函数单调性与最值讲义及练习题.docx

函数的单调性与最值

基础梳理

1．函数的单调性

(1) 单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数 f ( x) 的定义域为 I . 如果对于定义域I 内某个区间 D

上的任意两个自变量的值x1，x2

定义当x1＜x2时，都有 f

(

x1

)

当x1＜x2时，都有 f ( x1) ＜f ( x2) ，那么就

＞f ( x2 ) ，那么就说函数f 说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数

( x ) 在区间 D上是减函数

图象

描述

自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义

若函数 f ( x) 在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 f ( x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做 f ( x) 的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数 y＝f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M

满足

①对于任意 x∈ I ，都①对于任意 x∈I ，都有

条件有 f ( x) ≤ M； f ( x) ≥ M；

.②存在 x0∈ I ，使得②存在 x0∈ I ，使得 f

(

x0

) f

(

x0

)

＝ M M

＝ .

结论M为最大值M为最小值注意：

一个防范

1

函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝x分别在 ( －∞， 0) ，(0 ，＋∞ ) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即 ( －∞，0) ∪(0 ，＋∞ ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为 ( －∞，0)

和(0 ，＋∞ ) ，不能用“∪”连

接．两种形式

设任意 x1，x2∈[ a， b] 且 x1＜x2，那么

f x1－f x2 f x1－f x2

①＞ 0? f ( x) 在 [ a，b] 上是增函数；＜0? f ( x)

x1－x2x1－x2

在 [ a，b] 上是减函数．

②( x1－ x2 )[ f ( x1) －f ( x2)] ＞0? f ( x) 在[ a，b] 上是增函数；( x1－x2)[ f ( x1) －f ( x2)]

＜0? f ( x) 在 [ a，b] 上是减函

数．两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最

值一定在端点取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大 ( 小 ) 值．

四种方法

函数单调性的判断

(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函

数．

(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．

(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．

单调性与最大（小）值同步练习

一、选择题

1、下列函数中，在 (0 ，2) 上为增函数的是 ( )

A、y=-3x+1 B 、y=|x+2|C、y= 4D、y=x2-4x+3

x

2、函数 f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数 a 的取值范围是 ( )

A、[3，+∞ )

B、(-∞，-3]

C、{-3}

D、(-∞，5]

3、已知函数 f(x)=2x 2 -mx+3，当 x∈(-2 ，+∞) 时是增函数，当x∈(- ∞， -2)

时是减函数，则 f(1) 等于 ()

A、-3

B、13

C、7

D、由m而决定的常数

4、函数f(x)在(-2，3) 上是增函数，则f(x-5)的递增区间是()

A、(3，8) B 、(-7， -2)C、(-2， 3)D、 (0 ，5)

5、函数 y= 5 4x x 2的递增区间是 ()

A 、(- ∞， -2)B、 [-5 ，-2] C 、[-2 ，1] D 、[1 ，+∞ )

6、如果函数 f(x)=x 2+bx+c 对任意 t 都有 f(2+t)=f(2-t)

，那么 ()

A、f(2)

B、f(1)

C、f(2)

D、f(4)

7、已知y x22(a 2) x 5 在区间（4，）上是增函数，则 a 的范围是

（）

A、 a2

B、 a2

C、 a6

D、 a6

二、填空题

8、已知函数 f(x)=x 2-2ax+a 2+b，(1) 若 f(x) 在(- ∞，1) 上是减函数，则 a 的取值

范围是 ______；(2) 若对于任意 x∈R恒有 f(x) ≥0，则 b 的取值范围是

____________。

9、在某次数学考试中，学号为 i (i1,2,3,4) 的同学的考试成绩 f (i){ 85,87,88,90,93} ，

且满足 f (1) f (2)f ( 3) f (4)

，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有

______种。

10 、函数f(x)=(2k+1)x+b在(, ) 上是减函数，则k的取值范围是

_______________。

11、已知二次函数y=f(x)( x R) 的图像是一条开口向下且对称轴为x=3 的抛物

线，则 f(6与f(4)的大小关系为_________________。

12、函数 y=|x-a| 在(,1) 上为减函数，则 a 的取值范围为 ______________。

三、解答题

13、求函数 y1

x2 2 x 3

的单调区间 .

14、设函数 f(x) 在(0 ，+∞) 上是减函数，且有f(2a 2 +a+1)

a的取值范围．