平行线分三角形两边成比例
平行线分三角形两边成比例
平行线分三角形两边成比例【知识要点】平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。
【重点、难点】重点：平行线分三角形两边成比例。
难点：平行线分三角形两边成比例的灵活运用。
【知识讲解】一、平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。
在使用这个性质的时候，应特别注意对应的问题。
如图中的AD与AE、DB与EC、AB与AC分别是对应线段。
对应线段成比例是指同一边上两条线段的比等于另一条边上与它们对应的线段的比。
在上图中，若DE∥BC，那么等。
另外，根据比例的性质还可得到：等。
这些根据比例性质得到的式子在今后的计算与论证中，只要DE∥BC就可直接应用。
为了大家加深对“对应”的含义的理解，掌握好对应关系，还可使用一些简单的形象化的语言，帮助自已加深记忆。
例如：在上图中，如果DE∥BC，那么：可说成是“上比下等于上比下”；可说成是“上比全等于上比全”；可说成是“下比全等于下比全”。
根据比例的性质，我们还将上述结论中的比例式化成可说成是“左比右等于左比右”；可说成是“左比右等于左(全)比右(全)”等等。
使用这些形象化的语言，不仅能够按照要求准确而迅速地写出比例式，而且也容易检查比例式写得是否正确。
二、平行于三角形一边的直线截其两边的延长线，所得的对应线段也成比例。
如图，ΔABC中，若DE∥BC交BA、CA的延长线于D、E，则。
【典型例题分析】例1、已知：如图，DE∥BC，AB＝14，AC＝18，AE＝10，求AD长。
解：∵DE∥BC∴∴。
例2、如图，ED∥BC，且AB＝5，AC＝7，AD＝2，求AE的长。
解：∵ED∥BC，∴，∴AE＝＝2.8。
例3：已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，求证：。
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°∴AB∥DE∴。
例4、在ΔAPM的边AP上任意选定点B和C，过B作BN∥AM交PM于N，过N作DN ∥CM交AP于D，求证：PA·PD＝PB·PC。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理【重点难点解析】 重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定 . 难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用 .【命题趋势分析】 利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作 图题出现，解题时要结合比例性质 .核心知识 【基础知识精讲】 本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定 .1. 平行线分线段成比例定理(1) 定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 (2) 定理的基本图形若 l 1∥l 2 ∥l 3，则3. 三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 相似三角形性质定理的预备定理 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例 ( 如图 )) ，所得的对应线段成比例2. 平行线分线段成比例推论(1) 推论：平行于三角形一边的直线截( 或两边的延长线△ABC中，若DE∥BC，则＝＝上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项典型例题例 1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于 F.求AF∶FC.例 2 如图， D 为△ABC的AC边上一点， E 为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.例 3 已知：如图，△ ABC 中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？例 4 如图，已知AD为△ ABC中∠ BAC 的平分线，求证：【课本难题解答】例 1 在△ABC（AB> AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.（如图 5.2-11）（P 255 A.18）例 2 如图 5.2-12 ，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和 E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1 步等于6尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123 步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127 步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?（如图 5.2- 13）（P 256B.17）补充一些小问题1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？3.如图，D为△ABC的AB 边上一点，过 D 点作DE∥BC，DF∥AC，4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB 于 F. 求证：- ＝5. 如图，D、F 分别是△ ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3连DF 交BC的延长线于E. 求EF∶FD.AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥AB.6.已知：如图，在□ ABCD 中， E 是AB 的中点，在 AD 上截取 AF ＝FD ，EF 交 AC 于 G.求证： ＝7. 如图，在△ ABC （AB > AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E ，使 AD ＝AE ，线段 DE 和 BC 的延长线交于点 P. 求证： BP ∶CP ＝BD ∶CE8. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，延长 AB 到点 E ，使 BE ＝2AB ，连结 EC 并延长交 AD 的延长线于点 F ，求 AF 的长.【典型例题】例 1 如图，在△ ABC 中， DE ∥BC ， EF ∥ CD.（ 1）求证： AF ：AD=AD ：AB （2）若 AF=4，FB=5，求 FD 的长 . （ 1）证明：∵ EF ∥DC ，∴ AF ： AD=AE ： AC∵ DE ∥ BC ，∴ AD ：AB=AE ：AC ∴AF ： AD=AD ： AB（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由 AD 2=AF ·AB ，∴ AD=6，FD=2.A例 2 如图， M 为 ABCD 一边 AD 的中点， BM 交 AC 于点 P ，若 AC=6cm ，求 PC 的值 .A MAD 2例 3 如图，若 DE ∥ AB ，FD ∥BC ， = ，AB=9cm ，BC=6cm ，求 BEDF 的周长 .AC 3例 4 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的角平分线交 AC 于 D 。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理讲义
二、平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理是研究相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比
例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例.
1.平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
如图1-1
图1-1
若，则，(或；或)
定理的证明“对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论
之一：
(1)简称“上比下”等于“上比下”
(2)简称“上比全”等于“上比全”
(3)简称“下比全”等于“下比全”
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论.
2.平行于三角形一边的直线的判定和性质(“A”、“X”型)
主要的基本图形：
1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP
交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.
点评：此题利用平行线分线段成比例定理，结合中点定义找出线段的比值，进而求出线段的长.
2．(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.
求证：EF：FD=CA：CB.
图2-2又AD=BE
∴.
证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.
证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理引言在平面几何中，平行线分线段成比例定理是指当两条平行线与一条横截线相交时，它们所截取的线段之间的比例保持不变。
这个定理在很多几何证明和应用中都有重要的地位。
本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明以及应用，以及一些相关的例题。
定理描述设有两条平行线l1和l2，横截线AB与l1和l2相交于点C和D，若线段AC与线段DB所截取的部分成比例，即：AC/DB = AE/EB其中，E为AB的任意一点。
示意图示意图证明为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以利用相似三角形的性质。
由于线段AC与线段DB所截取的部分成比例，可设AC = k • AE，DB = k • EB。
考虑△ACD和△EBD，根据平行线的定义，我们知道∠ACD = ∠EBD（对顶角）。
又因为∠CDA = ∠EDB（平行线与横截线交角），所以△ACD与△EBD相似。
根据相似三角形的性质，我们知道线段AC与线段DB的比例等于其余对应边的比例，即：AC/DB = AD/DE。
而根据比例的传递性，AD/DE = AE/EB。
综上所述，我们可以得到AC/DB = AE/EB，即平行线分线段成比例定理成立。
应用平行线分线段成比例定理在实际问题中有很多应用，以下是其中一些常见的应用场景：1. 三角形分线段在三角形中，如果有一条平行线与两边相交，根据平行线分线段成比例定理，我们可以利用已知的线段长度，求解未知的线段长度。
这在解题中经常用到。
2. 相似三角形在相似三角形中，如果有两条平行线各自与两个相似三角形的对应边相交，并且已知其中一个对应边的长度，根据平行线分线段成比例定理，我们可以求解另一个对应边的长度。
这对于解决相似三角形问题非常有用。
3. 求解比例问题平行线分线段成比例定理可以作为解决比例问题的一种工具。
当我们遇到线段的比例问题时，可以利用此定理来寻找线段之间的比例关系，从而求解未知线段的长度。
例题现给出一个例题来进一步理解平行线分线段成比例定理的应用：例题：在△ABC中，AD是BC的平分线，E是AB上的一点，DE与AC延长线交于F，若AB = 12cm，BC = 8cm，AD = 6cm，求EF的长度。
平行线分线段成比例的推论
平行线分线段成比例的推论在平面几何中，平行线分线段成比例是一个非常重要的定理。
它是由欧几里得在《几何原本》中提出的。
这个定理可以用来计算两个平行线之间的距离，也可以用来求解平面三角形的各种问题。
在这篇文章中，我们将详细介绍平行线分线段成比例的推论。
首先，让我们回顾一下平行线分线段成比例的基本定理。
如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，那么这三条线上的线段所构成的比例相等，即：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$其中，AB、BC分别是线段AC上的两个部分，DE、EF分别是线段DF上的两个部分。
那么，平行线分线段成比例的推论是什么呢？其实，它就是基本定理的一个推广。
具体来说，如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，并且在L上分别有三个点A、B、C和D、E、F，使得：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$那么，我们就可以得到以下推论：1. 如果在L上任取一点P，则AP、BP、CP和DP、EP、FP 所构成的比例相等。
证明：由于L1和L2是平行线，所以它们与L上任意一条直线所交的角度相等。
因此，我们可以得到以下等式：$%frac{AP}{PD}=%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}=%frac{D F}{FC}=%frac{DP}{PC}$因此，AP、BP、CP和DP、EP、FP所构成的比例相等。
2. 如果在L上任取一点P，则以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF的面积之比等于AB与DE之比。
证明：设S1和S2分别为三角形ABC和三角形DEF的面积，则有：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}ABÍotAC}{%frac{1}{2}DEÍot DF}=%frac{ABÍot AC}{DEÍot DF}$因为AB/BC=DE/EF，所以我们可以得到：$AB=%frac{BCÍot DE}{EF+DE}$将其代入上式中得：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}Íot%frac{BCÍotDE}{EF+DE}Íot AC}{%frac{1}{2}Íot DEÍot DF}=%frac{BCÍot AC}{EFÍot DF}=%frac{AB}{DE}$因此，以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF 的面积之比等于AB与DE之比。
平行线分线段成比例定理及推论的应用
定理及推论的基本图形
图形1 图形2 图形3 图形4
两个基本数学模型
A
D
E
D
E
O
B
C
F
C
A型
X型
基本图形演示
A
D
E
B
C
D
E
O
F
C
1、 直接利用基本图形解决问题
平行线分线段成比例 定理及推论的应用
阳原县三马坊中心学校 王振华
名人名言
感觉到数学的美，感觉到数与形的协调， 这是所有真正的数学家、 都清楚的、 真实的美的感受。
——庞加莱
知识回顾
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段成比例
课后思考题
已知: 平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F 是AD上的一点,且AF∶FD=1∶2, G为FE 与AC的交点,求AG∶AC的值.
D
FG
A
E
C B
同学们再见
吗？
答案 Ａ型（1）FC∶FB=FE∶FA=EC∶AB
（2）FC∶CB =FE∶EA
B型FE∶EA =CE∶ED =CF∶DA
Ｄ Ｅ
ＣＦ
FE∶EA
课堂检测
二： 中考链接
1 如图 E是平行四边形ABCD的边CD上 Ａ
的一点，CD=3CE，AD=12，那么CF
的长为___6___
Ｂ
2 如图，在△ABC中，DE∥BC EF∥CD 若AF=4 AB=9 则AD=___6___
3.平行线分三角形两边成比例
5. 如图，已知AB//CD//EF, AD：AF = 3：5，BE = 12，那么 CE 的长为（
）
A. 2
������. 4
������.
24 5
������.
36 5
相似形
☞ 考点二：平行线分线段成比例的基本事实的推论
6. 如图，在△ABC 中，DE//BC，且AD = 2，DB = 4，则 ������������������������的值为（ ）
F
B C
E G
D
C
(第 1 题图)
(第 2 题图)
(第 3 题图)
4. 如图，已知在△ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DE//BC, EF//AB,且
AD:DB=4：7，那么 CF:CB 等于（
）
A. 7: 1 1
������. 4: 8
������. 4: 7
������. 3: 7
A
A
D
E
C
(第 6 题图)
B
C
(第 7 题图)
C
(第 8 题图)
8. 如图，在△ABC 中，DE//BC，DE 与 AB 相交于点 D，与边 AC 相交于点 E，如果 AD = 3，BD = 4，AE = 2，那么 AC =
9. 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在 AB、BC 上，DE//AC，若 BD = 4，DA = 2，BC = 92，
1
1
2
A. 2
������. 2
������. 3
������. 3
������������ 1
7. 如图，已知DE//BC，BD 与 CE相交于点A， = ，若AE = 5，则EC的长为（
成比例线段与比例的基本性质
例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？ （2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？
即时训练1
已知如图：在△ABC中，DE∥BC,分别交AB,AC的 延长线于D，E.且AB=15,AC=9,BD=4,求AE
几何语言：
在△ABC中，
∵DE∥BC ∴ AD AE DE
AB AC BC
三边对应成比例！简记： 上 上 上底
全 全 下底
即时练习2
已知AB,CD为梯形ABCD的两底，对角线AC,BD的 交点为O ,且CD=4，AB=12，求OB,OD.
即时练习3
如图△ABC中， DE∥BC，中线AM交DE于N. 求证：DN=EN
再连接CF )
解题视频
【拓展教材】
例题2.如图， D E∥BC,分别交AB,AC于点D、E. 求证： AD AE DE
AB AC BC
证明：过点D做DF∥AC交BC于F
∵DE∥BC，DF∥AC
∴ AD
，
AB
∵DE=
，
∴ AD AE DE AB AC BC
AD
=
AB
过某点做平行线是最 常用的辅助线哦！
定理2：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的 直线，所截得的三角形三边与原三角形的三边对应 成比例。
A
C
D
EFΒιβλιοθήκη 2 .已知如图， L1∥L2 ∥L3，AB=3，DE=2，DF=10，
则BC= .
【解读教材】
3.请观察下列图形， L1∥L2 ∥L3， L4与L5是它们的 截线，你能写出哪些成比例线段？
平行线分三角形两边成比例
下来饮茶の心思,找了个机会便向鞠言告辞.鞠言,也让仆从送闫超离开自身の府邸.常幻并未现在就离开,他在壹旁,目光灼灼の看着鞠言.闫超对鞠言所说の话不太信任,但常幻却不同.鞠言说壹颗完美品质万寿丹,能让修行者增寿三百年,他并不怀疑.虽然他也没听说过万寿丹,但是早在炼 丹大典上,鞠言就炼制过龙虎丹,壹种丹方早就失传の丹药.当事鞠言就能炼制龙虎丹,那现在炼制壹种他没听说过の丹药,又有哪个好奇怪の?再者说,他自身毕竟不是丹师,对丹道了解不多.他没听过の丹药,那也多得去了,尤其是丹方失传の丹药不知凡几,他又知道其中の多少?“鞠言殿主, 那个万寿丹……”常幻脸上布满期待の表情.“大总管,呐万寿丹,需要核心材料万年梅花露.”鞠言当着常幻の面,将万寿丹交给闫超,并且还说了万寿丹の功效,心中自是早有打算.“万年梅花露很稀有,确实不太好找.”常幻点了点头.他说不太好找,但并未说找不到.像常幻呐种身份の修 行者,如果铁了心想要找壹种材料の话,那找到の机会确实还是很大の,即便是非常稀有の材料也是同样.“大总管,呐里有壹颗完美品质の万寿丹,俺送给你吧.”鞠言拿出壹个玉瓶递给常幻.常幻眸子微微壹动.他想要万寿丹,但并没想着要鞠言白送.万寿丹若是能增收三百年,那其价值可想 而知.他心中の想法是,弄到材料,找鞠言帮忙炼制万寿丹.所以当鞠言将壹颗万寿丹推送到面前,他有些意外.“大总管,你可不要推辞.呐壹段事间,你帮了俺很多,呐颗丹药就当是俺感谢你の.”鞠言微笑说道.鞠言呐么做,自然是为了拉拢人心.总叫别人帮忙做事,却不给别人好处,那就算再 亲密の关系,事间长了也会变得淡薄.只要常幻收下呐颗丹药,那两人の关系,将会自然の更进壹步.常幻只是稍微犹豫,就接过了玉瓶.“鞠言殿主,那俺就不与你客气了！”常幻脸色略红道,“以后有哪个要俺帮忙,你只管说,千万别客气.”“大总管,
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．例1、如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A例2、如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEED C B A例3、如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
练习1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA2、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AD 2=AB •AF,求证∠1=∠23、如图 已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.DOECB AABC DEF124、如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，090=∠C ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在边ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ上，且四边形ＥＦＣＧ是矩形，若ＡＣ＝３cm ，ＢＣ＝４cm ，ＣＧ＝１cm ，求ＡＥ、ＢＦ、ＣＦ的值．5、已知：如图，AB AD AE ⋅=2，ＤＦ∥ＥＣ．求证：ＥＦ∥ＢＣ．6、已知：如图，∠１＝∠２，且ＡＭ／ＢＭ＝ＡＮ／ＮＣ，ＡＭ＝４ｃｍ，ＡＮ＝３ｃｍ，ＡＣ＝５ｃｍ，求ＭＮ的长7、已知：如图，点Ｍ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的延长线上的任意一点，ＤＭ分别交ＢＣ、ＡＣ于点Ｎ、Ｐ，求证： DC/AM =CN/AD8、已知：如图，点Ｍ为平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的中点，点Ｎ在ＢＣ上，且BN/CN=1/3，ＭＮ交ＢＤ于点Ｅ．求ＢＥ：ＥＤ的值．9、如图，点Ｆ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＤＣ的延长线上一点，ＡＦ交ＢＣ于点Ｅ，ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＤ＝７ｃｍ，ＢＥ＝４ｃｍ．求ＣＦ的长．10、如图，ＡＤ∥ＥＦ∥ＢＣ，ＡＥ∶ＥＢ＝１∶２，若ＡＤ＝３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，求ＥＦ的长11、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ在ＡＢ上ＡＥ∶ＥＢ＝１∶３．ＤＥ交ＡＣ于点Ｆ．求ＡＦ∶ＦＯ∶ＯＣ的值12、已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＭＮ∥ＢＣ，四边形ＭＮＰＱ是平行四边形，ＢＱ，ＣＰ的延长线相交于点Ｄ．求证：ＡＤ∥ＮＰ．13、设点Ｐ是△ＡＢＣ的中线ＡＤ上一点，过Ｐ作ＡＢ，ＡＣ的平行线ＥＰ，ＦＰ分别交ＢＣ于点Ｅ、Ｆ．求证：ＢＥ＝ＣＦ．。
专题5 平行线分线段成比例及三角形相似(老师版)
专题5平行线分线段成比例及三角形相似题型知识归纳利用平行线分线段的性质求解线段的长度，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是本节知识的核心。
平行线分线段成比例一般在选择题与填空题中常考，三角形的相似在解答题中经常会出现在类比探究题型中。
本专题主要对平行线分线段成比例及三角形相似题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理一、平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
知识点梳理二、相似多边形的性质与判定相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．常考题型专练一、选择题1.如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）A.EG=4GCB.EG=3GCC.EG=52GC D.EG=2GC【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31 EG DFGC FB＝＝=3．故选B．【总结】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB 的值为（）A．4：3B．4：7C．3：4D．3：7【答案】B【分析】由DE∥BC，可得AD AEDB EC=，再结合EF∥AB可求得CF：CB=CE：CA，可求得CF：CB．【详解】解：∵DE∥BC，∴AD AEDB EC==3：4，∴CE：CA=4：7，∴CF ：CB =CE ：CA =4：7，故选：B．【总结】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键．3．如图，AD BE FC ∥∥，直线1l 、2l 分别与三条平行线交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若3AB =，5BC =，12DF =，则EF 的长为（）A．4.5B．6C．7.5D．8【答案】C 【分析】首先根据3AB =，5BC =，求出8AC =，然后根据平行线分线段成比例求解即可．【详解】解：∵3AB =，5BC =，∴8AC AB BC =+=，∵AD BE FC ∥∥，∴AC DF BC EF =，代入得：8125EF =，解得：7.5EF =．故选：C．【总结】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例．4.△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠A=30°，△ABC ∽△A′B′C ′，则∠C′=（）A.30°B.60°C.50°D.75°【答案】D【分析】利用相似三角形的对应角相等即可得到答案．【详解】∵△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，∠A =30°，∴∠C =（180°﹣∠A ）÷2=75°．∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠C ′=∠C =75°．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及相似三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得等腰三角形底角的度数．5．若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1【答案】A【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．【解答】解：相似多边形的相似比是1：2，面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4；故选：A．【总结】本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．6.如图，如果AD AEAB AC=成立，下列结论中不正确的是()A.AB ACAD AE= B.AD AEDB EC=C.AD ECAE BD= D.AD ABAE AC=【答案】C【分析】根据题意可得：△ADE∽△ABC，DE∥BC，即可判定各选项是否正确。
平行线分三角形两边成比例(北京课改版)课件
提供一个有关三角形相似性的应用题，让学生应用相关知识解答。
3 练习题 3
给出一个综合问题，涉及平行线、比例和相似三角形的计算。
常见误解和错误
误解 1
解释学生在应用定理时常见的误解和错误。
误解 2
列举更多学生可能会遇到的困惑和错误，并提供解 决方法。
总结与进一步学习
1
总结
简要总结平行线分割三角形的定理和应用。
平行线的定理
平行线分三角形的两边成比例
介绍平行线分割三角形的定理陈述和意义。
三角形对应线段成比例的条件
讨论三角形两边成比例的条件，以及如何应用此定理。
证明过程
详细解释平行线分割三角形的定理的证明过程。
平行线的推论
1 三角形的相似性
解释平行线分割三角形所导致的三角形相似性。
2 相似三角形的性质
探讨相似三角形的性质和应用。
3 基于平行线的相似三角形问题
通过平行线分割的三角形，解决实际问题中的相似三角形计算。
例题1 ：使用平行线计算边长
问题描述
给定一个三角形和平行线，计算其 中一条边的长度。
解决方法
展示使用尺子或测量带进行长度计 算的步骤。
解题过程
详细说明计算边长的步骤和公式。
例题2 ：使用平行线计算两条边的比例
1
详细解释证明三角形相似的 步骤和原理。
应用：实际建筑和工程中的应用
建筑工地
展示平行线在建筑工程中的应用示 例。
Байду номын сангаас建筑图纸
解释如何使用平行线在建筑图纸中 进行尺寸和比例绘制。
桥梁设计
介绍平行线在桥梁设计中的应用和 重要性。
练习题 1-3
八年级第九讲平行线分线段成比例定理
若，则，(或；或) 图1-1 定理的证明定理的证明过A 点作AN ∥DF ，交l 2于M ，交l 3于N 点，连接点，连接 BN 、CM(如图(1-2) 图1-2 ∵∴AM=DE MN=EF 在△ACN 中，有. ∵BM ∥CN ∴S △BCM =S △BMN∴ 亦即亦即如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢？呢？ “对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论之一：名师堂八年级数学第九讲 平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是研究平行线分线段成比例定理是研究相似三角形相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例. 1.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条三条平行线截两条直线直线所得的对应线段成比例. 如图1-1(1) 简称“上比下”等于“上比下”(2) 简称“上比全”等于“上比全”. (3) 简称“下比全”等于“下比全”把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论. 2.平行于三角形一边的平行于三角形一边的直线直线的判定和性质(“A”、“X”型) 主要的基本图形：主要的基本图形：(图1) 平行线分线段成比例分线段成比例 (图2) 图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例(可看作性质1).及其及其逆定理逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定). 以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2). 对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的点是两相交直线的交点交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，(共5点)，其中作比的三点在一条直线上(AD ：AB=AE ：AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得. 注意点：(1)平行线分线段成比例没有逆定理(2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的被判断的 平行线本身不能参与作比例) (3)有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ：FE=BG ：GC (4)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关 平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 典型例题典型例题例1．如图2-1 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值例2．(如图2-2)图2-3 已知已知直线直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE. 求证：EF ：FD=CA ：CB. 图2-2 证法(二) 过E 作EP ∥BA 交CA 的延长线于P 是解决此问题的第二种辅助线作法. 证法(三) 过D 作DN ∥BC 交AB 于N 也可解决此问题. 例3．AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点. 求证：DE ∥BC. 分析：如图2-3 练习1．选择题：．选择题：(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( ) A．B．C．DA．2 B．3C．DA．B．C．D．(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC ，，则等于( ) A．B．C．D．．(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( ) ．(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列，则下列比例比例式成立的是( ) (5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( ) A．B．C．DA．B．C．D的面积的，求EC的长. ．(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列，则下列比例比例式中不正确的是( ) ．2．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE的长. 3．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC4．如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？能力提升例1 已知：如图5-195-19，，AD 为△ABC 的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．例2 求证：求证：等腰三角形等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．即图5-20中，中，AB=AC AB=AC AB=AC，，P 为底边BC 上任意一点，PR⊥AB 于点R ，PQ⊥AC 于点Q ，BH 为腰上的高．求证：证：PQ+PR=BH PQ+PR=BH PQ+PR=BH．．分析一 参阅例3的分析一．的分析一．分析二 如图5-225-22，△ACP ，△ACP 和△DCQ 应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，个三角形中，AC=DC AC=DC AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A ，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A CD CD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而例3 已知：如图5-215-21，△ABC ，△ABC 中，∠A 为直角．以AB AB，，AC 分别为边向外侧作分别为边向外侧作正方形正方形ABDE ABDE，，ACFG ACFG，线，线段CD CD，，BF 分别与AB AB，，AC 相交于点X ，Y ．求证：．求证：AX=AY AX=AY AX=AY．．分析一 如图5-215-21（（a ），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段比例线段，在这些成比例的线段中，除AX AX，，AY 外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY 应该能用应该能用平行线平行线分线段成比例定理得到证明．到证明．分析二 如图5-215-21（（b ），连结线段EX EX，，GY GY，得到△CEX ，得到△CEX 和△BGY．这两个三角形的边CE=BG CE=BG，又，又AX 实际等于AY AY，所以△CEX ，所以△CEX 和△BGY 应该有相等的应该有相等的面积面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD AD，，AF AF，，那么S △ACD =S △CEX ，S △BAF =S △BGY ，所以只需证明S △ACD =S △BAF ．但这．但这很简单很简单了．了．例4 已知：如图5-225-22，，C 为线段AB 上任意一点，以AC AC，，BC 分别为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE，线段AE AE，，CD 相交于点P ，线段BD BD，，CE 相交于点Q ．求证：．求证：CP=CQ CP=CQ CP=CQ．．。
平行线分三角形两边成比例定理
平行线分三角形两边成比例定理哎，今天咱们聊聊一个数学上的小秘密，叫做平行线分三角形两边成比例定理。
听到这个名字，很多人可能会觉得有点拗口，嘿，其实它背后藏着不少有趣的故事呢！想象一下，咱们在一片草地上，阳光明媚，风和日丽，忽然有一条平行线像个调皮的小孩，跟三角形的两边打了个招呼。
哎，结果这一招呼就引发了一场精彩的“数学舞会”。
你看啊，平行线在这里就像是那位永远跟着你的小伙伴，它可不会随便跟人家走。
它在三角形的两边间划了一道线，把这个三角形的气氛搞得特别和谐。
你要问为什么，嘿，秘密在于它能把这两边的比例分得刚刚好，就像做蛋糕时，糖和面粉的比例得掌握得当，才能烤出美味的蛋糕来。
想象一下，三角形的一个顶点站在高高的山上，另一边则是在草地上玩耍。
平行线就像一根隐形的绳子，把这两边给绑在了一起。
这时候，咱们可以说，三角形的这两条边就被平行线给分成了两部分，分别是A和B，C和D。
神奇的是，不管这三角形有多大，只要这条平行线不动，比例永远是固定的，就像老话说的，根深叶茂，天长地久。
有人可能会问，这有什么用呢？嘿，告诉你，这可真是个大宝藏！在现实生活中，咱们遇到的很多事情都可以用这个道理来解释。
比如，咱们在建筑的时候，想要保证房子的对称美感，或者在画画的时候，想要把构图分得漂亮，这个定理就能派上用场。
没准你在画一幅风景画，突然就发现那条平行线把整个画面都分得恰到好处，让你忍不住感叹：“这画真是画得太妙了！”再说说这定理的一个小故事吧，咱们学校的数学老师，简直就是个讲故事的高手。
每次上课，他都会把平行线比作一条美丽的河流，两岸的树木各自生长，互相呼应，形成了绝妙的风景。
这一比喻让学生们都忍不住点头，心想：“哎，原来数学也可以这么有趣！”这个定理也教会了我们一个重要的道理，那就是保持平衡。
在生活中，很多时候我们都需要找到一种平衡。
就像咱们每天的生活，工作、学习、娱乐，都得有个度，不能让某一方面过于突出。
平行线就是在提醒我们，保持各方面的协调，生活才能更加美好。
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n
A
D
E
B
C
AD AE DB EC
议一议：
(4)如果DE∥BC, 则有
AD AE
DB EC
B
利用比例性质还可以得到哪些比例式成立呢?为什么?
A
D
E
C
结论:
AB AC
AD AE ……
DB EC AB AC
平行线分三角形两边成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边,所得的对应线段成比例.
时(n是正整数),
AD n 1 并说明理由.
过点D作DF∥BE交AC于点F ∵ D是BC中点 ∴ 点F是EC中点
AE 1 AC 2n1
A E
O F
∵ AO 1 AD n 1
B D
C
∴
AO AE 1∴ OD EF n
AE 1 ∴ EC 2n
AE 1 AC 2n1
1.分解图形:
课堂小结：
A
D B
谢谢观赏！
2020/11/26
22
太原租车 太原租车 jzh74kbe
租车者长假出游如果路途遥远，可以考虑寻找一名专业的司机来驾驶，这样可以避免因为路况不 熟而引发的寻路难、停车难等种种不便，全心享受自己的旅程。 租车一定要选择正规的租车公司，选择租车行业乱象丛生，有的不法商家打着不可思议的低价优 惠幌子，引诱顾客，由于选择租车公司不正当而导致的纠纷也不在少数。一般正规的租车公司都 是经过成本核算，在整个租车市场内价格都比较合理。另外在选择租车公司的时候一定要检查租 车公司的相关证件是否齐全。
里一点点塞出去，顺着一路丢完了。车子到府，宝音自己进去，明柯在车里翻了个身，小僮是乖 觉的，钻进车子问：“爷，啥事？”明柯捧着头，满口酒气：“抹些镇痛的麻药在我腿上，回头 挨棒子，吃得住些。”“是！”小僮道，“爷这酒气，也要洗洗？”“哪有时间洗？怕棒子不夹 脚就来了！”明柯叹道，“青姑娘准备好金疮药了罢？”“都好了。”小僮问，“要烧醒酒汤么？ 爷是真醉了？”“醉了！”明柯道，“睡了半路上才醒过来，你可曾听我说些不该说的 话？”“小的在后头，纵爷说话，也听不着什么。”小僮答道，“不过据小的听来，六姑娘与爷 在里头，都一句话没说呢！”明柯这才松口气：“我为这丫头，也算尽了心。她怨怅我也就算了， 这苦心，我原不能说出口，若漏出机密，把我真正大事耽误，我可就太不值了！”正说着，府里 果然一阵喧哗起来，明柯叹道：“这就要挨打了。”宝音一进府，果然就被揪问，老太太大是伤 心，恨铁不成钢，罚她去跪祠堂。明柯更惨，二老爷揪着打，打到后半夜，才准放回去救冶。青 翘瞅着明柯那两条腿，眼泪滚滚的下来，怕落在他伤上腌着他，别头，让泪掉在一边。明柯道： “喂喂，湿了我的被褥，今晚我跟你挤去？”青翘啐道：“贫嘴！你——你过两天起不起得来 呢？”明柯攥住她的手：“我起不来，你不会来找我？”手上加力，青翘夺不过，跌到他身边， 用肘撑住了，没压在他身上：“放开！作死啦？”“放心，”明柯在她耳边极低道，“我买过我 爹身边用刑的人了，看我表皮上血肉吓人些，里头都是好的，要不是为了装样，我现在都能蹦起
A
(1)当
时, AO ; 1
AE 1
(2)当
AD 2
时AA, CEAADO;213n11
AC 3 AE 1 AC 5
B
(3)当
时, AO ; 1
AE 1
D
AD
请根据上述结论,猜想当
4
AC 7 AO 1
时(n是正整数), 的一般性结论,并说明理由.
AD n 1
AE
AC
E O
C
AO 1 当
例.已知:如图,在△ABC中,
DE∥BC,EF∥AB.
试问:
成立吗?
AB AC BC
A AD AE ADE
等线代换
D
E
E
A
D
E
B
C
B
F
C
B
F
C
AB AC AD AE
AC BC AB AC BC AE BF AD AE DE
练习: 判断下列比例式是否正确?
DE∥BC,EF∥AB.
(1) AD DE ×
平行线分三角形两边成比例
2020/11/26 1
(1)在△ABC中
A
D为AB中点
∵
D
DE∥ BC B
AE=EC
∴
AD (2)在梯形ABCD中, AD∥BC
AE
1
DB EC E为AB中点
∵
A
E EF∥AD∥BC
E C
D F
DF=FC
∴
B
C
议一议：
如图,DE∥BC
(1)如果 那么
, AD 1
为什么?
DB 2
AE __1___, EC 2
AD AE DB EC
A
D
E
M
NBC来自议一议：如图,DE∥BC
(2)如果
, AD 2
B
是否也有
DB 5 呢?为什么?
AD AE DB EC
A
D
E
C
议一议：
如图,DE∥BC
AD m (3)如果
(m与n是没有公约数
的正整数),那么
是否还
DB 成立呢?为什么?
E
C
B
A
A
E
D
E
F
C
B
F
C
2.证比例式的常见方法:
(1)等比代换:
AD AE DB EC
AE BF EC FC
(2)等线代换:
AD BF DB FC
租车小窍门在提车时需仔细检查车况，发现问题均要写明，以防还车时引起不必要的麻烦。 租车基本费用包含租车费、保险费两项，另根据实际情况，会产生超时费、超公里费、设备(GPS 等)租赁费等。租车前应仔细辨别，避免隐性收费。
A
D
E
B
C
思 考：
推论:
平行于三角形一边 的直线截其他两边 的延长线,所得的 对应线段成比例.
E
D
A
B
C
例.已知:如图,在△ABC中, DE∥BC,AD=4,DB=3
(1)若AE=6,求EC; (2)若AE=8,求AC; (3)若AC=10,求AE,EC.
4
D 3 B
A
x
E 10－x
C
课堂小结： 1.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
2. 基本图形:
A
E
D
E
B
C
D
A
B
C
平行线分三角形两边成比例 (二）
基本图形:
A
E
D
E
B
C
D
A
B
C
例.已知:如图,在△ABC中,
DE∥BC,EF∥AB.
试问:
成立吗?为什么?
AD BF A DB FC A
等比代换
D
E
E
B
C
B
F
C
AD AE DB EC
AE BF EC FC
A
D
E
B
F
C
AD BF DB FC
DB BC
(2)
AE BF √
EC FC
(3)
EF DE ×
AB BC
A
D
E
B
F
C
练习: DE∥BC,EF∥AB.
若BF=2,FC=3,AB=7, 求EF的值?
A
7
D
E
?
B
2F
3
C
议一议: 如图,AD是△ABC的中线,E是AC上任一点,BE交AD于点O,数学小组的同学在研究这一图形时,得到如下结论: