《黄金分割》习题
《黄金分割》随堂练习
§ 6.2黄金分割姓名班级学号【基础知识】1．一条线段的黄金分割点有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个2．黄金分割比的准确值是是（）3．小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cm B．13.6cm C．32.386cm D．7.64cm3．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则（）A．AP2+BP2＝AB2 B．BP2＝AP•AB C．AP2＝AB•BP D．AB2＝AP•PB4．如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（）A．B．C．D．5．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少．．多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m）【能力达标】6．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A．（405﹣40）cm B．（805﹣40）cmC．（120﹣405）cm D．（805﹣160）cm7．我们把宽与长的比值等于黄金比例512的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形()ABCD AB BC的边AB上取一点E，使得BE BC，连接DE，则AEAD等于()A．22B．512C．352D．5128．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定9．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，求她应该选择的高跟鞋得高度．（结果保留整数）【拓展提升】10．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．。
黄金分割练习题
一、填空题1．若点C 是线段AB 的黄金分割点（BC AC >），则AC:AB=_____,BC:AB___________:=BC AC ．如果AB=10cm,则AC=______,BC=_________.若C 是线段AB 的黄金分割点，则____:=BC AC2．若Q P ,是线段AB 上的两个黄金分割点，且452-=PQ ，则____=AB3．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BC AC AB==_______． 4．若点C 是线段AB 的黄金分割点（BC AC >），则AB 与AC 的比值是__________，BC 与AC 的比值是_________．5．在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：3，则AP ：AB=______，6．如图，已知3,(1)2ABACBCCEAD AE DE AE ===则:=______，（2）若BD=10cm ，则AD=______；（3）若△ADE 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为_______ ．二、认真选一选 7．已知y x 23=,那么下列式子成立的是（ ）A.3x=2yB.xy=6C.32=y xD.32=x y8．把ab=21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.b d c a =2C.bd c a =2 D.d a b c 2= 9已知线段x,y 满足（x+y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ）A.3∶1B.2∶3C.2∶1D.3∶210．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）．A ．17B ．7C ．-17D ．-710．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）． A ．7：5 B ．5：2 C ．2：7 D ．5：711有以下命题:①如果线段d 是线段a,b,c 的第四比例项，则有d c b a =②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则 AC=5－1其中正确的判断有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：7。
北师大版九年级数学上册《黄金分割》 同步测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章4.4.4黄金分割 同步测试题一、选择题1．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BCAC ，那么线段AB 被点C 黄金分割B ．如果AC 2＝AB ·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比D ．一条线段有两个黄金分割点2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列各式中正确的是( )A ．AB 2＝AC ·BC B ．BC 2＝AC ·AB C ．AC 2＝BC ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC3．已知AB ＝2 cm ，C 为AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的值为( )A ．(5－1)cmB ．0.618 cmC ．(3－5)cmD.3－52cm4．若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列说法正确的有( )①AB ＝5＋12AC ；②AC ＝3－52AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC ≈0.618AB. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.我们把宽与长的比值等于黄金比5－12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB ＞BC)的边AB 上取一点E ，使得BE ＝BC ，连接DE ，则AEAD等于( )A.22B.5－12C.3－52D.5＋12二、填空题6.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB，AB为边的矩形的面积为S1与S2的关系是S1＝S2．7．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20 cm，那么相邻一条边的边长等于(105－10)cm.8．已知线段AB＝4 cm，C为AB的黄金分割点，则AC的长为(25－2)cm或(6－25)cm．9．宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中是黄金矩形的是矩形DCGH．10．如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形(底与腰的比为5－12的三角形是黄金三角形)．已知AB＝4，则DE＝6－25．11．乐器上一根弦AB长80 cm，两个端点A，B固定在乐器板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则CD的长为(805－160)cm.9．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－1 2.若AB＝5－12，则MN＝5－2．三、解答题12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，点F在BC的延长线上，且EF＝DE，以CF为边作正方形CFGH，点H在CD边上．试说明点H是线段CD的黄金分割点．13.如图，以长为2 cm的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上．(1)试求AM，DM的长；(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB 的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．参考答案1-5、CCACB6、S1＝S2．7、(105－10)cm.8、(25－2)cm或(6－25)cm．9、矩形DCGH．10、6－25．11、5－2．12、解：∵点E是BC的中点，∴EC＝1.∴EF＝DE＝22＋12＝ 5. ∴CF＝5－1.∵四边形CFGH是正方形，∴CH＝CF＝5－1.∴CHCD＝5－12.∴点H是线段CD的黄金分割点．13、解：(1)在Rt△APD中，AP＝1 cm，AD＝2 cm，由勾股定理，得PD＝AD2＋AP2＝ 5 cm.∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝(5－1)cm.∴DM＝AD－AM＝(3－5)cm.(2)点M是线段AD的黄金分割点，理由如下：∵AM2＝(5－1)2＝6－25，AD·DM＝2×(3－5)＝6－25，∴AM2＝AD·DM.∴点M是线段AD的黄金分割点．14、解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，且AD＞BD，∴AD2＝BD·AB.∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD·AB，即BC∶BD＝AB∶BC.∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC.∴∠A＝∠BCD.设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x，∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x.∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x.在△ABC中，x＋(2x＋x)＋x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°.15、解：点E是线段AB的黄金分割点．理由如下：连接EC.∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC.又∵AE＝BC，∴EC＝BC.∴∠BEC＝∠B.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠BEC＝∠ACB.又∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB.∴BEBC＝BCAB，即BC2＝BE·AB，又∵AE＝BC，∴AE2＝BE·AB.∴点E是线段AB的黄金分割点1、在最软入的时候，你会想起谁。
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。
答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。
答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。
答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。
答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。
黄金分割练习题目
黄金分割如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，求黄金比黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_________，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段AB的_________，_________、_________叫黄金比.一条线段有_________个黄金分割点，较长的线段AC=_________ 较短的线段BC=_________类型一：求线段的长1.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处？，如果他向B点再走 m，也处在比较得体的位置．（结果精确到0.01m）2.如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=________度．3.相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于厘米．类型二：证黄金分割5.宽与长的比是215(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，(1)作正方形ABCD，(2)分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；(3)以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；(4)作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.证明矩形DCGH是黄金矩形综合应用1.E是口ABCD的边AD的延长线的一点，且D为AE的黄金分割点，BE交5 ，则CF的长是DC于点F，已知AB=12.ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线．(1)求证：AD2=CD·AC；(2)若AC=a，求AD．3.如图，ABC中，有三个正方形，DF=9cm，GK=6cm，则第三个正方形的边长PQ= ．4.如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．证明：DG2=FG•BG．。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案: 1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=， ∴AD 2=AC?CD ．∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD=AC ，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB 作为三角形底边；②取AB 的一半作AB 的垂线AC ，连接BC ，在BC 上取CD=CA ．③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为E ；④分别连接EA 、EB ，则△ABE 即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1，=． 5．解：（1）由于P 为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）如图，点P 是线段AB 的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ，∵AC 2=BC?AB ，∴x 2=1×（1﹣x ），整理得x 2+x ﹣1=0，解得x 1=，x 2=（舍去），所以线段AC 的长度为； （2）设线段AD 的长度为x ，AC=l ，∵AD 2=CD?AC ，∴x 2=l×（l ﹣x ），∴x 1=，x 2=（舍去），∴线段AD 的长度AC ；（3）同理得到线段AE 的长度AD ； 上面各题的结果反映：若线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），则C 点为AB 的黄金分割点7．解：D 是AC 的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。
黄金分割专项练习1(有答案)
黄金分割专项练习1班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为()A. 1.24米B. 1.38米C. 1.42米D. 1.62米2.若线段MN的长为2 cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较短的线段MP的长为A. (√5−1)cmB. √5−12cm C. (3−√5)cm D. 3−√52cm3.大自然巧夺天工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是()A. 4√5−4B. 12−4√5C. 12+4√5D. 4√5+44.线段AB=8，P是AB的黄金分割点，且AP<BP，则BP的长度为()A. 8√5−8B. 8√5+8C. 4√5−4D. 4√5+45.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值6.点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，下列命题：(1)AB2=AP⋅PB(2)AP2=PB⋅AB(3)BP2=AP⋅AB(4)AP：AB=PB：AP，中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题7.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP<BP，那么报幕员应走______米报幕．8.点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，若AB=2cm，则AC=______ cm．9.点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，AB=8，那么AP=______．10.C是靠近点B的黄金分割点，若AB=10cm，则AC=____ cm.(结果保留根号)11.已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC⋅AB，则AC的长为______cm．12.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图，若舞台AB的长为20m，则主持人应走到离点A至少m处最合适(精确到0.1m)．三、解答题13.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)求证：AM2=AD·DM．(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？AB，在DA上截取DE=DB.14.已知：如图，线段AB=2，BD⊥AB于点B，且BD=12在AB上截取AC=AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．15.如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AR>RB，S1表示AR为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．答案和解析1.A【解析】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴ab=0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．2.C3.D解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，∴APAB =√5−12，又∵AP的长度为8cm，∴8AB =√5−12，解得：．4.C解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP<BP)，∴BP=√5−12AB=√5−12×8=4√5−4．5.C解：根据黄金分割的定义可知A、B、D正确；C、如果线段AB被点C黄金分割(AC>BC)，那么AC与AB的比叫做黄金比，所以C 错误．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，∴根据线段黄金分割的定义得：AP2=PB⋅AB，AP：AB=PB：AP，∴只有②④正确．7.(15−5√5)解：∵点P为AB的黄金分割点，AP<BP，∴PB=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5(米)，∴AP=AB−PB=10−(5√5−5)=15−5√5(米)，8.√5−1解：∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，∴AC=√5− 12AB，而AB=2cm，∴AC=√5−12×2=√5−1cm．9.4√5−4解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，∴AP=√5−12AB=8×√5−12=4√5−4．10.5√5−5解：由于点C是线段AB的黄金分割点，则AC=10×√5−12=(5√5−5)cm．11.√5−1解：方法一：∵AC 2=BC ⋅AB ，∴点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，∴AC =√5−12AB =√5−12×2=√5−1，故答案为：√5−1．方法二：设AC =x ，则BC =2−x ，则由AC 2=BC ⋅AB ，得x 2=2(2−x)，化简得x 2+2x −4=0，解得x =−2±√4+4×42=−1±√5，∵x 表示线段AC 的长度，x >0，∴x =√5−1，12.7.6解：根据黄金比得：20×(1−√5−12)≈7.6米或20×√5−12≈12.4米(舍去)，则主持人应走到离A 点至少7.6米处．13.(1)解：在Rt △APD 中，PA =12AB =1，AD =2， ∴PD =√AD 2+AP 2=√5，∴AM =AF =PF −PA =PD −PA =√5−1，DM =AD −AM =2−(√5−1)=3−√5;(2)证明：∵AM 2=(√5−1)2=6−2√5，AD ⋅DM =2(3−√5)=6−2√5，∴AM 2=AD ⋅DM;(3)点M 是AD 的黄金分割点.理由如下：∵AM 2=AD ⋅DM ，∴AM AD =DM AM =√5−12， ∴点M 是AD 的黄金分割点．14.证明：∵AB=2，BD=12AB，∴BD=1．∵BD⊥AB于点B，∴AD=√AB2+BD2=√5，∴AE=AD−DE=√5−1，∴AC=AE=√5−1，∴AC=√5−12AB，∴点C是线段AB的黄金分割点．15.解：如图，设AB=1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE>EB，∴AE=GF=√5−12，∴BE=FH=AB−AE=3−√52，∴S3：S2=(GF⋅FH)：(BC⋅BE)=(√5−12×3−√52)：(1×3−√52)=√5−12．故答案为：√5−12．。
黄金分割测试题(含答案)
黄金分割测试题(含答案)4．2黄金分割一、目标导航 1．黄金分割定义:点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC:AB=BC:AC，那么称线段AB被点C黄金分割．点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 2．．二、基础过关 1．若点P是AB的黄金分割点，则线段AP、PB、AB满足关系式． 2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0．001）． 3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处？，如果他向B点再走 m，也处在比较得体的位置．（结果精确到0．1m）三、能力提升 4．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项；③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项；④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，且AB=2，则AC= －1．其中正确的判断有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( ) A．AM∶BM=AB∶AM B．AM= AB C．BM= ABD．AM≈0．618AB 6．已知C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC），则AC∶BC = ( ) A． ( －1)∶2 B．（ +1）∶2 C．（3－）∶2 D．（3+ ）∶2 7．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（）A ． B ． C． D ． 8．已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN = ．求证：点A是MN的黄金分割点．四、聚沙成塔 9．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM、DM的长．（2）求证：AM2=AD•DM．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 10．如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性． 4．2黄金分割 1．AP =BP•AB或PB =AP•AB；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C；5．C；6．B；7．C；8证得AM =AN•MN即可；9．⑴AM= －1；DM=3－；⑵略；⑶点M是线段AD的黄金分割点；10．通过计算可得，所以矩形ABFE是黄金矩形．。
数学黄金分割练习题
数学黄金分割练习题数学黄金分割是一项非常有趣和有用的概念。
黄金分割出现在几乎所有自然界的事物中，从花朵的排列方式到大海中的海浪。
而在数学中，黄金分割对于美学和几何学也具有重要意义。
在本文中，我将给出一些关于黄金分割的练习题，帮助您更好地理解和应用这个概念。
练习题1：将一条线段分成两部分，比例为1:1.618。
已知整个线段长度为100，求较长的部分长度是多少？解答：设较长部分长度为x，则较短部分长度为100-x。
根据黄金分割的定义，x/(100-x) = 1.618。
解这个方程可得x约为61.8，所以较长部分长度约为61.8。
练习题2：一个矩形的长和宽之比为黄金分割的比例1:1.618，已知矩形的宽度为10，求矩形的长度是多少？解答：设矩形的长度为x，则x/10 = 1.618。
解这个方程可得x约为16.18，所以矩形的长度约为16.18。
练习题3：在一个等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，使得BD/DC= 1.618。
求角ADC的大小。
解答：设角ADC的大小为x度。
根据三角形的内角和为180度，可以得到角BDC的大小为(180-x)度。
根据BD/DC = 1.618，可得BD = 1.618 * DC。
根据正弦定理，有sin(x) = BD/AD = 1.618/AC。
根据正弦函数的性质，我们可以得到x约为134.39度。
通过以上练习题，我们可以看到黄金分割与各种数学形状和几何问题之间的关系。
黄金分割不仅仅是一个简单的比例，更是美学和几何之间的奇妙联系。
在实际应用中，黄金分割也具有广泛的用途。
例如，在设计中，黄金分割经常被用来确定界面元素的位置和比例，以达到更好的视觉效果。
在艺术作品中，黄金分割常常被用来构图，使作品更加和谐和美观。
此外，黄金分割还在金融领域有一定应用，用于研究股票价格和市场趋势等。
总之，黄金分割是一个深受数学家们喜爱和研究的概念。
通过练习题的解答，我们可以更好地理解和应用黄金分割。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD•AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△AB C的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案:1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD•AC，∴AD2=CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD•AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=，∴AD2=AC•CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=AC，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，=．5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，∵AC2=BC•AB，∴x2=1×（1﹣x），整理得x2+x﹣1=0，解得x1=，x2=（舍去），所以线段AC的长度为；（2）设线段AD的长度为x，AC=l，∵AD2=CD•AC，∴x2=l×（l﹣x），∴x1=，x2=（舍去），∴线段AD的长度AC；（3）同理得到线段AE的长度AD；上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC•CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB•HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD2=AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD•AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在R t△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。
黄金分割练习题
黄金分割一、目标导航1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC :AB =BC :AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．． 二、基础过关1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式 ．2.如果线段AB=10cm ，点C 是AB 上的黄金分割点， 且AC>BC ，则AC=变式：点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB=2， 则AC=3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处？，如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0.1m ）三、能力提升4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ， b ，c 的第四比例项，则有；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =－1．其中正确的判断有( )A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM =AB ∶AM B ．AM =AB C ．BM =AB D ．AM ≈0．618AB 6．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）， 则AC ∶BC = ( )A ．(－1)∶2B ．（ +1）∶2C ．（3－）∶2D ．（3+）∶27．在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P ，Q ．则PQ ＝( )618.0215≈-=AB AC dc b a =5215-215-5555A ．B ．C ．D ． 8．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =． 求证：点A 是MN 的黄金分割点．四、聚沙成塔9.如图，已知等腰三角形ABC 中，顶角∠A=36。
《黄金分割》专题练习
For personal use only in study and research; not for commercial use《黄金分割》专题练习一、选择题1．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC ∶AB 为（ ）A ．215-B ．253-C ．215+D ．215-或253-A ．55B ．21C ．25 D 3．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）A ．53-B ．15-C ．51+D ．3+4．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美 感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。
在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是 理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉。
如果某女士身高为1.60m ， 躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（ ） A ．2.5cm B ．5.1cm C ．7.5cm D ．8.2cm5．如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AD 、AC 与EB 分别相交于点M 、N ．下列命题：①四边形EDCN 是菱形；②四边形MNCD 是等腰梯形；③△AEN 与△EDM 全等；④△AEM 与△CBN 相似；⑤点M 是线段AD 、BE 、NE 的黄金分割点，其中假命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个二、填空题1．C 是AB 的黄金分割点，则=BCAC 。
2．P 为线段AB ＝10cm 的黄金分割点，则AP ＝ cm （保留两个有效数字）。
3．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时，身材是最完美的。
一位身高为165cm ，肚脐到 头顶高度为65cm 的女性，应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美（精确到1cm ）。
4．如图，节目主持人现站在舞台AB 的一端A 点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果， 若舞台AB 长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A 点至少 米处，如果向 B 点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）5．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金分割点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ．那么BF ：FD 的 值为 。
分割黄金智力测试题(3篇)
第1篇一、选择题1. 下列关于黄金分割的描述，正确的是：A. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例。
B. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为1：1。
C. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为2：1。
D. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为3：2。
2. 黄金分割的比值约为：A. 1.618B. 2.618C. 0.618D. 1.4143. 黄金分割在以下哪个领域有广泛的应用？A. 数学B. 物理C. 建筑D. 以上都是4. 下列哪个不是黄金分割的应用实例？A. 斐波那契数列B. 古希腊建筑C. 印度教神像D. 荷兰风车5. 黄金分割在音乐中的运用体现在：A. 旋律B. 和弦C. 节奏D. 以上都是6. 黄金分割在艺术创作中的运用体现在：A. 形状B. 色彩C. 线条D. 以上都是7. 下列哪个不是黄金分割的特点？A. 比例关系B. 美学价值C. 经济效益D. 生物学意义8. 黄金分割在建筑设计中的运用体现在：A. 室内布局B. 外观造型C. 结构设计D. 以上都是9. 黄金分割在植物生长中的运用体现在：A. 叶片排列B. 花朵形态C. 果实分布D. 以上都是10. 下列哪个不是黄金分割的应用领域？A. 设计B. 科学研究C. 农业种植D. 医学治疗二、填空题1. 黄金分割的比值是__________。
2. 黄金分割在数学中被称为__________。
3. 黄金分割在自然界中普遍存在，如__________、__________等。
4. 黄金分割在艺术创作中的应用实例有__________、__________等。
5. 黄金分割在建筑设计中的应用实例有__________、__________等。
黄金分割 同步测试题-最新,经典试题,通用
6.2 黄金分割同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. △ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（）A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘2. 如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1()S2．A.>B.=C.<D.无法确定3. 如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，下列结论错误的是()A.AC2=BC⋅ABB.BC2=AC⋅ABC.BC AC =√5−12D.ABAC=√5+124. 小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A.12.36cmB.13.6cmC.32.386cmD.7.64cm5. 把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（精确到0.01）是（）A.3.82cmB.6.18cmC.3.09cmD.7.00cm6. 已知点P是线段AB的一个黄金分割点(AP>PB)，则PB:AB的值为（）A.3−√52B.√5−12C.1+√52D.3−√547. 如果C是线段AB一点，并且AC>CB，AB＝1，那么AC的长度为()时，点C是线段AB的黄金分割点.A.0.618B.1−√52C.√5−12D.3−√528. 如图，已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，那么线段PB的长约为（）A.6.18B.0.382C.0.618D.3.829. 若点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列结论正确的是（）A.AP2=BP⋅ABB.BP2=AP⋅ABC.AB2=AP⋅ABD.以上都不对10. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，若AB=6，则PB的长是（）A.3(√5−1)B.3(√5+1)C.9−3√5D.6−3√5二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 已知，线段AB=6cm，C为线段AB的黄金分割点，则BC=________．12. 如图，在黄金矩形ABCD中，作一个边长为10的正方形ABEF，则EC约为________．13. 线段AB=10cm，点P是它的黄金分割点，且PA>PB，则PA=________．14. 己知：线段MN的长为20厘米，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是________厘米．15. 若点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，已知AB=2，则BC=________（精确到0.1）．16. 舞台的形状为矩形，宽度AB为12米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台侧点A沿AB走到主持的位置至少需走________米．17. 点P为线段AB的黄金分割点(PA>PB)，则关于PA、PB、AB的比例式是________．18. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AB长为10cm，则线段AB被P分成的两线段中较长线段的长为________cm．19. 若线段AB=2cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，则线段AC的长为________．20. 顶角是36∘的等腰三角形称为黄金三角形，设黄金三角形的底边与腰之比为m．如图，在黄金△ABC中，AB=AC=1，BD平分底角ABC，得到第二个黄金△BCD，CE平分底角BCD，得到第三个黄金△CDE，以此类推，则第2016个黄金三角形的周长为________（用含m的式子表示）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知：如图，△ABC为黄金三角形，即AB=AC，且∠A=36∘，求证：BCAC =√5−12．22. 如图，已知AB=AC，BC=BD=DA．（1）求∠A的度数；（2）求证：点D是AC的黄金分割点；（3）求sin A2的值．23. 如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E、F分别是AD、BC上的点，ABFE是正方形，且AB:AD=ED:EF，判断ABCD是否为黄金矩形（宽比长=(√5−1)比2的矩形叫黄金矩形），并说明理由．24. 如图，四边形ABCD中，AD // BC，AC与BD交于点P，点P是BD的黄金分割点(BP大于PD)，已知AD=1，求BC的长．25. 如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．26. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是________．第1组知识梳理一、近义词弓缴弓箭辩斗争辩专心致志一心一意沧沧凉凉清清凉凉空虚空洞挪移挪动旋转转动觉察发觉遮挽遮挡叹息叹气徘徊彷徨痕迹印迹聪明聪慧特别特殊枯萎干枯收成收获依赖依靠锻炼磨炼优雅优美语重心长苦口婆心勃勃生机盎然生机偶然偶尔萦绕萦回舒展伸展歉疚愧疚陶醉沉醉惊心动魄触目惊心姿态姿势机会机遇消受享受机敏机灵薄弱单薄渺小微小二、反义词远近热凉专心致志三心二意沧沧凉凉热热乎乎空虚充实匆匆缓缓徘徊果断蒸融凝结高大矮小笔直弯曲相信怀疑偶尔经常依赖独立优雅粗俗柔软坚硬喧哗安静镇静慌张座无虚席空无一人意想不到不出所料目不转睛左顾右盼不知所措胸有成竹强硬软弱机敏迟钝薄弱强大渺小伟大养尊处优含辛茹苦三、词语积累伶伶俐俐勃勃生机【表示注意力集中的成语】专心致志聚精会神全神贯注目不转睛心无旁骛(wù)【AABB式词语】沧沧凉凉干干净净虚虚实实潇潇洒洒恭恭敬敬沸沸扬扬头涔涔泪潸潸赤裸裸笑哈哈恶狠狠傻乎乎娇滴滴【AABB式词语】轻轻悄悄伶伶俐俐整整齐齐慌慌张张勤勤恳恳迷迷糊糊轰轰烈烈吞吞吐吐【形容时间飞快的词语】白驹过隙日月如梭光阴似箭稍纵即逝日不暇给日月如流【形容珍惜时间的词语】惜时如金争分夺秒时不我待只争朝夕千金一刻闻鸡起舞废寝忘食【表示雨大的词语】狂风暴雨大雨如注大雨滂沱倾盆大雨瓢泼大雨【描写语言的词语】语重心长对答如流滔滔不绝谈笑风生高谈阔论夸夸其谈口若悬河冷嘲热讽【描写树木的词语】树形优美高大笔直优雅自在勃勃生机郁郁葱葱枝繁叶茂旁逸斜出从从容容安安全全飘飘荡荡断断续续浩浩荡荡扭扭捏捏昏昏沉沉【无A无B式词语】无缘无故无边无际无声无息无忧无虑无法无天【AABC式词语】勃勃生机津津有味娓娓动听熠熠生辉【ABAC式词语】不慌不忙大摇大摆一心一意【形容人多的词语】座无虚席门庭若市摩肩接踵人山人海【与想有关的词语】意想不到深思熟虑胡思乱想费尽心机冥思苦想【表示担心害怕的词语】提心吊胆惊慌失措惊魂未定惊恐万状胆战心惊心有余悸惊弓之鸟【一A一B式词语】一文一武一心一意一模一样一张一弛【ABAC式词语】随时随地不慌不忙无影无踪呆头呆脑多才多艺独来独往无缘无故先知先觉【含有反义词的二字词语】左右进退吞吐好坏长短高低明暗深浅高矮强弱快慢正负贵贱软硬多少胜负善恶因果厚薄【含有人体器官的词语】指手画脚口无遮拦撕心裂肺痛心疾首手足无措卑躬屈膝眼明手快心急如焚【表示贬义的词语】养尊处优处心积虑口是心非鼠目寸光贼眉鼠眼钩心斗角【形容团结的词语】团结一致齐心协力同甘共苦同舟共济精诚团结群策群力众志成城患难与共勠(lù)力同心四、词语搭配(游丝样)的痕迹(明显)的痕迹(轻轻悄悄)地挪移(缓慢)地挪移(茫茫然)地旋转 (小心)地旋转(伶伶俐俐)地跨过(灵巧)地跨过(百年)的基业(坚实)的基业(依赖)的心(感恩)的心(巨大)的能量(微弱)的能量(优雅)的乐曲(优美)的乐曲(意想不到)的失误(重大)的失误(惊心动魄)的拼搏(震撼人心)的拼搏(暴风雨般)的掌声(热烈)的掌声(歉疚)地微笑(宽容)地微笑(剧烈)地晃动(猛烈)地晃动(拉)胡琴(打)算盘(拧)螺丝(解)纽扣(研)脂粉(蘸)药末(戴)戒指(掏)耳朵(强硬)的曲线(优美)的曲线五、积累句型第3课桃花心木1．关联词：(1)桃花心木是一种特别的树，树形优美，高大而笔直，从前老家林场种了许多，已长成几丈高的一片树林。
4.2黄金分割练习题
D EB CA1、 若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。
2、 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。
3、 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求ABBC 的值 。
4、 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？5、 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值： （1）AC －BC; (2)BC AC ⋅6、如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且ECAE BDAD =,(1)你能说明AC EC AB BD =吗?(2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若53===BCDE ACAE ABAD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
6、 已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，DCBD ACAB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm,求BD , DC 的长。
7、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？8．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m 的测杆的影长为2.5m ，此时一古塔在地面的影长是50m ，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m ，中午12点时，1.5m 高的测杆的影长为1m ，求古塔的影长是20m 的时刻．9.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A.AM ∶BM =AB ∶AM B.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618ABA.1个B.2个C.3个D.4个10. 已知线段AB=2，C 点是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC= . 11. 把长为10cm 的线段黄金分割后，其中较短线段长为 .12. 已知线段MN ＝1，在MN 上有点A ，如果253-=AN ，求证：A 是MN 的黄金分割点．13、E 、F 为线段AB 的黄金分割点，已知AB ＝10 cm ，求EF 的长度． 14、如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）A CB M P N AC BA CB AC BAB D CAEFBACDB在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求：ACCD 的值。
黄金分割课后作业
黄金分割课后作业
1.【题文】已知C 点是线段AB 的黄金分割点，可能是下面C 1、C 2、C 3、C 14中的（ ）。
2.【题文】有人说：“东方明珠广播电视塔的球体位置符合黄金分割。
”请阅读下面的资料，先估一估再算一算。
判断这种说法合理吗？
3.【题文】应用黄金分割绘制一幅图案或绘画作品。
【答案】
1.C 1
【解析】四个选项中只有C 1B ：A C 1的比值最接近0.618。
2.不合理
顶球：342468≈0.73 上球：272.5468≈0.58 下球：
468−93468≈0.8 【解析】根据估测位于中间的“上球”所在的位置最有可能是黄金分割点，经过计算与黄金分割比有一定差距，因此结论并不合理。
3. 答案不唯一，略。
【解析】可以根据黄金分割设计单独的图形，如：长方形的宽：长=0.618
也可以画两个组合图形，如，两个圆的直径比值为0.618；或两个正方形边长比值为0.618…… 还可以根据符合黄金分割的基本图形，设计绘画作品。
东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，位于浦东新区
陆家嘴，塔高约468米。
电视塔有顶、上、下三个球体。
顶球称太空厅，
中心标高342米，球体直径16米。
上球体直径45米，中心标高272.5米。
下球体直径50米，中心标高93米。
（注：中心标高表示建筑物某一部位相对于基准面(标高零点)的竖向高
度,是竖向定位的依据。