高中数学经典题型50道(另附详细答案)

合集下载

高中数学好题精选50道

1．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x yx y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有个．答案：30个好题速递21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为．【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有种．答案：192种好题速递31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2．将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有种．答案：30种1．在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP =，则a （2）当2a <时，min AP ==1a =-2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种．答案：90种好题速递51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为．解：构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩，所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42．某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有种．答案：140种好题速递61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者 C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有种．答案：6种好题速递71．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x =+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有个．答案：28个好题速递81．已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c=+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种．解： 48种好题速递91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是种．答案：20种好题速递101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2A C B C ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ，设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有种．答案：45种好题速递111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是．解：()421111421212x x x x xk k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有种．答案：55种好题速递121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有种．答案：31116322C C C C 种好题速递131．已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是．答案：21．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =--- 所以()()111f n n f n n -=-+ 所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅== 2．有种．答案：144种好题速递151．若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2．若(n x 的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：121．函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由AB 的元素构成的图形的面积是．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式种．答案：1680种好题速递171．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1E F F C +最小，则这个最小值为．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +最小．其最小值就是2EC ．连接212,A C B C ，计算可得2121AC B C AB ，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2．若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m 的值为．答案：1或-31．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1F Q 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1F Q 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q a m b m m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =--由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22b b a c a -=-⋅，即2c a =，所以2e =2．现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为．答案：18好题速递191．已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OA OC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42．已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33na C ++1n n n a C += ．答案：23n n +1．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ =点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足FN MN FN ≤即55MN ≤2．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是个．答案：48好题速递211．已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有项．好题速递221．已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y Cx y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是．解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=- 设()21:(42)21BC l x y m m m =--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=- 所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72好题速递231．数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2．设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为．好题速递241．已知集合(){}2,|21A x y y xbx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且AB 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN （红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN 上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

高中数学经典50题(附答案)

︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a 又圆方程
将代入得
得︱AM︱+︱AN︱=8
(2)假设存在a
因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱
所以︱AP︱=︱PP′︱，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。
7.抛物线上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若成等差数列
16、设若是与的等比中项，则的最小值为（）
A．8 B．4 C．1 D．
答案：B
解析：因为，所以，
，当且仅当即时“=”成立，故选择B．
点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
17、设数列满足为实数．
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
因为，BC中点，所以直线PD的方程为（1）
又故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设，则双曲线方程为（2）。联立（1）（2），得，
所以因此，故炮击的方位角北偏东。
说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行
6.设抛物线的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。
（1）求︱AM︱+︱AN︱的值
（2）是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列若存在，求出a，不存在，说明理由。

高中数学优秀试题及答案

高中数学优秀试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。

以下哪个选项不是直角三角形？A. a=3, b=4, c=5B. a=5, b=12, c=13C. a=6, b=8, c=10D. a=7, b=24, c=252. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5的导数是：A. 6x^2 - 6x + 1B. 6x^2 - 6x + 2C. 6x^2 - 12x + 1D. 6x^3 - 6x^2 + 13. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B的结果是：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 3, 4}D. {1, 4}4. 抛物线y = x^2 - 2x + 1的顶点坐标是：A. (1, 0)B. (1, 1)C. (-1, 0)D. (0, 1)5. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求此数列的第5项a5是：A. 11B. 13C. 15D. 17二、填空题（每题3分，共15分）6. 若直线y = 2x + 3与x轴相交，交点的坐标是________。

7. 函数f(x) = x^2 + 1在x=-2处的切线斜率是________。

8. 已知sinθ = 3/5，且θ为锐角，求cosθ的值是________。

9. 圆的半径为5，圆心到直线x + 2y - 15 = 0的距离是________。

10. 已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，求此数列的第4项a4是________。

三、解答题（每题10分，共70分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

12. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其在区间[1, 2]上的最大值和最小值。

13. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≤ 4。

高中数学试题及答案大全

高中数学试题及答案大全一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x+1，则f(-1)的值为（）。

A. -1B. 1C. 3D. -32. 下列哪个选项是不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集（）。

A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)D. (1, 3)3. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是（）。

A. x^2 + y^2 = 25B. x^2 + y^2 = 5C. (x-5)^2 + y^2 = 25D. (x+5)^2 + y^2 = 254. 函数y = 3x - 2的反函数是（）。

A. y = (x + 2) / 3B. y = (x - 2) / 3C. y = 3x + 2D. y = 3x - 25. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. π7. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是（）。

A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)8. 抛物线y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（）。

A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, -1)D. (-2, 1)9. 等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第五项a5的值为（）。

A. 17B. 14C. 10D. 710. 函数y = ln(x)的定义域是（）。

A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极大值点是______。

2. 等比数列{bn}的首项b1 = 4，公比q = 1/2，则第六项b6的值为______。

精挑细选!高中数学最经典50题(附答案),刷完稳过一本线

精挑细选!高中数学最经典50题（附答案），刷完稳过一本线！
高中数学，对于很多学生来讲都是一个难点，甚至是一个噩梦。

在高中阶段，很多同学数学考不及格，甚至是六七十分，都是很常见的一件事，这在小学初中是无法想象的，就算是初中，数学考个不及格都很严重了，但在高中，不及格却好像没什么大不了的，甚至在有的班级里面，及格都算优秀了。

看起来很不可思议的，但在高中又显得稀松平常。

当然，不能因为大家都考不好，自己就不去用心学数学了，再怎么说，数学在高考的时候也占了那么多分，如果在高考的时候，数学就考个几十分的话，那不知道其他学科要考得多好才能拉回来这些分数。

将数学学好，也是给自己高考带来一份保障，就算不依靠数学拉分，也不要让数学成为别人与你拉开差距的学科。

学习数学最好的方式就是多做题，很多学校在高中的时候都会给学生搞题海战术，就是因为做题有用，不是每一个人都是天赋异禀的，还是得脚踏实地
去学习。

对此，这里也为大家带来了高中数学50道经典例题，全部刷一遍，考试不用愁！。

(完整版)高中数学经典50题(附答案)

高中数学题库1. 求下列函数的值域：解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。

作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c ca a c m两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得 .32.32m c c a m c ==-∴=∴答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米。

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。

高中数学优质试题及答案

高中数学优质试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(x) \)的零点。

2. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在\( x > 0 \)时的单调性。

3. 已知方程\( x^2 + 2x + 1 = 0 \)，求其根并判断根的性质。

试题二：几何与代数1. 已知三角形ABC的边长分别为\( a = 5 \)，\( b = 7 \)，\( c = 8 \)，求其面积。

2. 已知圆的半径为\( r = 4 \)，求圆的周长和面积。

3. 已知点A(1,2)和点B(4,6)，求直线AB的斜率和方程。

试题三：概率与统计1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求抽到至少一个红球的概率。

2. 某工厂生产的零件，合格率为90%，求生产100个零件中，至少有85个合格的概率。

3. 已知一组数据的平均数为50，中位数为48，标准差为10，求这组数据的方差。

试题四：数列与级数1. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求其第10项。

2. 求等比数列\( a_n = 3^n \)的前n项和。

3. 判断数列\( b_n = \frac{1}{n} \)是否收敛，并求其极限。

试题五：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a = 3 \)，\( b = 2 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 已知双曲线\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a = 2 \)，\( b = 1 \)，求其渐近线方程。

3. 已知抛物线\( y^2 = 4px \)，求其焦点和准线方程。

答案：试题一：1. 零点为\( x = 1 \)和\( x = 3 \)。

2. 函数\( g(x) \)在\( x > 0 \)时单调递减。

高中数学经典题型50道(另附详细答案)(2020年10月整理).pdf

3). 因此 kPA
=
53 8−3
=
3 ，故炮击的方位角北偏东 30 。
说明：本题的关键是确定 P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的
基本概念。
4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，
3
一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 x2 = −2 py ( p 0) 。将 B（4,-5）代入得 P=1.6 x2 = −3.2 y 船两侧与抛物线接触时不能通过则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA 得 yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高 0.75 米所以 h=︱yA︱+0.75=2 米答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行 [思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．
设曲线段 C 的方程为 y 2 = 2 px( p 0)(xA x xB , y 0) ，其中 xA , xB 为
A、B 的横坐标，p = MN ，所以 M (− p ,0), N( p ,0) ，由 AM = 17, AN = 3，
2
2
得 (xA
+
p)2 2
+
2 pxA
= 17
（1）
4
(x A
3. A，B，C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6 Km ，C 在 B 正北偏西
30 ，相距 4 Km ，P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种
信号，由于 B，C 两地比 A 距 P 地远，因此 4 s 后，B，C 才同时发

高中数学优质试题50道(附经典解析)149

高中数学优质试题50道（附经典解析）优质试题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP x AB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x yx yx y==++++,由系数和1x y x yx y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了． 2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有个．答案：30个优质试题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90na n+的最小值为．【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-,由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13．2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有种．答案：192种优质试题31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2．将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有种．答案：30种优质试题41．在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为满足条件的实数a 的所有值为．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a = （2）当2a <时，min AP =1a =-2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种．答案：90种优质试题51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为．解：构造函数1yx =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42．某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有种．答案：140种优质试题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（）A ．1r 和2r 中的较大者B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=-若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21rr >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有种．答案：6种优质试题71．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by xa ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c=+，所以ON bk a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a b N b y x a c ⎧-=⎪⎛⎫⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++=所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有个．答案：28个优质试题81．已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191ab+=，则c 的取值范围是．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种．解： 48种优质试题91．在平面直角坐标系xoy中，已知点A是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C的纵坐标的取值范围是．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++-- 2．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是种．答案：20种优质试题101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ，设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=- 在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB取得最小值为2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有种．答案：45种优质试题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤< 综上可得，142k -≤≤ 2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有种．答案：55种优质试题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有种．答案：31116322C C C C 种优质试题131．已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax -的展开式中3x的系数是80，则实数a 的值是．答案：2优质试题141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =---所以()()111f nn f n n -=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅==2．某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：节目单上不同的排序方式有种．答案：144种优质试题151．若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2．若(nx 的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12优质试题161．函数()22fx xx=+，集合()()(){},|2A xy f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B的元素构成的图形的面积是．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式种．答案：1680种优质试题171．在棱长为1的正方体1111A B C D A B C D -中，112A E AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +最小，则这个最小值为．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD于一点，即为所求点F ，使1E F F C +最小．其最小值就是2EC ．连接212,AC B C ，计算可得2121,,AC B C AB =，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2．若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m的值为．答案：1或-3优质试题181．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224ac =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =-- 由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭所以22b b ac a-=-⋅，即2c a =，所以2e =2．现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为．答案：18优质试题191．已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OAOC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42．已知数列{na }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12na C +33na C ++1n n na C += ．答案：23n n+优质试题201．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN的长度满足FN MN FN ≤即55MN ≤2．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是个．答案：48优质试题211．已知函数是定义在R上的偶函数，当x ≥时，()()()2502161122x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是．解：设()t f x =，问题等价于()2g t t a t b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<< 所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩ 综上， 5924a -<<-或914a -<<- 2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有项．答案：5优质试题221．已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是．解：由题意22:4Cy x=设:(2)1ABlx m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x=，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,ym m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72优质试题231．数列{}na 是公比为23-的等比数列，{}nb 是首项为12的等差数列．现已知99ab >且1010ab >，则以下结论中一定成立的是．（请填上所有正确选项的序号） ①9100a a<；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}na 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a>时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a>时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}nb 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >当10a<时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}nb 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910bb >综上可知，①③一定是成立的． 2．设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为．答案：150优质试题241．已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN（红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

高中的数学经典试题及答案

高中的数学经典试题及答案高中数学经典试题及答案一、选择题1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求导数\( f'(x) \)。

A. \( 4x - 3 \)B. \( 2x - 3 \)C. \( 4x^2 - 3 \)D. \( 4x + 1 \)答案：B2. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B3. 若\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)，求\( \sin(30^\circ + 45^\circ) \)。

A. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)D. \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)答案：C二、填空题4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项。

_______答案：115. 若\( \cos \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，求\( \sin \theta \)。

_______答案：\( \frac{4}{5} \)三、解答题6. 证明：若\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则\( a, b, c \)构成直角三角形的三边。

证明：根据勾股定理的逆定理，若三角形的三边满足\( a^2 + b^2 =c^2 \)，则该三角形为直角三角形。

设三角形ABC的三边分别为a, b, c，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)。

在三角形ABC中，根据余弦定理，有\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \)。

由于\( a^2 + b^2 = c^2 \)，我们可以得出\( \cos C = 0 \)，即角C为90度，故三角形ABC为直角三角形。

高中数列精选大题50题(带详细答案)

高中数列精选大题50题（带详细答案）1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且，求函数)(n f 最小值.3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。

4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由． 8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

高中数学经典题型50道(另附详细答案)

由，
的取值范围是
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于的方程由给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。
9、已知抛物线与直线相交于A、B两点
（1）求证：
（2）当的面积等于时，求的值。
（1）证明：图见教材P127页，由方程组消去后，整理得。设，由韦达定理得在抛物线上，
（2）解：设直线与轴交于N，又显然令
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。
10、在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。
〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6,而 = ，故选A．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的
(Ⅱ)解: ,令得．
当x变化时, ﹑ 的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
f(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
注意到 ,从而
①当 ,此时无极小值；

高中数学专项试题及答案

高中数学专项试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 43. 圆的方程为x^2+y^2-6x-8y=0，其圆心坐标为（）。

A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)4. 函数y=\frac{1}{x}的图象在第一象限的斜率是（）。

A. 正B. 负C. 零D. 不存在5. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B=（）。

A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}6. 若直线y=2x+1与直线y=-x+4平行，则它们的斜率（）。

A. 相等B. 互为相反数C. 互为倒数D. 无法确定7. 已知复数z=2+3i，其模长为（）。

A. √7B. √13C. √21D. √318. 函数y=|x-1|的单调递增区间是（）。

A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 1] ∪ [1, +∞)D. (-∞, 1] ∪ (1, +∞)9. 抛物线y^2=4x的焦点坐标为（）。

A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, 1)D. (2, 0)10. 若函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，则该极值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=______。

2. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标为______。

3. 圆的方程x^2+y^2-4x-6y+9=0的半径为______。

4. 函数y=\sqrt{x}的定义域为______。

5. 集合{a, b, c}与集合{c, d, e}的并集为______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知函数f(x)=2x^3-9x^2+12x-5，求f(x)的单调区间。

高中数学经典50题(附答案)

高中数学题库之勘阻及广创作1.2. 求下列函数的值域：解法2 令t ＝sin x , 则f (t )＝－t 2＋t ＋1, ∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元, 将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题, 从而到达解决问题的目的, 这就是转换的思想．善于从分歧角度去观察问题, 沟通数学各学科之间的内在联系, 是实现转换的关键, 转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉, 由复杂化简单, 一句话：由难化易．可见化归是转换的目的, 而转换是实现化归段手段.3.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行, 地球恰好位于椭圆轨道的焦点处, 当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时, 经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和, 求该慧星与地球的最近距离.解：建立如下图所示直角坐标系, 设地球位于焦点)0,(c F -处, 椭圆的方程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）.当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时, 由椭圆的几何意义可知, 彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或.作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于故由椭圆第二界说可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c ca a c m两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米.说明：（1）在天体运行中, 彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆, 而恒星正是它的一个焦点, 该椭圆的两个焦点, 一个是近地址, 另一个则是远地址, 这两点到恒星的距离一个是c a -, 另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的, 以数学概念为根基充沛体现了数形结合的思想.另外, 数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题, 善于挖掘隐含条件, 有意识地训练数学思维的品质.4.A, B, C 是我方三个炮兵阵地, A 在B 正东6Km , C 在B 正北偏西ο30, 相距4Km , P 为敌炮阵地, 某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号, 由于B, C 两地比A 距P 地远, 因此4s 后, B, C 才同时发现这一信号, 此信号的传布速度为1s Km /, A 若炮击P 地, 求炮击的方位角.（图见优化设计教师用书P249例2）解：如图, 以直线BA 为x 轴, 线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系, 则)32,5(),0,3(),0,3(--C A B , 因为PC PB =, 所以点P 在线段BC 的垂直平分线上.因为3-=BC k , BC 中点)3,4(-D , 所以直线PD 的方程为)4(313+=-x y（1）又,4=-PA PB 故P 在以A, B 为焦点的双曲线右支上.设),(y x P , 则双曲线方程为)0(15422≥=-x y x （2）.联立（1）（2）, 得35,8==y x ,所以).35,8(P 因此33835=-=PA k , 故炮击的方位角北偏东︒30. 说明：本题的关键是确定P 点的位置, 另外还要求学生掌握方位角的基本概念.5.河上有抛物线型拱桥, 当水面距拱顶5米时, 水面宽度为8米, 一小船宽4米, 高2米, 载货后船露出水面的部份高0.75米, 问水面上涨到与抛物线拱顶距几多时, 小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为)0(22>-=p py xy x 2.32-=∴船两侧与抛物线接触时不能通过则A(2,y A ), 由22=-3.2 y A 得y A所以h=︱y A ︱+0.75=2米答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时, 小船开始不能通行 [思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧.．6.如图所示, 直线1l 和2l 相交于点M, 21l l ⊥, 点1l N ∈, 以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等.若AMN∆为锐角三角形, 6NB ,3,17＝且==AN AM , 建立适当的坐标系, 求曲线段C 的方程.解：以直线1l 为x 轴, 线段MN 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系, 由条件可知, 曲线段C 是以点N 为焦点, 以2l 为准线的抛物线的一段, 其中A 、B 分别为曲线段C 的端点.设曲线段C 的方程为)0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A , 其中BA x x ,为A 、B 的横坐标, MN p =, 所以)0,2(),0,2(p N p M -, 由3,17==AN AM , 得172)2(2=++A A px p x （1）92)2(2=+-A A px p x （2）, （1）（2）联立解得px A 4=, 代入（1）式, 并由0>p 解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2214A A x p x p 或, 因为AMN ∆为锐角三角形, 所以A x p>2, 故舍去⎩⎨⎧==22A x p , 所以⎩⎨⎧==14Ax p由点B 在曲线段C 上, 得42=-=PBN x B , 综上, 曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路, 考查了界说法, 待定系数法求曲线方程的步伐, 综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.7.设抛物线)0(42>=a ax y 的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心, ︱AB ︱为半径, 在x 轴上方画半圆, 设抛物线与半圆相交与分歧的两点M, N.点P 是MN 的中点.（1）求︱AM ︱+︱AN ︱的值（2）是否存在实数a, 恰使︱AM ︱︱AP ︱︱AN ︱成等差数列？若存在, 求出a, 不存在, 说明理由.解：(1)设M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为M ′,N ′,P ′. ︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=x M +x N +2a 又圆方程16)]4([22=++-y a x将ax y 42=代入得08)4(222=++--a a x a x()a x x N M -=+∴42得︱AM ︱+︱AN ︱=8(2)假设存在a因为︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=2︱PP ′︱所以︱AP ︱=︱PP ′︱ , P 点在抛物线上, 这与P 点是MN 的中点矛盾.故a 不存在.8.抛物线()022>=p px y 上有两动点A, B 及一个定点M, F 为焦点, 若BF MF AF ,,成等差数列（1）求证线段AB 的垂直平分线过定点Q（2）若6,4==OQ MF （O为坐标原点）, 求抛物线的方程.（3）对（2）中的抛物线, 求△AQB面积的最年夜值.解：（1）设()()()002211,,,,,y x M y x B y x A , 则21p x AF +=, 22p x BF +=, 20px MF +=, 由题意得2210x x x +=, AB ∴的中点坐标可设为()t x ,0,其中0221≠+=y y t （否则0=⇒==p BF MF AF ）,而()222121212121y y py y x x y y k AB --=--=t py y p =+=212, 故AB 的垂直平分线为()0x x ptt y -=-, 即()00=+--yp p x x t , 可知其过定点()0,0p x Q + （2）由6,4==OQ MF , 得6,4200=+=+p x px , 联立解得2,40==x p x y 82=∴.（3）直线AB ：()24-=-x tt y , 代入x y 82=∴得0162222=-+-t ty y ,()()2212212214644t y y y y y y -==-+=-∴ , ()()221222116y y t x x -=- 425621t -=, 又点()0,6Q 到AB 的距离216t d +== ,d AB S AQB 21=∴∆()()241625641t t +-=64216256409641t t t --+=令642162564096t t t u --+=, 则53664512t t t u --=', 令0='u 即066451253=--t t t , 得0=t 或162-=t 或3162=t , ∴3162=t 334±=⇒t 时()6964=∆AQB S . [思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两年夜基本方法, 必需熟练掌握, 对定点问题和最值的处置也可由此细细的品味.8、已知直线)22tan(:+=x y l 交椭圆9922=+y x 于A 、B 两点, 若α为l 的倾斜角, 且AB 的长不小于短轴的长, 求α的取值范围. 解：将l 的方程与椭圆方程联立, 消去y, 得09tan 72tan 236)tan 91(2222=-+⋅++αααx x由33tan 33,31tan ,22≤≤-∴≤≥αα得AB ,α∴的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,656,0[思维点拔]对弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民.本题由于l 的方程由αtan 给出, 所以可以认定2πα≠, 否则涉及弦长计算时,还要讨论2πα=时的情况.9、已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点（1）求证：OB OA ⊥（2）当OAB ∆的面积即是10时, 求k 的值.（1）证明：图见教材P127页, 由方程组⎩⎨⎧+=-=)1(2x k y xy 消去x 后, 整理得02=-+k y ky .设),(),,(2211y x B y x A , 由韦达定理得121-=y y BA , 在抛物线xy -=2上,212221222121,,x x y y x y x y ⋅=⋅-=-=∴（2）解：设直线与x 轴交于N, 又显然∴≠,0k 令），（－，即则01N 1,0-==x y [思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件, 三角形的面积公式, 函数与方程的思想, 以及分析问题、解决问题的能力. 10、在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y=kx+3对称, 求k 的取值范围.〖解〗设B 、C 关于直线y=kx+3对称, 直线BC 方程为x=-ky+m 代入y 2=4x 得：y 2+4ky-4m=0, 设B （x 1, y 1）、C （x 2, y 2）, BC 中点M （x 0, y 0）, 则y 0=（y 1+y 2）/2=-2k.x 0=2k 2+m, ∵点M （x 0, y 0）在直线上.∴-2k （2k2+m ）+3, ∴m=-kk k 3223++又BC 与抛物线交于分歧两点, ∴⊿=16k 2+16m>0把m 代入化简得0323<++k k k 即0)3)(1(2<+-+kk k k ,解得-1<k<0[思维点拔]对称问题要充沛利用对称的性质特点.11、已知椭圆的一个焦点F 1（0, -22）, 对应的准线方程为y=-429, 且离心率e 满足：2/3, e, 4/3成等比数列.（3）求椭圆方程；（4）是否存在直线l , 使l 与椭圆交于分歧的两点M 、N, 且线段MN 恰被直线x=-21平分.若存在, 求l 的倾斜角的范围；若不存在, 请说明理由.〖解〗依题意e=322 （1）∵ca 2-c=429-22=42, 又e=322∴a =3, c=22, b=1, 又F 1（0, -22）, 对应的准线方程为y=-429.∴椭圆中心在原点,所求方程为：922y x +=1（2）假设存在直线l , 依题意l 交椭圆所得弦MN 被x=-21平分, ∴直线l 的斜率存在.l ：m kx y +=由 m kx y +=922y x +=1消去y, 整理得92)9(222-+++m kmx x k =0∵直线l 与椭圆交于分歧的两点M 、N ∴⊿=4k 2m 2-4(k 2+9)(m 2-9)>0 即m 2-k 2-9<0 ① 设M （x 1, y 1）、N （x 2, y 2）∴2192221-=+-=+k km x x , ∴k k m 292+=② 把②代入①可解得：33-<>k k 或∴直线l 倾斜角⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,22,3ππππα[思维点拔]倾斜角的范围, 实际上是求斜率的范围. 12、设x, y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x , 若目标函数z=ax+by（a>0, b>0）的值是最年夜值为12, 则23a b+的最小值为（）A ．625 B ．38 C ．311D ． 4 谜底：A解析：不等式暗示的平面区域如图所示阴影部份,当直线ax+by= z （a>0, b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0, b>0）取得最年夜12, 即4a+6b=12, 即2a+3b=6,而23ab+=2323()6a b a b ++13()6b a a b =++1325266≥+=,故选A ．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式暗示的平面区域, 而且能够求得目标函数的最值, 对形如已知2a+3b=6, 求23a b+的最小值经常使用乘积进而用基本不等式解答．13、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超越300分钟的广告, 广告总费用不超越9万元, 甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟, 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告, 能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间, 才华使公司的收益最年夜, 最年夜收益是万元．谜底：70解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟, 总收益为z 元, 由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥ 目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥作出二元一次不等式组所暗示的平面区域, 即可行域．如图：作直线:300020000l x y +=, 即320x y +=．平移直线, 从图中可知, 当直线过M 点时, 目标函数取得最年夜值．l联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M的坐标为(100200)，．max 30002000700000z x y ∴=+=（元）．点评：本题是线性规划的实际应用问题, 需要通过审题理解题意, 找出各量之间的关系, 找出线性约束条件, 写出所研究的目标函数, 通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力, 随着课改的深入, 这类试题应该是高考的热点题型之一．14、设a 为实数, 函数2()2()||f x x x a x a =+--．(1)若(0)1f ≥, 求a 的取值范围； (2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞, 直接写出．．．．(不需给出演算步伐)不等式()1h x ≥的解集．解析：（1）若(0)1f ≥, 则20||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩；（2）那时x a≥,22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩, 那时x a ≤, 22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩,综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩；（3）(,)x a ∈+∞时, ()1h x ≥得223210x ax a -+-≥,那时a a≤≥0,(,)x a∆≤∈+∞；那时a<<, △>0, 得：(0x xx a⎧⎪≥⎨⎪>⎩；讨论得：那时a∈, 解集为(,)a+∞；那时(a∈, 解集为(,[,)33a aa⋃+∞；那时[a∈,解集为)+∞．点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识, 考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．15、知函数321()23f x x x=+-．（Ⅰ）设}{na是正数组成的数列, 前n项和为n S, 其中13a=．若点211(,2)n n na a a++-(n∈N*)在函数'()y f x=的图象上, 求证：点(,)nn S也在'()y f x=的图象上；（Ⅱ）求函数()f x在区间(1,)a a-内的极值．解析：(Ⅰ)证明：因为321()2,3f x x x=+-所以'2()2f x x x=+,由点211(,2)(N)n n na a a n+++-∈在函数'()y f x=的图象上,221122n n n na a a a++-=+111()()2()n n n n n na a a a a a++++-=+, 又0(N)na n+>∈,所以12n n a a +-=, }{n a 是13,2a d ==的等差数列, 所以2(1)32=22n n n S n n n -=+⨯+,又因为'2()2f n n n =+,所以()n S f n '=,故点(,)n n S 也在函数'()y f x =的图象上．(Ⅱ)解:2()2(2)f x x x x x '=+=+,令()0,f x '=得02x x ==-或．当x 变动时,()f x '﹑()f x 的变动情况如下表:注意到(1)12a a --=<,从而①当212,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值；②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极年夜值；③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极年夜值又无极小值．点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识, 考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法, 考查分析问题和解决问题的能力．16、设0,0.a b >>若是3a 与3b 的等比中项, 则11ab+的最小值为（）A ．8B ．4C ．1D ．14谜底：B 解析：因为333=⋅b a , 所以1=+b a ,11a b +11()()a b a b =++2b a a b=++24≥+=, 当且仅立即b a a b =21==b a 时“=”成立, 故选择B ．点评：本小题考查指数式和对数式的互化, 以及均值不等式求最值的运用, 考查了变通能力．17、设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数．（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充沛需要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<, 证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈；（Ⅲ）设103c <<, 证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈-．解析：(1)需要性：120,1a a c==-∵∴ , 又2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ , 即[0,1]c ∈．充沛性：设[0,1]c ∈, 对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈,那时1n =, 10[0,1]a =∈．假设[0,1](1)k a k ∈≥,则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=, 且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥,1[0,1]k a +∈∴, 由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立．(2) 设 103c <<, 那时1n =, 10a =, 结论成立．当2n ≥ 时, 3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴,103C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈, 所以 21113n n a a --++≤ 且110n a --≥,113(1)n n a c a --≤-∴,21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴,1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴．(3) 设 103c <<, 那时1n =, 2120213a c=>--, 结论成立, 那时2n ≥, 由（2）知11(3)0n n a c -≥->,21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴, 222222112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++∴2(1(3))2111313n c n n c c-=+->+---．点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充沛需要条件和数学归纳法等, 具有较高的难度, 对逻辑推理能力的考查要求较高．18、将一骰子连续抛掷三次, 它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：一骰子连续抛掷三次获得的数列共有个, 其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个, 共有18个, 成等差数列的概率为, 选B ．点评：本题是以数列和概率的布景呈现, 题型新颖而别具一格, 有采用分类讨论, 分类时要做到不遗漏, 不重复．19、等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 暗示, 若534+=n nT S n n , 则n n a b 的值为( )A4231n n -+ B 8362n n -+ C 6382n n -+ D 6283n n -+ 谜底：A解析：∵12121(21)(21)2n n n a a S n n a --+=-=-；21(21)n n T n b -=-． ∴2121n n n n a S b T --=4(21)3(21)5n n -=-+84426231n n n n --==++．点评：考查等差数列的前n 项和的变形.20、已知x ＞0, y ＞0, x, a, b, y 成等差数列, x, c, d, y 成等比数列, 则(a ＋b)2cd的最小值是________．谜底：4解析：∵(a ＋b)2cd ＝(x ＋y)2xy ≥(2xy)2xy ＝4．点评：考查等差等比数列的基本知识, 均值不等式.21、命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a <, 命题:q 实数x 满足260x x --≤或2280x x +->, 且p ⌝是q ⌝的需要不充沛条件, 求a 的取值范围．解析：设{}22|430(0)A x x ax a a =-+<<{}|3x a x a =<<,{}{}|23|42x x x x x =-≤≤⋃<->或={}|42x x x <-≥-或因为p ⌝是q ⌝的需要不充沛条件, 所以q ⌝⇒p ⌝, 且p ⌝推不出q ⌝ 而{}|42R C B x x =-≤<-, {}|3,R C A x x a x a =≤≥或所以{}{}|42|3x x x x a x a -≤<-≤≥或, 则320a a ≥-⎧⎨<⎩或4a a ≤-⎧⎨<⎩即203a -≤<或4a ≤-．点评：考查逻辑用语, 一元二次方程及其含参数的解集.22、已知二次函数()f x 的二次项系数为 a , 且不等式 ()2f x x >- 的解集为（1 , 3）．（l ）若方程()60f x a +=有两个相等的根, 求()f x 的解析式；（2）若()f x 的最年夜值为正数, 求 a 的取值范围．解析：（1）因为()20f x x +>的解集为（1, 3）, 所以()2(1)(3)f x x a x x +=--且0a <．因而2()(1)(3)2(24)3f x a x x x ax a x a =---=-++ （1）由方程()60f x a +=得：2(24)90ax a x a -++= （2）因为方程（2）有两个相等的根．所以2[(24)]490a a a ∆=-+-⋅=, 即25410a a --=．解得：1a =（舍去）或15a =-,将15a =-代入（1）得()f x 的解析式为：2163()555f x x x =---, （2）2()2(12)3f x ax a x a =-++221241()a a a a x a a+++=--, 有a < 0, 可得()f x 的最年夜值为241a a a++-,所以241a a a++- > 0, 且a < 0．解得：220a a <--<,故当()f x 的最年夜值为正数时, 实数a 的取值范围是(,2(23,0)-∞--+．点评：含参数的未知一元二次方程, 求函数表达式以及参数的取值范围.计算量比力年夜, 且要求对一元二次函数的知识熟练. 23、已知数列{}n a 中, n S 是其前n 项和, 而且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==,⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n , 求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn , 求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关, {a n }中又有S 1n +=4a n +2, 可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．解：(1)由S 1n +=4a 2n +, S 2n +=4a 1n ++2, 两式相减, 得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n ), 即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造, 如何把该式暗示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键, 注意加强恒等变形能力的训练)a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n ), 又b n =a 1n +-2a n , 所以b 1n +=2b n ①已知S 2=4a 1+2, a 1=1, a 1+a 2=4a 1+2, 解得a 2=5, b 1=a 2-2a 1=3 ②由①和②得, 数列{b n }是首项为3, 公比为2的等比数列, 故b n =3·21n -．当n ≥2时, S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时, S 1=a 1=1也适合上式．综上可知, 所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的界说证明一个数列为等差, 等比数列, 求数列通项与前n 项和.解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式.2．解综合题要总揽全局, 尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件, 在后面求解的过程中适时应用．24、设实数0≠a , 数列{}n a 是首项为a , 公比为a -的等比数列, 记),(||1*N n a g a b n n n ∈=n n b b b S +++= 21, 求证：那时1-≠a , 对任意自然数n 都有n S =2)1(lg a a a +[]n n a na n )1()1(11++-++解：n n n n n a a a q a a 1111)1()(----=-==.记n n n n na a n a a a S 11232)1()1()1(32----+--+++-= ①1121332)1()1()1()2()1(2+-----+--+--++-=n n n n n n na a n a n a a as ②①+②得1121232)1()1()1()1(+-----+-+-+++-=+n n n n n n na a a a a a s a ③说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题.关键是先研究通项, 确定}{,n n n n a b a C ⋅=是等差数列, }{n b 等比数列. 25、设正数数列{a n }为一等比数列, 且a 2=4, a 4=16．说明：这是2000年全国高考上海试题, 涉及对数、数列、极限的综合题, 主要考查等比数列的界说及通项公式, 等差数列前n 项和公式, 对数计算, 求数列极限等基础知识, 以及综合运用数学知识的能力．a ij （I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式；（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识, 考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 解：（I ）a 4549=（II ）该等差数阵的第一行是首项为4, 公差为3的等差数列：第二行是首项为7, 公差为5的等差数列： ……第i 行是首项为431+-()i , 公差为21i +的等差数列, 因此（III ）需要性：若N 在该等差数阵中, 则存在正整数i, j 使得N i j j=++()21 从而2122121N ij j +=+++()=++()()2121i j 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.充沛性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积, 由于2N+1是奇数, 则它必为两个不是1的奇数之积, 即存在正整数k, l , 使得212121N k l +=++()(), 从而N k l l a k l=++=()21 可见N 在该等差数阵中.综上所述, 正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 27、已知点的序列（, 0）,, 其中=0,,A 3是线钱A 1A 2的中点, A 4是线段A 2A 3的中点, …, A n 是线段的中点, …. （I ）写出与、之间的关系式（≥3）（II ）设, 计算, , , 由此推测数列{}的通项公式, 并加以证明. （I ）解：当n≥3时,（II ）解：.由此推测.证法一：因为, 且（n≥2）所以.证法二：（用数学归纳法证明：）（i）那时, , 公式成立,（ii）假设那时, 公式成立, 即成立.那么那时,=式仍成立.根据（i）与（ii）可知, 对任意, 公式成立评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识, 考查运算能力和逻辑思维能力.28、（94年全国理)设｛a n｝是正数组成的数列, 其前n项和为S n, 而且对所有自然数n, a n与2的等差中项即是S n与2的等比中项. (1)写出数列｛a n｝的前三项；(2)求数列｛a n｝的通项公式(写出推证过程)；(3)令b n=(n∈N), 求：b1+b2+…+b n-n.解：(1)由题意=a n＞0令n=1时, =S1=a1解得a1=2令n=2时有==a1+a2解得a2=6令n=3时有=S3=a1+a2+a3解得a3=10故该数列的前三项为2、6、10.(2)解法一：由(1)猜想数列｛a n｝有通项公式a n=4n-2, 下面用数学归纳法证明数列｛a n｝的通项公式是a n=4n-2(n∈N)1°当n=1时, 因为4×1-2＝2, 又在(1)中已求得a1=2, 所以上述结论正确.2°假设n=k时, 结论正确, 即有a k=4k-2由题意有得a k=4k-2,代入上式得2k=,解得S k=2k2由题意有=S k+1=S k+a k+1得S k=2k2代入得=2(a k+1+2k2)整理a2k+1-4a k+1+4-16k2=0由于a k+1＞0, 解得：a k+1=2+4k所以a k+1=2+4k=4(k+1)-2这就是说n=k+1时, 上述结论成立.根据1°, 2°上述结论对所有自然数n成立.解法二：由题意有, =(n∈N)整理得S n=(a n+2)2由此得S n+1=(a n+1+2)2所以a n+1=S n+1-S n=［（a n+1+2)2-(a n+2)2］整理得(a n+1+a n)(a n+1-a n-4)=0由题意知a n+1+a n≠0,所以a n+1-a n=4即数列｛a n｝为等差数列, 其中a1=2,公差d=4,所以a n=a1＋(n-1)d=2+4(n-1)即通项公式a n=4n-2.(3)令c n=b n-1,则c n ===b 1+b 2+…+b n -n =c 1+c 2+…+c n=说明：n 的命题, 可以考虑用数学归纳法进行证明, 该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.29、（江苏18）如图, 在平面直角坐标系xOy 中, M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的极点, 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点, 其中P 在第一象限, 过P 作x 轴的垂线, 垂足为C, 连接AC, 并延长交椭圆于点B, 设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN, 求k 的值；（2）当k=2时, 求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0, 求证：PA ⊥PB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识, 考查运算求解能力和推理论证能力, 满分16分.解：（1）由题设知, ),2,0(),0,2(,2,2--==N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为)22,1(--, 由于直线PA 平分线段MN, 故直线PA 过线段MN 的中点, 又直线PA 过坐标原点, 所以.22122=--=k （2）直线PA的方程2221,42x y y x =+=代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32--±=A P x 因此于是),0,32(C 直线AC 的斜率为.032,13232340=--=++y x AB 的方程为故直线（3）解法一：将直线PA 的方程kx y =代入221,42x y x μ+==解得记则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为,20kk =++μμμ其方程为,0)23(2)2(),(222222=+--+-=k x k x k x ky μμμ代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222k k k x x B k k k μμμμ++==-+++或因此.于是直线PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231k k k k k k k k kk k k -=+-++-=++-+=μμμ因此.,11PB PA k k ⊥-=所以解法二：设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则.设直线PB, AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上, 所以.22)()(0111112kx y x x y k ==---=从而因此.,11PB PA k k ⊥-=所以30、（安徽理21）设λ>0, 点A 的坐标为（1,1）, 点B 在抛物线y x 2=上运动, 点Q 满足QA BQ λ=, 经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M , 点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程.本题考查直线和抛物线的方程, 平面向量的概念, 性质与运算, 动点的轨迹方程等基本知识, 考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力, 全面考核综合数学素养.解：由MP QM λ=知Q, M, P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上, 故可设.)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则①再设),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式, 消去0y , 得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③又点B在抛物线2x y =上, 所以211x y =, 再将③式代入211x y =, 得故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y 31、（北京理19）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G于A, B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 暗示为m 的函数, 并求AB 的最年夜值. （19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(- 离心率为.23==a c e（Ⅱ）由题意知, 1||≥m .那时1=m , 切线l 的方程1=x , 点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB当m=－1时, 同理可得3||=AB那时1||>m , 设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x , 则又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=由于那时3±=m , ,3||=AB所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+=m m m AB .因为,2||3||343||34||2≤+=+=m m m m AB且那时3±=m , |AB|=2, 所以|AB|的最年夜值为2.32、（福建理17）已知直线l ：y=x+m, m ∈R.（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P, 且点P 在y 轴上, 求该圆的方程；（II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l ', 问直线l '与抛物线C ：x2=4y 是否相切？说明理由.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分13分. 解法一：（I ）依题意, 点P 的坐标为（0, m ）因为MP l ⊥, 所以01120m-⨯=--,解得m=2, 即点P 的坐标为（0, 2）从而圆的半径故所求圆的方程为22(2)8.x y -+= （II ）因为直线l 的方程为,y x m =+ 所以直线'l 的方程为.y x m =--由22',4404y x m x x m x y =--⎧++=⎨=⎩得（1）那时1,0m =∆=即, 直线'l 与抛物线C 相切（2）当1m ≠, 那0∆≠时, 直线'l 与抛物线C 不相切. 综上, 当m=1时, 直线'l 与抛物线C 相切；那时1m ≠, 直线'l 与抛物线C 不相切.解法二：（I ）设所求圆的半径为r, 则圆的方程可设为22(2).x y r 2-+= 依题意, 所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0, m ）,则224,,m r r ⎧+=⎪=解得2,m r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以所求圆的方程为22(2)8.x y -+= （II ）同解法一. 33、（广东理19）设圆C与两圆2222(4,(4x y x y +=+=中的一个内切, 另一个外切.（1）求C 的圆心轨迹L 的方程; （2）已知点MF , 且P 为L 上动点, 求MP FP-的最年夜值及此时点P 的坐标．（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y , 由题设条件知化简得L的方程为22 1.4x y -=（2）解：过M, F 的直线l方程为2(y x =-, 将其代入L 的方程得解得1212x x l L T T ==故与交点为因T1在线段MF 外, T2在线段MF 内, 故11||||||2,MT FT MF -==22|||||| 2.MT FT MF -<=, 若P 不在直线MF 上, 在MFP ∆中有故||||MP FP -只在T1点取得最年夜值2. 34、（湖北理20）平面内与两定点1(,0)A a -, 2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积即是非零常数m 的点的轨迹, 加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ）求曲线C 的方程, 并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）那时1m =-, 对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞,对应的曲线为2C , 设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 撒谎个,是否存在点N, 使得△1F N 2F 的面积2||S m a =.若存在, 求tan1F N 2F 的值；若不存在, 请说明理由.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识, 同时考查推理运算的能力, 以及分类与整合和数形结合的思想.（满分14分）解：（I ）设动点为M, 其坐标为(,)x y , 那时x a ≠±, 由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==-+-即222()mx y ma x a -=≠±, 又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意, 曲线C 的方程为222.mx y ma -=当1,m <-时曲线C的方程为22221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆；那时1m =-, 曲线C的方程为222x y a +=, C是圆心在原点的圆；那时10m -<<, 曲线C 的方程为22221x y a ma +=-, C是焦点在x 轴上的椭圆；那时0m >, 曲线C的方程为22221,x y a ma -=C是焦点在x 轴上的双曲线.（II ）由（I ）知, 当m=-1时, C1的方程为222;x y a += 那时(1,0)(0,)m ∈-+∞,C2的两个焦点分别为12((F F - 对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞, C1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩由①得00||,y a <≤由②得0||y =当0,0,a m <≤≤<或102m <≤时,存在点N, 使S=|m|a2；1,,2a >即-1<m<或m >,不存在满足条件的点N,那时1150,22m ⎡⎫⎛+∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦, ① ②由100200(1),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-,可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=- 令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=,则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=-可得,从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-,于是由2||S m a =,可得2212||tan ||,tan .2m ma m a m θθ-==-即综上可得：那时m ⎫∈⎪⎪⎣⎭, 在C1上, 存在点N,使得212||,tan 2;S m a F NF ==且那时m ⎛∈ ⎝⎦, 在C1上, 存在点N,使得212||,tan 2;S m a F NF ==-且那时15((,)2m +-+∞, 在C1上, 不存在满足条件的点N.35、（湖南理21）如图7,椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为, x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长即是C1的长半轴长.（Ⅰ）求C1, C2的方程；（Ⅱ）设C2与y 轴的焦点为M, 过坐标原点O 的直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E ．（i ）证明：MD ⊥ME;（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l,使得121732S S =?请说明理由.解：（Ⅰ）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e 解得又从而故C1, C2的方程分别为.1,14222-==+x y y x（Ⅱ）（i ）由题意知, 直线l 的斜率存在, 设为k, 则直线l 的方程为kx y =.由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得12=--kx x .设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根, 于是又点M 的坐标为（0, —1）, 所以故MA ⊥MB, 即MD ⊥ME.（ii ）设直线MA 的斜率为k1, 则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -,同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是221111111111111||||1||1||222||k S MA MB k k k k k +=⋅=+⋅⋅+⋅-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或则点D的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++又直线ME的斜率为k 1-, 同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+-于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S . 因此21122114(417).64S k S k =++由题意知, 2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或又由点A 、B 的坐标可知, 21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以故满足条件的直线l 存在, 且有两条, 其方程分别为.2323x y x y -==和36、（辽宁理20）如图, 已知椭圆C1的中心在原点O, 长轴左、右端点M, N 在x 轴上, 椭圆C2的短轴为MN, 且C1, C2的离心率都为e, 直线l ⊥MN, l 与C1交于两点, 与C2交于两点, 这四点按纵坐标从年夜到小依次为A, B, C, D ．（I ）设12e =, 求BC与AD 的比值；（II ）当e 变动时, 是否存在直线l, 使得BO ∥AN, 并说明理由．解：（I ）因为C1, C2的离心率相同, 故依题意可设设直线:(||)l x t t a =<, 分别与C1, C2的方程联立, 求得((A t B t (4)分当1,,,22A Be b a y y ==时分别用暗示A, B 的纵坐标, 可知222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时, BO//AN 当且仅当BO 的斜率kBO 与AN 的斜率kAN 相等, 即解得222221.ab e t a a b e -=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e -<<<<<<又所以解得所以那时0e <≤, 不存在直线l, 使得BO//AN ；那时1e <<, 存在直线l 使得BO//AN. ………………12分37、（全国年夜纲理21）已知O 为坐标原点, F为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为的直线l 与C 交于A 、B 两点, 点P 满足0.OA OB OP ++=（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q, 证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．解：（I ）F （0, 1）, l 的方程为1y =+,代入2212y x +=并化简得2410.x --=…………2分设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y则12x x ==由题意得312312()() 1.x x x y y y =-+==-+=-所以点P 的坐标为(1).-经验证, 点P 的坐标为(1)-满足方程221,2y x +=故点P 在椭圆C 上.…………6分（II ）由(,1)2P --和题设知, (2QPQ 的垂直平分线1l 的方程为.2y x =-①设AB 的中点为M, 则1()42M , AB的垂直平分线为2l 的方程为1.24y x =+②由①、②得12,l l 的交点为1()88N - (9)分故|NP|=|NA|.又|NP|=|NQ|, |NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心, NA 为半径的圆上 38、（全国新课标理20）在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A （0, -1）, B 点在直线3y =-上, M 点满足//MB OA , MA AB MB BA =, M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点, l 为C 在点P 处的切线, 求O 点到l 距离的最小值．解：(Ⅰ)设M(x, y), 由已知得B(x, -3), A(0, -1). 所以MA =（-x, -1-y ）, MB =(0, -3-y), AB =(x, -2).再由题意可知（MA +MB ）• AB =0, 即（-x, -4-2y ）• (x, -2)=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2.(Ⅱ)设P(x 0, y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点, 因为y '=12x, 所以。

高考数学必会50道核心考点题答案

高考复习50题（含答案）一、选择题:1．函数22,0,0x xyx x≥⎧=⎨-<⎩的反函数是（ C ）A．,02,0xxyx x⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩B．2,0,0x xyx x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩C ．,02,0xxyx x⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩D．2,0,0x xyx x≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩2. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( D )(A) (∞,2)；(B) (2,∞)；(C) (∞,2)⋃(2,∞)；(D) (2,2)。

3. 函数|1|||ln--=xey x的图象大致是（ D ）4. 若a＞b＞1，P＝ba lglg⋅，Q＝21（lga＋lgb），R＝lg（2ba+），则（ B ）A.R＜P＜QB.P＜Q＜RC.Q＜P＜RD.P＜R＜Q解法答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴21（lga＋lgb）＞ba lglg⋅，即Q＞P，又∵a＞b＞1，∴abba>+2，∴21lg)2lg(=<+abba（lga＋lgb），即R＞Q，∴有P＜Q＜R，选B。

5. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6. 复数133ii+-等于（ A ） A ．i B ．i - C ．3i + D ．3i -解：131313(13)i i ii i i i ++===---+故选A7. 对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 ( D )（A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ8. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ C ）A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C 。

高中数学考试题型及答案

高中数学考试题型及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2-4x+3，那么f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 72. 下列哪个选项是不等式x^2-2x-3<0的解集？A. (-∞, -1) ∪ (3, +∞)B. (-1, 3)C. (-∞, -1) ∪ (3, +∞)D. (-∞, 3)3. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，那么圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, 2)D. (-3, -2)4. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的单调递增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 5)D. (5, +∞)5. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：B. 2C. 3D. 46. 已知等差数列的前三项分别为1，4，7，则该数列的第10项为：A. 26B. 27C. 28D. 297. 函数y=sin(x)的周期为：A. πB. 2πC. π/2D. 4π8. 直线y=2x+3与x轴的交点坐标为：A. (-3/2, 0)B. (0, -3/2)C. (3/2, 0)D. (0, 3/2)9. 已知复数z=3+4i，那么|z|的值为：A. 5B. √7C. √13D. √1710. 函数y=x^2-6x+9的图像与x轴的交点个数为：A. 0C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的极值点为______。

2. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，则该数列的公比为______。

3. 圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，其半径为______。

4. 函数y=ln(x)的定义域为______。

5. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(2, 1)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为______。

高中数学经典50题(附)47504

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。

高中数学经典试题及答案

高中数学经典试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是函数y=f(x)=x^2的反函数？A. y=√xB. y=x^2C. y=1/xD. y=x^3答案：A2. 计算下列极限：lim (x→0) [sin(x)/x]A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。

A. 1B. -1C. -5D. 5答案：C4. 一个等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A二、填空题5. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，求圆心坐标。

答案：(3,4)6. 将复数z=3+4i转换为极坐标形式。

答案：5∠arctan(4/3)7. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长度。

答案：5三、解答题8. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]答案：将方程组写成增广矩阵形式并使用高斯消元法求解，得到x=2，y=3。

9. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4在区间[1,2]上的最大值和最小值。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2（不在区间内）。

在区间端点处，f(1)=2，f(2)=0。

因此，最大值为2，最小值为0。

10. 已知等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求该数列的通项公式。

答案：设首项为a，公比为r，则有a=2，ar=6，ar^2=18。

解得r=3，因此通项公式为an=2*3^(n-1)。

高中数学考试题型及答案

高中数学考试题型及答案一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-1)的值。

A. -2B. 0C. 2D. 4答案：B解析：将x=-1代入函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，得到f(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0。

2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {2, 4}答案：B解析：集合A和集合B的交集是两个集合中共有的元素，即A∩B={2, 3}。

二、填空题3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值。

答案：11解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，将n=5，a1=3，d=2代入公式，得到a5 = 3 + (5-1)×2 = 3 + 8 = 11。

4. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，求双曲线的渐近线方程。

答案：y = ±x/2解析：双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，将a=2，b=1代入公式，得到y = ±(1/2)x。

三、解答题5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求函数的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x。

令f'(x) > 0，解得x < 0或x > 2；令f'(x) < 0，解得0 < x < 2。

因此，函数f(x)在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增，在(0, 2)上单调递减。

6. 解不等式：2x^2 - 5x + 2 < 0。

答案：首先将不等式2x^2 - 5x + 2 < 0进行因式分解，得到(2x - 1)(x - 2) < 0。