圆锥曲线的切线与法线

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第10讲：圆锥曲线的切线

第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。

（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。

（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半，与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。

②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。

A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+）我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ，直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。

圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧详解

圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧详解圆锥曲线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。

在研究圆锥曲线时，求解切线和法线的方程是一项基本任务。

本文将详细介绍圆锥曲线的切线和法线方程求解技巧。

一、圆锥曲线的定义与基本性质圆锥曲线是一个平面和一个圆锥相交时形成的曲线。

根据圆锥与平面的切割方式不同，可以得到不同类型的圆锥曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

每种类型的圆锥曲线都有其独特的性质。

椭圆是一个闭合曲线，其切线和法线都通过曲线上的各个点。

双曲线是一个两个分离曲线组成的曲线，其切线和法线不通过曲线上的点，而是通过曲线的渐近线。

抛物线是一个开口向上或向下的曲线，其切线通过曲线上的各个点，而法线垂直于切线，并通过抛物线的焦点。

二、求解椭圆的切线与法线方程对于椭圆，我们可以通过以下步骤求解其切线与法线的方程：1.给定椭圆的方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴长度。

2.设点$P(x_0,y_0)$为椭圆上的一点，要求解该点处的切线与法线。

3.求解切线的方程：首先，我们可以得到椭圆的导函数$\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2x}{a^2y}$。

然后，代入点$P(x_0,y_0)$和导函数的值，使用点斜式求解切线的方程。

4.求解法线的方程：法线与切线垂直，所以法线的斜率为切线斜率的倒数。

由此可以得到法线的斜率为$\frac{a^2y_0}{b^2x_0}$。

再次使用点斜式，代入点$P(x_0,y_0)$和法线斜率的值，求解法线的方程。

5.最后，根据切线和法线的方程，可以得到求解椭圆切线和法线的方程式。

三、求解双曲线的切线与法线方程对于双曲线，其切线和法线的求解方法与椭圆有所不同。

下面是求解双曲线的切线与法线的步骤：1.给定双曲线的方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

圆锥曲线的切线方程

圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd143848832211),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M rb y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。

弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。

的切线方程为上一点：经过圆结论。

两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。

又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明：11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202002020222222=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a by a x by y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x)(),()0(2);(),()0(2)2()(),()0(2);(),()0(2)1(511),(1),()00(140000200002000020000220202222002020002222y y p x x y x M p py x y y p x x y x M p py x x x p y y y x M p px y x x p y y y x M p px y by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x +==+==+==+===-=-=-=-弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线：结论。

圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过直线的切线与法线求解抛物线方程

圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过直线的切线与法线求解抛物线方程在解题过程中，圆锥曲线是一个常见的数学问题。

其中，抛物线是圆锥曲线中最为常见且重要的一种。

本文将介绍通过直线的切线与法线求解抛物线方程的技巧与方法。

一、切线与法线的定义和性质切线：在直角坐标系中，给定一点P(x,y)在曲线上，如果曲线在该点的切线存在且为一直线L，则称L为曲线在P点的切线。

法线：在直角坐标系中，给定一点P(x,y)在曲线上，如果曲线在该点的法线存在且垂直于切线L，则称L为曲线在P点的法线。

性质1：切线和曲线在切点处的切线斜率相等。

性质2：切线和曲线在切点处的法线斜率互为相反数。

二、求解抛物线方程的步骤步骤1：确定抛物线的顶点和对称轴。

抛物线的顶点即为对称轴上的点，可以通过解方程组或者利用对称性质求得。

步骤2：求解抛物线的切线方程。

在求解切线方程时，需要利用切点的坐标和切线的斜率。

根据抛物线的性质，切线的斜率和抛物线的斜率函数有关。

步骤3：求解抛物线的法线方程。

法线与切线垂直，因此法线的斜率可以通过切线斜率的倒数得到。

在求解法线方程时，同样需要利用法线的切点坐标。

步骤4：得到抛物线的方程。

通过切线和法线的求解，可以得到一组方程。

根据抛物线的性质，可以将这组方程化简为一元一次方程或者二次方程，从而求解抛物线的方程。

三、示例分析以一道具体的例题为例，来说明如何通过直线的切线与法线求解抛物线方程。

例题：已知抛物线的顶点为V(-4,3)，且经过点A(-1,5)，求解抛物线的方程。

解题过程：步骤1：确定抛物线的顶点和对称轴。

已知抛物线的顶点为V(-4,3)，由于顶点即为对称轴上的点，因此对称轴的方程为x=-4。

步骤2：求解抛物线的切线方程。

因为已知经过点A(-1,5)，所以切点的坐标为(-1,5)。

首先求解抛物线在切点处的斜率，可以利用导数的概念求得。

抛物线的一般方程为y=ax²+bx+c，对其进行求导得到y'=2ax+b。

圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)

圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22221x y a b+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+byy a x x 。

12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay b k x bx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx xy x b ay a -=--，又'',x yx y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a-=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅，000022()()y y y x x x b a --=-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴2200221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y ya b+=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。

综上，推导完毕。

2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），一直线L 方程为：0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离⇔2222A a B b +<2C 。

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：。

（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。

该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为。

1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

如图1中。

事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，所以又焦半径所以，从而得即当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。

如图2中证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。

椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。

3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。

仍可利用到角公式获证。

这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。

专题14 圆锥曲线的切线问题

专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解；对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=，令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−，因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ，所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ，所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。

圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结

圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结圆锥曲线是数学中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在解析几何和微积分中，求解圆锥曲线的切线和法线方程是一个基本的技巧。

本文将总结一些解决这类问题的常见方法和技巧。

一、椭圆的切线与法线方程求解椭圆是一个非常常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长轴与短轴。

求解椭圆的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点首先，我们需要确定切点的坐标。

可以通过将直线 y = kx + c 代入椭圆方程，并解得 x 和 y 关于 k 和 c 的方程组。

解这个方程组即可得到切点的坐标。

2. 求解切线方程在得到切点的坐标后，我们可以使用常见的切线公式 y - y0 = k(x - x0) 来求解切线方程。

其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。

3. 求解法线方程切线的斜率 k 和切点的坐标 (x0, y0) 可以通过对椭圆方程求偏导数得到。

设斜率 k1 为切线斜率，斜率 k2 为法线斜率，斜率之间的关系为 k1 * k2 = -1。

因此，我们可以通过斜率 k1 和切点 (x0, y0) 来求解法线方程。

二、双曲线的切线与法线方程求解双曲线是另一种常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1。

求解双曲线的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点与椭圆类似，我们首先需要确定切点的坐标。

代入直线 y = kx + c 到双曲线方程中，并解得切点的坐标。

2. 求解切线方程切线方程的求解过程与椭圆类似，使用公式 y - y0 = k(x - x0)，其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。

3. 求解法线方程双曲线的法线也满足斜率 k1 和斜率 k2 的关系为 k1 * k2 = -1。

通过切线方程的斜率 k1 和切点的坐标 (x0, y0)，可以求得法线方程。

三、抛物线的切线与法线方程求解抛物线是圆锥曲线中的另一种重要类型，其方程为 y^2 = 2px，其中p 为抛物线的焦点到准线的距离。

圆锥曲线的法线与切线的关系

圆锥曲线的法线与切线的关系圆锥曲线在数学领域中占据着重要的地位，探讨圆锥曲线的性质不仅有助于理解几何学知识，还有助于解决实际生活中的问题。

本文将重点讨论圆锥曲线上的法线与切线之间的关系，通过深入探讨这一关系，帮助读者更好地理解圆锥曲线的性质和特点。

1. 法线与切线的定义首先，我们来了解一下法线与切线的定义。

在几何学中，法线是与曲线相切于一点且垂直于曲线切线的直线，而切线则是与曲线相切于一点且与曲线在该点的切线相切的直线。

法线和切线是曲线上的两种特殊直线，它们在曲线上起到了非常重要的作用。

2. 圆锥曲线的性质圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

每种类型的圆锥曲线都有其独特的性质，但它们之间也存在一些共同之处。

在讨论圆锥曲线的法线与切线关系时，我们需要将这些性质考虑在内，以便更好地理解法线与切线在曲线上的作用。

3. 圆锥曲线的法线对于圆锥曲线上的任意一点，都存在唯一一条垂直于曲线切线并与曲线相切的直线，这条直线即为该点处的法线。

法线在几何分析和求解问题中具有重要的作用，通过法线可以确定曲线上各点的切线和切点，从而推断曲线的性质和结构。

4. 圆锥曲线的切线与法线相对应的是切线，切线是与曲线相切于一点并且在该点处与曲线的切线相切的直线。

切线在几何学和微积分中有着广泛的应用，通过切线可以确定曲线的斜率和曲率，帮助我们更好地理解曲线的形状和特点。

5. 法线与切线的关系在圆锥曲线上，法线与切线之间存在着密切的关系。

一般情况下，曲线上的法线和切线是互相垂直的，即法线和切线的夹角为90度。

这个性质在解析几何和微积分中经常被应用，通过法线和切线之间的关系可以求解曲线上的各种性质和问题。

6. 圆锥曲线的图形表示为了更直观地理解圆锥曲线上法线与切线的关系，我们可以通过图形来表示。

通过绘制椭圆、双曲线和抛物线的图形，可以清楚地看到曲线上的法线和切线的相交情况，进而推断出法线和切线之间的关系。

图形表示是解决几何问题的重要手段之一，通过观察图形可以更容易地理解问题的本质。

高中数学圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。

课后我经过反思与整理，写成此文。

一、圆锥曲线的光学性质1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。

二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。

圆锥曲线方程知识点总结

圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。

双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。

二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。

以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。

双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。

三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。

以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。

双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。

四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。

2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。

圆锥曲线切线

3.1圆锥曲线切线的定义设直线l '与圆锥曲线相交于P 、Q 两点（对于双曲线P 、Q 在同一支上），将直线绕点P 旋转，使点Q 逐渐靠近点P ，当l '转到直线l 的位置时，点P 与Q 重合，这时直线l 叫做圆锥曲线在点P 的切线，P 叫做切点.经过点P 与切线垂直的直线叫做圆锥曲线在点P 的法线[10].以抛物线为例，作图1如下：3.2圆锥曲线的切线方程（1）过圆锥曲线上一点的切线方程容易得到，过圆锥曲线上一点的切线方程如下：经过椭圆 12222=+by a x 上一点()00,y x P 的切线方程为:12020=+b y y a x x ；经过双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 上一点()00,y x P 的切线方程分别为:12020=-b y y a x x 、12020=-bxx a y y ；经过抛物线px y 22±=、py x 22±=的切线方程分别为:()x x p y y o o +±=、()y y p x x o o +±=.所以经过圆锥曲线上一点()00,y x P 的切线方程，就是把圆锥曲线方程中的2x 和2y'分别为换为0x x 和0y y ,x 和y 分别换为)2(0x x +和)2(0y y +，即“替换法则”. （2）定斜率的切线方程容易证明，对于定斜率圆锥曲线的切线方程如下：斜率为k ，并且和椭圆12222=+by a x 相切的切线方程为:222b k a kx y +±=(不问ab的大小)；斜率为k ，并且和双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 相切的切线方程分别为:222b k a kx y -±=(222b k a ≥)、222b k a kx y -±=(222a k b ≤)；斜率为k ，并且和抛物线px y 22±=、py x 22±=相切的切线方程分别为:kp y 2±=（k 0≠）、22pk y =.3.3圆锥曲线切点弦从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线（如果存在），那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦[11].圆锥曲线外一点()11,P x y 向圆锥曲线引两条切线，求经过两切点的切点弦方程同样可用2x 和2y 分别换为x x 1和y y 1,x 换成21x x +,y 换成21yy +的“替换法则”去求它，即[12]：经过椭圆 12222=+by a x 上一点()11,y x P 的切点弦方程为:12121=+b y y a x x ；经过双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 上一点()11,y x P 的切点弦方程分别为:12121=+b y y a x x ,12121=-bxx a y y ；经过抛物线px y 22±=、py x 22±=上一点()11,y x P 的切点弦方程分别为:()x x p y y o +±=1,()y y p x x o +±=1. 3.4圆锥曲线焦点弦如果经过焦点的直线和圆锥曲线相交于两点，那么经过这两交点的圆锥曲线的弦叫做焦点弦[13]．4 圆锥曲线切线的性质及其应用探讨圆锥曲线有许多共同的优美性质[14].下面我们探讨圆锥曲线的几个简单性质，并给出应用例子，希望这些性质及其应用能有助于初学者对圆锥曲线切线有所了解，从而有效解决相关问题.性质1：在圆锥曲线的准线l （相应准线）上任取一点P ，经过P 点引圆锥曲线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 经过焦点F （相应焦点）且AB 垂直于PF .证明：首先看椭圆的情形.如图2，设椭圆的方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞０）,在左准线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n c a P ,2，经过P 点所引两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 的方程为：22222b a ny a x cb a =+- . 又左焦点()0,1c F -满足切点弦AB 的方程，所以点1F 在AB 这条直线上，即切点弦AB 过焦点1F ．又因为2201b cnca c c n k PF -=+-+--= ,cn b n a b a k AB 2222=--=,所以有122-=⋅-=cnb b cn k k ABPF即AB 垂直PF ．同理可证在右准线上的点P 引椭圆的两条切线PA ，PB 的切点弦AB 经过右焦点且AB 垂直PF .同理可证对双曲线12222=-by a x 和12222=-bx a y ，性质1也成立.下面看抛物线的情形.如图3，设抛物线的方程为px y 22=，在其准线上任取一点⎪⎭⎫⎝⎛-n p P ,2，则经过点P 引两切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x p p ny 2.又因为抛物线px y 22=的焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，满足切点弦AB 的方程，所以切点弦AB经过焦点F .又p np p n k PF -=--=22 ,n p k AB = ，所以有 1-=⋅-=n p p n k k AB PF 即AB 垂直PF .同理可证对于抛物线px y 22-=和py x 22±=，性质1也成立.推论：在圆锥曲线上经过焦点弦AB 两端点的切线的交点P 落在（相应）准线l 上.证明：先看椭圆的情形.设经过椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的焦点弦AB 的两端点A 、B 的两条切线相交于()11,y x P ，则直线AB 的方程为12121=+byy a x x . x又因为焦点()0,C F ±的坐标满足切点弦方程121=±acx ，即c a x 21±= ，故P 点落在圆锥曲线的准线上.同理可证对于双曲线、抛物线推论也成立. 下面举例说明性质1及推论的应用.例1[14]：（2006年全国高考题（Ⅱ）理第21题）已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且−→−−→−=FB AF λ(λ＞0)，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明−→−−→−⋅FB FA 为定值；（2）设的△ABM 面积为S ，写出()λf S =的表达式并求S 的最小值. 解法一:详见2006年全国高考题（Ⅱ）理第21题数学试题卷(理科类)答案. 解法二：（1）−→−−→−=FB AF λ∴A 、F 、B 三点共线.即直线AB 经过抛物线y x 42=的焦点F . ∴由性质1知 AB FM ⊥. ∴−→−−→−⊥AB FM . 即0=⊥−→−−→−AB FM .∴−→−−→−⋅FB FA 为定值0.（2）直线AB 经过抛物线y x 42=的焦点 ∴两切线的交点M 在准线上 −→−−→−⊥AB FM AB FM S ⋅=∴21AB 为定值且4=AB∴要求S 的最小值，需求FM 的最小值∴当且仅当M 在y 轴上时，即()1,0-M 时，S 取得最小值4422121=⨯⨯=⋅=∴AB FM S ∴S 的最小值为4.说明：（1）由性质1的结论知，本题中的M 事实上在准线2py -=上且−→−−→−⊥AB FM ，这样此题便可迎刃而解.（2）由推论知M 在准线上，当且仅当M 在y 轴上，即()1,0-M 时,S 取得最小值.这样来解答相对较简单，节约解题时间.例2[15]:（2006年重庆高考试题文科22题）如图4,对每一个正整数n ,()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点,过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点()n n n t s B ,.(1)试证: 4-=n n s x (n ≥1);(2)取n n x 2=,并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两切线的交点.试证:122121+-=++++-n n n FC FC FC .下面主要看第二问的解答.解法一:详见2006年全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文科类)答案.解法二:(1)略.(2)nn x 2= ∴42422n n x y ==,则n A 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝4,22n n n A ，所以过n A 的直线的斜率()n n x x y k 22211==='=-. 设()y x C n ,，则直线n n C A 的方程为:()n n nx y 224212-=--.由性质1推论知, n n C A 与n n C B 的交点n C 在相应准线1-=y 上.把1-=y 代入直线n n C A 方程解得1212--=n n x .yx故有⎪⎭⎫⎝⎛----1,21211n n n C ,又()1,0F .∴1121122112122122212------+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==n n n n n n n FC .().1222112112121212121122211121221+-=--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=++++---n n n nn n n FC FC FC 说明：此解法优点在于,利用圆锥曲线切线性质求出两切线交点坐标,可大大减少运算量，减少运算时间.由推论知当直线l 过焦点并与圆锥曲线交于A 、B 两点，则经过A 、B 的两切线的交点落在相应的准线上；那么对于任一点()00,y x P 任作直线l 与圆锥曲线交于M 、N 两点,经过M 、N 的两切线的交点是否也落在某一固定的直线上呢？为此通过证明得出性质2.性质2：过圆锥曲线外任一点()00,y x P 作直线l ，交圆锥曲线于M 、N 两点,若圆锥曲线在点M 、N 处切线的交点为Q ，则点Q 在一定直线上.证明：首先来看椭圆的情形.设椭圆的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞０),过椭圆外一点()00,y x P 任作直线l 交椭圆于M 、N 两点,椭圆在点M 、N 处切线的交点为Q .设),(11y x M 、),(22y x N ,则两切线的方程分别为:MQ :12121=+b y y a x x ，NQ :12222=+byy a x x . 可解得交点的坐标为：1221122)(y x y x y y a x --=， 1221122)(y x y x x x b y ---=. 设过点()00,y x P 的直线l 的方程为)(00x x k y y -=-,则0011)(y x x k y +-=, 0022)(y x x k y +-=.于是()[][]()()0012002200211221)(y kx x x y x x k x y x x k x y x y x --=+--+-=-，()1212x x k y y -=-.所以()()()00200121221221122)(y kx ka y kx x x x x ka y x y x y y a x -=---=--=, ()()()00200121221221122)(y kx b y kx x x x x b y x y x x x b y --=----=---=. 消去k ,得12020=+b y y a x x .所以点P 在定直线12020=+by y a x x 上. 说明:（1）当点P 在椭圆内部时,任作直线l 与椭圆都有两个交点,此时轨迹为直线12020=+byy a x x .(2）当点P 在椭圆外部时,要使过点P 的直线与椭圆有两个交点,则斜率k 受到限制.同理可证双曲线对性质2也成立.设双曲线方程为12222=-by a x (a ＞0，b ＞０),过双曲线外一点()00,y x P 任作直线l 交双曲线于M 、N 两点,双曲线在点M 、N 处切线的交点为Q ,则点Q 在定直线12020=-byy a x x 上. 说明：当点P 在无穷远处时,过点P 任作直线即为一族平行直线.此时问题变为:斜率为k 一组平行直线交圆锥曲线于M 、N 两点,过M 、N 两点的切线的交点在一定直线上.下面看抛物线的情形.已知抛物线px y 22=，过抛物线外一点()00,y x P 任作直线l 与交抛物线于M 、N 两点,曲线在点M 、N 处的切线交点为Q .设),(11y x M 、),(22y x N ,则两切线的方程分别为:MQ :)(11x x p y y +=,NQ :)(22x x p y y +=.可解得交点的坐标为：211221y y y x y x x --=，2121y y x x p y --=.设过()00,y x P 的直线l 的方程为:()00x x k y y -=-.把0011)(y x x k y +-=,0022)(y x x k y +-=代入直线l 的方程解得:kkx y x 00-=，n py =.再消去k ，得()00x x p y y +=.所以点P 在定直线()00x x p y y +=上,故性质2得证. 特别地，当点P 坐标取圆锥曲线的焦点坐标时，该性质变为性质1的推论，即性质2为性质1的推论推广[16].例3：已知抛物线C :2x y =,过点()2,0P 的直线交抛物线于M 、N 两点,曲线C 在点M 、N 处的切线交点为Q ,求点Q 所在的直线.解法一:设()11,y x M , ()22,y x N ,则211x y =,222x y =,过点M 、N 的切线方程分别为()1121y y x x +=，()2221y y x x +=. ∴()11212x x x x y -=- ，()22222x x x x y -=-, 由这两方程解得221x x x +=，21x x y =. 设过点()2,0P 的直线斜率为k ，则方程为2+=kx y (1) 把（1）式代入抛物线方程2x y =，消去y ，得 022=--kx x .由韦达定理得 2,2121-==+x x k x x ,所以2-=y .即点Q 的轨迹在定直线2-=y (x ∈R)上.解法二：由性质2和2x y =知21=p 把00=x ，20=y 代入方程 ()00y y p x x += 得2-=y ，即点Q 的轨迹在定直线2-=y (x ∈R)上.说明：在解题时如果学生懂得性质2，那么就可以直接利用公式来解决，节约做题时间.例4[17]:(2005年江西高考题理科试卷)设抛物线C :2x y =的焦点为F ,动点P 在直线：02=--y x 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB 且与抛物线C 分别相交于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程; （2）证明：∠PFA =∠PFB .解：详见2005年江西高考题理科试卷答案.由（2）的结论和答案激发了一种思想：对于圆锥曲线外一点P 作圆锥曲线的两条切线，切点分别为A 、B .F 为圆锥曲线的其一焦点.当P 点在F 相应的准线上时，由性质1知AB PF ⊥,即∠PFA =∠PFB = 90.当点P 不在准线上时，是否也有∠PFA =∠PFB ？为此通过证明得出性质3.性质3：过圆锥曲线外一点P 作圆锥曲线的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点，F 为圆锥曲线的焦点，则PFB PAF ∠=∠.证明：先看椭圆的情形.如图5,设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０）,()n m P ,，()11,y x A ，()22,y x B ，则直线AB 的方程为122=+bny a mx ,即 02222=-+b a ny a mx b . 所以 0221212=-+b a ny a mx b ，则有212221amx b b a ny -=. 设F 为左焦点，则()0,c F -，所以()11,y c x FA +=−→−，()n c m FP ,+=−→−,故P=⋅−→−−→−FP FA ()11,y c x +()n c m ,+()()11ny c x c m +++=()()212221a mx b b a c x c m -+++=()()22212a a cm a x a mc c +++=()()2212mc a cx a a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=m ac a x ac a 1()()em a ex a ++=1（e 是椭圆的离心率）.由向量的内积公式PFA FP FA FP FA ∠⋅=⋅−→−−→−−→−−→−cos ||||，所以()()−→−−→−−→−−→−−→−−→−⋅+⋅+=⋅⋅=∠FPFA em a ex a FPFA FPFA PFA 1cos又由椭圆的焦半径公式可知：1||ex a FA +=−→−，所以()()()()−→−−→−+=⋅++⋅+=∠FPem a FPex a em a ex a PFA 11cos同理可得:()−→−+=∠FPem a PFB cos ，所以PFB PFA ∠=∠.说明：当F 为右焦点时，同理可得PFB PFA ∠=∠. 同理可证对双曲线性质3也成立.下面看抛物线的情形.如图6，设抛物线的方程为：px y 22=，()n m P ,，()1,1y x A ，()2,2y x B ，则直线AB 的方程为: ()x m p ny +=.所以()11x m p ny += ，又⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−→−11,2y p x FA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−→−n p m FP ,2,故()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅−→−−→−222222,2,21111111p m p x x m p p m p x ny p m p x n p m y p x FP FA由向量的内积公式 PFA FP FA FP FA ∠⋅=⋅−→−−→−−→−−→−cos ||||，所以||||22||||cos 1−→−−→−−→−−→−−→−−→−⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅=∠FP FA p m p x FP FA FP FA PFA又由抛物线的焦半径可知：2||1px FA +=−→−，所以 ||2||222||||cos 11−→−−→−−→−−→−−→−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅=∠FP p m FP p x p m p x FP FA FP FA PFA 同理可得：||2cos −→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∠FP p m PFB ，所以 PFB PFA ∠=∠.说明：如果在教学中教师能引导学生这样分析和探讨得出性质3，那么像例4第二问这样的题目学生在解答时可做到心中有数,且能信心十足地解答好该题[18].性质4：经过圆锥曲线外一点P （双曲线两焦点所在的线段中点除外）作圆锥曲线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .过P 作倾斜角为θ的直线交圆锥曲线于M 、N 两点，与切点弦交于C 点，则直线MN 上的三线段PM 1、PC 1、PN1成等差数列. 证明：首先看椭圆的情形.如图7,设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０），椭圆外一点()00,y x P ，两切点为A 、B 两点，则直线AB 的方程为：12020=+by y ax x （1）.设直线MN 的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（2）,由（1）、（2）式得2020220220sin cos 1b y a x b y a x t +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 且PC t =. 再将（2）代入椭圆方程12222=+by a x ，得关于t 的方程：01sin cos 2sin cos 220220202022222=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x b y a x t t b a θθθθ.因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以()2002222sin sin sin cos θθθθy x a b --+=∆>0，方程有两根，设两根为1t 、2t ，则PM t =1，PN t =2,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+220222020*******sin cos 21111b y a x b y a x t t t t t t PN PM o θθ 由此可发现PCt PN PM 2211==+ 故PM 1、PC 1、PN1成等差数列.同理可证对双曲线性质4也成立.下面看抛物线的情形.如图8，设抛物线的方程为px y 22=，抛物线外一点()00,y x P ，两切点分别为A 、B 两点，则直线AB 的方程为：()x x p yy +=00（1）.设直线MN 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（2）,由（1）、（2）式得:θθcos sin 2020p y y px t --=且PC t = 把（2）带入抛物线方程px y 22=，得关于t 的方程：()()θθcos 2sin 020t x p t y +=+.所以()02cos sin 2sin 02002=-+-+px y t p y θθθ因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以∆＞0，方程有两根，设其两根为1t 、2t ，则PM t =1，PN t =2,所以().22cos sin 21111200212121t y px p y t t t t t t PN PM =--=+=+=+θθ 所以PM 1、PC 1、PN1成等差数列. 特别地，当0=θ时，过P 点的直线PM 平行于对称轴与抛物线只有一个交点M ，这时由高等几何的知识，N 可视作无穷远点，因而有01→PN. 即有 PM 1= PC 2, 故M 是PC 的中点.例5[19]：双曲线方程1422=-y x ，)3,1(-P ,ST 为切点弦，过P 点的直线为2+-=x y ，并与双曲线交于A 、B 两点，与切点弦交于C 点.证明三线段PA1、PC 1、PB1成等差数列.证明: ST 的方程为,134=--y x 与2+-=x y 的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-116,1128C . 11239=∴PC , 392112=PC . 又2+-=x y 与1422=-y x 的交点为()0,2A ，⎪⎭⎫⎝⎛-34,310B . 621=∴PA , 26231=PB ∴PC PB PA 23921126236211==+=+ ∴PA 1、PC 1、PB1成等差数列. 性质5：从圆锥曲线上一点P 引切线和法线分别交x 轴所在直线于T 、N ，交y 轴所在直线于T '、N '，则N P PN T P PT '⋅='⋅.证明：先看椭圆等的情形.如图10，设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０）,经过其上一点()ααsin ,cos b a P 的切线与法线方程分为:ab y a x b =⋅+⋅ααsin cos ,()ααααcos sin cos sin 22b a y b x a -=⋅-⋅x它们与长轴所在直线的交点是：⎪⎭⎫ ⎝⎛0,cos αa T ，()⎪⎭⎫⎝⎛-0,cos 122αb a a N .它们与短轴所在直线的交点是：⎪⎭⎫ ⎝⎛'αsin ,0b T ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'b b a N αsin ,022. 于是有 222222sin sin cos sin cos cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅ααααααb b a b a a T P PTαα2222cos sin b a +=()()2222222222sin sin cos sin cos cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='⋅b b a b a b a b a a N P PN αααααα αα2222cos sin b a +=故N P PN T P PT '⋅='⋅其次看双曲线的情形.如图11，设双曲线的方程为12222=-by a x ，过其上一点()θθtan ,sec b a P 的切线与法线方程分为:ab y a x b =⋅-⋅θθtan sec ，()θθθθsec tan sec tan 2⋅+=⋅+⋅b a y b x a .故T 、T '、N 、N '的坐标分别为:⎪⎭⎫ ⎝⎛0,sec θa T ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-'θtan ,0b T ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,sec 22a b a N θ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'b b a N θtan ,022 于是有 22222tan tan sec tan sec sec ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅θθθθθθb b a b a a T P PTθθ2222sec tan b a +=22222222tan sec tan sec ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⋅b a a b a b N P PN θθθθ θθ2222sec tan b a += 即N P PN T P PT '⋅='⋅再次看抛物线的情形.如图12，设抛物线的方程为px y 22±=,过其上一点()pt pt P 2,22的切线与法线方程分别为:0222=+-pt ty x ，()22122t pt y tx +-+故T 、T '、N 、N '的坐标分别为:()0,22pt T -，()()0,212t p N +，()pt o T ,'，()()2212,0t pt N +'于是有 ()()()()2222222222pt pt pt pt pt pt T P PT -+⋅++='⋅()222412t t p +=()()[]()()[]22222221222212t pt pt pt t p pt N P PN +-+⋅+-='⋅()222412t t p +=所以N P PN T P PT '⋅='⋅ ，即性质5得证.例6: 椭圆的方程为192522=+y x ，过其上一点⎪⎭⎫ ⎝⎛-59,4P 得切线l 与x 轴、y 轴相交于T 、T '，过点P 的法线l '与x 轴、y 轴相交于N 、N ',求N P PN '⋅的值.分析：由性质5可知//PN PN PT PT ⋅=⋅，要求N P PN '⋅可转化为求T P PT '⋅.解：直线l 为椭圆的切线，且切点⎪⎭⎫ ⎝⎛-59,4P∴直线l 的方程为1959254=+-yx∴⎪⎭⎫⎝⎛-0,425T ，()5,0T 'x由两点间的距离公式得：20419590442522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=PT ，()54145954022=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='T P N P PN T P PT '⋅='⋅ ∴N P PN '⋅=25369541420419=⨯. 总之，在教学过程中引导学生通过探究性学习获得圆锥曲线的一些切线的性质并加以应用，不仅可以让学生进一步加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力，而且可以培养学生的创造性思维，提高学生的学习数学的兴趣[20].5 结论5.1主要发现圆锥曲线切线的性质及其应用为相关问题的求解和证明提供十分有效的解题思路，有助于学生对圆锥曲线切线知识有更深刻认识.探讨圆锥曲线切线的性质，不仅需要对基础知识熟练掌握，而且要灵活运用相关知识，善于将知识点衔接起来，归纳总结三种圆锥曲线的内在个性特点.只有通过不断地分析典型题目，找出内在规律及它们的一些性质进行总结，才能找出圆锥曲线具有的统一性质.总之，在高考中圆锥曲线切线的相关问题既有一定难度，又有一定的技巧性和整体性，但只要我们善于思考和总结就容易找到解决问题的突破口，也会发现圆锥曲线切线的性质对求解该类问题有着很大的帮助. 5.2启示圆锥曲线切线的性质是解决与圆锥曲线切线相关问题的关键点，理解掌握圆锥曲线切线的性质和证明思路，对解决圆锥曲线的相关问题有极大的帮助.但要理解掌握和灵活运用性质去解决问题时，必须对基础知识熟练掌握，且能够将知识点融会贯通. 5.3局限性本毕业论文提供的仅是有限的几个性质及证明方法，还有许多性质未能得出，限我个人能力有限，不能提供更多的性质以便解决许多相关的问题，同时也没能完全给出相应的应用，这是本毕业论文的不足. 5.4努力方向除了文中所述的几个性质外，根据三种圆锥曲线的内在个性特点可能还有其他的一些性质，这些性质将有待我们作进一步探讨研究，以弥补本论文的不足.参考文献[1] 郑观宝.圆锥曲线的一个共通性质[J].中学数学研究，2006，（8）：44.[2] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书(第二册上)[M].北京：人民教育出版社，2004:91-122.[3] 张留杰. 圆锥曲线的一个性质的证明与推广[J]. 数学通讯，2003，（15）:25-27.[4] 周伟林. 圆锥曲线切点弦的一个性质[J].考试周刊，2007,（3）:49-50.[5] 黄继创. 圆锥曲线的一个几何特征[J].数学通讯，2006,（6）:94-95.[6] 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圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。

适用条件需要注意。

例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。

PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。

例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。

例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。

题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。

在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。

例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。

题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。

例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。

例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。

题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。

圆锥曲线的切线与法线方程的求解技巧总结

圆锥曲线的切线与法线方程的求解技巧总结圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学以及工程学等许多领域都有广泛的应用。

对于圆锥曲线上的任意一点，切线和法线是与其切点和法点相关联的重要性质。

在本文中，我们将总结一些求解圆锥曲线切线和法线方程的技巧与方法。

一、椭圆的切线与法线方程椭圆是圆锥曲线中的一种，具有许多重要的特性。

对于椭圆上的任意一点P(x,y)，我们希望求解它的切线和法线方程。

1. 切线方程的求解对于椭圆上一点P(x,y)，其切线的斜率可以通过对椭圆的导数求解得到。

椭圆的隐式方程可以表示为：Ax² + By² = C，其中A、B、C为常数。

首先，对隐式方程两边同时求导，得到2Ax + 2By(dy/dx) = 0。

然后解出dy/dx，即切线的斜率。

接下来，通过点斜式的切线方程：y - y₁ = k(x - x₁)，其中(k为切线的斜率，(x₁,y₁)为切点坐标)，我们可以代入已知点P(x,y)和切线斜率，求解出切线方程。

2. 法线方程的求解对于椭圆上一点P(x,y)，其法线与切线垂直，因此法线的斜率可以通过切线斜率的倒数得到。

我们可以通过点斜式的法线方程：y - y₁ = (-1/k)(x - x₁)，其中(k为切线的斜率，(x₁,y₁)为切点坐标)，代入已知点P(x,y)和切线斜率的倒数，求解出法线方程。

二、双曲线的切线与法线方程双曲线是圆锥曲线中的另一类，其形状与椭圆类似，但具有不同的数学性质。

对于双曲线上的任意一点P(x,y)，我们也可以求解其切线和法线方程。

1. 切线方程的求解双曲线的隐式方程可以表示为：Ax² - By² = C，其中A、B、C为常数。

我们同样通过对隐式方程两边同时求导，得到2Ax - 2By(dy/dx) = 0。

然后解出dy/dx，即切线的斜率。

利用点斜式的切线方程，代入切点坐标和切线斜率，求解出切线方程。

2. 法线方程的求解与椭圆类似，双曲线上任意一点P(x,y)的法线与切线垂直，因此法线的斜率可以通过切线斜率的倒数得到。

圆锥曲线的切线与法线

型-3隱函數的微分討論曲線的切線，本是幾何中的一個重要題材；但是，許多曲線並不是函數圖形，對於這類曲線，前面利用微分一個函數來求切線斜率的方法，無法直接利用在這類的曲線上。

而我們知道基本上求曲線上一個點的切線，只須要這個點附近的圖形即可，因此可將曲線分成若干部分，使每一個部分都是函數圖形，再微分通過這個切點的函數，求出切線斜率，進一步求出切線的方程式。

2 2 12-6例：試求9 + 4 = 1以點("5",亏)為切點的切線方程式。

2 2(一)利用函數圖形：橢圓x 9 + 4 = i 不是函數圖形，(二)利用隱函數的微分法:顯函數與隱函數：2x 前面所提的函數，都是以x 表示y ，叫做顯函數(explicit function),例如：y=x 3-x ，y= x+"都是顯函數。

若方程式F(x,y)=0，可以定義出函數y=f(x)，而非解出y 以x 表示，則稱y 為x2 x 2_4 的隱函數(implicit function)b 如方程式 x-xy+y-4=0可定義出一個函數 y=f(x)= 二，x=1。

故方程式x 2-xy+y-4=0中的y 為x 的隱函數。

隱函數的微分：一般而言，方程式F(x,y)=0不一定都可以定義出函數y=f(x)。

縱使可以，想解出y 以x 表示，有時亦很困難，例如：siny+2y+x=0，甚至不可能。

在此情形下，我們可將 y 視為x 的可微分函數，全式對x 微分，即可求得黑，此種方法稱為隱函數的微分法。

若假定 y=f(x)存在且可微分，則y=f(x)在曲線上點P(x o ,y o )的導數，記做■dx |(X0 y 0)或埶。

dy dx例如：F(x,y)=x 2+y 2-4=0，將y 視為x 的可微分函數，全式對x 微分，則糸(F(x,y))=轨2)+ 轨2)一亲(4)=0'即2x+2y dX=0，故Hx =亍，y 0。

圆锥曲线切线的一条性质

圆锥曲线切线的一条性质圆锥曲线就是由平面上一条固定的直线（称为母线）和固定点（称为焦点）所确定的一类曲线。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在圆锥曲线上，每个点都有一个切线。

本文将讨论圆锥曲线切线的一条重要性质。

在平面直角坐标系中，设圆锥曲线的方程为F（x，y）= 0。

假设在点（x0，y0）处存在一条切线L。

定义切线L的斜率为K。

现在我们来探讨一下圆锥曲线切线的性质。

性质1：切线斜率K的取值范围对于一个圆锥曲线，它在每一个点上都必然存在一条切线。

当我们观察切线时，我们会发现它的斜率是有限的。

考虑某一切点（x0，y0），假设这个点在椭圆上，我们用红色的线段表示作为切线的三角形，其中斜率为K，如下图所示。

在上图中，我们可以看到切线L的方程为y = Kx + b。

斜率K 可以表示为K = tanθ。

因此，图中的角度θ可以表示为tanθ = K。

我们可以看出，当θ沿逆时针方向旋转时，斜率K也会变化。

由于计算机对于圆周的表达方式是具有周期性的，所以圆锥曲线切线在θ增加2π时也应该和之前的情况是相似的。

这样，我们就得到了切线斜率K的取值范围。

椭圆：在椭圆上，斜率K的取值范围是-K0 < K < K0，其中K0是椭圆的一个与x轴平行的主轴斜率。

抛物线：在抛物线上，斜率K的取值范围是负无穷到正无穷。

双曲线：在双曲线的左侧或右侧，斜率K的取值范围是-K0 <K < K0，其中K0是双曲线的一个与x轴平行的渐近线斜率。

在双曲线的内部，斜率K的取值范围是-K0 > K 或 K > K0。

性质2：切线和法线的夹角相等在圆锥曲线上的任何一点，切线和法线都垂直相交。

因此，切线和法线有一个重要的性质：它们夹角相等。

我们假设在某一点p（x0，y0）处存在一条切线L，斜率为K。

我们来求一下切线的方程式。

切线可以表示为y - y0 = K（x -x0）。

因为圆锥曲线F（x，y）= 0在点p上有一个切线L，所以它在这个点的导数存在，即有：F’（x0，y0）= 0。

圆锥曲线的切线与法线方程

圆锥曲线的切线与法线方程圆锥曲线是平面几何中的重要内容，其切线与法线方程的推导和应用也是数学学习中的重点之一。

圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。

在圆锥曲线中，每一种曲线都有特定的切线与法线方程。

我们以圆锥曲线的切线与法线方程为例来详细讨论。

1. 圆的切线与法线方程对于圆而言，其切线与法线的性质具有特殊性。

以圆心为原点，半径为r的圆方程为$x^2+y^2=r^2$。

圆的切线与法线方程如下：（1）圆的切线方程：设切点坐标为$(x_0,y_0)$，切线斜率为k，则切线方程为$y=kx+b$，其中$b=y_0-kx_0$。

（2）圆的法线方程：切线斜率为k，法线斜率为$-\frac{1}{k}$，法线方程为$y=-\frac{1}{k}x+c$，其中$c=y_0+\frac{x_0}{k}$。

2. 椭圆的切线与法线方程椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

椭圆的切线与法线方程与圆有所不同，需要根据椭圆的方程进行推导。

3. 双曲线的切线与法线方程双曲线是平面上到两个固定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的切线与法线方程也需要根据双曲线的方程进行推导。

4. 抛物线的切线与法线方程抛物线是平面上到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的轨迹。

抛物线的切线与法线方程与圆有所不同，同样需要根据抛物线的方程进行推导。

综上所述，圆锥曲线的切线与法线方程是平面几何中重要的内容，对于不同类型的曲线需要采用不同的方法进行推导。

熟练掌握圆锥曲线的切线与法线方程可以帮助我们更好地理解曲线的几何性质，为数学学习提供有效的帮助。

建议学生在学习中多进行练习，加深对圆锥曲线切线与法线方程的理解，提高解题能力。

圆锥曲线的切线与法线的解析

圆锥曲线的切线与法线的解析圆锥曲线是数学中的一种重要曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在研究这些曲线时，我们经常需要求解曲线上某一点处的切线和法线。

本文将介绍圆锥曲线的切线和法线的解析方法。

一、椭圆的切线与法线椭圆是平面上一点到两个给定点（焦点）距离之和等于常数的点的轨迹。

对于椭圆上的任意一点P(x, y)，我们来求解它的切线和法线。

1. 切线的解析式设椭圆的焦点为F₁和F₂，椭圆上的点P(x, y)。

连接F₁P和F₂P，并垂直平分F₁P和F₂P的中垂线，交椭圆于点M。

连接点M和点P，我们发现线段MP恰好就是切线。

由于F₁M = F₂M，根据垂直平分线的性质，有F₁P = F₂P。

设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则F₁M = F₁P - MP = a - xF₂M = F₂P + MP = a + x根据椭圆的定义，有F₁P + F₂P = 2a。

结合上面的等式，我们可以得到：2(a - x) + 2(a + x) = 2a4a = 2ax = a即当P(x, y)在椭圆的长轴上时，切线与椭圆的长轴垂直。

因此，椭圆的切线方程可以表示为：x = a当P(x, y)不在椭圆的长轴上时，切线的斜率可以通过求解导数来得到。

设椭圆的方程为x²/a² + y²/b² = 1，对该方程两边求导得：2x/a² + 2y/b² * dy/dx = 0dy/dx = -x(a²/b²)可以看出，切线的斜率等于曲线在切点处的导数值。

再通过点斜式求解切线的方程，即可得到椭圆上任一点的切线方程。

2. 法线的解析式椭圆上任意一点P(x, y)处的法线垂直于切线。

设法线的斜率为k，由于切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，所以有k = -x(a²/b²)。

通过点斜式求解法线的方程，设法线与切点P(x, y)的坐标为(Nx, Ny)，有：(Nx - x) / (Ny - y) = -x(a²/b²)(Ny - y) = (x² - a²) / (b²x)由于法线过点P(x, y)，代入坐标可得：(Nx - x) / ((Nx² - a²) / (b²Nx) - y) = -x(a²/b²)化简以上方程可以得到椭圆上任一点的法线方程。

圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧阐述

圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧阐述圆锥曲线是解析几何中的重要内容，其中包括椭圆、双曲线和抛物线等。

在研究圆锥曲线的性质时，常常需要找到曲线上某点处的切线和法线方程。

本文将重点探讨圆锥曲线的切线和法线方程求解技巧。

1. 切线的求解技巧切线是曲线在某一点处的切线，它与曲线仅相交于该点。

我们可以通过求解切线的斜率和通过给定点的方程来确定切线方程。

为了求解切线，首先需要求曲线在某点处的导数。

以椭圆为例，其方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b）。

假设我们要求解椭圆上一点P的切线方程，P的坐标为(x0, y0)。

（1）求解切线斜率：椭圆的导数可以通过隐函数求导法求得。

对椭圆方程两边同时求导，得到2x/a^2 + 2yy'/b^2 = 0。

将点P的坐标代入上式，可得到斜率m = -xb^2/ya^2。

（2）切线的方程：切线方程的一般形式为y - y0 = m(x - x0)。

将m和P的坐标代入切线方程中，可得到椭圆上点P处的切线方程。

2. 法线的求解技巧法线是与切线垂直的直线。

与切线类似，我们可以通过求解法线的斜率和通过给定点的方程来确定法线方程。

为了求解法线，同样需要求曲线在某一点处的导数。

以抛物线为例，其方程为y^2 = 4ax（a > 0）。

假设我们要求解抛物线上一点P的法线方程，P的坐标为(x0, y0)。

（1）求解法线斜率：抛物线的导数可以通过隐函数求导法求得。

对抛物线方程两边同时求导，得到2yy' = 4a。

将点P的坐标代入上式，可得到斜率m = -1/(2a)。

（2）法线的方程：法线方程的一般形式为y - y0 = -1/m(x - x0)。

将m和P的坐标代入法线方程中，可得到抛物线上点P处的法线方程。

3. 切线和法线方程求解实例通过以上技巧，我们可以来解决一个具体的求解问题。

示例：求解椭圆x^2/4 + y^2/9 = 1上点P(2, 3)处的切线和法线方程。

圆锥曲线切线方程结论

圆锥曲线切线方程结论
圆锥曲线切线是曲线三维场景中扮演重要角色的一类曲线。

它们具有令人惊叹的变化和复杂性，可用于形状加工、精密裁剪、几何造型等多种应用。

圆锥曲线的切线方程是由曲线走向决定的，通过计算其切线方程可求出它在特定点处的倾斜程度。

切线方程是曲线上垂线与曲线交点处该点处法线相交的单变量函数。

回顾常见的二次曲线，其切线方程为 y=mx+b 其中 m 为斜率，b 为截距，x 和 y 为曲线的变量。

而圆锥曲线的切线方程更加复杂，它是一个曲线上三个变量 x,y,z 的二次方程，可以写成
ax²+by²+cz²+dxy+eyz+fxz+gx+hy+iz+j=0的形式。

从圆锥曲线的切线方程中可以看出，它的形状会由九个参数决定，这使得它具有很强的表达能力。

例如它可以表示不同椭圆形状，例如圆形、椭圆形、双曲线等，以及可以表示复杂的多维场景。

此外，它易于计算，因此在计算机辅助设计领域有着广泛的应用。

总之，圆锥曲线切线方程是圆锥曲线的重要参数，也是圆锥曲线变化性强的原因。

它可以表达复杂的场景，具有很强的表达能力，易于计算，并可以在计算机辅助设计领域有着广泛的应用。