河北省2018年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第3章第6节二次函数的实际应用精讲试题
【中考复习】2018年中考数学总复习知识点梳理_汇编(27讲)
2018年中考数学数学总复习知识点梳理汇编目录【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第1讲实数【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第2讲整式与因式分解【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第3讲分式【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第4讲二次根式【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第5讲一次方程(组)【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第6讲一元二次方程【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第7讲分式方程【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第8讲一元一次不等式(组)【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第9讲平面直角坐标系与函数【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第10讲一次函数【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第11讲反比例函数【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第12讲二次函数的图象与性质【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第13讲二次函数的应用【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第14讲平面图形与相交线【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第15讲三角形的基本知识【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第16讲等腰、等边及直角三角形【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第17讲相似三角形【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第18讲解直角三角形【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第19讲多边形与平行四边形【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第20讲特殊平行四边形【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第21讲圆的基本性质【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第22讲与圆有关的位置关系【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第23讲与圆有关的计算【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第24讲平移、对称、旋转与位似【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第25讲视图与投影【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第26讲统计【中考数学复习】2018年中考数学总复习知识点梳理：第27讲概率第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程五、知识清单梳理第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)七、知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲平面直角坐标系与函数八、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O第10讲 一次函数九、 知识清单梳理知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例 1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y ＝kx ＋b (k ≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y ＝kx ＋b 是一条经过点（0,b ）和（-b/k ,0）的直线.特别地，正比例函数y ＝kx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k ＝1时，函数y ＝kx ＋k －1是正比例函数,2.一次函数的性质k ，b 符号 K ＞0， b ＞0K ＞0， b ＜0K ＞0，b=0 k <0，b >0k <0， b <0k <0， b ＝0（1）一次函数y=kx+b 中，k 确定了倾斜方向和倾斜程度，b 确定了与y 轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法. 例：已知函数y =－2x ＋b ，函数值y 随x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限 一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x 轴的交点，只需令y=0,解出x 即可；求与y 轴的交点，只需令x=0,求出y 即可.故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴的交点是()－bk，0，与y 轴的交点是(0，b )； (2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象恒过点(0，0)． 例：一次函数y ＝x ＋2与x 轴交点的坐标是（-2,0），与y 轴交点的坐标是（0,2）.知识点二 ：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k 与b 的值，得到函数表达式． （2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与y 轴交点坐标即可得出b 的值,b 值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k 不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k 值相同.②若向上平移h 单位，则b 值增大h ；若向下平移h 单位，则b 值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x 的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b 与x 轴的交点坐标为（1,0）. （2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y 的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组 的解 两个一次函数y=k 1x+b 和y=k 2x+b 图象的交点坐标.8.一次函数与（1）函数y=kx+b 的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＞0的解集y=k 2x+b y=k 1x+b第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE ＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十一、知识清单梳理第13讲二次函数的应用十二、知识清单梳理第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求21P COBAPCO BADABC abccD第17讲 相似三角形十六、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a cb d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.。
河北省2018年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第3章函数及其图像第5节二次函数的图像及性质精讲
第五节二次函数的图像及性质规河北五年中考真题及模拟)二次函数的图像及性质1.(2017河北中考)如图，若抛物线y ＝－x 2＋3与x 轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ，则反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图像是( D ),A ) ,B ),C ) ,D ) 2．(2017石家庄中考模拟)二次函数y ＝－2(x －3)2－6图像的对称轴和最值分别为( B ) A ．直线x ＝－3，6 B ．直线x ＝3，6 C ．直线x ＝－3，－6 D ．直线x ＝3，－63．(2017保定中考模拟)已知两点A(－5，y 1)，B(3，y 2)均在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)上，点C(x 0，y 0)是该抛物线的顶点．若y 1＞y 2≥y 0，则x 0的取值范围是( B )A ．x 0＞－5B ．x 0＞－1C ．－5＜x 0＜－1D ．－2＜x 0＜34．(2016石家庄四十三中一模)已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图像的开口向下；②其图像的对称轴为直线x ＝－3；③其图像顶点坐标为(3，－1)；④当x<3时，y 随x 的增大而减小．其中说法正确的有( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2017唐山中考模拟)某同学在用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像时，列出了下面的表格：A ．－11B ．－2C ．1D ．－5二次函数表达式的确定6．(2016保定十七中模拟)如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图像是( D),A),B),C),D)7．(2017保定中考模拟)若将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，则所得的抛物线是( C)A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－1C．y＝2(x＋1)2D．y＝2(x－1)28．(2016保定十七中一模)已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2 015的值为__2__016__．9．(2015河北中考)如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l：y＝－(x－h)2＋1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B，求它的表达式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；(2)设点C的纵坐标为y C，求y C的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值．解：(1)把x＝2，y＝1代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝2.∴表达式为y＝－(x－2)2＋1(或y＝－x2＋4x－3)．对称轴为直线x＝2，顶点B(2，1)；(2)点C的横坐标为0，则y C＝－h2＋1，∴当h＝0时，y C有最大值为1.此时，l为y＝－x2＋1，对称轴为y 轴，当x≥0时，y随着x的增大而减小，∴x1＞x2≥0时，y1＜y2；(3)把OA分1∶4两部分的点为(－1，0)或(－4，0)．把x＝－1，y＝0代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝0或h ＝－2.但h＝－2时，OA被分为三部分，不合题意，舍去．同样，把x＝－4，y＝0代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝－5或h＝－3(舍去)．∴h的值为0或－5.10．(2014河北中考)如图，2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点．抛物线l的表达式为y＝(－1)n x2＋bx＋c(n为整数)．(1)n为奇数，且l经过点H(0，1)和C(2，1)，求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；(2)n为偶数，且l经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在该抛物线上；(3)若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．解：(1)n为奇数时，y＝－x2＋bx＋c.∵l经过点H(0，1)和C(2，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，－4＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋1，∴y ＝－(x －1)2＋2， ∴顶点为格点E(1，2)；(2)n 为偶数时，y ＝x 2＋bx ＋c ， ∵l 经过点A(1，0)和B(2，0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2， 当x ＝0时，y ＝2，∴点F(0，2)在抛物线y ＝x 2－3x ＋2的图像上，点H(0，1)不在抛物线y ＝x 2－3x ＋2的图像上；(3)所有满足条件的抛物线共有8条．中考考点清单二次函数的概念及表达式1．定义：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项．2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式 4．二次函数表达式的确定：(1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式；①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式；②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式；③当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)． (2)步骤：①设二次函数的表达式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式．二次函数的图像及其性质二次函数的图像及其性质近五年考查三大题型均有涉及．结合的背景有：(1)与规律探索结合的旋转抛物线；(2)以两个抛物线结合为背景；(3)与正方形结合．设问方式有：(1)求点坐标；(2)判断结论的正误；(3)判断不符合条件的函数图像；(4)求表达式；(5)求最值．5数6._二次函数图像的平移7．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，确定其顶点坐标； (2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h ，k)即可． 8．平移规律：＝ 续表二次函数与一元二次方程的关系9．当抛物线与x 轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根． 10．当抛物线与x 轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根． 11．当抛物线与x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．,中考重难点突破二次函数的图像及性质【例1】(2017孝感中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，反比例函数y ＝b x与一次函数y ＝cx ＋a 在同一平面直角坐标系中的大致图像是( B ),A ) ,B ),C ) ,D )【解析】∵y＝ax 2＋bx ＋c 的图像的开口向下，∴a<0，∵对称轴在y 轴的右侧，∴b>0，与y 轴正半轴相交，∴c>0，∴反比例函数的图像经过第一、三象限，一次函数的图像经过第一、三、四象限．故选B .【答案】B1．(2017广州中考)a≠0，函数y ＝a x与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图像可能是( D ),A ) ,B ),C ),D )抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图像与a ，b ，c 的关系【例2】(2017日照中考)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图像如图所示，下列结论：①抛物线过原点； ②4a ＋b ＋c ＝0； ③a －b ＋c ＜0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的是( B )A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤【解析】由对称轴为直线x＝2和点(4，0)可判断①；由对称轴为直线x＝2可得b＝－4a，又c＝0可判断②；当x＝－1时，y＝a－b＋c，可判断③；观察图像即可判断④；由函数增减性可判断⑤.【答案】C2．(烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①4ac<b2；②a＋c>b；③2a＋b>0.其中正确的有( B)A．①②B．①③C．②③D．①②③(第2题图)(第3题图)3．(兰州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，对称轴是直线x＝－1，有以下结论：①abc>0；②4ac<b2；③2a＋b＝0；④a－b＋c>2.其中正确的结论的个数是( C)A．1个B．2个C．3个D．4个二次函数表达式的确定【例3】(2016承德二中模拟)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．(1)求二次函数的表达式；(2)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【解析】(1)根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的表达式；(2)令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；(3)画出图像，再根据图像直接得出答案．【答案】解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝－1，16a ＋4b ＋c ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－12x －1； (2)当y ＝0时，得12x 2－12x －1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1，∵点A 的坐标为(2，0)，∴点D 坐标为(－1，0)；(3)图像如图所示，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是－1＜x ＜4.4．如图，二次函数的图像与x 轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，交y 轴于点C(0，3)，点C ，D 是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B ，D.(1)请直接写出D 点的坐标； (2)求二次函数的表达式；(3)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围． 解：(1)D(－2，3)；(2)设表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3； (3)x ＜－2或x ＞1.。
2018年中考数学知识点分析之二次函数
2018年中考数学知识点分析之二次函数
二次函数概念
二次函数的概念：一般地，形如ax +bx+c=0的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线，图象对称是关键;
开口、顶点和交点，它们确定图象限;
开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。
若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
河北省2018年中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第3章 函数及其图像 第1节 函数及其图像(精讲)试题
第三章函数及其图像第一节函数及其图像年份题号考查点考查内容分值总分201715函数图像的判断以抛物线图像为背景判断双曲线图像222016、2015、2014未考查201316函数图像的判断以梯形边上的动点为背景，判断符合时间与面积关系的函数图像33命题规律纵观河北近五年中考，2017年考查了函数及其图像的内容，并且以选择题的题型出现.2013年与动点结合考查1次，分值3分.河北五年中考真题及模拟)与几何图形结合的函数图像1．(2013河北中考)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB ＝5，DE＝12，动点P从点A出发，沿折线AD—DC—CB以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止．设运动时间为t s，y＝S△EPF，则y与t的函数图像大致是( A),A),B),C),D)2．(2017沧州中考模拟)一个矩形的面积是6，则这个矩形的一组邻边长x与y的函数关系的图像大致是( D),A) ,B) ,C) ,D)与实际问题结合的函数图像3．(2016沧州八中一模)某栏目的一名记者乘汽车赴360 km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)之间的关系如图所示，则下列结论正确的是( C)A．汽车在高速公路上的行驶速度为100 km/hB．乡村公路总长为90 kmC．汽车在乡村公路上的行驶速度为60 km/hD．该记者在出发后4.5 h到达采访地4．(2017邯郸中考模拟)某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快地前进了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校．小明走路的速度v(m/min)是时间t(min)的函数，能正确反映这一函数关系的大致图像是( A),A) ,B),C) ,D)5．(2016保定十七中二模)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(m)与时间t(min)的函数图像，则小明回家的速度是__80__m/min.,中考考点清单平面直角坐标系及点的坐标1．有序实数对：坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示；反过来，任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点．【方法技巧】一般地，点P(a ，b)到x 轴的距离为|b|，到y 轴的距离为|a|，到原点的距离为a 2＋b 2.2．平面直角坐标系中点的坐标特征－，个单位长度，再向上或向下平移 函数的相关概念3．变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量． 4．常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．5．函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y.如果给定x 的一个值，就能相应地确定y 的一个值，那么，我们就说y 是x 的函数．其中，x 叫做自变量．函数自变量的取值范围6.，即续表函数的表示方法及其图像7．表示方法：数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点．8．图像的画法：知道函数的表达式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图像．(1)取值．根据函数的表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表； (2)画点．根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点；(3)连线．用平滑的曲线将这些点连接起来，即得到函数的图像．9．已知函数表达式，判断点P(x ，y)是否在函数图像上的方法：若点P(x ，y)的坐标适合函数表达式，则点P(x ，y)在其图像上；若点P(x ，y)的坐标不适合函数表达式，则点P(x ，y)不在其图像上．【方法技巧】判断符合题意的函数图像的方法 (1)与实际问题结合：判断符合实际问题的函数图像时，需遵循以下几点：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图像中找相对应点；②找特殊点：即指交点或转折点，说明图像在此点处将发生变化；③判断图像趋势：判断出函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为0.(2)与几何图形(含动点)结合：以几何图形为背景判断函数图像的题目，一般的解题思路为设时间为t ，找因变量与t 之间存在的函数关系，用含t 的式子表示，再找相对应的函数图像，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围．(3)分析函数图像判断结论正误分清图像的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数图像的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．,中考重难点突破平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】(白银中考)已知点P(0，m)在y 轴的负半轴上，则点M(－m ，－m ＋1)在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】由坐标轴上点的坐标特征确定m 的取值范围，再判断点M 的坐标符号，从而判断点M 在第几象限． 【答案】A1．在平面直角坐标系中，点P(－3，5)关于y 轴对称的点的坐标为( B ) A ．(－3，－5) B ．(3，5) C ．(3，－5) D ．(5，－3)函数自变量的取值范围【例2】(内江中考)在函数y ＝x －3x －4中，自变量x 的取值范围是( )A ．x>3B ．x ≥3C ．x>4D ．x ≥3且x≠4【解析】本题主要考查了分式与二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．【答案】D2．函数y ＝3－xx ＋1中，自变量x 的取值范围__x ≤3且x≠－1__．函数图像的判断【例3】(营口中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A→D→C→E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图像表示大致是( D ),A ) ,B ) ,C ) ,D )【解析】根据动点P 的运动路径A→D→C→E 可得，在计算△APE 的面积时应该分为3种情况，①当P 在AD 上时；②当P 在DC 上时；③当P 在CE 上时，分别计算出即可．要注意转折点有x ＝3时和x ＝5时．∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2.①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x ·2＝x(0≤x≤3)；②点P 在CD 上时，S △APE ＝S 四边形AECD －S △ADP －S △CEP ＝12×(2＋3)×2－12×3×(x －3)－12×2×(3＋2－x)＝5－32x ＋92－5＋x ＝－12x ＋92，∴y ＝－12x ＋92(3＜x≤5)；③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×(3＋2＋2－x)×2＝－x ＋7，∴y ＝－x ＋7(5＜x≤7)，纵观各选项，只有A 选项图形符合．【答案】A3．(2017青海中考)如图，在矩形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿着矩形的边顺时针方向运动一周回到点A ，则点A ，P ，D 围成的图形面积y 与点P 的运动路程x 之间形成的函数关系式的大致图像是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )4．如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合．设矩形与等腰三角形重叠部分(阴影部分)的面积为y ，重叠部分图形的高为x ，那么y 关于x 的函数图像大致应为( B ),A ) ,B ) ,C ) ,D )。
2023年中考数学总复习第三章《函数》第六节 二次函数的实际应用
2023年中考数学总复习第三章《函数》第六节二次函数的实际应用一、选择题1.［2020·邢台模拟］把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为h＝10t-t 2（0≤t≤14）．若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围是（）A．0≤a≤42B．0≤a＜50C．42≤a＜50D．42≤a≤502.［2020·长沙］“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸时间（t 单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at 2+bt+c （a≠0，a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A． 3.50分钟B． 4.05分钟C． 3.75分钟D． 4.25分钟（第2题图）（第3题图）3.［2020·石家庄裕华区一模］从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球运动的时间为6s；③小球抛出3s 时，速度为0；④当t＝1.5s 时，小球的高度h＝30m．其中正确的是（）A.①④B．①②C．②③④D．②④二、填空题4.［人九上课本P52，T8改编］某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．三、解答题5.［人九上课本P52，T5高仿］如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m ），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为y m 2．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若改造后观花道的面积为13m 2，求x 的值；（3）若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值．（第5题图）6.［2020·遵化二模］随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x（单位：km ），乘坐地铁的时间y 1（单位：min ）是关于x 的一次函数，其关系如下表：（1）求y1关于x 的函数解析式；（2）李华骑单车的时间y 2（单位：min）也受x 的影响，其关系可以用y 2＝x 2-11x+78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．地铁站A B C D E x/km 79111213y 1/min1620242628。
中考数学复习二次函数知识点总结
中考数学复习二次函数知识点总结二次函数是中学数学中的重要内容，也是考试中常见的题型之一、在复习二次函数时，需要掌握其基本概念、性质、图像和应用等方面的知识。
下面是关于二次函数的知识点总结。
一、基本概念1.二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a为二次函数的二次系数。
2.二次函数的导数与二次系数的关系二次函数的导数为一次函数，二次系数a决定了导数的单调性，当a>0时，导数在整个定义域上单调递增；当a<0时，导数在整个定义域上单调递减。
3.二次函数的对称轴二次函数的对称轴是二次函数的图像关于该轴对称的直线。
对称轴的方程为x=-b/2a，其中a、b是二次函数的系数。
4.二次函数的顶点二次函数的顶点是二次函数的图像的最低点或最高点，对称轴上的点。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为代入对称轴横坐标得到的纵坐标。
二、性质1.零点性质二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的零点是方程ax²+bx+c=0的解，当方程有解时，二次函数与x轴交于两点，也可能与x轴重合。
2.二次函数图像的开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3.二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
4.判别式二次函数方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac可以判断二次函数方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。
三、图像1.开口向上的二次函数图像特点开口向上的二次函数图像在顶点处为最小值，两侧递增；对称轴为y 轴且在第四象限，二次系数a为正数。
2.开口向下的二次函数图像特点开口向下的二次函数图像在顶点处为最大值，两侧递减；对称轴为y 轴且在第一象限，二次系数a为负数。
最新-河北省2018年中考数学讲座二次函数的考法分析精品
100
的附加费，设月利润为 w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费） ．
（ 1）当 x = 1000 时， y =
元 /件， w 内 =
元；
（ 2）分别求出 w 内， w 外与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围） ；
（ 3）当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国
内销售月利润的最大值相同，求 a 的值；
（ 4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完， 请你通过分析帮公司决策， 选择在国内还
是在国外销售才能使所获月利润较大？
2
参考公式：抛物线
y
ax2
bx
c(a
0) 的顶点坐标是 (
b 4 ac ,
b )．
2a 4a
例 2．我市某外资企业生产的一批产品上市后
30 天内全部售完，该企业对这批产品上市后
求斜面 EG 的倾斜角∠ GEF 的正切值
例 4． 如图，在水平地面点 A 处有一网球发 射器向空中发射网球， 网球飞行路线是一条抛 物线，在地面上落点为 B．有人在直线 AB 上 点 C（ 靠点 B 一侧 ）竖直向上摆放无盖的圆柱 形桶，试图让网球落入桶内．已知 AB＝ 4 米， AC＝ 3 米，网球飞行最大高度 OM =5 米，圆柱 形桶的直径为 0.5 米，高为 0.3 米（ 网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计 ）． （1）如果竖直摆放 5 个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内．
W 元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
例 2．某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可卖出 150 件。市场调 查反映：如果每件的售价每涨 1 元（售价每件不能高于 45 元），那么每星期少卖 10 件。设
2018年中考数学总复习知识点总结(最新版)
2018年中考数学总复习知识点一、知识点概述数学是中考的一门重要科目之一，其中常见的知识点有初中数学和高中数学的内容。
本文对2018年中考数学的知识点做了，可以帮助同学们更好地复习数学知识。
二、初中数学1.1 代数•代数式的概念和基本操作•四则运算及其应用•一次方程、一元一次方程组：含参数的一次方程，两个未知数的一次方程等•二次根式及其化简•平方差公式、完全平方公式1.2 几何•角•同位角、对顶角、内错角、同旁内角、同旁外角、异旁内角的性质•一次坐标系•垂线的性质•中垂线的性质•直角三角形的性质和简单的勾股定理•等腰三角形和等边三角形的性质•直角坐标系及其应用，例如计算两点间的距离和中点等1.3 数据与概率•极差、中位数、平均数、众数等统计概念•有序数列和无序数列的意义及其性质•算术平均数、几何平均数、平均数不等式及其应用•列联表的制作和分析•基本的概率概念和简单的概率计算方法三、高中数学2.1 代数•指数与对数：指数的定义及其运算法则，对数的定义及其性质•二次函数：基本概念、图像、定点、基本性质及其应用•多项式函数：定义、性质、分解因式、求根、余式定理等•不等式与绝对值：不等式的基本概念和不等式组的解法，绝对值的基本性质•反比例函数：反比例的基本概念、图像、性质及其应用2.2 几何•向量的基本运算及其应用•圆的基本性质及其相关定理•三角形的基本性质及其相关定理•平面直角坐标系与初等函数的关系•平移、翻折、旋转、对称等几何变换的概念及其性质•空间几何的基本概念及其运用2.3 数与函数•数列的基本概念、形成和性质•极限的基本概念、极限计算方法和极限存在定理•函数的极限、连续性及其应用•导数和微分的概念及其基本性质•常微分方程的基本概念及初步解法四、本篇文章对于2018年的中考数学知识点做了。
初中数学内容包括代数、几何、数据与概率考点，高中数学内容包括代数、几何、数与函数考点。
大家可以根据本文中的内容进行针对性的复习，希望对同学们有所帮助。
中考数学 提升作业 考点系统复习 第三章 函数 第六节 二次函数的图象与性质及与a,b,c的关系
与抛物线 y＝x2－2x＋3 的交点个数为
( C)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 个或 2 个
7．(2022·株洲)已知二次函数 y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中 b>0，c>0，
则该函数的图象可能为
( C)
8．(2022·凉山州)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(1，0)和点(0，－3)，
下列判断正确的是
( C)
A．乙错，丙对
B．甲和乙都错
C．乙对，丙错
D．甲错，丙对
5．(2022·潍坊)抛物线 y＝x2＋x＋c 与 x 轴只有一个公共点，则 c 的值为
A．－14
B.
1 4
( B)
C．－4
D． 4
6．(2021·铜仁)已知直线 y＝kx＋2 过一、二、三象限，则直线 y＝kx＋2
则点 P(x，y)在抛物线 y＝x2－x 上，其中正确的结论有
( C)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10．(2022·观山湖区模拟)抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图 所示，其与 x 轴的一个交点坐标为(－3，0)，对称轴为 x＝－1， 则当 y＜0 时，x 的取值范围是 －3＜x＜.1
11．★(2022·盐城)若点 P(m，n)在二次函数 y＝x2＋2x＋2 的图象上，
且点 P 到 y 轴的距离小于 2，则 n 的取值范围是 1≤n＜ . 10
解得 t＝±1(舍去)，
③当 t≥1 时，y 随 x 的增大而减小， 在 x＝t 时，m＝－t2＋2t＋3， 在 x＝t＋1 时，n＝－t2＋4， ∴m－n＝－t2＋2t＋3－(－t2＋4)＝2t－1， ∴2t－1＝1，解得 t＝1. 综上所述，t 的值为 0 或 1.
最新-河北省2018年中考数学讲座 二次函数的考法分析 精品
二次函数的考法分析考法一： 1、考法要点2、举例说明例1已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x… 32- 1- 12- 012 1 32 … y…54- 2-94- 2-54- 074…则该二次函数的解析式为22y x x =+-．例2．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2例3． 如图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直标 系中的图象，根据图形判断 ① c ＞0；② a +b +c ＜0；③ 2a -b ＜0； b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号）② 、④ ．例4．如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 最大值为(D )A ．－3B ．1C ．5D ．8例5．已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)①240b ac ->；②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4例6．如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0xyO2y ax bx c =++经过x 轴上的点A B ，．（1）求点A B C ，，的坐标．（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．例7．已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ． （1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．例8．已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个点.（1）求C 1的顶点坐标； （2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （—3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标； （3）若n y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>的取值范围.考法二1、考法要点2、举例说明例1． 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.例2．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23y=x 3x 15－＋＋的一部分，如图。
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第3章 函数及其图像 第6节 二次函数的实际应用(精讲
第六节二次函数的实际应用年份题号考查点考查内容分值总分201726 二次函数的实际应用以销售节能产品为背景，代入相关数据，求满足关系的二次函数表达式，并求利润之差最大值12 122016、2015年未考查20149 二次函数的实际应用以正方形板材面积与成本关系为背景，利用二次函数关系求板材边长3 3201325 二次函数的实际应用以运输为背景，给出几组数据，(1)求二次函数表达式；(2)(3)问通过二次函数表达式求某一点的值；(4)求使二次函数值保持不变的条件12 12命题规律二次函数的实际应用为某某近五年中考每年的必考考点，题型一般为选择、解答题，分值为2～12分，在选择中考查比较简单，解答中综合性较强．纵观某某五年考查内容可以看出，常考类型有：(1)单纯二次函数的实际应用，其中在选择题中考查了1次，在解答题中考查了2次；(2)二次函数与一次函数结合，其中在解答题中考查了1次.2017年与反比例函数结合考查1次.某某五年中考真题及模拟二次函数的实际应用1．(2014某某中考)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( A)A．6 cmB．12 cmC．24 cmD．36 cm2．(2013某某中考)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q＝W＋100，而W 的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素)，W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．次数n 2 1 速度x 40 60 指数Q420100(1)用含x 和n 的式子表示Q ； (2)当x ＝70，Q ＝450时，求n 的值； (3)若n ＝3，要使Q 最大，确定x 的值；(4)设n ＝2，x ＝40，能否在n 增加m%(m>0)同时x 减少m%的情况下，而Q 的值仍为420？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．[参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ]解：(1)Q ＝－110x 2＋6nx ＋100；(2)将x ＝70，Q ＝450代入Q ＝－110x 2＋6nx ＋100中，得450＝－110×702＋6×70n＋100，解得n ＝2；(3)当n ＝3时，Q ＝－110x 2＋18x ＋100＝－110(x －90)2＋910.∵－110<0，∴函数图像开口向下，有最大值，则当x ＝90时，Q 有最大值， 即要使Q 最大，x ＝90；(4)由题意，得420＝－110[40(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100，即2(m%)2－m%＝0，解得m 1＝50，m 2＝0(舍去)，∴m ＝50.,中考考点清单二次函数的实际应用二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．解二次函数应用题步骤及关键点：步骤关键点明确题中的常量与变量及它们之间的关系，(1)分析问题确定自变量及函数根据题意确定合适的表达式或建立恰当的坐(2)建立模型，确定函数表达式标系(3)求函数表达式变量间的数量关系表示及自变量的取值X围熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自(4)应用性质，解决问题变量的取值X围使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；(2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值X围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值X围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值．,中考重难点突破二次函数的实际应用【例1】(2017某某中考模拟)如图所示，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.(1)求S 与x 之间的函数关系式；(2)如果要围成面积为45 m 2的花圃，那么AB 的长是多少？(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【解析】(1)先设AB 的长为x m ，再用含x 的代数式表示花圃的长BC ，从而建立面积S(m 2)与AB 的长x m 之间的函数关系式．然后依据方程与二次函数的知识来求解；(2)将S ＝45代入二次函数关系式得一元二次方程，再求得解；(3)将二次函数的一般式转化为顶点式，将x 的最小值代入求面积的最大值，再求出此时围墙的长与宽．【答案】解：(1)设宽AB 为x m ，则BC 为(24－3x)m . 这时面积S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x ； (2)由条件得，－3x 2＋24x ＝45. 整理，得x 2－8x ＋15＝0. 解得x 1＝5，x 2＝3.∵0＜24－3x≤10，∴143≤x ＜8.∴x ＝3不合题意，舍去．故花圃的宽为5 m ； (3)能围成面积比45 m 2更大的花圃． S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x 2－8x) ＝－3(x －4)2＋48. ∵143≤x ＜8， ∴当x ＝143时，S 最大＝48－3⎝ ⎛⎭⎪⎫143－42＝4623(m 2)．故能围成面积比45 m 2更大的花圃．围法：24－3×143＝10(m )，花圃的长为10 m ，宽为423m ，这时有最大面积4623m 2.1．某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16 m 的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24 m ，设每间羊圈与墙垂直的一边长为x(m )，三间羊圈的总面积为S(m 2)，则S 与x 的函数关系式为__S ＝－4x 2＋24x__，x 的取值X 围是__2≤x ＜6__，当x ＝__3__时，面积S 最大，最大面积为__36__m 2__．【例2】(2017某某中考)某商场经营某种品牌的玩具，购进单价是30元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件．(1)设该种品牌玩具的销售单价为x 元(x ＞40)，请你用含x 的代数式分别来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具获得利润W(元)，并把结果填写在下面的表格中：销售单价(元) x 销售量y(件) ________ 销售玩具获得利润W(元)________(2)若商场要获得10 000元的销售利润，该玩具的销售单价x 应定为多少元？(3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单位不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，则商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【解析】(1)由“销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具”得y ＝600－(x －40)×10＝1 000－10x ，W ＝(1 000－10x)(x －30)＝－10x 2＋1 300x －30 000；(2)令－10x 2＋1 300x －30 000＝10 000，求出x 的值即可；(3)首先求出x 的取值X 围，然后把W ＝－10x 2＋1 300x －30 000转化成顶点式，结合x 的取值X 围求出最大利润．【答案】解：(1)销售单价(元) x 销售量y(件) 1 000－10x 销售玩具获得利润W(元)－10x 2＋1 300x －30 000(2)2解得x 1＝50，x 2＝80.答：该玩具销售单价为50元或80元时，可获得10 000元的销售利润；(3)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1 000－10x≥540，x ≥44，解得44≤x≤46.W ＝－10x 2＋1 300x －30 000 ＝－10(x －65)2＋12 250，∵a ＝－10＜0，∴w 随x 增大而增大， ∴当x ＝46时，w 最大值＝8 640(元)．2．(2017某某中考模拟)某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100X 床位的旅馆，当每X 床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每X 床位每天收费提高20元，则相应的减少了10X 床位租出．如果每X 床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每X 床位每天最合适的收费是(C )A ．140元B ．150元C ．160元D ．180元【例3】(2017某某中考)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4 m ，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4 m ，则这次表演是否成功？请说明理由．【解析】(1)将函数表达式配方成顶点式，即可求得演员弹跳地面的最大高度；(2)将点(4，)代入函数表达式，验证该点是否在抛物线上．在，说明表演能够成功；不在，说明表演不能成功．【答案】解：(1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194.∵a ＝－35＜0，∴函数有最大值，即演员弹跳离地面的最大高度是194m ；(2)由于OC ＝4 m ，故将x ＝4代入函数表达式，得y ＝－35×42，因此点(4)在该抛物线上，说明这次表演能够成功．3．(仙桃中考)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 m 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2m ，水面下降1 m 时，水面的宽度为__26__m .【例4】如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝7 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动．(1)如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5 cm? (3)在问题(1)中，当运动时间为多少秒时，△PBQ 的面积最大？【解析】(1)设运动时间为x s 表示出PB 和BQ ，再用三角形面积计算公式即可；(2)依然是用含x 的代数式先表示出PB 和BQ ，再用勾股定理立方程即可；(3)求最值，对代数式配方即可．【答案】解：(1)设x s 后，△PBQ 的面积等于4 cm 2，根据题意，得12×2x(5－x)＝4，解得x 1＝1，x 2＝4，∵当x ＝4时，2x ＝8＞7，不合题意，舍去， ∴x ＝1；(2)设x s 后，PQ 的长度等于5 cm ，根据题意，得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴x ＝2； (3)设x s 后，△PBQ 的面积等于y cm 2，根据题意，得y ＝x(5－x)＝－x 2＋5x ，∵a ＝－1＜0，∴当x ＝－b 2a ＝52时，y 有最大值．4．(2017某某中考模拟)如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，BC ＝2 cm ，在三角形内作矩形CDEF ，使D 在AC 上，E 在AB 上，F 在BC 上，则矩形CDEF 的最大面积为__1__cm 2__；此时矩形CDEF 为__正方形__．。
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第六节 二次函数的实际应用河北五年中考真题及模拟二次函数的实际应用1．(2014河北中考)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm ，当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( A )A ．6 cmB ．12 cmC ．24 cmD ．36 cm2．(2013河北中考)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q 量化考核司机的工作业绩．Q ＝W ＋100，而W 的大小与运输次数n 及平均速度x(km /h )有关(不考虑其他因素)，W 由两部分的和组成：一部分与x 的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据．(1)用含x 和n 的式子表示Q ；(2)当x ＝70，Q ＝450时，求n 的值； (3)若n ＝3，要使Q 最大，确定x 的值；(4)设n ＝2，x ＝40，能否在n 增加m%(m>0)同时x 减少m%的情况下，而Q 的值仍为420？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．[参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ]解：(1)Q ＝－110x 2＋6nx ＋100；(2)将x ＝70，Q ＝450代入Q ＝－110x 2＋6nx ＋100中，得450＝－110×702＋6×70n＋100，解得n ＝2；(3)当n ＝3时，Q ＝－110x 2＋18x ＋100＝－110(x －90)2＋910.∵－110<0，∴函数图像开口向下，有最大值，则当x ＝90时，Q 有最大值，即要使Q最大，x＝90；(4)由题意，得420＝－110[40(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100，即2(m%)2－m%＝0，解得m1＝50，m2＝0(舍去)，∴m＝50.,中考考点清单二次函数的实际应用二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．建立模型，确定函数表达式使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；(2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值．,中考重难点突破二次函数的实际应用【例1】(2017唐山中考模拟)如图所示，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.(1)求S 与x 之间的函数关系式；(2)如果要围成面积为45 m 2的花圃，那么AB 的长是多少？(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【解析】(1)先设AB 的长为x m ，再用含x 的代数式表示花圃的长BC ，从而建立面积S(m 2)与AB 的长x m 之间的函数关系式．然后依据方程与二次函数的知识来求解；(2)将S ＝45代入二次函数关系式得一元二次方程，再求得解；(3)将二次函数的一般式转化为顶点式，将x 的最小值代入求面积的最大值，再求出此时围墙的长与宽．【答案】解：(1)设宽AB 为x m ，则BC 为(24－3x)m .这时面积S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x ；(2)由条件得，－3x 2＋24x ＝45.整理，得x 2－8x ＋15＝0. 解得x 1＝5，x 2＝3.∵0＜24－3x≤10，∴143≤x ＜8.∴x ＝3不合题意，舍去．故花圃的宽为5 m ；(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃．S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x 2－8x)＝－3(x －4)2＋48. ∵143≤x ＜8， ∴当x ＝143时，S 最大＝48－3⎝ ⎛⎭⎪⎫143－42＝4623(m 2)．故能围成面积比45 m 2更大的花圃．围法：24－3×143＝10(m )，花圃的长为10 m ，宽为423 m ，这时有最大面积4623m 2.1．某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16 m 的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24 m ，设每间羊圈与墙垂直的一边长为x(m )，三间羊圈的总面积为S(m 2)，则S 与x 的函数关系式为__S ＝－4x 2＋24x__，x 的取值范围是__2≤x ＜6__，当x ＝__3__时，面积S 最大，最大面积为__36__m 2__．【例2】(2017鄂州中考)某商场经营某种品牌的玩具，购进单价是30元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件．(1)设该种品牌玩具的销售单价为x 元(x ＞40)，请你用含x 的代数式分别来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具获得利润W(元)，并把结果填写在下面的表格中：(2)若商场要获得应定为多少元？(3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单位不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，则商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【解析】(1)由“销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具”得y ＝600－(x －40)×10＝1 000－10x ，W ＝(1000－10x)(x －30)＝－10x 2＋1 300x －30 000；(2)令－10x 2＋1 300x －30 000＝10 000，求出x 的值即可；(3)首先求出x 的取值范围，然后把W ＝－10x 2＋1 300x －30 000转化成顶点式，结合x 的取值范围求出最大利润．【答案】解：(2)解得x 1＝50，x 2＝80.答：该玩具销售单价为50元或80元时，可获得10 000元的销售利润；(3)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1 000－10x≥540，x ≥44，解得44≤x≤46.W ＝－10x 2＋1 300x －30 000＝－10(x －65)2＋12 250，∵a ＝－10＜0，∴w 随x 增大而增大， ∴当x ＝46时，w 最大值＝8 640(元)．2．(2017邢台中考模拟)某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( C )A ．140元B ．150元C ．160元D ．180元【例3】(2017湖州中考)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4 m ，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4 m ，则这次表演是否成功？请说明理由．【解析】(1)将函数表达式配方成顶点式，即可求得演员弹跳地面的最大高度；(2)将点(4，3.4)代入函数表达式，验证该点是否在抛物线上．在，说明表演能够成功；不在，说明表演不能成功．【答案】解：(1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194.∵a ＝－35＜0，∴函数有最大值，即演员弹跳离地面的最大高度是194m ；(2)由于OC ＝4 m ，故将x ＝4代入函数表达式，得y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4，因此点(4，3.4)在该抛物线上，说明这次表演能够成功．3．(仙桃中考)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 m 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2m ，水面下降1 m 时，水面的宽度为m .【例4】如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝7 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动．(1)如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5 cm? (3)在问题(1)中，当运动时间为多少秒时，△PBQ 的面积最大？【解析】(1)设运动时间为x s 表示出PB 和BQ ，再用三角形面积计算公式即可；(2)依然是用含x 的代数式先表示出PB 和BQ ，再用勾股定理立方程即可；(3)求最值，对代数式配方即可．【答案】解：(1)设x s 后，△PBQ 的面积等于4 cm 2，根据题意，得12×2x(5－x)＝4，解得x 1＝1，x 2＝4，∵当x ＝4时，2x ＝8＞7，不合题意，舍去， ∴x ＝1；(2)设x s 后，PQ 的长度等于5 cm ，根据题意，得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴x ＝2；(3)设x s 后，△PBQ 的面积等于y cm 2，根据题意，得y ＝x(5－x)＝－x 2＋5x ，∵a ＝－1＜0，∴当x ＝－b 2a＝52时，y 有最大值．4．(2017唐山中考模拟)如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，BC ＝2 cm ，在三角形内作矩形CDEF ，使D 在AC 上，E 在AB 上，F 在BC 上，则矩形CDEF 的最大面积为__1__cm 2__；此时矩形CDEF 为__正方形__．。