3-5一阶电路的零状态响应.

WR
0
iC2
(t
)
Rdt


U
2 s
0R
2t
e RC dt

1 2
CU
2 s
（与R的大小无关）
电容的最终储能：WC
()

1 2
CuC2
()

1 2
CU
2 s
（与R消耗的能量相等）
电源提供的总能量：Ws
WR
WC

CU
2 s
充电效率为50%。
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X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
§3-5 一阶电路的零状态响应
北京邮电大学电子工程学院 2012.1
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内容提要
一阶RC电路的零状态响应 一阶RL电路的零状态响应
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励
源产生的响应。零状态响应是储能从无到有的建立
过程——充电过程。
t 0 合上开关S uC (0) uC (0 ) uC (0 ) 0
t 0 KVL方程：
S(t 0)
us (t)

R iC (t)

C uC (t)

RiC (t) uC (t) us (t)
RC
duC dt
uC

us (t)
t 0
uC (0 ) 0
（一阶线性常系数非齐次微分方程）
X
RC
duC dt
uC

us (t)
t 0
uL (t)

t
I
s
(1


e
t

IsRe
) t

t 0
0
响应曲线
iL(t)
Is
终值（稳态值）:
uL () 0
0
t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
时间常数： L
R
uL(t)
IsR
固有频率： s R
L
0
t
RL电路的零状态响应是一个充电过程。
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
充充电电过过程程中中电的阻能消耗量的能量：
t 0时电感无初始储能：iL (0 ) 0 S(t 0)
t 0合上开关S：iL (0 ) 0 KCL方程： iR (t) iL (t) Is
Is
iR (t) iL(t)
R
L uL (t)

iR(t)
uL (t) R

L diL (t) R dt

L diL R dt

t0 0 求得：A

Us
uC (t)

t
Use RC
Us

U
s(1

e

t RC
)
U
s(1

e
t
)
t 0
iC
(t)

C
duC dt
Us R
t
e RC
Us R
t
e
t 0
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
1t
uC (t) Us (1 e )
X
（充电）过渡过程与时间常数的关系
t = 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的63.2%。 t = 4 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的98.17%。 t = 5 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的99.33%。
工程上常取 t = (3 ~ 5 ) 作为充电完毕所需时间。
时间常数影响过渡过程的快慢： 时间常数 越小，过渡过程越快； 时间常数 越大，过渡过程越慢；
y()
dt t0


t 0
X
时间常数的计算
方法一： 若已知电路的微分方程，求得特征方程的特征根s，
因此可以得到时间常数 1 s 。
方法二： 若已知函数表达式，根据 y(t) t 0.632 y() 确定时间
常数 。
方法三：
根据电路，利用公式 RC 和 L R 计算。对于复
iL

Is
t 0
Rt
iL (t) Ae L Is
t 0 , 解得：
iL

t


Is
(1
Rt
eL
)

Is
(1
t
e
)
t 0
uL (t)
L iL(t) dt

Is
Rt
Re L

Is
t
Re
t 0
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
iL t
通过分析RC电路或者RL电路的所求变量，可以
看出任何状态变量的零状态响应都可以写成：
y(t)

y()(1
1t
e
), t

0
因此，只要知道了该变量的终值（稳态值）和电 路的时间常数，就可以得到该变量在过渡过程的 变化规律。
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
对于非状态变量，由于其不满足换路定则，因此 非状态变量的初始值不一定为零，因此不能满足 该公式。可以通过状态变量的零状态响应，利用 两类约束得到。 线性时不变电路的零状态响应满足叠加性，即如 果输入激励增加K倍，则响应也增加K倍。
X
以RC电路为例，不同时间常数时的充电曲线
X
时间常数的测定
方法一：
y(t)
在 y(t)曲线上测量0.632 y() y()
所对应的时间为时间常数。 0.632 y()
方法二：
t
过 y(0) 作切线，切线与 y()交 0
点为时间常数，其中切线斜率为：
dy(t )

(
1
)
y()e
t
WR
0
iR2
(t
)
Rdt

0
I
2 s

Re
2R L
t
dt

1 2
LI
2 s
（与R的大小无关）
电感的最终储能：WL ()

1 2
LiL2 ()

1 2
LI
2 s
（与R消耗的能量相等）
电源提供的总能量：Ws
WR
WL

LI
2 s
充电效率为50%。
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
t 0
iC (t)

Us R
1t
e
t 0
响应曲线
uC(t)
Us
终值（稳态值）uC () Us , iC () 00
时间常数： RC
Us R
iC (t )
t
固有频率：s 1
RC
0
t
RC电路的零状态响应是一个充电过程。
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
充充电电过过程程中中电的阻能消耗量的能量：
解的形式为： uC uCh uCp uCh 齐次方程的通解：uCh (t)

t
Ae RC(A由初始条件决定)
uCp 非齐次方程的特解：uCp (t) B（与激励同形式）
设us (t) Us , 则特 t 解uCp (t) Us
uC (t) Ae RC Us 由初始值uC (0 ) uC (0 )
杂电路，利用戴维南定理或诺顿定理将除动态元件以 外的电路用戴维南等效电路或诺顿等效电路替代，由 此可以确定R为戴维南等效电阻或诺顿等效电阻。
X
例题 已知电路在 t 0时处于稳态，uC (0 ) 0 ，求开关S 闭合后的 uC (t)和u0 (t) ，并画出他们的变化曲线。