 C ．12 D ．143．中国古代数学著作《九章算法》中的“更相减损术”可用来求两个正整数的最大公约数．现应用此法求168与93的最大公约数：记()16893，为初始状态，则第一步可得()7593，，第二步得到()7518，，.⋯以上解法中，不会出现的状态是（ ） A ．()5718， B ．()318， C ．()69， D ．()33，4．在k 进制中，十进制数119记为()315k ，则k 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算2x =时的值时，3v 的值为（ ）A ．15B ．6C ．2D ．636．下列各数中最大的数是（ ）A ．()985B ．()6210C ．()41000D ．()2111111 7．《周易》反映了中国古代的二进制记数的思想方法.我们用近代术语解释为把阳爻“—”当成数字“1”，把阴爻“——”当成数字“0”，则八卦代表的数表示如下： 卦名符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑 011 3则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是( ) A ．18 B ．17 C ．16 D ．158．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A ．27B ．42C ．55D ．210B 级 综合提升9．中国有5000多年的灿烂文化，4000多年前的夏代有“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”十天干纪日法，商代把十天干和“子丑寅卵辰已午未申酉戍亥”十二地支按一个天干在前一个地支在后，且奇数天干配奇数地支，偶数天干配偶数地支，形成循环纪日法；这种不同的循环纪日个数为( )A ．60B ．72C ．108D ．12010．用秦九韶算法求多项式()5424231x x f x x =+-+，当3x =时，3v =（ ）A ．14B ．42C ．123D ．143二、填空题 11．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为()53254321x f x x x x --=+-，用秦九韶算法求这个多项式当2x =时3v 的值为___________.12．5280与12155的最大公约数为______________．13．把二进制数110011化为十进制数等于__________14．将)(32012化为五进制数为()5abc ，则a b c ++=____________.C 级 拓展探究三、解答题15．（1）求98的二进制数（2）用辗转相除法求840与1764的最大公约数（3）用秦九韶算法计算函数()432354f x x x x =++-当3x =时的函数值.参考答案1．D【分析】将所有数转化为十进制再比较大小得到答案.【详解】(10)2525=，(6)5643544=⨯+=，4321(2)1011112021212123=⨯+⨯+⨯+⨯+=，)1(82622862=⨯+=，故数值最小的数是22.故选：D.2．D【分析】本题可根据秦九韶算法依次计算，即可得到答案.【详解】因为()()()()43235423054f x x x x x x x x =++-=+++-，所以当2x =时，02v =，1237v x =+=，27014v x =+=，故选：D.3．C【分析】根据更相减损术原理计算可得答案.【详解】根据更相减损术可知，1689375-=，937518-=，751857-=，571839-=，391821-=，21183-=，18315-=，15312-=，1239-=，936-=，633-=，330-=，所以第三步得到(57,18)，第四步得到(39,18)，第五步得到(21,18)，第六步得到(18,3)，第七步得到(15,3)，第八步得到(12,3)，第九步得到(9,3)，第十步得到(6,3)，第十一步得到(3,3)，由此可知不会出现的状态是()69，. 故选：C【点睛】关键的点睛：理解更相减损术原理是解题关键.4．C【分析】根据k 进制化为十进制的计算公式进行求解.【详解】235119k k ++=，即231140k k +-=，解得6k =或193k =-（舍去）. 故选：C【点睛】本题考查进位制的算法，属于基础题.5．A【分析】根据秦九韶算法的知识求得3v 的值.【详解】 函数532()231((((0)2)3)1)1f x x x x x x x x x x =++++=+++++，当2x =时，分别算出01v =，11202=⨯+=v ，2426=+=v ， 326315=⨯+=v . 故选：A【点睛】本小题主要考查秦九韶算法，属于基础题.6．B【分析】根据进位制的互化，将各选项均化为十进制数，再比较大小即可得答案.【详解】解：对于A 选项，()98589577=⨯+=；对于B 选项，()622626071018=⨯+⨯+=；对于C 选项，()3410001464=⨯=；对于D 选项，()543221212121111212611131=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=；故最大的数为：()6210.故选：B.【点睛】本题考查进位制的互化，是基础题.7．B【分析】根据题意可知“屯”卦表示的二进制，然后根据二进制与十进制的转化，可得结果.【详解】由题可知：“屯”卦，符号“”表示的二进制为010001 所以十进制为402+2=17故选：B【点睛】本题考查二进制与十进制的转化，关键对题意的理解以及二进制与十进制的转化过程，属基础题.8．B【分析】根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为()5132，化为十进制数即可得出结果.【详解】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为()5132，化为十进制数为()251321535242=⨯+⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题.9．A【分析】找出10与12的最小公倍数，即可得出这种不同的循环纪日个数.【详解】因为10与12的最小公倍数是60，所以这种不同的循环纪日个数为60，故选：A .【点睛】本题考查了最小公倍数的求法，解答好本题的关键是要对天干、地支纪日法相关知识准确理解和掌握，属于基础题.10．C【分析】：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：()()()()()420301f x x x x x x =++-++，将当3x =代入，可得3v 的值.【详解】解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：()()()()()420301f x x x x x x =++-++，04v =，143214v =⨯+=，2143042v =⨯+=，34233123v =⨯-=，∴3123v =.故选：C.【点睛】本题是一道关于秦九韶算法的题目，解题的关键是掌握秦九韶算法的特征.11．24【分析】根据秦九韶算法的计算过程可得2x =时3v 的值.【详解】()()()()()403215f x x x x x x =+--+-根据秦九韶算法可知：04v =，1428v =⨯=，228313v =⨯-=，3213224v =⨯-=. 故答案为：24.12．55【分析】利用辗转相除法，逐步计算，即可求得公约数，得到答案.【详解】利用辗转相除法：可得12155528021595=⨯+，528015953495=⨯+，159********=⨯+，495110455=⨯+，110255=⨯，所以5280与12155的最大公约数为55.故答案为：55.13．51【分析】依次累加各位数字上的数⨯该数位的权重，即可得到相对的十进制数.【详解】可得543210(2)11001112120202121251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.所以二进制数110011化为十进制数等于51.故答案为：51.14．7【分析】先将“三进制”转化为“十进制”数，再转化为“五进制数”，即可得答案.【详解】“三进制”数)(32012转化为“十进制”数为32102303132359⨯+⨯+⨯+⨯=，将十进制数59转化为五进制数：595114÷=，11521÷=，2502÷=， ∴将十进制数59化为五进制数是(5)214，则7a b c ++=.故答案为：7.【点睛】本题考查“三进制”转化为“五进制数”，考查运算求解能力，求解时注意要实现两种进制的转化，而以“十进制”为过渡.15．（1）()21100010（2）84（3）254【分析】（1）将98写成的幂的和的形式，即可找到98的二进制数；（2）根据辗转相除法的规则，即可求出最大公约数；（3）先将()f x 写成(){}23054x x x x +++-⎡⎤⎣⎦的形式，再计算3x =时01234,,,,v v v v v 的值即可.【详解】（1）6598222=++，所以98的二进制数是()21100010.（2）1764284084=⨯+，8401084=⨯，所以840与1764的最大公约数为84. （3）()(){}23054f x x x x x =+++-⎡⎤⎣⎦. 0 3.v =12339.v =⨯+=293027.v =⨯+=3273586.v =⨯+=48634254.v =⨯-=【点睛】本题考查二进制，辗转相除法，秦九昭算法等知识，属于基础题.。
高考数学压轴专题绍兴备战高考《算法与框图》经典测试题含答案解析
新数学高考《算法与框图》复习资料一、选择题1．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．35B ．20C ．18D ．9【答案】C 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入3,2,1,312,0n x v i i ====-=≥成立； 1224v =⨯+=，211,0i i =-=≥成立； 4219v =⨯+=，110,0i i =-=≥成立；92018v =⨯+=，011,0i i =-=-≥不成立，输出18v =.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.2．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为0，则中可填入( )A ．2m m =+B ．1=+m mC ．1m m =-D ．2m m =-【答案】A【分析】根据程序运行，将每一个选项代入试运行，算出其输出结果，从而选出答案. 【详解】对选项A ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,8S m ==,则()8880S =⨯-=,所以输出结果0S =,所以正确.对选项B ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,5S m ==,则()4544S =⨯-=4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,7S m ==,则()87880S =⨯-=-<，输出结果8S =-,所以不正确.对选项C ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,3S m ==,则()43440S =⨯-=-<，输出结果4S =-,所以不正确.对选项D ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,2S m ==,则()42480S =⨯-=-<,所以输出结果8S =-,所以不正确.故选：A 【点睛】本题考查程序框图中循环，考查补全程序结构，属于中档题.3．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为43，则输入a 的值可能为（ ）A ．4B ．10C ．79D ．93【答案】D 【解析】 【分析】由题中的程序框图知，该算法是一个以4为周期的函数，若输出S 的值为43，则得出相应的k 值，再由k a >输出，即可得出a 值，再判断选项得出程序运行如下：3,1S k ==；4,23S k ==；1,32S k ==； 2,4S k =-=；3,5S k ==；…，此程序的S 值4个一循环.若输出S 的值为43，则相应k 的值为()1142k k N +∈， 因为k a >时，输出S ，则输入a 的值为()1141k k N +∈. 故选：D . 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定S 值的周期规律及跳出循环的k 值是解答本题的关键，属于中档题．4．若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．7?k <B ．6?k <C ．9?k <D ．8?k <【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件． 【详解】根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 log 23 3 第二次循环 log 23•log 34 4 第三次循环 log 23•log 34•log 45 5 第四次循环 log 23•log 34•log 45•log 56 6 第五次循环 log 23•log 34•log 45•log 56•log 67 7第六次循环 log 23•log 34•log 45•log 56•log 67•log 78=log 28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k ＜8． 故答案为：D ． 【点睛】本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.5．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，如图是计算该数列的前n 项和的程序框图，图中①②③应依次填入（ ）A ．i n <，21a a =+，S S a =+B ．i n <，S S a =+，21a a =+C ．i n ≤，21a a =+，S S a =+D ．i n ≤，S S a =+，21a a =+【答案】A 【解析】 【分析】取1n =代入程序框图进行检验可得出正确选项. 【详解】取1n =，已经有1S a ==，即11a =，不能进入循环，判断框应是i n <进入循环；进入循环后第一次加上的应该是2121a a =+，所以先算21a a =+， 故选：A ． 【点睛】本题考查利用算法选择算法程序，考查推理能力，属于中等题.6．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6? D ．k ＞7?【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.7．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D. 【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.8．已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ）A ．49 B ．13 C ．25 D ．310 【答案】B 【解析】试题分析：运行该程序框图，第一次循环21,2x x n =+=；第二次循环()221+1=43,3x x x n =++=；第三次循环2187,4x x x n =+=+=；推出循环输出87x +，由8763x +≥得7x ≥，由几何概型概率公式可得输出的x 不小于63的概率为1071103-=，故选B. 考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“—”和“——”，其中“—”在二进制中记作“1”，“——”在二进制中记作“0”，例如二进制数(2)1011化为十进制的计算如下：321(2)(10)10111202121211=⨯+⨯+⨯+⨯=.若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ） A ．0 B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】 【分析】分类计算得到从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，计算得到概率. 【详解】根据题意，不同符号可分为三类：第一类：由两个“—”组成，其二进制为(2)(10)113=； 第二类：由两个“——”组成，其二进制为(2)(10)000=；第三类：由一个“—”和一个“——”组成，其二进制为(2)(10)102=，(2)(10)011=， 所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3， 则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率14P =， 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型及进制转化的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.11．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是（ ）A ．910a ≤<B ．910a <≤C ．1011a <≤D ．89a <≤【答案】B 【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出46S =，即可得到输出条件. 详解：输入13,0n S ==，第一次循环13,12S n ==； 第二次循环25,11S n ==； 第三次循环36,10S n ==； 第四次循环46,9S n ==，输出46S =，此时应满足退出循环的条件， 故a 的取值范围是9010<≤，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.12．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n【答案】A【解析】 【分析】通过要求122222018n +++>L 时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容． 【详解】因为要求122222018n +++>L 时输出，且框图中在“是”时输出， 所以“”内输入“2018S >？”，又要求n 为最小整数， 所以“”中可以填入输出1n -，故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．13．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？【答案】A 【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．14．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f （x ）＝sinx ②f （x ）＝cosx ③1()f x x =④f （x ）＝x 2 则输出的函数是（ ）A ．f （x ）＝sinxB ．f （x ）＝cosxC ．1()f x x =D ．f （x ）＝x 2【答案】A【解析】 试题分析：对①()sin f x x =，显然满足()()0f x f x +-=，且存在零点.故选A. 考点：程序框图及函数的性质.15．执行如图所示的程序框图，如果输入6n =，3m =，则输出的p 等于（ ）A ．120B ．360C ．840D ．1008【答案】A【解析】【分析】 模拟执行程序框图，逐步写出各变量取值的变化，判断循环条件是否成立，最终可得答案.【详解】执行程序框图，各变量的值依次变化如下：6,3,1,1;n m k p ====1(631)4,p =⨯-+=k m <成立；2,4(632)20k p ==⨯-+=，k m <成立；3,20(633)120k p ==⨯-+=，k m <不成立，跳出循环，输出的p 等于120.故选：A.【点睛】本题考查程序框图，解题的一般方法是模拟执行程序，依次写出各变量取值的变化，解题时要留意循环终止的条件.16．在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,10]C ．(2,4]D ．(4,)+∞【答案】B【解析】【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：设输入x a =，第一次执行循环体后，32x a =-，1i =，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，98x a =-，2i =，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，2726x a =-，3i =，满足退出循环的条件；故9882a -…，且272682a ->，解得：(4,10]a ∈，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．17．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于（ ）A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】B【解析】【分析】 首先确定流程图的功能，然后计算其输出的结果即可.【详解】 由流程图可知该算法的功能为计算的值， 即输出值为：.故选：B.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．18．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 【答案】C【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.19．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是( )A ．-1B ．12 C ．2D ．1 【答案】C【解析】判断2014<2017,执行1120141201512S k ==-=+=-， ；判断2015<2017,执行11201512016112S k ，（）===+=-- ；判断2016<2017,执行12201612017112S k ===+=-， ；判断2017<2017,执行输出S,S=2；故选C点睛：本题考查的是算法与流程图，侧重于对流程图循环结构的考查.解决问题要先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.20．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360【答案】D 【解析】【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.【详解】运行程序，11,25s i =-=， 1211,3552s i =+--=， 123111,455523s i =++---=， 12341111,55555234s i =+++----=， 12341111,55555234s i =+++----=， 1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环， 故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.。
21-22版：§1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制（步步高）
反思 感悟
将k进制数anan－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数anan－1…a1a0(k) 写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果 即为对应的十进制数.
跟踪训练2 A.11 C.123
(1)将八进制123(8)化为十进制数，结果为
√B.83
D.564
解析 123(8)＝1×82＋2×81＋3×80＝83，故选B.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.二进制数中可以出现数字2.( × ) 2.把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法.( √ ) 3.不同进制数之间可以相互转化.( √ )
2 题型探究
PART TWO
一、秦九韶算法的应用
例1 用秦九韶算法求多项式 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值.
解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64. 由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1； v1＝1×2－12＝－10； v2＝－10×2＋60＝40； v3＝40×2－160＝－80； v4＝－80×2＋240＝80； v5＝80×2－192＝－32； v6＝－32×2＋64＝0. 所以当x＝2时，多项式的值为0.
(2)下列四个数中，最小的是
A.11 011(2) C.44(5)
√B.103(4)
D.25
解析 由题意可得： 11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27， 103(4)＝1×42＋0×4＋3＝19， 44(5)＝4×5＋4＝24， ∵27>25>24>19， ∴最小的数为103(4)，故选B.
高中数学 同步练习 秦九韶算法与进位制
第2课时秦九韶算法与进位制学习目标 1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制,了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制,并理解其中的数学规律．知识点一秦九韶算法1．求n次多项式的值的算法,有一种比较好的算法叫秦九韶算法．2．秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0,求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1＝a n x＋a n－1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2＝v1x＋a n－2,v3＝v2x＋a n－3,…,v n＝v n－1x＋a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．知识点二进位制若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n,a n－1,…,a1,a0∈N,0<a n<k,0≤a n－1,…,a1,a0<k)．为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数,如二进制数10(2),六进制数341(6),十进制数一般不标注基数．思考59分59秒再过1秒是多少时间？答案1小时．上述计时法遵循的是满60进一,称为六十进制．类比给出k进制的概念．“满k进一”就是k进制,k进制的基数是k.知识点三进制间的转化1．一般地,将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2．把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k,余数为k进制的右数第一位数．把商再除以k,余数为k进制右数第二位数；依次除以k,直至商为0.这个方法称为除k取余法．1．二进制数中可以出现数字3.( ×)2．把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法．( √)3．不同进制数之间可以相互转化．( √)题型一秦九韶算法的应用例1 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时,有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟(1)先将多项式写成一次多项式的形式,然后运算时从里到外,一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算,则可提高运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时,可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时,多项式的值为0.题型二k进制化为十进制例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？解110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式,然后计算出结果即为对应的十进制数．跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数．(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数．解(1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以,化为十进制数是104 902.题型三十进制化k进制例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．解算式如图,则458＝13 022(4)＝2 042(6)．反思感悟十进制数化为k进制数的思路为除k取余→倒序写出→标明基数.跟踪训练3 把89化为二进制数．解算式如图,则89＝1 011 001(2)．秦九韶算法求多项式的值典例用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按从内到外的顺序,依次计算多项式的值：v0＝1,v1＝1×0.3＋0＝0.3,v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2,v3＝0.2×0.3＋0＝0.06,v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132,v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x＝0.3时,f(x)的值为－0.079 6.[素养评析] (1)当多项式中出现空项时,利用秦九韶算法求多项式的值,必须补上系数为0的相应项．这是本题的易错点．(2)理解运算对象即求多项式的值,掌握运算法则即秦九韶算法,这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.1．已知175(r)＝125(10),则r 的值为( ) A ．1 B ．5 C ．3 D ．8 答案 D解析 ∵1×r 2＋7×r 1＋5×r 0＝125, ∴r 2＋7r －120＝0, ∴r ＝8或r ＝－15(舍去), ∴r ＝8,故选D.2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋7在x ＝0.4时的值时,需做加法和乘法的次数的和为( ) A ．10 B ．9 C ．12 D ．8 答案 C解析 f(x)＝(((((6x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ＋7, ∴做加法6次,乘法6次,∴6＋6＝12(次),故选C.3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x 4＋2x 3＋3x 2＋x ＋1当x ＝2时的值时,第一次运算的是( ) A ．1×2 B ．24C ．2＋1D ．1×2＋2答案 D解析 因为f(x)＝(((x ＋2)x ＋3)x ＋1)x ＋1,据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2. 4．下列各数中,最小的数是( ) A ．85(9) B ．210(6) C ．1 000(4) D ．111 111(2)答案 D解析 85(9)＝8×9＋5＝77, 210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78, 1 000(4)＝1×43＝64,111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63. 故最小的是63.5．(1)将二进制数1611111 个转化成十进制数；(2)将53(8)转化为二进制数．解 (1)1611111⋅⋅⋅个 (2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.(2)先将八进制数53(8)转化为十进制数： 53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图．所以53(8)＝101 011(2)．1．要把k 进制数化为十进制数,首先把k 进制数表示成不同位上数字与k 的幂的乘积之和,其次按照十进制的运算规则计算和．2．十进制数化为k 进制数(除k 取余法)的步骤：3．用秦九韶算法求多项式f(x)当x ＝x 0时的值的思路为(1)改写；(2)计算⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x 0＋a n －k (k ＝1，2，…，n )；(3)结论f(x 0)＝v n .一、选择题1．下列各数可能是五进制数的是( ) A ．55 B ．106 C ．732 D ．2 134答案 D解析 五进制数的基数是5,在所构成的数中,只可能用0,1,2,3,4这5个数字． 2．把五进制数123(5)改写成十进制数为( ) A ．83 B ．64 C ．38 D ．44答案 C解析 五进制数123(5)改写成十进制数应为1×52＋2×51＋3×50＝38.3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝2x 6＋5x 5＋6x 4＋23x 3－8x 2＋10x －3当x ＝－4时的值时,v 3的值为( ) A ．－742 B ．－49 C ．18 D ．188答案 B解析 f(x)＝2x 6＋5x 5＋6x 4＋23x 3－8x 2＋10x －3＝(((((2x ＋5)x ＋6)x ＋23)x －8)x ＋10)x －3, v 0＝2,v 1＝v 0x ＋5＝2×(－4)＋5＝－3,v 2＝v 1x ＋6＝－3×(－4)＋6＝18, v 3＝v 2x ＋23＝18×(－4)＋23＝－49,故选B.4．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为( ) A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 答案 B解析 101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11. 5．四位二进制数能表示的最大十进制数是( ) A ．4 B ．64 C ．255 D ．15 答案 D解析 由二进制数化为十进制数的过程可知,当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大, 此时,1 111(2)＝15.6．已知44(k)＝36,把67(k)转化为十进制数为( ) A ．8 B ．55 C ．56 D ．62 答案 B解析 由题意得,36＝4×k 1＋4×k 0,所以k ＝8. 则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x ＋x 2－3x 3＋2x 4当x ＝－1时的值时,v 2的结果是( ) A ．－4 B ．－1 C ．5 D ．6答案 D解析 此题的n ＝4,a 4＝2,a 3＝－3,a 2＝1,a 1＝2,a 0＝1,由秦九韶算法的递推关系式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1，2，…，n )，得v 1＝v 0x ＋a 3＝2×(－1)－3＝－5,v 2＝v 1x ＋a 2＝－5×(－1)＋1＝6,故选D. 8．已知一个k 进制的数132与十进制的数30相等,那么k 等于( ) A ．7或4 B ．－7 C ．4D ．－4答案 C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2,∴k2＋3k＋2＝30,即k2＋3k－28＝0,解得k＝4或k＝－7(舍去)．9．下列四个数最大的是( )A．322(7)B．402(6)C．342(7)D．355(6)答案 C解析342(7)＝3×72＋4×7＋2＝177,402(6)＝4×62＋0×6＋2＝146.所以342(7)＞402(6)．而342(7)＞322(7),402(6)＞355(6),所以最大的数是342(7)．二、填空题10．若146(x)＝66,则x的值为________．答案 6解析146(x)＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.可得x＝6(负值舍去)．11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时,令v0＝a6,v1＝v0x＋a5,…,v6＝v5x＋a0,则v3的值是________．答案－15解析f(x)＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2,所以v0＝1,v1＝1×(－1)－5＝－6,v2＝(－6)×(－1)＋6＝12,v3＝12×(－1)－3＝－15.三、解答题12．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值,写出详细步骤．解∵f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13,v0＝3,v1＝v0×6＋12＝30,v2＝v1×6＋8＝188,v3＝v2×6－3.5＝1 124.5,v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2,v5＝v4×6＋5＝40 530.2,v6＝v5×6－13＝243 168.2,∴f(6)＝243 168.2.13．十六进制数与十进制数的对应如表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E数十进制数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝1×16＋7＝17(16),所以A＋B的值用十六进制表示就等于17(16)．试计算：A×B＋D＝________.(用十六进制表示)答案92(16)解析∵A×B＋D＝11×12＋14＝146,146＝9×16＋2,∴用十六进制表示146为92(16)．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3,x＝2,程序运行过程如下：v＝1i＝2 v＝1×2＋2＝4i＝1 v＝4×2＋1＝9i＝0 v＝9×2＋0＝18i＝－1 跳出循环,输出v＝18,故选B.。
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秦九韶与k进制练习题一．选择题（共16小题）1．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．12．用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1，当x=2时的值，则 v3=（）A．4 B．9 C．15 D．293．把67化为二进制数为（）A．110000 B．1011110 C．1100001 D．10000114．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，55．使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5﹣2x4+5x3﹣7x2﹣2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（）A．6，3 B．6，6 C．21，3 D．21，66．把27化为二进制数为（）A．1011（2）B．11011（2）C．10110（2）D．10111（2）7．用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3﹣2x2﹣x﹣1在x=﹣4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是（）A．14，5 B．5，5 C．6，5 D．7，58．二进制数11001001（2）对应的十进制数是（）A．401 B．385 C．201 D．2589．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用（）分钟．A．13 B．14 C．15 D．2310．用秦九韶算法在计算f（x）=2x4+3x3﹣2x2+4x﹣6时，要用到的乘法和加法的次数分别为（）A．4，3 B．6，4 C．4，4 D．3，411．用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x2﹣3x3+2x4在x=﹣1时的值，v2的结果是（）A．﹣4 B．﹣1 C．5 D．612．下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、111111（2）中最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．111111（2）13．十进制数89化为二进制的数为（）A．1001101（2）B．1011001（2）C．0011001（2）D．1001001（2）14．烧水泡茶需要洗刷茶具（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡茶（2min）等个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．第一步：洗刷茶具；第二步：刷水壶；第三步：烧水；第四步：泡茶B．第一步：刷水壶；第二步：洗刷茶具；第三步：烧水；第四步：泡茶C．第一步：烧水；第二步：刷水壶；第三步：洗刷茶具；第四步：泡茶D．第一步：烧水；第二步：烧水的同时洗刷茶具和刷水壶；第三步：泡茶15．在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．11111（2）16．把23化成二进制数是（）A．00110 B．10111 C．10101 D．11101二．填空题（共11小题）17．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4的值时，其中V1的值= _________ ．18．把5进制的数412（5）化为7进制是_________ ．19．用秦九韶算法计算多项式f（x）=8x4+5x3+3x2+2x+1在x=2时的值时，v2= _________ ．20．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，至多需要做乘法和加法的次数分别是_________ 和_________ ．21．军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为abc，七进位制表示为cba，那么苹果的总数用十进位制表示为_________ ．22．若六进制数Im05（6）（m为正整数）化为十进数为293，则m= _________ ．23．用秦九韶算法求多项式f（x）=5x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8当x=5时的值的过程中v3= _________ ．24．完成下列进位制之间的转化：1234= _________ （4）．25．把十进制数51化为二进制数的结果是_________ ．26．进制转化：403（6）=_________ （8）．27．完成右边进制的转化：1011（2）= _________ （10）= _________ （8）．三．解答题（共3小题）28．将多项式x3+2x2+x﹣1用秦九韶算法求值时，其表达式应写成_________ ．29．写出将8进制数23760转化为7进制数的过程．30．已知一个5次多项式为f（x）=4x5﹣3x3+2x2+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值．答案与评分标准一．选择题（共16小题）1．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：排序问题与算法的多样性。
专题：计算题。
分析：利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以4，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．解答：解：∵77÷4=19 (1)19÷4=4 (3)4÷4=1 01÷4=0 (1)故77（10）=1031（4）末位数字为1．故选D．点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．2．用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1，当x=2时的值，则 v3=（）A．4 B．9 C．15 D．29考点：排序问题与算法的多样性。
分析：由秦九韶算法的规则对多项式变形，求出，再代入x=2计算出它的值，选出正确选项解答：解：由秦九韶算法的规则f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1=（（（x+2）x+1）x﹣3）x﹣1，∴v3=（（x+2）x+1）x﹣3又x=2，可得v3=（（2+2）2+1）2﹣3=15故选C．点评：本题考查秦九韶算法，解题的关键是理解秦九韶算法的原理，得出v3的表达式，秦九韶算法是求多项值的一个较简便易行的算法，在平时求多项式的值时加利用可以简单化计算3．把67化为二进制数为（）A．110000 B．1011110 C．1100001 D．1000011考点：排序问题与算法的多样性。
专题：计算题。
分析：利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．解答：解：67÷2=33 (1)33÷2=16 (1)16÷2=8 08÷2=4 04÷2=2 02÷2=1 01÷2=0 (1)故67（10）=1000011（2）故选D．点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．4．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5考点：排序问题与算法的多样性。
专题：计算题。
分析：把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，结果有6次乘法运算，有6次加法运算，本题也可以不分解，直接从最高次项的次数直接得到结果．解答：解：∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1=[（3x4+4x3+5x2+6x+7）x+8]+1={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A．点评：本题考查用秦九韶算法进行求多项式的值的运算，不是求具体的运算值而是要我们观察乘法和加法的运算次数，本题是一个基础题．5．使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5﹣2x4+5x3﹣7x2﹣2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（）A．6，3 B．6，6 C．21，3 D．21，6考点：排序问题与算法的多样性。
专题：计算题。
分析：根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，把f（x）=6x6+4x5﹣2x4+5x3﹣7x2﹣2x+5等到价转化为（（（（（6x+5）x﹣2）x+5）x﹣7）x﹣2）x+5，就能求出结果．解答：解：∵f（x）=6x6+4x5﹣2x4+5x3﹣7x2﹣2x+5=（（（（（6x+5）x﹣2）x+5）x﹣7）x﹣2）x+5∴需做加法与乘法的次数都是6次，故选B．点评：本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键，本题是一个比较简单的题目，运算量也不大，只要细心就能够做对．6．把27化为二进制数为（）A．1011（2）B．11011（2）C．10110（2）D．10111（2）考点：排序问题与算法的多样性。
专题：计算题。
分析：利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．解答：解：27÷2=13 (1)13÷2=6 (1)6÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故27（10）=11011（2）故选B．点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．7．用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3﹣2x2﹣x﹣1在x=﹣4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是（）A．14，5 B．5，5 C．6，5 D．7，5考点：排序问题与算法的多样性。
专题：计算题。
分析：由秦九韶算法的原理，可以把多项式f（x）=5x5+4x4+3x3﹣2x2﹣x﹣1变形计算出乘法与加法的运算次数．解答：解：多项式f（x）=5x5+4x4+3x3﹣2x2﹣x﹣1=（（（（5x+4）x+3）x﹣2）x﹣1）x﹣1不难发现要经过5次乘法5次加法运算．故需要做乘法和加法的次数分别为：5、5故选B．点评：本题考查秦九韶算法，考查在用秦九韶算法解题时一共会进行多少次加法和乘法运算，是一个基础题，解题时注意最后加还是不加常数项，可以直接看出结果．8．二进制数11001001（2）对应的十进制数是（）A．401 B．385 C．201 D．258考点：排序问题与算法的多样性。
专题：计算题。
分析：根据二进制和十进制之间的互化原则，需要用二进制的最后一位乘以2的0次方，以此类推，写出一个代数式，得到结果．解答：解：二进制数11001001（2）对应的十进制数是1×20+1×23+1×26+1×27=201故选C．点评：本题考查二进制和十进制之间的互化，本题解题的关键是理解两者之间的关系，不仅是这两种进位制之间的互化，既是还有其他的互化也可以用类似方法求解．9．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用（）分钟．A．13 B．14 C．15 D．23考点：排序问题与算法的多样性。