函数单调性与最值讲义及练习题.docx

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函数的单调性与最值知识点总结及练习题-高考数学

考点02函数的单调性与最值1．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x=D ．()f x =【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =为R 上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D 【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D 【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值1．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知x ，y ∈R ，且x y >，则下列说法是正确的是（）A ．11x y<B ．--+<+xyy xe ee eC ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22x y >2．（2021·江苏徐州市·高三其他模拟）已知集合{}260A x x x =--<，(){}2log 21B x x =-<，()RA B = ð（）A ．（－2，3）B ．（2，3）C ．[3，4）D ．(][),23,-∞⋃+∞3．（2021·全国高三其他模拟）已知点()0,1A ，点B 在抛物线2y x =上，则AB 的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．124．（2021·江苏高三专题练习）函数x y a =（0a >，且1a ≠）在[]1,2上最大值与最小值的差为2，则a =（）A ．1-或2B ．2C ．12D ．141．（2021·河南商丘市·高三月考（文））已知1,1m n >>，且ln ln 2m n n m -=-，下列结论正确的是（）①1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②11n n m m +>+；③log 2021log 2021m n >；④11m n n m ->-．A ．①④B ．②③C ．①②D ．②④2．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））已知()1x f x e x =-，设()4log 5a f =，21log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.50.2c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．a b c<<3．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数()f x 满足()()f x f x -=-，且对任意的[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()2121f x f x x x --()2,12020f >=，则满足不等式()()202021011f x x ->-的x 的取值范围是（）A ．()2021,+∞B ．()2020,+∞C ．()1011,∞+D ．()1010,+∞4．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））已知2ln ln 2a a =，3ln ln 3b b =，5ln ln 5c c =，且(),,0,a b c e ∈，则（）．A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<5．（2021·安徽宿州市·高三三模（文））已知函数()()2ln f x x x e =++，则（）A ．()()()30log 3log f f f ππ<<-B ．()()()3log log 30f f f ππ-<<C ．()()()3log 0log 3f f f ππ-<<D ．()()()3log 30log f f f ππ<<-6．（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n ﹣1，若对于任意的n ∈N *，不等式λ(S n +1)≥6a n ﹣3恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．(0，4]B ．[4，+∞)C ．[3，+∞)D ．(3，+∞)7．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x -=.当(]1,0x ∈-时，()()1f x x x =+.若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≥-，则实数m 的取值范围是（）A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣D ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））若存在正数x 使()1x e x a +<成立，则a 的取值范围是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．（2021·全国高三月考（文））若函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，则b a -（）A ．有最大值，但无最小值B ．既有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值10．（2021·福建三明市·高三其他模拟）已知函数2(1)()86(1)xe e xf x x ax x x ⎧-≥⎪=⎨⎪+-<⎩是定义在R 上的单调递增函数，1()(ln 1)e e g x x a x x e -=++-，当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围是（）A ．[)4,0-B ．[]4,2--C ．[]4,e --D ．[],2e --1．（2016·北京高考真题（文））已知A （2,5），B （4,1）.若点P （x ,y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为A ．−1B ．3C ．7D ．82．（2018·安徽高考真题（文））若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或83．（2017·天津高考真题（文））设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为A ．B ．C ．D ．4．（2020·海南高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃5．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减6．（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是A ．12y x=B ．y =2x-C ．12log y x=D ．1y x=7．（2018·天津高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,)+∞单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]8．（2019·浙江高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.1．C 【分析】选项A,D 举反例即可判断，选项B ，设x x y e e -=-，由其单调性可判断，选项C.由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，可判断.【详解】解：A ：当2x =，3y =-时，11x y>，∴A 错误，B ：设x x y e e -=-，则函数为R 上的增函数，∵x y >，∴x x y y e e e e --->-，即y x y x e e e e --+>+，∴B 错误.C ：∵12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，x y >，∴1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴C 正确，D ：当2x =，3y =-时，22x y <，∴D 错误.故选：C .2．C 【分析】首先通过不等式求解集合A 和B ，最后再求()R A B ⋂ð即可.【详解】由题意可知，()2,3A =-，()2,4B =，所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð，所以()[)3,4R A B = ð，故选:C ．3．C【分析】设点(),B x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数配方求最值即可求解.【详解】设点(),B x y ，则AB ==2=≥，∴当12y =时，min 2AB =.故选：C.4．B 【分析】根据指数函数知函数总是在1x =和2时，取得两个最值，即得22a a -=，解方程22a a -=和22a a -=即得结果.【详解】根据题意，0a >，且1a ≠，由x y a =的单调性，可知其在[]1,2上是单调递增函数或单调递减函数，总是在1x =和2时，取得两个最值，即22a a -=，即22a a -=或22,a a -=当方程22a a -=成立，即220a a -+=，判别式30∆=-<，该方程无实数解；当方程22a a -=成立，即220a a --=，解得2a =（1a =-舍去），故选：B ．1．A 【分析】由条件可得ln ln m m n n +>+，再由函数()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，可得出m n >，根据指数函数，对数函数的单调性，不等式的性质，以及函数1+y x x=的单调性判断可得选项.【详解】解：由条件可得ln ln ln m m n n n n n +=++>+，又函数()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，所以m n >，故111,,log 2021log 2021221mnm n n n m m +⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又1+y x x =在()1,+∞上单调递增，所以m +11n m n >+，即11m n n m->-，所以①④正确．故选：A.2．B 【分析】由已知条件，根据偶函数的性质得到()f x 在()0,∞+上单调递减，()221log log 33f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用指数对数函数的性质比较4log 5、2log 3、0.50.2的大小关系，注意先和0、1比较大小，4log 5、2log 3的大小比较要化为同底数的对数，在利用对数函数的单调性比较．【详解】函数()1x f x e x=-的定义域为{}0x x ≠，因为()11x x f x e e x x--=-=--，故函数()f x 为偶函数，当0x >时，()1xf x e x=-，则该函数在()0,∞+上单调递减，44log 5log 41>=，()()2221log log 3log 33f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，244 log 3log 9log 5=>，0.5000.20.21<<=，0.54200.2log 5log 3∴<<<，故()()()0.5420.2log 5log 3f f f >>，即c a b >>，即b a c <<，故选：B ．【点睛】方法点睛：利用幂指对函数的性质比较实数或式子的大小，先要考虑分析数或式子的大致范围（常常与0、1比较），来进行比较大小，要借助0、1等常见数的“桥梁”作用．有时候还要考虑化为同底数的幂或者对数进行比较大小．3．A 【分析】()()21212f x f x x x ->-可化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，构造函数()2f x x -，再结合奇偶性可知该函数在R 上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.【详解】根据题意可知，()()21212f x f x x x ->-可转化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，所以()2f x x -在[0，+∞)上是增函数，又()()f x f x -=-，所以()2f x x -为奇函数，所以()2f x x -在R 上为增函数，因为()()202021011f x x ->-，(1)2020f =，所以(2020)2(2020)(1)2f x x f --->-，所以20201x ->，解得2021x >，即x 的取值范围是()2021,+∞.故选：A.【关键点点睛】本题的关键是将不等式()()21212f x f x x x ->-化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，从而构造函数()2f x x -，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.4．D 【分析】把已知条件转化为ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =，构造函数()ln xf x x =，利用导数判断单调性，即可比较出a 、b 、c 的的大小.【详解】解：∵2ln ln 2a a =，3ln ln 3b b =，5ln ln 5c c =，且(),,0,a b c e ∈，化为：ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =，令()ln x f x x =，()0,x e ∈，()21ln xf x x-'=，可得函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()()25lnln 5ln 22ln 55ln 2320521010f c f a --=-==<，且(),0,a c e ∈，∴c a <，同理可得a b <．可得c a b <<，故选：D ．【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.5．A 【分析】由奇偶性定义可知()f x 为偶函数，知()()33log log f f ππ-=，由函数单调性的性质可确定当0x ≥时，()f x 单调递增，根据对数函数单调性可得自变量的大小关系，由此确定函数值的大小关系.【详解】()f x 定义域为R ，()()()()()22ln ln f x x x e x x e f x -=-+-+=++=，()f x ∴为偶函数，()()33log log f f ππ∴-=，当0x ≥时，()()2ln f x x x e =++，2y x = 与()ln y x e =+在[)0,+∞均单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，330log 1log 3log 1log 3log πππππ=<<==< ，()()()30log 3log f f f ππ∴<<，即()()()30log 3log f f f ππ<<-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性和单调性比较函数值的大小关系的问题，解题关键是能够根据对数函数单调性确定自变量的大小关系，进而结合函数的单调性确定函数值的大小.6．C 【分析】通过构建S n ﹣1与S n 关系式求出a n 及S n ，由λ(S n +1)≥6a n ﹣3，得631n n a S λ-≥+，使得λ大于631n n a S -+的最大值即可．【详解】解：∵S n =2a n ﹣1①，∴S n ﹣1=2a n ﹣1﹣1②，①﹣②得a n =2a n ﹣1，12nn a a -=，∴数列{a n }是以2为公比，1为首项的等比数列.a n =2n ﹣1，由S n =2a n ﹣1得S n =2n ﹣1，由λ(S n +1)≥6a n ﹣3，λ(2n ﹣1+1)≥6•2n ﹣1﹣3，3232n nλ⋅-≥，即1312nλ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，当n 趋近于∞取得最大值为3∴3λ≥故选：C.【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．7．B 【分析】根据已知关系式可得()()21f x f x =+，由此可确定(]2,1x ∈--和(]3,2x ∈--时的函数解析式，根据在区间内的函数最小值可知当(]3,2x ∈--时，存在()89f x =-，确定此时x 的值，由此可得m 范围.【详解】由()()12f x f x -=得：()()21f x f x =+；当(]2,1x ∈--时，(]11,0x +∈-，()()()2212264f x x x x x ∴=++=++，此时()min 318229f x f ⎛⎫=-=->- ⎪⎝⎭；当(]3,2x ∈--时，(]21,0x +∈-，()()()2214242024f x f x f x x x ∴=+=+=++，此时()min 58129f x f ⎛⎫=-=-<- ⎪⎝⎭，令28420249x x ++=-，解得：73x =-或83x =-，则当73m ≥-时，()89f x ≥-恒成立，m ∴的取值范围为7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据()()12f x f x -=推导得到()f x 在各个区间内的解析式，由此确定临界值点.8．B 【分析】令y x a =+，1xy e -=，将问题转化为0x ∃>使1y y <，结合函数图象，即可确定a 的取值范围.【详解】由题设，知：0x ∃>使()x x a e -+<成立，令y x a =+，1xy e -=，∴0x >时有1(0,1)xy e-=∈，而(,)y x a a =+∈+∞，∴仅需1a <时，在0x ∃>，使得()1x e x a +<成立.故选：B.【点睛】关键点点睛：令y x a =+，1xy e -=，将问题转化为两个函数在第一象限内存在1y y <，应用数形结合的思想求参数范围.9．A 【分析】取()2f x x =，判断b a -无最小值；由于()()()2222b a a b f a f b f -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故结合题意得2b a -≤，进而得答案.【详解】解：()2f x x =，不妨设0a b <<，则()2f x x =在[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，由于函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，所以221b a -=，故1b a a b-=+无最小值；因为()2f a a =，()2f b b =，222a b a b f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于抛物线开口向上，故()()1,1f a t f b t ≤+≤+，2a b f t +⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以()()()22112222b a a b f a f b f t t t -+⎛⎫=+-≤+++-= ⎪⎝⎭，所以2b a -≤，当且仅当22,22k kb a -+==-时取得最大值2.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的图象与最值，解题的关键在于“函数()f x 在[],a b 上的值域为[],1t t +”可以理解为“函数()f x 在[],a b 上的图象夹在两条距离为1的水平线之间”，此外还需要注意到关系式()()()2222b a a b f a f b f -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.10．C 【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，则每一段都为增函数，且1x =的右侧的函数值不小于左侧函数值求得a 的范围，再根据1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，转化为ln 1e x a x x e x -≤--恒成立求解.【详解】令()x e k x e x =-，则()()210x x e k x x '-=≥，所以()k x 在[1,)+∞上递增，因为函数()2(1)86(1)xe e xf x x ax x x ⎧-≥⎪=⎨⎪+-<⎩是定义在R 上的单调递增函数，所以04120a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩，解得42a -≤≤-．又当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，即1(ln 1)xe e e e x a x x e x--≥++-，即ln 1e x a x x e x -≤--，当1x =时，20e -≥，显然成立；当1x >时，化简可得ln ln 111ln ln ln ee xx x x e x x e x ee x e x a xx x-----⋅----≤==．令()1xh x e x =-+，则()1xh x e '=-，当0x >时，()0h x '>，当0x <时，()0h x '<，所以当0x =时，()h x 取得最小值0，所以()10xh x e x =-+>，即1x e x ≥+，所以ln 1ln 11ln ln x x e x x e x x e x x----+--≥=-，当且仅当ln 0x e x -=，即x e =时等号成立，所以a e ≤-．综上可知4a e -≤≤-．故选：C ．【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.1．C 【详解】由题意得，线段AB 的方程：511(4)2924y x y x --=-⇒=-+-，24x ≤≤，∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⨯-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7.故选：C.【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．2．D 【详解】试题分析：由题意，①当12a ->-时，即2a >，3(1),2(){1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-=+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a-<-时，即2a <，3(1),1(){1,123(1),2x a x af x x a x ax a x --+≤-=-+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min()(1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12a-=-时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.3．B 【解析】易得，在上单调递减，所以，故，选B ．4．D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.5．A 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x-==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数()331f x x x=-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．6．A 【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.7．C 【详解】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C ．考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.8．max 43a =【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=∙[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需11133a-≤-≤，即2433a≤≤，即a的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.。

函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)

函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)本文档将介绍函数的单调性以及如何求函数的极值点和最值。

这些概念是在研究高等数学中非常重要的一部分。

函数的单调性函数的单调性描述了函数图像在定义域内的变化趋势。

一个函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），或者在某个区间内既递增又递减。

判断函数的单调性需要观察函数的导数。

如果函数的导数恒大于零（导函数递增），则函数单调递增；如果导数恒小于零（导函数递减），则函数单调递减。

如果导数在某个区间内既大于零又小于零，则函数在该区间内既递增又递减。

下面是一些相关联系。

练题：1. 设函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的单调区间。

- 解答：- 首先求导数：$f'(x)=3x^2-6x$- 然后求解 $f'(x)=0$ 的解，即 $3x^2-6x=0$ ，解得 $x=0, 2$- 将 $x=0$ 和 $x=2$ 代入 $f'(x)$ 的导数符号表，得到如下结果：| $x$ | $(-\infty,0)$ | $(0,2)$ | $(2,+\infty)$ |- 由上表可以看出，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上递减，在区间 $(0,2)$ 上递增，而在区间 $(2,+\infty)$ 上递增，所以函数的单调区间分别为 $(-\infty, 0)$ 和 $(2,+\infty)$。

求函数的极值点和最值函数的极值点是函数某一段上的极大值或极小值点。

函数的最大值和最小值是函数在整个定义域上的最大值和最小值。

为了求函数的极值点和最值，我们需要找到函数的临界点和边界点。

- 临界点：函数定义域内导数为零或不存在的点。

- 边界点：函数定义域的端点。

对于一个函数，如果它有极值点，那么极值点一定在函数的临界点和边界点处。

下面是一些相关练。

练题：1. 设函数 $g(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求 $g(x)$ 的极值点和最值。

函数的单调性与最值(讲义)

函数的单调性与最值【知识要点】 1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．（3）判断函数单调性的方法①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。

2．函数的最值求函数最值的方法：①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。

【复习回顾】一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而减小；提出问题:①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数.简称为：步调一致增函数.几何意义：增函数的从左向右看,图象是的。

(word完整版)高中数学函数的单调性和最值习题和详解

高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1 •已知f(x)=—X—X3, x€ ［a, b］，且f(a)f(b)<0，则f(x) = 0 在［a, b］内()A•至少有一实数根B.至多有一实数根C •没有实数根D.有唯一实数根［答案］D［解析］•••函数f(x)在［a, b］上是单调减函数，又f(a), f(b)异号•••• f(x)在［a, b］内有且仅有一个零点，故选 D.2 • (2010北京文)给定函数①y= x1，②y= log2(x+ 1)，③y=x —11,④y= 2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A .①②B.②③C .③④D.①④［答案］B1 1 1［解析］易知y = X2在(0,1)递增，故排除A、D选项；又y= logq(x+ 1)的图象是由y= logqx的图象向左平移一个1单位得到的，其单调性与y= log^x相同为递减的，所以②符合题意，故选 B.1 1 13 • (2010 济南市模拟)设y1 = 0.43, y2= 0.53，y3= 0.54,则( )A • y3<y2<y1 B. y1<y2<y3C. y2<y3<y1D. y1<y3<y2［答案］B1 1［解析］•/ y= 0.5x为减函数，• 0.53<0.54,1•/ y= x3在第一象限内是增函数，1 1二0.43<0.53，二y1<y2<y3，故选 B.a _ 2 x ___ 1 x W14. (2010 •州市)已知函数，若f(x)在(—a, + a上单调递增，贝U实数a的取值范围为()log a x x>1A • (1,2) B. (2,3)C. (2,3］D. (2,+a)［答案］C［解析］••• f(x)在R上单调增，a>1a —2>0 , a —2 X1 —1 w log1••• 2<a W3,故选 C. 5.（文）（2010山东济宁）若函数f （x ）= x 2+ 2x + alnx 在（0,1）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（）A . a > 0B . a <0 D . a <— 4［答案］Da 2x 2 + 2x + a［解析］•••函数 f(x)= x 2 + 2x + alnx 在(0,1)上单调递减，•••当 x € (0,1)时，f'x) = 2x + 2+- = ------- g(x)x — =2x 2 + 2x + a <0在 x € (0,1)时恒成立，• g(0) <p g(1) <p 即 a <— 4.n n(理)已知函数y = tan^x 在—2， 2内是减函数，贝卩3的取值范围是()A . 0< 1B . — 1 <o <0C . 3 》1D . 3<— 1［答案］Bn n［解析］•/ tansx 在—2，2上是减函数， • 3<0.当—n <x<2时，有n _冗3< c < 3X —7t3<0 6. (2010 天津文)设 a = log 54, b = (log 53)2, c = log 45,则( )A . a v c v bD . b v a v c［答案］D［解析］ T 1>log 54>log 53>0,「. Iog 53>(log 53)2>0，而 Iog 45>1,「. c>a>b. 7 .若f(x)= x 3— 6ax 的单调递减区间是(一2,2)，则a 的取值范围是( )A . (—s, 0］B . ［ — 2,2］C . {2}D . ［2,+ s)［答案］C［解析］f 'x) = 3x 2— 6a ,,…一1 <3<0.B . b v c v a 2 兀 n若a<0则f'x) >0 • f(x)单调增，排除A ;若a>0,则由f'x)= 0 得x= ± 2a,当x< —.2a 和x> ,2a 时，f'x)>0, f(x)单调增，当一.2a<x<,2a 时，f(x)单调减,••• f(x)的单调减区间为(—.2a, 2a),从而J2a = 2,a= 2.［点评］f(x)的单调递减区间是(一2,2)和f(x)在(—2, 2)上单调递减是不同的，应加以区分.1 18. (文)定义在R上的偶函数f(x)在［0，+ ^上是增函数，若f(?)= 0，则适合不等式f(log^7x)>0的x的取值范围是()1A . (3, + s) B. (0,刁1C . (0, + ) D. (0, 3) U (3 ,+s)［答案］D1 1［解析］•••定义在R上的偶函数f(x)在［0,+s上是增函数，且f( ) = 0,则由f(log丄x)>0,得|log丄x|>，即log!3 27 27 3 271 1 x>孑或log—x< —百.选D.327 3(理)(2010南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x= 0和x= 1，且在x€ ［—1,0］上f(x)单调递增，设a= f(3), b =f( 2), c= f(2)，贝U a、b、c的大小关系是()A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a［答案］D［解析］••• f(x)在［—1,0］上单调增，f(x)的图象关于直线x= 0对称，• f(x)在［0,1］上单调减；又f(x)的图象关于直线x= 1对称，• f(x)在［1,2］上单调增，在［2,3］上单调减.由对称性f(3) = f( —1)= f(1)<f( _2)<f(2),即a<b<c.x2+ 4x, x>09. (2009天津高考)已知函数f(x) = 2n若f(2 —a2)> f(a)，则实数a的取值范围是()4x—x , x v 0.A . (— s,—1) U (2,+ s)B . ( —1,2)C . ( —2,1)D . (— s,—2) U (1 ,+ s)［答案］C［解析］■/ 时，f(x) = x2+ 4x= (x+ 2)2—4 单调递增，且f(x)当x<0 时，f(x)= 4x—x2=—(x —2)2+ 4 单调递增，且f(x)<0 ,• f(x)在R 上单调递增，由f(2 —a2)>f(a)得2—a2>a，•—2<a<1.10 . (2010泉州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x + y) = f(x) + f(y),当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在［a, b］上有( )A .最小值f(a)B .最大值f(b)C .最小值f(b)D .最大值a +b f 2［答案］C［解析］令x = y= 0 得，f(0)= 0,令y=—x得，f(0) = f(x)+ f(—x),二f(—x)=—f(x)-对任意x i , X2 € R 且x i <X2,,f(x i) —f(X2)= f(x i) + f( —x2)=f(x i —X2)>0 ,.•• f(X l)>f(X2),••• f(x)在R上是减函数，••• f(x)在［a，b］上最小值为f(b).二、填空题b i11. (2010 重庆中学)已知函数f(x)= ax+ x—4(a, b 为常数)，f(lg2) = 0,则f(lg^)= _____________［答案］—8［解析］令(Kx)= ax+ b，贝V H x)为奇函数，f(x) = $(x) —4,入•- f(lg2) = H lg2) —4 = 0 ,• H lg2)= 4,“ 1•-饥刁=f(—lg2) = H( —lg2) —4=—y ig2) —4=—8.12 .偶函数f(x)在(—s,0］上单调递减，且f(x)在［—2,k］上的最大值点与最小值点横坐标之差为3,则k= __________［答案］3［解析］•••偶函数f(x)在(—R, 0］上单调递减，• f(x)在［0，+ ^上单调递增.因此，若k WQ贝U k—(—2) = k + 2<3，若k>0,v f(x)在［—2,0］上单调减在［0，—k］上单调增，.••最小值为f(0), 又在［—2, k］上最大值点与最小值点横坐标之差为3,• k—0= 3,即k= 3.13 .函数f(x)= aX 1在(—m, —3)上是减函数，则a的取值范围是________________x+ 3［答案］1 ——OO ——_，314 . (2010 •苏无锡市调研)设a(0<a<1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0,+^上是增函数，若f：=0 , f(log a t)>0，贝y t的取值范围是 _______ .［答(1,扫u (0，诵)案］1［解析］f(log a t)>0，即 f(log a t)>f 2， 1••• f(x)在(0，+ ^上为增函数，二 log a t>2， 0<a<1 ,.°. 0<t<“Ja.1 i又 f(x)为奇函数，••• f — - =- f- = 0,r 1…f(log a t)>0 又可化为 f(log a t)>f — 2 , •••奇函数f(x)在(0 ,+8上是增函数，1• f(x)在(—8, 0)上为增函数，• 0>log a t> — 2,综上知，0<t< a 或1<t< a ，三、解答题15. (2010 北京市东城区)已知函数 f(x) = log a (x + 1) — log a (1 — x), a>0 且 a * 1. (1) 求f(x)的定义域；⑵判断f(x)的奇偶性并予以证明；⑶当a>1时，求使f(x)>0的x 的取值集合.［解析］(1)要使 f(x) = log a (x + 1) — log a (1 — x)有意义，则 x + 1>0，解得—1<x<1.1 — x>0故所求定义域为｛x — 1<x<1｝.⑵由(1)知f(x)的定义域为｛X — 1<x<1｝，且 f( — x) = log a ( — x +1)— log a (1 + x) = — ［log a (x + 1) — log a (1 — x)］ = — f(x)，故 f(x)为奇函数. ⑶因为当a>1时，f(x)在定义域｛x|— 1<x<1｝内是增函数， x + 1所以 f(x)>0?产->1.1 — x 解得0<x<1.所以使f(x)>0的x 的取值集合是｛x|0<x<1｝.1 — mx 口亠 p16. (2010北京东城区)已知函数f(x)= log a 是奇函数(a>0，a * 1) x — 1(1) 求m 的值；(2) 求函数f(x)的单调区间；(3) 若当x € (1，a — 2)时，f(x)的值域为(1，+8),求实数a 的值. “八卄亠1 — mx . 1+ mx 小•/ 0<a<1 ,1<t<1a ，［解析］(1)依题意，f(—x)=—f(x)，l卩f(x) + f(—x)= 0，即log a x—1 + log a—x—1 = 0，1 —mx 1 + mx•••—1，二(1 —m2)x2= 0 恒成立，x—1 —X—1 '•1 — m2= 0,「. m=—1或m= 1(不合题意，舍去)1 + x当m=—1时，由一>0得，x € (—汽一1) U (1,+s),此即函数f(x)的定义域，x —1又有f( —x) = —f(x),• m=—1是符合题意的解.1 + x⑵•/ f(x) = log a x z7，x—1 1 +X ,•- f x) = logx+ 1 x—1 &_ x—1 x—1 —x+1 2log a ex+1 x —1 2log a e—1—x2①若a>1，则log a e>0当x€ (1 ,+s 时，1 —x2<0 f'x)<0, f(x)在(1, +s上单调递减，即(1,+ s是f(x)的单调递减区间；由奇函数的性质知，(一s,—1)是f(x)的单调递减区间.②若0<a<1，则log a e<0当x€ (1 ,+s 时，1 —x2<0, • f'x(0,• (1 ,+s是f(X)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(一s,—1)是f(x)的单调递增区间.1 + x 2(3)令t —------ —1 + -- ，贝U t为x的减函数x—1 x—1•- x€ (1, a —2),2 2• t€ 1+ ■，+ s且a>3，要使f(x)的值域为(1,+ s)需log a 1+ —1，解得a—2+ 3.a—3 a —31 —a _17 . (2010 山东文)已知函数f(x)—lnx—ax+ ——1(a€ R).入(1)当a ——1时，求曲线y—f(x)在点(2, f(2))处的切线方程；⑵当a g时，讨论f(x)的单调性.2［解析］(1)a ——1 时，f(x) —lnx+ x+- —1, x€ (0,+s).xx2+ x—2f—2—, x € (0,+ s)y x因此f' (—1,即曲线y—f(x)在点(2 , f(2))处的切线斜率为1.又f(2) —ln2 + 2,所以y—f(x)在(2, f(2))处的切线方程为y—(In2 + 2) —x—2,即x—y+ ln2 —0.WORD 格式.可编辑__ 1 — a ⑵因为 f(x)= lnx — ax + — - 1, 入1 a — 1 ax2 — x +1 — a所以 f ，x) = — a + -- =— — 2x € (0,+g). x x x令 g(x) = ax 2— x + 1 — a ,① 当 a = 0 时，g(x) = 1— x , x € (0, + g), 当 x € (0,1)时,g(x)>0 , f'x (O , f(x)单调递减；当 x € (1 ,+g 时，g(x)<0，此时 f 'x)>0, f(x)单调递增； 1② 当 a 工0时 f'x)= a(x — 1)[x — ( — 1)],a(i )当a = 2■时，g(x)亘成立，f'x) WQ f(x)在(0,+ g 上单调递减;1 1(ii )当 0<a<2时，彳—1>1>0， x € (0,1)时，g(x)>0,此时 f'x)<0, f(x)单调递减；1x € (1 , -— 1)时，g(x)<0，此时 f 'x)>0, f(x)单调递增; a g(x)>0，此时 f 'x)<0, f(x)单调递减;③当 a<0 时，1— 1<0,ax € (0,1)时，g(x)>0，有 f'x (O , f(x)单调递减 x € (1,+g)时，g(x)<0，有 f 'x)>0, f(x)单调递增. 综上所述：当a W0时函数f(x)在(0,1)上单调递减，(1,+g 上单调递增； 1当a = $时，f(x)在(0 ,+g 上单调递减；11 1当Ovav ：时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1, — 1)上单调递增，在(-—1 ,+g 上单调递减.2 a a 注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚.1x € Q — 1 ,+ g)寸,。

函数的单调性与最值讲义

函数的单调性讲义知识点一：函数单调性(1)相关概念增函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于属于定义域I 某个区间上任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 在这个区间上是增函数，如下图（1）；用数学符号表示：()()()()()[]()x f x f x f x x x x x f x f ⇔>--⇔>--0021212121是增函数.减函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于属于定义域I 某个区间上任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f 在这个区间上是减函数，如下图（2）.用数学符号表示：()()()()()[]()x f x f x f x x x x x f x f ⇔<--⇔<--0021212121是减函数.单调性：如果函数)(x f 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性.单调区间：函数)(x f 在某个区间上具有单调性，则这一区间就叫做函数)(x f y =的单调区间.（2）对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：①单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；②单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的21,x x 具有任意性，不能用特殊值代替.③由于定义都是充要性命题，因此由)(x f 是增（减）函数，且)()()(212121x x x x x f x f ><⇔<，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1）定义法（基本法）；①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <； ②作差：()()21x f x f -； ③变形：通常是因式分解或配方； ④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.例：判断函数xx y 1+=在（1，+∞）上的单调性．变式训练：证明函数()xx f 1=在()+∞,0上是减函数.（2）利用已知函数的单调性；在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.如果函数()x f y =在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0<a 减函数； ②()0≠=k xky 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0<k 增区间()()+∞∞-,0,0,；③()02≠++=a c bx ax y 的单调性：0>a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，增区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0<a ，增区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ；④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0<k 时则相反；⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）函数；⑦轴（与x 轴垂直）对称图形的函数在它们的对称区间上的单调性相反，中心对称图形的函数在它们的对称区间上单调性相同，例如求下列函数的单调区间：x y =，2-=x y ，212-+=x y .（3）利用函数的图像；函数y ＝|x 2－2x －3|的单调增区间是________．【解析】 y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|，作出该函数的图像(如图)．由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．（4）依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法； ①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数； ③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性； ④偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； ⑤互为反函数的两个函数有相同的单调性；⑥如果)(x f 在区间D 上是增（减）函数，那么)(x f 在区间D 的任一子区间上也是增（减）函数；⑦如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.上述规律可概括为“同性则增，异性则减” 例：函数322-+=x x y 的单调减区间是（）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞（5）求导（以后会学到）.知识点三：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性可以比较函数值的大小；例：已知2()f x x bx c =++对称轴为2x = ，比较(1)f 、(2)f 、(4)f 的大小。

函数单调性和求极大值、最值(知识点及相关练习)

函数单调性和求极大值、最值(知识点及相关练习)函数单调性和求极大值、最值知识点概述函数单调性是指函数在定义域上的增减性质，可以分为单调递增和单调递减两种情况。

求函数的极大值和最小值是在给定定义域上寻找函数取得最大值和最小值的过程。

在函数单调性的相关知识点中，我们需要了解以下内容：1. 函数单调性的定义：函数的单调递增和单调递减性质的描述。

2. 判断函数单调性的方法：包括基于导数和基于一阶差分的方法。

3. 极值点的定义：函数在局部或全局范围内的极大值和极小值点。

4. 求函数极大值和极小值的方法：包括使用导数和二阶导数进行判断的方法。

5. 最大值和最小值的定义：函数定义域上最大值和最小值点的概念。

相关练1. 判断函数的单调性判断下列函数的单调性：1. $f(x) = 2x^2 - x + 3$2. $g(x) = e^x$3. $h(x) = \sqrt{x}$4. $p(x) = \ln(x)$2. 求函数的极大值和极小值对下列函数，求出其在给定定义域上的极大值和极小值：1. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1, \quad -1 \leq x \leq 3$2. $g(x) = \sin(x) + \cos(x), \quad 0 \leq x \leq \pi$3. $h(x) = \frac{x^2}{x+1}, \quad x > 0$3. 求函数的最大值和最小值对下列函数，求出其在给定定义域上的最大值和最小值：1. $f(x) = x^2 - 4x + 1, \quad -2 \leq x \leq 5$2. $g(x) = \frac{1}{x}, \quad 0 < x \leq 1$3. $h(x) = \ln(x), \quad 1 < x \leq 10$以上的练可以帮助巩固函数单调性和求极值、最值的相关概念与方法。

函数的单调和最值详细教案及习题带解答

第二节函数的单调性与最值[基础梳理]1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2.(1)增函数：当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；(2)减函数：当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．(增函数)(减函数)2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1．两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．单调性的两种等价形式(1)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 3．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． (3)f (x )的最大值记为f (x )max ，f (x )最小值记为f (x )min . [四基自测]1．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m ＞12 B ．m ＜12 C ．m ＞－12 D ．m ＜－12答案：B 2．函数y ＝1x －1的单调区间为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)和(1，＋∞) 答案：D3．函数y ＝－x 4＋x 2＋2的最大值为________．答案：94 4．函数f (x )＝2xx －1在[2，6]上的最大值和最小值分别是________．答案：4，1255．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝ln(2x －8)的递增区间为__________．答案：(4，＋∞)考点一判断函数的单调性、求单调区间◄考能力——知法 [例1] (1)函数f (x )＝ln x －x 的递增区间为________． (2)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是__________． (3)求函数y ＝x －1－2x 的单调区间． (4)讨论函数f (x )＝axx 2－1(a ＞0)在x ∈(－1，1)上的单调性．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＞0，∴0＜x ＜1. (2)法一：设t ＝x 2，∴y ＝lg t .当x ＞0时，t ＝x 2在(0，＋∞)上为增，y ＝lg t 为增， ∴f (x )＝lg x 2在(0，＋∞)上为增；当x <0时，t ＝x 2在(－∞，0)上为减，y ＝lg t 为增． ∴f (x )＝lg x 2在(－∞，0)上为减．法二：f (x )＝lg x 2为偶函数．当x ＞0时，f (x )＝2lg x ，在(0，＋∞)为增， ∴当x ＜0时，f (x )为减函数．(3)∵函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，且y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12均为增函数，故函数y ＝x －1－2x在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上为单调函数．单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，无单调减区间．(4)设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 12－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 12＋ax 2（x 12－1）（x 22－1）＝a（x2－x1）（x1x2＋1）（x12－1）（x22－1）.∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x12－1)(x22－1)＞0.又∵a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴函数f(x)在(－1，1)上为减函数．答案：(1)(0，1)(2)(－∞，0)(3)见解析(4)见解析1．将本例(1)改为函数f(x)＝ln x＋x，其递增区间为__________．解析：法一：定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ln x＋x，得f′(x)＝1x＋1>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，增区间为(0，＋∞)．法二：设y1＝ln x，y2＝x，在定义域(0，＋∞)上都为增函数，∴f(x)＝y1＋y2在(0，＋∞)上为增函数．答案：(0，＋∞)2．本例(4)改为判断函数g(x)＝－2xx－1在(1，＋∞)上的单调性．解析：∵g′(x)＝－2（x－1）＋2x（x－1）2＝2（x－1）2＞0，∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．函数单调性的判断方法方法解读适合题型指引定义法具体的方法步骤为：取值、作差、变形、定号、下结论适用于所有函数，特别是抽象函数复合法复合函数单调性的判断法则：“同增异减”.形如y＝f(g(x))的复合函数导数法解不等式f′(x)>0，函数f(x)在此不等式对应的区间上为增函数；函数f(x)在不等式f′(x)<0对应的区间上为减函数适用于可求导的函数图象法在定义域内作出相应的图象，根据图形中的单调性写出相应的单调区间适用于初等函数，易于作出图象的函数性质法运用函数单调性的有关结论直接判断函数的单调性适合初等函数简单运算后得到的函数1．下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝x3B．y＝x 1 4C．y＝|x| D．y＝|tan x|解析：对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；对于B，y＝x 14是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增．故选C.答案：C2．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A．y＝1f（x）在R上为减函数B．y＝|f(x)|在R上为增函数C．y＝－1f（x）在R上为增函数D ．y ＝－f (x )在R 上为减函数解析：A 错，如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性；B 错，如f (x )＝x 3，则y ＝|f (x )|在R 上无单调性；C 错，如f (x )＝x 3，则y ＝－1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性．故选D. 答案：D考点二函数单调性的应用◄考能力——知法角度1 比较大小[例2] (1)(2018·高考天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12 13，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：c ＝log 1213＝log 23＞log 2e ＝a ，即c ＞a .又b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，即a ＞b .所以c ＞a ＞b .故选D. 答案：D(2)(2019·淮南一模)函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f (52)＜f (72) B ．f (72)＜f (1)＜f (52) C ．f (72)＜f (52)＜f (1) D ．f (52)＜f (1)＜f (72)解析：∵函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数y ＝f (x )在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y ＝f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，∴f (1)＝f (3)，f (72)＜f (3)＜f (52)，即f (72)＜f (1)＜f (52)．故选B. 答案：B比较f (a )与f (b )的大小，其关键点 ①确定函数y ＝f (y )在区间上的单调性； ②将a 与b 转化到该单调区间； ③确定a 与b 的大小；④利用单调性，比较f (a )与f (b )的大小．角度2 利用单调性解不等式[例3] (2019·石家庄一模)设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( ) A ．[－3，3] B ．[－2，4] C ．[－1，5]D ．[0，6]解析：因为f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f (x )在[－6，0]上为增函数，得f (x )在(0，6]上为减函数，故f (x －1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4.选B. 答案：B根据单调性求解形如F (f (x ))>F (g (x ))型的不等式其实质就是利用单调性脱去“F ”符号，其关键点为：(1)判断，判断f (x )、g (x )是否在F (x )的同一个单调区间内；(2)脱“F ”，利用单调性脱去“F ”：若F (x )为增，则得到f (x )>g (x )，若F (x )为减，则得到f (x )<g (x )；(3)解“x ”，解不等式f (x )>g (x )，(f (x )<g (x ))； (4)结论，解得的x 与定义域求交集.角度3 利用单调性求最值或值域[例4] (2019·上饶一模)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32 B ．－83 C ．－2D ．2解析：法一：易知y ＝－x ，y ＝1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上单调递减，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上单调递减，∴f (x )max＝f (－2)＝32.故选A.法二：∵f (x )＝－x ＋1x .∴f ′(x )＝－1－1x 2＝－x 2＋1x 2＜0. ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上为减函数．f (x )max ＝f (－2)＝32. 答案：A根据函数的单调性求函数的最值或值域，其关键点： (1)变形：对函数式变形或求导，确定函数的单调性． (2)根据单调性变化，确定取最值的条件及最值．(3)求出最值或值域．角度4 利用单调性求参数[例5](1)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为()A．(－∞，16]B．(－∞，4]C．[4，＋∞) D．[16，＋∞)解析：对函数求导可得f′(x)＝2x－ax－2，因为函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝2x－ax－2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立．令g(x)＝2x3，则函数g(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以函数g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝16，所以a≤16. 故选A.答案：A(2)若函数f(x)＝⎩⎨⎧（a－1）x－2a，x＜2，log a x，x≥2在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a－1＜0，0＜a＜1，log a2≤（a－1）×2－2a，解得22≤a＜1，所以实数a的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1根据函数单调性的定义确定函数的单调性，并结合不等式性质进行求解是求参数取值范围最基本的方法，破解此类题的关键点：(1)设元，在题设条件所给出的区间内设出两个变量x1，x2.(2)作差，对f (x 1)与f (x 2)作差，并通过通分、因式分解等方法进行恒等变形；(3)确定符号，通过条件中的区间限制和两个变量x 1，x 2的大小关系，确定函数差值f (x 2)－f (x 1)的符号； (4)得出结论，根据f (x 2)－f (x 1)的符号和x 2－x 1的符号，判断函数f (x )的单调性，并求参数的取值范围．利用导数法，求参数，使f ′(x )≥0恒成立(或f ′(x )≤0恒成立)求参数．1．(2019·宣城第二次调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14解析：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，作出f (x )的草图，如图，由图可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，选C.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]解析：∵函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， ∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞逻辑推理——函数单调性中的学科素养依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行.利用函数的单调性解不等式、求值域或求参数，都需要严格的推理，充分体现了“逻辑推理”的核心素养.[例] (2019·西安模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x ＞0时，f (x )＞－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数.(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4.解析：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1.在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1.又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)，所以，函数f (x )在R 上是单调增函数.(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1＞3，解得x ＜－2或x ＞1，故原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}.课时规范练A 组基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.答案：C2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是非奇非偶函数，B 不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C.答案：C3．(2019·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.答案：C4．(2019·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ，x ＜0a x ，x ≥0，(a ＞0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜13a ≥1，∴13≤a ＜1. 答案：B5．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)＝a x在R上为减函数，则有0＜a＜1；若函数g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数，则有2－a＞0，即a＜2，所以“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，选A.答案：A6．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0.则下列结论正确的是() A．f(0.32)＜f(20.3)＜f(log25) B．f(log25)＜f(20.3)＜f(0.32) C．f(log25)＜f(0.32)＜f(20.3) D．f(0.32)＜f(log25)＜f(20.3)解析：∵对任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．又∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∵0＜0.32＜20.3＜log25，∴f(0.32)＜f(20.3)＜f(log25)．故选A.答案：AB组能力提升练7．定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a 的取值范围为()A．[－1，2) B．[0，2)C．[0，1) D．[－1，1)解析：函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函数在[－2，2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C.答案：C8．已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，1]B ．[－4，2]C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)解析：因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，所以根据题意得|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选A.答案：A9．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1，2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32.答案：B10．(2018·西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D.答案：D11．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x ＜－a 22x ＋a ，x ≥－a 2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，故3＝－a 2，解得a ＝－6.答案：－612．已知函数f (x )＝x ＋a x (x ≠0，a ∈R )，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2 ＝（x 1－x 2）（x 1x 2－a ）x 1x 2. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝（x 1－x 2）（x 1x 2－a ）x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]。

函数的单调性与最值Word版含答案

函数的单调性与最值【课前回顾】1．函数的单调性 (1)增函数、减函数自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．3．若函数y ＝x 2－2ax ＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选C 函数y ＝x 2－2ax ＋1图象的对称轴方程为x ＝a ，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，则需满足a ≥2.4．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．答案：[－1,1]和[5,7] 5．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．解析：易知f (x )在[－2,0]上是减函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.答案：43考点一确定函数的单调性(区间)1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数； (2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f (x )的单调性相同． 3．谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．【典型例题】1．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．2．求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．解：易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．【针对训练】1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．已知函数y ＝1x －1，那么( ) A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞) B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞) D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：选A 函数y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A. 4．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二求函数的值域(最值)求函数值域（最值）的类型及其方法(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x 2≥0，|x |≥0，x ≥0，e x >0等)确定函数的值域或最值．(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．(3)形如求y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(4)形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．【典型例题】方法(一) 性质法求函数的值域(最值) 1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为________．解析：由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y ≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．答案：[－1,1)2．若函数f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.答案：152[方法点拨](1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x 2≥0，e x >0等)求解即可．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，那么f (x )在区间端点处取最值；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，那么y max ＝f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，那么y min ＝f (b )，从而得出值域．方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值) 3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．解析：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数，所以g (x )的值域是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞) [方法点拨]先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值．方法(三) 换元法求函数的值域(最值) 5．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．解析：由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[]0，π，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2. 答案：[2]6．已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12. 令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12. ∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78 [方法点拨]对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值) 7．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________．解析：y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．答案：{y |y ∈R 且y ≠3}8．当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为________．解析：由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3 ∴所求函数的最小值为85答案：85[方法点拨]通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．考点三函数单调性的应用对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：角度(一) 比较函数值的大小1．(2018·哈尔滨联考)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c .[题型技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度(二) 解函数不等式2．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增． ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，知f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝⎛⎭⎫12或f ⎝⎛⎭⎫－12<f (log 19x )<f ()0， ∴log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <13或1<x <3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <13或1<x <3[题型技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．角度(三) 利用单调性求参数的取值范围(或值)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12B.⎣⎡⎦⎤14，12C.⎝⎛⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[题型技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．【针对训练】1．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)2．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x (2x －a )，x >a2，－x (2x －a )，x ≤a2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a 2，所以⎩⎨⎧a4≤2，a 2≥4，解得a ＝8.答案：8【课后演练】1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0. 综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x－1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23. 4．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0)B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0，＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，＝⎩⎨⎧ －⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：选A 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (π)＞f (3)＞f (2)，即f (π)＞f (－3)＞f (－2)．6．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：28．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ， ∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②因为t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合函数图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④因为u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③11．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C.[]－3，－22 D.[]－4，－3 解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a 2∈[2,3]，即a ∈[－6，－4]．12．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．13．(2018·河南平顶山一模)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，记a ＝f (30.2)30.2，b ＝f (0.32)0.32，c ＝f (log 25)log 25，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 对任意两个不相等的正数x 1，x 2，不妨设x 1>x 2，∵x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0， ∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1x 2＝f (x 1)x 1－f (x 2)x 2>0，即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2， ∴f (x )x 是(0，＋∞)上的增函数．∵1<30.2<30.5<2,0<0.32<1，log 25>2，∴0.32<30.2<log 25，∴b <a <c .14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1. 作出函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)15．若函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是____________．解析：由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4. 答案：(－∞，－4)16．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2， ∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25. 17．已知f (x )＝x x －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.所以0＜a≤1.所以a的取值范围为(0,1]．。

函数单调性和求局部极值、最值(知识点及相关练习)

函数单调性和求局部极值、最值(知识点及相关练习)函数单调性和求局部极值、最值本文介绍了函数单调性和求局部极值、最值的相关知识点，并提供了相关练。

1. 函数单调性函数的单调性描述了函数在定义域内的增减情况。

根据函数的单调性，我们可以知道函数的变化规律。

1.1 递增函数和递减函数当函数的自变量逐渐增大时，如果函数的值也逐渐增大，则称该函数为递增函数。

当函数的自变量逐渐增大时，如果函数的值逐渐减小，则称该函数为递减函数。

1.2 严格递增函数和严格递减函数当函数的自变量逐渐增大时，如果函数的值严格逐渐增大，则称该函数为严格递增函数。

当函数的自变量逐渐增大时，如果函数的值严格逐渐减小，则称该函数为严格递减函数。

1.3 凸函数和凹函数在定义域内，若函数的图像位于其切线的下方，则称该函数为凸函数。

若函数的图像位于其切线的上方，则称该函数为凹函数。

2. 求局部极值、最值局部极值和最值是指函数在一定区间内取得的极值和最大值、最小值。

2.1 局部极大值和局部极小值在函数的定义域内，如果存在一个点，使得该点的邻域内的函数值不大于（或不小于）该点的函数值，则称该点为局部极大值（或局部极小值）点。

2.2 全局极大值和全局极小值在函数的定义域内，所有的局部极值中，函数值最大的点称为全局极大值点，函数值最小的点称为全局极小值点。

相关练：1. 判断以下函数的单调性：- f(x) = x^2 + 3x - 2- g(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 12. 求以下函数的局部极值和最值：- h(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5以上就是函数单调性和求局部极值、最值的相关知识点及相关练习。

希望能对您有所帮助。

函数的单调性与最值知识点习题.doc

1.3.1函数的单调性与最大(小)值1、函数单调性的定义设函数y=f (x)的定义域为I：如果对于属于定义域1内某个区间D上的任意两个自变量的值x p x2,(1)当________ 时，都有______________ ,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数:(2)当________ 时，都有______________ ,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。

注意：坷，毛具有三个特征：①属于同一区间②任意性③有大小：通常规定x,<x2练习：若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数几兀2，总有(%! -x2)• [f{x x)- f(x2)]< 0 ,则必有()A.函数f(x)是先增后减B.函数f(x)是先减后增C.函数f(x)在R上是增函数D.函数f(x)在R上是减函数2、函数的单调性区间如果函数y二f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y二f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y二f(x)的单调区间。

3、基本初等函数的单调性(1)一次函数(2)反比例函数(3)二次函数练习：(1)函数/&) = /+4兀+ 3的单调递增区间是_________________(2)函数y =(2k + l)x + b在实数集R上是增函数，则( ), 1 , 1 , 1 , 1A. k > —B. k < —C. k > —D. k V —2 2 2 2练习：下列四个函数中，在(0,+oo)上是增函数的是( )A. /(x) = 3-xB. f(x) = x1 -3xC. .f(兀)= --- —D. /(x) = |x-l|X "f~ 14、利用定义证明函数的单调性的步骤(1)取值：(2)作差：(3)变形：(4)判断差的符号:(5)下结论5、常用的单调性的结论1、函数y = -f(x)与函数y = /(x)的单调性相反;2、函数y = /(x)与y = f(兀)+ c (c为常数)具有相同的单调性；3、当c>0时，函数f(E与cfd)具有相同的单调性；当c<0 时，它们具有相反的单调性；14、若/(%) ^0,则函数f(x)与亓石具有相反的单调性;5、若/(X)> 0,则函数TO)与具有相同的单调性;6. 若fa),具有相同的单调性，则/(兀)+ °(兀)也具有相同的单调性。

函数单调性和求最大值区间、最值(知识点及相关练习)

函数单调性和求最大值区间、最值(知识点及相关练习)函数单调性和求最大值区间、最值 (知识点及相关练)知识点在数学中，函数的单调性是指函数的增减性质。

一个函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），或者在某些区间内既递增又递减。

单调递增和单调递减- 函数在一个区间内递增，意味着随着自变量的增加，函数值也增加。

可以通过计算函数在该区间内的导数来判断函数的单调递增性。

- 函数在一个区间内递减，意味着随着自变量的增加，函数值减少。

可以通过计算函数在该区间内的导数来判断函数的单调递减性。

最大值区间和最值- 最大值区间是指函数在某个区间内取得最大值的范围。

- 最大值是函数在某个区间内取得的最大值。

可以通过求函数的导数和二阶导数来找到函数的极值点和拐点，进而确定最大值区间和最值。

练题1. 求下列函数的单调区间并判断其单调性：a) $f(x) = x^2 - 4x + 3$b) $g(x) = \frac{1}{x}$c) $h(x) = \sin(x)$2. 求下列函数的最值：a) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ 在区间 $[-2, 4]$ 上b) $g(x) = e^{-x} + x^2$ 在区间 $(-\infty, \infty)$ 上c) $h(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上3. 请写出一个函数，使其既在某个区间内递增又在某个区间内递减。

参考答案1.a) 单调递增区间：$(2, \infty)$，单调递减区间：$(-\infty, 2)$b) 单调递增区间：$(-\infty, 0)$，单调递减区间：$(0, \infty)$c) 单调递增区间：$[2n\pi, (2n+1)\pi]$，单调递减区间：$[(2n-1)\pi, 2n\pi]$ （其中 n 为整数）2.a) 最大值：$f(4) = 9$，最大值区间：$[2, 4]$b) 最大值：$g(2) = 5$，最大值区间：$(-\infty, \infty)$c) 最大值：$h(\frac{\pi}{2}) = 1$，最大值区间：$[0,\frac{\pi}{2}]$3. 一个例子是 $f(x) = x^2$，在区间 $(-\infty, 0)$ 上递增，在区间 $(0, \infty)$ 上递减。

2.2函数单调性与最值高三数学总复习讲义Word版含答案

§函数的单一性与最值最新考纲考情考向剖析1.理解函数的单一性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象剖析函数的性质.1．函数的单一性(1)单一函数的定义增函数以基本初等函数为载体，考察函数的单一性、单一区间及函数最值确实定与应用；加强对函数与方程思想、转变与化归思想、分类议论思想的考察，题型既有选择、填空题，又有解答题.减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内某个区间D 上的随意两个自变量的值x1，x2定义当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就就说函数f(x)在区间D上是增函数说函数f(x)在区间D上是减函数图象描绘自左向右看图象是上涨的自左向右看图象是降落的(2)单一区间的定义假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间拥有(严格的)单一性，区间D叫做y＝f(x)的单一区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M知足(1)对于随意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于随意的x∈I，都有f(x)≥M；条件(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M 为最大值知识拓展函数单一性的常用结论fx 1－fx 2(1)对?x 1，x 2∈D(x 1≠x2)，x 1－x 2减函数．为最小值fx 1－fx 2>0?f(x)在D 上是增函数，<0?f(x)在D 上是x 1－x 2a(2)对勾函数 y ＝x ＋x (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[ a ，＋∞)，减区间为[－ a ，0)和(0，a]．(3)在区间D 上，两个增函数的和还是增函数，两个减函数的和还是减函数．(4)函数f(g(x))的单一性与函数 y ＝f(u)和u ＝g(x)的单一性的关系是“同增异减”．题组一思虑辨析1．判断以下结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R 上为增函数．( × )(2)函数y ＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单一递加区间是[1，＋∞)．(×)1的单一递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(× )(3)函数y ＝x(4)闭区间上的单一函数，其最值必定在区间端点取到． ( √ )题组二教材改编2．[P39B 组T1]函数f(x)＝x 2－2x 的单一递加区间是____________．答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))23．[P31例4]函数y ＝x －1在[2,3]上的最大值是________．答案 24．[P44A 组T9]若函数f(x)＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数 m 的取值范围是________．答案 (－∞，2]分析由题意知，[2，＋∞)?[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三易错自纠5．函数y ＝log 1(x 24)的单一递减区间为________．2答案 (2，＋∞)6．若函数f(x)＝|2x ＋a|的单一增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．答案－6由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x ＋a|的单一增区间是a a＝3，得a ＝－6.分析－2，＋∞，令－ 21，x ≥1，7．函数f(x)＝x的最大值为________．－x 2＋2，x ＜1答案 2分析当x ≥1时，函数f(x)＝1f(1)＝1；当x ＜1x 为减函数，因此f(x)在x ＝1处获得最大值，为时，易知函数 f(x)＝－x 2＋2在x ＝0处获得最大值，为 f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确立函数的单一性(区间)命题点1 给出详细分析式的函数的单一性典例 (1)(2017·国全Ⅱ)函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单一递加区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D分析由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝lnt 为增函数．要求函数 f(x)的单一递加区间，即求函数 t ＝x 2－2x －8的单一递加区间．∵函数t ＝x 2－2x －8的单一递加区间为 (4，＋∞)，∴函数f(x)的单一递加区间为(4，＋∞)．应选D.(2)函数y ＝－x 2＋2|x|＋3的单一递减区间是 __________________．答案 [－1,0]，[1，＋∞)分析由题意知，当 x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x<0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－ (x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x|＋3的单一递减区间为 [－1,0]，[1，＋∞)．命题点2 分析式含参数的函数的单一性2 1典例判断并证明函数 f(x)＝ax ＋(此中1＜a ＜3)在[1,2]上的单一性．x解函数f(x)＝ax 2＋1x (1<a<3)在[1,2]上单一递加．证明：设 1≤x 1＜x 2≤2，则2122＋1 －ax 12－1f(x)－f(x)＝axx 2x 11＝(x 2－x 1)ax 1＋x2－x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4，1 11＜x 1x 2＜4，－1＜－＜－.x 1x 2 4又因为1＜a ＜3，因此2＜a(x 1＋x 2)＜12，1得a(x 1＋x 2)－x 1x 2＞0，进而f(x 2)－f(x 1)＞0，即f(x 2)＞f(x 1)，故当a ∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单一递加．引申研究怎样用导数法求解本例？解因为f ′(x)＝2ax －12＝2ax 3－1x 2，x因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，又1＜a ＜3，因此2ax 3－1＞0，因此f ′(x)＞0，因此函数 f(x)＝ax2＋1x (此中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．思想升华确立函数单一性的方法： (1)定义法和导数法，证明函数单一性只好用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单一性的规律是 “同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不可以用“∪”连结．追踪训练(1)(2017·郑州模拟)函数y ＝(1)2x 23x1的单一递加区间为()3A ．(1，＋∞)B.－∞，341D.3C.2，＋∞ 4，＋∞答案 B易知函数y ＝ 1t23分析 3为减函数，t ＝2x －3x ＋1的单一递减区间为－∞， 4.1 2x 23x13∴函数y ＝(3)的单一递加区间是－∞，4.(2)函数f(x)＝|x －2|x 的单一递减区间是()A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案 Ax 2－2x ，x ≥2，分析由题意得，f(x)＝x 2＋2x ，x<2，当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单一递加区间；当x<2时，(－∞，1]是函数f(x)的单一递加区间，[1,2]是函数f(x)的单一递减区间．题型二函数的最值1x1．函数f(x)＝3－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3分析因为y ＝1x在R 上单一递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单一递加，因此f(x)在[－1,1]3上单一递减，故 f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.x2，x≤1，2．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．x＋6－6，x＞1，x答案26－6分析当x≤1时，f(x)min＝0，当x＞1时，f(x)min＝2 6－6，当且仅当x＝6时取到最小值，又26－6＜0，因此f(x)min＝26－6.3．(2017·江浙)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a相关，且与b相关B．与a相关，但与b没关C．与a没关，且与b没关D．与a没关，但与b相关答案B分析方法一设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，明显此值与a相关，与b没关．应选B.方法二由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状必定．跟着b的改动，相当于图象上下挪动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变成M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b没关．跟着a的改动，相当于图象左右挪动，则M－m的值在变化，故与a相关，应选 B.思想升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单一性法：先确立函数的单一性，再由单一性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再察看其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对分析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，而后求出在给定区间上的极值，最后联合端点值，求出最值．(5)换元法：对照较复杂的函数可经过换元转变成熟习的函数，再用相应的方法求最值．题型三函数单一性的应用命题点1比较大小典例已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后对于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x·2－x1)<0恒建立，设a＝f－1，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为() 2A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c答案D分析依据已知可得函数f(x)的图象对于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a 155＝f－2＝f2，且2<2<3，因此b>a>c.命题点2解函数不等式典例若f(x)是定义在(0，＋∞)上的单一增函数，且知足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8,9]C．[8,9]D．(0,8)答案B分析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单一增函数，x>0，因此有x－8>0，解得8<x≤9.x－8≤9，命题点3求参数范围典例(1)(2018郑·州模拟)函数y＝x－5在(－1，＋∞)上单一递加，则a的取值范围是()x－a－2A．a＝－3B．a＜3 C．a≤－3D．a≥－3(2)已知f(x)＝3a－1x＋4a，x＜1，a的取值范围是()是(－∞，＋∞)上的减函数，则log a x，x≥11A．(0,1) B.0，31，11，1C.73D.7答案(1)C(2)Cx－a－2＋a－3a－3分析(1)y＝＝1＋，x－a－2x－a－2a－3＜0，得a≤－3.由题意知a＋2≤－1，∴∴∴a的取值范围是a≤－3.∴∴3a－1＜0，∴(2)由f(x)是减函数，得0＜a＜1.∴3a－1×1＋4a≥log a1，1≤a＜1，1732 1a的取值范围是7，3.思想升华函数单一性应用问题的常有种类及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单一性将“f”符号脱掉，转变成详细的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单一性求参数．①依照函数的图象或单一性定义，确立函数的单一区间，与已知单一区间比较；②需注意若函数在区间[a，b]上是单一的，则该函数在此区间的随意子集上也是单一的；③分段函数的单一性，除注意各段的单一性外，还要注意连接点的取值．追踪训练(1)已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单一递减，则实数a的值是________．答案8a分析f(x)＝x|2x－a|＝x2x－a，x>2，(a>0)，a－x2x－a，x≤2a≤2，作出函数图象(图略)可得该函数的单一递减区间是a ，a，因此4解得a ＝8.a≥4，4221＝0，则不等(2)(2017珠·海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上单一递加，且 f 2 式f(log 1x )>0的解集为________________．9答案x0<x<1或1<x ＜33分析由题意知，f －1＝－f 1＝0，2 2f(x)在(－∞，0)上也单一递加．11∴f(log 1x )＞f 2 或f(log 1x )＞f －2 ，991 1∴ log 1x ＞2或－2＜log 1x ＜0，9 9解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.1∴原不等式的解集为 x0<x<3或1<x ＜3.1．以下函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2－xD ．y ＝log(x ＋1)C ．y ＝2 答案 A分析函数y ＝ x ＋1的增区间是(－1，＋∞)，在(0，＋∞)上为增函数，应选A.2．(2017河·南中原名校第一次质检)函数y ＝log 1 (x 2x6)的单一递加区间为()21，3B.－2，1A.221，＋∞D.－∞，1C.22答案A分析由－x2＋x＋6＞0，得－2＜x＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝log1t，易知其为减函数，由复合函数的单一性法例可知此题等价于求函数2t＝－x＋x＋62在(－2,3)上的单一递减区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的单一递减区间为1，3，应选2A.log2x，x≥1，) 3．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递加”的(x＋c，x<1，A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件答案A分析若函数f(x)在R上递加，则需log21≥c＋1，即c≤－1.因为c＝－1，即c≤－1，但c≤－1不可以得出c＝－1，因此“c＝－1”是“函数f(x)在R上递加”的充足不用要条件．4．已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．(0,1]B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)答案C分析要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则a>0且a－1≥0，即a≥1.5．(2017天·津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若1(log2)，c＝f(2)，a＝－flog2，b＝f5则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b 答案C分析∵f(x)在R上是奇函数，∴a＝－flog21＝f－log21＝f(log25)．55又f(x)在R上是增函数，且log25＞log2＞log24＝2＞2，f(log25)＞f(log24.1)＞f(2)，∴a＞b＞c.应选C.x－a2，x≤0，6．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()1＋a，x＞0.x＋xA．[－1,2]B．[－1,0]C．[1,2]D．[0,2]答案D21分析∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)，f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋x＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要知足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a －2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.应选D.7．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单一递加区间为________．答案[3，＋∞)分析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.因此函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，因此函数t在(－∞，－1]上单一递减，在[3，＋∞)上单一递加．因此函数f(x)的单一递加区间为[3，＋∞)．1，x>0，8．设函数f(x)＝0，x＝0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单一递减区间是________．－1，x<0，答案[0,1)－x2，x>1，－分析由题意知g(x)＝0，x＝1，－x2，x<1，函数g(x)的图象如下图，其单一递减区间为[0,1)．－ x 2＋4x ，x ≤4， 9．(2017潍·坊模拟)设函数f(x)＝若函数y ＝f(x)在区间(a ，a ＋1)上单一递log 2x ，x ＞4.增，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)分析作函数f(x)的图象如下图，由图象可知 f(x)在(a ，a ＋1)上单一递加，需知足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.2110．已知函数f(x)＝x ＋a －2，x ≤1，若f(x)在(0，＋∞)上单一递加，则实数a 的取值范x2－a ，x>1，a围为________．答案 (1,2]分析由题意，得121x－a(x>1)是增函数，故a>1，因此a 的＋2a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a 取值范围为 1<a ≤2.x11．已知f(x)＝x －a (x ≠a)．(1)若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单一递加； (2) 若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)上单一递减，求 a 的取值范围．(1)证明设x 1＜x 2＜－2，则f(x 12x 1－x 2＝2x 1－x 2.)－f(x)＝＋2 x2＋21＋2x 2＋2x x因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，因此f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，因此f(x)在(－∞，－2)上单一递加．(2)解设1＜x 1＜x 2，x 1x 2则f(x 1)－f(x 2)＝－ax 2－x 1＝.x 1－ax 2－a因为a ＞0，x 2－x 1＞0，因此要使f(x 1)－f(x 2)＞0，只要(x 1－a)(x 2－a)＞0恒建立，因此a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.12．函数f(x)＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值 3，求a 的值．解f(x)＝4x －a 22－2a ＋2，①当a2≤0，即a ≤0时，函数 f(x)在[0,2]上是增函数．f(x)min ＝f(0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.a ≤0，∴a ＝1－2.a②当0<2<2，即0<a<4时，af(x)min ＝f 2＝－2a ＋2.1由－2a ＋2＝3，得a ＝－2?(0,4)，舍去．③当a 2≥2，即a ≥4时，函数 f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min ＝f(2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.13．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝fx在区间(1，＋∞)x上必定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数答案Da分析由题意知a<1，又函数g(x)＝x＋x－2a在(|a|，＋∞)上为增函数，应选D.x2－4x＋3，x≤0，14．已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒建立，则实数－x2－2x＋3，x>0，a的取值范围是____________．答案(－∞，－2)分析二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，∴该函数在(－∞，0]上单一递减，x2－4x＋3≥3，相同可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单一递减，－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上单一递减，由f(x＋a)>f(2a－x)获得x＋a<2a－x，即2x<a，∴2x<a在[a，a＋1]上恒建立，∴2(a＋1)<a，∴a<－2，∴实数a的取值范围是(－∞，－2)．15．函数f(x)的定义域为D，若对于随意x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数，设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且知足以下三个条件：①f(0)＝0；②f x11＋f1＝________.＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)．则f3832答案3 4分析由①③，令x＝0，可得f(1)＝1.由②，令x＝1，可得f 111 3＝2f(1)＝2.11111令x＝3，可得f9＝2f3＝4.1121由③联合f3＝2，可知f3＝2，22121令x＝3，可得f9＝2f3＝4，112因为9<8<9且函数f(x)在[0,1]上为非减函数，1 23 1 因此f 8＝4，113因此f 3＋f 8 ＝4.16．(2018石·家庄模拟)已知函数f(x)＝lgx ＋a－2 ，此中a 是大于0的常数．x(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3) 若对随意x ∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确立a 的取值范围．解(1)由x ＋a－2>0，得x 2－2x ＋ax >0，x当a>1时，x 2－2x ＋a>0恒建立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x|x>0且x ≠1}；当0<a<1时，定义域为 {x|0<x<1－1－a 或x>1＋ 1－a}．a(2)设g(x)＝x ＋x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，a x 2－ag ′(x)＝1－x 2＝ x 2>0恒建立，a因此g(x)＝x ＋x －2在[2，＋∞)上是增函数．a因此f(x)＝lgx ＋x －2 在[2，＋∞)上是增函数．a－2 a因此f(x)＝lgx ＋x 在[2，＋∞)上的最小值为 f(2)＝lg 2.(3)对随意x ∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x ＋a x －2>1对x ∈[2，＋∞)恒建立．因此a>3x －x 2，令h(x)＝3x －x 2，而h(x)＝3x －x 2＝－x －32＋9在[2，＋∞)上是减函数，24因此h(x)max ＝h(2)＝2，因此a>2.。

高中函数的单调性与最值知识点+例题+练习含答案

教学内容函数的单调性与最值教学目标掌握求函数的单调性与最值的方法重点单调性与最值难点单调性与最值教学准备教学过程第2讲函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．教学效果分析教学过程【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用教学效果分析课堂巩固一、填空题1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．3．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是________．4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.6．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.8．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．。

函数的单调性与最值(基础+复习+习题)

函数的单调性与最值一.函数单调性和单调区间的定义：①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数.3.单调性的定义①的等价形式：设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数； ()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数。

4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 5.在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则 ③ ()()f x g x +为增函数；②()1()0()f x f x >为减函数；()()0f x ≥为增函数；④()f x -为减函数.〖针对性练习〗1.函数1y x=-的单调区间是（）A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0）（1，∞，） C.（-∞，1）、（1，∞） D. （-∞，1）（1，∞）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A ．32y x =-+B ．3y x= C ．245y x x =-+ D ．23810y x x =+-3．函数y =的增区间是（）。

函数的单调性与最值(含例题详细讲解)

函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地.设函数f (x )的定义域为I .区间D ⊆I .如果对于任意x 1.x 2∈D .且x 1<x 2.则有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数.则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性.区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I .如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I .都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I .都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值 M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示.不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写.不能用并集符号“∪”联结.也不能用“或”联结．2．两函数f (x ).g (x )在x ∈(a .b )上都是增(减)函数.则f (x )＋g (x )也为增(减)函数.但f (x )·g (x ).()1f x 等的单调性与其正负有关.切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中.在区间(0.＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2.＋∞).所以在(0.＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1.单调增区间为[1,4].f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减.即内外函数的单调性相同时.为增函数.不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的.或者f (x )的图像易作出.可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性.再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像.再观察其最高点、最低点.求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数.再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形.使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导.然后求出在给定区间上的极值.最后结合端点值.求出最值．提醒：在求函数的值域或最值时.应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中.既是偶函数又在区间(0.＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C 2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________.最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________．解析：要使()5log 21y x =+有意义.则210x +>.即12x >-.而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数.当12x >-时.u ＝2x ＋1也为R 上的增函数.故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知.该函数的单调增区间是(－∞.1]．答案：(－∞.1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k .定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=.当k ＝12时.函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞.0)B ．(0.＋∞)C ．(－∞.－1)D ．(1.＋∞)解析：选C 由f (x )>12.得－1<x <1.由f (x )≤12.得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩.故()12f x 的单调递增区间为(－∞.－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二函数单调性的判断[典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知.函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0.＋∞)内任取1x .2x .令12x x <.那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<.所以210x x ->.120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时.()()12f x f x <.即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时.()()12f x f x >.即函数在()0,k 上单调递减．考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数.在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.故在(),k -∞-单调递增.在(),0k -上单调递减．综上.函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增.在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时.作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时.求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1.＋∞)上的单调性．解：任取x 1.x 2∈(1.＋∞).且x 1<x 2.则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----. 由于1<x 1<x 2.所以x 1－x 2<0.(x 1－1)(x 2－1)>0. 因此g (x 1)－g (x 2)<0.即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1.＋∞)上是增函数．考点三函数单调性的应用角度一求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).且当x >0时.f (x )<0.f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).∴令x ＝y ＝0.得f (0)＝0. 再令y ＝－x .得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2.则x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时.f (x )<0.而x 1－x 2>0.∴f (x 1－x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数.∴f (x )在[－3,3]上也是减函数. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2.f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2.最小值为－2. 角度二比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x.若x 1∈(1,2).x 2∈(2.＋∞).则( ) A ．f (x 1)<0.f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0.f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0.f (x 2)<0D ．f (x 1)>0.f (x 2)>0解析：选 B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1.＋∞)上为增函数.且f (2)＝0.∴当x 1∈(1,2)时.f (x 1)<f (2)＝0.当x 2∈(2.＋∞) 时.f (x 2)>f (2)＝0.即f (x 1)<0.f (x 2)>0. 角度三解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像.如图所示.则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a2－4)>f (3a ).可得a 2－4<3a .整理得a 2－3a －4<0.即(a ＋1)(a －4)<0.解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1,4)．角度四求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠.都有()()12120f x f x x x -<-成立.则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞.2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞.2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数.于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩.由此解得a ≤138. 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式.然后根据函数的单调性去掉“f ”.转化为具体的不等式(组).此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时.若自变量的值不在同一个单调区间内.要利用其函数性质.转化到同一个单调区间上进行比较.对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1.＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a .当a ≤1时f (x )在[1.＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1.＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若f (2－a 2)>f (a ).则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞.－1)∪(2.＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞.－2)∪(1.＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数.由题得2－a 2>a .解得－2<a <1. 3．用min{a .b .c }表示a .b .c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x.x ＋2,10－x }(x ≥0).则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x.y 2＝x ＋2.y 3＝10－x 中的较小者.作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数.则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a .＋∞)上是减函数.对于g (x ).只有当a >0时.它有两个减区间为(－∞.－1)和(－1.＋∞).故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可.则a的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x ).满足f (－x )＋f (x )＝0.x 1.x 2.x 3∈R .且x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0.∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.∴x 1>－x 2.x 2>－x 3.x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2).f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3).f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1). ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数.则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0.32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0.32]．8．设0<x <1.则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x 1－x .当0<x <1时.x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4. 三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0.＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1.＋∞)上恒成立.求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0.＋∞)时.f (x )＝a －1x.设0<x 1<x 2.则x 1x 2>0.x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2).即f (x )在(0.＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x<2x 在(1.＋∞)上恒成立.设h (x )＝2x ＋1x.则a <h (x )在(1.＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2.x ∈(1.＋∞).∴2－1x2>0.∴h (x )在(1.＋∞)上单调递增．故a ≤h (1).即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞.3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a .若x ∈[－2,2]时.f (x )≥0恒成立.求a 的取值范围．解：设f (x )的最小值为g (a ).则只需g (a )≥0. 由题意知.f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2.即a >4时.g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0.得a ≤73.又a >4.故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2].即－4≤a ≤4时.g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4.故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2.即a <－4时.g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4.故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数.且f (1)＝1.若a .b ∈[－1,1].a ＋b ≠0时. 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性.并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立.求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1.x 2∈[－1,1].且x 1<x 2. 则－x 2∈[－1,1].∵f (x )为奇函数. ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-.x 1－x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增.∴112111121111xxxx⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x<－1.(3)∵f(1)＝1.f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上.f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1.即m2－2am≥0.对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0.则g(a)＝0≥0.自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0.则g(a)为a的一次函数.若g(a)≥0.对a∈[－1,1]恒成立.必须g(－1)≥0. 且g(1)≥0.∴m≤－2.或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。