大学物理 动量与角动量

-S O x -S 体系质心坐标：
M x S mS X2 M m
m R M 移动的距离 S M m
22
二、质心参考系（质心系）
质心静止的平动参考系称为质心系。通常总是 选质心为坐标原点。
mi
在质心参考系中：
m i ri 0
i 1 N
mi vi 0
2、在质心系中观察
质心系是零动量系。 碰前二者速度共线反向：
m1v1 m2v 2
C
m2 v 2 m1v1
碰后二者相对静止： C
26
§3.5 角动量守恒定律
The Law of Conservation of Angular Momentum
Kepler second law：行星对太阳的径矢， 在相等的时间内扫过相等的面积． dr 掠面速度(areal velocity):
第三章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
本章 质点的动量定理 质点系的动量定理 动量守恒定律 质点对固定点的角动量 质点的角动量定理 角动量守恒定律
1
v
wind force
水 F阻
龙骨
F
F横
F纵
m
v1
p1
p2 p
ri
o 惯性系
rj
f ij f ji mj
fj
2、过程中包括的质点不变
7
§3.2 质点系的动量定理
对第 i 质点： Fi dt dpi Fi ,ext dt Fi ,int dt dpi
求和： Fi ,ext dt Fi ,int dt d pi i i i
v1
m1
v2
m2
24
1、在惯性系中观察
碰撞前质心速度： m1v1 m1v2 vc m1 m2
0
v v1
m1
碰撞后
r1
vC
C
v2
m2 碰撞前
r2
无外力，质心速度不变。碰撞后二者共同速度 就是质心速度：
m1v1 m1v2 v vc m1 m2
25
rd m m
N drc mi vi m 2、质心的速度 v dt i 1 3、质心的动量 Pc mvc mi vi pi P
C
N N i 1 i 1
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
M r F
Or
定义：

F
M r F
r
力 F 对O点的力矩

大小： Fr M
SI 单位： Nm
方向：right-hand rule
31
3.质点的角动量定理
Lrp dL dr dp pr r F dt dt dt dL M dt
0
mvL
大小：mv0 p
方向：竖直向下
5
例3-2 力 F 12t 2i (SI) 作用在质量 m=1kg的 物体上，使之从静止开始运动，则物 体在2秒末的动量为。
解：由动量定理，有

t2
t1
Fdt p2 p1 p2
0
2 2 p2 i 12t dt 32i kgm/s
1 dS 2 r dr dt dt 1 1 r v rp 2 2m
r
【演示实验06】角动量
27
1.质点对固定点O的角动量
Lr p
r
p
定义： L r p
质点对 O点的 角动量 质点对 O点的 径矢
L
Or
对某一点 的合力矩 对同一点的角动量 对时间的变化率
32
4.质点的角动量守恒定律
典型情形： 质点在有心力场 [ F F (r )r ] 中 运动．
[思考] ①卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星 的动量、角动量是否守恒? ②卫星变轨后，角动量是否一定改变? 【演示实验06】角动量守恒
33
对一质点， 若 M 0 则 L const.
1
e.g. t
t2
Fdt
例3-1 质量为m的物体 ,以初速 v 从地面抛出 , 0
抛射角为30,则从抛出到刚要落地的过 程 中 , p ；p 的 方 向 为 。
解：
m v0
30 30
) 内， [思考] 在 0 t (运动中任意时刻 p ? v gt v(t ) v(t ) v0 gt
质点系的质心，是一个以质量为权重取平 均的特殊点。
1、质心的位置
rc m i ri
i 1 N N
质点系
mi
mi
i 1

m i ri
i 1
N
ri
c质心
m
o
rc
17
【思考】写出上式的分量形式。
对连续分布的物质，分成N 个小质元计算
N rc lim ri mi m N i 1
[思考] ①用平均力的冲量求解？ ②用牛顿第二定律求解？
6
§3.2 质点系的动量定理
Theorem of Momentum for a System
质点系
由N个相互作用的质点构成
fi
mi
i、j 是其中任意两个质点
1、内力和外力
内力： f ij f ji 外力：f i , f j
②质点作圆周运动 对圆心：
O
d
r
mv
mv
R
O
大小：mvR L 方向：
⊙
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【空间形象】
圆周运动的质点关于圆心O的角动量 L L r p v 2 L= rp = mr v = mr ω SI：kg•m2/s , 或 J• s O
r
m
30
2.力对固定点O 的力矩
10
将 例3-4 质量为M 的船静止. 现以水平速度 v 0 一质量为 m 的砂袋抛到船上，此后两 者一起运动。设阻力大小与速率成正 比，比例系数为 k ，试求：船从开始 运动到停止所走过的距离。
解： 船－砂袋系统：p水平=const.
有
mv0=(m+M)v
mv0 v m M
11
F横
帆
v2
2
——显示动量定理的矢量性
§3.1 质点的动量定理 Theorem of Momentum for a Particle ——牛顿第二定律对时间的积分 1.力的冲量 (impulse)
Fdt —— d t内的冲量 (SI单位：Ns) t2 I F (t )dt
t1
—— t1~t2内的冲量
3
2.质点的动量定理
dp 牛顿第二定律： F d t ——动量定理(微分形式) Fdt dp


t2
t1
Fdt p2 p1
t2
——动量定理(积分形式)
Fx dt p2 x p1x
Notes: ①分量式成立：
t1 p p 2 1 ②平均力的计算：F 4 t2 t t2 t1 1


质点的 动量
大小： prsinθ pr L
SI单位： kgm2/s or Js
L 又称动量矩(moment of momentum)
方向：right-hand rule
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典型情形： ①质点作直线运动
O 对O点： L 0 大小： mvd 对O点：L 方向：
【演示实验】质心运动（杠杆）、锥体上滚 【例】已知1/4 圆 M，m 由静止下滑，求 t1→t2 过 程 M 移动的距离 S . 解：选（M+m）为体系 水平方向合外力=0， 水平方向质心静止。
t1 R
m
M
O
21
t2
光滑
x
t1时刻： t1 M x
m
t2时刻：
M移动距离
t2 -R
M
m
O 体系质心坐标： Mx mR X1 M m 质心静止 X 1 X 2
dM (v u) M v Mdv vdM
14
d M dv u , M 火箭增加的速度：
vf M f dM vi dv uMi M
M vf vi u ln M i f
提高速度的途径： 1、提高气体喷射速度u（受限制）； 2、增大Mi /Mf （受限制），采用多级（通常为 三级）火箭，终速度为
13
v
u
dm
v dv
t 时刻
dm 百度文库dM
M
(t dt ) 时刻
M dM
u — dm 相对火箭体喷射速度，定值
过程：tt+dt ， 质点系：(M+dM , dm)
保证质 点不变
设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：
Mv = dm(v + dv u) + ( M + dM )(v + dv)
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质心运动定理描述了物体质心的运动。体 系的内力不影响质心的运动。
【演示实验】质心运动（杠杆）、锥体上滚 【例】已知1/4 圆 M，m 由静止下滑，求 t1→t2 过 程 M 移动的距离 S . 解：选（M+m）为体系 水平方向合外力=0， 水平方向质心静止。
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质心运动定理描述了物体质心的运动。体 系的内力不影响质心的运动。
对于质点系，若 F 0 ext 则 ptotal const . 分量形式： e.g. 若 Fext , x 0 则 ptotal, x const .
9
Notes: 1. 动量定理和动量守恒定律只是在惯 性系中成立 2. 在碰撞、爆炸等情形，可忽略外力 冲量的影响, 认为 ptotal const. 3. 宇宙飞行中的“弹弓效应”有动量 守恒的因素 v1 v2 v1 2v2 v1 (See P.135) v1 【演示实验08】碰撞 水平小车
例3-6
A2 L2
R
已知地球半径为 R ，卫星轨 道近地点 A1距离地面为 L1 ， 远地点A2距离地面为 L2。若 L1 A1 卫星在 A 处的速率为 v ，则 1 1 卫星在A2处的速率v2= 。
解： 卫星对地球中心的角动量守恒，故有
mv1(R+L1)=mv2(R+L2) R L1 v2 v1 R L2 [思考] ①能否用牛顿第二定律求解？ ②掠面速度？
M1 i M2i M3i v u1 ln u2 ln u3 ln M1 f M2 f M3 f
15
火箭体对喷射的气体的推力：
dm[( v u) v ] dm f u dt dt
喷射的气体对火箭体的推力：
f u dm dt
16
§3.5 质心（center of mass）
N i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系的 总动量。
18
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
m1 m2 p3 m3
f1外
p1
P
F
m 质心
f3外
合内力为零！
m m1 m2 m3 P p1 p2 p3 F f1外 f2外 f3外
dv 牛顿第二定律 ： k v (m M ) dt dv k vdx (m M ) dx dt S 0 k d x d v 0 v mM
mv0 S k
[思考] v( t )=? x( t )=?
12
§3.4* 火箭飞行原理
“神州” 号飞船升空
Theorem of Momentum for a System
Fext dt dptotal
——质点系的动量定理
系统所受合 外力的冲量
系统总动 量的增量
8
Note:
内力的作用不能改变系统的总动量!
§3.3 动量守恒定律
The Law of Conservation of Momentum
i 1
N
ri
C 质心
ri
相对质心系，质点系的总动量为零。质心系是 “零动量系”。 分析力学问题时，利用质心系是方便的。
23
o
rc
质心系和惯性系是两个不同的概念。质心系可能 是，也可能不是惯性系！
【例】在光滑平面上，m1 和 m2以 v1 和 v2 碰撞 后合为一体（完全非弹性碰撞）。求碰撞后二 者的共同速度 v 。在质心参考系观察，碰撞前 后二者的运动如何？ v