课件：正弦函数、余弦函数的图像与性质

令t cos x [1， 1]
3 2 11 则y 2t 6t 1 2(t ) t [1， 1] 2 2 当t 1即cos x 1，x 2k (k Z )时，ymax 7
2
当t 1即cos x 1，x 2k (k Z )时，ymax 5
奇函数 偶函数
对称轴： x
2
2
k , k Z
对称轴：
2
x k , k Z
题型一：周期性
课堂练习：
练习1：求下列函数的周期
3 (1) y sin x, x R 4 (2) y cos 4 x, x R 1 (3) y cos x, x R 2 1 (4) y sin( x ), x R 3 4
2
小结
题型三：单调性
例1求下列函数的单调区间
1 1. y sin x , x [ 2 ,2 ] 3 2
2. y 2 sin x 4
3. y cos 2 x 3
求形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ)的函 数的单调区间，可以 通过解不等式的方法 解答. 原则： 1、把“ωx+φ”视为 一个整体 2、注意ω <0 、A<0的 情况
3.图象法:

题型二：奇偶性 3x 3 f ( x) sin( )奇偶性（ ） 例1 函数的 4 2 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．以上都不对 例2判断下列函数的奇偶性。 1 f ( x ) sin x （1） 2 2 （2）f ( x) sin x cos x 1 sin x cos x f( （3）x) 1 sin x （4）f ( x) x sin( x) 例 3 ． 函 数 y ＝ sin(2x ＋ φ) 为 偶 函 数 ， 0≤φ<2π，则φ的值为或 .
例3 求下列函数的最值． 、 (1) y (2 sin x)(3 sin x)
(1) y sin 2 x sin x 6
1] 令t sin x [1， 2 则y t t 6 1 2 25 (t ) t [1， 1] 2 4 1 1 25 当t 即sin x 时，ymax 2 2 4 当t 1即sin x 1时，ymin 4
(2) cosx<0
解：
3 ( 2k , 2k )( k Z ) 2 2

小结：
1、利用单位圆作正弦函数曲线 2、利用诱导公式作余弦函数的曲线
3、探究正、余弦函数的性质（周期性、奇 偶性、单调性、对称性等）
( 图象的最高点 0,1) (2 ,1)
2
3 2
y cos x, x 0,2 图象与x轴的交点( ,0) ( 图象的最低点( ,1)
,0)
例题解析
例1.(1) 画出函数y=-sinx，x[0, 2]的简图：
x
sinx
-sinx
0
0 0
y

2

0 0
3 2
2 4 8 T 2 3 3 3 4
2 T 4 2 2 T 2 1
2 T 2 3 6 1 3
当堂检测
1 A、y sin x 2 x B、y cos 2 D、y cos 2 x
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）

题型六：最值与值域 例1求下列函数的最大值和最小值， 并写出取最大值、最小值时自变量x 的集合。 （1）y=cosx＋1，x∈R；
（2）y=－3sin2x，x∈R.
例2求函数y 1 2 sin 2 x 6 cos x的最值． 2 解： y 1 2(1 cos x) 6 cos x 2 cos 2 x 6 cos x 1
１．正弦曲线 y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
２．余弦曲线
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1

2
3
4
5
6
x
函数
y
1
y=sinx
2
2
y
1
y=cosx
2
图形 定义域 值域
0
-1

3 2
2
5 2
x

0
-1

3 2
2Leabharlann 5 2xxRy [1,1]
y 余弦曲线
o
-1

2
3
4
5
6
x
像作二次函数图象那样为了快速用描点法 作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察 函数图象寻找图象上起关键作用的点：
y sin x, x 0,2
图象的最高点( 2
,1)
图象与x轴的交点(0,0) ( ,0) ( 2 ,0) 图象的最低点( 32, 1)
2
0 0 步骤： 1.列表 2.描点 3.连线
2
x
1 -1
-1 1
2 1
y=sinx，x[0, 2]
2
2
o -1

3 2
（2）画出y=-cosx , x∈[0，2 ]的简图
x 0 π 2 π 3π 2 2π
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx - 1
y 1
0
1
0
-1
y cosx , x [0,2π]
解：
sin( （3） 18 ) 与 sin( ) 10 解：


题型五：对称性
例1求函数 y 2sin(2 x
例2函数 y 2sin(3x )( ) 的一条对称轴 ，求 的值。 2 为x 12
图象的对称中心。 ) 3
例3如果函数 y 2cos x(0 x 2 ) 的图象关于直线 x 6 对称，求 a 的值。 例4若函数 y sin x a cos x 的图像和直线 y 2 围成一个封闭平面图形，求其面积。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
授课教师：周惠梅 2013年3月19日
正弦曲线
y=sinx x[0,2]
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
f ( x 2k ) f ( x) 利用图像平移
y=sinx xR
y
1 -4 -3 -2 -
o
1 故： 函数y sin( x )的单调增区间 2 3 5 为[ 2k , 4k ](k Z ) 3 3
题型四：单调性比较大小
例1 比较下列各组数的大小:
2 5 (1) sin( )与 sin( ) 3 6
解：
23 17 (2) cos( )与 cos( ). 5
C、y cos x
2 （2）函数 y sin x 的最小正周期为_____。

（3）已知函数 y sin(x ), 0 的周期为 3 ，则 3 6 ___
(4)函数
y cos (1 x) 的最小正周期是 2
4
周期求法： 1.定义法： f ( x T ) f ( x ) 2.公式法：一般地，函数 y=Asin(ωx+φ及y=Acos(ωx+φ) （其 中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, ω≠0 ）的 2 最小正周期是: ( 0) T
xR
y [1,1]
最值
单调性
奇偶性 周期
x 2k 时， ymax 1 2 x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1 2 x 2k 时，ymin 1 x[- 2k , 2k ] 增函数 x[ 2k , 2k ] 增函数 2 2 x[ 2k , 3 2k ] 减函数 x[2k , 2k ] 减函数 2 2
例2
求函数
1 解： 令z x 2 3 [ 2k , 2k ] 函数y sin z的单调增区间 2 2
由 得
1 2k x 2k 2 2 3 2
1 y sin( x ) 2 3
的单调增区间.

5 4k x 4k 3 3
例4求下列函数的值域： sin x 2 (1) y sin x 1 sin x 2 (2) y cos x 1
常用的方法： 1、数形结合 2、换元 3、二次函数型 4、利用有界性
例4、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下 列条件的区间： （1）sinx>0
解：
(2k , 2k )(k Z )
π 2 3π 2
O
π
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
正弦、余弦函数的 正弦、余弦函数的图像
1. 正弦曲线、余弦曲线 几何画法
五点法
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1

2
y=cosx，x[0, 2]
2

o -1

3 2
2
x
y=sinx，x[0, 2]
知识点1：正弦函数、余弦函数的性质
-1

2
3
4
5
6
x
函数y=sinx, xR的图象
正弦曲线
由正弦曲线作出余弦曲线
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x R 余弦函数的图象