山东新高考论坛新课标数学文一轮教师备课练习8.5椭圆
新课标2023版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第5节椭圆教师用书
第五节椭圆考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．一、教材概念·结论·性质重现1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段F1F2．(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m >n >0，椭圆的焦点在y 轴上⇔0<m <n ．(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0<e <1)．直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 4．常见结论(1)a ＋c 与a －c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． (2)过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b2a，称为通径．(3)若过焦点F 1的弦为AB ，则△ABF 2的周长为4a ． (4)e ＝1－b 2a2．e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． (5)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0．(6)若M ，N 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上关于原点对称的两个点，P 是椭圆上不与M ，N 重合的点，则k PM ·k PN ＝－b 2a2．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆． ( × )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ )(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距相同．( √ )2．若F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 225＋y 216＝1 B ．x 2100＋y 29＝1 C ．y 225＋x 216＝1 D ．x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 A 解析：设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10＞|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1．3．已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)B 解析：因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 2m＝1即x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)．故选B ．4．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．以上答案都不对C 解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， 所以a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1．当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，所以a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1．5．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ．若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A ．22B ．2－12C ．2－ 2D ．2－1D 解析：由题意可知，|PF 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ． 因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c ＋22c ＝2a ， 解得c a＝2－1．考点1 椭圆的定义——基础性1．圆A 的半径为4，圆心为A (－1,0)，B (1,0)是圆A 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线与半径AP 相交于点Q ．当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为( )A ．x 23＋y 24＝1B ． x 2＋y 2＝16 C ．x 24＋y 23＝1D ．(x ＋1)2＋y 2＝16C 解析：如图，直线l 为线段BP 的垂直平分线，所以连接BQ ，由线段垂直平分线的性质得：BQ ＝PQ ， 而半径AP ＝AQ ＋PQ ，且A ，B 两点为定点， 所以AQ ＋BQ ＝4>AB ＝2，所以由椭圆定义得点Q 轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆，且2a ＝4,2c ＝2， 所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．故选C ．2．(2021·大同高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中点为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为( )A ．x 236＋y 218＝1 B ．x 216＋y 210＝1 C ．x 24＋y 22＝1D ．x 216＋y 28＝1 D 解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2．根据椭圆的定义可知△ABF 2的周长为4a ，所以4a ＝16，即a ＝4，a 2＝16，b 2＝8， 则椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1． 3．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．若△AF 2B 是边长为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 29＋y 26＝1C ．x 216＋y 24＝1 D ．x 216＋y 29＝1 B 解析：如图所示，因为△ABF 2是边长为4的等边三角形，所以|AF 2|＝4，|AF 1|＝12|AB |＝2，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6，所以a ＝3．又因为|F 1F 2|＝2c ＝|AF 2|2－|AF 1|2＝23，所以c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝6， 故椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1．故选B ．椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．考点2 椭圆的标准方程——综合性(1)“－3＜m ＜4”是“方程x 24－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 解析：因为方程x 24－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧4－m >0，m ＋3>0，4－m ≠m ＋3，解得－3<m <4且m ≠12，所以“－3＜m ＜4”是“方程x 24－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B ．(2)(2021·深圳二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF |＝|FP |，则椭圆C 的方程为( )A ．x 212＋y 23＝1 B ．x 28＋y 23＝1C ．x 26＋y 23＝1D ．x 24＋y 23＝1D 解析：根据对称性知点P 在x 轴上，|OF |＝|FP |，故a ＝2c ，a 2＝3＋c 2，解得a ＝2，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．本例(1)中椭圆的方程式变为x 216－m ＋y 2m －2＝1，若焦距为4，则m 的值为________． 7或11 解析：在椭圆x 216－m ＋y 2m －2＝1中，由已知可得2c ＝4，解得c ＝2．若椭圆的焦点在x 轴上，可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m －2>0，(16－m )－(m －2)＝c 2＝4，解得m ＝7；若椭圆的焦点在y 轴上，可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m －2>0，(m －2)－(16－m )＝c 2＝4，解得m ＝11．因此，m ＝7或11．1．求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a ＞|F 1F 2|．(2)待定系数法：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式．2．椭圆的标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 2a 2＋y 2b2＝λ(λ＞0)有相同的离心率．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k＝1(a ＞b ＞0，b 2＋k＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．1．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1 C ．x 24＋y 22＝1D ．x 28＋y 24＝1A 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1．又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12．又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1．2．过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．y 220＋x 24＝1 解析：(方法一)椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4． 由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝25．由c 2＝a 2－b 2得b 2＝4．所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1．(方法二)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16．设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，所以a 2－b 2＝16．①又点(3，－5)在所求椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1．② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1．考点3 椭圆的几何性质——应用性考向1 求离心率(或范围)(1)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝a 2c上一点．若△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为( )A ．12 B ．22C ．34D ．45B 解析：设直线x ＝a 2c交x 轴于点M ，因为△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∠PF 2M ＝60°，||PF 2＝||F 1F 2＝2c ， 在Rt △PF 2M 中，∠PMF 2＝90°，∠MPF 2＝30°，所以||PF 2＝2||F 2M ．因为P 为直线x ＝a 2c 上一点，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ＝2c ，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22．(2)(2022·青岛模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C 解析：如图所示，因为线段PF 1的中垂线经过点F 2，所以PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c ．所以2c ≥a －c ．所以e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．考向2 与椭圆有关的最值问题已知F (2,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦长为6．若A (－2，2)，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________．8＋ 2 解析：设椭圆的左焦点为F ′，由椭圆的右焦点为F (2,0)，得c ＝2，又过F 且垂直于x 轴的弦长为6，即2b2a＝6，则a 2－c 2a ＝a 2－4a＝3，解得a ＝4，所以|MF |＋|MA |＝8－|MF ′|＋|MA |＝8＋|MA |－|MF ′|， 当M ，A ，F ′三点共线时，|MA |－|MF ′|取得最大值， (|MA |－|MF ′|)max ＝|AF ′|＝2， 所以|MF |＋|MA |的最大值为8＋2．椭圆的范围与最值问题(1)在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，有|x |≤a ，|y |≤b ，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值．(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c ；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值．1．已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足||PF 2＝||F 1F 2且F 2到直线PF 1的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34B 解析：由已知得||PF 2＝||F 1F 2＝2c ，根据椭圆的定义可得||PF 1＋||PF 2＝2a ⇒||PF 1＝2a －2c ． 又F 2到直线PF 1的距离等于b ，即||F 2H ＝b ． 由等腰三角形三线合一的性质可得：F 2H ⊥PF 1， 可列方程：(a －c )2＋b 2＝(2c )2⇒a 2－ac －2c 2＝0⇒(a －2c )(a ＋c )＝0⇒a －2c ＝0⇒e ＝12．故选B ．2．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12C 解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，则其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2．若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求离心率e 的取值范围．[四字程序]读想算思在椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2为直角1．在焦点三角形中可利用哪些性质或结论 2．离心率的表达式有哪些构建点P 的横坐标x与a ，b ，c 的关系式，利用椭圆的有界性求解转化与化归，函数与方程求椭圆离心率e 的取值范围1．在焦点三角形中要注意应用： ①椭圆的定义． ②勾股定理或余弦定理．③三角形的面积公式 2．e ＝ca或e ＝1－b 2a2 x 2＝a 2c 2－a 2b2a 2－b21．椭圆的有界性．2．一元二次方程有实根的条件思路参考：利用曲线范围．解：设P (x ，y )，又知F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则F 1P →＝(x ＋c ，y )，F 2P →＝(x －c ，y )． 由∠F 1PF 2＝90°，知F 1P →⊥F 2P →， 则F 1P →·F 2P →＝0，即(x ＋c )(x －c )＋y 2＝0， 得x 2＋y 2＝c 2．将这个方程与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立，消去y ，可得x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2－b 2．由椭圆的取值范围及∠F 1PF 2＝90°， 知0≤x 2<a 2，即0≤a 2c 2－a 2b 2a 2－b 2<a 2．可得c 2≥b 2，即c 2≥a 2－c 2且c 2<a 2， 从而得e ＝c a ≥22，且e ＝ca<1， 所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1．思路参考：利用二次方程有实根．解：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ⇒|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2． 又由∠F 1PF 2＝90°，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 可得|PF 1||PF 2|＝2(a 2－c 2)．因此，|PF 1|与|PF 2|是方程x 2－2ax ＋2(a 2－c 2)＝0的两个实根，所以Δ＝4a 2－8(a 2－c 2)≥0⇒e 2＝c 2a 2≥12⇒e ≥22．所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1．思路参考：利用三角函数有界性．解：记∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，由正弦定理有|PF 1|sin β＝|PF 2|sin α＝|F 1F 2|sin 90°，即|PF 1|＋|PF 2|sin α＋sin β＝|F 1F 2|．又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则有e ＝c a ＝1sin α＋sin β＝12sinα＋β2cosα－β2＝12cosα－β2．由0°≤|α－β|<90°， 知0°≤|α－β|2<45°，所以22<cos α－β2≤1， 从而可得22≤e <1．思路参考：利用基本不等式．解：由椭圆定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|，平方后得4a 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|≤2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝2|F 1F 2|2＝8c 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，得c 2a 2≥12，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1．思路参考：巧用图形的几何特性．解：由∠F 1PF 2＝90°，知点P 在以|F 1F 2|＝2c 为直径的圆上． 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P ， 故有c ≥b ⇒c 2≥b 2＝a 2－c 2， 由此可得e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1．思路参考：双焦点最大张角．解：设B 1为上顶点，则双焦点最大张角为∠F 1B 1F 2． 由已知∠F 1B 1F 2≥90°， 所以∠OB 1F 2≥45°，tan ∠OB 1F 2≥1，即c b≥1，c 2≥b 2，c 2≥a 2－c 2，得c 2a 2≥12，所以有e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1．1．本题考查椭圆离心率范围的求解，解题的基本策略是根据离心率的表达式，利用函数、方程、不等式求解，也可以利用椭圆图形的性质解决．2．基于课程标准，解答本题一般要熟练掌握离心率的表达式和椭圆的几何性质，试题的解答体现了数学运算和逻辑推理的核心素养．3．基于高考评价体系，本题通过椭圆性质的相互联系和转化，体现了基础性和综合性．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个顶点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞) A 解析：当0<m <3时，如图1，图1设M (x 0，y 0)，不妨设y 0>0，A (－3，0)，B (3，0)．则S △MAB ＝3y 0＝12|MA |·|MB |sin 23π＝34|MA |·|MB |，得|MA |·|MB |＝4y 0．AM →＝(x 0＋3，y 0)，BM →＝(x 0－3，y 0)，故AM →·BM →＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 20＝|AM →||BM →|· cos 23π，得x 20－3＋y 20＝－2y 0． 因为M (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 203＋y 20m＝1，得x 20－3＝－3my 20，故－3my 20＋y 20＝－2y 0，得y 0＝2m3－m≤m ， 解得0<m ≤1． 当m >3时，如图2，图2设M (x 0，y 0)，不妨设x 0>0， 则A (0，－m )，B (0，m )，S △MAB ＝mx 0＝12|MA |·|MB |sin 23π＝34|MA |·|MB |，|MA |·|MB |＝43m 3x 0， AM →＝(x 0，y 0＋m )，BM →＝(x 0，y 0－m )，所以AM →·BM →＝x 20＋(y 0＋m )(y 0－m )＝|AM →|·|BM →|cos 23π，解得x 20＋y 20－m ＝－23m 3x 0．因为M (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 203＋y 20m＝1，得y 20－m ＝－m3x 20，故－m 3x 20＋x 20＝－23m 3x 0，解得x 0＝23m m －3≤3，解得m ≥9．综上m ≥9或0<m ≤1． 故选A ．。
2021版新高考数学(山东专用)一轮学案：第八章第五讲 椭圆 Word版含解析
姓名，年级：时间：第五讲椭圆ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝｛M||MF1｜＋｜MF2|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a＞0,c＞0,且a、c为常数，则有如下结论：（1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；（2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;(3)若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1（－a,0），A2(a,0)B1(0，－b)，B2（0，b）A1（0,－a）,A2(0，a）B1(－b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为__2a__；错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的弦，A(x1，y1)，B（x2,y2）,弦中点M（x0，y0)，则（1)弦长l＝1＋k2｜x1－x2|＝错误!|y1－y2|;(2)直线AB的斜率k AB＝－b2xa2y．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．（多选题)下列结论正确的是（CD )A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆C．方程mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆D．错误!＋错误!＝1(a>b〉0)与错误!＋错误!＝1(a>b>0)的焦距相同题组二走进教材2．（必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于（ C )A．4 B．8 C．4或8 D．12［解析] 当焦点在x轴上时，10－m〉m－2〉0，10－m－（m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时,m－2〉10－m>0，m－2－(10－m）＝4,∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3)过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为（ A )A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三考题再现4．(2019·湖南郴州二模）已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为错误!，则椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1 ．[解析］∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c,∴a－c＝2错误!－2，∵离心率e＝错误!，∴错误!＝错误!，解得a＝2错误!，c＝2,则b2＝a2－c2＝4，∴椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1．5．(2018·课标全国Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( D )A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1[解析] 设｜PF2|＝x,则｜PF1|＝错误!x，|F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1｜＋｜PF｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2|＝2x,于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!2－1．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 （1)(2019·泉州模拟）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是( B ) A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点,A(1,1）是一定点．则|PA｜＋|PF｜的最大值和最小值分别为6＋错误!，6－错误!．（3）已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为33，则b＝__3__．[解析］（1）如图所示，由题知|PF1|＋｜PF2｜＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1（其中a>b〉0)．连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO｜＝a（a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋｜PF1|＝6．∴｜PA｜＋|PF｜＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程错误!＋错误!＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0），∴|AF1|＝2．利用－｜AF1｜≤｜PA|－|PF1｜≤｜AF1｜（当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF|≤6＋错误!,|PA|＋｜PF｜≥6－错误!．故｜PA｜＋｜PF｜的最大值为6＋错误!，最小值为6－错误!．(3）｜PF1|＋｜PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1｜2＋｜PF2|2－2|PF1｜｜PF2｜cos60°＝｜F1F2｜2,即（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1|｜PF2｜＝4c2，所以3|PF1｜｜PF2｜＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1｜｜PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!|PF1||PF2|sin60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3.故填3．名师点拨☞(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．（2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|｜PF2|;通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕(1）(2019·大庆模拟）已知点M（错误!，0），椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!)交于点A、B，则△ABM的周长为__8__．(2)(2020·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4）,则｜PM|－|PF1｜的最小值为__－5__．[解析］(1)直线y＝k(x＋错误!)过定点N(－错误!，0）．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．(2）由题意可知F2(3,0)，由椭圆定义可知｜PF1|＝2a－｜PF2｜.∴｜PM|－｜PF1|＝｜PM|－(2a－|PF2｜)＝|PM|＋|PF2｜－2a≥|MF2｜－2a，当且仅当M,P，F三点共线时取得等号，又｜MF2|＝6－32＋4－02＝5，2a＝10，2∴｜PM｜－｜PF2｜≥5－10＝－5，即｜PM｜－|PF1｜的最小值为－5．考点二求椭圆的标准方程-—师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；(3)经过点P（－2错误!，1）,Q（错误!，－2）两点；（4)与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点（2,－错误!）．［解析] （1）若焦点在x轴上，设方程为x2a2＋错误!＝1(a>b〉0）．∵椭圆过点A（3,0），∴错误!＝1，∴a＝3。
高考数学一轮复习讲解与练习 8.5椭圆理 新人教A版.pdf
[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2.了解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，三种题型均有可能出现，如2012年山东T10等．2.直线与椭圆位置关系问题一直是高考的重点，多以解答题形式考查，难度相对较大，如2012年陕西T19等. [归纳·知识整合] 1．椭圆的定义 (1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆 在平面内； 与两个定点F1、F2的距离之和等于常数； 常数大于|F1F2|. (2)焦点：两定点． (3)焦距：两焦点间的距离． [探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？ 提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2ab>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝，e(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2 [探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示：离心率e＝越接近1，a与c就越接近，从而b＝就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆． [自测·牛刀小试] 1．椭圆＋＝1的离心率为( ) A. B. C. D. 解析：选D a2＝16，b2＝8，c2＝8，e＝＝. 2．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选A 根据椭圆定义，知AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( ) A. B. C．2 D．4 解析：选A 由题意知a2＝，b2＝1，且a＝2b，则＝4，得m＝. 4．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( ) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选C 把点(－2，)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝2，故焦距为2c＝4. 5．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________． 解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，则|PF2|＝6.故|PF1|＝2×5－6＝4. 答案：4 椭圆的定义、标准方程 [例1] (1)已知ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC是周长是( ) A．2 B．6 C．4 D．12 (2)(2012·山东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1 [自主解答] (1)根据椭圆定义，ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4. (2)由离心率为得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A、C、D，知选项D正确． [答案] (1)C (2)D ——————————————————— 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤 (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能； (2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)； ?3?找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组；?4?得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1?m>0，n>0?. 1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________． 解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又＝，得c＝3，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且12.若PF1F2的面积为9，则b＝________. 解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和PF1F2是一个面积等于9的直角三角形， 有 式两端平方并把、两式代入可得4c2＋36＝4a2， 即a2－c2＝9，即b2＝9，故b＝3. 答案：3 椭圆的几何性质及应用 [例2] (2012·安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF2＝60°. (1)求椭圆C的离心率； (2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值． [自主解答] (1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2， 直线AB的方程可为y＝－(x－c)． 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B. 所以|AB|＝·＝c. 由SAF1B＝|AF1|·|AB|sin F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 法二：设|AB|＝t. 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得， t＝a. 由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知， a＝10，b＝5. ——————————————————— 椭圆离心率的求法 求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围． 3．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( ) A. B. C. D. 解析：选B 根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的椭圆的离心率为. 4．椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆右焦点为F′，由图及椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a. 又FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立，此时4a＝12，则a＝3，故椭圆方程为＋＝1, 所以c＝2，所以e＝＝. 答案： 直线与椭圆的综合 [例3] 如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． (1)求椭圆C的方程； (2)求ABP面积取最大值时直线l的方程． [自主解答] (1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得 解得 所以椭圆方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M. 当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)， 由消去y，整理得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0， 所以线段AB的中点M. 因为M在直线OP：y＝x上，所以＝. 得m＝0(舍去)或k＝－. 此时方程为3x2－3mx＋m2－3＝0，则 Δ＝3(12－m2)＞0， 所以|AB|＝·|x1－x2|＝·. 设点P到直线AB距离为d，则 d＝＝. 设ABP的面积为S，则 S＝|AB|·d＝·. 其中m(－2，0)(0,2)． 令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m[－2，2 ]， u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6) ＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)． 所以当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值． 故当且仅当m＝1－时，S取到最大值． 综上，所求直线l方程为3x＋2y＋2－2＝0.——————————————————— 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法 5．(2013·洛阳模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A，B. (1)若|AB|＝，求k的值； (2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M. 解：(1)由题意知＝，b＝1. 由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝， 椭圆的方程为＋y2＝1. 由得(2k2＋1)x2－kx－＝0. Δ＝k2－4(2k2＋1)×＝16k2＋>0恒成立． 设A(x1，y1)，B(x2，x2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， |AB|＝·|x1－x2|＝·＝＝， 化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0， 解得k＝±1. (2)证明：＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)， ·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1) ＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋ ＝－－＋ ＝0. 不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M. 1个规律——椭圆焦点位置与x2、y2系数之间的关系 给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上m>n>0；椭圆的焦点在y轴上0<m<n. 1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． 2种方法——求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程． 3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0<e0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B 因为当m<0，n0，n>0，mn>0. 2．已知椭圆：＋＝1的焦距为4，则m等于( ) A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不对 解析：选C 由得2<mb>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) A. B. C. D. 解析：选C 根据题意直线PF2的倾斜角是，所以a－c＝|PF2|＝|F1F2|＝×2c，解得e＝. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是__________． 解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2， 所以≤.又<1，所以≤eb>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝＝. 答案： 9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点．若＝3，则k＝________. 解析：根据已知＝，可得a2＝c2，则b2＝c2，故椭圆方程为＋＝1，即3x2＋12y2－4c2＝0.设直线的方程为x＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据＝3，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－，y1y2＝－，把－y1＝3y2代入得，y2＝，－3y＝－，故9m2＝m2＋4，故m2＝，从而k2＝2，k＝±. 又k>0，故k＝. 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为F1，F2，且|PF1|＝，|PF2|＝. 由椭圆定义知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝. 由|PF1|>|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴， 所以在RtPF2F1中，sinPF1F2＝＝. 可求出PF1F2＝，2c＝|PF1|·cos＝， 从而b2＝a2－c2＝. 所以所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 11．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)． (1)求椭圆G的方程； (2)求PAB的面积． 解：(1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2， 又b2＝a2－c2＝4. 所以椭圆G的方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m. 由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0. 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b>0)，右焦点为F2(c,0)． 因AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|， 故B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝. 结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2， c2＝4b2，所以离心率e＝＝. 在Rt△AB1B2中，OAB1B2，故 SAB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2. 由题设条件SAB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根， 因此y1＋y2＝，y1·y2＝－， 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以 ·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16 ＝－－＋16 ＝－， 由PB2⊥QB2，得·＝0，即16m2－64＝0， 解得m＝±2. 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0. 1．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足1·2＝0，则的值为________． 解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，|F1F2|＝2c，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2，|PF1|2＋|PF2|2＝2a＋2a. 又1·2＝0，PF1⊥PF2. ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即2a＋2a＝4c2. 2＋2＝2，即＋＝2，即＝2. 答案：2 2．已知F1，F2为椭圆＋＝1(0<b<10)的左、右焦点，P是椭圆上一点． (1)求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若F1PF2＝60°且F1PF2的面积为，求b的值． 解析：(1)由题意得|PF1|＋|PF2|＝20，则|PF1|·|PF2|≤2＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，故(|PF1|·|PF2|)max＝100. (2)因为SF1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝， 所以|PF1|·|PF2|＝. 又 所以3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. 由得c＝6，则b＝＝8. 3．已知平面内曲线C上的动点到定点(，0)和定直线x＝2的比等于. (1)求该曲线C的方程； (2)设动点P满足＝＋2，其中M，N是曲线C上的点．直线OM与ON斜率之积为－.问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)设曲线C上动点的坐标为(x，y)，根据已知得＝，化简整理得＋＝1，即为曲线C的方程． (2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)， 即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2， 因为点M，N在椭圆＋＝1上， 所以x＋2y＝4，x＋2y＝4， 故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2) ＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2) ＝20＋4(x1x2＋2y1y2)． 设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知， kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0， 所以x2＋2y2＝20， 所以P点是椭圆＋＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，则由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|为定值，又因为c＝ ＝，因此两焦点的坐标分别为F1(－，0)、F2(，0)．。
山东2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.5.1椭圆及其几何性质学案含解析.doc
第五节椭圆课标要求考情分析1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识综合应用是近几年高考命题方向方向的热点．2．常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生分析问题、解决问题的能力．3．三种题型都有可能出现，选择、填空题一般为中低档题，解答题为高档题.知识点一椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；(3)当2a<|F1F2|时，M点不存在．知识点二椭圆的标准方程和几何性质离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝a2－c2越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 2．小题热身(1)已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( B ) A.13 B.33C.22D.12(2)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( D )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 (3)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( C )A.13B.12C.22D.223(4)若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是(3,4)∪(4,5)．(5)已知点M (－2,0)，N (2,0)，点P 是曲线C ：x 24＋y 2＝1(y ≠0)上的动点，直线PM 与PN的斜率之积为－14.解析：(1)由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 6，e 2＝c 2a 2＝13，e ＝33. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(3)∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.(4)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.解得3<k <5且k ≠4.(5)设P (x 0，y 0)，因为点P 在曲线C 上， 所以x 204＋y 20＝1(y 0≠0)，y 20＝1－x 204，直线PM 与PN 的斜率之积为 y 0－0x 0＋2×y 0－0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14.第1课时 椭圆及其几何性质考点一 椭圆的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3(2)椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C ．16 3D ．32 3【解析】 (1)如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a2..所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.(2)由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin60°＝1633.故选A.【答案】 (1)A (2)A 方法技巧(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长和面积、弦长、最值、离心率等.通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.(2)椭圆的定义式|PF 1|＋|PF 2|＝2a 中必须强调2a >|F 1F 2|.1．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝3.解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.解析：椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)，∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋2.考点二 椭圆的标准方程命题方向1 定义法【例2】 (2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【解析】 方法1：由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2(1a )2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.方法2：设|F 2B |＝x (x >0)，则|AF 2|＝2x ，|AB |＝3x ，|BF 1|＝3x ，|AF 1|＝4a －(|AB |＋|BF 1|)＝4a －6x ，由椭圆的定义知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4x ， 所以|AF 1|＝2x .在△BF 1F 2中，由余弦定理得|BF 1|2 ＝|BF 2|2＋|F 1F 2|2－2|F 2B |·|F 1F 2|cos ∠BF 2F 1， 即9x 2＝x 2＋22－4x ·cos ∠BF 2F 1①，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－2|AF 2|·|F 1F 2|cos ∠AF 2F 1， 即4x 2＝4x 2＋22＋8x ·cos ∠BF 2F 1②， 由①②得x ＝32，所以2a ＝4x ＝23，a ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.【答案】 B命题方向2 待定系数法【例3】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为_______．(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为________．【解析】 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.【答案】 (1)y 210＋x 26＝1 (2)x 28＋y 26＝1方法技巧(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．1．(方向1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由已知及椭圆的定义知4a ＝43，即a ＝3，又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，b 2＝2， 所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(方向2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.考点三 椭圆的几何性质命题方向1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例4】 已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】 因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.【答案】 A命题方向2 椭圆的离心率【例5】 设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22D.2＋1【解析】 不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝ca＝2－1.故选A.【答案】 A命题方向3 最值或范围问题【例6】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程．(2)若△OAB 的顶点A ，B 在椭圆上，OA 所在的直线斜率为k 1，OB 所在的直线斜率为k 2，若k 1·k 2＝－b 2a2，求OA →·OB →的最大值．【解】 (1)由已知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝22b ，4a 2＋2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1>0，x 2>0. 由k 1k 2＝－b 2a 2＝－12得k 2＝－12k 1(k 1≠0)，直线OA ，OB 的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 28＋y 24＝1，解得x 1＝221＋2k 21，同理，x 2＝221＋2k 22， 所以x 2＝221＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12＝4|k 1|1＋2k 21. 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝12x 1x 2＝42|k 1|1＋2k 21＝421|k 1|＋2|k 1|≤4222＝2，当且仅当|k 1|＝22时，等号成立． 所以OA →·OB →的最大值为2. 方法技巧1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围、离心率的范围等不等关系.1．(方向1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( D )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)， 即长轴长2a 的最小值为2 2.2．(方向2)已知椭圆O ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过左焦点F 1的直线l 与椭圆的一个交点为M ，右焦点F 2关于直线l 的对称点为P ，若△F 1MP 为正三角形，且其面积为3，则该椭圆的离心率为( C )A.32B.22C.12D.33解析：设正△F 1MP 的边长为m ，则34m 2＝3，∴m ＝2. 又由椭圆的定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2， 又由题可知b ＝3，∴c ＝1，e ＝c a ＝12.故选C. 3．(方向2)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A ) A.55 B.105C.255D.2105 解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55. 4．(方向3)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1→＋MF 2→|的最小值是( C )A ．4B ．6C ．8D ．10 解析：设M (x 0，y 0)，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→＋MF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，|MF 1→＋MF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝4×25⎝⎛⎭⎫1－y 2016＋4y 20＝100－94y 20， 因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16，所以当y 20＝16时，|MF 1→＋MF 2→|取最小值为8.。
2024届新高考一轮复习人教A版 第8章 第5讲 椭圆 课件(98张)
考点突破 · 互动探究
考点一
椭圆的定义及应用——自主练透
例1 (1)过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨
迹方程为____x9_2＋__y_52_＝__1____.
(2)已知F1、F2分别是椭圆5x2＋9y2＝45的左、右焦点，P是椭圆上的 动点，则|PF1|·|PF2|的最大值为___9___，若A(1,1)，则|PA|＋|PF1|的取值范 围为__[_6_－___2_，__6_＋___2_]____.
6．AB 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则
(1)弦长 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|； (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－ba22xy00. 7．若 M、N 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)长轴端点，P 是椭圆上不与 M、 N 重合的点，则 kPM·kPN＝－b y21＝b2aa2－2 x21，
b2a2－x21
所以
a2 －x21＋a2
＝14，即ba22＝14，
所以椭圆 C 的离心率 e＝ac＝ 1－ba22＝ 23.故选 A.
5．(2021·全国高考)设 B 是椭圆 C：x52＋y2＝1 的上顶点，点 P 在 C
上，则PB的最大值为( A )
注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞ 0，且a、c为常数，则有如下结论：
(1)若a＞c，则集合P为___椭__圆____； (2)若a＝c，则集合P为__线__段__F__1F__2 ____； (3)若a＜c，则集合P为__空__集_____.
近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆课后作业文(2021年整理)
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5 椭圆课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5 椭圆课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5 椭圆课后作业文的全部内容。
8．5 椭圆[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟）已知正数m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2＋错误!＝1的焦点坐标为（）A．(±错误!，0) B．(0，±错误!)C．(±3，0）或(±5，0）D．（0，±错误!)或（±错误!,0）答案B解析因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，所以圆锥曲线x2＋y2m＝1即为椭圆x2＋错误!＝1，易知其焦点坐标为（0，±错误!)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝错误!，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示( ）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆答案D解析因为(sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝错误!，所以sinθcosθ＝－错误!＜0，结合θ∈(0,π)，知sinθ〉0,cosθ<0，又sinθ＋cosθ＝错误!＞0，所以sinθ＞－cosθ＞0，故错误!＞错误!＞0，因为x2sinθ－y2cosθ＝1可化为错误!＋错误!＝1,所以方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选D。
2025年高考数学一轮复习-8.5-椭圆【课件】
焦点在 轴上
焦点在 轴上
图形
_
_
标准方程
范围
且
且
顶点
, , ,
, , ,
焦点的位置
焦点在 轴上
焦点在 轴上
轴长
短轴长为____，长பைடு நூலகம்长为____
焦点
__________________
__________________
焦距
____
第5讲 椭圆
课标要求
考情分析
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
考点考法：高考对椭圆考查形式有两种：一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质，常以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在解答题第一问中，难度中等.核心素养：数学运算、逻辑推理
必备知识 自主排查
必备知识 自主排查
01
1.椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点
点的轨迹为椭圆
_________为椭圆的焦点；_______为椭圆的焦距
[提醒] 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则动点的轨迹不存在.
，
2.椭圆的标准方程及几何性质
解析：因为 是等边三角形，所以 ，故A， 关于 轴对称，所以 轴，故 ，又因为 ，所以 ，又 ，故 ，所以 , .
2.已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，点 是椭圆 上异于 ， 的点，直线 和 的斜率分别为 ， ，则满足 的一个椭圆 的方程是_ _________________________.
2025年高考数学一轮复习-8.5椭 圆【课件】
D，由结论2知，D正确.故选A、C、D.
高中总复习·数学（提升版）
3.
2
已知 P 是椭圆 ＋ y 2＝1上的一点， F 1， F 2是椭圆的两个焦点，当
4
π
∠ F 1 PF 2＝ 时，△ PF 1 F 2的面积为
3
3
3
.
π
3
2
解析：由结论2可得， S ＝ b tan ，即 S ＝1·tan ＝ .
高中总复习·数学（提升版）
1. 若点 P 在椭圆上， F 为椭圆的一个焦点，则
（1） b ≤｜ OP ｜≤ a ；
（2） a － c ≤｜ PF ｜≤ a ＋ c .
高中总复习·数学（提升版）
2. 焦点三角形：椭圆上的点 P （ x 0， y 0）与两焦点 F 1， F 2构成的△
PF 1 F 2叫做焦点三角形，如图所示，设∠ F 1 PF 2＝θ.
2｜＝7.
高中总复习·数学（提升版）
2. 已知椭圆 C ：16 x 2＋4 y 2＝1，则下列结论正确的是（
A.
1
长轴长为
2
C.
1
短轴长为
4
B. 焦距为
）
3
4
D. 离心率为
3
2
解析： 把椭圆方程16 x 2＋4 y 2＝1化为标准方程可得
2
1
16
＋
2
1
4
＝
1
1
3
3
1，所以 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则长轴长2 a ＝1，焦距2 c ＝ ，短
｜1 ｜＋｜2 ｜
2
）2＝ a 2；
（4）焦点三角形的周长为2（ a ＋ c ）.
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第8章 §8.5 椭 圆
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第八章 直线和圆、圆锥曲线§8.5 椭 圆考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于______(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的______.常数焦点焦距焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形 标准方程 ＝1(a >b >0) ＝1(a >b >0)范围__________________________________________2.椭圆的简单几何性质－a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a顶点_____________________________________________________________________________轴长短轴长为____，长轴长为____焦点______________________________________焦距|F 1F 2|＝____对称性对称轴：_________，对称中心：______离心率______________a ，b ，c 的关系___________A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ,0)，B 2(b ,0)2b 2a F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )2c x 轴和y 轴原点a 2＝b 2＋c 2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大， 最大.12F PF S △12F PF S △常用结论(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.(6)焦点三角形的周长为2(a＋c).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( )(3) ＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆.( )(4)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( )√×××√A.6B.3C.4D.2√√第二部分例1 (1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是√A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.双曲线的一支设动圆P的半径为r，又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，则|P A|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|P A|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，12PF F S △12PF F S △延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4)＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，12PF F S △思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.跟踪训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为√∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C： ＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为A.4B.8√C.10D.20如图，设F1为椭圆C的左焦点，则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，所以△ABF周长的最大值为20.命题点1 定义法例2 (2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2), F2(0，－2)，P 为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为√命题点2 待定系数法设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n).将P1，P2代入方程，思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.√A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当1<k<5时，该方程不一定表示椭圆，例如当k＝3时，方程变为x2＋y2＝2，它表示一个圆，√如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点，得C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以x0＝1，结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4，命题点1 离心率√√设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，因为点P在椭圆C上，思维升华求椭圆离心率或其范围的方法命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题√如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，∠F1MF2最大，∴|MO|＝b，|MF2|＝a，|OF2|＝c，4所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，因为F(－1,0)，A(2,0)，思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.(2)利用函数，尤其是二次函数.(3)利用不等式，尤其是基本不等式.√由题意|AF1|＝|AF2|＝a，设|BF1|＝t，则|BF2|＝2a－t，又以AB为直径的圆过F2，所以AF2⊥BF2，所以a2＋(2a－t)2＝(a＋t)2，因为∠AF1F2＋∠BF1F2＝180°，所以cos∠AF1F2＋cos∠BF1F2＝0，√。
最新高考一轮总复习《8.5 椭圆》
∵|AB|=|AF1|+|BF1|,
∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8,
解得a=2.故选B.
4.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭
圆盘如图②所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示,这三个椭圆盘的外轮
=
2 -2
2
=1-2 ,
2
联立①②,解得 a2=9,b2=8.故选 B.
2 2
(2)过点(√3,-√5),且与椭圆25 + 9 =1 有相同焦点的椭圆的标准方程
2
2
为
+ =1
20
4
.
(方法一)由题意可知所求椭圆的两个焦点分别为(0,-4),(0,4),即 c=4.
由椭圆的定义,
可知 2a= (√3-0)2 + (-√5 + 4)2 + (√3-0)2 + (-√5-4)2 =4√5,
则三角形 F1PF2 的面积为( C )
3
A.
2
B.√3
C.2√3
D.4√3
由题意知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2√7,
因为|PF1|=4,所以|PF2|=2.
22 +42 -(2√7)2 1
由余弦定理得 cos∠F1PF2=
=- ,
2×2×4
2
1
√3
√3
所以 sin∠F1PF2= ,所以△1 2 = ×2×4× =2√3.
2024
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
高考数学一轮复习 85 椭 圆课时作业 文
【优化探究】2016高考数学一轮复习 8-5 椭 圆课时作业 文一、选择题1．“－3<m<5”是“方程x25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：要使方程x25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，应满足5－m>0，m ＋3>0且5－m≠m ＋3，解之得－3<m<5且m≠1，∴“－3<m<5”是“方程x25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案：B2．(2015年烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( ) A.x28＋y26＝1 B.x216＋y26＝1 C.x28＋y24＝1 D.x216＋y24＝1 解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6. 答案：A3．已知F1，F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P 为( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)解析：由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a ＝4，∴|PF1|·|PF2|≤⎝⎛⎭⎫|PF1|＋|PF2|22＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”． 答案：D4．(2015年长春模拟)在以O 为中心，F1，F2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF1→|＝2|MO →|＝2|MF2→|，则该椭圆的离心率为( ) A.22 B.33 C.63 D.24解析：不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点，过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝⎛⎭⎫c 2，0.设|MF1→|＝2|MO →|＝2|MF2→|＝2t(t>0)，根据勾股定理可知，|MF1→|2－|NF1→|2＝|MF2→|2－|NF2→|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63，故选C.答案：C5．(2014年高考全国大纲卷)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1 C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1 解析：由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a ，|BF1|＋|BF2|＝2a ，∴△AF1B 的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为x23＋y22＝1，故选A. 答案：A 二、填空题6．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．解析：据题意可知椭圆方程是标准方程，故b ＝1.设右焦点为(c,0)(c>0)，它到已知直线的距离为|c ＋22|2＝3，解得c ＝2，所以a2＝b2＋c2＝3，故椭圆的方程为x23＋y2＝1.答案：x23＋y2＝17．椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 解析：依题意得∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，设|MF1|＝m ，则有|MF2|＝3m ，|F1F2|＝2m ，该椭圆的离心率是e ＝|F1F2||MF1|＋|MF2|＝3－1.答案：3－18．(2014年高考江西卷)过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1， ①x22a2＋y22b2＝1. ② ①、②两式相减并整理得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.把已知条件代入上式得，－12＝－b2a2×22，∴b2a2＝12，故椭圆的离心率e ＝ 1－b2a2＝22.答案：22三、解答题9．(2014年高考新课标全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直．直线MF1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a ，b. 解析：(1)根据c ＝a2－b2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b2＝3ac. 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac ，解得c a ＝12或ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F1F2的中点，MF2∥y 轴，所以直线MF1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故b2a ＝4，即b2＝4a. ①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x1＝c ，－2y1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－32c ，y1＝－1.代入C 的方程，得9c24a2＋1b2＝1. ②将①及c ＝a2－b2代入②得9a2－4a 4a2＋14a＝1.解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.10．(2014年高考安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cos ∠AF2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解析：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF1|＋|AF2|＝2a ＝8.故|AF2|＝2a －|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k ，则k>0且|AF1|＝3k ，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a －3k ，|BF2|＝2a －k.在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos ∠AF2B ， 即(4k)2＝(2a －3k)2＋(2a －k)2－65(2a －3k)·(2a －k)，化简可得(a ＋k)(a －3k)＝0. 而a ＋k>0，故a ＝3k.于是有|AF2|＝3k ＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A ⊥F2A ， △AF1F2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. B 组 高考题型专练1．设F1，F2是椭圆x249＋y224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为( ) A ．30 B ．25 C ．24 D ．40解析：∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3， ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2. ∴＝12|PF1|·|PF2|＝12×8×6＝24. 答案：C2．已知椭圆x236＋y29＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P 为中点的弦所在的直线斜率为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，⎩⎨⎧x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减，得x1＋x2x1－x236＋y1＋y2y1－y29＝0，∴2x1－x29＝－4y1－y29，∴k ＝y1－y2x1－x2＝－12.答案：B3．(2015年海淀模拟)已知椭圆C ：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C 上点A满足AF2⊥F1F2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F1P →·F2A →的最大值为( )A.32 B.332C.94D.154解析：设向量F1P →，F2A →的夹角为θ.由条件知|AF2|为椭圆通径的一半，即为|AF2|＝b2a ＝32，则F1P →·F2A →＝32|F1P →|cos θ，于是F1P →·F2A →要取得最大值，只需F1P →在向量F2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F1P →·F2A →＝32|F1P →|cos θ≤332，故选B.答案：B4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使a sin ∠PF1F2＝csin ∠PF2F1，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1) B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫0，22 D ．(2－1,1) 解析：根据正弦定理得|PF2|sin ∠PF1F2＝|PF1|sin ∠PF2F1，所以由a sin ∠PF1F2＝c sin ∠PF2F1可得a|PF2|＝c |PF1|，即|PF1||PF2|＝ca ＝e ，所以|PF1|＝e|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e ＋1)＝2a ，则|PF2|＝2ae ＋1，因为a －c<|PF2|<a ＋c(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a －c<2a e ＋1<a ＋c ，即1－c a <2e ＋1<1＋c a ，所以1－e<2e ＋1<1＋e ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－e1＋e <2，2<1＋e 2，解得2－1<e<1，选D.答案：D5．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________． 解析：如图，设切点为M ，由条件知，OM ⊥PF1且OM ＝b.∵M 为PF1的中点，∴PF2＝2b ，且PF1⊥PF2，从而PF1＝2a －2b. ∴PF21＋PF22＝F1F22，即(2a －2b)2＋(2b)2＝(2c)2， 整理得3b ＝2a ，∴5a2＝9c2， 解得e ＝c a ＝53.答案：536．已知点A(0,2)及椭圆x24＋y2＝1上任意一点P ，则|PA|的最大值为________．解析：设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1， ∴|PA|2＝x20＋(y0－2)2. ∵x204＋y20＝1， ∴|PA|2＝4(1－y20)＋(y0－2)2 ＝－3y20－4y0＋8＝－3⎝⎛⎭⎫y0＋232＋283. ∵－1≤y0≤1，而－1<－23<1，∴当y0＝－23时，|PA|2m ax ＝283，即|PA|max ＝2213. 答案：22137．(2014年高考辽宁卷)已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝________.解析：解法一 由椭圆方程知椭圆C 的左焦点为F1(－5，0)，右焦点为F2(5，0)．则M(m ，n)关于F1的对称点为A(－25－m ，－n)，关于F2的对称点为B(25－m ，－n)，设MN中点为(x，y)，所以N(2x－m,2y－n)．所以|AN|＋|BN|＝2x＋252＋2y2＋2x－252＋2y 2＝2[x＋52＋y2＋x－52＋y2]，故由椭圆定义可知|AN|＋|BN|＝2×6＝12.解法二根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为P，F1、F2为椭圆C的焦点，连接PF1、PF2.显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×6＝12.答案：12。
[精品]新人教版A版高考数学理科一轮复习8.5 椭圆优质课教案
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第五节椭圆1．椭圆的标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．2．椭圆的几何性质掌握椭圆的简单性质．知识点一椭圆的定义易误提醒当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．[自测练习]1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( )A．2 B．3 C．5 D．7解析：∵a2＝25，∴2a＝10，∴由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝7.答案：D知识点二椭圆的标准方程和几何性质易误提醒 注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．必记结论 (1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y2n2＝1(m 2≠n 2)的形式．(2)以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，注意以下公式的灵活运用：①|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ； ③S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ.[自测练习]2．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：因为焦点在x 轴上，所以0<m <2，所以a 2＝2，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝2－m .椭圆的离心率为e ＝12，所以e 2＝14＝c 2a 2＝2－m 2，解得m ＝32. 答案：323．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P 到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为13，则椭圆方程为________．解析：由题意得2a ＝6，故a ＝3.又离心率e ＝c a ＝13.所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝8，故椭圆方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝14．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：依题意得∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，设|MF 1|＝m ，则有|MF 2|＝3m ，|F 1F 2|＝2m ，该椭圆的离心率是e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝3－1.答案：3－1考点一 椭圆的定义及方程|1．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D2.(2016·大庆模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 236＋y 216＝1C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 解析：设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F (－25，0)，得c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF 1|，知PF 1⊥PF . 在Rt △PF 1F 中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝52－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：B3．若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得 cos ∠F2PF 1＝42＋22－722×4×2＝－12.又∵∠F 2PF 1∈(0，π)，∴∠F 2PF 1＝2π3.答案：C椭圆定义应用的两个方面一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．考点二 椭圆的几何性质|(1)(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9(2)如图，已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23D.13[解析] (1)由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. (2)由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2， ∴|PF 2||PF 1|＝2.又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.[答案] (1)B (2)A求解直线与椭圆位置关系问题的常规思路(1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．(2)求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围．离心率e 与a ，b 的关系．e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2⇒ba＝ 1－e 2.1．如图，已知F1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32解析：因为过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，所以可得∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c .因为|F 1F 2|＝2c ，所以可得|MF 1|＝3c .由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，可得离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：A考点三 直线与椭圆的位置关系|已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的一个焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．[解] (1)设F (c,0)，由题意k AF ＝2c ＝233，∴c ＝3，又∵离心率e ＝c a ＝32，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1， 故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx －2，联立直线与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx －2，化简，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. ∵Δ＝16(4k 2－3)>0，∴k 2>34.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1·x 2＝121＋4k 2，∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·44k 2－31＋4k 2.坐标原点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1.S △OPQ ＝121＋k 2·44k 2－31＋4k 2·2k 2＋1＝44k 2－31＋4k 2.令t ＝4k 2－3(t >0)，则S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.∵t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t，t ＝2时，等号成立，∴S △OPQ ≤1，故当t ＝2，即4k 2－3＝2，k ＝±72时，△OPQ 的面积最大，从而直线l 的方程为y ＝±72x －2.2．(2016·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，32，离心率为22，点F 1，F 2分别为其左、右焦点． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP →⊥OQ →？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，得c a ＝22，得b ＝c .因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322b 2＝1(a >b >0)，得c ＝1，所以a 2＝2，所以椭圆C 方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝r 2(0<r <1)． 当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0.令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4bk 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k2.∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴＋k 2b 2－1＋2k 2－4k 2b 21＋2k2＋b 2＝0，∴3b 2＝2k 2＋2. 此时Δ＝323k 2＋83>0恒成立．∵直线PQ 与圆相切，∴r 2＝b 21＋k 2＝23，∴存在圆x 2＋y 2＝23.当直线PQ 的斜率不存在时，也存在圆x 2＋y 2＝23满足题意．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝23满足题意．26.几何法求解椭圆离心率范围问题【典例】 (2015·山西大学附中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [思维点拨] 利用对称性分|PF 1|＝|F 1F 2|，|PF 2|＝|F 1F 2|两种性质讨论，结合几何特征建立相关不等式求解．[解析] 6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称．不妨设P 在第一象限，|PF 1|>|PF 2|，当|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，即2c >2a －2c ，解得e ＝c a >12.因为e <1，所以12<e <1.当|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ，即2a －2c >2c ，且2c ＋2c >2a －2c ，解得13<e <12.综上可得13<e <12或12<e <1，故选D.[答案] D[方法点评] 椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．[跟踪练习] 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝c a ，即|PF 1|＝ca |PF 2|.又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2ac a ＋c .因为|PF 2|是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．答案：(2－1,1)A 组 考点能力演练1．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使得△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( )A.22 B.32C.3－12D.3－1解析：由题意，可设椭圆的焦点F 的坐标为(c,0)，因为△AOF为正三角形，则点⎝⎛⎭⎪⎪⎫c 2，32c 在椭圆上，代入得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，即e 2＋3e 21－e 2＝4，得e 2＝4－23，解得e ＝3－1，故选D.答案：D2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点为M (1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：D3．(2016·厦门模拟)椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的右焦点为F ，直线y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，若△FAB 周长的最大值是8，则m 的值等于( )A ．0B ．1 C. 3D ．2解析：设椭圆的左焦点为F ′，则△FAB 的周长为AF ＋BF ＋AB ≤AF ＋BF ＋AF ′＋BF ′＝4a ＝8，所以a ＝2，当直线AB 过焦点F ′(－1,0)时，△FAB 的周长取得最大值，所以0＝－1＋m ，所以m ＝1.故选B.答案：B4．已知F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，P 是该椭圆上的任意一点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．9B ．16C ．25D.252解析：设P (x ，y )，则|PF1→|＝a －ex ，|PF 2→|＝a ＋ex ， ∴|PF1→|·|PF 2→|＝(a －ex )(a ＋ex )＝a 2－e 2x 2. 当x ＝0时，|PF 1→|·|PF 2→|取最大值a 2＝25. 答案：C5．已知F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，22 解析：设P (x ，y )，PF1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，由PF 1⊥PF 2，得PF1→·PF 2→＝0，即(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2－c 2＝c 2x 2a 2＋b 2－c 2＝0，∴x 2＝a2c 2－b 2c 2≥0，∴c 2－b 2≥0，∴2c 2≥a 2，∴e ≥22.又∵e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1. 答案：B6．(2016·黄山质检)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________.解析：因为圆(x －2)2＋y 2＝1与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以c ＝1，a ＝3，e ＝c a ＝13.答案：137．(2015·泰安模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________．解析：设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 216＝1.答案：x 220＋y 216＝18．(2016·保定模拟)直线l 过椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，M 为弦PQ 的中点，O 为原点，若△FMO是以线段OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为________．解析：因为△FMO 是以线段OF 为底边的等腰三角形，所以直线OM 与直线l 的斜率互为相反数．设直线l 的斜率为k ，则有k ·(－k )＝－12，解得k ＝±22. 答案：±229.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a,4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y2b2＝1，消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动点P 在直线x ＝－1上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l ⊥MN .证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1.又椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，所以a 2＝4，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (－1，y 0)，y 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y －y 0＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y －y 0＝k x ＋，得(3＋4k 2)x 2＋(8ky 0＋8k 2)x ＋(4y 20＋8ky 0＋4k 2－12)＝0，所以x 1＋x 2＝－8ky 0＋8k 23＋4k 2.因为P 为MN 中点，所以x 1＋x 22＝－1，即－8ky 0＋8k 23＋4k 2＝－2，所以k ＝34y 0(y 0≠0)．因为直线l ⊥MN ，所以k l ＝－4y 03，所以直线l 的方程为y －y 0＝－4y 03·(x ＋1)，即y ＝－4y 03⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，显然直线l 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝－1，此时直线l 为x 轴，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.综上所述，直线l 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析：设椭圆的左焦点为F 1，半焦距为c ，连接AF 1，BF 1，则四边形AF 1BF 为平行四边形，所以|AF 1|＋|BF 1|＝|AF |＋|BF |＝4.根据椭圆定义，有|AF 1|＋|AF |＋|BF 1|＋|BF |＝4a .所以8＝4a ，解得a ＝2.因为点M 到直线l ：3x －4y ＝0的距离不小于45，即4b 5≥45，b ≥1，所以b 2≥1，所以a 2－c 2≥1,4－c 2≥1，解得0<c ≤3，所以0<c a ≤32，所以椭圆的离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，32.故选A. 答案：A2．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设左焦点为F 1，由F 关于直线y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF ，不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c ，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22. 答案：223．(2015·高考陕西卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k k －1＋2k 2，x 1x 2＝2k k －1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.4．(2015·高考天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝⎛⎭⎪⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫c ，233c . 由|FM |＝c ＋c2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 2x ＋2>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0) 时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，233.。
高三数学一轮复习课时提能演练 8.5 椭圆 理 新课标
(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.椭圆x 24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )(A)12 (B)32(C)1 (D) 3 2.设直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B(如图)，则这个椭圆的离心率e ＝( )(A)255 (B)55 (C)32 (D)123.(2012·哈尔滨模拟)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) (A)3－12 (B)5－12 (C)1＋54 (D)3＋144.已知椭圆x 24＋y23＝1，若此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，则实数m的取值范围是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，2213 (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313(C)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213，21313 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2313，23135.(2012·东莞模拟)椭圆x 2m ＋y24＝1的焦距是2，则m 的值是( )(A)5 (B)8 (C)5或3 (D)206.(易错题)已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足OA ＋OB ＝0(O 为坐标原点)，2AF ·12FF ＝0，若椭圆的离心率等于22，则直线AB 的方程是( ) (A)y ＝22x (B)y ＝－22x(C)y ＝－32x (D)y ＝32x 二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·中山模拟)如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆方程是 .8.已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于 . 9.椭圆M ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·武汉模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M(4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围.11.(预测题)已知圆C 的圆心为C(m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b＞0)有一个公共点A(3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点. (1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线PF 1的方程；若不能，请说明理由. 【探究创新】(16分)已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点. (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值；(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为15？若存在，确定点T 的个数，若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选B.椭圆x 24＋y23＝1的右焦点为F(1,0)，∴它到直线y ＝3x(即3x －y ＝0)的距离为|3－0|(3)2＋1＝32. 2.【解析】选A.B(0,1)，F(－2,0)， 故c ＝2，b ＝1，a ＝b 2＋c 2＝5， e ＝c a ＝255. 3.【解析】选B.由题意知，|BF|2＋|BA|2＝|FA|2， 即(b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＝(a ＋c)2， ∴b 2＝ac ， 即a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，又e ＞0，∴e ＝5－12. 4.【解析】选B.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， AB 的中点M(x ，y)，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－14，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y,3x 21＋4y 21＝12 ①， 3x 22＋4y 22＝12 ②，①②两式相减得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，即y 1＋y 2＝3(x 1＋x 2)，即y ＝3x ，与y ＝4x ＋m 联立得x ＝－m ，y ＝－3m ，而M(x ，y)在椭圆的内部，则m 24＋9m 23＜1，即－21313＜m ＜21313. 【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧：对于直线与椭圆相交问题，若题设和待求涉及到弦的中点和所在直线的斜率，求解时一般先设交点坐标，代入曲线方程，再用平方差公式求解，这种解法，大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算. 5.【解析】选C.∵2c ＝2，∴c ＝1. 若焦点在x 轴上，m －4＝1，m ＝5；若焦点在y 轴上，4－m ＝1，m ＝3.∴m ＝5或m ＝3.6.【解题指南】由OA ＋OB ＝0知，A 、B 两点关于原点对称，设出A 点坐标，利用向量列方程求解.【解析】选A.设A(x 1，y 1)，因为OA ＋OB ＝0，所以 B(－x 1，－y 1)，2AF ＝(c －x 1，－y 1)，12FF ＝(2c,0)，又因为2AF ·12FF ＝0，所以(c －x 1，－y 1)·(2c,0)＝0，即x 1＝c ，代入椭圆方程得y 1＝b 2a ，因为离心率e ＝22，所以，a ＝2c ，b ＝c ，A(c ，2c 2)，所以直线AB 的方程是y ＝22x. 7.【解析】∵⎩⎨⎧a ＝2ca －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23c ＝3，b 2＝9.∴椭圆方程为x 212＋y29＝1.答案：x 212＋y29＝18.【解析】因为△F 2AB 是等边三角形，所以A(－c 2，32c)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以c 24a 2＋3c24b 2＝1，因为c 2＝a 2－b 2，所以，4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，即e 4－8e 2＋4＝0， 所以，e 2＝4±23，e ＝3－1或e ＝3＋1(舍). 答案：3－1【误区警示】本题易出现答案为3－1或3＋1的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的范围.9.【解析】∵|PF 1|·|PF 2|的最大值为a 2， ∴由题意知2c 2≤a 2≤3c 2，∴2c ≤a ≤3c ，∴33≤e ≤22， ∴椭圆离心率e 的取值范围是[33，22]. 答案：[33，22] 10.【解析】(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝32，所以a 2＝4b 2，又因为椭圆过点M(4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，解得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m)2－20(4m 2－20)>0，解得－5<m<5.11.【解析】(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m)2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程，得(3－m)2＋1＝5， 即(3－m)2＝4，解得m ＝1或m ＝5， ∵m ＜3，∴m ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切.依题意，设直线PF 1的方程为y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0， 若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝5， ∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12，当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去；当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)， ∴由椭圆的定义得：2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12＝52＋2＝62，∴a ＝32，即a 2＝18，∴b 2＝a 2－c 2＝2，直线PF 1能与圆C 相切，直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y22＝1.【变式备选】在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y2＝1有两个不同的交点P 和Q. (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP ＋OQ 与AB 共线？如果存在，求出k 值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得(12＋k 2)x 2＋22kx ＋1＝0①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4(12＋k 2)＝4k 2－2>0，解得k<－22或k>22，即k 的取值范围为 (－∞，－22)∪(22，＋∞)， (2)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则OP ＋OQ ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2 2.③而A(2，0)，B(0,1)，AB ＝(－2，1).所以OP ＋OQ 与AB 共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入上式，解得k ＝22. 由(1)知k<－22或k>22，故没有符合题意的常数k.【探究创新】【解析】(1)由题知A(－2,0)，D(0,1)，故a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为：x 24＋y 2＝1.(2)设直线AS 的方程为y ＝k(x ＋2)(k>0)，从而可知M 点的坐标为(103，16k3).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k(x ＋2)x 24＋y 2＝1得S(2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k2)，所以可得BS 的方程为y ＝－14k (x －2)，从而可知N 点的坐标(103，－13k)， ∴|MN|＝16k 3＋13k ≥83当且仅当k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度取最小值83.(3)由(2)知，当|MN|取最小值时，k ＝14，此时直线BS 的方程为x ＋y －2＝0，S(65，45)，∴|BS|＝425.要使椭圆C 上存在点T ，使得△TSB 的面积等于15，只需T 到直线BS 的距离等于24，所以点T 在平行于直线BS 且与直线BS 的距离等于24的直线l ′上.直线BS ：x ＋y －2＝0；直线l ′：x ＋y ＋m ＝0，得m ＝－52或m ＝－32，则直线l ′：x ＋y －52＝0或x ＋y －32＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －52＝0x 2＋4y 2－4＝0，消去y 得5x 2－20x ＋21＝0，Δ<0无解；⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －32＝0x 2＋4y 2－4＝0，消去y 得5x 2－12x ＋5＝0，Δ＝44>0，有两个解，所以点T 有两个.。
高考数学一轮复习精品教学案8.5 椭圆(教师版) 新人教版
【考纲解读】1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质． 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a+=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
2．椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
2021版高考数学苏教版一轮教师用书：8.5 第1课时 椭圆及其性质
第五节椭圆[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论]1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b＞1.2．焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.5．椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有k AB·k OM＝－b2a2，即k AB＝－b2x0 a y0.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋1k2|y1－y2|＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k2[(y1＋y2)2－4y1y2](k为直线的斜率)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ()(4)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材改编1．若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1C.y 225＋x 216＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1A [设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.故选A.]2．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22B.2－12C ．2－ 2 D.2－1D [法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，显然有|PF 2|＝|F 1F 2|，则b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a ＝2c ，即e 2＋2e －1＝0，又0<e <1，解得e ＝2－1.故选D.法二：因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c .因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝ca ＝12＋1＝2－1.故选D.] 3．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是 ．(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎨⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3.解得3＜k ＜5且k ≠4.]4．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为 ．x2 4＋y23＝1[设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a＝2c＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.]第1课时椭圆及其性质考点1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752(1)A (2)C [(1)由题意可知，CD 是线段MF 的垂直平分线， ∴|MP |＝|PF |， ∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)． 又|MO |＞|FO |，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆，故选A. (2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8. ∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝72.]本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF |＋|PO |”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF 1|，从而求得△AF 1F 2的面积．[教师备选例题]设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 ．－5 [由椭圆的方程可知F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|.∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝ .3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]考点2 椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.1.在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.x225＋y29＝1(y≠0) B.y225＋x29＝1(y≠0)C.x216＋y29＝1(y≠0) D.y216＋x29＝1(y≠0)A[由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是x225＋y29＝1(y≠0)．]2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1D[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，则a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.]利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y 进行限制．待定系数法利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式．1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为 ．y 210＋x 26＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )． 由⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.]2．过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为．y2 20＋x24＝1[法一：椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a＝2 5.由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上，∴(－5)2a2＋(3)2b2＝1，则5a2＋3b2＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.]3．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．x2＋32y2＝1[不妨设点A在第一象限，如图所示．∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)． 又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1得25c 29＋b 49b 2＝1. 又c 2＝1－b 2， ∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.](1)已知椭圆上两点，常设方程为mx 2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2 a.考点3椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．(1)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为 ．(1)A (2)x 29＋y 28＝1 [(1)因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎨⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(2)椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13×2a ＝2，得c ＝1，因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8， 所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.]求离心率的值(或范围)求椭圆的离心率，常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13D.14(2)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是 ．(1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 [(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P坐标为(c＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P(2c，3c)．∵点P在过点A，且斜率为36的直线上，∴3c2c＋a＝36，解得ca＝14，∴e＝14，故选D.(2)因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝32|F1F2|，所以|PF1|＝32×2c＝3c.由a－c≤|PF1|≤a＋c，解得14≤ca≤12. 所以椭圆C的离心率e的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.]本例(2)在求解时运用了隐含条件“a－c≤|PF1|≤a＋c”．特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．1.(2019·昌平二模)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )A.125B.340C.18D.35B [如图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3 476＝1 738，依题意，|AF |＝100＋1 738＝1 838，|BF |＝400＋1 738＝2 138.∴2a ＝1 838＋2 138，即 a ＝1 988， ∴a ＋c ＝2 138, c ＝2 138－1 988＝150， 故椭圆的离心率为：e ＝c a ＝1501 988≈340，选B.]2．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B [∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴0<e <1，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22. 又0<e <1，∴22≤e <1.]与椭圆性质有关的最值或范围问题与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(2)(2019·烟台模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8(1)A (2)C [(1)由题意知，当M 在短轴顶点时，∠AMB 最大． ①如图1，当焦点在x 轴，即m ＜3时， a ＝3，b ＝m ，tan α＝3m≥tan 60°＝3，∴0＜m ≤1.图1 图2②如图2，当焦点在y 轴， 即m ＞3时，a ＝m ，b ＝3，tan α＝m3≥tan 60°＝3， ∴m ≥9.综上，m 的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.(2)由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP→＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP→有最大值6.]本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x(y)的有界性解模的思路．[教师备选例题]1．(2019·深圳模拟)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.36 B.13C.12 D.33D[法一：(直接法)如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2ccos 30°＝43c3，|PF2|＝2c·tan 30°＝23c 3.∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即43c3＋23c3＝2a，可得3c＝a.∴e＝ca＝3 3.法二：(特殊值法)在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝ 3.∴e＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝33.故选D.]2.如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF→·P A→的最大值为．4[由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为x24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 则当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22 [因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2. 依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )， 所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )， 所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)， 所以5c 2＋2ac －3a 2≥0， 所以5e 2＋2e －3≥0.①又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2， 所以2e 2<1.②联立①②，得35≤e <22.]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为() A．1 B. 2 C．2D．2 2D[设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以12×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2b2＋c2≥22bc＝22(当且仅当b＝c＝1时取等号)．即长轴长2a的最小值为2 2.]。
2022版新教材高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.5第1课时椭圆及几何性质学案新人教A版2021
8.5椭圆第1课时椭圆与几何性质必备知识预案自诊知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)假如ac,如此点M的轨迹为椭圆;(2)假如ac,如此点M的轨迹为线段;(3)假如ac,如此点M不存在.2.椭圆的标准方程与性质图形焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,如此在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,(1)当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大;(2)S=b2tanθ2=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.考点自诊1.判断如下结论是否正确,正确的画“√〞,错误的画“×〞.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距一样.()(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成的△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()2.椭圆x24+y23=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,如此△MF1F2是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形3.如下列图,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为()A.25B.35C.2√35D.2√554.如图,圆O 的半径是定长r ,A 是圆O 内一个定点(不与圆心O 重合),P 是圆上任意一点,线段AP 的垂直平分线l 与半径OP 相交于点Q ,当点P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆5.“0<m<2〞是“方程x 2m +y 22-m =1表示椭圆〞的条件(填“充分不必要〞“必要不充分〞或“充要〞).关键能力学案突破考点椭圆的定义与应用【例1】(1)F 1,F 2分别是椭圆E :x 225+y 29=1的左、右焦点,P 为椭圆E 上一点,直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线,过点F 2作l 的垂线,交F 1P 的延长线于点M ,如此|F 1M|=()A.10B.8C.6D.4(2)椭圆x 28+y 22=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,如此|AF 2|+|BF 2|的最大值为()A.3√2B.4√2C.6√2D.7√2解题心得常利用椭圆的定义求解的问题(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.对点训练1(1)(2020某某某某调研)设F 1,F 2为椭圆x 29+y 25=1的两个焦点,点P 在椭圆上,假如线段PF 1的中点在y 轴上,如此|PF 2||PF 1|的值为()A.514B.59 C.49D.513(2)F 是椭圆5x 2+9y 2=45的左焦点,P 是此椭圆上的一动点,A (1,1)是一定点,如此|PA|+|PF|的最大值为,最小值为.考点椭圆的标准方程与应用【例2】(1)椭圆的离心率为√22,F为椭圆的一个焦点,假如椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,如此椭圆的方程为.(2)椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(√6,1),P2(√3,√2),如此椭圆的方程为.(3)与椭圆x24+y23=1有一样离心率且经过点P(2,-√3)的椭圆方程为.(4)方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,如此m的取值X围是.解题心得1.求椭圆标准方程的根本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.假如椭圆的焦点位置不确定,如此要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,防止讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)有一样的离心率.(2)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x2a2+y 2b 2=1(a>b>0)或y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0);(3)找关系:根据条件,建立关于a ,b 的方程组;(4)得方程:解方程组求出a ,b ,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)如图,椭圆C 的中心为原点O ,F (-5,0)为椭圆C 的左焦点,P 为椭圆C 上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,如此椭圆C 的方程为()A.x 236+y 216=1B.x 240+y 215=1 C.x 249+y 224=1D.x 245+y 220=1(2)(2020某某某某二模)椭圆E 的中心为原点,焦点在x 轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2√2-2,离心率为√22,如此椭圆E 的方程为.考点椭圆的几何性质与应用(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距【例3】(2020某某某某一模)椭圆x 211-m+y 2m -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,如此m 等于()A.5B.6C.9D.10解题心得利用椭圆几何性质的注意点与技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些X围问题时,经常用到x,y的X围、离心率的X围等不等关系.(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴、短轴、焦距等根本量的内在联系.对点训练3(1)(2020某某某某高三模拟)椭圆x2m +y24=1(m>0)的焦距为2,如此m的值等于()A.5B.5或3C.3D.8(2)椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是34,如此此椭圆的标准方程是()A.x216+y27=1B.x216+y27=1或x27+y216=1C.x216+y225=1D.x216+y225=1或x225+y216=1考向2求椭圆的离心率【例4】(多项选择)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,假如AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈[π6,π4],如此该椭圆的离心率e的值可以是()A.√22B.√33C.√63D.√3-1 解题心得1.求椭圆离心率或其X 围的方法(1)求a ,b ,c 的值,由e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=1-(b a )2直接求.(2)列出含有a ,b ,c 的方程(组)或不等式(组),借助b 2=a 2-c 2消去b ,转化为关于e 的方程(组)或不等式(组)求解.2.当离心率e=ca 越接近1时,椭圆的短半轴长b=√a 2-c 2越小,椭圆就越“扁〞,当e 越接近0时,b=√a 2-c 2越大也越接近a ,椭圆就越“圆〞.对点训练4F 1,F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 为椭圆C 的左顶点,点P在过点A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,如此椭圆C 的离心率为()A.23B.12C.13D.14考向3根据椭圆的性质求参数【例5】(1)(2021年1月8省适应测试)椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m>0)的焦点为F 1,F 2,上顶点为A ,假如∠F 1AF 2=π3,如此m=()A.1B.√2C.√3D.2(2)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=2c ,假如椭圆上存在点M 使得在△MF 1F 2中,sin ∠MF 1F 2a =sin ∠MF 2F 1c,如此该椭圆离心率的取值X 围为()A.(0,√2-1)B.(√22,1)C.(0,√22)D.(√2-1,1)对点训练5椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1,F2,假如以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于√32(a-c),如此椭圆的离心率e的取值X围是.8.5椭圆第1课时椭圆与几何性质必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)> (2)= (3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.B 由题意可知{|MF 1|-|MF 2|=1,|MF 1|+|MF 2|=4,解得{|MF 1|=52,|MF 2|=32.又|F 1F 2|=2,所以|F 1F 2|2+|MF 2|2=|MF 1|2, 所以△MF 1F 2为直角三角形.应当选B .3.B 由题意,得2b=16.4,2a=20.5,如此b a =45,故离心率e=√1-(45)2=35.应当选B.4.A 连接QA.由得|QA|=|QP|.所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又点A 在圆O 内,且不与圆心O 重合,所以0<|OA|<r.根据椭圆的定义,点Q 的轨迹是以O ,A 为焦点,r 为长轴长的椭圆.5.必要不充分方程x 2m +y 22-m =1表示椭圆,即{m >0,2-m >0,m ≠2-m,解得0<m<2,且m ≠1,所以“0<m<2〞是“方程x 2m +y 22-m =1表示椭圆〞的必要不充分条件.关键能力·学案突破例1(1)A(2)D(1)如图,由直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线,l ⊥F 2M ,可得|PM|=|PF 2|.而在椭圆E :x 225+y 29=1中,a=5,2a=|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PM|=|F 1M|=10.应当选A.(2)由得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a=4×2√2=8√2.所以|AF 2|+|BF 2|=8√2-|AB|,当AB ⊥x 轴时,|AB|最小,|AF 2|+|BF 2|最大.|AB|min =2b 2a=2√2=√2,所以|AF 2|+|BF 2|的最大值为8√2−√2=7√2.应当选D .对点训练1(1)D(2)6+√26-√2(1)如图,设线段PF 1的中点为M ,因为O 为F 1F 2的中点,所以OM ∥PF 2,由题意可得PF 2⊥x 轴,易得|PF 2|=53,|PF 1|=2a-|PF 2|=133,|PF 2||PF 1|=513.应当选D .(2)如图,设椭圆右焦点为F 1,如此|PF|+|PF 1|=6,F 1(2,0).所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF 1|+6.因为-|AF 1|≤|PA|-|PF 1|≤|AF 1|(当P ,A ,F 1共线时等号成立).又|AF 1|=√2.所以|PA|+|PF|≤6+√2,|PA|+|PF|≥6-√2.故|PA|+|PF|的最大值为6+√2,最小值为6-√2.例2 (1)x 218+y 29=1或y 218+x 29=1(2)x 29+y 23=1(3)x 28+y 26=1或y 2253+x 2254=1(4)m|m<-1或1<m<32(1)由题意知ca =√22,得a 2=2b 2=2c 2.当焦点在x 轴上时,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),在椭圆上任取一点P (x 0,y 0),取焦点F (-c ,0),如此PF 的中点M 为(x 0-c 2,y 02),根据条件可得y02=x 0-c 2+4,k PF =y 0x0+c=-1,联立两式解得x 0=-4,y 0=4-c ,代入椭圆方程解得a=3√2,b=3.由此可得椭圆的方程为x 218+y 29=1,同理,当焦点在y 轴上时,椭圆的方程为y 218+x 29=1.(2)设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,且m ≠n ).椭圆经过点P 1,P 2,故点P 1,P 2的坐标适合椭圆方程, 如此{6m +n =1,3m +2n =1,解得{m =19,n =13.所求椭圆的方程为x 29+y 23=1.(3)假如焦点在x 轴上,如此设所求椭圆方程为x 24+y 23=t (t>0),将点P (2,-√3)的坐标代入,得t=2.故所求椭圆方程为x 28+y 26=1.假如焦点在y 轴上,如此设所求椭圆方程为y 24+x 23=λ(λ>0),将点P (2,-√3)的坐标代入,得λ=2512,故所求方程为y 2253+x 2254=1.故椭圆方程为x 28+y 26=1或y 2253+x 2254=1.(4)由x 2|m|-1+y 22-m=1表示焦点在y 轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1<m<32. 对点训练2(1)C(2)x 28+y 24=1(1)由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO ,∠OF'P=∠OPF',所以∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',所以∠FPO+∠OPF'=90°,即PF ⊥PF'.在Rt △PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=√|FF'|2-|PF|2=√102-62=8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,如此a=7,a 2=49,所以b 2=a 2-c 2=49-52=24,所以椭圆C 的方程为x 249+y 224=1.应当选C .(2)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c,所以a-c=2√2-2,因为离心率e=√22,所以c a =√22,解得a=2√2,c=2,如此b2=a2-c2=4,所以椭圆E的方程为x28+y24=1.例3 C由椭圆x211-m +y2m-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,可得√m-3-11+m=2,解得m=9.应当选C.对点训练3(1)B(2)B(1)焦距2c=2,所以c=1.当m>4时,m-4=1,m=5;当0<m<4时,4-m=1,m=3.综上所述,m=5或m=3.应当选B.(2)因为a=4,e=34,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是x216+y27=1或x27+y216=1.例4AD由题意知,点B和点A关于原点对称,如此点B也在椭圆上.设椭圆的左焦点为F',原点为O,如此根据椭圆定义,有|AF|+|AF'|=2a.根据椭圆的对称性可知|AF'|=|BF|,因此|AF|+|BF|=2a.①因为AF⊥BF,且在Rt△ABF中,O为斜边的中点,所以|AB|=2|OF|=2c,所以|AF|=2c sinα,②|BF|=2c cosα.③将②③代入①,得2a=2c cos α+2c sin α,所以e=2c 2a =1sinα+cosα=1√2sin(α+π4).因为α∈[π6,π4],所以5π12≤α+π4≤π2,如此√22≤1√2sin(α+π4)≤√3-1.因此所求椭圆离心率e 的取值X 围为[√22,√3-1].应当选AD .对点训练4D ∵∠F 1F 2P=120°,△PF 1F 2为等腰三角形,∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c.过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,∴∠PF 2E=60°.∴|F 2E|=c ,|PE|=√3c ,∴P (2c ,√3c ).∵k PA =√36,∴PA 所在直线方程为y=√36(x+a ).∴√3c=√36(2c+a ).∴e=ca =14.例5(1)C(2)D (2)由正弦定理,可得|MF 1|sin ∠MF 2F 1=|MF 2|sin ∠MF 1F 2,结合题意可得|MF 1|c=|MF 2|a ,所以|MF 1|c =|MF 2|a=|MF 1|+|MF 2|a+c.根据椭圆的定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a ,所以|MF 1|=2aca+c ,|MF 2|=2a 2a+c ,易知|MF 2|>|MF 1|.因为M 为椭圆上一点,所以a-c<|MF 2|<a+c ,即a-c<2a 2a+c <a+c , 整理得c 2+2ac-a 2>0,所以e 2+2e-1>0,解得√2-1<e<1.应当选D.对点训练535,√22因为|PT|=√|PF 2|2-(b -c)2(b>c ),而|PF 2|的最小值为a-c ,所以|PT|的最小值为√(a -c)2-(b -c)2.依题意,有√(a -c)2-(b -c)2≥√32(a-c ),所以(a-c )2≥4(b-c )2,所以a-c ≥2(b-c ),所以a+c ≥2b ,所以(a+c )2≥4(a 2-c 2),所以5c 2+2ac-3a 2≥0,所以5e 2+2e-3≥0. ①又b>c ,所以b 2>c 2,所以a 2-c 2>c 2,所以2e 2<1.②联立①②,解得35≤e<√22.。
高考数学(文)一轮复习 8-5a椭圆模拟演练·提能增分
的面积为( )
A．1 B. 2 C. 3 D．2
解析 ∵a＝2，△FAB的周长为8＝4a，∴由椭圆的定 义得直线x＝t经过椭圆的左焦点，把x＝－ 3 代入椭圆方 程，得34＋y2＝1，|y|＝12，∴△FAB的面积为12·2|y（文）
6．M是椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝ 252－23m－x1，
同理|PB|＝ 252－23m－x2.
26
高考一轮总复习 ·数学（文）
所以|PA|·|PB| ＝542－23m－x12－23m－x2 ＝542－23m2－2－23mx1＋x2＋x1x2 ＝542－23m2－2－23m－43m＋4m23－12 ＝190m2. 故存在常数λ＝45，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.
＋y2＝x2＋x＋31－x42
＝
1 4
x2＋x＋3＝
14(x＋2)2＋2，当且仅当x
＝2时，O→P·F→P取得最大值6.
20
高考一轮总复习 ·数学（文）
13．已知椭圆C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB
的距离为
66|F1F2|，则椭圆C
2
中点，则椭圆C的离心率等于___2_____．
9
高考一轮总复习 ·数学（文）
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax212＋by212＝1①， xa222＋yb222＝1②.
①、②两式相减并整理，得yx11－ －yx22＝－ba22·xy11＋ ＋xy22. 把已知条件代入上式，得－12＝－ba22×22，
B设.3 直C线.4x＝D32.5a与x轴交于点Q，由题意得∠PF2Q
2022届高考数学(文)大一轮复习教师用书：第8章 平面解析几何 第5节 椭 圆 Word版含答案
第五节椭圆————————————————————————————————1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简洁应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b21．(思考辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是( ) A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1 D.x24＋y23＝1D3．(2021·广东高考)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )A．2 B．3C．4 D．9B4．(2022·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B5．椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．3椭圆的定义与标准方程(1)如图851所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内肯定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )【导学号：31222310】 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________．图851(1)A (2)x 2＋32y 2＝11.(1)利用椭圆的定义定外形时，肯定要留意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但肯定要留意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|的整体代换．2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再依据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式．(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．(1)3 (2)x24＋y23＝1椭圆的几何性质(2022·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34A1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2021·福建高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 A直线与椭圆的位置关系☞角度1 由位置关系争辩椭圆的方程与性质已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为c2. 【导学号：31222311】 (1)求椭圆E 的离心率；(2)如图852，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图852(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca，3分由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2 a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.5分(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.8分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k 2k ＋11＋4k 2，x 1x 2＝42k ＋12－4b21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k2k ＋11＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.10分 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝10b 2－2.由|AB |＝10，得10b 2－2＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.12分☞角度2 由位置关系争辩直线的性质(2021·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.3分 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分 (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).7分 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.9分 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.12分1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题经常用“点差法”解决，往往会更简洁．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率)．1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、把握定义是关键，应留意定义中的常数大于|F 1F 2|，避开了动点轨迹是线段或不存在的状况．2．求椭圆方程的方法，除了直接依据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，且m ≠n )可以避开争辩和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．3．争辩椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后依据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．1．推断两种标准方程的方法是比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．留意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是简洁被忽视而导致求最值错误的缘由．3．椭圆上任意一点M 到焦点F 的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . 课时分层训练(四十九) 椭 圆 A 组 基础达标 (建议用时：30分钟) 一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) 【导学号：31222312】A ．4B ．3C ．2D ．5A2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) 【导学号：31222313】 A.13 B.33 C.22D.12B3．(2022·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )【导学号：31222314】A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 D4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 A 二、填空题6．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为__________．4417．(2021·湖南长沙一中月考)如图853，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图853x 28＋y 22＝1 8．(2022·江苏高考)如图854，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.图854 63三、解答题9．已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)． 【导学号：31222315】 (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.3分∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.8分∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.10分∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.12分10．设椭圆E 的方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，2分 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.5分(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.8分又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).10分由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .12分B 组 力量提升 (建议用时：15分钟)1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2 D ．4C2．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________. 【导学号：31222316】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，233．(2021·西安调研)如图855，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.图855(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.3分 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x＋2k (k －2)＝0.7分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －11＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k2.9分 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －12k k －2＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2.12分。
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第五节椭圆[考情展望] 1.考查利用椭圆的定义求椭圆的标准方程及利用椭圆的定义解决相关问题.2.考查椭圆的几何性质，主要考查椭圆的离心率，常以选择题、填空题形式出现.3.与向量、函数方程、不等式等知识结合考查直线与椭圆位置关系，常以解答题形式考查．一、椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)若2a＞|F1F2|，则集合P为椭圆；(2)若2a＝|F1F2|，则集合P为线段；(3)若2a＜|F1F2|，则集合P为空集．点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】 依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 【答案】 D2．“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 要使方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，应满足5－m ＞0，m ＋3＞0且5－m ≠m＋3，解之得－3＜m ＜5且m ≠1，∴“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．【答案】 B3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21【解析】 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k＝45，解得k ＝21. 【答案】 C4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为________．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由于c a ＝55，故a 2＝5c 2，b 2＝4c 2，椭圆方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，P (－5,4)在椭圆上代入解得c 2＝9，于是所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.【答案】 x 245＋y236＝15．(2013·大纲全国卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1【解析】 由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点⎝⎛⎭⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 C6．(2013·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c . 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.【答案】3－1考向一 [135] 椭圆的定义与标准方程(1)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.(2)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，求椭圆的方程．【思路点拨】 (1)关键抓住点P 为椭圆C 上的一点，从而有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，再利用PF 1→⊥PF 2→，进而得解．(2)注意到条件OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，必须借助点P 的坐标沟通a ，b ，c 间的联系，只需求直线OP 的方程．【尝试解答】 (1)由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝9，因此b ＝3. 【答案】 3(2)由题意，A (a,0)，B (0，b )，F 1(－c,0)，O (0,0)． ∵OP ∥AB ， ∴k OP ＝k AB ＝－ba，因此直线OP 的方程为y ＝－bax ，代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝±22a ，由PF 1⊥x 轴，知x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c ，①又|F 1A |＝a ＋c ＝10＋5② 联立①，②，得a ＝10，c ＝5， ∴b 2＝a 2－c 2＝5，所以该椭圆方程为x 210＋y 25＝1.规律方法1 1.(1)求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法. (2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a 、b 的值.运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a ，b ，c 的方程.2.涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余)弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|整体代换.对点训练 设椭圆的焦点在x 轴，过点⎝⎛⎭⎫1，12，作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为点A ，B .若直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，试求椭圆的标准方程． 【解】 依题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线， ∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设点P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12， ∵A 、B 为圆x 2＋y 2＝1的切点， ∴OP ⊥AB ，从而k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)，从而b ＝2，因此a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1.考向二 [136] 椭圆的几何性质(1)(2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)已知椭圆：x 29＋y2b 2＝1(0＜b ＜3)，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2→|＋|AF 2→|的最大值为8，则b 的值是( )A ．2 2 B. 2 C. 3 D. 6【思路点拨】 (1)利用余弦定理确定AF ，进而判定△ABF 的形状，利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率．(2)因△AF 2B 的周长等于两个长轴长，欲使|BF 2→|＋|AF 2→|的值最大，只需|AB |最小，利用椭圆的性质可求得b 的值．【尝试解答】 (1)在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，有平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.(2)∵F 1、F 2为椭圆x 29＋y 2b2＝1的两个焦点，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6，|BF 1|＋|BF 2|＝6，△AF 2B 的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝12，当|AB |最小时，|BF 2→|＋|AF 2→|的值最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB |最小，此时|AB |＝2b 23，故12－2b23＝8，∴b ＝ 6.【答案】 (1)B (2)D规律方法2 1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.2.e 与a ，b 间的关系e 2＝c 2a2 ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2. 对点训练 (1)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8(2)(2013·四川高考)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22 D.32【解析】 (1)由椭圆的方程得F (－1,0)，O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)为椭圆上任意一点，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6，选C.(2)设P (－c ，y 0)代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝ca可得离心率e .由题意设P (－c ，y 0)，将P (－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b2＝1，则y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2＝b 2·a 2－c 2a 2＝b 4a2.∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac.∵A (a,0)，B (0，b )，∴k AB ＝b －00－a＝－ba .又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2ac ，∴b ＝c .∴e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c 2＝22.故选C. 【答案】 (1)C (2)C考向三 [137] 直线与椭圆的位置关系(2013·浙江高考)图8－5－1如图8－5－1，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．【思路点拨】 (1)由图形和题意很容易找到椭圆中a ，b 的值；(2)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为k )，把△ABD 的面积表示出来(一定是关于k 的表达式)，当△ABD 面积取最大值时，求k 的值．【尝试解答】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1， 所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故方程的两根x 1＝0，x 2＝－8k4＋k 2， 所以|PD |＝8k 2＋14＋k2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 规律方法3 直线与椭圆相交问题解题策略,当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据. 对点训练 (2014·安徽池州一中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与曲线C 交于不同的A 、B 两点，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．【解】 (1)由题意得c a ＝22，c ＝2∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆c 的方程为：x 28＋y 24＝1.(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1y ＝x ＋m，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0∵Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜2 3 ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 1＝x 0＋m ＝m 3∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝⎛⎭⎫－2m 32＋⎝⎛⎭⎫m 32＝1，即m ＝±355. ∵±355∈(－23，23)， ∴所求m 的值为±355.规范解答之十四 与椭圆有关的动点问题————[1个示范例]————[1个规范练]————(12分)(2013·安徽高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【规范解答】 (1)解：因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以a 2－(1－a 2)＝⎝⎛⎭⎫122，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.3分(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.4分由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c ).7分当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.9分由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)． ①11分将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上.12分【名师寄语】 1.解答本题关键在于利用条件F 1P ⊥F 1Q 得到点P (x 0，y 0)满足的关系式y 20 ＝x 20 －(2a 2－1).2.解答时易忽视点P (x 0，y 0)为椭圆上第一象限内的点这一条件，导致无法求出点P 所在的定直线.3.要重视直线与椭圆方程联立、直线与坐标轴的交点等问题，加强通性、通法的训练.(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．【解】 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(2)法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A＝41＋4k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。